R´ESUM´E SUR
Les Int´egrales
et
Les ´Equations Diff´erentielles
E N P R E M I ´E R E A N N ´E E M I
Ou comment Int´egrer
qu...
ii
Sensation
Par les soirs bleus d’´et´e, j’irai dans les sentiers,
Picot´e par les bl´es, fouler l’herbe menue :
Rˆeveur, j’...
iv
Sommaire
1 Formules de Taylor 1
1.1 Fonctions de classe Cn
: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 F...
vi
4.10 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.11 Solution . . . . . . . . ...
Sommaire
1.1 Fonctions de classe Cn
:
1.2 Formule de Taylor
1.3 Formule de Mac-Laurin
1.4 Exemples
Chapitre
1
Formules de ...
1
2 Formules de Taylor
1.1 Fonctions de classe Cn
:
1.1.1 Fonctions de classe C1
:
D´efinition 1.1
: Soit I un intervalle o...
1.2 Formule de Taylor 3
1
Exemple 1.2
les fonctions polynˆomes et trigonom´etriques (sinus et cosinus) sont de classe
Cn
(...
1
4 Formules de Taylor
f (n)
derivable sur [a,b] donc sur [x0,x] ⇒ ϕ d´erivable sur ]x0,x[ et on
a :
ϕ (t) = −
n
k=0
f (k)...
1.2 Formule de Taylor 5
1
Th´eor`eme 1.2
Soit f : [a,b] → R v´erifiant f ∈ Cn
([a,b]) et f (n)
d´erivable sur ]a,b[ et soit...
1
6 Formules de Taylor
Th´eor`eme 1.4
Les r´esultats des th´eor`emes (7.2.3) et (7.2.4) sont v´erifi´es si f : I → R,o`u I ...
1.2 Formule de Taylor 7
1
Th´eor`eme 1.5
Soit f : [a,b] → R, x0 ∈ [a,b], supposons que f (n)
(x0) existe, alors ∀x ∈ [a,b]...
1
8 Formules de Taylor
Lemme 1.1
Soit F : [a,b] → R une fonction telle que, pour x0 ∈ [a,b]
F(x0) = F (x0) = ··· = F(n)
(x...
1.3 Formule de Mac-Laurin 9
1
Remarque 1.4
La formule de Taylor avec reste de Lagrange (ou de Cauchy) a un caract`ere
glob...
1
10 Formules de Taylor
Remarque 1.5
Si α = m ∈ N,alors
(1+ x)m
= 1+ mx+
m(m−1)
2!
x2
+···+
m(m−1)(m−2)···2.1
m!
xm
car
rm...
Sommaire
2.1 Définitions
2.2 Développements limités des fonctions usuelles
2.3 Opérations sur les développements limités
2....
2
12 Developpements Limités (DL)
2.1 Définitions
D´efinition 2.1
Soit f une fonction, d´efinie au voisinage de 0, on dit que ...
2.1 Définitions 13
2
D´emonstration 7
Supposons que f admet deux d´eveloppements limit´es diff´erents au voisinage de
0, alo...
2
14 Developpements Limités (DL)
Th´eor`eme 2.3
Si f (n)
(0) existe alors f admet le d´eveloppement limit´e suivant
f (x) ...
2.3 Opérations sur les développements limités 15
2
produit.
– f
g (x) =
Pn
Qn
n
(x)+ o(xn
) o`u Pn
Qn
n
(x) est la troncat...
2
16 Developpements Limités (DL)
Th´eor`eme 2.5
Si f est une fonction int´egrable sur [−a,+a] et admet un d´eveloppement l...
2.4 Développements limités au voisinage d’un point et de l’infini 17
2
Int´egration :
ln(x−1) = x−
x2
2
+
x3
3
−···+(−1)n x...
2
18 Developpements Limités (DL)
2.5 Développements limités généralisés
Soit f une fonction d´efinie au voisinage de 0, sau...
2.6 Application des développements limités 19
2
Donc
l = lim
x→0
x(1+1− x2
2 + o(x2
))−2(x+ x3
3 + o(x3
))
2x− x+ x3
6 − x...
2
20 Developpements Limités (DL)
S M
Sommaire
3.1 Définition d’une subdivision
3.2 Définition d’une fonction en escalier "étagée"
3.3 Sommes de Darboux
3.4 Propr...
3
22 Integrales de Riemann
D´efinition 3.3. Int´egrale d’une fonction en escalier
Soit f ∈ E [a,b] et d = {xk}0 k n la subd...
3.3 Sommes de Darboux 23
3
Proposition 3.4
Si f ∈ E [a,b] alors
(b − a) inf
x∈[a,b]
f (x)
b
a
f (x)dx (b − a) sup
x∈[a,b]
...
3
24 Integrales de Riemann
D´efinition 3.5. Fonctions Riemann - int´egrables
La fonction f est Riemann-int´egrable sur [a,b...
3.3 Sommes de Darboux 25
3
D´efinition 3.6
1. On appelle subdivision point´ee associ´ee `a f sur [a,b] le couple (d,ξ) o`u ...
3
26 Integrales de Riemann
D´emonstration 18
Par d´efinition, il est ´evident que s(f ,d) S(f ,d,ξ) S(f ,d). Soit f ∈ I[a,b...
3.4 Propriétés de l’intégrale de Riemann 27
3
Proposition 3.6
Lin´earit´e :
∀α,β ∈ R,∀f , g ∈ I[a,b] : αf +βg ∈ I[a,b]
et
...
3
28 Integrales de Riemann
Th´eor`eme 3.4
Th´eor`eme de la moyenne :
Si f est continue de [a,b] → R Alors
∃c ∈ [a,b] :
1
b...
3.5 Exercices : 29
3
3.5 Exercices :
Exercice 3.1
1. Calculer par d´efinition (limite des sommes de Darboux) les int´egrale...
3
30 Integrales de Riemann
3.6 Solution
Correction de l’exercice 3.1
La fonction f : x → xk
est croissante et continue sur...
3.6 Solution 31
3
La somme de Darboux sup´erieure
S(f ,d) =
2
k=0
Mk(xk+1 − xk) = 1+(−2)+4 = 3 avec Mk = sup
[xk,xk+1]
f (...
3
32 Integrales de Riemann
3. ´Etudions
lim
n→+∞
Wn = lim
n→+∞
n
n−1
k=0
1
n2 + k2
= lim
n→+∞
1
n
n−1
k=0
1
1+ k2
n2
Il su...
Sommaire
4.1 Définition d’une primitive
4.2 Intégrales indéfinies :
4.3 Tableau des intégrales indéfinies élémen-
taires
4.4 ...
4
34 Calcul Intégral
4.3 Tableau des intégrales indéfinies élémentaires
Sachant que :
dF(x) = f (x)dx =⇒ f (x)dx = F(x)+C (...
4.4 Intégration par Changement de variables 35
4
Remarque 4.1
Par contre, les int´egrales suivantes ne sont pas int´egrabl...
4
36 Calcul Intégral
4.5 Intégration par parties
Th´eor`eme 4.2
Soient u et v deux fonctions de classe C 1
sur un interval...
4.6 Intégration des fonctions rationnelles 37
4
4.6 Intégration des fonctions rationnelles
Une fraction rationnelle P(x)
Q...
4
38 Calcul Intégral
f (x) = 2x+1+
x3
−21x−7
x5 + x4 −2x3 − x2 − x+2
= 2x+1+
x3
−21x−7
(x+2)(x−1)2(x2 + x+1)
D´ecompositio...
4.7 Intégration des fonctions irrationnelles : 39
4
– M´ethode des limites :
Cette m´ethode consiste `a multiplier d’abord...
4
40 Calcul Intégral
Du changement de variable :
t =
3 x+1
x−1
⇒ t3
=
x+1
x−1
⇒ x =
1+ t3
t3 −1
⇒ dx =
−6t2
(t3 −1)2
dt
On...
4.8 Intégration des fonctions trigonométriques 41
4
Exemple 4.9
Calculer 2cosx
3−cos2x dx
C’est l’invariant ”sinus”, on po...
4
42 Calcul Intégral
4.9 Intégration des fonctions hyperboliques
Calcul de
R ex
,sinhx,coshx,tanhx dx
On pose t = ex
⇒ x =...
4.11 Solution 43
4
Exercice 4.6
N1 =
8
1
dx
x+ 3 x
et N2 =
r
0 r2 − x2dx avec r > 0
4.11 Solution
Correction de l’exercice...
4
44 Calcul Intégral
Correction de l’exercice 4.5
1. L’invariant ”cosinus”, on pose t = cosx ⇒ dt = −sinxdx, alors
L1 = si...
Sommaire
5.1 Généralités
5.2 Les équations différentielles du premier ordre
5.3 Les équations de Bernoulli
5.4 Les équatio...
5
46 Les Équations Différentielles
Exemple 5.1
y + y = 0 admet y = C1 sinx + C2 cosx comme solution g´en´erale, pour
C1 = ...
5.2 Les équations différentielles du premier ordre 47
5
D´efinition 5.3
Une ´equation diff´erentielle est dite lin´eaire du ...
5
48 Les Équations Différentielles
On lui associe l’´equation diff´erentielle sans second membre (5.2.2):
a(x)y + b(x)y = 0...
5.4 Les équations de Riccati : 49
5
O`u a et b sont des fonctions en x donn´ees et m une constante r´eelle diff´erente de 0...
5
50 Les Équations Différentielles
Exercice 5.4
: Int´egrer y = 1
x y2
+(2+ 1
x )y+ x+2 avec y1 = x une solution particuli...
5.6 Corrigé 51
5
alors le probl`eme de Cauchy a pour solution unique :
y = ± 2e−t2
−1
2. yy − y2
= t2
y3
, en divisant par...
5
52 Les Équations Différentielles
4. xy + y = xy3
: ´equation diff´erentielle de Bernoulli avec m = 3
Une division par y3
...
Table des matières
1 Formules de Taylor 1
1.1 Fonctions de classe Cn
: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
5
54 Table des mati`eres
3.3 Sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.1 Somme de...
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Analyse2 SMPC MIP

  1. 1. R´ESUM´E SUR Les Int´egrales et Les ´Equations Diff´erentielles E N P R E M I ´E R E A N N ´E E M I Ou comment Int´egrer quand on n’y connaˆıt goutte Madjid Sidi sidimadjid@gmail.com Version du 9 juin 2015 Derni`ere mise `a jour sur : http://sites.google.com/site/sidimadjid/Home
  2. 2. ii
  3. 3. Sensation Par les soirs bleus d’´et´e, j’irai dans les sentiers, Picot´e par les bl´es, fouler l’herbe menue : Rˆeveur, j’en sentirai la fraˆıcheur `a mes pieds. Je laisserai le vent baigner ma tˆete nue. Je ne parlerai pas, je ne penserai rien : Mais l’amour infini me montera dans l’ˆame, Et j’irai loin, bien loin, comme un boh´emien, Par la Nature, - heureux comme avec une femme. Arthur Rimbaud, mars 1870.
