Apostila 3 bim 7 ano escola nova

MATEMÁTICA – 3º BIMESTRE/2015
7ºANO
Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
3º BIMESTRE
ESCOLA NOVA CRIANÇA E CIA
2015

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MATEMÁTICA – 3º BIMESTRE/2015 7ºANO
Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
Mestre em Educação Matemática – UNESP (Rio Claro) – Capes 6
Licenciado em Ciências / Matemática – Guaxupé
Licenciado em Pedagogia (Administração e Supervisão Escolar) – Jaboticabal
Especialista em Matemática – UFSJ
Especialista em Matemática - Guaxupé
Especialista em Metodologia do Ensino da Matemática – Jaboticabal
Aprovado em 1º lugar em 2003 em concurso com 250.000 concorrentes
Ex-elaborador de questões para o ENEM/ENCCEJA - INEP
Teleconferencista e Produtor de Material Didático pelo IESDE Brasil
Ex-formador de Professores de Matemática na Rede Federal
Professor desde 1994

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INTRODUÇÃO
Esse material foi elaborado durante 20 anos de trabalho docente, e, muitas vezes são
inspirados em outros livros e textos coletados na Internet.
Foi organizado para ser utilizado na Escola Nova em Monte Santo de Minas nos meses de
agosto, setembro e primeira semana de outubro, para as disciplinas de Matemática e Geometria
do 7º ano, pelo Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães, no ano de 2015.
Os gabaritos e roteiros de estudos serão entregues separadamente. Todos os vistos serão
feitos nesse material, onde há razoável espaço para resolução.
Os conteúdos trabalhos são os conteúdos tradicionais do 7º ano / 6ª série, abordados no
mesmo nível de profundidade que a maior parte dos livros didáticos.
Matemática exige dedicação e um certo esforço. Percebemos que no Brasil e no Mundo os
estudantes demonstram muita dificuldade na disciplina, e, se esta for estudada com mais dedicação
pode fazer uma diferença muito grande em vestibulares, concursos e processos seletivos no futuro.
O conteúdo de Matemática precisa ser aprendido cedo, na hora certa, e exige dedicação do
aluno e apoio da família para que o estudante tenha tempo e local para estudar. Recomendamos
também acesso à Internet para assistir vídeos sobre os assuntos e estudar.
A autonomia é muito importante para aprender Matemática. Além de ficar atento à todas as
aulas, os estudantes devem em casa e sozinhos treinar uma grande quantidade de exercícios.
Não é produtivo o professor corrigir todos os exercícios em sala de aula, pois é a quantidade
de exercícios necessárias para um bom aprendizado demanda tempo superior ao possível. O aluno
tem que aprender a estudar sozinho e utilizar os momentos de aula para tirar dúvidas, socializar
idéias, aprimorar o conhecimento e aprender com o professor os caminhos para o aprendizado.
O fracasso do ensino da Matemática no Brasil e no Mundo está na insistência das fórmulas
prontas e repetitivas. A Matemática exige além do treino também raciocínio autônomo, análise dos
problemas, interpretação, etc.
É um questionamento comum o aluno dizer que tem outras matérias e não somente a
Matemática. Sobre isso, temos algumas argumentações em favor da grande quantidade de
exercícios:
 A Matemática demonstra ser a disciplina onde os estudantes no Brasil demonstram maior
dificuldade, talvez pela sua profundidade e nível de abstração.
 A carga horária de Matemática (incluída a Geometria) corresponde a cerca de ¼ do currículo
da turma.
 A Matemática exige não apenas o estudo, mas ‘acostumar-se’ com as técnicas e regras, o
que exige treino, domínio e disciplina.
Notamos que os alunos com melhor desempenho nas provas não são os estudantes com
mais facilidade, talento ou aptidão, mas aqueles que tem disciplina de estudo, dedicação e
perseverança.
Então vamos aproveitar as oportunidades!
Muzambinho/Monte Santo de Minas, 31 de julho de 2015
Prof. Otávio Sales

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“UM NOVO ENSINO DE MATEMÁTICA”
Texto de Luís Márcio Imenes e Marcelo Léllis,
Retirado do Manual do Professor do livro de Matemática dos dois (1997)
POR QUE MUDAR?
Todos conhecem o velho medo da Matemática. Ele pode até ter diminuído, pois, com o mundo em mudança, o
ensino naturalmente progride. Mas, mesmo hoje, a Matemática ensinada da maneira tradicional é a disciplina que
apresenta o mais baixo desempenho dos alunos e é, ainda, a que mais reprova. Isso acontece no Brasil e no
mundo inteiro!
Tanta dificuldade exigia um remédio. Há tempos, psicólogos, pedagogos, professores e matemáticos de várias
nacionalidade vêm estudando as causas do fracasso do ensino da Matemática e as maneiras de evitá-lo. Formou-
se um movimento internacional dedicado à educação matemática, com propostas de mudanças bem-sucedidas
nos conteúdos e nos métodos de ensino.
ONDE FALHA O ENSINO TRADICONAL?
É importante conhecer as principais causas do fracasso do ensino tradicional, para não repetir os mesmos erros:
1. A programação é mal distribuída.
2. Desconsidera o desenvolvimento cognitivo do aluno.
3. Há conteúdos que nem desenvolvem o raciocínio e nem têm aplicações práticas.
4. O enfoque do ensino tradicional é incorreto. Gasta-se mais tempo treinando cálculos mecânicos do que
trabalhando com idéias. É um duplo erro: na época das calculadoras e dos computadores, o treino de cálculo
perde importância; gastando tempo demais com mecanismos, os alunos não aprendem a pensar.
O objetivo de todos nós, professores de Matemática, é desenvolver o raciocínio lógico do aluno. Só que, no ensino
tradicional, isso não se dá plenamente!
E COMO CONSERTAR?
O movimento de educação matemática, além de detectar os problemas, também busca soluções. Ele vem
mudando currículos e formas de ensinar nos Estados Unidos, França, Espanha e também no Brasil.
Atualmente, é consenso entre os educadores matemáticos que, no ensino bem-sucedido, os alunos precisam
compreender aquilo que aprendem e que essa compreensão é garantida quando eles participam da construção
das idéias matemáticas. É uma mudança significativa!
No passado, professor bom era o que explicava tudo muito bem.
Com as novas idéias, professor bom é aquele que prefere ajudar o aluno a descobrir, construir, pensar, em vez
de dar tudo pronto.
Sempre se falou que a Matemática deveria desenvolver o raciocínio, mas isso nunca ocorria para a maioria dos
alunos. Agora, finalmente, estamos chegando lá. Muitas inovações já atingiram as salas de aula, graças aos
esforços de dedicados pesquisadores na área de educação matemática.
TEXTOS QUE ABORDAM A BAIXA QUALIDADE DO ENSINO DA MATEMÁTICA
EVIDÊNCIAS PARA UMA MUDANÇA
Educadores, pais, cientistas, políticos. Muitos colaboram, involuntariamente para o fracasso do Ensino da
Matemática, resistindo em mudar. Temos que mudar, a prova cabal da necessidade de mudança é a situação que se
encontra o ensino internacional. Na avaliação PISA, com vários países, o Brasil ficou no vergonhoso último lugar em
conhecimento matemático. Muitas pesquisas apontam deficiências da aprendizagem e analfabetismo funcional, além
de má formação de professores e da péssima qualidade de livros didáticos. A mudança desta situação, que afeta toda
a sociedade, começa com a mudança do ensino da Matemática.
O livro “Exame de Textos: Análise de livros de Matemática para o Ensino Médio”, lançado pela Sociedade
Brasileira de Matemática, pelo Instituto de Matemática Pura e Aplicada do CNPq e pela Fundação Vitae, em 2001
fazem críticas ao modo de ensinar no Ensino Médio. Não só na parte escrita, mas refletindo-se na forma de se ensinar.
O livro foi organizado por Elon Lages Lima, mais renomado professor de Matemática do Brasil.
Sobre o programa da maior parte dos livros do Brasil, ele fala algumas citações duras “Apresentação obscura”,
“Mistifica e deseduca”, “Um acúmulo de impropriedades”, “definida incorretamente”, “anacrônica”, “o livro em questão
não contribui positivamente para o aprendizagem da Matemática”, “erros conceituais, definições e notações
inconvenientes, imprecisão, obscuridade, confusão de conceitos e até mesmo contradições”, “desconexão entre
conceitos apresentados em uma seção e suas aplicações”, “não estimula o raciocínio dedutivo e indutivo”, etc... Na
página 180, ao analisar o livro Giovanni e Bonjorno – volume 1, faz a importante citação:“Uma pergunta que fica é se
algum aluno poderá gostar de Matemática, tendo estudado por um livro que lhes sonega as aplicações interessantes
e a estrutura lógico-dedutivo da Matemática, dando a impressão que a Matemática reduz-se à aplicações de fórmulas
misteriosas, obtidas a partir da observação de uns poucos exemplos. Além disto, o presente livro pode estimular em
alguns professores de Ensino Médio o mau hábito de refugiar-se atrás de um algebrismo mecânico e estéril, ao invés
de enfrentar, junto com seus alunos, as questões desafiadoras que constituem a beleza e a utilidade da Matemática”.É
fundamental revermos urgentemente nossos livros e materiais didáticos, pois, em sua maioria são materiais que

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sonegam aplicações interessantes e a estrutura lógico-dedutiva da Matemática, e tem poder destruidor. Tal material é
negativo em 100% dos casos. Se ensinar – o que é improvável, pois nó máximo pode levar à decoreba – ensina fazendo
a pessoa odiar Matemática – e com razão.
TEXTO I
O caderno SINAPSE do jornal “A Folha de São Paulo”, publicou em 25/02/2003, uma grande matéria, com chamada
de capa, com o nome “A Matemática que conta” – “brasileiro não é bom de cálculo, mostra pesquisa; pedagogia velha
é a nova vilã da história”. Com 7 páginas sobre o alto grau de analfabetismo matemático do brasileiro.
A pesquisa aponta que 79% dos brasileiros são analfabetos em Matemática. 32% apenas conseguiram realizar
apenas tarefas como: anotar um número de telefone ditado, ver horas no relógio e verificar datas num calendário. Só
44% foram capazes de realizar operações elementares de subtração e adição com dinheiro. 3% foram considerados
analfabetos totais, não conseguindo sequer anotar um telefone.
A reportagem entrevista Ubiratan D’Ambrósio, Célia Carolino Pires, Maria Ignez Diniz, Antônio José Lopes
Bigode e Luís Márcio Imenes, entre outros e considera a pedagogia tradicional como grande vilã. Veja alguns trechos,
que seguem das constatação das assustadoras estatísticas de analfabetismo funcional (só uma parte do texto):
Essa comparação permitiu que, no meio acadêmico, os resultados da pesquisa sobre conhecimento
matemático não fossem considerados tão ruins. Para alguns educadores, porém, essa percepção complacente
em nada contribui para tornar realidade a ambição do desenvolvimento científico-tecnológico do país. É o caso
do professor Antônio José Lopes, ou Bigode, como é chamado.
Autor de livros didáticos para o ensino fundamental, Bigode procura desenvolver uma conceituação mais
exigente para o analfabetismo funcional em matemática. “Nossa situação é um caos estrutural”, afirma Bigode.
O problema não está restrito ao Brasil, mas aqui a situação é particularmente grave. Em comparações
internacionais, como a realizada pelo Educacional Testing Service, dos Estados Unidos, o Brasil sempre
desponta entre as últimas posições. Para Bigode, há consenso sobre a causa do problema: a falha na educação.
“A matemática da escola não diz nada para o aluno sobre o mundo que o cerca.”
A crítica vem dos tempos da matemática moderna, que, concebida nos EUA, marcou profundamente o
sistema educacional brasileiro até a década de 80. “A herança da matemática moderna foi um ensino centrado
no cálculo mecânico, carente de significado e construído em degraus estanques”, avalia o professor Luis Imenez.
A crítica ao movimento [da Matemática Moderna] é quase uma unanimidade no meio acadêmico, mas
há quem faça ressalvas. “Não era um movimento intrinsecamente errado, mas foi abortado ainda no seu início,
pois ninguém se preocupou em preparar os professores e a sociedade”, diz o pesquisador Ubiratan D’Ambrósio.
“Esse é um problema comum em todas as reformas: só depois pensam na formação do professor.”
Na tradição brasileira, a formação do professor depende sobretudo do livro didático. Esse material de
apoio tem sido renovado. Nos últimos cinco anos, surgiram diversos livros produzidos a partir de concepções
mais modernas. Muitos são recomendados pelo Ministério da Educação. Mas há resistência de pais como de
professores educados à moda antiga.
Alguns não se conformam, por exemplo, com a pouca importância que hoje se dá às frações [nota do
autor: isto não é um fato verdadeiro]. Muito implicam com a liberação do uso da calculadora em sala de aula,
algo que Bigode não abre mão. “O aluno precisa aprender a usá-la com inteligência”, diz. “Qual é o sentido de
ensinar, hoje, como calcular à mão a raiz quadrada de 2?”, pergunta. Autores contemporâneos tentam a
concordar com ele. Acham que o aluno deve perder menos tempo com contas e investir mais na resolução
criativa de problemas, usando o raciocínio e aprendendo a fazer relações contextualizadas. A partir dos avanços
da pedagogia, os matemáticos têm usado diferentes recursos, como jogos, histórias, informática, relações
culturais, ligações com o cotidiano e modelos matemáticos associados a situações reais.
A forma tradicional de ensinar matemática deixou muitas vítimas pelo caminho. Poucas conseguiram
reagir, como o artista plástico Antonio Peticov, que repetiu cinco vezes a 2ª série do ensino fundamental por não
saber matemática. “Tive um professor que disse, no primeiro dia de aula, que toda a classe seria reprovada”,
lembra. “A matemática tem de ser ensinada docemente, senão trava qualquer pessoa.”
A ironia é que Peticov, ao contrário do que seu registro escolar sugere, tem especial talento para
números: tornou-se famoso internacionalmente por desenvolver uma arte baseada em diversos conceitos
matemáticos, como a regra de ouro – um parâmetro de proporcionalidade que foi um paraidgma estético da arte
clássica. Seu interesse levou-o a ser convidado a integrar o seleto grupo da Lewis Carroll Society, que reúne
especialistas em matemática recreativa.
Autor de “Alice do País das Maravilhas”, Carroll não dispensava lições de matemática e lógica em seu
texto. Em certos momentos, Alice está perdida e pergunta aonde deve ir. A resposta que obtém é também uma
pergunta: “Para onde você quer ir?”. Ela diz: “Para qualquer lugar”. “Ora, então tome qualquer caminho” é a
solução que recebe para o seu problema. “Essa é uma linda lição de lógica matemática”, diz Peticov.
Da mesma opinião compartilha o cineasta e arquiteto José Roberto Neffa Sadek, hoje superintendente
do Itaú Cultural. Depois de sofrer na mão de professores, Sadek persistiu em sua paixão e se tornou diretor de
um dos projetos mais premiados do vídeo educativo brasileiro, a série “Arte & Matemática” (2001).
Para atender a aluno como esses, pesquisadores vêm se empenhando nos últimos 20 anos em abrir
novas portas para o aprendizado, como a etnomatemática, que se baseia no respeito às raízes culturais do
aluno, e outras ramificações da ciência matemática. “O grande desafio é fazer essa pesquisa chegar à sala de
aula”, diz a matemática Célia Maria Carolino Pires, da SBEM.

