Blanca Ruiz Hernández - Profesora del ITESM, Campus Monterrey - México.
Sesión No. 4 - Año 4.
Seminario de Investigación PROME "en línea"
Posgrado en Matemática Educativa del CICATA Legaria, Instituto Politécnico Nacional.
07 de abril de 2014
http://sem-inv-prome.blogspot.mx/
3. 3
1
• Idea fundamental, propuesta por Heitele, retomando el marco
de Bruner.
2
• Hay poca investigación dirigida al análisis de la enseñanza y
aprendizaje de la variable aleatoria.
3
• Es un concepto sólo en apariencia simple ¿una variable
vinculada a la aleatoriedad?
4
• Es históricamente importante porque permitió el desarrollo de
la probabilidad como ciencia, tal como lo conocemos ahora.
7. 7
Se presentan cuatro estudios sobre la variable aleatoria
1
• Estudio epistemológico desde la disciplina, relacionándola con
la asignación de probabilidad y la actividad de modelación.
2
• Análisis del desarrollo histórico para identificar algunas
dificultades que pueden reproducirse en los estudiantes.
3
• Exploración de las concepciones y comprensión de una pareja
de estudiantes cuando resuelven un problema
4
• Análisis de soluciones escritas de 111 estudiantes a un proyecto
estadístico donde trabajan con variables estadísticas y aleatorias.
8. 8
• Llevar a cabo un análisis de la variable aleatoria desde el
punto de vista epistemológico, que aborde tanto los
aspectos disciplinares como los históricos. (Estudios 1 y 2)
• Llevar a cabo una exploración cognitiva de la
comprensión intuitiva de algunos estudiantes
universitarios al trabajar con situaciones que involucran a
la variable aleatoria y otros objetos matemáticos
relacionados con ella, y que implican resolución de
problemas y proyectos con una orientación hacia la
modelación. (Estudios 3 y 4)
Objetivos de investigación
Capítulo 1
9. 9
Estudio 2
HISTÓRICO
Estudio 1
DISCIPLINAR
Estudio 3
ENTREVISTA
CLÍNICA
Estudio 4
ANÁLISIS DE
UN PROYECTO
Diseño y análisis
a priori
Análisis de los
objetos
Implementación
Conclusiones
Análisis a priori
Análisis de los
objetos
Implementación
Conclusiones
Estructura de los Estudios
EXPLORACIÓN
EPISTEMOLÓGICA
EXPLORACIÓN
COGNITIVA
Primeros
indicios y censos
Inferencia
estadística
TCL y
distribuciones
Conclusiones
Formalización
matemática
V.A. y conceptos
relacionados
V. A. asignación
probabilidades
Conclusiones
Modelación y
V.A.
15. 15
Lanzamos dos monedas y observamos la cara superior...
X
Número de soles
P(X = 1) =
2
4
P(X = 0) =
1
4
P(X = 2) =
1
4
16. VARIABLE
ALEATORIA
ξ
Valor numérico xEvento A
ξ : Ω → R
ω → ξ (ω) ∈ R
Es una variable aleatoria, si para todo número real x la imagen inversa del
intervalo acotado superiormente por x es un conjunto del álgebra:
A = {ω / ξ (ω) ≤ x} ∈ A
Esto asegura que podamos hallar la probabilidad P( ξ (ω) ≤ x)
Sean:
(Ω, Α, P) : Un espacio de probabilidad
R : El cuerpo de los números reales
La aplicación:
17. VALORES DE LA
VARIABLE
ALEATORIA ξ
FUNCIÓN DE
DISTRIBUCIÓN
ESPACIO
MUESTRAL
Aplicación de la
variable aleatoria
Formulación de la
distribución de probabilidad
ξ
Definición matemática
Contexto del problema{ 17
Espacio de probabilidad
(Ω, A, P)
Situaciónproblema
18. Asignación laplaciana
Asignación frecuencial
Asignación subjetiva
Función de distribución; distribución de probabilidad;
función de densidad
Momentos, Promedios, Medidas de dispersión
La variable aleatoria como función
Variable aleatoria y variable estadística
Modelación y razonamiento estadístico
La modelación en probabilidad
Modelación por estratos: Relación entre variables
estadística y aleatoria
La variable aleatoria y modelos de distribuciones
18
Modelación y variable aleatoria
La variable aleatoria
Variable aleatoria y asignación de
probabilidades
¿Quéeslavariablealeatoria?
