écoulement de fluide

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écoulement de fluide

  1. 1. Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique BE 8 153 − 1 Écoulement des fluides Équations de bilans par André LALLEMAND Ingénieur, Docteur ès sciences Professeur des Universités à l’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon es systèmes énergétiques sont, par essence même, le siège de transferts et, pour l’essentiel, de transferts de masse et de chaleur. C’est en particulier le cas lorsque ces systèmes comportent, ce qui est très fréquent, des fluides en écoulement. La qualité énergétique des transferts de chaleur est évidente. Dans le cas des transferts de masse, l’énergie est sous-jacente ; elle se trouve sous 1. Bilan d’une grandeur quelconque. Équation de bilan .................... BE 8 153 - 5 2. Bilan de la masse ...................................................................................... — 6 2.1 Équation locale de la conservation de la masse........................................ — 6 2.2 Équation intégrale de la conservation de la masse................................... — 6 2.2.1 Cas d’un tube de courant. Vitesse moyenne..................................... — 6 2.2.2 Cas d’un filet de courant..................................................................... — 7 3. Bilan de la quantité de mouvement..................................................... — 7 3.1 Forces appliquées au fluide......................................................................... — 7 3.1.1 Définition des forces ........................................................................... — 7 3.1.2 Forces de viscosité. Tenseur des contraintes.................................... — 8 3.1.3 Contrainte sur un plan d’orientation quelconque............................. — 9 3.2 Équation de Cauchy. Équation de Navier-Stokes....................................... — 10 3.3 Équation intégrale du bilan de la quantité de mouvement ...................... — 11 3.3.1 Application à un tube de courant. Vitesse moyenne de quantité de mouvement..................................................................................... — 11 3.3.2 Application à un filet de courant ........................................................ — 11 3.4 Équation de Bernoulli. Fluide pesant incompressible en écoulement stationnaire ................................................................................................... — 11 3.4.1 Intégration de l’équation de Navier-Stokes le long d’une ligne de courant ..................................................................................................... — 12 3.4.2 Équation de Bernoulli. Charge d’un fluide. Pertes de charge.......... — 12 3.4.3 Cas particulier des trajectoires rectilignes ........................................ — 13 4. Bilan de l’énergie cinétique. Équation de Bernoulli généralisée. — 13 4.1 Cas général ................................................................................................... — 13 4.2 Cas d’un fluide pesant.................................................................................. — 14 4.3 Écoulement d’un fluide pesant en présence d’une machine.................... — 14 4.4 Fluide pesant contenu dans un tube de courant comportant des éléments mobiles de machine ............................................................. — 15 4.5 Cas d’un filet de courant.............................................................................. — 15 5. Bilan de l’énergie. Premier principe.................................................... — 16 5.1 Cas général ................................................................................................... — 16 5.2 Fluide pesant en contact avec des éléments mobiles d’une machine......................................................................................................... — 16 5.3 Fluide pesant s’écoulant dans un filet de courant et traversant une machine ................................................................................................. — 16 5.4 Équation de la thermique des fluides en écoulement............................... — 16 L
  2. 2. ÉCOULEMENT DES FLUIDES ______________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. BE 8 153 − 2 © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique forme d’énergie interne (caractérisée essentiellement par le niveau de tempéra- ture), d’enthalpie (l’énergie interne associée à l’énergie potentielle de pression), d’énergie cinétique, d’énergie potentielle gravifique, d’énergie chimique, etc. La connaissance des transferts lors des écoulements de fluides apparaît ainsi comme fondamentale pour résoudre un grand nombre de problèmes énergéti- ques. Deux analyses différentes sont généralement appliquées pour cela : l’une est du type local, l’autre du type global. L’une et l’autre peuvent être abordées par la même étude, celle des bilans que nous présentons dans cet article. Quelle que soit la grandeur examinée, il est possible d’écrire que sa variation au cours du temps, pour un domaine donné, est due à un flux de cette grandeur à travers la frontière du domaine, à une diffusion de la grandeur par rapport au flux moyen (superposition d’un mouvement microscopique au mouvement macroscopique observé) et à des sources ou production (positive ou négative) de cette grandeur. La traduction de ce principe (de bon sens) sous forme « mathématique » est l’équation générale des bilans. Son application à la masse d’un fluide conduit à l’équation dite de conservation de la masse (pas de source ni de diffusion). Si la grandeur est la quantité de mouvement, c’est le principe de Newton qui est traduit par cette équation de bilan dans laquelle la diffusion est due à la viscosité du fluide, la source étant due aux diverses forces de champ et de pression. Enfin, le premier principe de la thermodynamique se retrouve dans l’équation du bilan de l’énergie qui débouche sur un bilan enthalpique et dont le terme diffusif correspond à la conduction (linéaire-loi de Fourier) de la chaleur dans le fluide et le terme source à des apports thermiques par rayonnement par exemple ou par réactions chimiques. Le bilan de l’énergie cinétique présenté dans cet article n’est pas un bilan indépendant par rapport aux autres bilans. Il n’est qu’une présentation « mécanicienne » du bilan de l’énergie et correspond en fait à l’intégration, sur une direction d’espace, du bilan de la quantité de mou- vement. D’autres bilans classiques auraient pu être présentés dans cet article, notamment celui des espèces (pour les écoulements de mélanges réactifs ou non) et celui de l’entropie. On ne l’a pas fait, afin de ne pas trop surcharger cette « introduction » à l’étude des bilans. Par transformation mathématique d’intégrales, toutes les équations de bilans peuvent prendre une forme locale à partir de laquelle une intégration, quasiment toujours numérique, doit permettre, compte tenu des conditions aux limites et initiales, de déterminer les champs vectoriels (vitesses) et scalaires (pression, température, masse volumique, etc.) et les transferts dans la totalité du domaine d’écoulement étudié. Cette résolution étant dans de nombreux cas longue, voire délicate, et nécessitant des moyens de calcul importants en matériel et logiciel, des formes globales ou intégrées peuvent être utilisées. Elles sont beaucoup moins riches en renseignements et nécessitent souvent de procéder à des hypo- thèses simplificatrices et de faire appel à des connaissances empiriques. Leur utilisation est plus légère, ce qui les rend encore attractives dans la résolution (souvent approchée) de beaucoup de problèmes pratiques. Les formes globales présentées dans cet article concernent l’intégration des équations de bilan à des domaines particuliers : ceux qui sont délimités par deux sections droites et un tube de courant, ou mieux, un filet de courant. Les équations correspondantes sont celles du débit à travers une section, celle de l’enthalpie, celles d’Euler et de Bernoulli dont les applications sont nombreuses, notamment dans les systèmes thermiques.