  4. 4. iv
  5. 5. Sommaire 1 Formules de Taylor 1 1.1 Fonctions de classe Cn : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Formule de Mac-Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Developpements Limit´es (DL) 11 2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 D´eveloppements limit´es des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Op´erations sur les d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 D´eveloppements limit´es au voisinage d’un point et de l’infini . . . . . 17 2.5 D´eveloppements limit´es g´en´eralis´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.6 Application des d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Integrales de Riemann 21 3.1 D´efinition d’une subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 D´efinition d’une fonction en escalier ”´etag´ee” . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3 Sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.4 Propri´et´es de l’int´egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.5 Exercices : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.6 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 Calcul Int´egral 33 4.1 D´efinition d’une primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Int´egrales ind´efinies : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3 Tableau des int´egrales ind´efinies ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . 34 4.4 Int´egration par Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.5 Int´egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.6 Int´egration des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.7 Int´egration des fonctions irrationnelles : . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.8 Int´egration des fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.9 Int´egration des fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 v
  6. 6. vi 4.10 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.11 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5 Les ´Equations Diff´erentielles 45 5.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2 Les ´equations diff´erentielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 46 5.3 Les ´equations de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.4 Les ´equations de Riccati : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.6 Corrig´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
  7. 7. Sommaire 1.1 Fonctions de classe Cn : 1.2 Formule de Taylor 1.3 Formule de Mac-Laurin 1.4 Exemples Chapitre 1 Formules de Taylor Brook Taylor est un homme de sciences anglais du XVIIIe si`ecle. Il s’int´eressa aux math´ematiques, `a la musique, la peinture et la philosophie. Il ajouta aux math´ematiques une nouvelle branche appel´ee calcul de diff´erences finies, inventa l’int´egration par parties et d´ecouvrit les s´eries appel´ees d´eveloppement de Taylor. Ses id´ees furent publi´ees dans son livre de 1715, Methodus incrementorum directa and reversed. En fait, la premi`ere mention par Taylor de ce qui est appel´e aujourd’hui th´eor`eme de Taylor apparaˆıt dans une lettre que ce dernier ´ecrivit le 26 juillet 1712. . Brook Taylor En analyse, le th´eor`eme de Taylor, du nom du math´ematicien Brook Taylor qui l’´etablit en 1715, montre qu’une fonction plusieurs fois d´erivable au voisinage d’un point peut ˆetre approxim´ee par une fonction polynˆome dont les coefficients d´ependent uniquement des d´eriv´ees de la fonction en ce point. 1
  8. 8. 1 2 Formules de Taylor 1.1 Fonctions de classe Cn : 1.1.1 Fonctions de classe C1 : D´efinition 1.1 : Soit I un intervalle ouvert, on dit que f : I → R est de classe C1 sur I si f est d´erivable sur I et f est une fonction continue sur I. Exemple 1.1 Pour quelles valeurs de α ∈ Q∗+ la fonction f : x → f (x) = |x|α sin(1 x ) si x = 0 0 si x = 0 est de classe C1 ? Correction de l’exercice 1.1 Le corrig´e voir s´erie TD N°5, exercice N°3. 1.1.2 Fonctions de classe Cn : D´efinition 1.2 : Soit I un intervalle ouvert, on dit que f : I → R est de classe Cn sur I, n entier sup´erieur ou ´egal `a 1, si f est n fois d´erivable sur I et f (n) est une fonction continue sur I. On dit que f est de classe C∞ sur I si toutes les d´eriv´ees de f existent et d´efinies sur I. On note Cn (I) l’espace vectoriel des fonctions n fois continˆument d´erivables sur I On note C∞ (I) l’ensemble des fonctions ind´efiniment d´erivables sur I. Remarque 1.1 : – Si f est de classe Cn , alors f est de classe Cp pour p n. – Si f est de classe C∞ , alors f est de classe Cn pour n ∈ N∗ . S M
  9. 9. 1.2 Formule de Taylor 3 1 Exemple 1.2 les fonctions polynˆomes et trigonom´etriques (sinus et cosinus) sont de classe Cn (R). En particulier (sinx)(n) = sin(x+ nπ 2 ) et (cosx)(n) = cos(x+ nπ 2 ) 1.2 Formule de Taylor Si f : [a,b] → R est une fonction continue sur [a,b], d´erivable en x0 ∈]a,b[, alors au voisinage de x0, f s’´ecrit : f (x) = f (x0)+(x− x0) f (x0)+εx0 (x) avec lim x→x0 εx0 (x) = 0 (1.2.1) On dit que f est approxim´ee par le polynˆome f (x0)+(x− x0) f (x0) de degr´e 1. La formule de Taylor permet d’approximer les fonctions de classe Cn par un poly- nˆome de degr´e n. Dans ce cas, f s’´ecrit : f (x) = f (x0)+(x−x0)f (x0)+ (x− x0)2 2! f (x0)+···+ (x− x0)n n! f (n) (x0)+Rn(x) avec lim x→x0 Rn(x) = 0 (1.2.2) Le reste Rn(x) varie suivant les conditions de d´erivabilit´e impos´ees `a f. De ce fait, il y a plusieurs formules de Taylor qui en d´ecoulent. Les formules de Taylor que nous allons ´etudier sont les cons´equences de la g´en´erali- sation du th´eor`eme des accroissements finis g´en´eralis´es. 1.2.1 Formule de Taylor avec reste généralisé Th´eor`eme 1.1 Soient f , g : [a,b] → R v´erifiant : 1. f ∈ Cn ([a,b]) et f (n) derivable sur ]a,b[. 2. g ∈ C([a,b]) et g derivable sur ]a,b[ tel que ∀x ∈]a,b[, g (x) = 0 Soit x0 ∈ [a,b], alors ∀x ∈ [a,b], x = x0, on a : f (x) = n k=0 (x− x0)k k! f (k) (x0)+ Rn(x0,x) avec lim x→x0 Rn(x0,x) = 0 (1.2.3) O`u Rn(x0,x) = f (n+1) (c)(x− c)n [g(x)− g(x0)] n! g (c) (1.2.4) c est strictement compris entre x et x0 D´emonstration 1 Supposons que x > x0 et consid´erons la fonction ϕ : [x0,x] → R t → ϕ(t) = f (x)− n k=0 f (k) (t)(x−t)k k! f ∈ Cn ([a,b]) et [x0,x] ⊂ [a,b] ⇒ ϕ continue sur [x0,x] S M
  10. 10. 1 4 Formules de Taylor f (n) derivable sur [a,b] donc sur [x0,x] ⇒ ϕ d´erivable sur ]x0,x[ et on a : ϕ (t) = − n k=0 f (k) (t)(x− t)k k! = n k=0 f (k) (t)k(x− t)k−1 k! − n k=0 f (k+1) (t)(x− t)k k! = 0+ f (t)+ f (2) (t)(x− t) 1! +···+ f (n) (t)(x− t)n−1 (n−1)! −f (t)− f (2) (t)(x− t) 1! −···− f (n) (t)(x− t)n−1 (n−1)! − f (n+1) (t)(x− t)n n! = − f (n+1) (t)(x− t)n n! De plus ϕ(x0) = f (x)− n k=0 f (k) (x0)(x− x0)k k! et ϕ(x) = f (x)−[f (x)+0+0+···+0] = 0 Le th´eor`eme des accroissements finis g´en´eralis´es appliqu´e `a ϕ et g dans l’inter- valle [x0,x] ∃c ∈]x0,x[ tel que ϕ(x)−ϕ(x0) g(x)− g(x0) = 0−ϕ(x0) g(x)− g(x0) = − f (n+1) (c)(x− c)n n!g (c) C’est `a dire : ϕ(x0) = f (n+1) (c)(x− c)n n!g (c) [g(x)− g(x0)] = Rn(x,x0) On d´eduit f (x) = n k=0 (x− x0)k k! f (k) (x0)+ Rn(x0,x) O`u Rn(x0,x) = ϕ(x0) = f (n+1) (c)(x− c)n [g(x)− g(x0)] n! g (c) avec c ∈]x0,x[ Mˆeme preuve si x < x0 Remarque 1.2 Le reste Rn(x0,x) d´epend de g, alors le choix de diverses fonctions g entraˆıne diverses formes du reste. 1.2.2 Formule de Taylor avec reste de Lagrange S M
  11. 11. 1.2 Formule de Taylor 5 1 Th´eor`eme 1.2 Soit f : [a,b] → R v´erifiant f ∈ Cn ([a,b]) et f (n) d´erivable sur ]a,b[ et soit x0 ∈ [a,b], alors ∀x ∈ [a,b], x = x0, on a : f (x) = n k=0 (x− x0)k k! f (k) (x0)+ (x− x0)n+1 (n+1)! f (n+1) (c) (1.2.5) O`u c est strictement compris entre x et x0 et Rn(x0,x) = (x− x0)n+1 (n+1)! f (n+1) (c) est le reste de Lagrange . D´emonstration 2 Il suffit de consid´erer dans le reste (7.2.4) du th´eor`eme (7.2.1) la fonction g : [x0,x] → R t → g(t) = (t− x)n+1 1.2.3 Formule de Taylor avec reste de Cauchy Th´eor`eme 1.3 Soit f : [a,b] → R v´erifiant f ∈ Cn ([a,b]) et f (n) derivable sur ]a,b[ et soit x0 ∈ [a,b], alors ∀x ∈ [a,b], x = x0, on a : f (x) = n k=0 (x− x0)k k! f (k) (x0)+ Rn(x0,x) (1.2.6) O`u, pour 0 < θ < 1 Rn(x0,x) = (x− x0)n+1 (1−θ)n n! f (n+1) (x0 +θ(x− x0)) est le reste de Cauchy D´emonstration 3 Il suffit de consid´erer dans le reste (7.2.4) du th´eor`eme (7.2.1) la fonction g : [x0,x] → R t → g(t) = t− x S M
  12. 12. 1 6 Formules de Taylor Th´eor`eme 1.4 Les r´esultats des th´eor`emes (7.2.3) et (7.2.4) sont v´erifi´es si f : I → R,o`u I in- tervalle quelconque de R et f ∈ C(n+1) (I). Soit x0 ∈ I, alors ∀x ∈ I, x = x0, on a : f (x) = n k=0 (x− x0)k k! f (k) (x0)+ Rn(x0,x) (1.2.7) O`u Rn(x0,x) ´etant le reste sous forme de Cauchy ou de Lagrange. D´emonstration 4 on revient aux hypoth`eses des th´eor`emes (7.2.3) et (7.2.4) si x, x0 ∈ I ⇒ ∃[a,b] ⊂ I telle que x, x0 ∈ [a,b] De plus f ∈ C(n+1) (I), alors f ∈ Cn ([a,b]) et f (n) derivable sur ]a,b[. Cas particulier : Si n = 0, alors f (x) = f (x0)+(x− x0)f (c) ⇒ f (x)− f (x0) = (x− x0)f (c), o`u c est stric- tement compris entre x et x0. C’est le T.A.F appliqu´e `a f sur [x0,x] qui un cas particulier de la formule de Taylor. Remarque 1.3 Autre ´ecriture de la formule de Taylor: Si on pose x−x0 = h alors x = x0+h, la formule de Taylor s’´ecrit f (x) = n k=0 f (k) (x0) k! hk + Rn(x0,x) avec 0 < θ < 1 (1.2.8) O`u Rn(x0,x) = hn+1 (n+1)! f (n+1) (x0 +θh) : Reste de Lagrange Rn(x0,x) = hn+1 (1−θ)n n! f (n+1) (x0 +θh) : Reste de Cauchy 1.2.4 Les notations de Landau Si on pose ε(x) = Rn(x0,x) (x−x0)n si x = x0 0 si x = x0 Alors Rn(x0,x) = (x− x0)n ε(x) avec lim x→x0 ε(x) = 0. O`u, avec la notation de Landau Rn(x0,x) = o (x− x0)n 1.2.5 Formule de Taylor avec reste de Young S M
  13. 13. 1.2 Formule de Taylor 7 1 Th´eor`eme 1.5 Soit f : [a,b] → R, x0 ∈ [a,b], supposons que f (n) (x0) existe, alors ∀x ∈ [a,b], x = x0, on a f (x) = n k=0 (x− x0)k k! f (k) (x0)+ o(x− x0)n (1.2.9) C’est la formule de Taylor avec le reste de Young, elle peut s’´ecrire f (x) = n k=0 (x− x0)k k! f (k) (x0)+(x− x0)n ε(x) avec lim x→x0 ε(x) = 0 (1.2.10) D´emonstration 6 On utilise le lemme suivant : S M