19. Experimento
aleatorio
Espacio
muestral
Situaciónproblema
Probabilidad Laplaciana
Frecuencial
Subjetiva
Análisis a priori, combinatoria,
equiprobabilidad, casos favorables
/posibles
Población- muestra, estimación,V.
estadística, experimento
estadístico, distribución de datos
(empírica), histogramas, polígonos
frecuencia
Vincula estadística-probabilidad
Verosimilitud
Parámetros son v. aleatoria,
distribuciones a priori y posteriori,
teorema de Bayes 19
Espacio de probabilidad
(Ω, A, P)
Estudio 1
20. Asignación de
probabilidad
Experimento
aleatorio
Probabilidad
variable aleatoria
Valores de la
variable aleatoria
Variable
aleatoria
Característica
de interés
Situación
problema
Descontextualización
Descontextualización
compuesto
Evento
compuesto
muestral
Espacio
muestral
Distribución de
probabilidad
Modelación y
asignación clásica de
probabilidad
20Estudio 3
Contextualización
21. Observación de la realidad:
el experimento aleatorio
Descripción simplificada de la
realidad: las variables
Construcción de un modelo:
distribución de frecuencias
Trabajo matemático con el
modelo: gráficos, tablas y
medidas
Interpretación en la realidad:
gráficos, comparación de
distribuciones, conclusiones
21Estudio 4
PrimerestratoSegundoestrato Pasos de modelación de
Dantal
22. 2. Recuento y análisis
de datos.Variable
estadística (Münster,
Graunt, Arbuthnott, Neumann,
Galileo, Halley, D. Bernoulli)
22
3.Teorema central del límite y
modelos generales de
distribuciones (Jacob Bernoulli, de
Moivre, Gauss, Legendre, Laplace,
Poisson, Chebyshef. Liapounoff)
1200
1600
1500
1700
1800
1900
2000
1. Primeros indicios. Juegos
de azar(Fournival, Pascal, Fermat,
Cardano)
5. Formalización matemática de
la variable aleatoria (Kolmogorov,
Fréchet, Lévy, Petrov y Parzen)
4. Inferencia estadística
(Quetelet, Galton, K. Pearson,
Gosset, Fisher, Neyman y E.
Pearson)
6. La variable estadística
en la actualidad
23. 7. Formalización de la variable
aleatoria (Kolmogorov, Fréchet, Lévy,
Petrov y Parzen)
4. Surgen análisis teóricos para
relacionar la variable aleatoria y la
estadística (J. Bernoulli, de Moivre,
Gauss, Legendre, Laplace, Poisson)
2. Se asocia probabilidad a valores
numéricos posibles en jugos de
azar (Cardano Fournival, Pascal, Fermat,)
5. Primeros indicios explícitos de
la necesidad de una variable
matemática que tuviera sentido
en el contexto (Poisson,Tchebychev,
Markov, Liaponunoff)
AnálisisprobabilísticosAnálisisprobabilísticos
AnálisisdedatosAnálisisdedatos
1. Primeros análisis de la variable
estadística en juegos de azar (Duque
deToscana)
8. Vinculación formal entre las
variables estadística y aleatoria (K.
Pearson, Fisher, Neyman)
3. Modelación de datos empíricos
con uso de herramienta
probabilística (Graunt, Arbuthnott,
Halley, Galileo)
6. Inferencia informal y uso de la
variable estadística (Quelet, Galton)
23
24. 24
Tiempo requerido para pasar de la esperanza matemática y
estudio de valores aislados al estudio de la distribución
completa
Durante mucho tiempo el estudio de la v. estadística fue
simplemente descriptivo
La variable estadística y aleatoria mantuvieron largos
periodos sin relacionarse
El excesivo énfasis por la formalización a comienzos de siglo
separó el estudio de la v. aleatoria del de sus aplicaciones
Dificultad en el manejo de la función de distribución como
función compuesta
Dificultar en operar y componer variables aleatorias
Dificultad en comprender la aproximación de variables
discretas por variables continuas
25. Las situaciones empleadas contemplan la variable
aleatoria desde el significado clásico (Estudio 3) y
frecuencial (Estudio 4). Sería de interés realizar un
estudio complementario del trabajo con la variable
aleatoria desde el significado subjetivo
Desarrollar una propuesta curricular que considere la
enseñanza de la variable aleatoria como idea
fundamental, como lo propone Heitele
Factibilidad de tomar en cuenta las interacciones
históricas entre la teoría y los datos que se mostró en
el análisis histórico para diseñar un curso de
probabilidad y estadística que permita mayor
comprensión de esta relación.
25