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Veja o gráfico publicado:
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Um dos grandes paradigmas do ensino da Matemática no Brasil é o da
“Resolução de Problemas”. Este paradigma ficou claro com a obra do matemático
George Pòlya, “A Arte de Resolver Problemas” (“How to solve it”, no original),
traduzido para o Português pela Editora Interciência. Este livro, feito por um
matemático profissional valoriza o método heurístico e valoriza o aprendizado das
resolução de problemas como elemento mais importante da Educação
Matemática.
Paulo Freire, em toda sua carreira, centraliza o problema do ensino de sua
pedagogia, na “problematização”.
Nos anos 80, um dos livros do ano do NCTM – National Council of Teachers of
Mathematics, Conselho de Professores de Matemática dos Estados Unidos, tem o
título “Problem solving in school mathematics” (“Resolução de Problemas na
Matemática Escolar”), traduzido para o português pelo prof. Hygino H. Domingues,
pela Atual Editora. Este livro trata de 22 artigos sobre o paradigma da Resolução
dos Problemas.
Na apresentação do livro, o prof. Hygino faz o comentário: “Nas últimas
décadas, a preocupação com o ensino da matemática traduziu-se em alguns
movimentos bem definidos. Nos anos 60, foi a “matemática moderna”, que buscou
soluções no formalismo e nas estruturas. Nos anos 70, o “retorno ao básico”, de certa forma uma reação diante do
malogro da matemática moderna. Para os anos 80, muitos educadores matemáticos eminentes chegaram a eleger a
“resolução de problemas” como a grande prioridade do ensino da matemática”. O prof. Hygino fala da “matemática

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moderna” nos anos 60, mas esta vigorou no Brasil até os anos 80 em alguns livros didáticos. Fala no “retorno ao básico”
(“back to basics”), mas o Brasil, devido a pedagogia tecnicista da Ditadura Militar, não conheceu este movimento. E
fala, sobre a “resolução de problemas”, que para muitos educadores, é a grande
prioridade, mas, devemos ressaltar que este não é o único paradigma.
Muitos professores acreditam que o ensino da Matemática se
deve fazer exclusivamente através da resolução depor problemas. É um engano.
Este é apenas um dos vários paradigmas existentes.
Não nos aprofundaremos no tema. Procure vários livros,
principalmente os acima citados, para conhecer mais sobre o assunto. Na RPM
7, está publicado em língua portuguesa o artigo O ensino por meio de
problemas, de George Pólya.
É importante ressaltar neste paradigma, que um conceito é bastante
defendido e utilizado por Pólya e seus seguidos: o conceito de Heurística.
Heurística é o estudo dos caminhos e meios da descoberta e invenção; estuda,
especialmente na resolução de problemas essas etapas que se apresentam
naturalmente, com freqüência e que têm alguma probabilidade de nos conduzir à
solução.
Pólya faz inúmeras citações importantes sobre a resolução de
problemas, que devemos considerar: “A Matemática não é um esporte para espectadores...” “A resolução de problemas
tem sido a espinha dorsal do ensino da Matemática desde a época do papiro de Rhind. A obra de Euclides pode ser
considerada como uma grande proeza pedagógica: dissecar o grande tema da Geometria em problemas manejáveis.”
Sobre Pòlya, Elon Lages Lima diz: “O trabalho de Pólya sobre o ensino da Matemática é maravilhoso
simplesmente porque não propõe truques, fórmulas miraculosas, ou muito menos pomposas teorias pseudo-
psicológicas.”
TEXTO
A ARTE DE RESOLVER PROBLEMAS
Como resolver um problema?
PRIMEIRO – Você tem de entender o problema.
ENTENDENDO UM PROBLEMA – Qual é a incógnita? Quais são os dados? Quais são as condicionantes? É possível
satisfazer as condicionantes? Estas são suficientes para determinar a incógnita? Ou insuficientes? Ou redundantes?
Ou contraditórias? Esboce uma figura. Introduza uma notação conveniente.
SEGUNDO – Ache a ligação entre os dados e a incógnita. Você poderá ser obrigado a considerar problemas
auxiliares, no caso de não encontrar uma ligação imediata. Finalmente, você deverá traçar um plano de
resolução.
ARQUITETANDO UM PLANO – Você já viu antes? Ou o viu numa forma ligeiramente diferente? Você conhece um
problema correlato? Você conhece um teorema que possa ser útil?
Observe a incógnita! E tente se lembrar de um problema que tenha a mesma incógnita ou uma semelhante.
Eis um problema correto com o seu já resolvido antes. Você seria capaz de usá-lo? Seria capaz de usar o resultado
desse problema? E seu método? Seria preciso introduzir algum elemento auxiliar a fim de tornar possível seu uso?
Você seria capaz de reformular o problema? Seria capaz de reformulá-lo uma vez mais, de maneira diferente? Retorne
às definições.
Se você não é capaz de resolver o problema proposto, tente resolver um correlato a ele. Você seria capaz de imaginar
um problema correlato mais simples? E um problema mais geral? E um caso particular dele? E um problema análogo?
Você seria capaz de resolver parte do problema? Mantenha apenas algumas das condicionantes, desprezando as
outras; então, até que ponto a incógnita fica determinada e qual seu novo campo de variação? Você seria capaz de
deduzir algo de útil dos dados? Seria capaz de imaginar outros dados, convenientes para a determinação da incógnita?
Você seria capaz de mudar a incógnita ou os dados, ou ambas as coisas, de maneira a aproximá-los entre si?
Você usou todos os dados? Usou todas as condicionantes? Levou em conta todas as noções essenciais que o
problema encerra?
TERCEIRO – Execute seu plano.
EXECUTANTO O PLANO – Ao executar seu plano de resolução, verifique cada passo. Você é capaz de ver claramente
que um determinado passo é correto? É capaz de provar que ele é correto?
QUARTO – Examine a solução obtida.
FAZENDO UM RETROSPECTO – Você é capaZ de verificar o resultado? E o argumento? Você é capaz de obter o
resultado de outra maneira? Pode perceber isso num relance? Você é capaz de usar o resultado, ou o método, noutro
problema?
George Pólya

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Aulas 1 e 2
Resolução de Problemas com Equações do 1º
Grau
Exemplo 1:
O triplo de um número somado com 8 resulta 32. Que
número é este.
x - um número
3x - o triplo de um número
Sentença: 3x+8=32
Resolução 3x+8=323x=32-
83x=24x=24/3x=8
Conclusão: como x=8, o número é 8.
Resposta: o número procurado é 8.
Exemplo 2:
A soma do dobro de um número com 17 é igual a 45.
Calcular esse número.
Número procurado: x
Equação: 2x+17=45
Resolução: 2x+17=452x=45-
172x=28x=28/2x=14
Conclusão: o número procurado é 14
Resposta: O número procurado é 14.
Exemplo 3:
A metade de um número aumentada de 15 é igual ao
dobro do mesmo número menos 45. Determinar esse
número.
Número procurado: x
Equação:
x
2
15 2x 45  
Solução da Equação: x=40
Conclusão: o número procurado é 40
Resposta: o número procurado é 40.
Exemplo 4:
A soma de dois números é 420. O maior deles é
igual ao menor mais 60. Determinar os dois números?
Número menor: x
Número maior: x+60
Equação: x+x+60=420
Conclusão: o número menor é 180, então o
número maior é x+60=180+60=240.
Resposta: Os números são 180 e 240
Exemplo 5:
Natália e Giovana são amigas. A soma de suas idades
é 35. Descubra quantos anos tem cada uma, sabendo
que Natália tem três anos menos que Giovana.
Idade de Natália: x Idade
de Giovana: x+3
Equação: x+x+3=35
Solução da Equação: x=16.
Conclusão: Natália tem 16 anos, e Giovana,
x+3=16+3=19 anos.
Resposta: Natália tem 16 anos e Giovana, 19.
Exemplo 6:
A Soma de dois números é 56. O maior deles é
igual ao triplo do menor. Determinar os dois números.
Número maior: x
Número menor: 3x
Equação: x+3x=56
Resultado da Equação: x=14
Conclusão: o número menor é 14, enquanto o
maior é 3x=3.14=42
Resposta: Os números são 14 e 42

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Exemplo 7
A soma de dois números é 97, e a diferença entre eles
é 31. Quais os dois números? (Um segundo modo de
resolver.)
Número maior: x
Número menor: x-31
Equação: x+x-31=97
Solução da equação: x=64
Conclusão: o número maior é 64, e o menor é x-
31=64-31=33
Resposta: Os números procurados são 64 e 33.
Exemplo 8
A soma de três números é 47. Sabe-se que o segundo
supera o primeiro em 7 unidades, e o terceiro supera o
segundo em 3 unidades. Determinar os três números.
1º Número: x 2º Número: x+7
3º Número: x+7+3=x+10
Equação: x+x+7+x+10=47
Conclusão: o 1º número é 10, o 2º número é
10+7=17 e o 3º número é 17+3=20.
Resposta: Os números são 10, 17 e 20
EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS – PARA CASA
1. O triplo de um número somado a 4 é igual a 25.
Calcule esse número.
Incógnitas: _________________________________
Equação Correspondente:
Resolução:
Resposta:_____________________________________
2. A diferença entre o triplo de um número e 90 é igual
a este número somado com 48. Qual é o número?
Incógnitas: _________________________________
Equação Correspondente:
Resolução:
Resposta:_____________________________________
3. Comprei uma geladeira por R$ 60,00. Dei R$ 180,00
de entrada e o resto será pago em 3 prestações
mensais iguais. Qual é o valor de cada prestação?
4. Uma tábua de comprimento 100 cm deve ser
repartida em duas partes. O comprimento da parte
maior é igual ao triplo do comprimento da menor.
Determinar o comprimento de cada uma das partes.
5. A metade de um número mais a sua terça parte e
mais 10 é igual ao próprio número. Que número é
esse?

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6. O triplo de um número é igual à terça parte do mesmo
número aumentada de 80. Qual é este número?
7. Alexandre adquiriu um terreno para a construção de
uma casa que ocupará 2/5 do terreno. Os 300 m2
restantes serão destinados a área livre. Qual a área
do terreno? Qual a área da casa?
8. A soma de dois números é 45. O maior deles supera
o menor em 7 unidades. Quais são os dois números?
9. Num terreno de 800 m2, a área construída tem 180
m2 a mais que a área livre. Determine a área
construída e a área livre.
10. A soma de dois números é 56 e sua diferença é 14.
Quais são esses números?
11. Reparta 281 em duas parcelas de forma que a
diferença entre elas seja 31.
12. Angélica comprou um vestido e uma bolsa, pagando
pelos dois R$ 52,00. O preço do vestido é igual ao
dobro do preço da bolsa mais R$ 10,00. Quanto
Angélica pagou pelo vestido?
13. Uma indústria, em expansão, produziu, em fevereiro
e março, 500 unidades de um certo produto. Em
março, o número de unidades produzidas foi o triplo
do número de unidades produzidas em fevereiro.
Qual foi a produção da fábrica em cada um desses
meses?