  14. 14. 1 8 Formules de Taylor Lemme 1.1 Soit F : [a,b] → R une fonction telle que, pour x0 ∈ [a,b] F(x0) = F (x0) = ··· = F(n) (x0) = 0 alors F(x0) = o(x− x0)n D´emonstration 6 On raisonne par r´ecurrence, n = 1, on a F d´erivable en x0 et F(x0) = F (x0) = 0, alors F diff´erentiable en x0, donc F(x) = F(x)− F(x0) = F (x0)(x− x0)+ o(x− x0) = o(x− x0) Supposons que la propri´et´e est vraie `a l’ordre n et soit F telle que F(n+1) (x0) existe et F(x0) = F (x0) = ··· = F(n+1) (x0) = 0 alors F(n) existe dans l’intervalle I contenant x0 et on a F (x0) = F (x0) = ··· = (F )(n) (x0) = 0 Par hypoth`ese de r´ecurrence, on peut dire : F (x) = o(x− x0)n ,∀x ∈ I. Le th´eor`eme des accroissements finis appliqu´e `a F sur [x0,x],x ∈ I, alors ∃c ∈]x0,x[: F(x)− F(x0) = F (c)(x− x0) ⇒ F(x) = o(c − x0)n (x− x0) Prouvons que F (x) = o(x− x0)n En effet, on sait que F (x) = o(c − x0)n c’est `a dire lim x→x0 | F (x) (c−x0)n | = 0 Or c − x0 = θ(x − x0) ⇒ (c − x0)n = θn (x − x0)n avec 0 < θ < 1 ⇒ 0 < θn < 1 ⇒ 1 θn > 1 Donc | F (x) θn(x−x0)n | > | F (x) (x−x0)n | passage `a la limite et du fait que F (x) = o(θn (x− x0)n ) : 0 lim x→x0 | F (x) (x− x0)n | lim x→x0 | F (x) θn(x− x0)n | = 0 ⇒ F (x) = o(x− x0)n Finalement : F(x) = o(c − x0)n (x− x0) = o(x− x0)n+1 D´emonstration du th´eor`eme (7.2.7), on pose Rn(x0,x) = f (x)− n k=0 (x− x0)k k! f (k) (x0) = f (x)− f (x0)+ (x− x0) 1! f (x0)+···+ (x− x0)n n! f (n) (x0) Calcul de la d´eriv´ee kieme au point x = x0 du polynˆome : f (x0)+ (x− x0) 1! f (x0)+···+ (x− x0)n n! f (n) (x0) (k) x=x0 = f (k) (x0) si k n 0 si k > n Rn v´erifie les hypoth`eses du lemme, donc Rn(x0,x) = o(x− x0)n S M
  15. 15. 1.3 Formule de Mac-Laurin 9 1 Remarque 1.4 La formule de Taylor avec reste de Lagrange (ou de Cauchy) a un caract`ere global (´etude de f sur un intervalle) alors que la formule de Taylor avec le reste de Young est d’un caract`ere local (´etude de f au voisinage d’un point x0) 1.3 Formule de Mac-Laurin Un cas particulier de la formule de Taylor, en posant x0 = 0 1.3.1 Formule de Mac-Laurin avec reste de Lagrange Si x0 = 0, la formule de Taylor (avec reste de Lagrange) devient f (x) = n k=0 f (k) (0) k! xk + xn+1 (n+1)! f (n+1) (θx), 0 < θ < 1 (1.3.1) qui est la formule de Mac-Laurin Lagrange. 1.3.2 Formule de Mac-Laurin avec reste de Young Th´eor`eme 1.6 x0 = 0, si f (n) (0) existe, alors la formule de Taylor (avec reste de Young) devient f (x) = n k=0 f (k) (0) k! xk + xn ε(x) avec lim x→0 ε(x) = 0 (1.3.2) 1.4 Exemples Soit f : x → f (x) = (1+ x)α avec x ∈]−1,+∞[ et α ∈ R ∀x ∈]−1,+∞[,1+ x = 0 ⇒ f (n) (0) existe ,∀n 0 De plus, f (k) (x) = α(α−1)(α−2)···(α− k +1)(1+ x)α−k Ainsi en x0 = 0 on a : f (k) (0) = α(α−1)(α−2)···(α− k +1) si k 1 D’o`u pour n 1 et x > −1, on a : (1+ x)α = 1+α+ α(α−1) 2! x2 +···+ α(α−1)(α−2)···(α− n+1) n! xn + rn(x) O`u rn(x) = α(α−1)(α−2)···(α− n) (n+1)! xn+1 (1+θx)α−n−1 avec 0 < θ < 1 : Reste de Lagrange rn(x) = xn+1 (1−θ)n n! f n+1 (θx) avec 0 < θ < 1 : Reste de Cauchy rn(x) = o(xn ) = xn ε(x) avec lim x→0 ε(x) = 0 : Reste de Young. S M
  16. 16. 1 10 Formules de Taylor Remarque 1.5 Si α = m ∈ N,alors (1+ x)m = 1+ mx+ m(m−1) 2! x2 +···+ m(m−1)(m−2)···2.1 m! xm car rm(x) = m(m−1)(m−2)···(m− m+1)(m− m) (m+1)! (1+θx)m−m−1 xm+1 = 0 C’est `a dire : (1+ x)m = m k=0 Ck mxk qui donne la formule du binˆome de Newton Cas particulier : α = −1, On a 1 1+ x = 1− x+ x2 − x3 +···(−1)n xn + rn(x) O`u rn(x) = (−1)n+1 (1+θx)−(n+2) xn+1 avec 0 < θ < 1 : Reste de Lagrange rn(x) = (−1)n+1 (n+1)(1−θ)n (1+θx)−(n+2) xn+1 avec 0 < θ < 1 : Reste de Cauchy rn(x) = o(xn ) = xn ε(x) avec lim x→0 ε(x) = 0 Reste de Young. De mˆeme : α = −1 et x < −1, en rempla¸cant x par −x, on aura 1 1− x = 1+ x+ x2 + x3 +··· xn + rn(x) O`u rn(x) = (1−θx)−(n+2) xn+1 avec 0 < θ < 1 : Reste de Lagrange rn(x) = (n+1)(1−θ)n (1−θx)−(n+2) xn+1 avec 0 < θ < 1 : Reste de Cauchy rn(x) = o(xn ) : Reste de Young. S M
  17. 17. Sommaire 2.1 Définitions 2.2 Développements limités des fonctions usuelles 2.3 Opérations sur les développements limités 2.4 Développements limités au voisinage d’un point et de l’infini 2.5 Développements limités généralisés 2.6 Application des développements limités Chapitre 2 Developpements Limités (DL) Cauchy a ´et´e le maˆıtre incontest´e de l’analyse dans la premi`ere moiti´e du XIXe si`ecle et son oeuvre a marqu´e un tournant dans l’histoire des math´ematiques. On lui doit notamment en analyse l’introduction des fonctions holomorphes et des crit`eres de convergence des suites et des s´eries enti`eres. Sa nouvelle th´eorie contenait en germe toute la th´eorie des fonctions; elle donne avec la plus grande facilit´e les conditions, pour qu’une fonction soit d´eveloppable par la formule de Taylor, sujet qu’on va ´etudier dans ce chapitre. Cauchy est `a l’origine des r´esultats obtenus ces derniers temps par d’illustres math´ematiciens. . William Henry Young L es formules de Taylor nous montraient que sous certaines conditions (existence de f (n) (x0)), une fonction f peut ˆetre approch´ee au voisinage de x0 par un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n, telle que : f (x) = Pn(x)+ o(xn ) Un tel polynˆome peut toutefois exister sans l’existence de f (n) (x0) et mˆeme sans que f ne soit continue en x0. C’est ce qu’on ´etudiera dans les d´eveloppements limit´es. 11
  18. 18. 2 12 Developpements Limités (DL) 2.1 Définitions D´efinition 2.1 Soit f une fonction, d´efinie au voisinage de 0, on dit que f admet un d´eveloppe- ment limit´e d’ordre n au voisinage de 0, s’il existe un intervalle ouvert I centr´e `a l’origine et des constantes a0,a1,··· ,an tel que ∀x ∈ I, x = 0, on ait : f (x) = a0 + a1x+ a2x2 +···+ anxn + xn ε(x) avec lim x→0 ε(x) = 0 (2.1.1) 1. Pn(x) = a0 + a1x+ a2x2 +···+ anxn est la partie r´eguli`ere du D.L 2. xn ε(x) = o(xn ) avec lim x→0 ε(x) = 0 est le reste ou le terme compl´ementaire. Exemple 2.1 ∀x = 1, f (x) = 1 1−x = 1+ x+ x2 + x3 +···xn + rn(x) Avec rn(x) = xn ε(x) = xn+1 1−x ⇒ ε(x) = x 1−x tel que lim x→0 ε(x) = lim x→0 x 1−x = 0 Remarque 2.1 1. Si le d´eveloppement limit´e de f au voisinage de 0 existe, alors lim x→0 f (x) existe. En effet f (x) = a0 + a1x+ a2x2 +···+ anxn + xn ε(x) avec lim x→0 ε(x) = 0 D’ou lim x→0 f (x) = a0 qui existe. Cela ne veut pas pour autant dire que f est continue en 0, car f (0) peut ne pas exister. 2. Si f (0) = a0, alors f est d´erivable en 0. En effet, f (x) = f (0)+ a1x+ a2x2 +···+ anxn + xn ε(x) avec lim x→0 ε(x) = 0 alors ∀x = 0, f (x)−f (0) x−0 = a1 + a2x+···+ anxn−1 + xn−1 ε(x) avec lim x→0 ε(x) = 0 D’o`u lim x→0 f (x)−f (0) x−0 = a1 = f (0) qui existe, alors f est d´erivable en 0. 2.1.1 Propriétés des développements limités Th´eor`eme 2.1 Unicit´e : Si f admet un d´eveloppement limit´e au v(0) d’ordre n, celui ci est unique. S M
  19. 19. 2.1 Définitions 13 2 D´emonstration 7 Supposons que f admet deux d´eveloppements limit´es diff´erents au voisinage de 0, alors ∀x ∈ I,x = 0, on peut ´ecrire : f (x) = a0 + a1x+ a2x2 +···+ anxn + xn ε1(x) avec lim x→0 ε1(x) = 0 f (x) = b0 + b1x+ b2x2 +···+ bnxn + xn ε2(x) avec lim x→0 ε2(x) = 0 La diff´erence des deux ´equations et le passage `a la limite quand x → 0, donne a0 = b0, (a1 − b1)x+(a2 − b2)x2 +···+(an − bn)xn = xn (ε2(x)−ε1(x)) (2.1.2) En divisant par x l’´equation (8.2.2) et passage `a la limite quand x → 0 donne a1 = b1. En appliquant le mˆeme proc´ed´e, on a a2 = b2 , a3 = b3 ···an = bn et ε1(x) = ε2(x) D’o`u l’unicit´e. Th´eor`eme 2.2 Parit´e : Si f admet un d´eveloppement limit´e au voisinage de 0 d’ordre n, alors : – si f est paire, sa partie r´eguli`ere est un polynˆome pair. – si f est impaire, sa partie r´eguli`ere est un polynˆome impair. D´emonstration 8 Supposons que f admet un d´eveloppement limit´e au voisinage de 0 : f (x) = a0 + a1x+ a2x2 +···+ anxn + xn ε(x) avec lim x→0 ε(x) = 0 f (−x) = a0 − a1x+ a2x2 +···+(−1)n anxn + xn ε (x) avec lim x→0 ε (x) = 0 D’apr`es la parit´e de f on a ∀x ∈ I,−x ∈ I : f (x) = f (−x) et de l’unicit´e du d´evelop- pement limit´e, on trouve ak = (−1)k ak pour 0 k n et ε(x) = (−1)n ε (−x) Tous les coefficients d’indice impair sont donc nuls. Mˆeme proc´ed´e si f est impaire, on trouve tous les coefficients d’indice pair sont nuls. Alors f (x) = a0 + a2x2 +···+ a2px2p + x2p ε(x) avec lim x→0 ε(x) = 0 si f est paire. f (x) = a1x+ a3x3 +···+ a2p+1x2p+1 + x2p+1 ε (x) avec lim x→0 ε (x) = 0 si f est impaire. S M
  20. 20. 2 14 Developpements Limités (DL) Th´eor`eme 2.3 Si f (n) (0) existe alors f admet le d´eveloppement limit´e suivant f (x) = n k=0 f (k) (0) k! xk + o(xn ) = f (0)+ x 1! f (0)+···+ xn n! f (n) (0)+ o(xn ) (2.1.3) D´emonstration 9 Mac-Laurin Young et l’unicit´e des DL ach`event la d´emonstration. 2.2 Développements limités des fonctions usuelles Si f (n) (0), I un intervalle centr´e en 0, alors f (x) = f (0)+ x 1! f (0)+···+ xn n! f (n) (0)+ o(xn ) (2.2.1) Par ce proc´ed´e, on obtient les d´eveloppements limit´es des fonctions usuelles (voir s´erie 7). Remarque 2.2 Si f admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n au voisinage de 0, alors f admet un d´eveloppement limit´e d’ordre p au voisinage de 0, ∀p n. D´emonstration 10 f (x) = a0 + a1x+···+ apxp + ap+1xp+1 +···+ anxn + xn ε(x) avec lim x→0 ε(x) = 0 f (x) = a0 + a1x+···+ apxp + xp ap+1x+···+ anxn−p + xn−p ε(x) f (x) = a0 + a1x+···+ apxp + xp ε (x) avec lim x→0 ε (x) = lim x→0 ap+1x+···+ anxn−p + xn−p ε(x) = 0 2.3 Opérations sur les développements limités Th´eor`eme 2.4 Soient f et g deux fonctions admettant des d´eveloppements limit´es d’ordre n au voisinage de 0, alors f + g, f g, f g si lim x→0 g(x) = 0 et la fonction compos´ee f og si g(0) = 0 admettent des d´eveloppements limit´es d’ordre n au voisinage de 0. De plus, si f (x) = Pn(x)+ o(xn ) et g(x) = Qn(x)+ o(xn ), alors – (f + g)(x) = (Pn +Qn)(x)+ o(xn ) – (f g)(x) = (Pn.Qn) n (x)+ o(xn ) o`u (Pn.Qn) n (x) est la troncature `a l’ordre n du S M