  3. 3. ______________________________________________________________________________________________________________ ÉCOULEMENT DES FLUIDES Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique BE 8 153 − 3 Notations et symboles Symbole Unité Définition a m2 · s−1 Diffusivité thermique C m Charge du fluide cp J · kg−1 · K−1 Capacité thermique massique du fluide ea J · kg−1 Énergie interne massique d’arrêt Ec J Énergie cinétique ec J · kg−1 Énergie cinétique massique ep J · kg−1 Énergie potentielle massique et J · kg−1 Énergie totale massique F N · m−3 Force de volume (ou de champ) par unité de volume fv N · m−3 Force volumique de viscosité G, G Grandeur scalaire ou vectorielle quelconque g, g m · s−2 Accélération de la pesanteur ou grandeur volumique scalaire ou vectorielle quelconque h J · kg−1 Enthalpie massique he W · m−2 · K−1 Coefficient d’échange convectif He m Hauteur effective ht J · kg−1 Enthalpie totale massique J m Perte de charge M kg Masse du fluide kg · s−1 Débit massique kg · s−1 Débit massique dans un filet de courant n Vecteur unitaire de la normale extérieure d’un élément de surface P Pa Pression QM kg · m · s−1 Vecteur quantité de mouvement W · m−3 Puissance thermique volumique d’une source W · m−2 Densité de flux thermique R N Résultante des forces s m Abscisse curviligne t s Temps Mú mú Qúvs qúΩ
  4. 4. ÉCOULEMENT DES FLUIDES ______________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. BE 8 153 − 4 © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique T K Température Tij Pa Projection dans la direction i de la contrainte sur la face d’orientation j Tn Pa Contrainte sur un élément de surface d’orientation n u J · kg−1 Énergie interne massique V m3 Volume v m · s−1 Vecteur vitesse m3 · s−1 Débit volumique m3 · s−1 Débit volumique d’un filet de courant vi m · s−1 Composante de la vitesse wt J · kg−1 Travail technique massique W Puissance technique xi m Coordonnée z m Altitude β K−1 Coefficient de dilatation isobare εi Déformation longitudinale selon la direction i Φ W · m−3 Fonction de dissipation γ m · s−2 Accélération γij Déformation angulaire entre les directions i et j η Pa · s Viscosité de dilatation λ W · m−1 · K−1 Conductivité thermique du fluide µ Pa · s Viscosité dynamique ρ kg · m−3 Masse volumique τ J · kg−1 Travail massique des forces de viscosité ω N · m−3 Poids volumique Ω m2 Surface frontière Indices i, j, k, n Direction de projection 1, 2 Relatif à l’amont et à l’aval respectivement Notations et symboles Symbole Unité Définition Vú vú Wt ú
  5. 5. ______________________________________________________________________________________________________________ ÉCOULEMENT DES FLUIDES Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique BE 8 153 − 5 1. Bilan d’une grandeur quelconque. Équation de bilan Soit une grandeur G attachée à un volume V (figure 1) à un instant donné et g sa valeur par unité de volume : g = g (xi, t), on a : (1) Considérons le cas où le volume V est fixe, ce qui correspond à l’étude de l’écoulement en système ouvert, et analysons la variation de G en fonction du temps, encore appelé taux de variation de G. Les causes de la variation éventuelle de G sont de deux types : — un flux global non nul à travers la frontière Ω du volume V (par exemple, différence non nulle entre la quantité de fluide qui entre et celle qui sort du volume) ; — une création (ou une destruction) de la grandeur G. Cette créa- tion peut avoir lieu à l’intérieur (strictement) du volume et/ou en sur- face. On traduit cette constatation par l’équation suivante, dite équa- tion de bilan : (2) avec v vecteur vitesse du fluide, n normale dirigée vers l’extérieur du volume V, Ω aire de la surface frontière, gin création intérieure volumique de la grandeur g, gΩ création surfacique de cette grandeur, gin et gΩ ne sont pas attachés aux particules s’écoulant à la vitesse v. En général, dans l’équation du bilan, on sépare la partie « création de la grandeur G (ou g) » du reste qui correspond à une variation totale de la grandeur G en fonction du temps, ou encore au d’Alem- bertien de G. On écrit : (3) Cette équation peut encore être modifiée par la transformation d’une intégrale de surface en intégrale de volume par la relation d’Ostrogradski : (4) Ainsi, la variation totale par rapport au temps de la grandeur G peut s’écrire : (5) Dans ce qui précède, on a supposé que G est une grandeur sca- laire. Si G est une fonction vectorielle, la projection sur chaque axe de g permet d’écrire des équations scalaires en gi analogues aux précédentes et qui, par recomposition, donnent : (6) ou encore : (7) où le tenseur est défini par : avec gi la composante selon i du vecteur g, vj la composante selon j du vecteur vitesse v du fluide, i et j étant respectivement les numéros de ligne et de colonne du tenseur. Compte tenu de la relation d’Ostrogradski l’équation (6) devient : (8) où le vecteur divergence du tenseur correspond à : (9) Il convient de noter que cette expression est équivalente à : (10) où encore à : (11) Dans l’équation (10), le tenseur gradient du vecteur g a pour expression : Un cas particulier intéressant de l’application de l’équation de bilan est celui où g = 1. En effet, la grandeur G correspond alors au volume. L’équation de bilan (5) donne alors le résultat suivant : (12) Figure 1 – Flux de la grandeur g à travers la surface dΩ frontière du volume fixe V G g Vd V ∫= ∂g ∂t ------- Vd V ∫ g vn Ω gin V gΩ Ωd Ω ∫+d V ∫+d Ω ∫Ð= dG dt -------- DG dt --------- ∂g ∂t ------- Vd V ∫= = g vn Ω gin V gΩ Ωd Ω ∫+d V ∫=d Ω ∫+ Ω Ω V d v n g xi, t( )vn Ω div gv( ) Vd V ∫=d Ω ∫ dG dt -------- DG dt --------- ∂g ∂t ------- div gv( )+ V gin V gΩ Ωd Ω ∫+d V ∫=d V ∫= = dG dt -------- ∂g ∂t ------- V g vn( ) Ω gin V gΩ Ωd Ω ∫+d V ∫=d Ω ∫+d V ∫= dG dt -------- ∂g ∂t ------- V Gv n Ω gin V gΩ Ωd Ω ∫+d V ∫=d Ω ∫+d V ∫= Gv Gv givj= dG dt -------- ∂g ∂t ------- div Gv+     dV V ∫= Gv div Gv ∂ ∂xj -------- gi vj xi= div Gv v grad g g div v+= div Gv( )i v grad gi gi div v+= grad g ∂gi ∂xj --------= dVm dt ------------ div v dV Vm ∫=
  6. 6. ÉCOULEMENT DES FLUIDES ______________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. BE 8 153 − 6 © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Cette relation traduit le fait que la variation du volume d’un fluide Vm, ou sa dilatation, est égale à l’intégrale de volume de la diver- gence de sa vitesse v. 2. Bilan de la masse 2.1 Équation locale de la conservation de la masse L’équation (3) permet de calculer la variation dans le temps de la masse. En effet, si G représente la masse M du système, ρ est la grandeur par unité de volume. La relation (3) devient alors, en considérant que la masse est conservative (pas de création de masse) et en utilisant le théorème d’Ostrogradski [équation (5)] : (13) Le domaine de contrôle V du fluide, limité par la surface Ω, étant quelconque, on peut écrire : (14) Cette équation n’est valable en toute rigueur que si, à l’intérieur du système, il n’y a aucune source ou puits de matière, ce qui d’un certain point de vue pourrait être assimilé à une création ou à une destruction de matière. On dit alors que l’écoulement est conserva- tif. Dans le cas contraire, l’écoulement est non conservatif et, si on note par le débit massique par unité de volume dû à la source, on a : (15) Si l’écoulement est conservatif et stationnaire (ou permanent), toute dérivée partielle par rapport au temps est nulle, et on a : (16) Enfin, si le fluide est incompressible et l’écoulement conservatif : (17) Ce cas correspond au domaine de l’hydraulique. L’équation (14) qui, en coordonnées cartésiennes, s’écrit : devient, en coordonnées cylindriques : (18) avec r, θ et z les coordonnées cylindriques, vr, vθ, vz respectivement les vitesses radiale, tangentielle et axiale. 