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14. No primeiro bimestre deste anos, Susana ficou com
nota 6,0. Essa nota é a média aritmética das três
provas realizadas. Na segunda prova, ela obteve 2
pontos mais que a primeira e, na terceira, sua nota
foi o dobro da primeira. Quais as notas obtidas por
ela?
EXERCÍCIOS OPCIONAIS (Caderno)
1) A diferença entre o triplo de um número e 20 é igual a 34.
Calcule o número.
2) A soma da metade de um número com 20 é igual a 50. Qual
é esse número?
3) Um terreno de 900 m2
de área foi reservado para a construção
de uma escola. Essa escola deverá ter 8 salas de aula do
mesmo tamanho e um pátio de 260 m2
de área. Qual deverá
ser a área de cada sala de aula?
4) Somando 8 anos ao dobro da idade de Simone, obtemos 20
anos. Qual é a idade de Simone?
5) O quádruplo do número de meninos da 6ªD menos 6 é igual a
26. Quantos são os meninos da 6ª D?
6) Num estacionamento encontram-se 15 carros e x motos,
perfazendo um total de 100 rodas. Quantas motos estão
estacionadas? Qual é o total de veículos?
7) Júnior e Luís jogaram na mesma equipe de basquete. No
último jogo dessa equipe, os dois marcaram juntos 52 pontos.
Júnior marcou 10 pontos a mais que Luís. Quantos pontos
Júnior marcou nessa partida?
8) Em uma prova do campeonato mundial de Fórmula-1, Nelson
Piquet desiste ao completar os 2/5 do percurso total da prova.
Se tivesse corrido mais 40 km, teria cumprido a metade do
percurso total. De quantos km é o percurso total da prova?
9) 2/3 da idade de Strauss, mais 24 anos, é igual ao dobro da
sua idade. Determine a idade de Strauss.
10) 2/5 da quantia que recebo como mesada são depositados em
caderneta de poupança. Ainda me restam R$ 600,00. Qual é
a quantia que recebo como mesada?
11) A terça parte da mediada da base de um retângulo menos 5
m é igual a 10 m. Qual é a medida da base desse retângulo?
12) Um número menos 12 é igual a ¾ do mesmo número. Qual é
esse número?
13) O triplo de um número menos 40 é igual à sua metade mais
20. Qual é esse número?
14) Sabe-se que 3/5 da idade de Vânia menos 15 é igual a 9. Qual
é a idade de Vânia?
15) Thalita comprou 5/8 de um terreno; um mês depois comprou
mais 240 m2
e assim ficou com o terreno todo. Qual a área
desse terreno?
16) Hoje, numa classe, o número de meninos presentes é igual ao
número de meninas. Isso aconteceu porque faltaram 5
meninas e 1 menino. Quantos alunos tem essa classe se o
número de meninas é 5/9 do número de alunos?
17) Gisele comprou dois livros, um de matemática e outro de
história, pagando ao todo R$ 45,00. O livro de matemática
custou R$ 5,00 a mais que o livro de história. Qual o preço do
livro de matemática.
18) A soma de dois números é 77. O maior supera o menor em 7
unidades. Quais são esses números?
19) Um número é o triplo de outro. Somando os dois, temos 84.
Quais são esses números?
será dividido em 2 lotes, sendo que a
área de um é o dobro da área do outro. Qual a área do terreno
maior?
21) Daniela tem 3 anos mais que Fernanda. A soma de suas
idades é 33. Qual a idade de Daniela?
22) Somando dois números consecutivos, obtemos 195. Quais
são esses números?
23) A soma da idade de um pai e de um filho é 51 anos e a
diferença entre as suas idades é 21 anos. Qual é a idade de
cada um?
24) Num jogo de basquete uma equipe ganhou da outra por uma
diferença de 7 pontos. As duas somaram 189 pontos.
Quantos pontos fez a equipe vencedora
25) A soma das idades de Luana e Otávio é igual a 30. Sabendo
que existe uma diferença de idades de 6 anos à mais para
Otávio, determine a idade de Luana.
26) A soma de dois números é 81. O maior deles é igual ao dobro
do menor. Quais são esses números?
foi repartido em duas partes. A área da
parte menor é igual à quarta parte da área da parte maior.
Determine a área de cada uma das partes.
28) Repartir 196 em 3 parcelas, de modo que a segunda seja o
dobro da primeira e a terceira seja o dobro da segunda.
29) Num concurso de música popular foram distribuídos R$
450,00 em prêmios. O segundo colocado recebeu o dobro do
terceiro e o primeiro, o triplo do segundo. Qual foi o prêmio do
primeiro colocado?
30) Comprei 2 calças e 3 camisas por R$ 130,00. As camisas têm
o mesmo preço. Uma das calças custou tanto quanto 2
camisas e a outra calça custou a metade do preço das 3
camisas. Qual foi o preço de cada camisa e de cada calça?
Calcule dois números sabendo que a soma deles é 108, e a
diferença entre eles é 32.
31) A quantia de R$ 60,00 foi repartida entre Luana e Angélica.
Sabe-se que a diferença entre as quantias recebidas por
Luana e Angélica foi de R$ 12,00, nessa ordem. Qual a
quantia que Angélica recebeu?
32) São distribuídos 29 livros como prêmio de uma gincana
realizada por três equipes. As equipes P e R receberam a
mesma quantidades de livros, enquanto a equipe L recebeu
dois livros a mais que a equipe P. Quantos livros recebeu cada
equipe?
33) Thalita tinha 2 anos quando Strauss nasceu, e Strauss tinha 7
anos quando Alexandre nasceu. A soma das idades atuais
dos três é 46 anos. Qual é a idade atual de cada um?
34) A soma de três números é 150. O segundo é o triplo do
primeiro e o terceiro tem 10 unidades a mais do que o
segundo. Quais são esses números?
35) A coleção de medalhas que as irmãs Daniela, Fernanda e
Luana conquistaram no atletismo soma 142 medalhas.
Fernanda tem o quádruplo de medalhas de Daniela e Luana
tem o triplo das de Fernanda, mais 6 medalhas. Quantas
medalhas conquistou cada uma?
36) Um livro de matemática tem 260 páginas. A parte de álgebra
é o triplo da de geometria, e a parte de aritmética tem 20
páginas menos que a de álgebra. Quantas páginas tem a
parte dedicada à geometria?
37) A soma de três números inteiros consecutivos é 228. Calcule
esses números.
Espaço para Visto
Data:____/____

12
Aula 3
Grau
Resolução de Problemas com Equações do 1º Grau
Exemplo 9:
Pensei em um número, dobrei, somei 10, multipliquei por
4, tirei 40, dividi por 2, deu 20. Em que número pensei?
Observe a montagem da Equação:
Pensou no número x
Dobrou: 2x
Somou 10: 2x+10
Multiplicou por 4: 4(2x+10)=8x+40
Tirando 40: 8x+40-40=8x
Dividindo por 2: 8x/2=4x
Como o número resultante foi 20: 4x=20
Solução da equação: x=5
Resposta: Pensei no número 5
EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS
1. Pensei em um número. Multipliquei por 3 e
somei 4. Deu 40. Em que número pensei?
2. Pensei em um número. Somei 10. Multipliquei o
resultado por 3 e subtraí 20. Deu 70. Em que
número pensei?
3. (FUVEST-80) A soma de um número com sua
quinta parte é igual a 2. Qual é o número?
4. Comprei uma bicicleta, a prazo, por R$ 108,00.
Dei R$ 24,00 de entrada e vou pagar p restante
em três prestações mensais, iguais. Qual é o
valor de cada prestação?
5. (FAAP-SP-80) Um comerciante, no final do
anos, distribuiu uma parte do seu lucro entre
seus três empregados. O primeiro recebeu 2/5
da parte do lucro mais R$ 50,00; o segundo
recebeu 3/7 da parte do lucro mais R$ 70,00; o
terceiro recebeu R$ 90,00. Qual foi a parte do
lucro distribuída?

13
6. Uma indústria em expansão admitiu 500
empregados durante os três primeiros meses do
anos. Em janeiro admitiu 80 empregados, e em
março admitiu o triplo de empregados admitidos
em fevereiro. Quantos empregados foram
admitidos em cada um desses dois meses?
7. Numa prova de matemática, um aluno acertou
5/8 das questões, e errou 6 questões. Quantas
questões tinha a prova?
EXERCÍCIOS OPCIONAIS
1) Pensei em um número. Multipliquei por 4. Subtraí 10. Dividi por
10. Deu 5. Em que número pensei?
2) Pensei em um número. Multipliquei por 5. Dividi por 2 e tirei o
número em que tinha pensado. Deu 6. Em que número pensei?
3) A soma do quádruplo do número com 17 é igual a 65. Calcule
esse número.
4) Ao triplo de um número adicionamos 12, e o resultado é igual ao
quíntuplo do mesmo número. Qual é esse número?
5) A soma da metade de um número com 21 é igual ao dobro do
mesmo número menos 9. Determine esse número.
6) Uma casa com 130 m2
de área construída tem três dormitórios
do mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório se as
outras dependências da casa ocupam uma área de 70 m2
?
7) Calcule o número tal que a soma da metade com a quinta parte
do número seja igual ao próprio número diminuído de 12.
8) Um aluno acertou 7/10 do número de questões de uma prova de
Matemática. Sabendo-se que errou 15 questões, qual o número
de questões da prova?
9) Uma pesquisa foi feita sobre a preferência na leitura de três
jornais. Verificou-se que a metade dos entrevistados lia o jornal
A, a terça parte lia o jornal B, e 400 outras pessoas liam o jornal
C. Quantas pessoas foram entrevistadas?
10) A soma de dois números é 140. O maior deles supera o menor
em 18 unidades. Calcule esses números.
11) Daniela tinha 5 anos, quando Luana nasceu. Atualmente, a
soma das suas idades é 45 anos. Calcule a idade de cada uma.
12) Zico e Tita foram os principais goleadores do Flamengo no
último campeonato, e marcaram juntos 26 gols. Zico fez 4 gols
a mais que Tita. Quantos gols fez cada um?
13) Num terreno de 1200 m2
, a área construída deve ter 300 m2
a
mais que a área destinada a jardins. Qual será a área
construída?
14) Uma escola ocupa um terreno de 6000 m2
de área. Sabe-se que
a área construída é o quádruplo da área livre existente. Calcule
a área construída e a área livre da escola.
15) Calcule dois números inteiros e consecutivos cuja soma é 95.
16) A soma de dois números é 117 e a diferença entre eles é 47.
Calcule os dois números.
17) Num jogo de basquete, os quadros A e B marcaram juntos 154
pontos. O quadro A foi o vencedor por diferença de 12 pontos.
Qual foi a contagem final deste jogo?
18) Numa eleição para o Cento Cívico de uma escola concorrem
duas chapas, A e B. Votaram 960 alunos, e a diferença entre o
número de votos da chapa A e da chapa B foi de 80 votos.
Quantos votos obteve a chapa A
19) Numa indústria, o número de mulheres é igual a 3/5 do número
de homens. Se fossem admitidas mais 20 mulheres, o número
destas ficaria igual ao número de homens. Quantos homens e
quantas mulheres trabalham na fábrica
20) Luana comprou uma calça e uma camisa, pagando, ao todo R$
47,00. O preço da calça foi o dobro do preço da camisa, mais
R$ 8,00. Quanto Luana pagou pela calça?
21) A soma de três números é 46. O segundo tem 4 unidades a mais
que o primeiro, e o terceiro tem 5 unidades a mais que o
segundo. Calcule esses três números
22) Devo repartir R$ 30,00 entre três pessoas, A, B e C. Sabe-se
que A e B devem receber quantias iguais, e C deve receber R$
6,00 a mais que a. Qual a quantia que devo dar a cada pessoa?
de área deve ser repartido em três lotes,
de tal forma que o segundo lote tenha o dobro da área do
primeiro, e o terceiro tenha 100 m2
a mais que o segundo. Qual
deverá ser a área de cada lote?
24) Três alunos disputam o cargo de representante da 6ª Série D
que tem 43 alunos. Sabendo-se que o vencedor obteve 6 votos
a mais que o segundo colocado, e que este obteve 5 votos a
mais que o terceiro colocado, pergunta-se quantos votos obteve
o vencedor.
25) Distribuíram-se 360 bolinhas em três urnas. Sabendo-se que a
segunda tem o dobro de bolinhas da primeira, e a terceira tem o
triplo de bolinhas da segunda. Quantas bolinha foram colocada
em cada urna?
26) O triplo de um número somado a 9 é igual a 30. Qual é esse
número?
27) O triplo de um número somado ao próprio número é igual a 68.
Qual é esse número?
28) A soma de um número com a sua terça parte é igual a 24. Qual
é esse número?
29) A soma de um número com 2/5 dele é igual a 49. Qual é esse
número?
30) Na 6ª D, o número de meninos é igual a 2/5 do total de alunos
da classe. Se forem matriculados mais 6 meninos, o número de
meninos ficará igual ao número de meninas. Quantos alunos
tem a classe?
31) A diferença entre o dobro de um número e a sua terça parte é
igual a 80. Qual é esse número?
foi dividido em dois lotes. Um lote tem 100
m2
mais que o outro. Qual é a mediada de cada lote?
33) A soma de dois números inteiros e consecutivos é 61. Quais são
esses números?
Espaço para Visto
Data:____/____

