1) O documento discute equações diofantinas lineares, que são equações polinomiais com coeficientes inteiros cujas soluções buscadas são também inteiras. 2) Dois exemplos ilustram problemas modelados por equações diofantinas lineares em duas incógnitas, relacionados a vale-transporte e selos de correio. 3) Métodos para resolver essas equações são apresentados, incluindo o uso do máximo divisor comum e soluções paramétricas.

1. 7
Equa»c~oes diofantinas lineares
Considere o seguinte problema. Se um trabalhador recebe 510 reais em t¶³quetes de
alimenta»c~ao, com valores de 20 reais ou 50 reais cada t¶³quete, de quantas formas pode
ser formado o carn^e de t¶³quetes desse trabalhador ?
Se x denota a quantidade de t¶³quetes de 20 reais e se y denota a quantidade de
t¶³quetes de 50 reais ent~ao a equa»c~ao 20x+50y = 510 deve ser satisfeita e o problema ¶e
resolvido determinando-se todas as solu»c~oes inteiras n~ao negativas desta equa»c~ao. Esta
equa»c~ao ¶e um exemplo de equa»c~ao linear diofantina em duas inc¶ognitas.
Como outro problema de ilustra»c~ao, se o custo da postagem de uma encomenda ¶e
de 83 centavos e devemos usar selos de 6 e de 15 centavos, como combinar os selos na
postagem ? Se x denota a quantidade de selos de 6 centavos e se y denota a quantidade
de selos de 15 centavos ent~ao a equa»c~ao 6x + 15y = 85 deve ser satisfeita e o problema
¶e resolvido determinando-se todas as solu»c~oes inteiras n~ao negativas de tal equa»c~ao.
Equa»c~oes polinomiais, em v¶arias inc¶ognitas, com coe¯cientes inteiros (ou racio-
nais), das quais se buscam solu»c~oes restritas ao conjunto dos n¶umeros inteiros, s~ao habi-
tualmente denominadas de equa»c~oes diofantinas, em refer^encia a Diofanto de Alexandria,
algebrista grego do s¶eculo 2, que estudou extensamente, em seu livro Arithmetica, a
obten»c~ao de solu»c~oes racionais de equa»c~oes polinomiais, com coe¯cientes racionais, em
v¶arias inc¶ognitas. Fermat foi um estudioso sistem¶atico desse livro, tendo anotado, em
uma de suas p¶aginas, sua famosa conjectura, agora teorema, o ¶ultimo teorema de
Fermat", que declara que n~ao existem inteiros positivos x, y e z satisfazendo xn
+ yn
=
zn
, quando n ¸ 3.
O problema de se determinar inteiros x1, x2, : : : , xn, satisfazendo uma equa»c~ao
da forma a1x1 + a2x2 + ¢ ¢ ¢ + anxn = b, sendo a1, a2, : : : , an e b n¶umeros inteiros (ou
racionais) ¶e o que chamamos de uma equa»c~ao diofantina linear.
Neste cap¶³tulo, estudaremos a equa»c~ao linear diofantina em duas inc¶ognitas x e
y, ax + by = c, sendo a, b e c n¶umeros inteiros. Desenvolveremos ainda considera»c~oes
estrat¶egicas para a obten»c~ao de solu»c~oes de equa»c~oes lineares diofantinas em tr^es ou
mais inc¶ognitas.
59

2. Equac»~oes diofantinas lineares 60
Proposi»c~ao 7.1 Sejam a, b e c n¶umeros inteiros. A equa»c~ao diofantina ax + by = c
possui solu»c~ao se e somente se mdc(a; b) divide c.
Demonstra»c~ao.
()) Suponhamos que (x0; y0) ¶e um par de inteiros satisfazento ax0 + by0 = c.
Sendo d = mdc(a; b), temos que d j a e d j b. Logo d j (ax0 + by0), ou seja, d j c.
(() Seja d = mdc(a; b) e suponhamos que d j c. Ent~ao c = d ¢ °, para algum ° 2 Z.
Pelo teorema 6.1, cap¶³tulo 6, existem inteiros r e s tais que ra + sb = d.
