Conjuntos numéricos e estatística

CadernoCaderno
educacional
9o
ano
Material de apoio
Material do professor
educacionalMaterial do professor
CadernoCaderno
ciênciasCiênciasMaterial de apoio
Material do aluno

Expediente
Marconi Ferreira Perillo Júnior
Governador do Estado de Goiás
Thiago Mello Peixoto da Silveira
Secretário de Estado da Educação
Erick Jacques Pires
Superintendente de Acompanhamento de Programas Institucionais
Raph Gomes Alves
Chefe do Núcleo de Orientação Pedagógica
Valéria Marques de Oliveira
Gerente de Desenvolvimento Curricular
Gerência de Desenvolvimento Curricular
Elaboradores
MATEMÁTICA
Abadia de Lourdes da Cunha
Alexsander Costa Sampaio
Aline Márcia dos Santos
Carlos Roberto Brandão
Deusite Pereira dos Santos
Inácio de Araújo Machado
Júnior Marques Carneiro
Lidiane Rodrigues da Mata
Márcio Dias de Lima
Marlene Aparecida Faria
Mônica Martins Pires
Regina Alves Costa Fernandes
Silma Pereira do Nascimento Vieira
PORTUGUES
Alex Sandra de Carvalho
Arminda Maria de Freitas Santos
Débora Cunha Freire
Histávina Duarte Pereira
Joanede Aparecida Xavier de Souza Fé
Lívia Aparecida da Silva
Luiz Fabiano Braga dos Santos
Márcia Mendonça Souza
Marilda de Oliveira Rodovalho
Myrian Marques
Rosely Aparecida Wanderley Araújo
CIÊNCIAS
Cibele Pimenta Tiradentes
Claudine Ferreira de Souza Azeredo Veríssimo
Fernanda Cirqueira Rodrigues
Hélio Pinheiro de Andrade
Jardel Willian do Couto
Leonardo Dantas Vieira
Leonardo Teófilo Teles
Lívio de Castro Pereira
Ranib Aparecida dos Santos Lopes
Rodrigo da Silva

Apresentação
Prezado aluno,
O Governo do Estado de Goiás, por meio da Secretaria de Estado da Edu-
cação, criou o “Pacto pela Educação” com o objetivo de lhe oferecer um ensino
de maior qualidade.
Para atingir esse objetivo, apresentamos-lhe este material, a fim de apoiá-lo
emsuasatividades,visandoaoseumelhordesempenhonoEnsinoFundamental.
Com isso, esperamos prepará-lo melhor para o ingresso no Ensino Médio.
O propósito maior deste material é o de possibilitar a apreensão de
conteúdos considerados essenciais para você. Em face disso, espera-se que sua
aprendizagem seja fortalecida e desenvolvida.
Lembramos que as suas ações de agora são o alicerce para o seu futuro.
Assim, lance mão desse material com afinco, o que certamente resultará em
seu aprimoramento intelectual. Este material foi produzido pela Secretaria,
pensando em você, no seu sucesso como estudante de hoje e como profissional
de amanhã.
Para tanto, sugerimos que, para aproveitar melhor cada texto, cada
atividade colocada aqui, organize um período diário de estudo, de leitura
dos textos, de levantamento de dúvidas. Vá para a sala de aula pronto para
participar das discussões propostas pelo professor. Acreditamos que, somente
com sua participação efetiva nas aulas, este material cumprirá a sua finalidade:
proporcionar um ensino e uma aprendizagem mais justos e de mais qualidade.
Contamos com sua participação e esforço!
Bons estudos!

Sumário
MATEMÁTICA
Aula 01 Conjunto dos Números Naturais (N).................................................................................7
Aula 02 Conjunto dos números inteiros (Z) – Operações........................................................9
Aula 03 Conjunto dos Números Racionais (Q) – Frações........................................................13
Aula 04 Conjunto dos números racionais (Q) Números Decimais – Operações ��17
Aula 05 Conjunto dos números racionais (Q): Equivalência de frações............................21
Aula 06 Conjunto dos números racionais (Q) – Conversão....................................................25
Aula 07 Conjunto dos Números Irracionais....................................................................................27
Aula 08 Conjunto dos Números Reais (R) ....................................................................................28
Aula 09 Os números racionais na reta numérica.........................................................................31
Aula 10 Potenciação: Definição..........................................................................................................33
Aula 11 Potenciação: Propriedades...................................................................................................36
Aula 12 Potência com expoente negativo......................................................................................38
Aula 13 Potenciação: expressões numéricas.................................................................................40
Aula 14 Decomposição em fatores primos....................................................................................41
Aula 15 Radiciação: Definição / Extração de raiz.........................................................................43
Aula 16 Radiciação (propriedades)....................................................................................................47
Aula 17 Radiciação inexata ..................................................................................................................49
Aula 18 Relacionando potências e radicais....................................................................................50
Aula 19 Resolução de situações problema envolvendo números R...................................52
Aula 20 Exercícios – números Reais...................................................................................................54
Aula 21 Rotação de polígonos – Propriedades.............................................................................56
Aula 22 Reflexão de polígonos – Propriedades............................................................................59
Aula 23 Translação de polígonos – Propriedades........................................................................63
Aula 24 Plano Cartesiano Ortogonal.................................................................................................66
Aula 25 Construção de polígonos no plano cartesiano............................................................69
Aula 26 Exercícios envolvendo polígonos......................................................................................72
Aula 27 Circunferência e círculo: Definição e diferenças..........................................................74
Aula 28 Razão I..........................................................................................................................................78
Aula 29 Razão II (situações problema envolvendo razões em porcentagens).................82
Aula 30 Proporção ...................................................................................................................................85
Aula 31 Proporção – Propriedade......................................................................................................89
Aula 32 Exercícios envolvendo razão e proporção......................................................................93
Aula 33 Perímetro de polígonos diversos.......................................................................................94

Aula 34 Área de polígonos: quadrados e retângulos.................................................................98
Aula 35 Área de polígonos – Triângulos.......................................................................................101
Aula 36 Área de polígonos: paralelogramo................................................................................104
Aula 37 Área de polígonos: trapézio.............................................................................................107
Aula 38 Área de polígonos: pentágono e hexágono..............................................................109
Aula 39 Área de superfície de figuras não planas: cubo, cilindro
e paralelepípedo...................................................................................................................112
Aula 40 Exercícios envolvendo a área de superfície de figuras não planas:
cubo, cilindro e paralelepípedo, aplicados em avaliações externas.................115
Aula 41 Leitura de gráficos e tabelas.............................................................................................117
Aula 42 Construir tabelas de dados estatísticos........................................................................121
Aula 43 Construir gráficos de frequência de dados estatísticos – coluna.......................126
Aula 44 Construção de gráficos de frequência de dados estatísticos – barra...............130
Aula 45 Construção de gráficos de frequência de dados estatísticos – setores...........134
Aula 46 Conclusões com base na leitura de gráficos..............................................................137
Aula 47 Relacionar gráficos com tabelas......................................................................................141
Aula 48 Relacionar tabelas com gráficos......................................................................................146
Aula 49 Conclusões com base na leitura de tabelas...............................................................154
PORTUGUES
CONTO LITERÁRIO
AULA 01 Levantamento dos conhecimentos prévios/introdução ao estudo
do gênero...........................................................................................7
AULA 02 Identificação dos conhecimentos sobre o gênero....................................12
AULA 03 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero.......................................16

AULA 13 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero ......................................60
AULA 16 Sistematização dos conhecimentos sobre o gênero.................................71
EDITORIAL
do gênero........................................................................................73
AULA 18 Identificação dos conhecimentos sobre o gênero....................................79
AULA 21 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero ......................................86
AULA 27 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero..................................... 100
AULA 29 Ampliação e sistematização dos conhecimentos sobre o gênero.............. 106
AULA 33 Sistematização dos conhecimentos sobre o gênero .............................. 118
AULA 34 Sistematização dos conhecimentos sobre o gênero .............................. 120
ATA, REQUERIMENTO, CARTAS
do gênero...................................................................................... 122
do gênero...................................................................................... 126
do gênero...................................................................................... 129
do gênero...................................................................................... 132

do gênero ..................................................................................... 135
do gênero...................................................................................... 137
do gênero...................................................................................... 140
do gênero...................................................................................... 142
do gênero...................................................................................... 150
do gênero...................................................................................... 161
AULA 49 Ampliação e sistematização dos conhecimentos sobre o gênero ............. 164
Referências bibliográficas.................................................................................... 171
CIÊNCIAS
AULA 01 De que as coisas são feitas...................................................................................................DI
AULA 02 Elementos químicos que constituem o planeta.........................................................DK
AULA 03 Ciclo carbono e do nitrogênio...........................................................................................ED
AULA 04 Ciclo do Carbono ...................................................................................................................EG
AULA 05 Ciclo do Oxigênio.....................................................................................................................EL
AULA 06 Resolução de exercícios .......................................................................................................FE
AULA 07 Efeito Estufa .............................................................................................................................FH
AULA 08 Aquecimento Global; Emissores de carbono.................................................................FJ
AULA 09 Lixo ou resíduos: interferência no ciclo de materiais .............................................FM
AULA 10 O reaproveitamento de materiais ..................................................................................GG
AULA 11 Qualidade ambiental ...........................................................................................................GH
AULA 12 Lixo Radioativo..........................................................................................................................GJ

