El documento resume conceptos clave de geometría como figuras congruentes, equivalentes y semejantes. Explica cómo determinar si triángulos son congruentes o semejantes usando criterios como lados y ángulos. También cubre la división de segmentos de manera interior, exterior y armónica, así como la sección áurea. Proporciona ejemplos para ilustrar cada concepto.

1. Geometría 2010 Clase Geometría de Proporción I PPTCANMTGEA04014V1 Propiedad Intelectual Cpech

4. 4.1 División Interior 4.2 División Exterior 4.3 División Armónica 4. División de un segmento 4.4 Sección áurea o Divina Propiedad Intelectual Cpech

5. 1. Figuras congruentes ( ) Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión. Ejemplos: 1.1 Definición Propiedad Intelectual Cpech

6. Para determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son: 1° Lado, lado, lado ( L.L.L .) Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes. Ejemplo: 8 8 10 10 6 6 Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF A C B D F E 1.2 Triángulos congruentes Propiedad Intelectual Cpech

7. 2° Lado, ángulo, lado ( L.A.L .) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente.   5 3 5 3 Ejemplo: Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF A B C E F D Propiedad Intelectual Cpech

8. 3° Ángulo, lado, ángulo ( A.L.A ) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.   12 12 Ejemplo:   Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF A B C E F D Propiedad Intelectual Cpech

9. 2. Figuras Equivalentes Son aquellas que tienen la misma área. Ejemplo: El cuadrado de lado 2√  , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura: Área = 4  Área = 4  Propiedad Intelectual Cpech

10. 3. Figuras semejantes (~) Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones: Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes. 1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y 2° que sus lados homólogos sean proporcionales. Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área. 3.1 Definición G F J I H      A E D C B      Propiedad Intelectual Cpech

11. 6 5 4 3 12 10 8 6 4 2 Además, están en razón 1:2. A E D C B      G F J I H      Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG. Propiedad Intelectual Cpech

12. Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales. Ejemplo: Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k 5 3 15 9 4 12 3.2 Triángulos Semejantes A B C    E F D    Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar. AB es homólogo a DE BC es homólogo a EF AC es homólogo a DF AB DE BC EF AC DF 1 3 = = = = k Propiedad Intelectual Cpech

13. Los lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a los lados proporcionales. Ejemplo: 3 4 5 6 8 10 = = = k = = =  Además, los elementos que cumplen la misma función en cada triángulo como: alturas, transversales,bisectrices y simetrales, también son homólogos y proporcionales. = k P Q R A B C 3.3 Elementos Homólogos AB PQ BC QR CA RP 5 10 3 6 4 8 1 2 Propiedad Intelectual Cpech

14. h C h R Además, = = = k h C = P R 6 8 10 Q A B C 3 4 5 h C h R 2,4 4,8 1 2 Propiedad Intelectual Cpech Recuerda: Teorema de Euclides a · b c

20. Ejemplo: Determinar la medida del segmento QR de la figura: Solución : = 60 = 4 ∙ QR 15 = QR Es decir:   Con k razón de semejanza A B C    4 10 Q R P    6 10 QR 4 6 AB PR 10 QR 4 6 = =  Los triángulos de la figura son semejantes por AA y se tiene que Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces: AB PR CB QR AC PQ = = = k Propiedad Intelectual Cpech

21. 4. División de un segmento Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m:n , entonces: Ejemplo: 4.1 División interior C A B Q A B AC CB = m n Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5 , y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB? Propiedad Intelectual Cpech

22. Solución : AQ = 27    27 Q A B 45 AQ QB = 3 5 AQ 45 = 3 5 AQ = 3 ∙ 45 5 Por lo tanto, AB mide 72 Propiedad Intelectual Cpech

23. Si el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n , entonces: Ejemplo: 20 4.2 División exterior B A D B A D AD BD = m n Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2 , y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD? Propiedad Intelectual Cpech

24. BD = 8    8 12 20 Solución : AD BD = 5 2 20 BD = 5 2 BD = 20 ∙ 2 5 B A D Propiedad Intelectual Cpech

25. Dividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n , implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón. Ejemplo: Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que: 4.3 División armónica m AC CB = = n AD BD Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2 , ¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12? A C B D A C B D 12 Propiedad Intelectual Cpech

26. Solución : x y = 3x = 2(12 - x)   3x = 24 - 2x  5x = 24   =  24 + 2y = 3y   24 12 - x 12+y y AC CB 3 2 = 3 2 12- x x AD BD = 3 2 3 2 36 5 x = 24 5 24 = y 24 5 A C B D 12 Propiedad Intelectual Cpech

27. El punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional geométrica entre el trazo completo y el menor. Si AX > BX, entonces: Ejemplo: 4.4 Sección Áurea o Divina X A B P A B AB AX = AX BX ó (AX) 2 = AB ∙ BX En la figura, P divide al segmento AB en “ sección áurea” , con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la medida de AP, si PB = 5? 5 Propiedad Intelectual Cpech

28. Solución : (AP) 2 = (AP + 5) ∙5  (AP) 2 = 5 ∙ AP + 2 5  (AP) 2 - 5 ∙ AP - 2 5 = 0  5 P A B (AP) 2 = AB ∙ PB Propiedad Intelectual Cpech

29. Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, en las páginas 273, 274 y 276 . Propiedad Intelectual Cpech