Logo, ra° + sb° = d°, ou seja a(r°) + b(s°) = c, e assim (x0; y0) = (r°; s°) ¶e
solu»c~ao de ax + by = c.
Proposi»c~ao 7.2 Sendo a e b inteiros, e mdc(a; b) = 1, as solu»c~oes da equa»c~ao dio-
fantina ax + by = 0 s~ao dadas pelas equa»c~oes param¶etricas
½
x = bt
y = ¡at
(t 2 Z)
Demonstra»c~ao. Se x = bt e y = ¡at, ent~ao
ax + by = a(bt) + b(¡at) = abt ¡ abt = 0
Assim, ¶e imediato ver que as equa»c~oes param¶etricas x = bt e y = ¡at, com t 2 Z, nos
d~ao solu»c~oes da equa»c~ao diofantina ax + by = 0.
Suponhamos agora que x e y s~ao inteiros satisfazendo ax + by = 0. Ent~ao
ax = ¡by. Logo b j (ax). Como a e b s~ao primos entre si, pela proposi»c~ao 6.2, cap¶³tulo
6, temos que b j x.
Existe ent~ao t 2 Z tal que x = bt. Substituindo x = bt em ax = ¡by, obtemos
y = ¡at.
Portanto, x = bt e y = ¡at, para algum t 2 Z.
A equa»c~ao diofantina ax +by = 0 ¶e o que chamamos de equa»c~ao linear diofantina
homog^enea correspondente µa equa»c~ao ax + by = c (n~ao homog^enea se c 6= 0).
Sendo d = mdc(a; b), a proposi»c~ao 7.1 estabelece que a equa»c~ao diofantina ax +
by = c tem solu»c~ao se e somente se d j c. Assumindo que d j c, notemos que a equa»c~ao
ax + by = c ¶e equivalente µa equa»c~ao
³a
d
´
x +
µ
b
d
¶
y =
c
d

3. Equac»~oes diofantinas lineares 61
de coe¯cientes todos inteiros, j¶a que d j a e d j b. Al¶em disso, os inteiros a=d e
b=d s~ao primos entre si: como existem inteiros r e s tais que ra + sb = d, temos
r(a=d) + s(b=d) = 1.
Pelas observa»c~oes feitas acima, podemos nos restringir ao estudo de equa»c~ao dio-
fantinas ax + by = c assumindo a e b primos entre si.
Teorema 7.1 Sejam a, b e c inteiros, com a e b primos entre si. Seja (x0; y0) uma
solu»c~ao da equa»c~ao diofantina ax + by = c.
Ent~ao as solu»c~oes dessa equa»c~ao s~ao dadas pelas equa»c~oes param¶etricas
½
x = x0 + bt
y = y0 ¡ at
(t 2 Z)
Demonstra»c~ao. Seja (x0; y0) uma solu»c~ao da equa»c~ao diofantina ax + by = c.
Se x = x0 + bt e y = y0 ¡ at, com t 2 Z, ent~ao
ax + by = a(x0 + bt) + b(y0 ¡ at)
= ax0 + abt + by0 ¡ bat
= ax0 + by0 = c
e portanto (x; y) ¶e uma solu»c~ao da equa»c~ao diofantina ax + by = c.
Suponhamos agora que (x; y) ¶e solu»c~ao da equa»c~ao diofantina ax+by = c. Temos
ent~ao ½
ax + by = c
ax0 + by0 = c
e assim
a(x ¡ x0) + b(y ¡ y0) = ax ¡ ax0 + by ¡ by0
= (ax + by) ¡ (ax0 + by0)
= c ¡ c = 0
Logo, (x ¡ x0; y ¡ y0) ¶e solu»c~ao da correspondente equa»c~ao homog^enea ax + by = 0.
Pela proposi»c~ao 7.2, existe t 2 Z tal que x ¡ x0 = tb e y ¡ y0 = ¡ta, ou seja
½
x = x0 + bt
y = y0 ¡ at
para algum t 2 Z.