AULA 13 Lixo Radioativo .......................................................................................................................GL
AULA 14 Matriz energética e usinas nucleares..............................................................................HF
AULA 15 Resolução de exercício...........................................................................................................HI
AULA 16 Sol, fonte de energia ............................................................................................................HL
AULA 17 Como as plantas se alimentam..........................................................................................ID
AULA 18 A química da Fotossíntese ..................................................................................................IG
AULA 19 A importância da fotossíntese para o meio ambiente ...............................................IJ
AULA 20 Respiração Celular ...................................................................................................................IL
AULA 21 Respiração-Fermentação.......................................................................................................JD
AULA 22 Fermentação Lática ................................................................................................................JH
AULA 23 Cadeia alimentar: transferência de energia contida no alimento.........................JL
AULA 24 Teia alimentar: a interrelação de várias cadeias alimentares ................................KE
AULA 25 Cadeia e teia alimentar: níveis de tróficos....................................................................KH
AULA 26 Resolução de exercícios .......................................................................................................KJ

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MATEMÁTICAMATEMÁTICA
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Matemática
11
Aula 01
Conjunto dos Números Naturais (N)
Objetivo geral
Relembrar as quatro operações (adição, subtração,
multiplicação, divisão) do conjunto dos números naturais.
Conceito básico
Os números naturais surgiram da necessidade de fazer
contagens, portanto, fica claro que tal conjunto é formado
pelos números que utilizamos para contar. Representa-se
o conjunto dos números naturais por N:
0,1,2,3,...N = " ,
A seguir faremos uma pequena revisão acerca das
operações de adição, subtração, multiplicação e divisão
trabalhadas no conjunto N.
Adição: É a operação matemática que permite juntar e/
ou acrescentar quantidades. Tais quantidades são chama
das termos ou parcelas. A operação 2 936 + 4 652 = 7 588
indica uma adição.
Subtração: É a operação matemática que permite retirar certa quantidade de outra. Tais
quantidades, também, são chamadas termos ou parcelas. A operação 1527 – 1354 = 173 indica
uma subtração.
Multiplicação: É a operação matemática que permite adicionar quantidades iguais. O
resultado de uma multiplicação é chamado de produto. A operação 12 . 46 = 552 indica uma
multiplicação.
Divisão: É a operação matemática que permite repartir um número em quantidades iguais. A
operação 1554 37 42=' indica uma divisão.
Propriedades importantes da adição e da multiplicação
Quando trabalhamos com a adição ou a multiplicação de números naturais existem algumas
propriedades comuns que devem ser relembradas. São elas:
Comutativa: A ordem das parcelas não altera o resultado final da operação.
Adição: a b b a+ = +
Exemplo: 5 + 7 = 12 e 7 + 5 = 12, portanto, 5 + 7 = 7 + 5.
O que devo aprender
nesta aula
u Reconhecer a aplicação
dos números naturais e suas
diferentes formas de utilização
no cotidiano.
u Reconhecer e aplicar as
propriedades das operações
com números naturais e
percebê-las como facilitadoras
na compreensão das técnicas
operatórias.
u Analisar, interpretar, formular
e resolver situações problema
em diferentes contextos sociais
e culturais.

Matemática
12
Multiplicação: a . b = b . a
Exemplo: 5 . 7 = 35 e 7 . 5 = 35, portanto, 5 . 7 = 7 . 5 = 35.
Associativa: O agrupamento das parcelas não altera o resultado.
Adição: (a + b) + c = a + (b + c)
Exemplo: (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 e 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10, portanto, (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
Multiplicação: (a . b) . c = a . (b . c)
Exemplo: (3 . 4) . 2 = 12 . 2 = 24 e 3 . (4 . 2) = 3 . 8 = 24, portanto, (3 . 4) . 2 = 3 . (4 . 2)
Observação: Quando temos uma expressão envolvendo parênteses, devemos realizar primei
ramente as operações contidas em seu interior.
Expressão Numérica
Na expressão numérica, os sinais de associação devem seguir a ordem: os parênteses ( ) devem
ficar dentro dos colchetes [ ], e estes, dentro das chaves { }.
Nesse caso, deve-se efetuar primeiro as operações que estão entre parênteses, em seguida as
operações que estão nos colchetes e, finalmente, as que estiverem entre chaves.
Em relação as operações matemáticas devemos obedecer a seguinte ordem: multiplicação e/
ou divisão e, em seguida, adição e/ou subtração. Por exemplo:
( I )
8 + 5 . 3 = 8 + 15 = 23
( II )
15 + [(3 . 6 - 2) - (10 - 6 : 2) + 1] = 15 + [(18 - 2) - (10 - 3) + 1] =
15 + [16 - 7 + 1] = 15 + [9 + 1] = 15 + 10 = 25
Atividades
01 Efetue cada uma das operações a seguir:
a) 487 + 965
b) 1238 – 649
c) 35 . 126
d) 9114 : 62
02 Calcule o valor das seguintes expressões numéricas:
a) 50 – {15 + [16 : (10 – 2) + 5 . 2]} =
b) 70 – [5 . (4 : 4) + 9] =
c) 25 + {27 : 9 + [9 . 5 – 3 . (8 – 5)]} =
d) 25 – [27 – (4 – 1 + 6 – 4)] =

Matemática
13
03 Resolva os probleminhas a seguir:
a) Um pai deixou de herança para seus 3 filhos uma coleção com 3.216 selos de diversos países. Supondo uma divi-
são equilibrada, quantos selos caberão a cada filho? (Desenvolva o algoritmo da divisão).
b) Antônio recebe R$ 35,00 de mesada de seu pai. Quanto ele terá recebido depois de 1 ano e meio?
c) Maria levou R$ 20, 00 para fazer compras no supermercado. Ela gastou R$ 5,00 com bolachas e chocolates e R$
9,00 com produtos de limpeza. Quantos reais sobraram para Maria?
d) Um funcionário precisa colocar 336 latas de refrigerantes em caixas de papelão. Se em cada caixa cabem 16 latas,
quantas caixas serão necessárias para armazenar todas as latas de refrigerante?
Desafio
Sabendo que Tiago tem uma coleção composta por 396 figurinhas, responda:
a) Se Tiago dividir suas figurinhas com seu primo Mateus em duas partes exatamente iguais, quantas
figurinhas terá cada um?
b) Se Tiago triplicar sua coleção a nova quantidade corresponderá a que valor?
c) Caso o pai de Tiago lhe dê mais 89 figurinhas qual será a nova quantidade obtida por ele?
d) Se Tiago der 129 figurinhas a Lucas, quantas figurinhas lhe sobrarão?
AULA 02
Conjunto dos números
inteiros (Z) – Operações
Objetivo Geral
Interpretar e resolver situações problema envolvendo
operações com números inteiros.
Conceitos Básicos
O conjunto dos números inteiros (Z) encontra-se
presente em diversas situações do dia-a-dia, principalmente
quando apresentam o envolvimento de números negativos.
É formado pela união do conjunto dos números naturais
com os seus simétricos em relação ao zero. Portanto, é
formado por números positivos e negativos:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
O que devo aprender
nesta aula
u Reconhecer a importância das
operações que envolvem números
reais, inclusive potenciação e
radiciação, para a resolução de
problemas dos mais variados
contextos sociais e culturais.
u Utilizar as propriedades das
operações com números reais
como facilitadoras da resolução
de situações problema.
u Criar e resolver situações
problema que envolvem números
reais ampliando e consolidando os
significados das operações adição,
subtração, multiplicação, divisão,
potenciação e radiciação.

Matemática
14
Dois números são ditos simétricos quando sua soma for igual a zero. Portanto, dizemos que
os números negativos (-1, -2, -3, ...) são simétricos dos números naturais, uma vez que:
1 + (-1) = 0, 2 + (-2) = 0, 3 + (-3) = 0
Operações com Números Inteiros
As operações que envolvem os números inteiros requerem a utilização de regras matemáticas
envolvendo os sinais positivos (+) e negativos (–). Para isso é necessário que fique claro que
operação matemática está sendo desenvolvida: adição ou multiplicação.
Adição de números inteiros
É importante perceber que a expressão adição de números inteiros é utilizada quando há a
sequenciação de números positivos e negativos sem que haja as operações de multiplicação e/ou
divisão. Para isso é importante observar se as parcelas à serem operadas possuem sinais iguais ou
diferentes. Assim:
 Se as parcelas possuírem sinais iguais o resultado final terá o mesmo sinal das parcelas e
será obtido a partir da adição das mesmas, não importando se ambas forem positivas ou
negativas. Observe:
a) 20 25 45- - =-
b) 32 17 32 17 49 49+ =+ + =+ =
 Se as parcelas possuírem sinais diferentes o resultado final terá o sinal da parcela que
possuir o maior valor absoluto e será obtido a partir da subtração das mesmas. Observe:
a) 25 45 45 25 20- + =+ - =+^ h
b) 38 51 (51 38) 13- =- - =-
Multiplicação e ou divisão de números inteiros
Para operarmos a multiplicação ou a divisão de dois números inteiros assim como na adição de
números inteiros inicialmente é necessário perceber o sinal das parcelas à serem operadas. Assim:
 O produto ou o quociente de duas parcelas que possuem o mesmo sinal é um número
positivo.
a) ( 6) ( 18) 108 108- - =+ =$
b) 5) (9) ( 5) ( 9) 45 45( = + + =+ =$ $
c) ( 90) ( 15) 6 6- - =+ ='

Matemática
15
d) (170) (17) ( 170) ( 17) 10 10= + + =+ =' '
 O produto ou quociente de dois números de sinais diferentes é um número negativo.
a) ( 8) ( 9) 72- + =-$
b) ( 7) ( 13) 91+ - =-$
c) ( 45) ( 5) 9- + =-'
d) ( 100) ( 10) 10+ - =-'
Atividades
01 Uma microempresa representou em um gráfico seus resultados do segundo semestre do ano.
Atenção: Os números positivos indicam o lucro da empresa e os negativos indicam o prejuízo da empresa.
Analisando os dados do gráfico responda:
a) Em quais meses a microempresa teve lucro?
b) Em quais meses a microempresa teve prejuízo?