2.2 Équation intégrale de la conservation de la masse 2.2.1 Cas d’un tube de courant. Vitesse moyenne Considérons le cas particulier d’un élément de volume apparte- nant à un tube de courant (figure 2). Soit V le volume compris entre les lignes de courant s’appuyant sur les contours C1 et C2 et les sur- faces Ω1 et Ω2 construites également sur C1 et C2. L’application à ce volume de l’équation (13) donne, en écoulement conservatif : (19) où ni est la normale extérieure à la surface Ωi . Cette relation tient compte du fait que le flux à travers la surface latérale du tube de courant est nul. Pour un écoulement stationnaire et en notant par vn la projection de la vitesse sur la normale à la section Ω prise dans le sens de l’écoulement, on obtient : (20) Si les sections Ω1 et Ω2 sont des sections droites (sections en tout point perpendiculaires au vecteur vitesse), on a : vni = vi. Dans cette relation, le membre de gauche correspond au débit massique du fluide à travers la section 1, et le membre de droite au débit mas- sique à travers la section 2. Ainsi, on peut écrire : (21) C’est l’équation de la conservation du débit massique. DM dt ---------- ∂ρ ∂t ------ V ρ vn Ω ∂ρ ∂t ------ div ρ v+     dV 0= V ∫=d Ω ∫+d V ∫= ∂ρ ∂t ------ div ρ v+ 0= mú vs ∂ρ ∂t ------ div ρ v+ mú vs= div ρ v 0= div v 0= ∂ρ ∂t ------ ∂ ∂xi -------- ρ vi+ 0= ∂ρ ∂t ------ 1 r --- ∂ ∂r ----- ρr vr( ) 1 r --- ∂ ∂θ ------ ρ vθ( ) ∂ ∂z ------ ρ vz( )+ + + 0= Figure 2 – Conservation de la masse dans un volume appartenant à un tube de courant C1 C2 v v v1 v2 n2 n1 Ω Ω 1 2 ∂ρ ∂t ------ V ρ1 v1n1 Ω1 ρ2 v2n2 Ω2 0=d Ω2 ∫+d Ω1 ∫+d V ∫ ∂ρ ∂t ------ 0= ρ1 vn1 Ω1 ρ2 vn2 Ω2d Ω2 ∫=d Ω1 ∫ Mú 1 Mú 2 Mú 1 Mú 2 Mú= =
  7. 7. ______________________________________________________________________________________________________________ ÉCOULEMENT DES FLUIDES Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique BE 8 153 − 7 Si le fluide est incompressible : ρ1 = ρ2. On a alors, pour l’équation (20) : (22) s Vitesse moyenne capable du débit Soit la vitesse, constante sur une section droite Ω d’un tube de courant, d’un fluide dont le débit à travers Ω aurait la même valeur que le débit du fluide dans le cas réel. On peut alors écrire : d’où : (23) La vitesse est, par définition, la vitesse moyenne capable du débit, encore appelée plus simplement vitesse moyenne. 2.2.2 Cas d’un filet de courant Si Ω1 et Ω2 sont les sections droites d’un filet de courant en régime permanent (figure 3), la relation (20) devient (v1, v2, ρ1 et ρ2 étant constantes sur chacune des sections) : (24) où est le débit massique à travers une section droite du filet de courant. Si le fluide est incompressible, on a : (25) où est le débit volumique à travers une section droite quelconque du filet de courant. Ces équations sont utilisées fréquemment dans le cas d’un tube de courant lorsque l’hypothèse de la constance de la vitesse et de la masse volumique sur une section droite est acceptable. 3. Bilan de la quantité de mouvement La quantité de mouvement QM attachée à un système matériel ne peut varier dans le temps (dans le sens d’une création ou d’une des- truction) que si le système est soumis à un torseur de forces non nul. Ainsi, en notant que la quantité de mouvement attachée à l’unité de volume de fluide est ρv, l’équation de bilan (6) attachée à cette gran- deur vectorielle s’écrit : (26) où R est la résultante de toutes les forces, volumiques et surfaci- ques, appliquées au fluide contenu dans le volume V. 3.1 Forces appliquées au fluide 3.1.1 Définition des forces Deux types de forces sont appliquées à un volume fluide : a) Les forces intérieures sont les forces de cohésion molécu- laire, de viscosité et de pression qui forment un torseur nul puisque localement le principe de l’action et de la réaction doit être respecté. b) Les forces extérieures sont elles-mêmes classées en deux types : — des actions à distance ou volumiques ou encore forces de champ : ce sont les forces de gravitation, électromagnétiques, etc. Elles sont exercées par le milieu extérieur sur chacune des particu- les. Elles forment un torseur non nul dont la résultante par unité de volume est notée F ; — des actions de contact ou surfaciques : ce sont des forces qui traduisent l’action des particules extérieures voisines de la surface Ω sur les particules intérieures appartenant à la surface Ω. Elles sont proportionnelles à l’importance de la surface. En un point de la sur- face, où la normale extérieure est n (figure 4), la force résultante par unité de surface ou contrainte de ce type de force est notée Tn. Pour un fluide immobile cette contrainte se limite à la pression P du fluide qui est normale à la surface et opposée à la direction n : Tn = − P n (27) Cette équation traduit le fait que le débit volumique d’un fluide incompressible à travers une section Ω quelconque d’un tube de courant est indépendant de la section considérée. Figure 3 – Conservation de la masse dans un volume appartenant à un filet de courant vn Ωd Ω ∫ Vú constante= = Vú vd vd Ω Vú v Ωd Ω ∫= = vd 1 Ω ---- v Ωd Ω ∫= vd ρ1 v1 Ω1 ρ2 v2 Ω2 mú= = mú v1 Ω1 v2 Ω2 vú= = vú Ω Ω 1 2 v2 v1 Figure 4 – Contrainte en un point de la surface frontière d’un volume V D QM( ) dt -------------------- ∂ρv ∂t ---------- V ρ v vn( ) Ω =d Ω ∫+d V ∫ R= dΩ V n Tn
  8. 8. ÉCOULEMENT DES FLUIDES ______________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. BE 8 153 − 8 © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dans le cas d’un fluide en mouvement, il y a lieu en plus de tenir compte des forces de viscosité qui peuvent être séparées en deux types : normales et tangentielles. 3.1.2 Forces de viscosité. Tenseur des contraintes La contrainte de viscosité est notée . On peut l’étudier à partir du tenseur des contraintes visqueuses appliquées aux faces d’un cube d’orientation x1, x2, x3 (figure 5). Dans la formulation du terme général du tenseur, les notations utilisées sont telles que i cor- responde à la direction de projection et j à la face d’application, per- pendiculaire à la direction j. L’action est celle du milieu extérieur sur la face considérée. Nous considérons ici, uniquement, le cas d’un fluide newtonien. Pour un tel fluide, la contrainte visqueuse, qui s’oppose à la défor- mation, est proportionnelle à la vitesse de déformation [BE 8 151, § 2.3], que celle-ci soit angulaire ou longitudinale. À ces deux types de déformation correspondent deux types de contrainte : une contrainte tangentielle (i ≠ j) et une contrainte normale (i = j). 