Exemplo 7.1 Se o custo de uma postagem ¶e de 83 centavos e os valores dos selos s~ao
de 6 e 15 centavos, como podemos combinar os selos na postagem ?

4. Equac»~oes diofantinas lineares 62
Solu»c~ao.
Se x denota a quantidade de selos de 6 centavos e y denota a quantidade de selos
de 15 centavos, ent~ao 6x + 15y = 85. Como mdc(6; 15) = 3 e 3 6j 83, a equa»c~ao
diofantina 6x + 15y = 83 n~ao possui solu»c~oes inteiras e assim o problema de postagem
n~ao tem solu»c~ao.
Exemplo 7.2 Consideremos agora o problemas dos t¶³quetes, mencionado no in¶³cio do
cap¶³tulo, que d¶a origem µa equa»c~ao diofantina 20x + 50y = 510.
Pelo teorema 7.1, a equa»c~ao tem solu»c~ao inteira, visto que mdc(20; 50) = 10 e
10 j 510.
Como observado, a equa»c~ao 20x+50y = 510 ¶e equivalente µa equa»c~ao 2x+5y = 51.
Assim sendo, passamos a buscar as solu»c~oes inteiras desta ¶ultima.
Posteriormente, devido µa natureza do problema original (contagem de t¶³quetes),
estaremos nos restringindo µas solu»c~oes (x; y) que tamb¶em satisfazem x ¸ 0 e y ¸ 0.
Como mdc(2; 5) = 1, pelo teorema 7.1, as solu»c~oes de 2x + 5y = 51 tem a forma
½
x = x0 + 5t
y = y0 ¡ 2t
(t 2 Z)
sendo (x0; y0) uma solu»c~ao particular da equa»c~ao.
Nos resta ent~ao obter uma solu»c~ao particular da equa»c~ao. Para tal, primeiramente
obtemos inteiros r e s satisfazendo 2r + 5s = mdc(2; 5) = 1. Podemos faz^e-lo usando
as divis~oes sucessivas do algoritmo euclidiano do c¶alculo de mdc(2; 5).
Neste problema particular, no entanto, podemos adivinhar" valores para r e s, a
saber, r = ¡2, s = 1. Tendo 2r + 5s = 1, teremos 2(51r) + 5(51s) = 51, de onde uma
solu»c~ao particular de 2x + 5y = 51 nos ¶e dada por x0 = ¡102, y0 = 51.
A solu»c~ao geral de 2x + 5y = 51 (ou de 20x + 50y = 510) ¶e portanto
½
x = ¡102 + 5t
y = 51 ¡ 2t
(t 2 Z)
Na busca de solu»c~oes n~ao negativas, impomos ¡102 + 5t ¸ 0 e 51 ¡ 2t ¸ 0, de
onde
A restri»c~ao de solu»c~oes n~ao negativas determinam que x = ¡102 + 5t ¸ 0, ou
seja, t ¸ 102=21 e que, simultaneamente, y = 51 ¡ 2t ¸ 0, ou seja, t · 51=2 < 26.
Assim, t deve assumir um dos seguintes valores: 21, 22, 23, 24 e 25.
Temos ent~ao 5 possibilidades para os carn^es, a saber:
{ carn^e com 3 t¶³quetes de $20 reais e 9 t¶³quetes de $50 reais;

5. Equac»~oes diofantinas lineares 63
{ carn^e com 8 t¶³quetes de $20 reais e 7 t¶³quetes de $50 reais;
{ carn^e com 13 t¶³quetes de $20 reais e 5 t¶³quetes de $50 reais;
{ carn^e com 18 t¶³quetes de $20 reais e 3 t¶³quetes de $50 reais;
{ carn^e com 23 t¶³quetes de $20 reais e 1 t¶³quete de $50 reais;
Atrav¶es de um exemplo, mostraremos agora uma estrat¶egia para obten»c~ao de
solu»c~oes de uma equa»c~ao diofantina linear em tr^es inc¶ognitas.
Exemplo 7.3 Resolver a equa»c~ao diofantina 2x ¡ 6y + 5z = 3.
Primeiramente determinamos que o problema tem solu»c~ao, pois mdc(2; 6; 5) = 1 e 1 j 3.