Matemática
16
c) Em qual mês a microempresa apresentou o pior resultado? Porque?
d) Qual foi o lucro médio nesses semestre?
e) Contabilizando o lucro e o prejuízo total desta empresa nos seis meses apresentadas determine se a
empresa terminou com saldo positivo ou negativo? Qual foi o montante deste saldo?
02 Observe o saldo bancário de Gabriel relativo aos meses de março a junho.
Mês Saldo
Março + R$ 800,00
Abril + R$ 250,00
Maio - R$ 150,00
Junho - R$ 950,00
Qual é o saldo do Gabriel ao final desses quatro meses?
03 Imagine uma sequência numérica onde o primeiro termo é o número (–8). Então:
a) Determine o segundo termo desta sequência sabendo que ele é o dobro do primeiro mais quatro.
b) Determine o terceiro termo desta sequência sabendo que ele é igual ao triplo do primeiro termo menos dez.
c) Determine o quarto termo desta sequência sabendo que ele é igual ao quádruplo do primeiro menos cinco.
d) Determine o sexto termo desta sequência sabendo que ele é igual ao quíntuplo do primeiro dividido por
menos quatro (-4).
04 Em uma operação onde o resto é 0 e o dividendo é + 72 , o quociente é - 8. Qual é o divisor?
Desafio
Em um campeonato de damas ficou estabelecido o seguinte critério de pontuação:
Vitória + 5 pontos
Empate + 3 pontos
Derrota - 2 pontos
Paulo terminou a primeira fase do campeonato com 30 pontos e, na segunda fase atingiu 3 vitórias, 1
empate e 2 derrotas.
Marcos, por sua vez, terminou a primeira fase do campeonato com 32 pontos e, na segunda fase atingiu
1 vitória, 2 empates e 3 derrota.
Responda:
a) Quantos pontos Paulo e Marcos alcançaram, respectivamente, ao final da 2ª fase do campeo-
nato?
b) Quem foi o ganhador?

Matemática
17
Aula 03
Conjunto dos Números Racionais (Q)
Frações
Objetivo Geral
Compreender a ideia de fração (parte-todo), razão e divisão;
Efetuar cálculos e resolver situações problema que envolvam
as operações com números racionais na forma fracionária.
Conceito básico
Os números racionais são os que podem ser escritos na forma
de fração
b
a , em que a e b são números inteiros e b ! zero.
O conjunto dos números racionais (representado por Q) é
definido por:
e; 0
b
a
a b bQ Z Z !! != $ .
Em outras palavras, o conjunto dos números racionais é
formado por todos os quocientes de números inteiros a e b, em que b é não nulo. Exemplos:
10
3 (lê-se: três décimos) 0 (é o mesmo que
1
0 )
5
4 (lê-se: quatro quintos) - 3 (é o mesmo que
1
3-
)
20
13 (lê-se: treze vinte avos)
5
8- (é o mesmo que
5
8-
)
Fração
Fração é a parte de um todo. Em sua representação há o numerador e o denominador.
Significado
Numerador
Número colocado acima do traço que indica quantas partes da
unidade foram tomadas.
Denominador
Número colocado abaixo do traço que indica em quantas partes
iguais a unidade foi dividida.
O que devo
aprender nesta aula
u Compreender as
frações e utilizá-las em
situações diversas.
u Formular e resolver
situações problema que
envolva a ideia de fração
(parte-todo) e também
de razão e divisão.

Matemática
18
Exemplo 1:
Observe a figura:
Ela representa uma pizza dividida em 8 pedaços iguais.
Cada pedaço representa uma fração da pizza, que é indicado
por
8
1 .
Como foram colocados em destaque dois pedaços, podemos
representá-los pela fração
8
2 .
Exemplo 2:
João pegou na biblioteca da escola um livro de 34 páginas para ler. Até o momento João leu
22 paginas.
Qual a fração que representa o número de páginas que João leu?
Para a resolução do problema, temos que identificar o conjunto universo, que neste caso é o
total de páginas do livro, ou seja, 34.
O total de páginas lidas por João é 22.
Logo a fração correspondente às páginas lida será:
34
22 .
Operações com frações
Adiçao e subtração
Dividiu-se um hexágono em 6 partes iguais e pintou-se de vermelho 2 dessas partes, e de rosa,
outras 3, conforme figura abaixo.
Nesta condição podemos dizer que
6
2 do hexágono está pintado de vermelho e
6
3 está pintado
de rosa.
Assim, observando a figura temos que das 6 partes do hexágono, 5 estão pintadas.
Logo podemos dizer que no total,
6
5 do hexágono está pintado.
Concluímos que:
6
2
6
3
6
5+ =

Matemática
19
Na soma ou subtração de frações com denominadores iguais, basta conservar o denominador
e operar os numeradores (somar ou subtrair).
Exemplos:
a)
11
3
11
8
11
11
(ou seja, 1 inteiro)+ = b)
17
2
17
7
17
9+ =
c)
6
2
6
3
6
1- + = d)
9
5
9
3
9
2- =
e)
5
3
5
4
5
1- =-
Multiplicação e divisão
Observe a figura a seguir:
Considerando o triplo da área pintada da figura acima teremos:
Assim, a parte pintada corresponde a
8
6 do retângulo. Logo, 3
8
2
8
6=$ .
Lembre-se que todo numero inteiro pode ser escrito na forma de fração, assim 3
1
3= .
Logo,
1
3
8
2
8
6=$ , pois,
1 8
3 2
8
6=
$
$ .
O resultado de uma multiplicação entre duas frações é uma fração cujo numerador é o
produto dos numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores.
Para dividir duas frações, temos que:
O quociente de uma fração por outra é igual ao produto da primeira fração pelo inverso
da segunda fração.

Matemática
20
Exemplos:
2
3
4
5
2
3
5
4
10
12=&' '
5
2
3
1
5
2
1
3
5
6=&' '
Atividades
01 Observe as figuras abaixo
Que fração a parte pintada representa em cada figura? Escreva por extenso.
02 A mãe de Fabrício fez um delicioso bolo. Ela tinha uma dúzia de ovos, e, para fazer o bolo utilizou 4 ovos. Que
fração representa os ovos que sobraram? Qual o denominador dessa fração? E o numerador?
03 Calcule
a)
5
1
4
2
$ = b)
3
2
5
3
$ = c)
2
3
6
5
' =
04 Amanda tem 15 anos. A idade de sua prima é
5
2 de sua idade.
Quantos anos tem a prima de Amanda?
05 Maurício leu 15 páginas de uma revista. Desse modo, Maurício leu
5
3 da revista. Quantas páginas tem a revis-
ta de Maurício?
06 Efetue a seguinte operação:
a)
3
2
2
1
7
6
7
2
7
3
' $ - + =` j8 B$ .

Matemática
21
Desafio
Marina ganhou certa quantia de dinheiro de sua mãe, dessa quantia ela gastou
5
2 comprando chocola-
tes. Do que sobrou, ela gastou
2
1 com pirulitos.
Que fração do dinheiro que Marina ganhou foi gasto com pirulitos?
Aula 04
Conjunto dos números racionais (Q)
Números Decimais – Operações
Objetivo Geral
Operar com números decimais e resolver situações
problema do cotidiano envolvendo as operações com
números decimais.
Conceito básico
Um número é dito decimal quando apresentar uma
vírgula em sua escrita. Por exemplo 3,7 .
Para ler o número escrito na forma decimal
primeiramente faz-se a leitura do número como se
não existe vírgula. Assim, no número 14,2 lê-se cento e
quarenta e dois.
O passo seguinte é especificação da parte decimal. Para
isso basta seguir as seguintes orientações:
 Se houver apenas um número após a vírgula será
usada a expressão décimos.
u 1,4 (lê-se: quatorze décimos)
 Se houverem dois números após a vírgula será
usada a expressão centésimos.
u 1,13 (lê-se: cento e treze centésimos)
 Se houverem três números após a vírgula será
usada a expressão milésimos.
u 2,075 (lê-se: dois mil e setenta e cinco milésimos).
O que devo aprender
nesta aula
u Reconhecer a importância
das operações que envolvem
números reais, inclusive
potenciação e radiciação, para
a resolução de problemas dos
mais variados contextos sociais
e culturais.
problema que envolvem
números reais ampliando e
consolidando os significados
das operações adição,
subtração, multiplicação,
divisão, potenciação e
radiciação.