14
REPOSITÓRIO PARA TREINO
317) A soma de dois números pares consecutivos é 126. Quais são
esses números?
318) Determine dois números ímpares consecutivos cuja soma seja 60.
319) Determine três números inteiros consecutivos cuja soma seja 24.
320) A soma de dois números é 85. O menor é 2/3 do maior, menos 5.
Calcule os dois números.
321) Comprei livros de Orígenes Lessa e Vinícius de Moraes, num total
de 22 livros. O número de livros de Orígenes é igual ao triplo dos de
Vinícius, menos 10. Quantos livros de Orígenes foram comprados?
E de Vinícius?
322) Edson, comprou, para a Unidade Municipal de Esportes, bolas de
vôlei e de basquete, num total de 59 bolas. O número de bolas de
vôlei compradas é igual ao triplo de bolas de basquete, menos 5.
Quantas bolas de basquete foram compradas? E de vôlei?
332) No revezamento 4x100 m, as atletas Luana, Angélica, Thalita e
Vânia obtiveram a marca de 56 segundos. Os tempos das três
primeiras foram expressos por números inteiros e consecutivos e o
tempo da quarta foi de 14 segundos. Qual o tempo de cada uma?
foi repartido em dois lotes, sendo que cada
um deles tem 30 m2
a mais que o outro. Qual é a área de cada lote?
334) Na eleição para o Centro Cívico, votaram 943 alunos. A chapa B
teve 7 votos a mais que a chapa C, a vencedora, teve 5 votos a mais
que a chapa B. Quantos votos teve a chapa vencedora?
335) Reparta R$ 260,00 entre três pessoas, de modo que a primeira
receba o dobro da segunda e a terceira R$ 20,00 mais que a
segunda.
336) Devo pagar R$ 540,00 em duas prestações, sendo que a segunda
prestação é a metade da primeira. Qual é o valor de cada prestação?
337) A soma da idade de três irmãos é 28 anos. Quando o segundo
nasceu, o primeiro tinha 3 anos e quando o terceiro nasceu, o
segundo tinha dois anos. Qual é a idade atual de cada um?
338) Num concurso, um prêmio de R$ 600,00 foi distribuído entre três
pessoas, da seguinte maneira: o segundo colocado recebeu o dobro
do terceiro, e o primeiro, o triplo do terceiro. Quanto recebeu o
primeiro colocado?
TESTES DE VESTIBULAR
339) Daniela tem 18 anos e Fernanda 15 anos. Há quanto tempo a
idade de Daniela era o dobro da idade de Fernanda?
a) 3 anos b) 6 anos c) 9 anos d) 12 anos
340) Luana e Rafaela compraram um violão por R$ 84,00. Rafaela
entrou com ¾ do valor dado por Luana. O valor dado por Luana foi:
a) R$ 36,00 b) R$ 42,00 c) R$ 48,00 d) R$ 72,00
341) Numa propaganda de calça jeans, cada manequim recebeu R$
25,00 mais que cada figurante. Participaram da propaganda 2
manequins e 9 figurantes, que receberam um total de R$ 270,00.
Cada figurante recebeu:
a) R$ 750,00 b) R$ 450,00 c) R$ 300,00 d) R$ 200,00
342) Uma unidade de esportes recebeu bolas de vôlei e de basquete,
num total de 80 bolas. O número de bolas de vôlei é triplo do número
de bolas de basquete diminuído de 4. O número de bolas de vôlei e
de bolas de basquete é, respectivamente:
a) 61 e 19 b) 59 e 21 c) 63 e 21 d) 57 e 23
343) Num campeonato de futebol de salão, as três primeiras equipes
classificadas, A, B, C, marcaram 115 gols. A equipe A marcou 12
gols mais que a equipe C e 8 gols mais que a equipe B. A equipe B
marcou:
a) 45 b) 37 c) 33 d) 29
344) O coral de uma escola tem 122 vozes. Os números de vozes tenor
e baixo são, nessa ordem, números pares consecutivos. A soma dos
números de vozes soprano e contralto é o triplo do número de vozes
tenor. Então o número de vozes tenor é:
a) 18 b) 24 c) 26 d) 72
345) Luana já conquistou 71 medalhas em atletismo. O número de
medalhas de prata é o dobro do número de medalhas de bronze e
11 menos que as medalhas de ouro. O número de medalhas de
outro já conquistadas por Luana é:
a) 12 b) 24 c) 35 d) 60
346)O triplo de um número menos a sua metade é igual a 25. O número
é:
a) 10 b) 12 c) 20 d) 30
347) A soma de um número com 3, e o quociente deste mesmo número
por 3 são iguais. Logo, este número é:
a) 9/2 b) -9/2 c) 9/4 d) -9/4
348) Luana tem hoje 36 anos, e seu filho, 6 anos. Dentro de quantos
anos, a idade de Luana será igual ao quádruplo da idade de seu
filho?
foi comprado para construir um pavilhão.
Este pavilhão deverá ter 5 salas do mesmo tamanho e um pátio cuja
área deve ser igual ao triplo da área de cada sala. Logo, cada sala
terá uma área de:
a)
60 m2
b) 80 m2
c) 70 m2
d) 50 m2
350) Um reservatório está cheio de água até 4/7 de sua capacidade
total. Como faltam ainda 12000 l para enchê-lo, podemos afirmar
que a capacidade total do reservatório é de:
a) 84 000 l b) 56 000 l c) 28 000 l d) 42 000 l
351) Luana quer repartir uma certa quantidade de balas entre as
crianças de uma creche. Se der 15 balas a cada criança, sobram 10
balas e se der 16 balas a cada criança, ficam faltando 10 balas.
Luana tem para repartir:
a) 300 balas b) 290 balas c) 320 balas d) 310 balas
352) A diferença entre um número e 2 é igual ao quociente do mesmo
número por 2. Esse número é:
a) 4/3 b) -4/3 c) ¾ d) -¾
353) A diferença entre o triplo de um número e a sua metade é igual a
25; esse número é:
a) 50 b) 25 c) 20 d) 10
354) Numa partida de basquete, o quadro A marcou 6 pontos a mais
que o quadro B. Os dois quadros fizeram juntos 170 pontos. Então,
a contagem do jogo foi favorável ao quadro A por:
a) 86 a 80 b) 88 a 82 c) 90 a 80 d) 87 a 83
355) Num terreno, a área construída corresponde aos 3/5 da área do
terreno e a área livre é de 320 m2
. Então, a área do terreno é de:
a) 480 m2
b) 600 m2
c) 800 m2
d) 900 m2
356) Uma pessoa quer distribuir R$ 50,00 entre seus folhos. O mais
novo deve receber a metade do que recebe o mais velho, mais R$
5,00. Então, o filho mais novo deve receber:
a) R$ 30,00 b) R$ 20,00 c) R$ 15,00 d) R$ 25,00
357) Numa cidade, existem dois jornais, A e B. Numa pesquisa de
opinião, verificou-se que 2/5 dos entrevistados preferiam o jornal A
e 300 pessoas preferiam o jornal B. Quantas pessoas foram
entrevistadas?
a) 400 pessoas b) 500 pessoas c) 520 pessoas d) 600 pessoas
358) Saullo, André e Silas têm juntas, 63 anos. Saullo e André têm a
mesma idade, enquanto Silas é 3 anos mais velho que os dois. Logo
Silas tem:
359) Uma escola tem 200 alunos. O dobro do número de meninos é
igual ao triplo do número de meninas. Então, na escola há:
a) 120 meninos b) 80 meninos
c) 150 meninos d) 50 meninos
360) A soma da metade de um número com 7 e a diferença entre o
mesmo número e 3 são iguais. Qual é esse número?
a) 50 b) 40 c) 32 d) 30

15
Aula 4
Grau
Resolução de Problemas com Equações do 1º Grau
e a Geometria
O perímetro de um retângulo é 30 cm. A medida da base
supera a medida da altura em 3 cm. Determinar as
dimensões desse retângulo:
x+3
x
x
x+3
Medida da altura: x Medida da base: x+3
Equação: x+(x+3)+x+(x+3)=30
Resposta da equação: x=6
Conclusão: a altura mede 6 cm, a base mede
x+3=6+3=9cm.
Resposta: As dimensões do retângulo são 6cm
e 9cm.
A área de um trapézio mede 50 m2. A medida da base
menor é 8m, e a medida da altura é 5m. Calcular a
medida da base maior.
Medida da base maior: x
Fórmula: A
B b h

( ).
2
Equação:
(x 

8).5
2
50
Resposta da equação: x=12
Conclusão: B=12
Resposta: A base maior mede 12 m.
1. O perímetro de um retângulo é 60 cm. A medida
da base é igual ao dobro da medida da altura.
Calcule as dimensões do retângulo.
2. O perímetro de um triângulo é 27 cm. As
medidas dos lados são expressas por três
números inteiros e consecutivos. Quais as
mediadas dos lados do triângulo?

16
3. Num terreno retangular, a lateral mede 12 m a
mais que a frente. Se o perímetro do terreno é
76 m, calcule as suas dimensões.
4. Um terreno tem a forma de um trapézio com
uma área de 270 m2. A base maior mede 20 m,
e a altura mede 15 m. Quanto mede a base
menor?
5. A área de um triângulo é 27 m2. Se a medida da
altura é 6m, determine a medida da base.
6. A área de um terreno retangular é 360 m2.
Sabendo que o terreno tem 12 m de frente,
calcule a medida de sua lateral.
7. A fórmula F
9
5
c 32  , pode ser usada para
converter a temperatura lida em um termômetro
que mede em graus centígrados para a
temperatura lida em termômetro que mede em
graus Fahrenheit (este, usado nos Estados
Unidos). Encontre a temperatura em graus
centígrados, sabendo que, num determinado
dia, os termômetros registravam 104 graus
Fahrenheit.
1) Um terreno retangular tem 108 m de perímetro. O
comprimento é o dobro da largura. Calcular a área desse
terreno.
2) As medidas dos lados de um triângulo são números inteiros
e consecutivos. Determine a medida de cada lado, sabendo
que seu perímetro é 36 cm.
3) O perímetro de um retângulo é 176 m. Calcule as medidas
dos lados, sabendo que o comprimento é o triplo da largura.
4) A base de um retângulo tem 8 cm mais que a largura. Seu
perímetro é igual ao perímetro de um quadrado com 19 cm
de lado. Quanto mede a base desse retângulo?
5) A base de um triângulo mede 18 cm. Os outros dois lados
são números ímpares consecutivos. Calcule o menor
desses lados, sabendo que seu perímetro é 54 cm.
6) Um triângulo tem 126 cm2
de área. Sua altura mede 9 cm.
Calcule a mediada da base.
7) Num trapézio, a base menor e os lados oblíquos tem a
mesma medida. A base maior mede o dobro da base menor.
Calcule a mediada dos lados oblíquos, sabendo que o
perímetro mede 60 cm.
8) Um terreno retangular com x+10 metros de comprimento e
x metros de largura foi dividido em lotes; um é quadrado, de
lado x e outro retangular, com 240 m2
de área. Qual o valor
de x?
9) Um terreno retangular com x+10 metros de comprimento e
x metros de largura foi dividido em dois lotes: um é
quadrado, de lado x e outro retangular, com 240 m2
de área.
Qual é o valor de x?
10) Um retângulo tem 36 m de perímetro. O comprimento tem
2m mais que a largura. Quais são as medidas desse
retângulo.
11) Um triângulo tem 72 cm de perímetro. As medidas de seus
lados são expressas por três números inteiros e
consecutivos. Calcule essas medidas.
12) A altura de um triângulo mede 12 cm. Calcule as mediada
da base, sendo que sua área é de 90 cm2
.
13) Para calcular o perímetro de um retângulo, usamos a
fórmula p=2c+2l, onde p indica o perímetro, c indica o
comprimento e l indica a largura. Se o perímetro de um
retângulo mede 60 cm e o comprimento é igual ao dobro da
largura, determine o comprimento e a largura desse
retângulo.
14) O volume de um tanque cilíndrico, pode ser calculado
usando-se a fórmula V=.r2
.h, onde V indica o volume, r
indica a medida do raio da base e h indica a altura do
cilindro. Calcule a altura desse tanque cilíndrico que tem um
volume de 1884 m3
e um raio de base 10m. Use =3,14.
15) Para calcular o volume de um paralelepípedo retângulo,
pode usar a fórmula V=abc, onde V indica o volume, a indica
o comprimento, b indica a largura e c indica a altura. Se o
volume de um paralelepípedo é 4800 cm3
, calcule o
comprimento se o peralelepípedo tem 8 cm de largura e 20
cm de altura
16) Quanto mede a base menor de um trapézio onde a base
maior mede 20 m, a altura mede 15 m e a área é 270 m2
?
Espaço para Visto
Data:____/____

17
O EPITÁFIO DE DIOFANTO
Aula 5
Equações Impossíveis e Identidades
Equações impossíveis e identidades
Até agora foi possível determinar a raiz da
equação dada. Existem, porém, equações que não têm
nenhuma raiz e outras que têm infinitas raízes.
Observe os seguintes exemplos.
a) Equação 3x-9=3x
3 9 3
3 3 9
0 9
x x
x x
x
 
 

 Não existe nenhum número que multiplicado
por 0 resulte 9.
 Essa equação não tem solução. Dizemos,
então, que é uma equação impossível.
 Logo: S=.
b) Equação 3x+5=3x+5
3x 5 3x 5
3x 3x 5 5
0x 0
  
  

 Qualquer número racional multiplicado por
zero é igual a zero.
 A equação tem infinita soluções.
 Equações que se reduzem à forma 0x=0 são
chamadas identidades.
 Logo: S=IR.
Espaço para Visto
Data:____/____

