El llenguatge matemàtic de la natura : les bombolles tendeixen a minimitzar les superficies. Mitjançant estris i diferents instruments es poden resoldre molts problemes d'optimització.
21. ombolles constitueixen un petit microcosmos en e
tenen un punt de trobada:
La bellesa
La ciència
La imaginació i
La reflexió
Són els habitants d’un món amb les lleis matemàtiques,
on angles i longituds regeixen les relacions socials, on la bellesa
amaga regles numèriques, on les formes són, al mateix temps,
seductores i racionals.
Aquestes existències efímeres amaguen un
Magnífic entramat matemàtic
22. Objectiu
Constatar les possibilitats que ofereix la Matemàtica per descriure,
explicar i predir el món que ens envolta.
Fórmula sabonosa :
65% d’aigua
25% de sabó i
10% de glicerina
23. Qui no ha jugat alguna vegada amb bombolles de sabó?
24. Tot sembla molt simple …
...darrera aquestes divertides figures s’hi
amaga un formidable entramat matemàtic!
25. Però també, darrera aquestes
divertides
figures també s’hi amaga un
interminable entramat de treball
per fer possible la construcció
d’unes bombolles ben especials,
que per mi, són, de totes les
bombolles, les més belles !!
Les bombolles mestres!!!
26. Gràcies a elles podem aprendre molt !!
Però sobretot el millor que ens donen les bombolles és
oferir-nos la oportunitat de ...
30. Si ens apropem a una bresca d’abelles, les seves cel·les tenen seccions
hexagonals;
Les ales de certs insectes, per exemple les libèl·lules, presenten un
enreixat igualment, gairebé hexagonal i, si seguim buscant hexàgons els
trobarem en situacions que han de recobrir un pla sense deixar forats.
Però, per què la natura opta per aquestes formes ??
31. .
Si enfoquem la vista cap a les plantes, les llavors dels gira-sols es
distribueixen formant espirals que també les trobarem en la llengua
de les papallones i en les closques dels cargols.
32. Veiem com la natura ha escollit l‘espiral logarítmica com a forma
geomètrica en altres moltes configuracions naturals, però d’on surt
aquesta forma espiral ??
33. EL PROBLEMA DELS CONILLS :
“Certa persona va posar una parella de
conills en un corral tancat completament
per un mur. Quants parells de conills hi
haurà al corral en un any, si posem una
parella de conills no productius que,
tardarà un mes a ser productiva i llavors
engendrarà una nova parella de conills?”
Els conills es reprodueixen seguint també una pauta matemàtica, la
de la SUCCESSIÓ DE FIBONACCI
36. EL RECTANGLE D’OR :El quocient entre els seus costats és Ф=1’61..
I d’aquí surt l’espiral logarítmica que hi ha en els cargols, en les
Galàxies, en la nostra orella,…, fins i tot en les faccions
de les cares més boniques!!!
38. LA PROPORCIÓ ÀURIA AL COS HUMÀ
ALÇADA (cm) ALÇADA MELIC (cm) PROPORCIÓ
1 163 102 1’6
2 166 103 1’612
3 169 108 1’565
4 175 105 1’67
LE CORBUSIER
STEPHEN MARQUARDT
39. - La raó entre l’alçada total d’una persona
i l’alçada fins al melic
- La raó de la longitud del braç i la
longitud de la mà al colze
- La raó entre l’amplada i la llargada
de la cara
- La raó entre la primera falange de la mà
i la segona, i entre la segona i la tercera.
- La raó entre la longitud de la cama i
la longitud del peu al genoll
- La raó entre la longitud del colze al
canell i del canell a la punta dels dits
de la mà.
40.
41.
42. El nombre Ф el trobem en diverses
construccions arquitectòniques com
La piràmide de Keops, el Partenó d’Atenes,l¡
edifici de la ONU i l’escala de la Sagrada
Família
43.
44. La natura estructura els seus objectes seguint unes lleis, però quines
són aquestes lleis ??
Podem observar que molts dels objectes de la natura, com ara els planetes són esfèrics, així
com també ho són les gotes d’aigua i les bombolles de sabó.
La forma esfèrica no té cantons i és infinitament simètrica.
Però per què prenen aquesta forma les bombolles de sabó ?