Matemática
22
É válido salientar que todo número escrito na forma de fração pode ser escrito como decimal.
Para isso basta dividir o numerador pelo denominador. Veja os exemplos:
10
3
0,3=
9
11
1,22222.......- =-
5
4
0,8=
100
71
0,71=
20
13
0,65=
5
8
1,6=
Este processo é extremamente importante para auxiliar na localização de um número racional
na reta numérica.
Para transformar um número decimal em uma fração decimal, escreve-se uma fração cujo
numerador é o numero decimal sem vírgula, o denominador será o algarismo um (1) seguido de
tantos zeros quanto forem as casas decimais do número decimal dado.
Exemplos:
1,22
100
122= 0,013
1000
13= 0,3
10
3=
duas casas dois zeros
Comparando dois números decimais
Para comparar dois números decimais é necessário, primeiramente, igualar as casas decimais
dos dois, acrescentando zeros á direita do número que possuir menor quantidade de algarismos.
Em seguida, é preciso eliminar a vírgula de ambos. Após o desenvolvimento destas duas etapas
faz-se a comparação dos produtos finais.
Exemplos:
Vamos comparar os números 0,197 e 0,0987, usando os sinais: < (menor), > (maior) ou =
(igual).
0, 0987 0, 1970
S S
4 casas acrescenta-se um zero para igualar as casas decimais com o outro número
Elimina-se a vírgula dos dois números e os compara:
987 e 1970 " 987 < 1970.
Logo, 0,0987 < 0,197

Matemática
23
Operações com números decimais
Adição e subtração
Para somar ou subtrair dois números decimais, primeiramente, é preciso acrescentar quantos
zeros forem precisos para igualar o número de casas decimais de ambos:
2,7 3,0456+
2,7 3,0456 2,7 3,0 2,7 3,0456456 000
3 casas a mais 3 casas completadas com o 0
+ + +" "
S S
Mesma quantidade de casas decimais
2, 7000 3, 0456+
6 7 8444 444? ?
O passo seguinte será a organização do algoritmo de forma que ambos fiquem com suas
respectivas vírgulas uma embaixo da outra.
Vírgula debaixo
de vírgula
2,7000
3,0456+
.
Desta forma realiza-se a operação identificada (adição ou subtração) colocando o resultado
com sua respectiva vírgula alinhada com as anteriores.
Vírgula debaixo
de vírgula
2,7000
3,0456
5,7456
+
.
Multiplicação
Para multiplicar dois números decimais primeiramente multiplica-se ambos omitindo a
vírgula do processo.
3,21
2,4
1284
642
7704
+
#
No resultado obtido coloca-se a vírgula na casa decimal correspondente ao resultado da soma
das casas decimais das parcelas da multiplicação.

Matemática
24
3,21
2,4
1284
642
7 704
+
#
3,21
2,4
1284
642
7,704
+
#
Divisão
O procedimento inicial para dividir dois números decimais assemelha-se ao utilizado na adição
e subtração de números decimais uma vez que é necessário igualar as casas decimais das parcelas.
Assim, para dividir o número 4,7 pelo número 2,35 será necessário igualar a quantidade de
casas decimais do primeiro número com a quantidade de casas decimais do segundo.
Portanto,
4,7 2,35 4, 7 2, 35 4, 70 2, 35 4,70 2,35"" "
? ? ? ?
A etapa seguinte consiste em eliminar as vírgulas de ambas as parcelas (dividendo e divisor) e
desenvolver o algoritmo da divisão.
4,70 2,35 470 235"
Atividades
01 Efetue as operações a seguir:
a) 2,47 + 0,0165 d) 66 : 2,2 g) 5,2 x 2,3
b) 3 – 1,276 e) 32,51 + 0,4 h) 4,50 : 1,5
c) 4 x 2,195 f) 13,31 – 2,3
02 Dona Ângela foi ao supermercado fazer compras e levou consigo R$ 50,00. Comprou 3 latas de milho que custam
R$ 1,15 cada uma, 1 pacote de macarrão que custa R$ 2,10 e 2 kg de carne que custam R$ 9,80 cada quilo.
a) Quanto ela gastou no supermercado?
b) Com o total do troco dona Ângela comprou 3,5 metros de tecido par fazer cortinas. Quanto custa o metro
desse tecido?
Uma casa
decimal
Duas casas
decimais
Mesma quantidade
de casas decimais
"
"
Duas casas após a vírgula
Uma casa após a vírgula
Total de três casas decimais

Matemática
25
03 Uma fábrica de refrigerantes produz 55 litros de refrigerante por hora e deseja encher garrafas com 2,5 litros
cada uma. Quantas garrafas serão utilizadas em uma hora?
Desafio
(UFRJ) Em uma viagem ao exterior o carro de um turista brasileiro consumiu, em uma semana, 50 galões
de gasolina, a um custo total de 152 dólares. Considere que um dólar, durante a semana da viagem, valia
1,60 reais e que a capacidade do galão é de 3,8 L.
Durante essa semana, o valor, em reais, de 1 L de gasolina era de:
a) 1,28
b) 1,40
c) 1,75
d) 1,90
Aula 05
Conjunto dos números racionais (Q):
Equivalência de frações
Objetivo geral
Relembrar o conceito de frações equivalentes.
Conceito básico
Pode-se falar que duas ou mais frações são equivalentes
se estas representam a mesma quantidade de uma grandeza.
O que devo aprender
nesta aula
e culturais.
radiciação.

Matemática
26
Observe que nas duas figuras a parte pintada é a mesma. Daí, conclui-se que as frações
4
2 e
2
1 representam a mesma quantidade, logo, são frações equivalentes, e podem ser indicadas como:
4
2
2
1= , ou,
4
2
2
1
+ .
Portanto, dizemos que duas ou mais frações são equivalentes quando corresponderem à
mesma quantidade.
Exemplo:
Ana e Maria ganharam duas pizzas do mesmo tamanho. Ana dividiu sua pizza em 8 partes
iguais e comeu 4 delas. Maria dividiu a sua em 4 partes iguais e comeu duas partes. Quem comeu
mais pizza?
A partir das ilustrações fica perceptível que
4
2 e
8
4 representam a mesma quantidade, logo,
as frações são equivalentes. Podemos concluir, então, que ambas comeram a mesma quantidade
de pizza.
Para saber se duas frações são equivalentes, há um método extremamente simples: basta
multiplicar o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda fração e multiplicar
o denominador da primeira fração pelo numerador da segunda fração. Se os resultados obtidos
forem iguais conclui-se que as frações são equivalentes.
Exemplos:
Verifique se cada um dos pares de frações a seguir são equivalentes:
a)
4
2
e
8
4 .
4
2
8
4

Matemática
27
2 8 4 4 16 16= ="$ $
Como os resultados foram iguais (16 = 16) temos que as frações são equivalentes.
Logo,
4
2
8
4
+ .
b)
12
9
e
8
6 .
12
9
8
6
9 8 6 12 72 72= ="$ $
Como os resultados foram iguais (72 = 72) temos que as frações são equivalentes.
Logo,
12
9
8
6
+ .
c)
2
1
e
6
4 .
2
1
6
4
1 6 2 8 6 8= ="$ $
Como os resultados foram diferentes (6 8! ) temos que as frações não são equivalentes.
Simplificação de frações
Simplificar uma fração implica em dividir seus termos (numerador e denominador) por um
mesmo número diferente de zero. É importante perceber que haverá situações em que os termos
terão mais de um divisor comum. Por exemplo, a fração
24
18 onde tanto numerador como o
denominador são múltiplos de 2, 3 e 6.
Por conta disso é importante simplificar a fração até que ela fique na sua forma irredutível,
ou seja, até que não seja mais possível encontrar um número que divida seus termos ao mesmo
tempo.
Exemplos:
Simplifique as frações a seguir até sua forma irredutível:
a)
90 2
60 2
45 3
30 3
15 5
10 5
3
2= = =
'
'
'
'
'
'
b)
126 2
84 2
63 3
42 3
21 7
14 7
3
2= = =
'
'
'
'
'
'

Matemática
28
Atividades
01 Simplifique cada uma das frações a seguir até torná-las irredutíveis.
a)
81
54

b)
180
150
c)
600
512

d)
175
125
02 Verifique quais dos pares de frações são equivalentes:
a)
24
36
e
24
36

b)
60
36
e
70
50
c)
125
100
e
500
400

d)
5
7
e
60
84
03 Marque V se a afirmativa for verdadeira e F se a afirmativa for falsa.
a) ( ) A fração
35
30 encontra-se em sua forma irredutível.
b) ( ) As frações
93
86
e
63
56 são equivalentes.
c) ( ) Se simplificar a fração
108
84 por 2 e o resultado obtido por 3, a nova fração será igual a
18
14 .
d) ( ) A forma irredutível da fração
140
136 é igual a
35
34 .
Desafio
Determine três frações equivalentes à forma irredutível
9
7
.

Matemática
29
AULA 06
Conjunto dos números racionais (Q) –
Conversão
Objetivo geral
Compreender e transformar fração em números
decimais e vice-versa.
Conceito básico
Em nosso dia a dia nos deparamos com números
escritos na forma de fração e precisamos transformá-los
em números decimais para facilitar a resolução de diversas
situações problema.
Exemplo 1:
Márcio passou R$10,00 para que seus 20 sobrinhos
dividissem em partes iguais. Quanto cada um ganhou?
Sugestão de solução:
Total em dinheiro: R$ 10,00
Quantidade de sobrinhos: 20
100 20
100 0,5
0
Portanto, cada sobrinho ganhará R$ 0,50.
Exemplo 2:
Efetue a divisão e escreva na forma decimal
a)
10
32
3,2= b)
100
125
1,25=
c)
1000
5
0,005= d)
1000
28
0,028=
e)
1000
5
0,005=
O que devo aprender
nesta aula
radiciação.