  21. 21. 2.3 Opérations sur les développements limités 15 2 produit. – f g (x) = Pn Qn n (x)+ o(xn ) o`u Pn Qn n (x) est la troncature `a l’ordre n de la division de Pn(x) par Qn(x) suivant les puissances croissantes. – (f og)(x) = (Pn(Qn(x)))n + o(xn ) o`u (Pn(Qn(x)))n est la troncature `a l’ordre n de la composition de Pn et de Qn en ne conservant que les puissances de x d’ordre inf´erieur ou ´egal `a n. D´emonstration 11 `a faire ? Exemple 2.2 D´evelopper `a l’ordre 5 la fonction f : x → tanx au voisinage de 0. f (x) = tanx = sinx cosx , alors sinx = x− x3 6 + x5 120 + o(x5 ) et cosx = 1− x2 2 + x4 24 + o(x5 ) lim x→0 cosx = 1 = 0, alors d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent, en effectuant la division des deux parties r´eguli`eres suivant les puissances croissantes, on obtient x− x3 6 + x5 120 1− x2 2 + x4 24 x− x3 2 + x5 24 x+ x3 3 + 2x5 15 x3 3 − x5 30 x3 3 − x5 6 + x7 72 2x5 15 − x7 72 d’o`u tanx = x+ x3 3 + 2x5 15 + o(x5 ) Exemple 2.3 D´evelopper `a l’ordre 5 la fonction f : x → ecosx au voisinage de 0. On a f (x) = ecosx = e.ecosx−1 = e.g(x) avec g(x) = ecosx−1 = (uov)(x) avec u(x) = ex et v(x) = cosx−1 telle que v(0) = 0 On a bien : v(x) = cosx−1 = − x2 2 + x4 24 + o(x5 ) et u(x) = ex = 1+ x+ x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + o(x5 ) d’o`u, en substituant dans la partie r´eguli`ere du d´eveloppement de u la partie r´eguli`ere de v et en ne conservant que les puissances de x d’ordre inf´erieur ou ´egal `a 5, on obtient ecosx−1 = 1− x2 2 + x4 6 + o(x5 ) d’o`u ecosx = e − e x2 2 + e x4 6 + o(x5 ) 2.3.1 Integration S M
  22. 22. 2 16 Developpements Limités (DL) Th´eor`eme 2.5 Si f est une fonction int´egrable sur [−a,+a] et admet un d´eveloppement li- mit´e d’ordre n au voisinage de 0 suivant f (x) = a0 + a1x + a2x2 + ··· + anxn + xn ε(x) avec lim x→0 ε(x) = 0; alors ∀x ∈ [−a,+a],F : x → x 0 f (t)dt admet un d´eve- loppement limit´e d’ordre (n+1) au voisinage de 0 suivant : f (x) = a0x+ a1 x2 2 + a2 x3 3 +···+ an xn+1 n+1 + xn+1 η(x) avec lim x→0 η(x) = 0 D´emonstration 12 attendre des journ´ees meilleures ! 2.3.2 Dérivation Th´eor`eme 2.6 Si f est d´erivable sur [−a,+a] admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n au voisinage de 0 et si sa d´eriv´ee f admet un d´eveloppement limit´e d’ordre (n−1) au voisinage de 0, alors la partie r´eguli`ere du d´eveloppement limit´e de la fonction d´eriv´ee f est la d´eriv´ee de la partie r´eguli`ere du d´eveloppement limit´e de la fonction f . D´emonstration 13 attendre des journ´ees meilleures ! Remarque 2.3 Attention : – Si f admet un D.L. ne signifie pas que f existe. – Si f admet un D.L. au voisinage de 0 `a l’ordre n 1 et si f existe; on ne peut pas conclure que f admet un D.L. d’ordre (n−1). Contre exemple, soit f : x → f (x) = x2 sin(1 x ) si x = 0 0 si x = 0 f est d´erivable sur R, donc en 0 et f admet un d´eveloppement limit´e d’ordre 1 en 0, mais f n’a pas de limite en 0, ainsi f n’admet pas de DL en 0 2.3.3 Exemples d’application Soit f : x → f (x) = 1 1− x = 1+ x+ x2 +···+ xn + o(xn ) D´erivation : f (x) = 1 (1− x)2 = 1+2x+3x2 +···+ nxn−1 + o(xn−1 ) S M
  23. 23. 2.4 Développements limités au voisinage d’un point et de l’infini 17 2 Int´egration : ln(x−1) = x− x2 2 + x3 3 −···+(−1)n xn+1 n+1 + o(xn+1 ) 2.4 Développements limités au voisinage d’un point et de l’infini D´efinition 2.2 On dit que f d´efinie au voisinage d’un point x0, sauf peut ˆetre en x0, admet au voisinage de ce point un DL d’ordre n si F(X) = f (x0 + X) admet un d´eveloppe- ment limit´e d’ordre n au voisinage de o. Le D´eveloppement limit´e de f au voisinage de x0 se ram`ene `a d´eveloppement limit´e au voisinage de 0, en posant x = x0 + X. Exemple 2.4 D´evelopper `a l’ordre n la fonction f : x → ex au voisinage de 1. On pose x = 1+ X, on obtient f (1+ X) = e1+X = e.eX = e 1+ X + X2 2! + X3 3! +···+ Xn n! + o(Xn ) = e 1+(x−1)+ (x−1)2 2! + (x−1)3 3! +···+ (x−1)n n! + o((x−1)n ) D´efinition 2.3 On dit que f d´efinie au voisinage de ∞, est dite admettre un d´eveloppement limit´e d’ordre n au voisinage de l’infini si f ( 1 X ) = F(X) admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n au voisinage de o. Le d´eveloppement limit´e de f au voisinage de l’infini, se ram`ene `a un d´eveloppement limit´e au voisinage de 0, en posant x = 1 X . Exemple 2.5 D´evelopper `a l’ordre 2 la fonction f : x → x2 −1 x2+2x au voisinage de +∞. f est d´efinie si ∀x = 0 et x = −2 ⇒ f d´efinie au voisinage de +∞. f ( 1 X ) = 1 X2 −1 1 X2 + 2 X = (1− X2 )X2 X2(1+2X) = 1− X2 1+2X qui admet un d´eveloppement limit´e d’ordre 2 au voisinage de 0, car lim x→0 (1+2X) = 1 = 0, on a alors apr`es une division suivant les puissances croissantes f ( 1 X ) = 1−2X + 3X2 + o(X2 ), en posant x = 1 X , on obtient le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 de f au voisinage de +∞ : f (x) = 1− 2 x + 3 x2 + o( 1 x2 ) S M
  24. 24. 2 18 Developpements Limités (DL) 2.5 Développements limités généralisés Soit f une fonction d´efinie au voisinage de 0, sauf peut ˆetre en 0, supposons que f n’admet pas de d´eveloppement limit´e au voisinage de 0, mais qu’il existe α > 0 telle que xα f (x) admette un d´eveloppement limit´e d’ordre n au voisinage de 0, alors pour x = 0, on a : xα f (x) = a0 + a1x+···+ anxn + o(xn ) Il s’ensuit : f (x) = x−α a0 + a1x+···+ anxn + o(xn ) on dit qu’on a obtenu un d´eveloppement limit´e g´en´eralis´e de f au voisinage de 0. Exemple 2.6 1. f (x) = x+ x2 = x 1+ x = x 1+ x = x 1 2 1+ x 2 − x4 8 + o(x4 ) 2. f (x) = cotanx = cosx sinx , on a lim x→0 cotanx n’existe pas, par contre lim x→0 xcotanx = 1, alors xcotanx = cosx sinx x = 1− x2 2 + x4 24 +o(x4 ) 1− x2 6 + x4 120 +o(x4) = 1− x2 3 − x4 45 + o(x4 ) On d´eduit le DL au v(0) de cotanx = 1 x − x 3 − x3 45 + o(x3 ) 3. f (x) = 1 x−x2 n’admet pas de d´eveloppements limit´es au (0), mais xf (x) = 1 1−x admet un d´eveloppement limit´e au (0). 2.6 Application des développements limités 2.6.1 Aux graphiques des fonctions Si f est une fonction qui admet au voisinage de l’infini un d´eveloppement limit´e g´en´eralis´e suivant f (x) = αx+β+o( 1 xp ). Alors le graphe de f admet la droite y = αx+β comme asymptote car lim x→+∞ f (x)−(αx+β) = 0 De plus, si lim x→+∞ f (x)−(αx+β) = 0+ alors la courbe repr´esentative de f est au dessus de l’asymptote. Et, si lim x→+∞ f (x)−(αx+β) = 0− alors la courbe repr´esentative de f est au dessous de l’asymptote. 2.6.2 Au calcul des limites Par exemple, chercher l = lim x→0 x(1+cosx)−2tanx 2x−sinx−tanx Forme ind´etermin´ee de la forme 0 0, on a les d´eveloppements limit´es sinx = x− x3 6 + o(x3 ) , cosx = 1− x2 2 + o(x2 ) , tanx = x+ x3 3 + o(x3 ) S M
  25. 25. 2.6 Application des développements limités 19 2 Donc l = lim x→0 x(1+1− x2 2 + o(x2 ))−2(x+ x3 3 + o(x3 )) 2x− x+ x3 6 − x− x3 3 + o(x3) = lim x→0 −7 6 x3 + o(x3 ) −1 6 x3 + o(x3) = 7 S M
  26. 26. 2 20 Developpements Limités (DL) S M
  27. 27. Sommaire 3.1 Définition d’une subdivision 3.2 Définition d’une fonction en escalier "étagée" 3.3 Sommes de Darboux 3.4 Propriétés de l’intégrale de Riemann 3.5 Exercices : 3.6 Solution Chapitre 3 Integrales de Riemann 3.1 Définition d’une subdivision D´efinition 3.1 1. Une subdivision d’ordre n d’un intervalle [a,b] est une suite finie et crois- sante d = {xk} tel que 0 k n avec a = x0 < x1 < ··· < xn−1 < xn = b. 2. Pas de la subdivision: c’est |d| = max 0 k n−1 (xk+1 − xk) 3. Subdivision ´equidistante (r´eguli`ere) : Lorsque le pas est constant h = b−a n alors xk = a+ kh avec 0 k n, on parle de subdivision ´equidistante d’ordre n de [a,b]. On notera Sa,b l’ensemble des subdivisions de l’intervalle [a,b]. 3.2 Définition d’une fonction en escalier "étagée" D´efinition 3.2 f : [a,b] → R est dite en escalier s’il existe une subdivision d = {xk}0 k n de [a,b] tel que : ∀k : 0 k n,∀x ∈]xk,xk+1[: f (x) = λk constante d est dite alors subdivision associ´ee `a f sur [a,b]. On note E [a,b] l’ensemble des fonctions en escalier sur [a,b] 21
  28. 28. 3 22 Integrales de Riemann D´efinition 3.3. Int´egrale d’une fonction en escalier Soit f ∈ E [a,b] et d = {xk}0 k n la subdivision associ´ee `a f sur [a,b], le nombre I(f ) = n−1 k=0 λk(xk+1 − xk) not´e f (x)dx est appel´e int´egrale de f sur [a,b] Proposition 3.1 a < b < c , f : [a, c] → R : f ∈ E [a, c] ⇐⇒ f|[a,b] ∈ E [a,b] et f|[b,c] ∈ E [b, c] c a f (x)dx = b a f (x)dx+ c b f (x)dx Proposition 3.2. Lin´earit´e ∀α,β ∈ R,∀f , g ∈ E [a,b] ⇒ b a (αf +βg)(x)dx = α b a f (x)dx+β b a g(x)dx D´emonstration 14 Prendre la subdivision d(αf +βg) = df ∪ dg et ´ecrire les int´egrales. Proposition 3.3 Si f , g ∈ E [a,b] alors : 1. f 0 =⇒ b a f (x)dx 0 2. f g =⇒ b a f (x)dx b a g(x)dx 3. |f | ∈ E [a,b] et | b a f (x)dx| b a |f (x)|dx D´emonstration 15 1. f (x) = λk 0 sur [xk,xk+1] =⇒ b a f (x)dx = n−1 k=0 λk(xk+1 − xk) 0 2. De la 1°, g − f 0 =⇒ b a (g − f )(x)dx 0 =⇒ b a f (x)dx b a g(x)dx 3. On a −|f | f +|f | et d’apr`es 2° : − b a |f (x)|dx b a f (x)dx + b a |f (x)|dx d’o`u le r´esultat | b a f (x)dx| b a |f (x)|dx. S M
  29. 29. 3.3 Sommes de Darboux 23 3 Proposition 3.4 Si f ∈ E [a,b] alors (b − a) inf x∈[a,b] f (x) b a f (x)dx (b − a) sup x∈[a,b] f (x) D´emonstration 16 f est une fonction ´etag´ee donc M = sup f (x) et m = inf(x) existent sur [a,b], alors m f M. D’o`u le r´esultat d’apr`es le 2° de la proposition pr´ec´edente. Soit f 0 sur [a,b], la somme : n−1 k=0 λk(xk+1 − xk) = b a f (x)dx représente l’aire du domaine D = {(x, y) ∈ R2 : a x b , 0 y f (x)} 3.3 Sommes de Darboux D´efinition 3.4 Soit f : [a,b] → R une fonction born´ee. La somme de Darboux inf´erieure s(f ,d) et la somme de Darboux sup´erieure S(f ,d) de f relativement `a une subdivision d = {x0,x1,··· ,xn} sont d´efinies par : S(f ,d) = n−1 k=0 hk sup x∈[xk,xk+1] f (x) et s(f ,d) = n−1 k=0 hk inf x∈[xk,xk+1] f (x) O`u hk = xk+1 − xk est la longueur du ke sous-intervalle Ik = [xk,xk+1]. Somme de Darboux Inf´erieure. Somme de Darboux Sup´erieure. S M