Què té la forma esfèrica que la fa tant especial ?
45. L’objectiu de les abelles és emmagatzemar la major quantitat
de mel amb el mínim consum de la preuada cera
( fabricar ½ kg de cera equival, per a les abelles, a donar 12 voltes al món !!!)
L’HEXAGON és la forma plana que pren la natura, ja que és la de
major eficiència: És la figura que recobreix tot el pla i que
donada una superfície, és la que té menys perímetre de totes elles.
46. Podem veure que dels tres polígons regulars que
recobreixen el pla, el que té el mínim perímetre tot i tenint
tots tres la mateixa àrea és l’HEXÀGON !!
https://drive.google.com/drive/u/0/folders/0B6E3Y6IFddu1NnhmQkpDN0Nfd2c
47. Les lleis de la natura actuen de manera que
minimitza longituds i superfícies.
En 1744, Pierre-Luís Moreau de Maupertuis, va proposar el seu gran
Esquema del Món: “La natura opera sempre amb la màxima economia”.
Per exemple, la línia recta per un raig de llum
Geomètricament, els hexàgons omplen el pla sense deixar forats i les
espirals estalvien espai.
La circumferència i l’esfera tenen la màxima simetria i compleixen els
principis d’optimització.
Per això les bombolles de sabó són esfèriques, ja que és la forma més
eficient, la que economitza sabó, és a dir la que donat un volum fixat és la que
té la superfície mínima
48. •La tensió superficial és la força que existeix entre les molècules de qualsevol
líquid que tendeix a reduir la superfície lliure que presenta. Els líquids presenten
una tendència a reduir la superfície exterior que mostren ja que la mínima
superfície correspon al menor valor possible de l’energia potencial deguda a la
tensió superficial. I la natura estalvia energia !!
•Així doncs, si un volum de líquid es deixa lliure a l’aire prendrà una forma tal que
tingui la mínima superfície exterior possible compatible amb el seu volum.
Tanmateix les gotes dels líquids són esfèriques per què,
per a un volum donat fixat, l’esfera és la figura que presenta
menor superfície exterior.
Tensió superficial = Timidesa
Fonament físic
54. Què passa quan en un líquid hi posem sabó?
La tensió superficial disminueix... però no s’elimina
55. Què passa quan en un líquid hi posem sabó?
La tensió superficial disminueix... però no s’elimina
Es deixa “laminar”... però manté la tendència a formar superfícies mínimes.
El sabó fa perdre la timidesa
56. A cada configuració correspon una tensió superficial
que el líquid voldrà fer mínima
57. Propietat física Tensió superficial
Model matemàtic
Superfícies
d’àrea mínima
Hem passat de la propietat física
a un model matemàtic
62. Segons la Universitat de Bordeus els moviments del
líquid en les bombolles és un model del comportament
dels petits ciclons i de les turbulències que es
produeixen en la nostra atmosfera.
69. •El sabó té l’efecte de disminuir la tensió
superficial dels líquids i de permetre la seva
laminació en superfícies minimals (mínims
relatius).
•Un experiment per veure que fa disminuir la
tensió superficial :
• Prenem dos gots d’aigua i en un hi afegim sabó.
Després tirem pols de talc sobre un got i l’altre
de manera abundant. Observarem que :
- En el got que no hi ha sabó, el talc sura, ja
que la tensió superficial impedeix que es trenqui
la “pell del líquid”
- En el got amb sabó, el talc s’enfonsa per
què la tensió superficial ha disminuït i no el pot
aguantar.
Què fa el sabó ?
72. Els devastadors efectes que,
per a aquests insectes, té la contaminació de l’aigua dels rius amb
detergents.
Aquests animalons viuen gràcies a la tensió superficial
76. •Gràcies al sabó i a la seva laminació podrem
observar quines seran les formes que donaran les
superfícies mínimes, és a dir podrem visualitzar
que, submergint una estructura dins d’un poal ple
de sabó, la forma que prendrà serà aquella que
tingui una menor superfície.
•Al introduir estructures tancades dins del sabó,
obliguem a que s’ajusti a l’estructura, per exemple,
que s’ajusti al perímetre del fil ferro, obligant a que
passi per tots els contorns, però de manera
òptima, és a dir, minimitzant la pel·lícula de sabó.