18
Resolva as equações (e escreva se são identidades ou
equações impossíveis se for o caso):
1) 3x=9-3x
2) 8+x=4)-2(x-3x
3) x)-2(1=2)+4(x-5)+2(x
4)
2
1
2
1
2
x 

x
5)
6
1+5x
=
2
1-x
+
3
2+x
6) 8+3x=5x
Resolva as equações (e escreva se são identidades ou equações
impossíveis se for o caso):
1) 7-2x=7-2x
2) 15-4x=3)+4(x
3) 15+5x=3)+5(x
4) 5)+2(x=4x-1)+3(2x
5) 6)-3(y=1)+2(y-2)-5(y
6)
12
x)-5(1
=
3
1+2x
-
4
1+x
7) 5x+4=3+7x
8) 3x+10+4x=6+7x
9) 3)+(2x-10=3)-2(x-1)+5(x
10) x
10
1
+2=x
5
1
-
4
3
+x
2
1
11) 10+4x=x+1)+3(x
12)
4
x-1
+
2
1
=
10
4-x
-
5
x
13) 11-6x=1)-4(x-3)-5(2x
14) 3)+4(y=2)-2(y-1)-3(2y
15) 1
8
2
3
4-x



x
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19
Auto Estudo 1
Verificando se um valor é resultado da equação
Raízes de uma equação
Resolver uma equação é determinar o seu conjunto
verdade.
O conjunto verdade de uma equação depende de seu
conjunto universo, que é um conjunto numérico.
Vamos esclarecer isso.
Considere a equação x2
=25.
 Se o conjunto universo for U=IN, então V={5}
 Se o conjunto universo for U=Z, então V={-5, 5}
 Se o conjunto universo for U={..., -6, -4, -2, 0, 2, 4,
6, ...}, então V=, pois não existe número pertencente ao
conjunto universo cujo quadrado dê 25.
Os elementos do conjunto verdade de uma equação
são chamados raízes da equação.
Exemplos:
a) O conjunto verdade da equação x+3=5, com
U=IN, é V={2}
Então 2 é a raiz dessa equação.
b) O conjunto verdade da equação 2x+1=-9, com
U=Z, é V={-5}
Então -5 é a raiz dessa equação
c) O conjunto verdade da equaçaõ x2
=9, com U=IR,
é V={-3, 3}.
Então -3 e 3 são raízes dessa equação.
Para verificar se um número é raiz de uma equação,
substituímos a variável pelo número dado. Se a sentença
obtida for verdadeira, o número será raiz da equação; caso
contrário, não.
Exemplos:
a) Para verificar se o número 5 é raiz da equação
x+2=7, sendo U=IR, substituímos x por 5.
Assim, temos:
5+2=7
7=7 (V)
Logo: 5 é raiz da equação x+2=7
b) Para verificar se o número -3 é raiz da equação
2x+15=9 (como não foi dado o conjunto universo, supomos
U=IR), substituímos x por -3.
Assim, temos:
2(-3)+15=9
-6+15=9
9=9 (V)
Logo -3 é raiz da equação 2x+15=9
c) Para verificar se o número 4 é raiz da equação
3x+2=5, substituímos x por 4.
Assim, temos:
3.(4)+2=5
12+2=5
14=5 (F)
Logo: 4 não é raiz da equação 3x+2=5
d) Verificar quais números do conjunto {-2, 3/2,2} são
raízes da equação 2x2
-7x+6=0.
Verificando para x=-2
2x2
-7x+6=0
2.(-2)2
-7.(-2)+6=0
2.4+14+6=0
8+14+6=0
28=0 (F)
O número -2 não é raiz.
Verificando para x=2
2x2
-7x+6=0
2.( 2)2
-7.(2)+6=0
2.4-14+6=0
8-14+6=0
0=0 (v)
O número 2 é raiz.
Verificando para x=3/2
2x
2
7x 6 0
2.
3
2
2
7.
3
2
6 0
2.
9
4
21
2
6 0
9 21 12
2
0
0
2
0
0 0 (V)
  
  
  
 





 

 

 


O número 3/2 é raiz.

20
Verifique:
a) Se o número 6 é raiz da equação 2x+3=15
b) Se o número -5 é raiz da equação 4y+8=y+17
c) Se o número½ é raiz da equação 3x+½=2
d) Se o número 2 é raiz da equação 3x2
-5x-2=0
1)Verifique se
a) Se o número 2 é raiz da equação 4a-5=1
b) Se o número 4 é raiz da equação 2(x+1)-4=5
c) Se o número 3/2 é raiz da equação 2x-1=2
d) Se o número -5/3 é raiz da equação 6x+2=3x-3
2) (XXV Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível 2 – 1a
fase – 2003) Na figura, o número 8 foi obtido somando-
se os dois números diretamente abaixo de sua casinha. Os outros números nas três linhas superiores são obtidos da
mesma forma. Qual é o valor de x?
42
8
3 5 x 6
A) 7 B) 3 C) 5 D) 4 E) 6
3) (ENCCEJA – Ensino Fundamental – 2002) Em virtude de um vazamento no banheiro de sua casa, uma pessoa
terá que fazer uma reforma nas instalações hidráulicas. Consultou uma firma especializada e obteve duas propostas:
Proposta I: R$ 4.000,00 independente do tempo gasto na obra.
Proposta II: R$ 2.000,00 de sinal e mais R$ 100,00 por dia gasto na obra.
Para que essa pessoa gaste menos ela deve escolher a proposta
(A) I, se a obra durar 18 dias. (B) I, se a obra durar 22 dias.
(C) II, se a obra durar 18 dias. (D) II, se a obra durar 22 dias.
4) (ENCCEJA – Ensino Fundamental – 2002) Considere a balança
em equilíbrio representada na figura. O número representado pela
letra x é
(A) 7.
(B) 6.
(C) 5.
(D) 4.
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21
5) (ENCCEJA – Ensino Fundamental – 2002) Os números
indicados na figura obedecem a uma determinada “lei”. Descobrindo
essa “lei” é possível argumentar que os valores X, Y e Z são:
(A) X = 61; Y = 1 e Z = 3.
(B) X = 61; Y = 10 e Z = 14.
(C) X = 9; Y = 1 e Z = 3.
(D) X = 9; Y = 10 e Z = 14.
O PROBLEMA DAS ABELHAS
A obra de Bháskara tornou-se célebre, e o nome de Lilaváti, a noiva malograda, surge imortal na história da matemática.
Pelo que se refere à matemática, Lilaváti faz exposição metódica da numeração decimal e das operações aritméticas sobre
números inteiros; estuda minuciosamente as quatro operações, o problema da elevação ao quadrado e ao cubo, ensina a extração da
raiz quadrada, e chega até mesmo ao estudo da raiz cúbica de um número qualquer. Aborda depois as operações sobre números
fracionários, com a conhecida regra da redução das frações ao mesmo denominador.
Para os problemas, adotava Bháskara enunciados graciosos e até românticos.
Eis um dos problemas do livro de Bháskara:
“Amável e querida Lilaváti, de olhos doces como os da tenra e delicada gazela, dize-me qual o número que resulta da multiplicação
de 135 por 12”.
Outro problema, igualmente interessante, que figura no livro de Bháskara refere-se ao cálculo de um enxame de abelhas:
!A quinta parte de um enxame de abelhas pousou na flor de Kadamba, a terça parte numa flor de Silinda, o triplo da
diferença entre estes dois números voa sobre uma flor de Krutaja, e uma abelha adeja sozinha, no ar, atraída pelo perfume
de um jasmim e de um pandnus. Dize-me, bela menina, qual o número de abelhas”.
Bháskara mostrou em seu livro que os problemas mais complicados podem ser apresentados de uma forma viva e até
graciosa.
Fonte: O Homem Que Calculava, Malba Tahan.
Resolva o Problema das Abelhas
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22
Aulas 6 e 7- Inequações
Resolução prática de inequações do 1º grau com
uma variável
A resolução de inequações do 1º grau com uma
variável é feita procedendo de maneira semelhante à
resolução de equações, ou seja, transformando cada
inequação em outra inequação equivalente mais simples,
até se obter o conjunto verdade.
Exemplo 1
Resolver a inequação 5x+3>2x+15, sendo U=IR.
Passamos 2x para o primeiro membro e +3 para
o segundo membro: 5x-2x>15-3
Reduzimos os termos semelhantes: 3x>12
Passamos 3 dividindo e temos: x>4
Logo: S={xIR | x>4}.
Exemplo 2
Resolver a inequação: 4(x-2)<2(3x+1)+5, sendo
U=IR.
Simplificando temos -2x<15.
Multiplicamos por -1, devemos mudar o sentido
da desigualdade: 2x>-15  x>-15/2
Logo : S={xIR | x>-15/2}.
Exemplo 3
Resolver a inequação
x 3
3
2x 1
2
12



 , sendo
U=IN.
Resolvendo a inequação encontramos x<81/8.
81/8 é igual à 10,125. Os números naturais
menores que 10,125 são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10.
Logo V={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Exemplo 4
Encontrar o maior número inteiro que satisfaz a
inequação:
5x
2
x 3
6
2x 1

  .
Encontramos a solução x<-9/2.
Como -9/2=-4,5, devemos achar o maior número
inteiro menor que -4,5. Este número é -5.
Exemplo 5
Verificar se os números -2 e 2 são soluções da
inequação 6-5x>0.
Verificando para x=-2
Temos 16>0 (sentença verdadeira)
O número -2 é solução.
Verificando para x=2
Temos -4>0 (sentença falsa)
O número 2 não é solução.
EXERCÍCIOS OBRIGATORIOS
Resolva as inequações
1) x+2>5
2) -2x+1<-9
3) 2(x+1)<10
4) 3(x-1)-2x>10
5) x-4(x-1)>19

23
6) 5(x-2)<3(x-1)
7)
x
2
1
5
3
x  
8)
x 4
6
x 2
8



9)
x
4
3
5
x
10
1
2
  
10) 3(x 1) 
2
3
11)
1
2
1
3
1
1
3
1
2
x x





    






1) x-4(x-1)>19 2) 5(x-2)<3(x-1)
3) x+5>4(2x-1)-3x 4) 7x-3(x-2)-2>0
5) 2(x-4)+8<x 6) 2(3x-1)-4(x+2)<5x-1
7) 3(2x-1)<5x+7 8) 3(x-2)-5(x-1)<-2
9) 5x+3(x-2)>-3 10) -(x+3)>-(2x-1)
11)
x
5
x
5
1  12)
x
6
1
2
x
9
 
13)
x
3
1
x 1
2
 

14)
x 2
10
1
1 x
4

 

15)
x
5
1
4
2 x
2
 

16)
x 1
4
x
6
x 2
3
0

 


17)
x 1
6
x 2
9
2
3



 18)
x 7
5
x
10
1

 
19)
x
2
1
3
x  20) 2(1 x)
x
2
 
21)
x 5
2
3(1 x)

  22)
x 1
4
x 2
3
0




23)
1
3
(x 2)
x
2
1  
Aula 8
Inequações
1) Resolva a inequação 3-5(1-2x)<x, sendo U={-1,0,1}. 2)Determine o conjunto verdade da inequação 3(x-2)<-2x+5,
sendo U={-2,-1,0,1,2,3}
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24
3) Dê a soma dos elementos do conjunto verdade da inequação
x 1
12
5 x
18
x 3
9
7
36





 , sendo U=Z-
*
.
4) Resolva a inequação 3x-2(6-2x)<x-3(1-x), sendo U=IN.
5) Encontre o maior número inteiro que satisfaz a inequação
2x-3(x+2)<9-2(x-1).
6) Encontre o menor número inteiro que satisfaz a inequação
x
4
4x
5
1  .
102) Qual o menor número inteiro pertencente ao conjunto
verdade da inequação 1
3x 1
2
2x
3
x 1
4


 

?
103) Identifique os números do conjunto {-3, -1, 0, 1, 3} que
são soluções da inequação 5x-3(2x-1)>3x-5.
104) Verifique, sem resolver a inequação, quais dos números
-2, 0, 2 e 3 são soluções de 4x-10<x-4.
105) Qual o menor número inteiro que é solução da
inequação
x 2
3
x

  2 ?
106) Qual o maior número inteiro que é solução da inequação
5-2(x-3)>x-2(x-1)?
107) Qual o maior número inteiro que é solução da inequação
5x 1
6
x
2

  1?
108) Resolva a inequação 3(2x-6)<4(2x-2), sendo U=Z- .
109) Quais elementos do conjunto {-3, 0, 3} são soluções da
inequação 5x-2<2x+3?
110) Verifique quais dos números 4, 5 e 6 são soluções da
inequação 2x+4<5x-11.
Aulas 9 e 10
Revisão para Prova
EXERCÍCIOS DE REVISÃO OBRIGATÓRIOS
1) Um número é somado com 17 e o resultado é
multiplicado por 15. No final, obtém-se 60. Qual é o
número?
Resposta: -13
2) Uma montadora tem dois modelos de certo veículo:
o sedan (ou “carro de passeio” com 4 portas) e a
perua. O segundo modelo custa R$ 7.000,00 a mais
que o primeiro. Se os dois juntos custam R$
52.000,00, qual é o preço do sedan? Dica: represente
por x o preço do sedan e por x+7.000 o da perua.
Resposta: 22.500 reais.
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25
3) O volume do bloco retangular é 28 m3
. Seu
comprimento é 4 m, e sua largura, 2 m. Qual é a sua
altura?
Resposta: 3,5 metros
4) Dei a Mário a mesma quantidade de figurinhas que
ele tinha. Cada um de nós ficou com 150. Quantas
ele tinha antes? E eu?
Resposta: ele tinha 75 e eu 225.
5) Distribua a herança de 342 moedas de ouro entre
Harum, Mustafá e Ibn-Saud, três herdeiros árabes,
de modo que Harum receba x, Mustafá o dobro de
Harum e Ibn-Saud o triplo de Mustafá. (Cuidado:
esse triplo não é 3x!)
Resposta: Harum 38, Mustafá 76 e Ibn-Saud 228
6) O programa A arca da felicidade, do famoso
animador Juju Literato, um prêmio de R$ 270,00 foi
distribuído deste modo: a menor parte para o terceiro
colocado, R$ 50,00 a mais para o segundo colocado
e o dobro dessa última quantia para o campeão.
Quanto receberá cada premiado?
Resposta: 160, 80 e 30

26
7) Utilizando-se de equações, preencha as pirâmides
mágicas:
8) Descubra três números consecutivos que somados
resultem em 131.
9) Preencha o quadrado mágico, sabendo que a soma é
69:
10) Somando a terça parte da idade de Jack com 28 o
resultado será a sua idade. Qual é a idade dele?
Resposta: 42 anos.
11) No conjunto IN, o conjunto solução da inequação
4x-1<2+3x é:
a) S={1,2,3} b) S={1,2}
c) S={0,1,2,3} d) S={0,1,2}
12) O número -5 pertence ao conjunto solução da
inequação:
a) -3x+8 <29 b) -3x+8<-7
c) -3x+8<20 d) -3x+8<0
13) No conjunto IN, o conjunto verdade da inequação
2
3
x
1
2
2x 4
2






