Solució PAC 2 de l'assignatura de Matemàtiques per a la Multimèdia II, del Grau Multimèdia de la UOC

1. Estudis d’Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació.
Grau de Multimèdia.
Matemàtiques per a multimèdia II
Prova d’avaluació continuada 2
•Per dubtes i aclariments sobre el enunciat, us heu de dirigir al consultor responsable de la
vostra aula.
•Cada pregunta val 2’5 punts.
•Es valorarà l'ús de la notació científica correcta, raonament de les respostes, així com les
fonts bibliogràfiques consultades.
•Es lliurarà la solució en el mateix fitxer després de l'enunciat de cada exercici, explicant com
s'ha fet. Adjunteu el fitxer en un missatge dirigit a la bústia Lliurament d’activitats.
•El nom del fitxer ha de ser CognomsNom.
•La data límit de lliurament és el 3 de juny de 2012.
Propietat intel·lectual
Sovint és inevitable, en produir una obra multimèdia, fer ús de recursos creats per terceres
persones. És per tant comprensible fer-ho en el marc d'una pràctica dels estudis del Grau
Multimèdia, sempre i això es documenti clarament i no suposi plagi en la pràctica.
Per tant, en presentar una pràctica que faci ús de recursos aliens, s’ha de presentar
juntament amb ella un document en què es detallin tots ells, especificant el nom de cada
recurs, el seu autor, el lloc on es va obtenir i el seu estatus legal: si l’obra està protegida pel
copyright o s’acull a alguna altra llicència d'ús (Creative Commons, llicència GNU, GPL ...).
L’estudiant haurà d’assegurar-se que la llicència que sigui no impedeix específicament seu ús
en el marc de la pràctica. En cas de no trobar la informació corresponent haurà d’assumir
que l’obra està protegida pel copyright.
Hauran, a més, adjuntar els fitxers originals quan les obres utilitzades siguin digitals, i el seu
codi font si correspon.
Un altre punt a considerar és que qualsevol pràctica que faci ús de recursos protegits pel
copyright no podrà en cap cas publicar-se en Mosaic, la revista del Grau en Multimèdia a la
UOC, a no ser que els propietaris dels drets intel·lectuals donin la seva autorització explícita.

2. ENUNCIAT
1.Els estudiants que es van presentar a l'examen final de Matemàtiques del quadrimestre
passat van obtenir les següents qualificacions:
7 3 2 4 5 1 8 6 5 1
3 4 5 1 3 6 0 9 10 5
8 6 4 4 4 7 8 3 2 6
5 7 3 6 4 8 6 5 3 1
a) Quin tipus de variables són?
Variable quantitativa discreta
b) Determinar la distribució de freqüències, la mitja, la desviació típica, la mediana, els quartils i
la moda1.
Frecuencia Frecuencia
Frecuencia Frecuencia
Absoluta Relativa
( xi − x )
2
Nota Absoluta Relativa
Acumulada Acumulada
·ni
(ni) (fi)
(Ni) (Fi)
0 1 1/40 = 0,025 1 0,025 22,09
1 4 4/40 = 0,1 5 0,125 54,79
2 2 2/40 = 0,05 7 0,175 14,58
3 6 6/40 = 0,15 13 0,325 17,34
4 6 6/40 = 0,15 19 0,475 2,94
5 6 6/40 = 0,15 25 0,625 0,54
6 6 6/40 = 0,15 31 0,775 10,13
7 3 3/40 = 0,075 34 0,85 15,87
8 4 4/40 = 0,1 38 0,95 43,54
9 1 1/40 = 0,025 39 0,975 18,49
10 1 1/40 = 0,025 40 1 28,09
Suma 40 1 228,4
Mitjana:
x = (0 * 1 + 1 * 4 + 2 * 2 + 3 * 6 + 4 * 6 + 5 * 6 + 6 * 6 + 7 * 3 + 8 * 4 + 9 * 1
+ 10 * 1)/40 = 4,7
Mediana: 40+1/2 = 20’5.. la mediana és el valor de la posició 20 y 21.. si mirem la
freqüència absoluta acumulada, els dos valors són 5. La mediana 5+5/2 = 5, és 5.
Moda: No n'hi un únic valor que sigui el més repetit, amb el que la moda són: 3, 4, 5 y 6.
Desviació típica: S2 = 228,4 / 39 = 5,8564
S = 2,42
1 Moda: és el valor més repetit, és a dir, el que té més freqüència.