  30. 30. 3 24 Integrales de Riemann D´efinition 3.5. Fonctions Riemann - int´egrables La fonction f est Riemann-int´egrable sur [a,b] si et seulement si les deux nombres suivants co¨ıncident sb a(f ) = sup d∈Sa,b s(f ,d) , Sb a(f ) = inf d∈Sa,b S(f ,d) Ce nombre commun est alors appell´e int´egrale de Riemann de f de a `a b, not´e b a f (x)dx On note I[a,b] l’ensemble des fonctions Riemann - intégrables sur [a,b]. Proposition 3.5. Crit`ere d’int´egrabilit´e de Riemann : 1. Une fonction f est Riemann-int´egrable sur [a,b] si et seulement si ∀ε > 0, il existe une subdivision d ∈ Sa,b telle que S(f ,d)− s(f ,d) < ε. 2. Une fonction f est Riemann-int´egrable sur [a,b] si et seulement si ∀ε > 0, ∃ϕ,ψ ∈ E [a,b] telle que ϕ f ψ et b a (ψ−ϕ)(x)dx < ε. Exemple 3.1 Soit la fonction de Dirichlet : χ(x) = 1 si x ∈ Q 0 si x ∉ Q on a ∀d ∈ Sa,b : S(f ,d) = b−a et s(f ,d) = 0, donc χ n’est pas Riemann-int´egrable Th´eor`eme 3.1 Sur [a,b], toute fonction born´ee et monotone est Riemann-int´egrable. D´emonstration 17 Si f est born´ee, le sup et inf sont atteints au bord de chaque sous-intervalle Ik. On a donc : S(f ,d)− s(f ,d) = n k=1 hk|f (xk)− f (xk−1)| |d||f (xn)− f (x0)| = |d||f (b)− f (a)| Il suffit donc de choisir le pas de la subdivision assez petit, |d| < ε |f (b)−f (a)| , pour que ceci soit inf´erieur `a un ε donn´e, d’o`u l’int´egrabilit´e d’apr`es le crit`ere de Riemann. 3.3.1 Somme de Riemann S M
  31. 31. 3.3 Sommes de Darboux 25 3 D´efinition 3.6 1. On appelle subdivision point´ee associ´ee `a f sur [a,b] le couple (d,ξ) o`u d = (x0,··· ,xn) subdivision de [a,b] et ξ = (ξ1,··· ,ξn) v´erifie ξk ∈ [xk−1,xk], ∀k = 1,n. 2. On appelle somme de Riemann associ´ee `a la subdivision point´ee (d,ξ) S(f ,d,ξ) = n k=1 (xk − xk−1)f (ξk) = n k=1 f (ξk)hk avec hk = xk − xk−1 De plus, on a b a f (x)dx = lim |d|−→0 S(f ,d,ξ) = lim n−→+∞ n k=1 f (ξk)hk C’est de cette dernière écriture que provient la notation f (x)dx Figure 3.1: Somme de Riemann. Th´eor`eme 3.2 Si f ∈ I[a,b], alors les sommes de Riemann S(f ,d,ξ) tendent vers f (x)dx, ind´ependamment du choix des ξk, lorsque la subdivision devient de plus en plus fine S M
  32. 32. 3 26 Integrales de Riemann D´emonstration 18 Par d´efinition, il est ´evident que s(f ,d) S(f ,d,ξ) S(f ,d). Soit f ∈ I[a,b] et d tel que S(f ,d)−s(f ,d) < ε. Alors on a aussi S(f ,d,ξ)−sb a < ε, quel que soit le choix des ξk, et `a fortiori pour tout d ⊃ d. D’o`u le r´esultat. 3.4 Propriétés de l’intégrale de Riemann D´efinition 3.7 Pour b < a, on d´efinit b a f (x)dx = − a b f (x)dx Et pour : b = a, a a f (x)dx = 0 Th´eor`eme 3.3 Relation de Chasles : soit a c b. Alors on a : f ∈ I[a,b] ⇔ f ∈ I[a, c]∧ f ∈ I[c,b] Et de plus : b a f (x)dx = c a f (x)dx+ b c f (x)dx D´emonstration 19 D’une part : f ∈ I[a,b] ⇒ ∀ε > 0,∃ϕ,ψ ∈ E [a,b] telle que ϕ f ψ et 0 c a (ψ−ϕ)(x)dx < ε Mais b a (ψ−ϕ)(x)dx = c a (ψ−ϕ)(x)dx+ b c (ψ−ϕ)(x)dx < ε Donc c a (ψ−ϕ)(x)dx < ε et b c (ψ−ϕ)(x)dx < ε ⇒ f ∈ I[a, c]∧ f ∈ I[c,b] Et, d’autre part, pour d = d1 ∪ d2 : c a f (x)dx = lim |d|−→0 S(f ,d,θ) O`u d1 = {a = x0,x1,...,xk = c} et d2 = {c = xk,xk+1,...,xn = b} On obtient S(f ,d,θ) = S(f ,d1,θ)+ S(f ,d2,θ) c`ad : b a f (x)dx = c a f (x)dx+ b c f (x)dx S M
  33. 33. 3.4 Propriétés de l’intégrale de Riemann 27 3 Proposition 3.6 Lin´earit´e : ∀α,β ∈ R,∀f , g ∈ I[a,b] : αf +βg ∈ I[a,b] et b a (αf (x)+βg(x))dx = α b a f (x)dx+β b a g(x)dx D´emonstration 20 Les sommes de Riemann, S(αf +βg,d,θ) = αS(f ,d,θ)+βS(g,d,θ) dont la lin´earit´e est ´evidente, nous donne, par passage `a la limite quand |d| −→ 0, le r´esultat souhait´e. Proposition 3.7 Soient f , g ∈ I[a,b] et a < b 1. f 0 ⇒ b a f (x)dx 0 2. f g ⇒ b a f (x)dx b a g(x)dx 3. |f | ∈ I[a,b] et b a f (x)dx b a |f (x)|dx 4. m = inf x∈[a,b] f (x),M = sup x∈[a,b] f (x), g 0 ⇒ m b a g(x)dx b a f (x)g(x)dx M b a g(x)dx D´emonstration 21 1. f 0 ⇒ ∀d ∈ Sa,b : s(f ,d) 0 et s(f ,d) b a f (x)dx 2. f g ⇒ d’apr`es 1° g− f 0 ⇒ b a (g− f )(x)dx 0 ⇒ b a f (x)dx b a g(x)dx 3. −|f | f |f | ⇒ d’apr`es 2° − |f | f |f | ⇒ f |f | 4. On a : m = inf x∈[a,b] f (x) f (x) M = sup x∈[a,b] f (x), d’apr`es 2°, : m(b − a) b a f (x)dx M(b − a), on aura : m b a g(x)dx = b a m.g(x)dx b a f (x)g(x)dx b a M.g(x)dx = M b a g(x)dx S M
  34. 34. 3 28 Integrales de Riemann Th´eor`eme 3.4 Th´eor`eme de la moyenne : Si f est continue de [a,b] → R Alors ∃c ∈ [a,b] : 1 b − a b a f (x)dx moyenne de f sur [a,b] = f (c) D´emonstration 22 a = b = 0 ⇒ 0 = 0 a < b ⇒ d’apr`es 4° pour g = 1,m = inf x∈[a,b] f (x) 1 b−a b a f (x)dx M = sup x∈[a,b] f (x) D’apr`es le TVI: ∃c ∈ [a,b] : 1 b−a b a f (x)dx = f (c) S M
  35. 35. 3.5 Exercices : 29 3 3.5 Exercices : Exercice 3.1 1. Calculer par d´efinition (limite des sommes de Darboux) les int´egrales : Ik = 1 0 xk dx pour k = 1 et k = 2, en utilisant des subdivisions ´equidis- tantes de [0,1]. 2. Soit ϕ(x) = 1+x2 sinx e−t2 dt. Montrer que ϕ est bien d´efinie puis calculer ϕ (x)˜ Exercice 3.2 Soit f la fonction d´efinie sur [0,3] par f (x) =    −1 si x = 0 1 si 0 < x < 1 3 si x = 1 −2 si 1 < x 2 4 si 2 < x 3 1. Calculer I = 3 0 f (t)dt Indication : utiliser la subdivision d = {x0 = 0,x1 = 1,x2 = 2,x3 = 3} de l’intervalle [0,3]. 2. Soit x ∈ [0,3], calculer F(x) = x 0 f (t)dt Exercice 3.3 Pour n ∈ N∗ , en utilisant les int´egrales, calculer les limites des suites 1. Un = n−1 k=0 n (n+ k)2 2. Vn = n−1 k=0 1 (n+ k) 3. Wn = n n−1 k=0 1 k2 + n2 4. Pn = n k=1 (1+ k2 n2 )1/n 5. Sn = n k=1 1 n2 +2kn S M
  36. 36. 3 30 Integrales de Riemann 3.6 Solution Correction de l’exercice 3.1 La fonction f : x → xk est croissante et continue sur R+ ,∀k ∈ N∗ , donc elle est Riemann- int´egrable, c’est `a dire que les sommes de Riemann et de Darboux co¨ıncident avec Ik quand n → +∞. En utilisant une subdivision r´eguli`ere de l’intervalle [0,1], de pas h = 1 n , on obtient les sommes : sn = n−1 i=0 1 n i n k ; Sn = n i=1 1 n i n k = sn + 1 n Pour k = 1, on connait la somme de la suite arithm´etique : n i=1 i = 1 2 n(n+1) Donc Sn = 1 n2 n i=1 i = 1 2 1+ 1 n Passage `a la limite I1 = 1 0 x1 dx = lim n→+∞ Sn = 1 2 Pour k = 2, on connait la somme de 1 `a n des carr´es : n i=1 i2 = 1 6 n(n+1)(2n+1) D’o`u Sn = 1 n3 n i=1 i2 = 1 6 n(n+1)(2n+1) n3 Passage `a la limite I2 = 1 0 x2 dx = lim n→+∞ Sn = 1 3 Correction de l’exercice 3.2 Soit f la fonction d´efinie sur [0,3] par f (x) =    −1 si x = 0 1 si 0 < x < 1 3 si x = 1 −2 si 1 < x 2 4 si 2 < x 3 1. La fonction f est born´ee sur [0,3], soit d = {x0 = 0,x1 = 1,x2 = 2,x3 = 3} une subdivision r´eguli`ere de l’intervalle [0,3] de pas constant h = xk+1 − xk = 1. La somme de Darboux inf´erieure est s(f ,d) = 2 k=0 mk(xk+1 − xk) = 1+(−2)+4 = 3 avec mk = inf [xk,xk+1] f (x) S M
  37. 37. 3.6 Solution 31 3 La somme de Darboux sup´erieure S(f ,d) = 2 k=0 Mk(xk+1 − xk) = 1+(−2)+4 = 3 avec Mk = sup [xk,xk+1] f (x) On remarque que sup f et inf f sont atteints et ´egaux sur chaque intervalle partiel [xk,xk+1] ,k = 0,1,2 de la subdivision d et de toute autre subdivision plus fine que d. On a ∀ε > 0 : S(f ,d)− s(f ,d) = 3−3 = 0 < ε, donc f est Riemann-int´egrable sur [0,3], de plus I = 3 0 f (t)dt = s(f ,d) = S(f ,d) = 3 La valeur d’une intégrale ne dépend pas de la valeur de la fonction en un point, c’est à dire les valeurs de f en x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2 et x3 = 3 n’ont aucune influence sur le calcul de I. On peut aussi utiliser le théorème de Riemann-Darboux. 2. De mˆeme que pr´ec´edemment, au lieu d’int´egrer jusqu’`a 3 on s’arrˆete `a x; Soit F(x) =    x si 0 x 1 3−2x si 1 < x 2 −9+4x si 2 < x 3 Correction de l’exercice 3.3 Soit n ∈ N∗ , pour une fonction f Riemann-int´egrable sur [0,1] et en prenant une subdivision r´eguli`ere de l’intervalle [0,1], on a 1 0 f (x)dx = lim n→+∞ n−1 k=0 1 n f ( k n ) On obtient les limites des sommes suivantes : 1. ´Etudions lim n→+∞ Un = lim n→+∞ n−1 k=0 n (n+ k)2 = lim n→+∞ 1 n n−1 k=0 1 1+ k n 2 Il suffit de consid´erer l’application f d´efinie sur [0,1] par f (x) = 1 (1+ x)2 Alors on a : lim n→+∞ Un = 1 0 1 (1+ x)2 dx = −1 1+ x 1 0 = 1 2 2. ´Etudions lim n→+∞ Vn = lim n→+∞ n−1 k=0 1 (n+ k) = lim n→+∞ 1 n n−1 k=0 1 1+ k n Il suffit de consid´erer l’application f d´efinie sur [0,1] par f (x) = 1 (1+ x) Alors on a lim n→+∞ Vn = 1 0 1 (1+ x) dx = [ln(1+ x)]1 0 = ln2 S M
  38. 38. 3 32 Integrales de Riemann 3. ´Etudions lim n→+∞ Wn = lim n→+∞ n n−1 k=0 1 n2 + k2 = lim n→+∞ 1 n n−1 k=0 1 1+ k2 n2 Il suffit de consid´erer l’application f d´efinie sur [0,1] par f (x) = 1 (1+ x2) Alors on a : lim n→+∞ Wn = 1 0 1 (1+ x2) dx = [arctanx]1 0 = π 4 4. ´Etudions lim n→+∞ Pn = lim n→+∞ n k=1 1+ k2 n2 1/n On a lnPn = ln n k=1 1+ k2 n2 1/n = 1 n n k=1 ln 1+ k2 n2 Il suffit de consid´erer l’application f d´efinie sur [0,1] par f (x) = ln(1+ x2 ) Alors on a : lim n→+∞ lnPn = lim n→+∞ 1 n n k=1 ln 1+ k2 n2 = 1 0 ln(1+ x2 )dx = 2arctanx−2x+ xln(1+ x2 ) 1 0 π 2 +ln2−2 On d´eduit lim n→+∞ Pn = e(ln2+ π 2 −2) = 2e(π 2 −2) 5. ´Etudions lim n→+∞ Sn = lim n→+∞ n k=1 1 n2 +2kn = lim n→+∞ 1 n n k=1 1 1+2 k n Il suffit de consid´erer l’application f d´efinie sur [0,1] par f (x) = 1 1+2x Alors on a : lim n→+∞ Sn = 1 0 1 1+2x dx = 1+2x 1 0 = 3−1 S M
  39. 39. Sommaire 4.1 Définition d’une primitive 4.2 Intégrales indéfinies : 4.3 Tableau des intégrales indéfinies élémen- taires 4.4 Intégration par Changement de variables 4.5 Intégration par parties 4.6 Intégration des fonctions rationnelles 4.7 Intégration des fonctions irrationnelles : 4.8 Intégration des fonctions trigonométriques 4.9 Intégration des fonctions hyperboliques 4.10 Exercice 4.11 Solution Chapitre 4 Calcul Intégral 4.1 Définition d’une primitive D´efinition 4.1 Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b]. On cherche une fonction F d´erivable sur [a,b] appel´ee primitive de f telle que : ∀x ∈ [a,b] : F (x) = f (x) Exemple 4.1 la fonction 3x2 a comme primitive la fonction x3 . La fonction primitive n’est pas unique, il existe une infinité de primitives. Si F est une primitive de f sur [a,b], alors ∀C ∈ R la fonction F+C l’est également, C est appelée constante arbitraire. 4.2 Intégrales indéfinies : D´efinition 4.2 On appelle int´egrale ind´efinie d’une fonction f toute primitive de f , et on note : f (x)dx Si F est une primitive de f ; en vertu de la d´efinition de l’int´egrale, on peut ´ecrire : f (x)dx = F(x)+C O`u C est une constante arbitraire. 33