 

é:
a) {..., 2, 3, 4} b) {0, 1, 2, 3, 4}
c) {6, 7, 8, 9, 10} d) {6, 7, 8, ...}

27
14) Resolva as equações e inequações:
a) 4x-3=4x+6
b) 6(x-2)-4=6x-16
c)
𝑥+2
3
+
1
4
=
𝑥
2
d) 5(𝑥 − 3) − 6𝑥 < −4𝑥 + 6
e)
5
3
(𝑥 −
4
3
) +
3𝑥
2
≥ −6 −
𝑥
4
Aula 11
Prova
RESERVADO PARA IMPRESSOES SOBRE A PROVA
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28
A HISTÓRIA DA
MATEMÁTICA
REGISTRADA EM UM
MONUMENTO
Prof. Augusto Cesar Aguiar
Pimentel ( PIMENTA )
Departamento de Educação
Matemática
Universidade Federal Fluminense
- Interiorização
Santo Antônio de Pádua - RJ
A geometria se faz
presente no Norte/Noroeste
Fluminense, na cidade de
Itaocara desde sua formação
primária, pois é a única
geometricamente traçada
nesta região. Isto se explica pelos elevados conhecimentos de
arquitetura dos capuchinhos, seus idealizadores, dentre eles, Frei
Tomás. Só mesmo nesta cidade se ajustaria com perfeição o primeiro
Monumento à Matemática.
O mundo experimentava momentos de preocupação com a
II Guerra Mundial e o Brasil vivia em pleno Estado Novo. O Estado do
Rio de Janeiro era governado pelo interventor Comandante Ernani do
Amaral Peixoto. É nesse momento histórico conturbado que o Prefeito
Dr. Carlos Moacyr de Faria Souto, com apenas 19 anos, presta uma
homenagem à "Rainha das Ciências", mandando construir uma Praça
com um Monumento , "Sui Generis”, à Matemática. Mais propriamente
no dia 1º de julho de 1943, na confluência das avenidas Presidente
Sodré e Frei Tomás, com frente voltada para a praça Rui Barbosa,
oficializa-se singular iniciativa.
No local onde o monumento foi erguido, havia uma casa que
foi desapropriada e avaliada em doze contos de réis, sendo
proprietário o Sr. Carlos Dias, na época Carcereiro da Prefeitura, que
concordou com a desapropriação. O Prefeito, ao conceber a idéia
desse Monumento , procurou o maior expoente em Matemática
daquela época: o Professor Júlio César de Mello e Souza (Malba
Tahan), que ocupava a cátedra de Matemática da Escola Nacional de
Belas Artes da Universidade do Brasil, hoje Universidade Federal do
Rio de Janeiro (UFRJ). Malba Tahan promoveu, entre seus alunos, um
concurso para a escolha do melhor projeto, confirmando-se como o
precursor de uma nova tendência que se afirma com vigor e tem
adeptos em todo o mundo: a Educação Matemática. Pioneiramente,
trabalhou com a História da Matemática, defendeu com veemência a
resolução de exercícios sem o uso mecânico de fórmulas, valorizando
o raciocínio, e utilizou atividades lúdicas para o Ensino de Matemática.
O concurso foi realizado entre os acadêmicos de arquitetura
e o prêmio oferecido pela Prefeitura de Itaocara foi a quantia de
quinhentos mil réis. O vencedor foi Godofredo Formenti e seu
construtor, o Sr. Italarico Alves, residente em Itaocara.
Esse monumento, considerado o primeiro no mundo, em
suas linhas gerais, é constituído por duas pirâmides hexagonais
entrelaçadas. Este entrelaçamento está simbolizando a mútua
subordinação entre as civilizações orientais que floresceram no Vale
do Rio Nilo - fenícios, caldeus, persas, hebreus, árabes, chineses - e
povos modernos.
Nas faces superiores, estão gravados os principais símbolos e sinais
matemáticos, desde o diminuto PONTO até a letra hebraica ALEF, que
representa o número cantoriano transfinito.
As pirâmides, sobre três discos circulares sobrepostas,
estão cercadas simbolicamente, por três figuras geométricas: uma
esfera, um cone e um cilindro.
Foram gravadas várias figuras geométricas, que lembram
capítulos importantes, conceitos ou teorias famosas: o postulado de
Euclides, o teorema de Pitágoras, a divisão áurea, o número PI, a
análise combinatória, os quadrados mágicos, o binômio de Newton, os
logaritmos, a Trigonometria, a raiz quadrada, as séries infinitas, os
limites, as derivadas, as formas ilusórias, os números transcendentes,
os imaginários, a base neperiana, o calculo infinitesimal, a geometria
analítica.
Encontram-se, também, entre as figuras, formas que
lembram as teorias mais modernas da Topologia, da Álgebra
Moderna, da Teoria dos Conjuntos etc.
Nas outras faces, gravadas em bronze, podemos admirar
pensamentos que exaltam a Matemática:
De Leibnitz - “A Matemática é a honra do espírito humano”.
De Kepler - “Medir é saber”.
A afirmação platônica - “Deus é o grande geômetra. Deus geometriza
sem cessar”.
O aforismo de Pitágoras - “O número domina o Universo”.
De Platão - “Por toda parte existe a geometria”.
De Malba Tahan - “A Matemática é a grande poesia da forma”.
Destacam-se, em ordem cronológica, nomes de
celebridades, em cinco faces:
Na primeira face, matemáticos gregos: Tales de Mileto,
Pitágoras, Platão, Aristóteles, Euclides, Arquimedes, Apolônio e
Ptolomeu; na segunda face,os matemáticos famosos da chamada
alvorada da Matemática Moderna: Neper, Fermat, Descartes, Pascal,
Newton, Leibnitz, Euler, Lagrange e Comte; na terceira face, sete
matemáticos modernos: Hamilton, Galois, Hermite, Riemann,
Dedekind, Cantor e Poincaré; na quarta face, uma homenagem aos
matemáticos brasileiros: Souzinha (Joaquim Gomes de Souza),
Trompowsky, Oto de Alencar, Gabaglia, Amoroso Costa e Teodoro
Ramos. Na quinta face, as mulheres que cultivaram a Matemática não
ficaram esquecidas. Foram homenageadas: Hipasia, Maria Agnesi,
Sofia Germain e Sofia Kovalevski; e na sexta face, encontram-se
símbolos e fórmulas matemáticas, tais como: , log, quadrado mágico,
(x + a)m, sen2x + cos2x = 1, f(x), x, , lim, , , , , e = 2,718281, dx, , , , ,
etc.
Foram omitidos, possivelmente por descuido do gravador,
alguns nomes de matemáticos árabes, persas e hindus. Assim, não
aparecem nomes como os de Al-Kharesmi e Omar Khayyam; no
registro Pátrio, certamente por modéstia, omitiu-se o nome do próprio
professor Mello e Souza.
Em 1961, por iniciativa do então Prefeito Johenir Henriques
Viégas, apoiado pela Câmara Municipal, o Monumento passou por
uma reforma completa, mantida, porém, sua forma estrutural e
conservada, em letras prateadas, suas legendas originariamente em
bronze.
O jardim que rodeia o Monumento, por determinação do
Prefeito e com a colaboração do Monsenhor Saraiva, recebeu um novo
traçado, dentro do espírito rigorosamente matemático. Os canteiros
passaram a ter diversas formas geométricas euclidianas bem
definidas: círculos, quadriláteros, hexágonos etc. Um dos canteiros
tem a forma de um sinal de integração e outro, junto à base, com a
forma da letra grega .
Já em 1993, o prefeito José Romar Lessa modernizou a
Praça. Fez novos canteiros, iluminação e uma proteção que a
circunda, dando-lhe melhor aparência e segurança. No dia 1º de julho
deste mesmo ano, realizou-se uma cerimônia comemorativa do
Jubileu de Ouro, tendo como ponto central o discurso do Dr. Carlos
Moacyr de Faria Souto, que há cinqüenta anos, no mesmo local, na
época como Prefeito de Itaocara, inaugurava o primeiro e único
Monumento no mundo, dedicado à Matemática. Dr. Carlos Moacyr de
Faria Souto, no início do seu discurso, afirma que “Não há solução de
direito sem recurso à Matemática” e termina, dizendo: “No mundo,
apenas há uma coisa que a Matemática jamais será capaz de medir e
de qualificar: a dor da saudade...” “Assim, despedindo-me dos que
aqui estão peço, aos jovens de hoje para que no ano de 2043, quando
comemorarem o Centenário deste Monumento, levarem ao ar, já que
esta solenidade está sendo gravada, estas pobres palavras de um ex-
professor que acredita ser a Matemática a base de todas as ciências
do Universo...”
O Monumento à Matemática passou por mais uma reforma
no corrente ano (2002); desta vez, por iniciativa do atual Prefeito
Manoel Queiroz Faria, que reconheceu a necessidade de conservar a
grandiosa obra, porém garantindo a preservação de sua estrutura
original, o que representa a garantia de perpetuação histórica de uma
homenagem ímpar à Matemática.
Prof. Malba Tahan discursando na Praça da Matemática, em
30/04/1961
Este artigo foi
desenvolvido a partir das
atividades realizadas nas
aulas de História da
Matemática na UFF -
Pádua, pelas alunas
Denise Mulin, Diva Lessa,
Kellen Martins, Lídia
Freitas, Fátima Rangel,
Valéria Figueiredo e
Zudileidy Sias.

29

30
Aula 12
Revisando as Transformações de Unidade
EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS:
UNIDADES DE COMPRIMENTO
1) Transforme em metros:
a) 5 km = _________m b) 23 km = _________m c) 6,2 km = _________m
d) 1,2 km = _________m e) 4,23 km = _________m f) 0,2 km = _________m
g) 0,003 km= _________m h) 6,1245 km = _________m i) 12,33333 km = _________m
2) Transforme em quilômetros:
a) 5.000 m = _______ km b) 6.200 m = _______ km c) 12.640 m = _______ km
d) 1.215 m = _______ km e) 600 m = _______ km f) 52 m = ______ km
3) Transforme em centímetros:
a) 6 m = _____ cm b) 12 m = _____ cm c) 12,5 m= _____ cm
d) 4,52 m = _____ cm e) 0,5 m = _____ cm f) 0,01 m = _____ cm
4) Transforme em metros:
a) 200 cm = _____ m b) 4.322 cm = _____ m c) 50 cm = ______m
5) Transforme 1 km = _________ m = _______ cm.
Quantos centímetros tem 2,5 km?
UNIDADES DE MASSA
6) Transforme em quilogramas:
a) 5.200 g = 5,2 kg b) 4.000 g = ______ c) 12.500 g = ______
d) 13.144 g = ______ e) 520 g = ______ f) 600 g = ______
7) Transforme em gramas:
a) 4 kg = 4.000 g b) 6 kg=_________ c) 7,2 kg=_________
d) 1,44 kg=_________ e) 0,46 kg=_________ f) 0,002 kg=_________
8) Transforme em miligramas:
a) 6 g = 6.000 mg b) 4 g = ________ c) 5,2 g = ________
d) 4,41 g = ________ e) 6,02 g = ________ f) 0,3 g = ________
9) Transforme em gramas:
a) 6.000 mg = 6 g b) 12.100 mg=_____ c) 1.500 mg =______
UNIDADES DE VOLUME
10) Transforme em litros:
a) 25 m3
=25.000 L b) 42,3 m3
=42.300 L c) 0,6 m3
=600 L
d) 42 m3
=________ e) 4 m3
=________ f) 10 m3
=________
g) 15 m3
=________ h) 1 m3
=________ i) 3,2 m3
=________
j) 4,1 m3
=________ k) 12,2 m3
=________ l) 61,4 m3
=________
m) 21,4 m3
=________ n) 0,4 m3
=________ o) 0,5 m3
=________
p) 2,13 m3
=________ q) 1,06 m3
=________ r) 10,22 m3
=________
s) 0,24 m3
=________ t) 0,144 m3
=________ u) 102,144 m3
=________

31
11) Transforme em mililitros:
a) 42 L = 42.000 mL b) 52,3 L=_________ c) 22,15 L=_________
d) 0,42 L=_________ e) 0,144 L=_________ f) 42,162 L=_________
12) Transforme em litros:
a) 22.000 mL= 22 L b) 52.144 mL = 52,144 L c) 42.120 mL=42,12 L
d) 1.200 mL = 1,2 L e) 420.000 mL = 420 L f) 252.000 mL=_________
g) 14.255 mL=_________ h) 1.320 mL=_________ i) 5.462 mL=_________
j) 6.200 mL=_________ k) 1.200 mL=_________ l) 262 mL=_________
m) 144 mL=_________ n) 120 mL=_________ o) 500 mL=_________
13) Transforme em litros
a) 22.000 cm3
= 22 L b) 52.144 cm3
= 52,144 L c) 42.120 cm3
=42,12 L
d) 1.200 cm3
=______ e) 420.000 cm3
=______ f) 52.144 cm3
=______
g) 2.000 cm3
=______ h) 1.000 cm3
=______ i) 1.300 cm3
=______
14) Saiba que 1 cm3
=1mL, logo
a) 6 mL = 6 cm3
b) 5,2 mL = ____ cm3
c) 1200 cm3
=_____ mL
15) Transforme:
a) 2 m3
=________ L b) 5.400 L=________m3
c) 1.200 mL= _____L
d) 6 L = _____ mL e) 5.200 cm3
=_____ L f) 200 cm3
= _____ mL
16) a) Uma lata de refrigerante tem 350 mL. Qual é o volume dela em litros?
b) Uma modelo anunciou que colocou 0,6 L de silicone nos peitos. Qual é o volume de silicone que ela colocou em mililitros?
c) Quantos metros cúbicos tem uma caixa d’água de 5.000 L?
d) Quantos litros cabem numa caixa d’água de 5 m3
?
17) Qual é o volume em metros cúbicos e litros de uma caixa retangular de dimensões:
a) altura 5 m, comprimento 4 m e largura 3 m (caixa d’água)
b) comprimento 6 m, largura 5 m e profundidade 4 m (piscina)
d) comprimento 4 m, altura 6 m e espessura 20 cm = 0,2 m (porta)
Espaço para Visto
Data:____/____