•Podem posar de manifest aquesta tendència
mitjançant un petit però vistós experiment en el
qual es tensa un fil unit a una estructura de filferro
com mostra la fotografia següent:
77. Al submergir un filferro semicircular amb un fil lligat en els extrems,
aquest quedarà tensat cap a la part interior del fil ferro en forma circular.
Si, amb un dit mullat tirem del fil i el deixem novament lliure, el fil torna
a retrocedir tornant a la posició d’equilibri
i de superfície mínima.
Amb el dit podem sentir la tensió superficial !!!
Per efecte de la tensió superficial les superfícies que formarà l’aigua amb
sabó sempre seran mínimes.
Observem que hem passat d’una idea física a una idea matemàtica, el de
trobar mínims !!!!
Sense fer derivades i problemes d’optimització, simplement submergint
estructures dins del sabó !!
78. Molts cops, els problemes de màxims i mínims són difícils de resoldre. Però,
és suficient una dissolució sabonosa per a que puguem arribar a la
comprovació visual de quelcom que els matemàtics hem tardat molts segles
en demostrar-ho.
Plateau en el segle XIX, va resoldre i enunciar les lleis que regeixen el
comportament de minimitzar esforços que utilitza la natura, fent experiments
amb bombolles de sabó.
Una de las observacions que va fer i ha estat de gran importància per a les
matemàtiques, és la que correspon a que “si introduïm una estructura
tancada en una dissolució sabonosa, sempre es formarà una pel·lícula de
sabó, la superfície de la qual serà minimal”
79. Dues bombolles juntes minimitzen la pel·lícula de sabó
compartint una cara i, deixant de tenir una forma esfèrica,
optant altres formes geomètriques més econòmiques.
Així estalvien àrea superficial !!!
80. Si unim diferents bombolles, obtenim sempre formes geomètriques pures :
Unint 4 bombolles, en el seu interior, hi haurà un Tetràedre, i amb 12.... Un
dodecàedre !!
Les formes regulars són les triades per la natura, per què ???
Perquè són les més eficients, és a dir, són les que estalvien sabó!!
81. Les tres parets d’una bombolla sempre es trobaran formant un
angle de 120º !! Així si fem moltes bombolles de mida similar
obtenim HEXÀGONS, com els de les abelles !!!
82. •Problema de Pierre Fermat (1601-1665):
Donat un triangle d’angles aguts, trobar el punt P tal que la suma de les distàncies als vèrtexs sigui la més
petita possible. A aquest punt se l’anomena el punt de Fermat.
•Problemes de Jacob Steiner (1796-1863):
•De totes les corbes de perímetre fixat, el cercle és el d’àrea màxima
•Camins mínims : Trobar la xarxa de línies que connecti diferents punts i la longitud total d’aquesta
connexió sigui la mínima possible
•Problema de Joseph A. Plateau (1801-1883):
•Determinar la superfície d’àrea mínima limitada en el espai per un contorn tancat.
Hi ha tres tipus de problemes que podem resoldre amb bombolles de sabó
Joseph A. F. Plateau
(1801-1883)
83. Com demostrem matemàticament que el cercle és,
de totes les corbes de perímetre fixat,
la que té una superfície més gran ?
De tots els polígons
regulars d’igual perímetre, quin de
tots té l’àrea màxima?
84.
85.
86.
87. Què voldrà dir que la solució de l’angle sigui 0º?
Equivaldrà a dir que el polígon buscat
té infinits costats i, per tant,
Serà el cercle !!!
90. El cercle és la solució al problema
isoperimètric
1r Problema de Jacob Steiner (1796-1863) resolt:
Com que el sabó vol minimitzar la superfície que passi pel contorn, al
tensar el fil interior en forma de cercle, observem que la tensió
superficial contrau a la pel·lícula sabonosa que queda al exterior del
fil. El fil es tensa i adopta la forma d’una circumferència perfecta.
Dóna igual la manera en que es subjecti el fil, aconseguim una forma
circular perfecta. Aquest fet demostra que la circumferència és la
figura amb màxima àrea donat un perímetre fixat
Donat un perímetre fixat,
és el Cercle la figura que tanca la màxima àrea
91.