  40. 40. 4 34 Calcul Intégral 4.3 Tableau des intégrales indéfinies élémentaires Sachant que : dF(x) = f (x)dx =⇒ f (x)dx = F(x)+C (4.3.1) On v´erifie par d´erivation (r`egle de chaˆıne !) que : u (x)f (u(x)) dx = F(u(x))+ K On obtient le tableau suivant des primitives fondamentales : ex dx = ex + c sur R et u eu = eu +C cosx dx = sinx+ c sur R sinx dx = −cosx+ c sur R xn dx = xn+1 n+1 + c (n ∈ N) sur R xα dx = xα+1 α+1 + c (α ∈ R{−1}) sur ]0,+∞[ 1 x dx = ln|x|+ c sur Rr∗ et u u = ln|u|+C dx cos2 x = tanx+C et dx sin2 x = −cotx+C dx cosh2 x = tanhx+C et dx sinh2 x = −cothx+C shx dx = chx+ c, chx dx = shx+ c sur R dx 1+x2 = arctanx+ c sur R et u 1+u2 = arctanu + c sur I dx 1−x2 = arcsinx+ c π 2 −arccosx+ c sur ]−1,1[ u 1−u2 = arcsinu + c avec u : I →]−1,1[ dx x2+1 = argshx+ c ln x+ x2 +1 + c sur R dx x2−1 = argchx+ c ln x+ x2 −1 + c sur x ∈]1,+∞[ dx 1−x2 = 1 2 ln|1+x 1−x |+C ∀x : |x| = 1 S M
  41. 41. 4.4 Intégration par Changement de variables 35 4 Remarque 4.1 Par contre, les int´egrales suivantes ne sont pas int´egrables en utilisant les m´e- thodes ´el´ementaires d’int´egration : e−x2 dx: int´egrale de Poisson cosx2 dx; sinx2 dx : int´egrales de Fresnel 1 lnx dx; cosx x dx; cosx x dx 4.4 Intégration par Changement de variables Th´eor`eme 4.1 Soit f : I → R et ϕ : J → I une bijection C 1 , pour tout a,b ∈ J ϕ(b) ϕ(a) f (x) dx = b a f ϕ(t) ·ϕ (t) dt Le changement de variable se fait comme suit : x = ϕ(t) =⇒ dx dt = ϕ (t) =⇒ dx = ϕ (t) dt =⇒ ϕ(b) ϕ(a) f (x) dx = b a f (ϕ(t)) ϕ (t) dt Exemple 4.2 Calcul de 1/2 0 x (1− x2)3/2 dx – Changement de variable u = ϕ(x) = 1− x2 – Alors du = ϕ (x) dx = −2x dx – Pour x = 0 on a u = ϕ(0) = 1 – Pour x = 1 2 on a u = ϕ(1 2) = 3 4 1/2 0 x dx (1− x2)3/2 = 3/4 1 −1 2 du u3/2 = −1 2 3/4 1 u−3/2 du = −1 2 −2u−1/2 3/4 1 = 1 u 3/4 1 = 1 3 4 −1 = 2 3 −1 S M
  42. 42. 4 36 Calcul Intégral 4.5 Intégration par parties Th´eor`eme 4.2 Soient u et v deux fonctions de classe C 1 sur un intervalle [a,b] b a u(x)v (x) dx = uv b a − b a u (x)v(x) dx Et, sans bornes d’int´egrations u(x)v (x) dx = uv− u (x)v(x) dx+C G´en´eralement, si f , g sont de classe C n sur I, on a l’´egalit´e : f (x)g(n) (x)dx = n−1 k=0 (−1)k f (k) (x)g(n−1−k) (x)+(−1)n f (n) (x)g(x)dx Exemple 4.3. Calcul de 1 0 xex dx 1 0 xex dx = 1 0 u(x)v (x) dx = u(x)v(x) 1 0 − 1 0 u (x)v(x) dx = xex 1 0 − 1 0 1· ex dx = 1· e1 −0· e0 − ex 1 0 = e −(e1 − e0 ) = 1 u = x u = 1 v = ex v = ex Exemple 4.4. Calcul de arcsinx dx 1·arcsinx dx = xarcsinx − x 1− x2 dx = xarcsinx − − 1− x2 = xarcsinx+ 1− x2 + c u = arcsinx, v = 1 (donc u = 1 1−x2 et v = x) Les intégrales suivantes se calculent par parties eax sinbxdx; eax cosbxdx; Pnx    eax sinbx cosbx    dx S M
  43. 43. 4.6 Intégration des fonctions rationnelles 37 4 4.6 Intégration des fonctions rationnelles Une fraction rationnelle P(x) Q(x) se d´ecompose comme somme d’un polynˆome et d’´el´e- ments simples A (x−x0)k ou Bx+D (ax2+bx+c)k 1. Int´egration de l’´el´ement simple A (x−x0)k – Si k = 1 alors A dx x−x0 = Aln|x− x0|+ c – Si k 2, A dx (x−x0)k = A (x− x0)−k dx = A −k+1(x− x0)−k+1 + c 2. Int´egration de l’´el´ement simple Bx+D (ax2+bx+c)k = L 2ax+b (ax2+bx+c)k + M 1 (ax2+bx+c)k – 2ax+b (ax2+bx+c)k dx = u (x) u(x)k dx = 1 −k+1 u(x)−k+1 + c = 1 −k+1(ax2 + bx+ c)−k+1 + c – Si k = 1, calcul de 1 ax2+bx+c dx. Du type du u2+1 = arctanu + c – Si k 2, calcul de 1 (ax2+bx+c)k dx. Du type Ik = du (u2+1)k . Apr`es une int´egration par parties, on obtient Ik en fonction de Ik−1 par la relation de r´ecurrence : (2k −2)Ik = u (1+ u2)k−1 +(2k −3)Ik−1 Exemple 4.5. Calcul de I2 = du (u2+1)2 Int´egration par parties `a partir de I1 = du u2+1 f = 1 u2+1 et g = 1 (avec f = − 2u (u2+1)2 et g = u) I1 = du u2+1 = u u2+1 + 2u2 du (u2+1)2 = u u2+1 +2 u2 +1−1 (u2+1)2 du = u u2+1 +2 du u2+1 −2 du (u2+1)2 = u u2+1 +2I1 −2I2 D’o`u I2 = 1 2 I1 + 1 2 u u2 +1 + c Mais I1 = arctanu donc I2 = du (u2 +1)2 = 1 2 arctanu + 1 2 u u2 +1 + c Exercice 4.1 Calculer f (x)dx tel que f (x) = 2x6 +3x5 −3x4 −3x3 −3x2 −18x−5 x5+x4−2x3−x2−x+2 Correction de l’exercice 4.1 On effectue la division euclidienne : 2x6 +3x5 −3x4 −3x3 −3x2 −18x−5 x5 + x4 −2x3 − x2 − x+2 2x6 +2x5 −4x4 −2x3 −2x2 +4x 2x+1 x5 + x4 − x3 − x2 −22x−5 x5 + x4 −2x3 − x2 − x+2 x3 −21x−7 On a : S M
  44. 44. 4 38 Calcul Intégral f (x) = 2x+1+ x3 −21x−7 x5 + x4 −2x3 − x2 − x+2 = 2x+1+ x3 −21x−7 (x+2)(x−1)2(x2 + x+1) D´ecomposition en ´el´ements simples : x3 −21x−7 (x+2)(x−1)2(x2 + x+1) = A1 x+2 + A2 x−1 + A3 (x−1)2 + Bx+ D x2 + x+1 (4.6.1) Calcul des coefficients A1, A2, A3,B et D: – Par identification : Cette m´ethode donne toujours la valeur de tous les coefficients, mais elle est longue, elle consiste `a r´e´ecrire la somme des ´el´ements simples sur le d´enominateur commun qui est Qn et d’identifier les coefficients des mˆemes puissances de x au num´erateur. Ainsi on obtient un syst`eme d’´equations lin´eaires dont la solution donne tous les coefficients. – Autres m´ethodes plus pratiques : • Pˆoles simples de multiplicit´e 1 : Dans le cas de notre exemple A1 x+2 est un ´el´ement simple de multiplicit´e 1, on multiplie l’´equation (4.6.1) par x +2 puis on remplace x = −2, on obtient A1 = 1. • Pˆoles simples de multiplicit´e ri 2 : Dans le cas de notre exemple A3 (x−1)2 est un ´el´ement simple de multiplicit´e 2, on multiplie l’´equation (4.6.1) par (x−1)2 puis on remplace x = 1, on obtient A3 = −3. • Les autres coefficients de pˆoles de multiplicit´e ri 2 : : Ils se calculent en effectuant le changement de variable t = x − ci qui donne un pˆole en t = 0, puis on effectue la division par les autres facteurs de Qn(t) suivant les puissances croissantes de t `a l’ordre ri−1, le quotient donne alors tous les coefficients associ´es au pˆole ci. Dans notre exemple pour A2 x−1 , on fait le changement de variable t = x−1 ⇔ x = t+1, on obtient : x3 −21x−7 (x+2)(x−1)2(x2 + x+1) = t3 +3t2 −18t−27 (t+3)(t)2(t2 +3t+3) La division euclidienne suivant les puissances croissantes `a l’ordre 1 de t3 + 3t2 −18t −27 par (t+3)(t2 +3t+3) = 9+12t +6t2 + t3 nous donne (−3+2t)(t+ 3)(t2 +3t+3)+(−3t2 −8t3 −2t4 ) c’est `a dire : −27−18t+3t2 + t3 (t+3)(t)2(t2 +3t+3) = −3+2t t2 + −3−8t−2t2 (t+3)(t2 +3t+3) (4.6.2) On d´eduit du terme : −3+2t t2 = −3 t2 + 2 t les coefficients A2 = 2, A3 = −3 • Coefficients B et D des facteurs quadratiques : On applique de mˆeme que pr´ec´edemment mais avec des racines complexes du binˆome. Dans notre exemple, on multiplie l’´equation (4.6.1) par x2 + x+1 puis on remplace x = −1+i 3 2 une des racines complexes; alors en comparant les parties r´eelles et imaginaires, apr`es un calcul qui est un peu difficile dans cet exemple, vue la racine complexe, on obtient B = −3,D = 1, pour faciliter les calculs on utilise les m´ethodes suivantes. S M
  45. 45. 4.7 Intégration des fonctions irrationnelles : 39 4 – M´ethode des limites : Cette m´ethode consiste `a multiplier d’abord par la plus basse puissance qui in- tervient dans la d´ecomposition en ´el´ements simples et de prendre la limite quand x → ∞(o`u il suffit de garder les puissances les plus ´elev´ees). Ainsi, on a dans le membre de droite la somme des coefficients qui correspondent `a cette puissance, qui permet de d´eterminer un coefficient en fonction des autres. Dans notre exemple, on multiplie par x l’´equation (4.6.1), puis on estime sa limite quand x → ∞, on obtient : limx→∞ x4 x5 = 0 = A1 + A2 +B =⇒ B = −3 (4.6.3) – M´ethodes des valeurs particuli`eres : Elles consistes `a donner des valeurs particuli`eres `a x diff´erentes des pˆoles, puis de r´esoudre le syst`eme d’´equation qui donne les coefficients manquants. Dans notre exemple, on prend x = 0 par exemple, l’´equation (4.6.1) devient : −7 2 = A1 2 + A2 −1 + A3 1 + D 1 =⇒ D = 1 D’o`u f (x)dx = 2x+1+ 1 x+2 + 2 x−1 + −3 (x−1)2 + −3x+1 x2 + x+1 dx = x2 + x+ ln|x+2|+2ln|x−1|+ 3 x−1 − 3 2 ln|x2 + x+1| + 5 3 arctan( 2x+1 3 )+Cte (4.6.4) 4.7 Intégration des fonctions irrationnelles : L’int´egration de fonctions irrationnelles pose de gros probl`emes, mˆeme si les int´e- grales de ces fonctions existent ; avec un changement de variables appropri´e, nous ram`enent `a l’int´egration de fonctions rationnelles. Calcul de : R x, m ax+ b cx+ d dx (4.7.1) On peut ramener cette int´egrale `a celle d’une fonction rationnelle, en posant : t = m ax+ b cx+ d ⇒ tm = ax+ b cx+ d ⇒ x = b − dtm ctm − a ⇒ dx = mtm−1 (ad − b) (ctm − a)2 dt d’o`u : R x, m ax+ b cx+ d dx = R (t)dt Ou R (t) est une fonction rationnelle en t. Exemple 4.6 Calcul de 1 (x−1)2 3 x+1 x−1 dx S M
  46. 46. 4 40 Calcul Intégral Du changement de variable : t = 3 x+1 x−1 ⇒ t3 = x+1 x−1 ⇒ x = 1+ t3 t3 −1 ⇒ dx = −6t2 (t3 −1)2 dt On tire : 1 (x−1)2 3 x+1 x−1 dx = − 3 2 t3 dt = − 3 8 t4 +C = − 3 8 3 x+1 x−1 4 +C 4.8 Intégration des fonctions trigonométriques 1er cas fonctions rationnelles trigonom´etriques : Calcul de : R cosx,sinx dx (4.8.1) On peut ramener cette int´egrale `a celle d’une fonction rationnelle, en effectuant changement de variables : t = tan x 2 avec x ∈]−π,+π[, on tire : sinx = 2t 1+t2 ; cosx = 1−t2 1+t2 ; dx = 2 1+t2 dt Donc : R cosx,sinx dx = R t dt ou R (t) est une fonction rationnelle de t. Exemple 4.7 Calculer dx sinx dx = dt t dt = ln|tan(x 2)|+C Exemple 4.8 Calculer sin3 x cos4 x dx sin3 x cos4 x dx = − 1−cos2 x cos4 x d(cosx) = − 1−t2 t4 dt = −1 3 1 cos3 x − 1 cosx +C 2ieme Cas : fonctions rationnelles trigonom´etriques (R`egles de Bioches ) Calcul de R cosx,sinx dx • L’invariant ”cosinus”, l’expression reste inchang´ee si on remplace x par −x, on pose t = cosx • L’invariant ”sinus”, l’expression reste inchang´ee si on remplace x par π− x, on pose t = sinx • L’invariant ”tangente”, l’expression reste inchang´ee si on remplace x par π+x, on pose t = tanx S M
  47. 47. 4.8 Intégration des fonctions trigonométriques 41 4 Exemple 4.9 Calculer 2cosx 3−cos2x dx C’est l’invariant ”sinus”, on pose t = sinx alors : 2cosx 3−cos2x dx = cosx 1+sin2 x dx = dt 1+ t2 = arctan(sinx)+C Exemple 4.10 Calculer dx sinxcosx C’est l’invariant ”tangente”, on pose t = tanx alors : dx sinxcosx = dt t = ln(tanx)+C 3ieme Cas : Calcul de : sinmx.cosnxdx ; cosmx.cosnxdx ; sinmx.sinnxdx Le calcul se fait, en utilisant les formules trigonom´etriques : • sinasinb = 1 2 cos(a− b)−cos(a+ b) • cosacosb = 1 2 cos(a− b)+cos(a+ b) • sinacosb = 1 2 sin(a− b)+sin(a+ b) Exemple 4.11 sinxsin5xdx = 1 2 cos4x−cos6x dx = 1 8 sin4x− 1 12 sin6x+C 4ieme Cas : Calcul de : sinp xcosq xdx avec p, q ∈ N Suivant la parit´e de p et q, on fait les changements de variable : • p impair, on pose t = cosx ⇒ dt = −sinxdx • q impair, on pose t = sinx ⇒ dt = cosxdx • p et q sont pairs, on lin´earise. Exemple 4.12 sin3 xsin4 xdx = (t2 −1)t4 dt = 1 7 cos7 x− 1 5 cos5 x+C apr`es avoir pos´e t = cosx Exemple 4.13 cos4 xdx = 1 8 (cos4x+4cos2x+3)dx = 1 32 sin4x+ 1 4 sin2x+ 3 8 x+C apr`es lin´earisation. S M