3.1.2.1 Contraintes visqueuses tangentielles Au cours du mouvement d’un fluide, la vitesse de déformation angulaire est liée aux dérivées partielles de la vitesse par la relation [BE 8 151, § 4] : (28) Alors, par définition d’un fluide newtonien, on a : (29) où est la projection selon la direction xi de la contrainte qui s’exerce sur la face j orientée dans le sens positif de xj (xj = normale extérieure). La réciprocité des contraintes tangentielles permet d’écrire : (30) 3.1.2.2 Contraintes visqueuses normales Le raisonnement développé ici fait appel à l’analogie avec la résis- tance des matériaux. En effet, les contraintes tangentielles ont les expressions suivantes : — pour un solide : , où G est le module de Coulomb, ou module d’élasticité transversale, du matériau et γji la déformation angulaire ; — pour un fluide : . Or, dans le cas d’un solide, une contrainte normale Tii produit des déformations selon i, j, et k (exemple de la barre soumise à de la traction pure) : Tii = 2G εi + λ (εi + εj + εk) avec : Dans ces équations, E est le module d’Young ou module d’élasti- cité longitudinal et ν le coefficient de Poisson. Par analogie, pour un fluide newtonien, on admet que la contrainte normale de viscosité est proportionnelle aux vitesses de déformation linéaire dans les trois directions dεi/dt et on écrit : (31) Dans cette relation, η est appelé « second coefficient de viscosité » ou encore « viscosité de dilatation ». Cette seconde appellation est justifiée par le fait que, comme le montre la relation (32), ce coefficient n’a plus d’influence sur les contraintes lorsque la dilatation du fluide [équation (12)] est nulle : div v = 0. Compte tenu de l’expression liant la vitesse de déformation longitu- dinale et le gradient de la vitesse [BE 8 151, § 4] : on a : (32) Dans le cas des fluides incompressibles, div v = 0, ce qui entraîne : Dans ce cas, très fréquent en pratique, η n’intervient pas. Dans le cas des gaz parfaits monoatomiques, on montre à partir de la théo- rie cinétique des gaz que : (33) Cette valeur est souvent utilisée en dehors de ce cas particulier. C’est l’hypothèse de Stokes. T n ′ T ij ′ dγij dt ---------- ∂vi ∂xj --------= ∂vj ∂xi --------+ T ij ′ µ dγij dt ---------- µ ∂vi ∂xj -------- ∂vj ∂xi --------+    = = T ij ′ T ij ′ T ji ′= T ij ′ Gγji= T ij ′ µ dγij dt ----------= λ ν E 1 ν+( ) 1 2νÐ( ) -----------------------------------------= Figure 5 – Contraintes de viscosité s’exerçant sur les faces d’un cube x3 x1 x2 0 T13 T32 T22 T12 T21 T31 T11 T33 T23 Tii ′ 2µ dεi dt -------- η dεj dt --------+= dεi dt -------- ∂vi ∂xi --------= T ij ′ 2µ ∂vi ∂xi -------- η div v+= T ij ′ 2µ ∂vi ∂xi --------= η 2 3 --- µÐ=
  9. 9. ______________________________________________________________________________________________________________ ÉCOULEMENT DES FLUIDES Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique BE 8 153 − 9 3.1.2.3 Contraintes visqueuses en coordonnées cylindriques Pour un fluide incompressible en coordonnées cylindriques (figure 6), les composantes des contraintes sont : 3.1.2.4 Tenseur des contraintes Si on associe toutes les contraintes, celles dues à la pression et celles dues à la viscosité, le terme général du tenseur des contrain- tes, qui s’exerce sur la surface frontière du volume V considéré, a pour expression : (34) où δij est le symbole de Kronecker (δij = 0 si i ≠ j ; δij = 1 si i = j). L’équation (34) peut encore s’écrire sous forme tensorielle : (35) avec le tenseur des contraintes, le tenseur des taux de déformation [BE 8 151, § 4] : , le tenseur unité. 3.1.3 Contrainte sur un plan d’orientation quelconque Soient ni les cosinus directeurs de la normale n au plan ABC (figure 7). La contrainte qui s’exerce sur ce plan est Tn. Pour trouver son expression, on écrit l’équilibre du tétraèdre OABC. En notant par Ω la surface de ABC, on a, sur chacune des faces perpendiculaires à une direction xj quelconque, de surface Ωj et dirigée vers les xj négatifs : car, en effet : Ωj = nj Ω Pour la face perpendiculaire à n, on a : La nullité du torseur des forces appliqué à OABC implique que la somme des composantes selon les xi soit nulle : soit : Tin = Tij nj (36) ce qui s’écrit de manière complète : (37) Tr P 2µ ∂vr ∂r --------Ð= Tθ P 2µ 1 r --- ∂vθ ∂θ --------- vr r -----+    Ð= Tz P 2µ ∂vz ∂z ---------Ð= Tzθ µ ∂vθ ∂z --------- 1 r --- ∂vz ∂θ ---------+     Tθz=Ð= Trz µ ∂vr ∂z -------- ∂vz ∂r ---------+     Tzr=Ð= Trθ µ 1 r --- ∂vr ∂θ -------- r ∂ ∂r ----- vθ r -----    +     Tθr=Ð= T ij ′ P δij µ+Ð ∂vi ∂xj -------- ∂vj ∂xi --------+     η div v δij+= T Tij PIÐ 2µ D η div v I+ += = T D D 1 2 --- ∂vi ∂xj -------- ∂vj ∂xi --------+= I ΩjTj =Ð Tij Ωj TÐ ij nj Ω=Ð Tjj Ωj TÐ jj nj Ω=Ð Tkj Ωj TÐ kj nj Ω=Ð Figure 6 – Élément de volume et contraintes dans un système de coordonnées cylindriques Figure 7 – Contrainte sur un plan d’orientation n quelconque θ x1 x3 x2 r Tr Tz θ θ θ θTr θTz Tzr v vz vr T r θT z T Trz z x3 x1 x2 A C O B n Tn Tn = T1n Ω T2n Ω T3n Ω Tin Tij nj j ∑Ð 0= Tn = T1n T11 n1 T12 n2+= T13 n3+ T2n T21 n1 T22 n2+= T23 n3+ T3n T31 n1 T32 n2+= T33 n3+
  10. 10. ÉCOULEMENT DES FLUIDES ______________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. BE 8 153 − 10 © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique où les termes Tij sont donnés par l’équation (34). En utilisant le ten- seur des contraintes [équation (35)], l’équation (36) peut être écrite sous la forme : (38) 3.2 Équation de Cauchy. Équation de Navier-Stokes La résultante R des forces appliquées au système fluide étant déterminée, l’application du théorème de la variation de la quantité de mouvement [équation (26)] s’écrit : (39) ou encore : (40) Dans cette relation, le tenseur flux de quantité de mouvement a pour expression : (41) En utilisant le théorème d’Ostrogradski, la relation (40) devient : (42) Cette équation, applicable à un domaine quelconque, peut être remplacée par l’équation locale suivante : (43) Comme : le membre de gauche de l’équation (43) devient, en vertu de l’équa- tion locale de la conservation de la masse : (44) Compte tenu de l’expression de la dérivée particulaire d’une gran- deur vectorielle [BE 8 151, § 3.2, équation (29)], on reconnaît dans le membre de droite de l’équation (44), la dérivée du vecteur vitesse, c’est-à-dire l’accélération γ des particules. Ainsi, l’équation (44) s’écrit : (45) En prenant en compte l’expression (35) du tenseur des contrain- tes et en notant que pour une grandeur scalaire K quelconque : on a : (46) C’est l’équation de Cauchy qui, sous forme scalaire, s’écrit : (47) Dans le cas où µ et η sont constantes et en notant que v est une fonction du point considéré : l’équation (47) s’écrit : ou encore : (48) Sous forme vectorielle, on a : (49) C’est l’équation de Navier qui, dans le cas de l’hypothèse de Sto- kes, devient l’équation de Navier-Stokes : (50) Dans le cas d’un fluide incompressible (div v = 0), l’équation de Navier-Stokes s’écrit simplement : (51) Dans un repère à coordonnées cylindriques, les composantes de l’équation (51) sont les suivantes : L’équation (49) peut être modifiée en transformant le Laplacien de la vitesse d’après la relation suivante : ∇2 v = grad div v − rot rot v Tn Tn= ∂ρv ∂t ---------- V ρ v vn( ) Ωd Ω ∫+d V ∫ F V Tn Ωd Ω ∫+d V ∫= ∂ρv ∂t ---------- V