Matemática
30
Atividades
01 Represente a fração decimal
100
121 na forma decimal.
02 Represente cada uma das frações na forma decimal.
a)
10
2 b)
10
35 c)
10
518
d)
10
3 148 e)
100
68 f)
100
448
g)
100
2 634 h)
1000
538 i)
1000
5 114
j)
1000
8 356 l)
10 000
4 761 m)
10 000
15 832
03 Represente os números decimais em frações:
a) 0,3 = b) 5,3 = c) 6,99 =
d) 0,654 = e) 4,336 =
Desafio
Observe as frações e suas respectivas representações decimais.
I.
1000
3
0,003= II.
100
2 367
23,67=
III.
10 000
129
0,0129= IV. 10
267
2,67=
Analisando as igualdades apresentadas, escolha a alternativa que expressa as representações corretas.
a) I e II b) I e IV
c) I, II e III d) I, II, III e IV

Matemática
31
O que devo aprender
nesta aula
u Reconhecer que a união dos
números Racionais e Irracionais
constitui o conjunto dos
números Reais.
u Reconhecer um número
irracional.
problema que envolve
números irracionais.
AULA 07
Conjunto dos Números Irracionais
Objetivo Geral
Ampliar os conceitos sobre o conjunto dos números
irracionais bem como suas operações.
Conceito Básico
Os números irracionais são os números que não podem
ser representados pela divisão de dois inteiros; ou seja, são
números reais, mas não são racionais. O conjunto dos
números irracionais é representado por alguns autores
pelo símbolo I.
Sendo assim, representando a ideia expressa anterior
mente em forma de diagrama temos:
Exemplos de números irracionais.
r, {, p , onde p é um número primo.
Observação: a raiz quadrada de qualquer número primo é um número irracional.
Atividades
01 Observe os números escritos no quadro a seguir

Matemática
32
4 3600
3
36 17
Quais desses números são racionais e quais são irracionais?
02 O número irracional r está compreendido entre os números:
a) 0 e 1 b) 1 e 2
c) 2 e 3 d) 3 e 4
03 Considere a expressão: 3 2 4 2 2 3 3- + -
Qual das alternativas corresponde ao resultado simplificado desta expressão?
a) 0
b) 4 4 4 2 3 3- -
c) 3 3-
d) não tem como simplificar esta expressão
Desafio
Escreva quatro números irracionais que estejam compreendidos entre 1 e 10
O que devo aprender nesta aula
u Reconhecer que a união dos números
Racionais e Irracionais constitui o conjunto
dos números Reais.
u Identificar cada número real com um
ponto da reta e vice-versa.
u Utilizar as propriedades das operações
com números reais como facilitadoras da
resolução de situações problema.
u Criar e resolver situações problema que
envolvem números reais ampliando e
consolidando os significados das operações
adição, subtração, multiplicação, divisão,
AULA 08
Conjunto dos
Números Reais (R)
Objetivo Geral
Conhecer a definição conceitual de números reais
Conceito Básico
O conjunto dos números reais R é determinado
pela união do conjunto dos números racionais com o
conjunto dos números irracionais.

Matemática
33
Como já estudamos nas aulas anteriores:
N " simboliza o conjunto dos Números Naturais
, , , , , ...0 1 2 3 4 5N = " ,
Z " simboliza o conjunto dos Números Inteiros
... , 3, 2, 1, 0,1, 2,3...Z = - - -" ,
Q " simboliza o conjunto dos Números Racionais
... , 3,
2
5
, 2, 1,0,
5
3
,1, 2,3...Q = - - - -' 1
Observação: usaremos o símbolo I para representar o conjunto dos Números Irracionais
Assim, I é o conjunto formado pelos números que não podem ser representados na forma de
uma fração, ou seja, não podem ser obtidos pela divisão de dois números inteiros. Então podemos
falar que os irracionais são números decimais infinitos e não periódicos.
Exemplos:
2, 3, e .r
R " simboliza o conjunto dos Números Reais
R Q I,=
Representando os conjuntos na forma de diagrama temos:
Na reta numérica o conjunto dos números reais pode ser representado da seguinte forma:
Quando trabalhamos com operações no campo dos números reais nos retratamos das operações
revisadas anteriormente no conjunto e, , ,N Z I Q R.
Veja o seguinte exemplo que retrata operações no campo dos números reais:

Matemática
34
Calcule e descubra o valor do resultado das seguintes operações:
a) 3 3 2 3+ = b) 0 1+ =
c) 3 3 =$ d)
2
18 =
Sugestão de solução
a) 5 3 b) 1 c) 9 3= d) 2
18
9 3= =
Atividades
01 Seja o conjunto B 3, 13, 16, 25, 30, 64 .= " ,
a) Quais desses números são naturais?
b) Quais desses números são racionais?
c) Quais desses números são irracionais?
d) Quais desses números são reais?
02 O valor numérico da expressão x2
– 3x + y + 9 para x = 6 e y = 5 indica a idade da professora Rita.
Faça os cálculos e descubra quantos anos a professora Rita tem.
03 Indique corretamente a localização dos números reais a seguir na reta númérica:
3 r -3,4
5
1-
2
3-
04 O número 51 é um número pertencente ao conjunto dos números
a) naturais
b) inteiros
c) racionais
d) reais

Matemática
35
Desafio
Determine o que se pede na tabela a seguir:
01 Escreva cinco números naturais (N)
02 Escreva cinco números inteiros positivos (Z+
)
03 Escreva cinco números inteiros negativos (Z-
)
04 Escreva cinco números Racionais (Q)
05 Escreva cinco números irracionais (I)
06 Escreva cinco números Reais (R)
AULA 09
Os números racionais na reta numérica
Objetivo geral
Possibilitar ao estudante a ampliação sobre o conjunto dos números racionais, relacionando-
os com outros conjuntos e representando-os na reta numérica.
Conceito básico
Um número é dito racional quando puder ser escrito na
forma fracionária
b
a , sendo a (numerador) e b (denominador)
números inteiros e o b ser, obrigatoriamente, diferente de
zero. Sendo assim, o quociente dessa divisão também será
denominado número racional.
Portanto,
 Todo número natural (N) é um número racional uma vez que qualquer natural n é escrito
na forma
1
n .
Ex: 3
1
3
e 15
1
15
.= =
 Todo número inteiro (Z) é um número racional uma vez que qualquer inteiro n é escrito
na forma
1
n .
Ex: 7
1
7
1
7
e 26
1
26
1
26- =
-
=- - =
-
=- .
O que devo aprender
nesta aula
u Identificar cada número real
com um ponto da reta e vice-
versa.

Matemática
36
 Todo número escrito na forma decimal, também, é um número racional, uma vez que todo
número decimal pode ser escrito na forma , com e , com .
b
a
a b b 0Z !!` j
Ex: 1,8
10
18
e 0, 6
3
2= = .

O conjunto dos números racionais é formado pelos números racionais positivos e negativos,
juntamente com o zero. Este conjunto é representado pela letra (Q), por ser a letra inicial da
palavra quociente.
Atividades
01 A professora Raquel escreveu os seguintes alguns números no quadro, conforme mostra a figura a seguir.
Quais dos números escritos pela professora Raquel são racionais:
a) inteiros?
b) escritos na forma decimal?
c) escritos na forma fracionária?
02 Escreva a quais conjuntos (IN, Z ou Q) pertencem os números:
a) – 6 b) + 8 c)
5
3+ d) – 5,9 e) 32
03 Observe a reta numérica a seguir e indique:
a) O ponto que corresponde ao número
4
3+ .
b) O número racional que corresponde ao ponto N.
c) O número racional que corresponde ao ponto X.
d) O ponto que corresponde ao número 1
4
2- .
e) O ponto que corresponde ao número – 3.

Matemática
37
Desafio
Se necessário, troque ideias com seus colegas e complete a tabela com números racionais, substituindo o
símbolo por números que tornam as igualdades verdadeiras.
AULA 10
Potenciação: Definição
Objetivo geral
Recordar os conceitos de potenciação com expoente
inteiro não negativo e base real diferente de zero.
Conceito básico
e... ,a a a a a a n
n vezes
R Zn
-
$ $ $ $ ! !=
1 2 3444 444
A potenciação é a operação matemática que envolve o
produto de fatores iguais. Denominaremos por
an
) potência a ) base n )
expoente.
Numa potenciação, o expoente indica quantas vezes a
base será multiplicada.
O que devo aprender
nesta aula
como facilitadoras da resolução de

Matemática
38
Note que o expoente n é um número inteiro. Iremos trabalhar inicialmente com valores
positivos para n.
Exemplo:
Calcular o valor de 54
.
5 5 5 5 5 6254
= =$ $ $
Expoente maior que 1.
Vejamos o exemplo:
a) Calcular 25
.
2 ) base 5 ) expoente 25
) potência 2 2 2 2 2 )$ $ $ $ fatores
2 2 2 2 2 2 325
= =$ $ $ $
Perceba que o expoente indica quantas vezes a base será multiplicada.
b) Calcular 5 3
-^ h
5- )^ h base 3 ) expoente 5 3
- )^ h potência 5 5 5- - - )$ $^ ^ ^h h h fatores
5 5 5 125$ $- - - =-^ ^ ^h h h
Expoente igual a 1.
Como o expoente indica quantas vezes a base será multiplicada, então se o expoente é igual a
1, a potência será igual à base.
Vejamos os exemplos:
7 71
=
7 ) base 1 ) expoente 71
) potência
12 121
- =-^ h
12- )^ h base 1 ) expoente 12 1
- )^ h potência
Deste modo, podemos afirmar que todo número elevado a é igual ao próprio número.
Expoente igual a 0
Todo número não nulo elevado a zero é igual a 1.
Exemplo: 20
= 1, 30
= 1 e 50
= 1.
Vejamos como isso acontece:

Matemática
39
26
= 64 36
= 729 56
= 15 625
25
= 32 35
= 243 55
= 3 125
24
= 16 34
= 81 54
= 625
23
= 8 33
= 27 53
= 125
22
= 4 32
= 9 52
= 25
Observe que quando o expoente é igual a 1, o resultado é a própria base, que pode ser obtido
utilizando a mesma estratégia acima.
21
= 2 31
= 3 51
= 5
Seguindo o processo de divisão, concluímos que todo número não nulo elevado a zero é igual
a 1. Não podemos esquecer que a base tem que ser diferente de zero uma vez que 00
gera uma
indeterminação.
20
= 1 30
= 1 50
= 1
Atividades
01 Calcule as seguintes potências:
a) 24
b) (-3)2
c) (-5)1

d) 70
e) (-12)3
f)
4
3 2
` j
g)
5
2 4
-` j h)
10
3 5
-` j i) 1,24

j) -(-0,2)2

02 Uma das maneiras de obter a medida da área do quadrado é através da fórmula l2
, onde l indica a medida do
seu lado. Nessas condições, qual é a medida da área do quadrado, quando o lado mede
a) 3 cm. b) 2,5 m.
c) 3 km. d) 7 m.
e) 9,3 m.
03 Responda:
a) Se a base tem sinal positivo e expoente par, qual será o sinal da potência?
b) Se a base tem sinal positivo e expoente ímpar, qual será o sinal da potência?
c) Se a base tem sinal negativo e expoente par, qual será o sinal da potência?
d) Se a base tem sinal negativo e expoente ímpar, qual será o sinal da potência?
2'
2'
2'
2'