  48. 48. 4 42 Calcul Intégral 4.9 Intégration des fonctions hyperboliques Calcul de R ex ,sinhx,coshx,tanhx dx On pose t = ex ⇒ x = ln|t| ⇒ dx = dt t avec sinh = 1 2(t− t−1 ) et cosh = 1 2(t+ t−1 ). On retrouve l’int´egrale d’une fonction rationnelle en t. Exemple 4.14 dx sinhx = 2dt t2−1 = ln t−1 t+1 +C = ln ex −1 ex+1 +C = ln tanh(x 2) +C Exemple 4.15 dx coshx = 2dt t2+1 = 2arctant+C = 2arctan(ex )+C 4.10 Exercice Calculer les int´egrales suivantes Exercice 4.2 I0 = lnxdx, I1 = arctanxdx, I2 = (lnx)4 dx et I3 = x2 ex sinxdx Exercice 4.3 J1 = x+ x−1 x+1 x2−1 dx, J2 = ex −1dx, J3 = e4x dx e2x−1 Exercice 4.4 K1 = x4 +1 x2+2x−1 dx, K2 = x2 +1 x(x−1)3 dx, K3 = 3x+1 (x2+2)3 dx Exercice 4.5 L1 = sin7 xdx, L2 = dx sinx , L3 = sin3 x.cos3 x.dx, L4 = sinx 1−cosx dx, L5 = sinx sinx+cosx dx et L6 = cosx sinx+cosx dx. S M
  49. 49. 4.11 Solution 43 4 Exercice 4.6 N1 = 8 1 dx x+ 3 x et N2 = r 0 r2 − x2dx avec r > 0 4.11 Solution Correction de l’exercice 4.2 1. I1 = arctanxdx = xarctanx− 1 2 ln(x2 +1)+C apr`es une int´egration par parties 2. I2 = (lnx)4 dx = t4 et dt, en effectuant un changement de variable : lnx = t, puis apr`es quatre int´egrations par parties I1 = x(ln4 x−4ln3 x+12ln2 x−24lnx+24)+C 3. I3 = x2 ex sinxdx = ex xcosx− 1 2 sinx− 1 2 cosx− 1 2 x2 cosx+ 1 2 x2 sinx +C apr`es plusieurs int´egrations par parties. Correction de l’exercice 4.3 1. J1 = x+ x−1 x+1 x2−1 dx = 1 2 2x x2−1 dx+ x−1 x+1 x2−1 dx = 1 2 ln(x2 −1)+ x−1 x+1 +C 2. J2 = ex −1dx = 2 y2 +1−1 y2+1 dy = 2 1− 1 y2+1 dy = 2(y−arctan y)+C en posant y = ex −1, d’o`u J2 = 2 ex −1−arctan ex −1 +C 3. J3 = e4x e2x−1 dx = 1 2 t2 t−1 dt = 1 2 t+1+ 1 t−1 dt = t2 4 + t 2 + 1 2 ln(t−1)+C. en posant t = e2x , d’o`u J3 = e4x 4 + e2x 2 + 1 2 ln(e2x −1)+C Correction de l’exercice 4.4 1. Division euclidienne K1 = x4 +1 x2 +2x−1 dx = (x2 −2x+5+ 6(1−2x) x2 +2x−1 )dx = x3 3 − x2 +5x−6ln|x2 +2x−1|− 9 2 2ln| x+ 2+1 x− 2+1 |+C 2. D´ecomposition en ´el´ements simples x2 +2 x(x−1)3 = −2 x + 2 x−1 − 1 (x−1)2 + 3 (x−1)3 D’o`u K2 = x2 +2 x(x−1)3 dx = 2ln(x−1)−2lnx+ 2x−5 2x2−4x+2 +C 3. D´ecomposition en ´el´ements simples 3x+1 (x2+2)3 = 1 (x2+2)3 + 3 2 2x (x2+2)3 D’o`u K3 = 3x+1 (x2+2)3 dx = 3 2 2x (x2+2)3 dx+ dx (x2+2)3 = −3 4(x2+2)2 + 1 8 dx (1+( x 2 )2)3 +C1. En utilisant deux fois la formule de r´ecurrence (??5.8)) d´emontr´ee au cours (2k −2)Jk = X (1+ X2)k−1 +(2k −3)Jk−1 ici k = 3, X = x 2 ,dx = 2dX On aura : 4 dX (1+X2)3 = X (1+X2)2 +3 dX (1+X2)2 = X (1+X2)2 + 3 2 X (1+X2) +arctan X D’o`u : dx (1+( x 2 )2)3 = 2 dX (1+X2)3 = 2X 4(1+X2)2 + 3 2 8 X (1+X2) + 3 2 8 arctan X Ainsi K3 = (−3 4 + 5 16 x+ 3 32 x3 ) 1 (x2+2)2 + 3 2 64 arctan( 2 2 x)+C S M
  50. 50. 4 44 Calcul Intégral Correction de l’exercice 4.5 1. L’invariant ”cosinus”, on pose t = cosx ⇒ dt = −sinxdx, alors L1 = sin7 xdx = − sin6 xd(cosx) = −(1− t2 )3 dt = (−1+3t2 −3t4 + t6 )dt D’o`u : L1 = t3 − t− 3 5 t5 + 1 7 t7 +C = 1 7 cos7 x− 3 5 cos5 x+cos3 x−cosx+C 2. En posant t = tan( x 2 ), alors sinx = 2t 1+t2 et dx = 2dt 1+t2 D’o`u L2 = dx sinx = dt t = ln|t|+C = ln(tan( x 2 ))+C 3. En posant t = sinx ⇒ dt = cosxdx, alors L3 = sin3 xcos3 xdx = t3 (1− t2 )dt D’o`u : L3 = 1 4 t4 − 1 6 t6 +C = 1 4 sin4 x− 1 6 sin6 x+C 4. Sachant que d(1−cosx) = sinxdx, alors L4 = sinx 1−cosx dx = ln(cosx−1)+C 5. L6 + L5 = dx = x+C1 L6 − L5 = (cosx−sinx) (sinx+cosx) dx = ln|sinx+cosx|+C2 Syst`eme de deux ´equations `a deux inconnues L5 et L6, on tire : L6 = 1 2 (x+ln|sinx+cosx|)+ K1 L5 = 1 2 (x−ln|sinx+cosx|)+ K2 Correction de l’exercice 4.6 1. En posant t = 6 x, alors N1 = 2 1 dx x+ 3 x = 6 6 2 1 t5 t2+t3 dt = 6 6 2 1 t2 − t+1− 1 t+1 dt D’o`u : N1 = 6ln 2 6 2+1 +2 2−3 3 2+6 6 2−5 = 0.42686 2. N2 = r2 π/2 0 cos2 tdt = r2 1 2 t+ 1 4 sin2t π 2 0 = 1 4 πr2 = 0.78540r2 S M
  51. 51. Sommaire 5.1 Généralités 5.2 Les équations différentielles du premier ordre 5.3 Les équations de Bernoulli 5.4 Les équations de Riccati : 5.5 Exercices 5.6 Corrigé Chapitre 5 Les Équations Différentielles 5.1 Généralités 5.1.1 Définitions 1. Une ´equation diff´erentielle d’ordre n est une ´equation qui s’´ecrit sous la forme : f (x, y, y , y ,......, yn ) = 0 (5.1.1) C’est une ´equation faisant intervenir une variable r´eelle x, une fonction incon- nue y ainsi que ses d´eriv´ees successives y(k) (k = 1,2,···). 2. Une solution de l’´equation diff´erentielle sur un intervalle I est une fonction φ telle que : f (x,φ(x),φ (x),φ (x),......,φn (x)) = 0 (5.1.2) 3. R´esoudre ou int´egrer une ´equation diff´erentielle c’est trouver l’ensemble de toutes les solutions. 4. Une courbe int´egrale est une courbe plane d´efinie par y = φ(x) o`u φ est une solution de l’´equation diff´erentielle. 5. Une int´egrale g´en´erale de l’´equation diff´erentielle d’ordre n lorsqu’elle existe, est une solution d´ependant de n constantes arbitraires, elle s’´ecrit : y = φ(x,C1,C2,··· ,Cn) (5.1.3) Le nombre de constantes arbitraires = l’ordre de l’´equation diff´erentielle. 6. Une int´egrale particuli`ere d’une ´equation diff´erentielle, est une solution qu’on obtient `a partir de la solution g´en´erale, en donnant des valeurs aux constantes arbitraires. 45
  52. 52. 5 46 Les Équations Différentielles Exemple 5.1 y + y = 0 admet y = C1 sinx + C2 cosx comme solution g´en´erale, pour C1 = 1 et C2 = −5, y = sinx−5cosx est une solution particuli`ere. 7. Une int´egrale singuli`ere d’une ´equation diff´erentielle, est une solution qui n’est pas repr´esent´ee par la solution g´en´erale (c’est-`a-dire, celle qu’on ne peut pas obtenir en donnant des valeurs aux constantes) Exemple 5.2 y = xy + y 2 Admet y = Cx + C2 comme solution g´en´erale (famille de droites), y = −x2 4 est une solution singuli`ere, c’est une parabole enveloppe de la famille de droites pr´ec´edentes. 5.1.2 Équations différentielles linéaires D´efinition 5.1 Une ´equation diff´erentielle d’ordre n est dite lin´eaire si et seulement si elle est de la forme : a0(x)y+ a1(x)y + a1(x)y +···+ an(x)y(n) = f (x) O`u ak(x),k = 1,n sont des fonctions donn´ees en x et appel´es coefficients alors que f (x) est le second membre de l’´equation diff´erentielle. 5.2 Les équations différentielles du premier ordre D´efinition 5.2 Une ´equation diff´erentielle est dite du premier ordre si elle ne fait intervenir que la premi`ere d´eriv´ee y . 5.2.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre S M
  53. 53. 5.2 Les équations différentielles du premier ordre 47 5 D´efinition 5.3 Une ´equation diff´erentielle est dite lin´eaire du premier ordre si et seulement si elle est de la forme : a(x)y + b(x)y = c(x) (5.2.1) O`u a(x), b(x) sont les coefficients et c(x) le second membre. On associe `a l’´equation diff´erentielle 5.2.1, l’´equation diff´erentielle homog`ene ou sans second membre a(x)y + b(x)y = 0 (5.2.2) Qui est une ´equation diff´erentielle `a variables s´eparables. c’est `a dire, elle peut s’´ecrire sous la forme f (y)y = g(x), une telle ´equation s’int`egre facilement en posant : y = dy dx f (y)dy = g(x)dx ⇔ f (y)dy = g(x)dx+C, C ∈ R 5.2.2 Théorème fondamental : Th´eor`eme 5.1 La solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre (5.2.1) est la somme de la solution g´en´erale de l’´equation sans second membre (5.2.2) et d’une solution particuli`ere de l’´equation compl`ete (5.2.1). D´emonstration 23 Soit une solution particuli`ere y0 de (5.2.1), alors a(x)y0+b(x)y0 = c(x), effectuons le changement de variable y = y0 + z, l’´equation (5.2.1) devient : a(x)[y0 + z ]+ b(x)[y0 + z] = c(x) ⇒ a(x)z + b(x)z = 0 D’o`u z est bien une solution g´en´erale de l’´equation homog`ene (5.2.2). Proposition 5.1. Probl`eme de Cauchy Soit l’´equation (5.2.1) avec a(x) = 0 et soient x0 ∈ I, y0 ∈ R. Il existe une unique solution de (5.2.1) sur I satisfaisant la condition initiale y(x0) = y0. Trouver cette solution revient `a r´esoudre le probl`eme de Cauchy relatif `a cette condition initiale. 5.2.3 Méthode de résolution : Variation de la constante Soit l’´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre (5.2.1) : a(x)y + b(x)y = c(x) S M
  54. 54. 5 48 Les Équations Différentielles On lui associe l’´equation diff´erentielle sans second membre (5.2.2): a(x)y + b(x)y = 0 L’´equation (5.2.2) est `a variables s´eparables : dy y = − b(x) a(x) dx En int´egrant, on tire : y = K.e − b(x) a(x) dx = K.z(x) la solution g´en´erale de (5.2.2). On fait varier la constante K, en posant : y = K(x)z(x) ⇒ y = K (x)z(x)+ K(x)z (x). Reportons ces valeurs dans (??3.4)) et sachant que z est solution g´en´erale de (5.2.2), alors : a(x)K (x)z(x) = c(x) ⇒ K (x) = c(x) a(x)z(x) ⇒ K(x) = c(x) a(x)z(x) +C Puis on remplace dans y = K(x).z(x) pour avoir la solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle (??3.4)). 1. Le fait de connaître une solution particulière de (5.2.1), évite la méthode de la variation de la constante. 2. Dans le cas ou les coefficients a,b et c sont constants, l’équation ay +by = c admet comme solution particulière la fonction constante y0 = c b Exercice 5.1 Int´egrer sur I =]0,π/2[ l’´equation diff´erentielle : (sinx) y −(cosx) y = x L’´equation homog`ene associ´ee : (sinx) y −(cosx) y = 0 C’est une ´equation `a variables s´eparables : dy y = cosx sinx dx En int´egrant, on tire y = K sinx la solution g´en´erale de l’´equation sans second membre. M´ethode de la variation de la constante : y = K sinx+ K cosx On reporte dans l’´equation avec second membre, on obtient apr`es simplification : K sin2 x = x, ∀x ∈ I, c’est `a dire K = x sin2 x dx. Apr`es une int´egration par partie, on tire : K = − x tanx +ln|sinx|+C, C ∈ R. D’o`u, la solution g´en´erale sur I : y = −xcosx+sinxln(sinx)+Csinx,C ∈ R On remarque que y = −xcosx +sinxln(sinx) est une solution particulière de l’équation différentielle. 5.3 Les équations de Bernoulli Elles sont de la forme : y + a(x)y = b(x)ym (5.3.1) S M