92. 2n Problema de Jacob Steiner (1796-1863):
Trobar la xarxa de línies que connecti diferents punts i la longitud total
d’aquesta connexió sigui la mínima possible
Camins mínims
Problema de Steiner per 2 punts
Comprovarem experimentalment que la línia més curta entre dos punts és la línia recta. Per fer-ho,
submergirem una estructura transparent de dos claus.
El sabó obliga a passar per aquests dos punts però utilitzant la mínima quantitat de sabó. El camí més
curt que els unirà serà la línia recta
Problema de Steiner per 3 punts – Punt de Fermat
Posarem de manifest de l’existència i les propietats del punt de Fermat d’un triangle
Problema de Steiner per 4 punts
Resoldrem el problema de Steiner per quatre punts situats en els vèrtexs d’un rectangle obtenint una
estructura de camins que connecten els punts amb una longitud total mínima.
93. Punt de Fermat d’un triangle és un punt tal que la distància total des dels tres vèrtexs del
triangle al punt és la mínima.
Des d’aquest punt es veu cadascun dels costats del triangle sota un angle de 120 º
102. Un nou problema que té per solució el punt de
Fermat :
“Donats tres pobles, on s’ha de construir un
hospital de manera que el camí total que hauria
de recórrer les ambulàncies sigui mínim”.
El mètode de construcció del punt de Fermat d’un
triangle acutangle amb regla i compàs :
construïm triangles equilàters sobre cada costat del
triangle original i unim el vèrtex exterior de
cadascun d’aquests triangles amb el vèrtex oposat
d’aquell. Els tres segments es tallaran en el punt de
Fermat.
Vegi’s l’esquema següent i observeu que no
coincideix amb el baricentre del triangle
Baricentre d’un triangle
El baricentre d’un triangle és el punt
d’intersecció de les seves medianes.
103. És un punt la suma de les distàncies a tres punts donats és mínima.
Des d’aquest punt es veu cadascun dels costats del triangle sota un
angle de 120º
Observem que el que en l’estructura són parets de líquid, en projectar-la són
segments de manera que la propietat que s’ha comentat de superfície total
mínima, en la imatge projectada, passa a ser de longitud total mínima.
Observarem també que els angles lliures entre les superfícies de sabó són tots
de 120º (podem superposar-hi sectors de 120º retallats sobre transparències de
colors).
EL PUNT DE FERMAT amb
BOMBOLLES DE SABÓ
122. El problema de Steiner per a 4 punts :
La “solució del sabó” minimitza la longitud total de la xarxa que
uneixen els quatre punts donats. De nou, surten els 120º !!!
Demostrar-ho
matemàticament és
bastant complicat !!!
123.
124. I si en lloc de quatre punts, en volem unir 6 ?
Matemàticament
seria terriblement difícil !!
125. Hexàgon regular
Treballarem amb una estructura
formada per dues plaques
planes transparents unides per
sis claus metàl·lics situats en els
vèrtexs d’un hexàgon regular
(els angles interiors ja són de
120º!). Què passarà?
El sabó sí farà dreceres i, en
aquest cas obtindrem un
hexàgon, però més curt, el seu
contorn serà com la de
l’hexàgon original menys un dels
costats.
126.
127. Problema de Joseph A. Plateau (1801-1883):
“Determinar la superfície d’àrea mínima
limitada en l’espai per un contorn tancat”
130. Una hèlix és un tipus de corba suau en l'espai tridimensional
que es caracteritza pel fet que la tangent en qualsevol punt produeix
un angle constant amb una línia fixa anomenada eix.
Exemples d'hèlices són les molles i les baranes de les escales de cargol.
Una hèlix "plena" s'anomena helicoide.
Les hèlices són importants en la biologia donat que la molècula de l‘ADN
està formada per una doble hèlix i
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/72/Nonsymmetric_velocity_time_
dilation.gif
131.
132. Una cinta de Möbius o banda de Möbius és una superfiície d'una sola cara,
un sol contorn i és topològicament no orientable
Fou descoberta de manera independent pels matemàtics alemanys
August Ferdinand Möebius i Johann Benedict Listing l'any 1858
Què és la banda de Möebius ??
https://www.youtube.com/watch?v=pp7uevoCLZM
134. Quina clase d’amor sents tu ??
Amor 1 : Aquest és l’amor de les persones molt independents, cada
una va per la seva banda, tot i que s’assemblen en molts
aspectes i tenen coses en comú.