Como mdc(2; 6) = 2, podemos escrever 2x ¡ 6y = 2¸. Aqui estamos usando o
fato de que sendo a e b inteiros, toda combina»c~ao linear ax + by, com x e y inteiros, ¶e
m¶ultiplo de d = mdc(a; b): se d j a e d j b, ent~ao d j (ax + by).
Temos ent~ao
2x ¡ 6y
| {z }
=2¸
+5z = 3
Tratamos ent~ao de, primeiramente, resolver a equa»c~ao 2¸ + 5z = 3. Uma solu»c~ao
particular ¶e (¸0; z0) = (¡6; 3). Assim, a solu»c~ao geral dessa equa»c~ao ¶e dada por
½
¸ = ¡6 + 5t
z = 3 ¡ 2t
(t 2 Z)
Passamos ent~ao µa equa»c~ao diofantina 2x ¡ 6y = 2¸, assumindo que ¸ ¶e uma
constante inteira.
A equa»c~ao 2x ¡ 6y = 2¸ ¶e equivalente a x ¡ 3y = ¸. Uma solu»c~ao particular
desta equa»c~ao ¶e dada por x0 = 4¸, y0 = ¸. A solu»c~ao geral desta equa»c~ao ¶e dada por
½
x = 4¸ + 3u
y = ¸ + u
(u 2 Z)
Como ¸ = ¡6 + 5t, chegamos ¯nalmente µa solu»c~ao do problema:
8
<
:
x = ¡24 + 20t + 3u
y = ¡6 + 5t + u
z = 3 ¡ 2t
(t; u 2 Z)

6. Equac»~oes diofantinas lineares 64
7.1 Exerc¶³cios
1. Encontre todas as solu»c~oes das seguintes equa»c~oes diofantinas lineares:
(a) 17x + 13y = 100 (b) 12x + 18y = 50
(d) 60x + 18y = 67 (e) 1402x + 1969y = 1
(g) 102x + 1001y = 533 (h) 33x + 25y = 0
2. Encontre as solu»c~oes das seguintes equa»c~oes diofantinas
(a) 2x ¡ 10y + 35z = 0
(b) 101x ¡ 102y + 103z = 1
(c) 12x + 21y + 9z + 15w = 9
3. Uma ag^encia de correios possui apenas selos de 14 centavos e de 21 centavos.
Determine as combina»c~oes desses selos que podem ser feitas para postar cartas
dos seguintes valores postais:
(a) R$ 3,50 (b) R$ 4,00 (c) R$ 7,77
4. Com R$ 5,49 pode-se comprar ma»c~as, a 18 centavos cada, e peras, a 33 centavos
cada. Qual ¶e o n¶umero m¶³nimo de frutas que podem ser compradas?
5. Um estudante, viajando da Europa aos Estados Unidos, troca seus francos su¶³»cos
e francos franceses por d¶olares. Ele recebe US$ 17,06, tendo recebido US$ 0,19
(19 `cents') por cada franco franc^es e US$ 0,59 por cada franco su¶³»co. Quanto de
cada moeda ele possu¶³a?
6. Encontre as solu»c~oes inteiras dos sistemas de equa»c~oes lineares
(a)
½
x + y + z = 100
x + 8y + 50z = 156
(b)
8
<
:
x + y + z + w = 100
x + 2y + 3z + 4w = 300
x + 4y + 9z + 16w = 1000
Sugest~ao: Primeiramente, passe os sistemas µa uma forma escalonada, mantendo
os coe¯cientes inteiros.
7. De que modos ¶e poss¶³vel combinar 50 moedas, misturando moedas de 1, de 10 e
de 25 centavos, de modo a totalizar 3 reais?
8. Resolva o seguinte problema, como se estivesse fazendo-o a uma classe de alunos
do ensino b¶asico, isto ¶e, por uma estrat¶egia que n~ao fa»ca uso dos teoremas sobre
equa»c~oes diofantinas desenvolvidos no cap¶³tulo: Combinando moedas de 1, 10 e
25 centavos, como podemos totalizar 99 centavos?