Matemática
40
Desafio
Márcio fez a seguinte proposta a seu filho Gustavo. Daria R$ 1,00 no primeiro mês e iria dobrando esse
valor a cada mês, enquanto isso Gustavo daria a seu pai R$ 50,00, por mês. Ao final de 9 meses, quem terá
recebido mais dinheiro? Quanto?
AULA 11
Potenciação: Propriedades
Objetivo geral
Recordar as propriedades de potenciação com expoente inteiro não negativo e base real
diferente de zero.
Conceito básico
Como podemos resolver 5 5 53 2 4
$ $ e apresentar o resultado
em forma de potência?
Vamos lá.
5 5 5 5
5 5 5
5 5 5 5 5
3
2
4
=
=
=
$ $
$
$ $ $
Sabendo que o expoente indica quantas vezes a base será
multiplicada, então
Portanto teremos nove vezes o valor 5, assim 5 5 5 53 2 4 9
=$ $ .
1ª propriedade:
Em um produto de potência de mesma base, devemos
conservar a base e somar os expoentes.
Dado a R! e ,n m N! , então a a an m n m
$ = +
.
Observe o seguinte quociente: 5 54 2
'
5 5
5 5
5 5 5 54 2
='
$
$ $ $
O que devo aprender
nesta aula
e culturais.
radiciação.

Matemática
41
Simplificando os fatores comuns,
5 5
5 5
5 5 5 54 2
='
$
$ $ $
Assim,
5 5 5 54 2 4 2 2
= =' -
2ª propriedade:
Em uma divisão de potência de mesma base, devemos conservar a base e subtrair os expoentes.
Dado a R*
! e ,n m N! , então ou .a a a
a
a
an m n m
m
n
n m
= =' + -
Uma outra situação é apresentada na propriedade a seguir:
Calcule (23
)4
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 4 3 3 3 3 12
3 3 3 3
= = =$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $^ h
SSSS
Assim, 2 2 23 4 3 4 12
= =$
^ h
3ª propriedade:
Em uma potência, onde a base é uma potência, devemos conservar a base e multiplicar os
expoentes.
Dado a R*
! e ,n m N! , então a an m n m
= -
^ h .
Exercícios
01 Aplicando as propriedades, escreva o resultado na forma de uma só potência.
a) 9 935
$ b) 4 4 4
2 3
$ $- - -^ ^ ^h h h
c) 0,5 0,5 0,52 3
$ $ d)
5
3
5
3
5
3
5
33 2 5 1
$ $ $- - - -` ` ` `j j j j
02 Aplicando as propriedades, escreva o resultado na forma de uma só potência.
a)
9
9
2
5
b)
3
3
2
3
-
-
^
^
h
h
c)
5
2
5
2
4
7
-
-
`
`
j
j
d)
10
10
5
6

Matemática
42
03 Resolva as seguintes expressões:
a) 35 2
^ h b) 42 6
^ h c) 53 3
^ h d) 3
2 6 3
`` j j
Desafio
Simplificando a expressão
100 0,1
0,0001 10 0,012
3 6
4 57
$
$ $
^
^ ^
h
h h
; E
Obtemos como resultado:
a) 10-6
b) 10-3
c) 10-2
d) 10 e) 103
AULA 12
Potência com expoente negativo
Objetivo geral
Recordar os conceitos de potenciação com expoente
inteiro e base real diferente de zero.
Conceito básico
A professora Marina pediu para que seus alunos
resolvessem o seguinte quociente: 5 53 4
' .
Julieth resolveu de duas maneiras e perguntou a
professora qual era a maneira correta.
Vejamos suas respostas.
1º maneira:
5 5
5
5
5 5 5 5
5 5 5
5
13 4
4
3
= = ='
$ $ $
$ $
2ª maneira:
5 5
5
5
53 4
4
3
1
= =' -
A resposta da professora surpreendeu Julieth pois as duas estavam corretas.
No estudo de potências, nos deparamos com expoente negativo. Vejamos como proceder
nesse caso:
operações que envolvem números reais,
inclusive potenciação e radiciação, para
a resolução de problemas dos mais
variados contextos sociais e culturais.
operações com números reais como
facilitadoras da resolução de situações
problema.
u Criar e resolver situações problema
que envolvem números reais ampliando
e consolidando os significados
das operações adição, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação e
radiciação.

Matemática
43
23
= 8 33
= 27 53
= 125
22
= 4 32
= 9 52
= 25
21
= 2 31
= 3 51
= 5
20
= 1 30
= 1 50
= 1
2
2
1
21 1
= =- -
3
3
11
= 5
5
11
=-
2
2
1
22
2
2
= =-
-
-
3
3
12
2=-
5
5
12
2
=-
2
2
1
23
3
3
= =-
-
-
3
3
13
3
=-
5
5
13
3
=-
Assim quando o expoente é negativo e a base é um número real diferente de zero, então:
1 1
a
a a
n
n
n
= =-
` j
Exemplo:
1) Calcule cada uma das potências a seguir:
a) 3 3-
b) 3
2 4-
c m c) 4 2
- - -
^ h d) 12
10 2
-
-
` j
Atividades
01 Calcule as potências a seguir:
a) 4 2
- -
b) 2
5 2
-
-
` j c) 7 3-
d) 10
1 5-
` j e) 0,3
5
- -
^ h
02 Determine o valor da expressão:
2
5
23 3
- - -- -
^ `h j
03 Calcule o valor de 5 31 2 2
+- - -
^ h
2'
2'
2'
2'
2'
2'
Desafio
Os círculos ao lado estão empilhados formando um triângulo. Utilizando as
propriedades da potenciação, calcule os valores de x, y e z, sabendo que o
produto de cada lado é igual .

Matemática
44
AULA 13
Potenciação: expressões numéricas
Objetivo geral
Trabalhar as propriedades da potenciação com expoente
inteiro e base real diferente de zero em expressões numéricas.
Conceito básico
Em muitos casos as operações matemáticas se misturam.
Quando nos deparamos com tais situações devemos tomar
cuidado com a ordem de resolução dessas operações. Assim,
primeiramente levamos em conta a ordem de resolução de
parênteses, colchetes e chaves, respectivamente. Em paralelo,
devemos respeitar a seguinte ordem:
1o
resolvemos as potenciações e/ou radiciações;
2o
resolvemos as multiplicações e/ou divisões;
3o
resolvemos as adições e/ou subtrações.
Exemplo: Calcule o valor da expressão numérica:
5 3 3 10 42 5 4 3 2 2
+ - - + -'^ ^ ^h h h6 @" ,
25 3 10 165 4 3 2
+ - + --
^ ^h h6 @" ,
25 3 61 3 2
+ - + -^ ^h h6 @" ,
25 3 363
+ - +^ h" ,
25 27 36- +" ,
2 36- +" ,
34
Atividades
01 Resolva as expressões numéricas a seguir:
a) 3 2 22 5 3
'-
b) 2 2 5 38 3 3 2
$ $-
c) 10 10 53 5 2
'$-
^ h
O que devo aprender
nesta aula
e culturais.
radiciação.

Matemática
45
02 Gustavo resolveu corretamente a expressão a seguir
2 3
5
2
2 1 2
-
- -
c m; E
Qual foi o resultado encontrado por ele?
a) 1
b) 25
c) 625
d)
25
1
e)
625
1
03 Simplifique a expressão x x x xa a a a2 3 1 2 5
$ $ $- - + + -
Desafio
Qual é o resultado da expressão 2
3
5 5
E 2
3 4 3
'
=
+-
.
AULA 14
Decomposição
em fatores primos
Objetivo Geral
Relembrar como decompor um número natural em
fatores primos.
Conceito Básico
A princípio é válido ressaltar que todo número
natural maior que 1 pode ser escrito como produto de
dois ou mais fatores primos. Por exemplo, o número 50
pode ser escrito como o produto 2 x 5 x 5.
Assim, para se determinar os fatores primos de um
número natural, maior que 1, uma opção é proceder da
seguinte forma:
O que devo aprender
nesta aula
como facilitadoras da resolução de

Matemática
46
I) Divida o número especificado pelo menor número primo que resulte em uma divisão exata.
Escreva o valor obtido da divisão imediatamente abaixo do número a ser decomposto.
II) Repita o procedimento adotado no tópico anterior de forma iterativa (repetida) até chegar
ao resultado igual a 1(quociente igual a 1). Assim:
III) Os valores (resultados) encontrados na coluna da direita serão os fatores primos do número
em questão (300).
Assim, o número 300 pode ser escrito como produto dos fatores obtidos:
300 = 2 . 2 . 3 . 5 . 5 = 22 . 3 . 52
Atividades
01 Quais desses números abaixo são divisíveis por 2, 3, 4, 5 ou 6?
a) 116 b) 30 c) 111
d) 60 e) 210 f) 405
02 Determine os fatores primos dos números naturais a seguir:
a) 150 b) 93 c) 62 d) 768