32
Aula 13 Razão - Conceito
O tema “Razão e Proporção” da forma como é
abordado é atualmente muito criticado por Pedagogos
e Educadores da área de Matemática. Preferem utilizar
o termo “Proporcionalidade” e trabalhar o conceito
associado com o de função linear.
Do ponto de vista teórico, procedem as críticas,
e, essas mudanças precisam e podem acontecer,
especialmente no Ensino Fundamental.
Porém, os professores não estão acostumados
e, ainda continua-se ensinando e aprendendo Razões
e Proporções da forma tradicional. A tradição
consolidou uma forma de entender os conceitos que é
diferente dos meios matemáticos e da forma que outros
países abordam o assunto. Nos concursos ainda
continua-se falando em Razão e Proporção da forma
que sempre foi ensinado, e como o primeiro tópico a ser
ensinado nos cursos de Matemática Comercial ou
Financeira, inclusive em cursos preparatórios para
concursos.
Seria interessante uma abordagem do
conceito de proporção dentro da idéia de função afim,
porém, nesse curso, vamos optar pela forma mais
comum nos livros, ainda que concordemos com as
críticas.
RAZÃO
Razão é uma relação entre dois números ou
grandezas, é uma forma de compará-las.
A razão entre os números (ou grandezas) a e b
é o número
𝑎
𝑏
, lembrando que essa razão apenas
existirá se b não for zero.
Exemplos:
a) A razão entre 3 e 5 é o número racional
3
5
.
b) A razão entre as variáveis x e y é
𝑥
𝑦
.
c) A razão entre 18 e 24 é
18
24
=
3
4
.
d) A razão entre 0,3 e 0,15 é
0,3
0,15
=
2
1
.
e) A razão entre
2
3
e
1
4
é
2
3
1
4
=
8
3
.
f) A razão entre 5 m e 10 m é
5𝑚
10𝑚
=
1
2
.
g) A razão entre 1 km e 20 cm é
1𝑘𝑚
20 𝑐𝑚
=
100.000.000
20
=
5.000.0000
1
.
h) A razão entre 100 km e 2h é
100 𝑘𝑚
2ℎ
= 100𝑘𝑚/ℎ.
i) A razão entre distância e tempo é velocidade.
j) A razão entre volume escorrido e tempo é
vazão.
É evidente que, se uma razão é representada
como fração, como nos exemplos a até g, ela segue
todas as regras e propriedades da fração.
É que, de fato, ela É uma fração! Uma razão é
uma fração, é uma representação de uma fração.
Inclusive nos exemplos h, i e j!
Podemos, portanto:
 somar, subtrair, multiplicar, dividir, calcular
potências e raízes das razões como fazemos
com frações;
 simplificar razões como fazemos com frações;
 reduzir razões a um denominador comum;
 não é possível ter razões cujo denominador é
zero.
E tudo mais que puder ser feito!
Alguns livros didáticos insistem que a razão
entre dois números a e b é o número racional
𝑎
𝑏
, o que
é incorreto, pois, dá para se falar em razões que geram
números irracionais, e dois exemplos clássicos:
a) A razão entre a medida da circunferência e o
diâmetro é o número π (pi).
b) A razão entre a diagonal e o lado de um
quadrado é igual a √2.
Além disso, um dos números irracionais mais
famosos, o número de ouro, é também chamado de
razão áurea, do qual não iremos discutir aqui.
Ainda assim, é comum ver nos livros didáticos
associar razão com número racional, e, na mesma
coleção ou mesmo livro dizer que o pi é uma razão ...
Utilizamos razão na prática em diversas
ocasiões. Vejamos os exemplos:
a) De cada cinco reais em vendas, um será
destinado para campanha de caridade. Razão
1
5
.
b) Pague 2 leve 3. Razão
2
3
.
c) De cada 100 pessoas dessa cidade, 12 votarão
no candidato X. Razão
12
100
= 12%.
Em física, as fórmulas em geral são razões
entre grandezas. Exemplos:
a) Potência, medida em watts (W) é a razão entre
Trabalho, medido em joules (J) e tempo,
medido em segundos (s). Podemos dizer que
W=J/s.
b) Intensidade da Corrente Elétrica, medida em
ampére (A) é a razão entre Quantidade de
Carga Elétrica, medida em coulomb (C) e
tempo, medido em segundos (s). Podemos
dizer que A=C/s.
c) Pressão, medida em pascal (Pa) é a razão
entre Força, medida em newtons (N) e

33
superfície, medida em metros quadrados (m2).
Podemos dizer que Pa=N/m2.
Existem razões especiais, que veremos, muito
trabalhadas em livros didáticos, em especial Escalas,
Velocidade Média, Densidade Demográfica,
Densidade, e, em especial, Porcentagem, que
merecerá um capítulo completo.
Para entender melhor qual é o sentido em falar
em razão, veja o exemplo:
Se numa classe há 25 alunos, sendo 15
meninos e 10 meninas, a razão entre meninos e
meninas é
15
10
=
3
2
, e isso significa que, para cada 3
meninos da sala, existem 2 meninas.
Ou, fazendo a razão entre 15 meninos e 25
alunos
15
25
=
3
5
, concluímos que há 3 meninos para cada
5 alunos; ou fazendo a razão entre 10 meninas e 25
alunos
10
25
=
2
5
, concluímos que há 2 meninos para cada
5 alunos.
Se para cada 3 meninos da sala existem 2
meninas, é óbvio que para cada 2 meninas existem 3
meninos, porém, a representação é distinta. Num caso,
a razão é
3
2
e no outro caso é
2
3
. Nesse caso chamamos
de razões inversas.
Podemos dizer que a razão inversa de
𝑎
𝑏
é
𝑏
𝑎
(admita que a e b não são iguais à zero).
Claro que
𝑎
𝑏
×
𝑏
𝑎
= 1.
Não haveria problemas de numa razão
𝑎
𝑏
chamarmos ‘a’ de numerador e ‘b’ de denominador.
Aliás, seria até mais natural, e isso é feito na maioria
dos países e também em níveis mais avançados de
estudo, afinal, razão não deixa de ser uma fração!
Porém, tradicionalmente numa razão
𝑎
𝑏
chamamos ‘a’ de antecedente e b de conseqüente. (E
não deixam de ser numerador e denominador.)
Também, há uma forma de ler
𝑎
𝑏
, como ‘a para
b’ ou ‘a está para b’. O que não impede de ler
3
5
como
‘três quintos’ ao invés de ‘três para cinco’.
1) Estabeleça uma razão associada com as frases,
conforme o exemplo.
De cada 10 brasileiros, 6 gostam de futebol.
𝐑𝐞𝐬𝐩𝐨𝐬𝐭𝐚:
3
5
dos brasileiros gostam de futebol.
a) De cada 60 pessoas entrevistadas, 20 disseram que
gostam do prefeito.
b) Testamos 400 peças, 186 apresentaram problemas
de fabricação.
c) De cada 6 horas trabalhadas é necessário 15
minutos de descanso.
d) Meu carro gasta 40 litros de gasolina para percorrer
280 quilômetros.
2) Seja a tabela seguinte o perfil dos alunos de uma
classe:
Idade
Sexo
Entre 17
e 20
anos
De 21
até 25
anos
De 26
até 30
anos
Mais
de 30
anos
Masculino 6 7 3 1
Feminino 2 11 2 0
Qual é a razão entre:
a) Homens com menos de 21 anos e homens com mais
de 30 anos.
b) Mulheres entre 21 e 25 anos e homens entre 26 e 30
anos.
c) Homens e mulheres, ambos na faixa de idade de 21
a 25 anos.
d) Homens com mais de 20 anos e mulheres entre 17 e
25 anos.
e) Mulheres com menos de 25 anos e homens com
mais de 30 anos.
f) Alunos entre 17 e 20 anos e homens entre 17 e 20
anos.
g) Alunos entre 21 e 30 anos e alunos com menos de
21 anos.
h) Alunos e homens com menos de 31 anos.
i) Mulheres e alunos.
j) Alunos homens ou com menos de 26 anos e mulheres
com menos de 21 anos ou homens com mais de 30
anos.

34
3) Ache a razão irredutível entre:
a) 4 e 26
b) 144 e 192
c) 91 e 104
d) 0,5 e 0,25
f) 0,42 e -1,252
g) -2 e 0,25
h) 1 e 0,0001
i)
2
3
e
3
4
j)
5
4
e -2
k) 2
1
3
e 1
2
5
9) Encontre a razão entre:
a) 100.000 e 100
b) 100 e 100.000
c) 3.000.000 e 30.000
d) 40.000.000 e 400.000.000
e) 424.000 e 4,24
f) 5,232.000 e 0,000.005.32
g) 0,000.003 e 0,003
h) 1.252.343 e 0,012.523.43
i) 5.000.000 e 43.000
j) 12.000 e 800
k) 600 e 9.000
l) 0,000.3 e 15.000
1) Calcule a razão entre:
a)3 e 4 b) 9 e 2 c) -5 e 4 d) 6 e -3 e)- 9 e -6 f) 6 e 4 g) 0,2 e 2,6
h)0,5 e 6 h)1,4 e -5,11 i)½ e -1/3 j)8/6 e 1/3 l) 2 e ¼ m) ½ e 3 n) 4 e -0,7
2) Numa sala estudam 20 meninos e 25 meninas, dê a razão
entre:
a) o número de meninos e o número de meninas;
b) o número de meninas e o número de meninos;
c) o número de alunos e o número de meninas;
d) o número de alunos e o número de meninos;
Espaço para Visto
Data:____/____

35
3) Dê a forma simplificada da razão a/b se a=20 e b=100. 4) Em 1997, Nelson Piquet foi campeão de Fórmula 1
conquistando 76 pontos em 15 provas. Qual é a razão entre o
número de pontos conquistados e o número de provas?
Aula 14 Razões
1) Ache a razão entre:
a) 5 m e 4 m
b) 2,6 m e 20 cm
c) 1,42 m e 50 cm
d) 2.000 cm e 3 m
e) 1 km e 1 cm
f) 1 cm e 1 km
g) 12.000 cm e 2 mm
h) 0,000.02 km e 1 m
i) 2 L e 200 mL
j) 50 mL e 1 L
k) 2 g e 200 kg
l) 50 g e 0,03 kg
m) 2.000 s e 3 min
n) 2 min e 1h
o) 3h e 2 dias
p) 3h5min e 1h40min
q) 2,5h e 30 min
r) 2
1
3
h e 20 min
s) 2
1
5
h e 3.600 s
t) 6min2s e 8min40s
5) Qual é a razão inversa de:
a)
5
4
d) -5 e) 0,25
f) 0,2 h) 3
2
3
6)Determinar o valor de x de modo que as razões
𝑥
5
6
e
2
10
1
3
sejam inversas uma da outra.
7) Determinar o valor de x de modo que as razões
𝑥−1
3
e
2
𝑥+1
sejam inversas uma da outra.