3. c) Dibuixar el diagrama de barres i raona el resultat.
2. Heu decidit usar els recursos de la UOC per fer una enquesta sobre que tipus de Tablets
utilitzen els alumnes matriculats a la universitat de cara a dissenyar una aplicació interactiva
per la més estesa entre l'alumnat.
a) Investiga sobre diferents formes de mostreig: mostreig aleatori, sistemàtic, estratificat, per
conglomerats, etc. Explica les diferents formes oposades, diferències i característiques d'ús.
El conjunt dels individus objecte del nostre interés és el que anomenem població. Una
mostra és qualsevol conjunt de la població del nostre estudi.
Una mostra aleatòria simple és quan el procés per obtenir-la garantitza aquestes dues
propietats:
1. Tots els elements de la població tenen la mateixa probabilitat de formar part de la
mostra.
2. Els elements se seleccionen un a altre i amb reposició, de manera que les
seleccions es fan sempre sobre el total de la població.
Mostreig sistemàtic: Volem seleccionar una mostra de mida k d'una població d'N
individus. Aquest procediment es basa en els següents punts:
1. Es numeran com en el cas anterior els individus de la població, de 1 fins a N, a partir
del seu cens.
2. Es calcula m=[N/k], on [x] designa la part entera del número x.
3. Se selecciona l'atzar un número entre 1 i m, que indicarà el primer individu que
formarà part de la mostra.
4. Sumem m tantes vegades com faci falta al nombre que indica el primer individu de
la mostra i incloem a la mostra els individus que es porresponguin als resultats
d'aquestes sumes.
Mostreig estratificat: Si es vol fer servir un tipus de mostreig que tingui en compte les
caraterístiques de la població. Per fer-ho, utilitzarem estrats, és a dir, colectius on
sospitem que la variable pogui prendre valors similars. Així doncs, aquest tipus de

4. mostreig serà més precís que el mostreig aleatori simple, més si els individus de cada
estrat són molt similars entre sí i molt diferents dels individus dels altres estrats.
1. Els individus de la població s'agrupen en estrats disjunts.
2. La mostra s'obté assignant un nombre d'individus necessaris per mostreig aleatori
simple dintre de cada estrat.
3. El número d'individus que cada estrat aporta a la mostra final es pot decidir segons
els diferents criteris, normalment es fa proporcionalment a la mesura relativa del
estrat de la població.
Els conglomerats són unitats (normalments físiques o geogràfiques) en que es
distribueixen els individus de la població a investigar. En el mostreig per conglomerats se
selecciona una mostra aleatòria de conglomerats i dintre de cada conglomerat se
selecciona a l'atzar una mostra dels seus individus. Aquest mètode simplifica molt la
recollida d'informació però te també alguns inconvenients:
1. Si els conglomerats són molt diferents entre sí, i tenint en compte que no tots els
conglomerats estan representats en la mostra final, la mostra pot perdre
representativitat.
2. Cada conglomerat ha de tenir tanta diversitat com la pròpia població, dit d'una altre
manera, en cad aconglomerat han d'estar representats (com si es tractés d'una mostra
aleatòria simple) totes les característiques de la població.
El mostreig polietàpic combina els mètodes d'estratificació i el de conglomerats,
millorant la representativitat de la mostra a la vegada que es manté la simplicitat en la
recollida de dades. Esencialment el que es fa és agrupar els conglomerats per estrats, per
evitar escollir conglomerats poc representatius o per evitar deixar fora de la mostra
conglomerats molt importants.
Quan l'estratificació no és possible o és molt cara, i tampoc es disposa de la llista de pobla -
ció a investigar, es pot recórrer al anomenat mostreig per quotes. En ell es distribueixen
els individus de la població en diferents categories i se'ls assigna un nombre d'individus a
cada categoria, de manera que la proporció d'individus de cada categoria a la mostra si -
gui similar a la proporció dintre de la població. Una vegada calculades aquestes proporci -
ons, l'entrevistador rep intruccions d'entrevistar a cada categoria (quota). Quan ha esgo-
tat els individus que te assignats d'una categoria en concret, deixa de recollir dades d'a -
questa i continua amb les següents categories.
b) Disposes de la llista dels 15.000 matriculats. Explica quin tipus de mostreig realitzaríeu i com
faríeu per tenir una mostra de 1500 estudiants.
Mostreig aleatori simple.
c) Suposeu ara que dels 15.000 matriculats, 3555 estudiants estan matriculats dels Estudis
d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació; 2825 estudiants dels Estudis d'Empresarials; i la
resta estan matriculats de Ciències Socials. Que tipus de mostreig s'ha de realitzar per obtenir
una mostra de 1500 estudiants de manera que es tingui en compte els estudis de què s'han
matriculat.
Mostreig estratificat.