QM n Ωd Ω ∫+d V ∫ F V T n Ωd Ω ∫+d V ∫= QM QM ρvi vj vi ρvj= = ∂ρv ∂t ---------- div QM+     Vd V ∫ F div T+( ) Vd V ∫= ∂ρv ∂t ---------- div QM+ F div T+= div QM v div ρ v= ρ v grad v+ ρ ∂v ∂t ------ v ∂ρ ∂t ------ div ρ v+     ρ v grad v+ + ρ ∂v ∂t ------ v grad v+    = ρ ∂v ∂t ------ v grad v+     ρ Dv dt -------- ρ γ F div T+= = = div K I grad K= ργ F= grad PÐ 2div µ D grad η div v+ + Cette équation est valable pour un fluide newtonien, com- pressible ou incompressible, en écoulement stationnaire ou ins- tationnaire. ργi ρ ∂vi ∂t -------- vj ∂vi ∂xj --------+     Fi ∂P ∂xi --------Ð= = ∂ ∂xj -------- µ ∂vi ∂xj -------- ∂vj ∂xi --------+     ∂ ∂xi -------- η div v( )+ + ∂ ∂xj -------- ∂vj ∂xi -------- ∂ ∂xi -------- ∂vj ∂xj --------= ργi Fi ∂P ∂xi --------Ð= µ ∂2vi ∂xj 2 ----------- µ ∂ ∂xi -------- ∂vj ∂xj -------- η ∂ ∂xi -------- div v+ + + ργi Fi ∂P ∂xi --------Ð= µ ∇2 vi µ η+( ) ∂ ∂xi -------- div v+ + ργ F= grad PÐ µ ∇2 v µ η+( )+ + grad div v ργ F= grad PÐ µ ∇2 v µ 3 ---+ + grad div v ρ ∂v ∂t ------ v grad v+     ρ γ F= grad PÐ µ ∇2 v+= ρ ∂vr ∂t -------- vr ∂vr ∂r -------- vθ r ----- ∂vr ∂θ -------- vθ 2 r ------Ð vz ∂vr ∂z --------+ + + Fr ∂P ∂r -------Ð µ ∂2vr ∂r2 -----------+= 1 r --- ∂vr ∂r -------- vr r2 -----Ð 1 r2 ----- ∂2vr ∂θ2 ----------- 2 r2 ----- ∂vθ ∂θ ---------Ð ∂2vr ∂z2 -----------+ + + ρ ∂vθ ∂t --------- vr ∂vθ ∂r --------- vθ r ----- ∂vθ ∂θ --------- vr vθ r ----- vz ∂vθ ∂z ---------+ + + + Fθ 1 r --- ∂P ∂r -------Ð µ ∂2vθ ∂r2 ------------+= 1 r --- ∂vθ ∂r --------- vθ r2 -----Ð 1 r2 ----- ∂2vθ ∂θ2 ------------ 2 r2 ----- ∂vr ∂θ --------Ð ∂2vθ ∂z2 ------------+ + + ρ ∂vz ∂t --------- vr ∂vz ∂r --------- vθ r ----- ∂vz ∂θ --------- vz ∂vz ∂z ---------+ + + Fz ∂P ∂z -------Ð µ ∂2vz ∂r2 -----------+= 1 r --- ∂vz ∂r --------- 1 r2 ----- ∂2vz ∂θ2 ----------- ∂2vz ∂z2 -----------+ + +
  11. 11. ______________________________________________________________________________________________________________ ÉCOULEMENT DES FLUIDES Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique BE 8 153 − 11 Ainsi : (52) Cette remarque est importante car elle permet de mettre en évi- dence le fait que, dans le cas d’un écoulement irrotationnel (rot v = 0) d’un fluide incompressible (div v = 0), la viscosité n’intervient plus : (53) Le fluide réel s’écoule à la manière d’un fluide parfait. 3.3 Équation intégrale du bilan de la quantité de mouvement En général, l’écriture de l’équation intégrale du bilan de la quan- tité de mouvement ne fait intervenir aucune différence entre les for- ces appliquées au système. Elle est obtenue, pour un régime permanent, à partir de l’équation du bilan de la quantité de mouvement (26) : (54) Dans cette expression, la quantité : (55) correspond au débit massique du fluide à travers la surface dΩ, compté positivement si le fluide sort du volume V. Ainsi, l’équation intégrale s’écrit : (56) 3.3.1 Application à un tube de courant. Vitesse moyenne de quantité de mouvement Considérons (figure 8) un volume V contenu à l’intérieur d’une surface formée par un tube de courant et deux sections Ω1 et Ω2 qui peuvent être quelconques ou correspondre à deux sections droites. On peut alors écrire : (57) où, dans cette relation, les termes sont pris en module. Si Ω1 et Ω2 sont des sections droites et si ni sont les vecteurs uni- taires perpendiculaires à ces sections dans le sens de l’écoulement, on a, d’après la relation (55) : (58) Dans cette relation, les termes du membre de droite correspon- dent au flux de la quantité de mouvement au travers des sections droites du tube de courant. On définit alors une vitesse moyenne « capable » du flux de la quantité de mouvement, dans le cas d’un fluide incompressible, par la relation : (59) L’équation (58) s’écrit alors : (60) Cette vitesse moyenne est bien sûr différente de la vitesse capable du débit [équation (23)] : 3.3.2 Application à un filet de courant Dans le cas d’un filet de courant les vitesses vi sont constantes sur les sections droites Ωi. Comme par ailleurs le débit est constant [équation (24)], l’équation (57) s’écrit : (61) Cette équation est à la base de l’étude dynamique simple des tur- bomachines. 3.4 Équation de Bernoulli. Fluide pesant incompressible en écoulement stationnaire Par définition, un fluide pesant est un fluide pour lequel les forces volumiques extérieures (forces de champ) sont réduites aux forces de pesanteur. Dans ce cas, la force volumique F est donnée par la relation : F = − ρ grad gz (62) où gz est l’énergie potentielle de l’unité de masse du fluide, z étant l’altitude du point considéré. L’équation de Navier-Stokes (50) devient, en admettant que l’accélération de la pesanteur g soit constante : ργ F= grad PÐ µ rot rot vÐ 2µ η+( ) grad div v+ ργ F= grad PÐ ρ v vn( ) Ω R v ρ vn( ) Ωd Ω ∫==d Ω ∫ ρ vn Ω = dMúd v dMú Ω ∫ R= R v2 dM2 ú Ω2 ∫= v1 dM1 ú Ω1 ∫Ð dMi ú R n2 ρ2 v2 d 2 Ω2 Ω2 ∫= n1 ρ1 v1 d 2 Ω1 Ω1 ∫Ð Figure 8 – Application de l’équation intégrale de la quantité de mouvement à un tube de courant v2 n2 n1 ni normales extérieures aux secteurs quelconques Ω Ω 1 Ω1 2 Ω2 V v1 et vQM 1 Ω ----= 2 v2 Ωd Ω ∫ R ρ vQM2 2 Ω2 n2 vQM1 2 Ω1 n1Ð[ ]= vQM vd≠ mú R mú= v2 v1Ð( ) ργ grad PÐ ρg grad zÐ= µ ∇2 v µ 3 ---+ + grad div v
  12. 12. ÉCOULEMENT DES FLUIDES ______________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. BE 8 153 − 12 © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dans cette équation, si on globalise les forces de viscosité sous la forme fv, on peut écrire : (63) La force de viscosité étant toujours opposée au sens du mouve- ment, le signe moins affecté à fv permet de noter que fv a le même sens que le mouvement. 3.4.1 Intégration de l’équation de Navier-Stokes le long d’une ligne de courant Appliquons l’équation (63) le long d’une ligne de courant (figure 9) et écrivons l’accélération dans le plan (t, n) ; avec s l’abscisse curviligne, R le rayon de courbure au point courant M selon n, la direction de la normale. Dans le plan (t, n), on peut écrire, en notant par ϖ la quantité ρg : Alors les projections de l’équation de Navier-Stokes dans le plan (t, n) deviennent : (64) (65) Si on limite l’étude à l’évolution sur la ligne de courant en écoule- ment stationnaire (la ligne de courant devient une trajectoire), la seule variable est l’abscisse curviligne s. L’équation (64) s’écrit alors : soit : (66) Le produit (ft ds) qui sera noté ρdτ correspond au travail élémen- taire volumique des forces de viscosité le long de la trajectoire. Ce travail est toujours positif car la force de viscosité − ft est dirigée dans le sens opposé à ds. Ainsi, l’équation (66) peut être écrite sous la forme : (67) L’intégration de cette équation le long de la trajectoire entre les points 1 et 2 donne : (68) C’est l’équation de l’énergie le long de la trajectoire, dans laquelle ∆ec est la variation de l’énergie cinétique par unité de masse, ∆ep la variation d’énergie potentielle (gravifique) et τ12 le travail massique des forces de viscosité entre 1 et 2. 