Amor 2 : Simbolitzen l’amor autèntic : Les dues persones conserven
la seva independència, però tenen un lligam indestructible.
Amor 3 : És l’amor passional, els dos amants es fonen en un sol
amor com si fossin un sol ésser i això no els permet
diferenciar-se un de l’altre
135. Poliedres fets amb varilles
Làmines sabonoses que es tallen en
arestes i arestes que es tallen en un punt
138. Tetràedre (6 arestes – 4 cares – 4 vèrtexs)
•Obtindrem, de cada aresta del tetràedre, una làmina, obtenim sis làmines planes i
triangulars que es tallen en quatre arestes, i aquestes en un punt central, que
convergiran en el baricentre del tetràedre, si és regular.
•L’angle díedre d’aquesta forma sabonosa, és a dir l’angle entre cara parell de les
làmines és de 120º (com va postular Plateau)
•L’angle entre cada parell d’arestes que convergeixen en el baricentre és de 109º 28’
(com va postular Plateau)
•Si trenquem dues làmines obtindrem un bonic paraboloide hiperbòlic (sella de
muntar )
•Resulta interessant col·locar una bombolla sobre el baricentre i bufar amb l’ajut
d’una palleta: apareix una figura tetraèdrica amb les cares lleugerament corbades
sostinguda per sis làmines planes
139. Cub ( 6 cares-12 arestes- 8 vèrtexs)
En el cas d’una estructura cúbica apareixerà :
•Una làmina plana i quadrada en el centre sostinguda per dotze làmines planes en
forma de trapezi (cada làmina surt d’una aresta del cub)
•La simetria del cub ens permet observar que hi haurà tres solucions minimals que
tindran la làmina central amb orientacions diferents. Passarem d’una a l’altra movent
l’estructura, per tant, s’obtenen varies situacions de làmines en equilibri.
• A més, les arestes formen un nou cub en el interior (cub quadrimensional)
140.
141.
142.
143. Hipercub:
Un tesseractis o hipercub és una figura formada per dos cubs
desplaçats en un quart eix dimensional (anomenem al primer
longitud, al segon alçada i al tercer profunditat).
Es compon de 8 cel·les cúbiques, 24 cares quadrades, 32 arestes
i 16 vèrtexs
Projecció d'un hipercub, amb una transformació
semblant a la que podem aplicar
a un cub de tridimensioal.
https://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:8-cell-si
144. Paraboloide hiperbòlic (sella de muntar):
x 2 /a 2 — y 2 /b 2 = 2 z ,
La seva intersecció amb un pla que
contingui l’eix de simetria és una
paràbola i la intersecció amb un pla
perpendicular a l’anterior és una
hipèrbola
145. L’Octàedre
En aquest cas poden obtenir-se diferents
formes.
Totes les figures que s’obtenen són molt
maques però resulta especialment
fascinant una rosa dels vents
tridimensional d’extraordinària bellesa.
I el reflexe de la llum sobre la pe´:lícula
sabonosa que evoca la bellesa d’un
diamant
Tots els angles dièdrics són de 120º
És bonic pensar que darrere d’aquestes
formes tan harmonioses hi ha la condició
que la superfície total sigui la mínima que
passa per les 12 arestes de l’octàedre
146.
147. Formes estables que semblen fràgils però no ho són. Posseeixen
una estilitzada i increïble bellesa, formant arcs i corbes.
La tensió superficial de les cordes crea una forma estable i
econòmica que l’home les ha utilitzat en el seu benefici fent ...
151. Jocs Olímpics de Pequín 2008
The National Aquatics Center o “Water Cube"
152.
153.
154. La il·lusió és el gest desmesurat,
sorprenentment amable i ple de vida,
que no vulnera límits ni malmet
ocells ni flors, i crea meravelles
que esclaten com bombolles de sabó
passat el temps molt breu de l´encanteri,
però perduren sense fer remor
al fons amorosit de la mirada.
Miquel Martí i Pol