5. 3. L'histograma de freqüència relativa que es presenta a continuació mostra la distribució del
nombre de persones que clica sobre un bàner publicitari que hi ha en una web, al llarg de 50
dies.
0,42
0,24
Y
0,14
0 2 5 8 10 x
a)Calculeu el valor Y (noteu que el dibuix no està a escala real).
Y = 1 – 0,80 = 0,2
b)A partir de les dades de l'histograma obteniu la taula de freqüències relatives 2, relatives acu-
mulades3, absolutes i absolutes acumulades.
Interva Marca (mi) Freqüència Freqüència Freqüència Freqüència
l Relativa (fi) Relativa Absoluta (ni) Absoluta
Acumulada Acumulada
(Fi) (Ni)
(0,2] (2-0)/2 = 1 0,14 0,14 0,14 * 50 = 7 7
0,14+0,42 =
(2,5] 2 + (5-2)/2 = 3,5 0,42 0,42 * 50 = 21 28
0,56
0,56 + 0,24 =
(5,8] 5 + (8-5)/2 = 6,5 0,24 0,24 * 50 =12 40
0,80
(8,10] 8 + (10-8)/2 = 9 Y 0,80 + Y = 1 0,2 * 50 = 10 50
c)Calculeu: la mitja, la mediana i la desviació típica dels accessos al bàner realitzats.
Mitjana: x = 1 * 0,14 + 3,5 * 0,42 + 6,5 * 0,24 + 9 * 0,2 = 4,97
Tb. x = (1 * 7 + 3,5 * 21 + 6,5 * 12 + 9 * 10)/50 = 4,97
Mediana: 50+1/2 = 25’5, és el valor de la posició 25 y 26.. si mirem la freqüència
absoluta acumulada fins l'interval (2,5] hi ha 28 personas. Amb el que la
mediana, el valor 25 - 26, està dintre d'aquest interval. Med = 3,5
2 Freqüència relativa, fi: és la proporció d'individus en els quals les variables prenen aquest valor.
Es dóna en tant per un o tant per cent.
3 Freqüència relativa acumulada, F : és la proporció d'individus en els quals les variables prenen
i
aquest valor o anteriors. Es dóna en tant per un o tant per cent.

6. Desviació típica:
Interval Marca Freqüència
( mi − x )
2
·ni
Absoluta (ni)
(0,2] (2-0)/2 = 1 7 110,326
(2,5] 2 + (5-2)/2 = 3,5 21 45,379
(5,8] 5 + (8-5)/2 = 6,5 12 28,091
(8,10] 8 + (10-8)/2 = 9 10 162,409
Suma: 50 346,205
S2 = 326,205 / 49 = 6,6572
S = 2,5801
4. En una empresa de RRHH internacional han realitzat l'assignació de punts dels aspirants
a un lloc de treball d'una multinacional usant una distribució normal de mitjana 110 punts i 15
punts de desviació típica.
a) Quina probabilitat hi ha que un aspirant al lloc obtingui més de 125 punts?
S'ha de calcular la probabilitat de que x>125 en una distribució normal N(110, 15):
P[x>125] = P[z> (125-110/15)] = P[z>1] = 1 – P[z < 1] = 1 – 0.8413 = 0.1587
b) Per passar a la segona fase de selecció cal tenir 100 punts o més. Quin percentatge d'aspi-
rants passarà?
Calcular P[x >= 100] = P[z >= (100-110/15)] = P[z >= -0,67] = P[z <= 0,67] = 0,7486
74,86% dels aspirants
c) Quants punts com a mínim ha de tenir un aspirant al lloc per estar entre el 25% dels millors?
S'ha de calcular el valor de la variable por sota del qual queda el 75% de la població i
per sobre del 25%; es a dir, el percentil de 75:
P[z <= K] = 0,75
d)Cerquem el valor més pròxim a 0,75 -> 0,7486 que correspon a un valor K=0,67:
(x-110/15) = 0,67 -> x=120 puntos
Per estar dintre del 25% dels millors s'ha de tenir 120 puntos o més.