3.4.2 Équation de Bernoulli. Charge d’un fluide. Pertes de charge Si le fluide est incompressible, ρ = cte, l’équation (68) devient : En transformant la référence à l’unité de masse en une référence à l’unité de poids et en notant par : J12 = τ12/g on obtient : (69) C’est l’équation de Bernoulli dans laquelle la somme : (70) est appelée charge du fluide C. C’est l’énergie mécanique totale du fluide pesant incompressible par unité de poids. C est homogène à une longueur. Avec cette définition, l’équation de Bernoulli (69) s’écrit : C1 = C2 + J12 (71) J12 prend le nom de pertes de charge. C’est une quantité toujours positive. Les différents termes de la charge ont les appellations suivantes : Figure 9 – Écoulement le long d’une ligne de courant ργ grad PÐ ρg grad zÐ= fvÐ γ γ Dv dt --------= = Dv dt -------- ∂v ∂t ------ v ∂v ∂s ------+= v2 R ------ grad P ϖ grad z =+ ∂P ∂s ------- ϖ∂z ∂s ----------+ ∂P ∂n ------- ϖ∂z ∂n ----------+ et fv = ft fn ρ ∂v ∂t ------ v ∂v ∂s ------+     ∂P ∂s -------Ð ϖ∂z ∂s ----------Ð ftÐ= ρ v2 R ------ ∂P ∂n -------Ð ϖ ∂z ∂n -------Ð fnÐ= v t 1 2 s M n = pression dynamique = pression d’arrêt P = pression statique = hauteur piézométrique z = altitude ϖC = pression totale ρ v dv ds ------- dP ds -------Ð ϖ dz ds -------Ð ftÐ= ρ v dv dPÐ ϖ dzÐ ft dsÐ= dv2 2 ---------- dP ρ ------- g dz dτ+ + + 0= ∆ec12 ∆ep12 dP ρ ------- τ12 0=+ 1 2 ∫+ + ∆ec12 ∆ep12 ∆P12 ρ ------------- τ12 0=+ + + v1 2 2g ------- P1 ϖ ------ z1+ + v2 2 2g ------- P2 ϖ ------ z2 J12+ + += v2 2g ------- P ϖ ---- z+ + C= ρv2 2 --------- ρv2 2 --------- P+ P ϖ ---- z+ P∗ ϖ ------=
  13. 13. ______________________________________________________________________________________________________________ ÉCOULEMENT DES FLUIDES Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique BE 8 153 − 13 Quand on suit l’unité de poids de fluide dans son mouvement le long de la trajectoire, on peut tracer trois lignes différentes (figure 10) : — la ligne d’altitude z = f(s) qui représente la trajectoire du fluide ; — la ligne piézométrique, distante de la trajectoire de la quantité P/ϖ ; — la ligne de charge, obtenue en ajoutant v2/2g à la ligne piézo- métrique. L’évolution de la ligne de charge met en évidence les pertes de charge J. De tels tracés sont courants dans les études d’hydraulique appliquée. 3.4.3 Cas particulier des trajectoires rectilignes Dans le cas de trajectoires rectilignes, le rayon de courbure R est infini. Dans l’équation (65) : on a alors : (72) À partir de l’équation de Navier (49), la projection selon n de la force de viscosité peut s’écrire : Comme vn = 0, le premier terme du membre de droite est toujours nul. Par ailleurs, même dans le cas d’un fluide compressible, à condition d’avoir une variation pas trop forte de ρ avec la position de la particule fluide : div v ≈ 0 Ainsi, le deuxième terme de fn est aussi nul. Alors l’équation (72) se réduit à : (73) Dans le cas d’un fluide incompressible ou compressible avec une faible variation de ρ, on a : soit : P + ϖz = P* = f(s) (74) La hauteur piézométrique est constante sur une normale à la tra- jectoire. Ce résultat est très utilisé en pratique. 4. Bilan de l’énergie cinétique. Équation de Bernoulli généralisée 4.1 Cas général Le théorème de l’énergie cinétique s’énonce : Pour traduire ce théorème, on utilise l’équation de bilan d’une grandeur scalaire [équation (3)]. Ici, la grandeur scalaire G est l’éner- gie cinétique Ec du fluide contenu à l’instant t dans le volume V et la grandeur volumique g, l’énergie cinétique par unité de volume ρv2/2. Alors, en notant par Ω la surface frontière avec le milieu exté- rieur, on a : (75) Dans le membre de droite se trouvent : — la puissance des forces extérieures volumiques (à distance) ; — la puissance des forces de surface (pression et viscosité) ; — la puissance des forces intérieures au système. Cette dernière puissance est due aux forces de pression et de vis- cosité à l’intérieur même du volume. Pour un volume élémentaire parallélépipédique (figure 11), le déplacement relatif de deux côtés du volume est dû à la différence des vitesses. Par exemple, ce dépla- cement au cours du temps dt de la face j selon la direction i vaut : Le travail de la force intérieure est : et la puissance de cette force s’écrit : Figure 10 – Représentation des lignes caractéristiques d’un écoulement P2 z2 J12 Sens de l'écoulement Altitude de référence Ligne de chargeLigne piézométrique Trajectoire 1 2 ω v 2 2 2g v2 R ------ 0= 0 ∂P ∂n ------- ρg ∂z ∂n ------- fn+ += fnÐ µ∇2vn µ η+( ) ∂ ∂n ------- div v+= ∂P ∂n ------- ρg ∂z ∂n -------+ 0= La variation de l’énergie cinétique pendant l’unité de temps d’un système matériel est égale à la puissance exercée par les forces intérieures et extérieures appliquées à ce système. ∂ ∂n ------- P ϖz+( ) 0= DEc dt ---------- ∂ ∂t ----- ρ v2 2 ------     V ρ v2 2 ------ v n Ω F v Vd V ∫=d Ω ∫+d V ∫= Tn v Ω Wú int+d Ω ∫+ Wú int ∂vi ∂xj -------- dxj dt Tij dxi dxk ∂vi ∂xj -------- dxj dtÐ Tij ∂vi ∂xj -------- dt dVÐ= Tij ∂vi ∂xj -------- dVÐ
  14. 14. ÉCOULEMENT DES FLUIDES ______________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. BE 8 153 − 14 © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique La généralisation de cette étude à toutes les faces et toutes les contraintes, normales et tangentielles, pour l’ensemble du volume V donne : (76) Compte tenu de l’expression des éléments du tenseur des contraintes [équation (34)], on peut écrire : Dans les second et troisième termes du membre de droite n’inter- viennent que des puissances de forces de viscosité qui transforment de l’énergie mécanique en chaleur et qui sont la cause des irréversi- bilités. C’est pourquoi cette fonction, notée Φ, est appelée fonction de dissipation mécanique : (77) Ainsi, les expressions (76) de la puissance des forces intérieures et (75) peuvent alors s’écrire, en tenant compte de l’expression de Tn donnée par l’équation (36) : (78) (79) L’équation (79) est l’équation de Bernoulli généralisée. Dans cette équation, on peut dissocier dans Tij les contraintes de pression des contraintes de viscosité. En effet, on sait que : Alors : (80) 4.2 Cas d’un fluide pesant Dans le cas où les forces volumiques sont dues uniquement à la pesanteur, leurs composantes s’écrivent : Ainsi : Or : (81) car, on peut écrire : Considérant l’équation de continuité et le fait que z est indépen- dant de t, l’équation (81) est démontrée. Ainsi, et en utilisant le théo- rème d’Ostrogradski, on a : En faisant passer ces termes de la puissance des forces à distance dans le membre de gauche, l’équation de Bernoulli généralisée, pour un fluide pesant, s’écrit : (82) Cette équation est applicable à un volume de fluide quelconque. 4.3 Écoulement d’un fluide pesant en présence d’une machine Si une partie de la surface frontière entre le fluide et le milieu exté- rieur correspond à une surface de contact avec des pièces en mou- vement de machines, on fait apparaître à part la puissance des forces surfaciques correspondant à cette partie de frontière. Cette puissance, qui correspond à une puissance échangée entre le fluide Figure 11 – Contrainte s’exerçant sur une face élémentaire perpendiculaire à xj et déplacement relatif de cette face (vi) xj + dxj xidxi Tij – Tij xj dxj 0 (vi )xj Wú int Tij ∂vi ∂xj -------- dV V ∫Ð= Tij Tij ∂vi ∂xj -------- i,j ∑ P div vÐ η div v( )2 µ ∂vi ∂xj -------- ∂vi ∂xj -------- ∂vj ∂xi --------+     i,j ∑+ += Φ η div v( )2 µ ∂vi ∂xj -------- ∂vi ∂xj -------- ∂vj ∂xi --------+    += Wú int P div v dV Φ dV V ∫Ð V ∫= ∂ ∂t ----- ρ v2 2 ------     V ρ v2 2 ------ v n Ω Fi vi dV Tij nj vi Ωd Ω ∫+ V ∫=d Ω ∫+d V ∫ P div v dV Φ dV V ∫Ð V ∫+ Tn Pn Tn ′+Ð= ∂ ∂t ----- ρ v2 2 ------     V P ρ v2 2 ------+     v n Ω F ivi dV Tij ′ nj vi Ωd Ω ∫+ V ∫=d Ω ∫+d V ∫ P div v dV Φ dV V ∫Ð V ∫+ Fi ρg ∂z ∂xi --------Ð= Fivi dV ρg ∂z ∂xi -------- vi Vd V ∫Ð= V ∫ ρg vi ∂z ∂xi -------- ∂ ∂t ----- ρgz( ) div ρgz v+= ∂ ∂t ----- ρgz( ) div ρgz v+ ρg ∂z ∂t ------ gz ∂ρ ∂t ------ gz div ρv ρgv grad z+ + += ρg ∂z ∂t ------ vi ∂z ∂xi --------+    = gz ∂ρ ∂t ------ div ρv+    + Fivi dV ∂ ∂t ----- ρgz( ) dV ρgzv n Ωd Ω ∫Ð V ∫Ð= V ∫ ∂ ∂t ----- ρ v2 2 ------ ρgz+     V P ρ v2 2 ------ ρgz+ +     v n Ω =d Ω ∫+d V ∫ T ij ′ nj vi Ωd Ω ∫ P div v dV Φ dV V ∫Ð V ∫+