Matemática
47
03 Qual é o número cuja fatoração é:
a) 2 . 33 . 5 . 7 b) 11 . 13 c) 23 . 5 . 7 . 31 d) 2 . 3 . 5 . 7 . 11
Desafio
No 8º ano da escola BOA NOTA há 35 alunos, e no 9º ano há 42 alunos. Para realizar uma gincana, os es-
tudantes serão organizados em grupos, todos com o mesmo número de alunos e com a condição de que
não se misturem (estudantes de anos diferentes).
A) Qual é o número máximo de alunos que podem haver em cada grupo?
B) Nesse caso, quantos grupos serão formados em cada ano?
AULA 15
Radiciação: Definição / Extração de raiz
Objetivo Geral
Extrair a raiz de números reais apresentados na forma
de radical.
Conceito Básico
O termo radiciação define a operação inversa da poten-
ciação. O símbolo utilizado na radiciação é o radix ( ).
Ele possui a seguinte estrutura:
É válido ressaltar que o radical que possui índice igual
a 2 omite tal índice de sua simbologia. Veja:
a) " lê-se: raiz quadrada (índice igual a 2);
b) 3
" lê-se: raiz cúbica (índice igual a 3);
c) 4
" lê-se: raiz quarta (índice igual a 4).
O que devo aprender
nesta aula
e culturais.
consolidando os significados das
operações adição, subtração,
multiplicação, divisão,
512 29 =
radical"
512 radicando"
9 " índice
2 raiz"

Matemática
48
Extração de raízes por meio da decomposição em fatores primos.
Para extrair uma raiz por meio da decomposição em fatores primos basta seguir os seguintes
passos:
1º passo: Identifique o índice da raiz solicitada. Veja os exemplos:
2º passo: Faça a decomposição em fatores primos do radicando da raiz solicitada:
3º passo: O índice de cada radical determinará o agrupamento dos fatores obtidos. Portanto,
 Em um radical de índice igual 2 os fatores “iguais” da decomposição deverão ser agrupados
de dois em dois.
 Em um radical de índice igual 3 os fatores “iguais” da decomposição deverão ser agrupados
de três em três
 E assim sucessivamente.

Matemática
49
4º passo: Substitua o radicando pelo produto dos fatores agrupados de acordo com o índice do
radical e simplifique aqueles fatores cujo expoente são iguais ao seu respectivo índice. O produto
do resultado obtido será a raiz procurada.
I) 144 2 2 3 2 2 3 2 2 3 122 2 2 2 2 2
= = = =$ $ $ $ $ $
II) 125 5 53 33= =
III) 81 3 34 44= =
IV) 1024 2 2 2 2 2 2 45 5 55 55 55= = = =$ $ $
V) 64 2 26 66= =
Observação: Os exemplos I e IV apresentam em seus desenvolvimentos o produto de
radicandos. Neste caso há uma propriedade de radiciação que diz que a raiz do produto é igual
ao produto das raízes.
Veja a seguinte situação:
Adão e Adriana receberam de herança dois terrenos, ambos com a mesma medida de área.
Adriana ficou com o terreno que possuía 16 m de largura por 36 de comprimento. Sabendo que o
terreno de Adão possuía dimensões iguais de largura e comprimento (terreno no formato de um
quadrado), determine as dimensões do terreno dele.
Inicialmente será necessário determinarmos a medida da área dos terrenos.
As dimensões do terreno de Adriana (16 m de largura x 36 de comprimento) implica em uma
área de medida igual a 576 m2
.
Como o terreno de Adão tem o formato de um quadrado e possui 576 m2
, temos que:
576x x m2
=$ , onde x corresponde à medida do lado do terreno de Adão. Portanto,
576 576x x2
= ="
576 2 2 2 3 2 2 2 3 242 2 2 2
= = =$ $ $ $ $ $

Matemática
50
Atividades
01 Determine a solução de cada uma das raízes a seguir utilizando método de extração de raízes por meio da
decomposição de fatores primos:
a) 723
b) 6254
c) 12587
d) 3433
02 Encontre o valor de cada uma das expressões numéricas:
a) 169 2163
- =
b) 2 3 10 54 2 2 23
+ - + =
c) 36 729 646 3+ - =
03 Qual o comprimento da aresta de uma caixa que possui todas as suas dimensões iguais e medida de volume
igual a 729 dm3
?
Desafio
Obtenha os valores de A, B, C, D, E e F nos quadros a seguir percebendo as relações expressas pelas setas
direcionais.

Matemática
51
Aula 16
Radiciação (propriedades)
Objetivo geral
Compreender e aplicar as propriedades da radiciação.
Conceito básico
Nesta aula estudaremos as propriedades da radiciação
que são muito importantes não só para o estudo dos
radicais mas também para outros temas da Matemática.
Lembrando,
Ao se trabalhar com radicais surgirão uma série de situações nas quais será necessário a
utilização de algumas propriedades. Vejamos algumas delas:
1ª propriedade: a raiz de índice n de um radicando r de expoente, também, n é o próprio
radicando.
r rnn = , onde r R! +
, n N! e 1n 2
Exemplo:
32 2 25 55= =
2ª propriedade: a raiz de índice n de um radicando r de expoente m pode ser escrita como
uma potência de expoente fracionário onde a base é o radicando r, o numerador do expoente é o
expoente inicial m e o denominador será o índice n do radical.
r rmn n
m
= , onde r R! + , ,n m N! e 1n 2
Exemplo:
2 2 2 16205 5
20
4
= = =
3ª propriedade: O radical de outro radical pode ser escrito como um radical único onde o índice
deste é igual ao produto dos índices dos radicais anteriores.
O que devo aprender
nesta aula
e culturais.

Matemática
52
r r.mn n m= , onde r R! + , ,n m N! e 1 e 1n m2 2
Exemplo:
5 5 53 2.3 6= =
4ª propriedade: O radical de um produto de radicandos pode ser escrito como o produto dos
radicais de cada radicando.
r s r sn n n=$ $ , onde ,r s R! + , e 1n nN 2!
Exemplo:
4 25 4 25 2 5 10= = =$ $ $
5ª propriedade: O radical de um quociente de radicandos pode ser escrito como o quociente
dos radicais de cada radicando.
s
r
s
rn
n
n
= , onde e 1, ,r s n nR R N*
2! ! !+ +
Exemplo:
9
25
9
25
3
5= =
Importante:
0 0n =
1 1n =
r rn =
Atividades
01 Aplicando as propriedades de radiciação, determine o valor de cada radical:
a) 164
b) 83
c) 31255
d) 49
02 Encontre o valor de cada uma das expressões:
a) 100 64 163 4+ - b) 5 256 3 243 6258 5+ -
c) 4 125 8 64 4003
- +
03 Aplique a propriedade adequada para cada questão a seguir:
a) 2 7$ b) a b5
$ c) 16
36

d) 4 y4
$ e) 378

Matemática
53
Desafio
Os números a e b são números reais positivos. Nessas condições simplifique os radicais a36
e b612
,
calculando em seguida a expressão que representa o produto dos radicais obtidos.
AULA 17
Radiciação inexata
Objetivo geral
Compreender e extrair a raiz de números reais.
Conceito básico
Como já estudamos na aula 15, o índice de cada radical
determinará o agrupamento dos fatores obtidos. Quando
não for possível agrupar todos os termos iguais obtidos na
decomposição de acordo com o índice indicado no radical,
temos um caso de radiciação inexata. Por exemplo, a 18 .
Observe que na fatoração acima obtivemos o produto 2.3²; assim, o número 2 ficou fora do
agrupamento, resultando em 3 2 . Portanto, o número 18 possui raiz inexata, sendo assim um
radical irracional já que a raiz quadrada de todo número primo é irracional.
Veja também os exemplos a seguir:
1. Calcule o valor do radical 1353
Sugestão de solução: 135 3 5 3 53 33 3= =$
2. Qual o resultado da expressão 48 27+ ?
Sugestão de solução: 48 27 2 3 3 3 4 3 3 3 12 34 2
+ = + = + =$ $
O que devo aprender
nesta aula
problema que envolve
radiciação.

Matemática
54
Atividades
01 Calcule o valor das raízes inexatas, usando a decomposição em fatores.
a) 12 b) 20 c) 45
d) 543
e) 288
02 Determine o resultado das expressões numéricas a seguir.
a) 24 813 3+ b) 80 20+
03 Identifique como racional ou irracional cada um dos números a seguir.
a) 30 b) 36 c) 273
Desafio
Determine a solução da expressão
128
54 250
3
3 3+ .
AULA 18
Relacionando
potências e radicais
Objetivo geral
Identificar e relacionar a potenciação com sua
operação inversa, a radiciação.
Conceito básico
Até o momento já vimos que potenciação e radiciação
são operações inversas. Assim:
 Se 9 812
= , então, 81 9= ;
 Se 3 273
= , então, 27 33 = .
Analisemos, agora, os casos que se seguem:
3 9 9 3 32 2
= = ="
O que devo aprender
nesta aula
mais variados contextos sociais e
culturais.
reais ampliando e consolidando
os significados das operações
adição, subtração, multiplicação,
divisão, potenciação e radiciação.