  55. 55. 5.4 Les équations de Riccati : 49 5 O`u a et b sont des fonctions en x donn´ees et m une constante r´eelle diff´erente de 0 et 1. M´ethode de r´esolution : En divisant les deux membres de l’´equation par ym y ym + a(x) 1 ym−1 = b(x) En effectuant le changement de fonction z = 1 ym−1 ⇒ z = (1− m) y ym l’´equation 5.3.1, devient 1 1− m z + a(x)z = b(x) (5.3.2) Donc l’´equation 5.3.1 se ram`ene `a une ´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre en z. Exercice 5.2 R´esoudre : xy +3y = x2 y2 ´equation de Bernoulli avec m = 2. En divisant par y2 et en posant z = 1 y, on obtient une ´equation lin´eaire du 1ˇr ordre en z : −xz +3z = x2 , sa solution particuli`ere est x2 , la solution g´en´erale de l’´equation homog`ene associ´ee est z = k x3 ,k ∈ R. Donc la solution g´en´erale est z = (1+ kx)x2 . La solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle de Bernoulli est y = 1 (1+kx)x2 Exercice 5.3 R´esoudre : y cosx+ ysinx+ y3 = 0 5.4 Les équations de Riccati : Elles sont de la forme : y = a(x)y2 + b(x)y+ c(x) (5.4.1) O`u a, b et c sont des fonctions en x donn´ees. M´ethode de r´esolution : On ne peut r´esoudre ce type d’´equation que si l’on connaˆıt une solution particuli`ere y1. Avec le changement de fonctions y = y1+z et sachant que y1 est solution particuli`ere y1 = a(x)y2 1 + b(x)y1 + c(x), l’´equation (3.8) devient z = a(x)z2 +[2a(x)y1 + b(x)]z (5.4.2) Donc, l’´equation (3.8) se ram`ene `a une ´equation de Bernoulli (3.4) avec m = 2 en z. S M
  56. 56. 5 50 Les Équations Différentielles Exercice 5.4 : Int´egrer y = 1 x y2 +(2+ 1 x )y+ x+2 avec y1 = x une solution particuli`ere. On v´erifie que y1 = x est bien une solution, puis on fait le changement de fonc- tions y = x + z, on reporte dans l’´equation, et apr`es simplification, il ne reste que : xz − z2 + z = 0. C’est une ´equation diff´erentielle de Bernoulli avec m = 2, divisons par z2 et posons t = 1/z, on retrouve une ´equation lin´eaire du 1er ordre en t : −xt +t = 1, admet comme solution : t = kx+1,k ∈ R. D’o`u, la solution g´en´erale de l’´equation de Riccati : y = x+ 1 kx+1 ,k ∈ R. Exercice 5.5 Int´egrer : y = (y−1)(xy− y− x) 5.5 Exercices Exercice 5.6 R´esoudre : 1. yy + ty2 + t = 0; y(0) = 1 2. yy − y2 = t2 y3 ; y(0) = −1/2 3. y = 2x(ey −1) Exercice 5.7 Int´egrer les ´equations diff´erentielles du premier ordre suivantes : 1. (5+ y)dx−(3− x)dy = 0 2. xyy = y2 − x2 3. xy −2y = 2x 4. xy + y = xy3 5.6 Corrigé Exercice5.6 : Probl`eme de Cauchy 1. yy +ty2 +t = 0 ; ´equation diff´erentielle non lin´eaire `a variables s´eparables : y 1+y2 dy = −tdt; En integrant, on trouve : y2 = Ke−t2 −1 De la condition initiale y(0) = 1 on tire K = 2 S M
  57. 57. 5.6 Corrigé 51 5 alors le probl`eme de Cauchy a pour solution unique : y = ± 2e−t2 −1 2. yy − y2 = t2 y3 , en divisant par y = 0 on obtient une ´equation diff´erentielle de Bernoulli avec m = 2 de la forme : y − y = t2 y2 ; Une division par y2 et avec le changement de fonction z = 1 y on obtient une ´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre en z qui s’ecrit sous la forme : −z − z = t2 La r´esolution de l’´equation homog`ene associ´ee −z −z = 0 donne : z = Ke−t . La m´ethode de la variation de la constante K nous donne la solution g´en´erale z = 2−2t + t2 + Ce−t d’o`u y = 1 2−2t+t2+Ce−t , de la condition initiale y(0) = −1/2 on tire C = −4 d’o`u la solution unique du probl`eme de Cauchy y = 1 2−2t+ t2 −4e−t Equations diff´erentielles `a variables s´eparables 3. y = 2x(ey −1) ´equation `a variables s´epar´ees qui peut s’ecrire : 1 ey−1 dy = 2xdx En int´egrant : 1 ey−1 dy = e−y 1−e−y dy = 2xdx. On aura ln|1−e−y | = x2 +C Si y > 0, y = −ln(1− kex2 ) avec 0 < k = eC < 1 Si y < 0, y = −ln(1+ kex2 ) avec k = eC Exercice5.7 : Equations diff´erentielles du 1er ordre 1. (5+ y)dx−(3− x)dy = 0 ´equation diff´erentielle du premier ordre `a variables s´epar´ees 1 de la forme : dy 5+y = dx 3−x En int´egrant : ln|5+ y| = ln|3− x|+C D’o`u : Si y > −5 : y = K |x−3| −5 Si y < −5 : y = − K |x−3| −5 2. xyy = y2 − x2 ; On pose z = y2 on obtient une ´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre en z : xz −2z = −2x2 . L’´equation homog`ene associ´ee est xz − 2z = 0, admet comme solution z = C1x2 La m´ethode de la variation de la constante C1 donne : z = C2x2 −2x2 ln|x| D’o`u y = ±x C2 −2ln|x| 3. xy −2y = 2x : ´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre L’´equation homog`ene associ´ee est xy − 2y = 0, admet comme solution y = C1x2 La m´ethode de la variation de la constante C1 donne : y = C2x2 −2x 1. voir exercice 1 S M
  58. 58. 5 52 Les Équations Différentielles 4. xy + y = xy3 : ´equation diff´erentielle de Bernoulli avec m = 3 Une division par y3 et avec le changement de fonction z = 1 y2 on obtient une ´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre en z qui s’ecrit sous la forme : xz −2z = −2x L’´equation homog`ene associ´ee xz − 2z = 0 admet comme solution : z = C1x2 . La m´ethode de la variation de la constante C1 donne la solution g´en´erale z = 2x+C2x2 D’o`u y = ± 1 2x+C2x2 5. y = 1−xy x2−1 s’ecrit y + x x2−1 y = 1 x2−1 ´equation diff´erentielle lin´eaire du pre- mier ordre qu’il s’agit de r´esoudre dans les trois domaines suivants : D1 =]−1,1[×R ; D2 =]1,+∞[×R et D3 =]−∞,−1[×R L’´equation homog`ene associ´ee y + x x2−1 y = 0 a comme solution : y = C |x2−1| . M´ethode de la variation de la constante C : y = C(x)y1(x) ⇒ y = C (x)y1(x)+C(x)y1(x) Avec y1(x) = 1 |x2−1| et y1(x) = − x x2−1 y1(x) = − x (x2−1) |x2−1| En rempla¸cant dans l’equation initiale, on obtient : C (x) = |x2−1| x2−1 Terminons la r´esolution dans chacun des domaines. – ∀(x, y) ∈ D1 : x2 −1 < 0 ⇒ |x2 −1| = 1− x2 , donc on a C (x) = 1 1−x2 ⇒ C(x) = −arcsinx+ k C’est `a dire la solution g´en´erale dans D1 s’´ecrit y = k−arcsinx 1−x2 – ∀(x, y) ∈ (D2 ∪ D2) : x2 −1 > 0 ⇒ |x2 −1| = x2 −1, donc on a C (x) = 1 x2−1 ⇒ C(x) = ln|x+ x2 −1|+λ La solution g´en´erale dans D2 s’´ecrit y = λ+ln(x+ x2−1) x2−1 La solution g´en´erale dans D3 s’´ecrit y = λ+ln(−x− x2−1) x2−1 S M
  59. 59. Table des matières 1 Formules de Taylor 1 1.1 Fonctions de classe Cn : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Fonctions de classe C1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Fonctions de classe Cn : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Formule de Taylor avec reste g´en´eralis´e . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Formule de Taylor avec reste de Lagrange . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 Formule de Taylor avec reste de Cauchy . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.4 Les notations de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.5 Formule de Taylor avec reste de Young . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Formule de Mac-Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Formule de Mac-Laurin avec reste de Lagrange . . . . . . . . . 9 1.3.2 Formule de Mac-Laurin avec reste de Young . . . . . . . . . . 9 1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Developpements Limit´es (DL) 11 2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.1 Propri´et´es des d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 D´eveloppements limit´es des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Op´erations sur les d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.1 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.2 D´erivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.3 Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 D´eveloppements limit´es au voisinage d’un point et de l’infini . . . . . 17 2.5 D´eveloppements limit´es g´en´eralis´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.6 Application des d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.6.1 Aux graphiques des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.6.2 Au calcul des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Integrales de Riemann 21 3.1 D´efinition d’une subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 D´efinition d’une fonction en escalier ”´etag´ee” . . . . . . . . . . . . . . 21 53
  60. 60. 5 54 Table des mati`eres 3.3 Sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3.1 Somme de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4 Propri´et´es de l’int´egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.5 Exercices : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.6 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 Calcul Int´egral 33 4.1 D´efinition d’une primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Int´egrales ind´efinies : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3 Tableau des int´egrales ind´efinies ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . 34 4.4 Int´egration par Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.5 Int´egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.6 Int´egration des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.7 Int´egration des fonctions irrationnelles : . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.8 Int´egration des fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.9 Int´egration des fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.10 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.11 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5 Les ´Equations Diff´erentielles 45 5.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.1.2 ´Equations diff´erentielles lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.2 Les ´equations diff´erentielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 46 5.2.1 ´Equations diff´erentielles lin´eaires du premier ordre . . . . . . 46 5.2.2 Th´eor`eme fondamental : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.2.3 M´ethode de r´esolution : Variation de la constante . . . . . . . 47 5.3 Les ´equations de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.4 Les ´equations de Riccati : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.6 Corrig´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 S M

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