  15. 15. ______________________________________________________________________________________________________________ ÉCOULEMENT DES FLUIDES Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique BE 8 153 − 15 et les éléments mobiles de machines, est appelée puissance techni- que et est notée . En considérant que cette puissance est positive si elle est reçue par le fluide et en notant par Ω le reste de la fron- tière, l’équation de Bernoulli généralisée devient : (83) 4.4 Fluide pesant contenu dans un tube de courant comportant des éléments mobiles de machine Pour un fluide pesant s’écoulant dans un tube de courant conte- nant des éléments mobiles de machine (figure 12) et en considérant le volume compris entre deux sections droites Ω1 et Ω2, l’équation (83) devient : (84) Si le régime est permanent, pour un fluide incompressible, on a, en divisant les deux membres de l’équation par ϖ pour faire apparaî- tre la charge C du fluide : (85) avec : (86) est la puissance mécanique (à ϖ près) dissipée par les frotte- ments dans le fluide. 4.5 Cas d’un filet de courant Pour l’écoulement d’un fluide compressible pesant en régime per- manent dans un filet de courant, l’équation (84) devient : Avec l’équation de conservation de la masse (24) : on a, en divisant par le débit massique : (87) Dans cette équation wt est le travail technique massique, ou éner- gie échangée entre l’unité de masse du fluide et les éléments mobi- les des machines contenues entre les sections Ω1 et Ω2. Les deux derniers termes du membre de gauche correspondent au travail massique des forces de viscosité intérieures et extérieures. L’équation (87), pour le cas où il n’y a pas de machine, combinée à l’équation (68), permet d’écrire : (88) Pour un fluide incompressible pesant s’écoulant en régime per- manent entre deux sections droites d’un filet de courant contenant une machine, l’équation (85), divisée par le débit volumique, devient : (89) où J12 correspond au travail des forces de viscosité rapporté à l’unité de poids du fluide. C’est la perte de charge entre 1 et 2. Le tra- vail technique par unité de poids wt/g est aussi appelé : hauteur hydraulique ou hauteur effective He : L’équation (89) correspond à l’équation de Bernoulli le long d’une trajectoire avec présence d’une machine. En effet, pour toute ligne de courant d’un filet de courant, la charge dans une section droite est constante. Wú t ∂ ∂t ----- ρ v2 2 ------ ρgz+     V ρ v2 2 ------ P ρgz+ +     v n Ωd Ω ∫+d V ∫ = T ij ′ nj vi Ωd Ω ∫ P div v dV Φ dV V ∫Ð V ∫ Wú t+ + ∂ ∂t ----- ρ v2 2 ------ ρgz+     V P1 ρ+ 1 v1 2 2 ------ ρ1gz1+     v1 Ω1d Ω1 ∫Ðd V ∫ P2 ρ+ 2 v2 2 2 ------ ρ2gz2+     v2 Ω2d Ω2 ∫+ Tij ′ nj vi Ωd Ω ∫= P div v dV Φ dV V ∫Ð V ∫ Wú t+ + v1 2 2g ------- P1 ϖ ------ z1+ +     v1 Ω1d Ω1 ∫ v2 2 2g ------- P2 ϖ ------ z2+ +     v2 Ω2d Ω2 ∫ Wú t ϖ ------- J+ú 12Ð= Jú12 T ij ′ nj vi Ωd ϖ -------- Φ ϖ ---- dV V ∫+ Ω ∫Ð= Jú12 P2 ρ+ 2 v2 2 2 ------ ρ2gz2+     v2 Ω2 P1 ρ+ 1 v1 2 2 ------ ρ1gz1+     v1 Ω1dÐ = Tij ′ nj vi Ωd Ω ∫ P div v dV Φ dV V ∫Ð V ∫ Wú t+ + ρ1v1Ω1 ρ2v2Ω2 mú= = Figure 12 – Tube de courant contenant des éléments mobiles de machine entre deux sections droites Ω1 et Ω2 Ω2 Ω1 v2 v1 z2 z1 n2 n1 Élément de machine P2 ρ2 ------ P1 ρ1 ------Ð P div v mú --------------------- dV V ∫Ð ∆ec ∆ep Φ dV mú --------------- V ∫+ + + T ij ′ nj vi Ωd mú -------- wt= Ω ∫Ð dP ρ ------- 1 2 ∫ P2 ρ2 ------ P1 ρ1 ------ P div v mú --------------------- dV V ∫ÐÐ= v1 2 2g ------- P1 ϖ ------ z1+ + v2 2 2g ------- P2 ϖ ------ z2 wt g ------Ð J12+ + += He wt g ------=
  16. 16. ÉCOULEMENT DES FLUIDES ______________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. BE 8 153 − 16 © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique 5. Bilan de l’énergie. Premier principe 5.1 Cas général Le premier principe de la thermodynamique exprime que la varia- tion d’énergie d’un système dans l’unité de temps est égale à la puissance des forces extérieures augmentée de la puissance thermi- que échangée entre le système et son milieu extérieur (si on se limite aux seules formes d’énergie mécanique et thermique). Dans l’équation de bilan (3), la grandeur par unité de volume g correspond à l’énergie interne d’arrêt ρea par unité de volume du fluide. On a : (90) avec u l’énergie interne massique du fluide. Dans ce qui suit, on néglige les échanges thermiques par rayon- nement et les apports d’énergie chimique par exemple. Seule la conduction entre particules de fluide en mouvement se déplaçant à des vitesses sensiblement identiques est prise en considération. La densité du flux de chaleur échangé est alors donnée par l’équa- tion de Fourier : avec la puissance thermique traversant l’unité de surface de la frontière, T la température absolue du fluide à cet endroit, λ la conductivité thermique du fluide. Ainsi, l’équation du bilan de l’énergie, conformément au premier principe s’écrit : (91) 5.2 Fluide pesant en contact avec des éléments mobiles d’une machine On peut, dans l’expression précédente, faire apparaître plus parti- culièrement la puissance échangée avec une machine, c’est-à-dire la puissance technique. Elle intervient par l’intermédiaire de forces de surface sur une surface matérielle particulière Ω′ qui est la surface frontière entre le fluide et les pièces en mouvement, le reste de la surface frontière étant noté Ω. Cette surface Ω′ n’est traversée par aucun flux de matière. On ajoute alors, dans le membre de droite, le terme . Si le flux thermique peut traverser cette surface maté- rielle en mouvement, l’intégration de ce flux doit avoir lieu sur l’ensemble Ω + Ω′ de la surface frontière entre l’élément de fluide considéré et son milieu extérieur. En reprenant le cas d’un fluide pesant pour lequel on a noté que (§ 4.2) : et en tenant compte de l’expression (36) des composantes de la contrainte surfacique agissant sur la face d’orientation n et de l’expression du tenseur des contraintes (34) : on a : (92) Intégrée dans le cas d’un fluide s’écoulant, par des canalisations, à travers un système matériel quelconque, cette équation n’est autre que le bilan enthalpique, dans lequel le premier terme du second membre est nul puisque vi = 0 le long des parois et qu’on néglige la puissance des forces de viscosité sur les sections normales aux canalisations. Le dernier terme du membre de droite représente la puissance thermique échangée à travers les parois et les sections droites de canalisations. La somme des termes : est l’enthalpie totale massique alors que : est l’énergie totale massique : énergie interne + énergie cinétique + énergie potentielle gravifique massique. 