36
1) Qual é a razão entre:
a) 10 m e 15 m b) 21 m3
e 18 m3
c) 20 cm e 3 m g) 20 m2
e 2 dam2
h) 18 m2
e 36 m2
i) 5 kg e 2 000 g
j) 2,40 m3
e 3 200 dm3
l) 5 00 cm e 10 m
2) Dado um retângulo de dimensões 4m e 6m, determine:
a) a razão entre a base e a altura do retângulo;
b) a razão entre a altura e o perímetro;
3) Dado um quadrado A de lado 6 m e um quadrado B de
lado 8 m, calcule:
a) a razão entre os perímetros dos quadrados A e B;
b) a razão entre as áreas dos quadrados A e B;
3) Calcule a razão inversa:
a) 4/6 b) ¼ c) 7/6
d) 11/9 e) 5
4) Que número se obtém como produto de duas razões
inversas?
5) Se 3/8 . a=1, quanto vale a?
6) Se a . b=1, e a=6/5, qual o valor de b?
7) Se a razão de x para y é 10, qual a razão de y para x?
Responda ao Calvin o que é uma onça (em Matemática, claro!)
Aula 15 Razões Especiais
1) DENSIDADE DEMOGRÁFICA
É a razão entre POPULAÇÃO E ÁREA.
Exemplo: Monte Santo de Minas. População: 20.133 (IBGE – 2007) e área 592,5 km2.
Densidade Demográfica =
𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜
Á𝑟𝑒𝑎
=
20133
592,5
= 35,8
Atenção! Para o cálculo da densidade usamos ARREDONDAMENTO (veja no final desse material)
2) VELOCIDADE MÉDIA
É a razão entre DISTÂNCIA PERCORRIDA (espaço) e TEMPO GASTO.
Exemplo: Um carro percorre 200 km em 4 horas
Velocidade Média = 200 km / 4 h = 50 km/h (nunca esqueça de colocar a unidade ‘km/h’)
3) ESCALA
Espaço para Visto
Data:____/____

37
Escala é a razão entre a distância de um mapa, carta cartográfica, planta ou desenho de representação e a distância
real, medidos na mesma unidade de comprimento.
Geralmente são representadas da forma 1:100.000.000 por exemplo, que significa que 1 cm no mapa
equivalem a 100.000.000 cm = 1.000 km na realidade.
Em geral, é aceito utilizar pelos meios acadêmicos a notação 1 cm = 1 km para representar que 1 cm no mapa
significa 1 km na realidade. Não recomendamos utilizar essa notação, pois o símbolo de = não significa equivalência
ou comparação! (Seria correto, e melhor, falar 1 cm : 1 km).
Existem escalas reduzidas, onde a representação é menor que a real, como mapas e plantas, 1:2, 1:10, 1:100,
1:5.000, 1:1.000.000, 1:12.000.000.000.
Existe a escala natural, onde o desenho é feito em seu tamanho real, 1.1.
E a chamada escala ampliada, para desenhos de microbiologia, cristalografia, parasitologia, bioquímica, etc,
100:1, 2.000:1, 3.000.000:1.
É muito complicado reproduzir mapas com Escalas na Era da Internet, onde se pode ampliar ou reduzir mapas
com um clique. Menos ainda na tela de um computador, onde podemos dar zoom, por exemplo.
Um mesmo mapa lido um smartphone e numa projeção em data-show, apresentará a mesma escala, porém,
serão vistos em tamanhos diferentes.
Apenas para ilustrar, copiamos um mapa do site http://www.coladaweb.com/geografia/escalas-cartograficas
A escala 1:36.600.000 significa que no mapa original, cada 1 cm equivale a 36.600.000 cm, ou seja, cada
centímetro no mapa vale na realidade 366 km.
Para mapas virtuais a escala feita com o desenho abaixo é mais apropriada:

38
Vejamos também Escala Ampliada, valendo as mesmas observações já feitas:
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm106/expdesenho1.html
Podemos resumir o conceito de escala:
Escala =
Tamanho do Mapa
Tamanho Real
Evidente que não serve apenas para mapas.
Escala é a razão entre TAMANHO DO MAPA e
TAMANHO REAL.
Escala 1:150 significa que cada 1 cm no mapa
equivale a 150 cm na realidade (1,50 m)
Qual é a área da sala e da cozinha?
Desenho do site:
http://profbarbara.webnode.pt/exercicios%20resolvidos%20-%206%C2%B0%20ano/escala%20-
%20uma%20raz%C3%A3o%20especial/

39
EXERCÍCIOS OBRIGATÓRIOS (Excepcionalmente você poderá usar calculadora! Na prova não será permitido
mas não teremos cálculos complexos. Use com moderação apenas para os cálculos mais difíceis)
1) Um comprimento real de 12 m foi representado num
desenho de 6 cm. Nesse caso, qual foi a escala
usada?
2) A distância entre duas cidades, em linha reta, é 240
km e foi representada num mapa por um segmento de
12 cm. Qual foi a escala usada neste mapa?
3) Um carro percorre 320 km em 4 h. Determine a sua
velocidade média.
4) Calcule a velocidade média de uma moto que faz o
percurso de 125 km em 2 h.
5) Um fundista percorreu a prova dos 10 000 m em 32
min. Qual foi a sua velocidade média por minuto?
6) O estado do Ceará tem uma área de 148 016 km2 e
uma população de 6 471 800 habitantes (1991). Dê a
densidade demográfica do Ceará.
7) Calcule a densidade demográfica de uma cidade
que tem 435200 habitantes em 170 km2.
8) Calcule a velocidade média, em km/h de um ciclista
que percorre 45 600 metros em 72 minutos.
9) Minas Gerais tinha 17.835.488 habitantes e 587.172
km2. Qual era a densidade demográfica do estado de
Minas Gerais?
10) Um carro percorre um trecho de 40 km em 2h. Qual
é sua velocidade média?
9. A altura de Talytta é de 1,50 m e de Michelli é de 1,20
m. Qual é a razão entre as alturas de Talytta e Michelli?
Espaço para Visto
Data:____/____

40
10) A planta da casa representada abaixo está na escala 1:100, isto é, cada centímetro da planta corresponde, na
realidade, a 100 cm. Use a régua para obter as dimensões da sala e dos quartos e determine a área real desses
compartimentos em metros quadrados:
Calcule a densidade demográfica dos municípios próximos de Monte Santo de Minas baseado em pesquisas feitas na
Internet.
Sala
Quarto 2Quarto 1
Banho
Hall
Cozinha

41
Auto Estudo 2 Mais sobre Razões Especiais
CONSUMO MÉDIO
É a razão entre a QUANTIDADE DE COMBUSTÍVEL GASTO e a DISTÂNCIA PERCORRIDA.
Ex: Percorro 60 km com 5 litros de gasolina. Qual é o consumo médio?
Resposta: 60 km / 5 l = 12 km/l
DENSIDADE
É a razão entre MASSA e VOLUME.
Ex: Qual a densidade de um bloco de 4 kg com 20 cm2?
Resposta: 4 kg / 20 cm2 = 0,2 kg/cm2
Atenção: O volume pode estar em Litros e seus múltiplos e sub-mútiplos. Lembre-se que 1 L = 1 dm3
1) O Bronze tem uma densidade de 8,75 kg/l. Quanto “pesa” 2 litros de bronze?
Veja a densidade de algumas substâncias:
Substância Densidade
Madeira 0,5 kg/l
Gasolina 0,7 kg/l
Álcool 0,8 kg/l
Alumínio 2,7 kg/l
Ferro 7,8 kg/l
Mercúrio 13,6 kg/l
Agora responda:
a) O que pesa mais: 1 litro de álcool ou 1 litro de gasolina?
b) Imagine duas panelas de mesmo formato e tamanho, sendo uma de ferro e outra de alumínio. Qual é a mais pesada?
c) Quanto pesa 1 litro de mercúrio? E 1 litro de ferro?
d) 1 litro de água pesa 1 kg. Qual é a densidade de água?
2) Enchi o tanque do meu carro. Andei 474,6 km, e, para tornar a enchê-lo, coloquei 42 litros de álcool. Quantos
quilômetros meu carro faz com 1 litros de álcool?
3) Qual a razão entre 8 gols e 20 chutes a gols?
4) Um carro vai de Muzambinho até Monte Santo de Minas, cuja distância é 74 km, consumindo R$ 50,00 em
combustível. Supondo que o litro da gasolina custa R$ 3,45, qual é o consumo médio do carro?
Espaço para Visto
Data:____/____

42
Atenção!!!
 Não diga “a grama”, mas “o grama”.
 Não escreva 3m,25 mas 3,25 m.
 Não coloque o símbolo no alto, como se fosse expoente, mas na mesma linha do número 3 km. Esta regra só admite
exceção no caso de unidades de temperatura e tempo e das unidades sexagesimais de ângulo.
 Não separe por ponto, mas por vírgula, a parte inteira da decimal: 3,35 m, e não 3.35 m.
 Não coloque ponto após o símbolo das unidades: escreva 3g, 4 m e não 3g. e 4m..
 Não pluralize os símbolos de medidas, isto é, não escreva 3gs, 4ts, mas 3g e 4t.
 Não escreva cc, mas cm3, por centímetro cúbico.
 Não fale mais em “miriâmetro” para designar 10 quilômetros.
 Os minutos e os segundos relativos a tempo devem ser representados por min e s, e não por ‘ e “. Assim 5h 10 min
7s e não 5h 10’ 7”.
 Não fale em “milhas”, “polegadas”, “libras”, “pés”, “graus Fahrenheit”. Quando tiver de traduzir escritos em que
apareçam essas medidas, converta-os ao sistema métrico decimal.
A inobservância da legislação metrológica é mais do que infração. É prova de ignorância e falta de brasilidade.
Transcrito da “Folha de São Paulo”, de 17/6/1962 - Trabalho de Dr. J. Reis - por ocasião das comemoração do
centenário do uso do Sistema Métrico Decimal no Brasil (26/6/1962).
Aulas 16 e 17 Proporção
A noção de proporção é intuitiva até mesmo nas
pessoas mais simples. Só para entender o sentido da
idéia de proporção é importante pensarmos em coisas
simples, como:
 A lousa da sala de aula é grande se comparada
com a folha de caderno, mas pequena se
comparada com a superfície da quadra da
escola.
 Cinquenta canetas na bolsa de um aluno nos
soa absurdo, mas nas prateleiras de uma
papelaria pode até ser pouco.
 Uma revista com 200 páginas é gigantesca,
mas uma enciclopédia com esse número de
páginas seria inviável.
O conceito de proporção não está relacionado
exatamente com as frases acima, mas nos explica que
uma contribuição de R$ 1.000,00 para um salário de R$
10.000,00 possui uma relação com uma contribuição de
R$ 50,00 para um salário de R$ 500,00. E também nos
explica ampliações e reduções de uma foto ou figura
feita no computador: uma foto 3x4 pode ser ampliada e
ficar idêntica no formato 6x8 (mas não ficaria se fosse
no formato 5x7).
Proporção é um conceito matemático
relacionado com funções constantes, do formato
f(x)=ax. Os pares ordenados (x,y), sendo y=f(x) são
todos eles proporcionais, ou seja, nessas funções a
razão
𝑦
𝑥
é sempre a mesma (e no caso, o coeficiente
‘a’). Esse fato, da razão ser sempre a mesma, é
chamada de proporcionalidade.
Claro, não nos ateremos nos detalhes, que
podem ser mostrados até geometricamente, chegando
até o Teorema de Tales, mas vamos definir o conceito
de proporção igual os livros de Matemática Comercial.
Proporção é a igualdade de duas razões.
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
é uma proporção.
Há quem diga que a proporção é a igualdade
de razões “em medidas diferentes” (sic). Ainda que se
entenda os que o autores de tal definição queiram dizer
usando indevidamente o termo ‘medida’, a afirmação é
incorreta, pois, é um tanto óbvio que
2
3
=
2
3
não deixa de
ser uma proporção!
As proporções podem ser escritas na forma
a:b::c:d, como no exemplo 3:4::300:400. Mais uma das
esquisitices tradicionais dos livros didáticos.
Geralmente uma proporção
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
é lida como ‘a
está para b assim como c está para d’, sendo que por
vezes ‘a’ e ‘d’ são chamados de meios e ‘c’ e ‘b’ são
chamados de extremos.
Propriedade Fundamental das Proporções:
O produto dos meios é igual ao produto dos
extremos de uma proporção.
Se
a
b
c
d
 , então a . d = b . c
Exemplos:
a)
2
3
=
4
6
. Temos que 2x6=4x3.
b)
200
300
=
4
6
. Temos que 200x6=300x4.

43
Com base nessa propriedade, podemos dizer
que sendo válido
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
, outras sete proporções são
automaticamente válidas, e chamadas em alguns livros
de ‘permutações’ da proporção. São as proporções:
𝑎
𝑐
=
𝑏
𝑑
,
𝑑
𝑏
=
𝑐
𝑎
,
𝑑
𝑐
=
𝑏
𝑎
,
𝑏
𝑎
=
𝑑
𝑐
,
𝑐
𝑎
=
𝑑
𝑏
,
𝑏
𝑑
=
𝑎
𝑐
,
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
Em todas essas 7 proporções, como na original
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
, temos que o produto do meio pelos extremos é
ad=bc.
Exemplo:
Vale
2
3
=
4
6
. Portanto vale também
2
4
=
3
6
,
6
3
=
4
2
,
6
4
=
3
2
,
3
2
=
6
4
,
4
2
=
6
3
,
3
6
=
2
4
,
4
6
=
2
3
Para provarmos que
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
implica em a.d=b.c,
podemos multiplicar denominador e numerador de
𝑎
𝑏
por
b.d e numerador e denominador de
𝑐
𝑑
por b.d.
Chegaremos na propriedade.
Lembre-se que, de qualquer forma, o
denominador (conseqüente) jamais poderá ser zero.
Média Proporcional ou Geométrica
O número b é média geométrica ou
proporcional entre a e c, se, somente se, a, b e c são
positivos e
a
b
b
c
 .
Exemplos:
a) A média geométrica de 4 e 9 é 6, pois
4
6
=
6
9
.
b) Calcular a média geométrica entre 8 e 2.
Fazemos
8
𝑥
=
𝑥
2
, portanto x2=16 (pela
propriedade fundamental das proporções), logo
x=+4 ou x=-4. Pela definição, a média
geométrica é o número positivo, 4.
Resulta dessa definição, para a, b e c positivos,
que b ac b ac2
   , sendo b a média
geométrica de a e c.
Quarta e Terceira Proporcional
Outros termos em desuso. Quando temos uma
proporção a:b::c:d, conhecendo a, b e c, o valor de d é
chamado de quarta proporcional. Se a proporção tiver
b=c, chamamos d de terceira proporcional de a e b.
Exemplos:
Propriedades das Proporções
As proporções
a
b
b
c
 admitem também as
seguintes propriedades:
( )
( )
I
a b
b
c d
d
a b
a
c d
c
II
a c
b d
a
b
c
d
ou


 




 
1) Verificar se os números 7, 11, 21 e 27, formam, nessa ordem, uma proporção.
2) Os números 2/3, 1/6, 2 e ½, nessa ordem, formam uma proporção?
3) Utilizando a Propriedade Fundamental, verifique se os pares de razões formam uma proporção:
a)
9
3
=
12
4
b)
12
3
=
20
5
c)
15
8
=
18
6
d)
4
3
=
3
8
e)
0,2
3
=
1
15
f)
0,5
0,4
=
2
4
Espaço para Visto
Data:____/____

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