5.3 Fluide pesant s’écoulant dans un filet de courant et traversant une machine Si le volume V correspond au fluide compris entre les sections droites Ω1 et Ω2 d’un filet de courant, l’équation (92), compte tenu de l’équation de conservation de la masse (24) et si on néglige les effets de la viscosité à la surface du filet de courant, devient : (93) 5.4 Équation de la thermique des fluides en écoulement L’équation du bilan de l’énergie cinétique (79) dans laquelle on a ajouté la puissance technique s’écrit : g ρea≡ ρu ρ v2 2 ------+= qΩ ú qΩ ú λ grad T( ) n= qΩ ú ∂ ∂t ----- ρu ρ v2 2 ------+     V ρu ρ v2 2 ------+     v n Ω F v Vd V ∫=d Ω ∫+d V ∫ Tn v Ω λ grad T( ) n Ωd Ω ∫+d Ω ∫+ Wú t Fivi dV ∂ ∂t ----- ρgz( ) dV ρgz v n Ωd Ω ∫Ð V ∫Ð= V ∫ Tin Tijnj Pδij njÐ T ij ′ nj+= = ∂ ∂t ----- ρgz ρu ρ v2 2 ------+ +     V P ρgz ρu ρ v2 2 ------+ + +     v n Ω =d Ω ∫+d V ∫ T ij ′ nj vi Ω Wú t λ grad T( ) n Ωd Ω Ω ′+ ∫+ +d Ω ∫ Qú u v2 2 ------ P ρ --- gz+ + + ht= et u v2 2 ------ gz+ += ∂ ∂t ----- ρet( ) Vd V ∫ mú ht2 ht1Ð[ ]+ Wú t Qú+= Wú t Fi vi dV V ∫ Tij nj vi Ωd Ω ∫+ + ∂ ∂t ----- ρ v2 2 ------     V ρ v2 2 ------ v n Ωd Ω ∫+d V ∫= P div v dV Φ dV V ∫+ V ∫Ð
  17. 17. ______________________________________________________________________________________________________________ ÉCOULEMENT DES FLUIDES Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique BE 8 153 − 17 En reportant cette relation dans l’équation du bilan de l’énergie (91), dans laquelle on prend également en compte la puis- sance technique, on obtient : (94) Pour un domaine quelconque et en appliquant le théorème de la divergence (ou d’Ostrogradski), on a : (95) Dans cette équation, les deux premiers termes peuvent s’écrire : ce qui, compte tenu de l’équation de la conservation de la masse donne : Par ailleurs, on peut aussi écrire : soit : Alors l’équation (95) devient : (96) En notant encore que : l’équation (96) devient : (97) Dans cette expression, on reconnaît l’enthalpie du fluide h = u + P/ ρ. Comme, pour un fluide monophasique : où β est le coefficient de dilatation isobare : le d’Alembertien de l’enthalpie s’écrit : avec : et Ainsi, l’équation (97) devient : (98) C’est l’équation de la thermique des fluides en écoulement. s Cas particuliers q Dans le cas d’un gaz parfait, où le coefficient β est égal à l’inverse de la température et la fonction dissipation Φ est négligea- ble, on a : q Quel que soit le fluide, on peut souvent faire l’hypothèse que la conductivité thermique du fluide est constante. L’équation (98) devient alors : q Si le fluide est immobile, la fonction dissipation Φ est nulle puisqu’il n’y a pas de déformation. Si, de plus, la pression est cons- tante, on a : (99) C’est l’équation de la chaleur en régime variable, qui s’écrit également : dans laquelle a est la diffusivité thermique : a = λ / ρcp q Enfin, dans de nombreux cas pratiques, les quantités : et Φ sont négligeables. Alors l’équation (98) devient : ou encore : (100) Avec l’hypothèse de la constance de λ, on obtient : (101) C’est l’équation du transfert thermique dans un fluide en mouve- ment lorsque les échanges thermiques n’ont lieu que par conduc- tion. Elle contient un terme de transport d’énergie thermique (le deuxième du membre de gauche), un terme d’accumulation d’éner- gie thermique appelé souvent inertie thermique (le premier du membre de gauche) et un terme dit de diffusion de l’énergie thermi- que (membre de droite). Elle peut être complétée par un terme source. En effet, dans l’équation (91), on a considéré uniquement les transferts thermiques par conduction entre l’élément fluide et son milieu extérieur. Si un dégagement de chaleur interne a lieu (réac- tion chimique par exemple) ou si le fluide absorbe un rayonnement thermique, il faut tenir compte de ces phénomènes en ajoutant un terme de source (puissance volumique de la source) dans le membre de droite. v ∫ ∂ ∂t ----- ρu( ) V ρu v n Ω P div v dV Φ dV V ∫+ V ∫Ð=d ∫+d λ grad T n Ωd Ω ∫+ ∂ρu ∂t ---------- div ρu v P div v+ + Φ div λ grad T+= ρ ∂u ∂t ------- u ∂ρ ∂t ------ u div ρ v ρ v grad u+ + + ρ ∂u ∂t ------- v grad u+ ρ Du dt --------= ∂ρ ∂t ------ div ρ v+ 0 ∂ρ ∂t ------ ρ div v v grad ρ+ += = div v 1 ρ --- ∂ρ ∂t ------ v grad ρ+    Ð 1 ρ ---Ð Dρ dt --------= = ρ Du dt -------- P ρ --- Dρ dt --------Ð Φ div λ grad T+= ρ D P ρ⁄( ) dt -------------------- DP dt -------- P ρ --- Dρ dt --------Ð= ρ D dt ------ u P ρ ---+     Dρ dt --------Ð Φ div λ grad T+= dh cp dT 1 ρ --- 1 TβÐ( ) dP+= β 1 v --- ∂v ∂T -------     P 1 ρ --- ∂ρ ∂T -------     P Ð= = Dh dt -------- ∂h ∂T ------- DT dt -------- ∂h ∂P ------- DP dt --------+= ∂h ∂T ------- cp= ∂h ∂P ------- 1 ρ --- 1 TβÐ( )= ρ cp DT dt -------- Tβ DP dt -------- Φ div λ grad T+ += ρ cp DT dt -------- DP dt -------- div λ grad T+= ρ cp DT dt -------- βT DP dt -------- Φ λ ∇2 T+ += ρ cp ∂T ∂t ------- λ ∇2 T= ∂T ∂t ------- a ∇2 T= DP dt -------- ρ cp DT dt -------- div λ grad T= ρ cp ∂T ∂t ------- ρ cp vi ∂T ∂xi --------+ div λ grad T= ρ cp ∂T ∂t ------- ρ cp vi ∂T ∂xi --------+ λ ∂2T ∂xi 2 ---------= Qúvs
  18. 18. ÉCOULEMENT DES FLUIDES ______________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. BE 8 153 − 18 © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Si un échange thermique a lieu localement entre le fluide et une surface matérielle, on peut tenir compte de manière spécifique et artificielle de cet échange en considérant un terme supplémentaire au terme (grad T )n. Ce terme, qui correspond à un échange thermi- que par convection, a la forme générale suivante : hc (Tp − Tf ) = hc ∆T avec hc coefficient de convection, Tp et Tf respectivement la température de la paroi et celle du fluide loin de la paroi. L’équation générale de la thermique des fluides, déduite de l’équation (98), est alors : (102) avec Ωf la surface de séparation fluide-fluide, Ωm la surface de séparation fluide-paroi. Cette équation peut être simplifiée dans le cas où la variation de pression est faible et où la dissipation d’énergie mécanique est négligeable. En notant, de plus que : a) b) div ρ cp T v = T div ρ cp v + ρ cp v grad T c) T div ρ cp v = T cp div ρv + T ρv grad cp = 0 [la dernière relation n’est vraie que si on néglige la compressibilité du fluide (div ρv = 0) et si cp est constante (grad cp = 0)], on a : Enfin, en utilisant le théorème de la divergence, l’équation (102) devient : (103) C’est une équation de bilan qui ne contient que des termes d’éner- gie thermique, comme l’équation de Bernoulli généralisée ne conte- nait, de manière explicite, que des termes d’énergie mécanique. ρ V ∫ cp DT dt -------- dV Tβ DP dt -------- Φ+     dV V ∫ λ grad T( ) n Ωfd Ωf ∫+= Qúvs dV V ∫ hc ∆T Ωmd Ωm ∫+ + ρ cp DT dt -------- ρ cp ∂T ∂t ------- ρ cp v grad T+= ρ cp DT dt -------- ρ cp ∂T ∂t ------- div ρ cp T v+= ρ V ∫ cp ∂T ∂t ------- dV ρ cp T v n Ωfd Ωf ∫+ λ grad T( ) n Ωfd Ωf ∫= hc ∆T Ωmd Ωm ∫ Qúvs dV V ∫+ +

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