Matemática
55
5 25 25 5 52 2
= = ="
7 49 49 7 72 2
= = ="
10 1000 1000 10 103 3 33= = ="
6 216 216 2 3 2 3 63 3 3 33= = = =" $ $
2 1024 1024 2 210 10 1010= = ="
Observando cada uma das situações acima descritas surge uma dúvida: é possível indicar uma
raiz sem o uso do radical?
Para isso, basta trocarmos o índice do radical e o expoente do radicando por um expoente
fracionário de modo que o expoente do radicando se transforme em numerador e o índice do
radical em denominador.
É importante ressaltar que no conjunto dos números reais não existem soluções para os radicais
cujo radicando é negativo e o índice é par. Veja as situações que se seguem:
 4- não possui raiz real, pois se elevarmos tanto o (-2) quanto o (+2) ao quadrado não
chegaremos ao valor do radicando (-4).
 814
- não possui raiz real, pois se elevarmos tanto o (-3) quanto o (+3) à quarta potência
não chegaremos ao valor do radicando (-81).
Exemplo:
Escreva na forma de potência com expoente fracionário as raízes: 5, 3 , 2 e 73 34 53
a) 5 : Note que o expoente do radicando é 1 e o índice da raiz é 2, então 5 52
1
= .
b) 33
: Note que o expoente do radicando é 3 e o índice da raiz é 2, então 3 33
2
3
=
c) 234
: Note que o expoente do radicando é 3 e o índice da raiz é 4, então 2 234 4
3
=
d) 753
: Note que o expoente do radicando é 5 e o índice da raiz é 3, então 7 753 3
5
=

Matemática
56
Desafio
Determine o valor da expressão
9
4 8
729
27
2
5
6
3
3
2
2
3
12
4
$ '
AULA 19
Resolução de situações
problema envolvendo
números R
Objetivo geral
Resolver situações problema diversas envolvendo nú-
meros reais, particularmente a potenciação e a radiciação.
A maioria da população tem acesso à internet e dentre
os muitos sites visitados o facebook é um dos líderes. A
proliferação de uma notícia nesse site se alastra facilmente.
Imagine que Mateus tenha 100 amigos em sua lista. Agora
se cada amigo tiver mais 100 outros amigos, uma notícia
publicada por Mateus pode ser vista por 10 000 pessoas
facilmente.
u Reconhecer que a união dos
números Racionais e Irracionais
constitui o conjunto dos números Reais.
problemas dos mais variados contextos
sociais e culturais.
operações com números reais como
facilitadoras da resolução de situações
problema.
Atividades
01 Escreva na forma de potência com expoente fracionário as raízes a seguir:
a) 335
b) 547
c) x710

02 Escreva na forma de raiz as seguintes potências com expoente fracionário:
a) 27
1
b) 39
2
c) 54
7
03 O valor da expressão 225
125 93
2
2
3
$
é
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Matemática
57
Atividades
01 Em uma brincadeira de amigo secreto, Marina resolveu surpreender seu amigo. Comprou 5 caixas e, dentro
de cada caixa colocou 5 pacotes. Em cada pacote colocou 5 cartões. Quantos cartões Marina precisou comprar para
surpreender seu amigo secreto?
02 Observe as figuras a seguir
Com base nessas figuras, podemos realizar a operação matemática (potenciação) para determinar a quantida-
de de triângulos em casa estágio, veja o quadro.
ESTÁGIO QUANTIDADE DE TRIÂNGULOS
1 40
= 1
2 41
= 4
3 42
= 16
Continuando com esse processo, quantos triângulos teremos no estágio 5?
a) 32 b) 64 c) 128
d) 256 e) 512
03 Márcio comprou uma caixa em formato de cubo, conforme a ilustração a seguir
A medida do volume dessa caixa é igual 216 cm3
. Determine a medida da sua lado, sabendo que a fórmula da
área do cubo é A = a3
, onde a corresponde a medida da aresta do cubo.

Matemática
58
Desafio
O colégio MJ passará por reformas. Dentre elas, a quadra de esporte será modificada em 10 ambientes
em forma de quadrado de mesma medida de área.
Sabendo que A1
= 36 m2
, determine as dimensões da quadra.
Aula 20
Exercícios – números Reais
Objetivo geral
Revisar por meio de itens e questões o conteúdo relativo a conjuntos numéricos.
Atividades
01 Identifique a alternativa que corresponde à sequencia crescente dos números 2,83; 2,8; 2,75 e 2,6458.
a) 2,6458; 2,8; 2,75; 2,83.
b) 2,8; 2,75; 2,83; 2,6458.
c) 2,6458; 2,83; 2,75; 2,6458.
d) 2,6458; 2,75; 2,8; 2,83.
02 Identifique na reta numérica, a seguir, os números: 10
3
; 32; 2,5;
2
3
; 3; 256 .5 4

Matemática
59
03 A solução da expressão
72
50 32 18+ -
é igual a:
a) 1 b) 2
c) 3 d) 4
04 O número decimal correspondente a fração 5
7
é o:
a) 7,5 b) 1,4
c) 5,7 d) 0,75
05 Carlos comprou os produtos relacionados na tabela a seguir:
Produto Valor
Arroz (5kg) R$ 8,90
Feijão (1kg) R$ 3,35
1 lata de óleo R$ 2,00
O valor total que Carlos pagou foi de:
a) 14,25 b) 14,35
c) 14,45 d) 14,55
06 Identifique entre os números abaixo o único que não é irracional.
a) 8 b) 90
c) 121 d) 200
07 O resultado correto da expressão
3
5
3
2
3+
é:
a) 9
55
b) 1
c) 11
5
d) 5
11

Matemática
60
AULA 21
Rotação de polígonos – Propriedades
Objetivo Geral
Reconhecer a simetria de rotação de um
polígono e perceber quais medidas e propriedades
são preservadas.
Conceito Básico
Rotação é o movimento de girar uma figura ou
objeto ao redor de um ponto chamado centro de
rotação. A medida do giro é chamada ângulo de
rotação.
Exemplos:
1º) Rotação em torno de um ponto que pertence a figura ou forma:
2º) Rotação em torno de um ponto fora da figura ou forma:
u Identificar as simetrias de rotação,
de reflexão e de translação e perceber
que em cada uma delas se preservam
medidas e propriedades.

Matemática
61
Atividades
01 A figura a seguir mostra duas semicircunferências.
a)Emtornodequepontodeve-se fazerarotaçãodeumadassemicircunferênciaparaobterumacircunferência?
b) A rotação deve ser no sentido horário ou anti-horário?
c) De quantos graus deve ser esta rotação?
02 Observe a figura a seguir e responda os itens
a) Em qual dos quadrados deve-se fazer uma rotação para se obter um triângulo de lados 3, 4 e 5 unidades?
b) Em qual dos pontos deve-se fazer a rotação para obter o triângulo do item a?
c) Em qual sentido deve-se fazer a rotação (no sentido horário ou anti-horário)?
03 Observe a figura a seguir:

Matemática
62
Qual dos itens abaixo se refere a rotação de 90º em torno do ponto E no sentido horário da figura?
Desafio
Deseja-se encaixar a peça vermelha na peça branca conforme a figura a seguir
Para que isto aconteça deve-se realizar uma única rotação na peça vermelha em que ponto? É
possível determinar o ângulo de rotação? Qual?

Matemática
63
AULA 22
Reflexão de polígonos – Propriedades
Objetivo Geral
Identificar a simetria de reflexão e perceber
quais medidas e propriedades são preservadas.
Conceito Básico
Como exemplo pode-se citar que qualquer
imagem ou forma refletida no espelho é uma
reflexão. A reflexão ocorre através de uma reta
chamada eixo de reflexão.
Exemplos:
Sobre a reflexão é válido destacar as seguintes propriedades:
• A figura original e a sua reflexão são geometricamente iguais.

Matemática
64
• Dado um ponto e sua reflexão, os mesmos são equidistantes em relação ao eixo de reflexão a
partir de uma reta que os une perpendicularmente ao eixo de reflexão.
• Um ponto sobre o eixo de reflexão é sua própria reflexão.
Atividades
01 Assinale o item a seguir que representa uma reflexão:

Matemática
65
02 Quais das alternativas a seguir não representam uma reflexão? Por quê?

Matemática
66
03 Observe as figuras a seguir na malha quadriculada:
Represente por meio de desenhos todas as reflexões dessas figuras segundo o eixo especificado.
Desafio
Represente por meio de desenhos duas reflexões seguidas, sendo uma no sentido do eixo y e
outra, a partir da primeira solução, na direção do eixo x respectivamente.

Matemática
67
AULA 23
Translação de polígonos –
Propriedades
Objetivo Geral
Identificar a simetria de translação e perceber
quais medidas e propriedades são preservadas.
Conceito Básico
A translação é o termo usado para “mover”
formas, sendo necessárias duas especificações:
a direção (que pode ser medida em graus) e o
deslocamento (que pode ser medida em alguma
unidade de comprimento: cm, m, km, ...).
Exemplos:
1o
) Translação na horizontal (0º ou 180º):
2o
) Translação na vertical
(90º ou 270º):
3o
) Translação na diagonal (diferente de: 0º, 90º , 180º
ou 270º):

Matemática
68
Atividades
01 Observe a figura a seguir.
Em quantos centímetros, na vertical, deve-se transladar o retângulo ABCD para que ele fique centralizado no
retângulo EFHG?
02 Observe as translações 1, 2 e 3.

Matemática
69
a) Existe translação na vertical? Qual?
b) Existe translação na horizontal? Qual?
c) Existe translação na diagonal? Qual?
03 A figura a seguir representa um telhado, que na sua construção utilizou a propriedade da translação.
a) Qual é a medida da translação AA”?
b) Qual é a medida da translação CC’?
c) Quantas translações foram feitas? Quais?
d) As translações ocorreram em quais sentidos? (vertical, horizontal ou diagonal)
Desafio
Observe a figura a seguir
Realize apenas três translações indicando o deslocamento em cm e a direção de cada uma delas
para construir um retângulo. Indique também a largura e o comprimento do retângulo.

Matemática
70
AULA 24
Plano Cartesiano Ortogonal
Objetivo Geral
Identificar e representar o plano cartesiano e as coordenadas cartesianas.
Conceito Básico
O plano cartesiano ou espaço cartesiano é um es-
quema semelhante a uma rede quadriculada (reticu-
lada) necessário para especificar pontos num deter-
minado “espaço” com dimensões. Ele é composto de
duas retas perpendiculares e orientadas, uma horizon-
tal denominada de eixo x ou eixo das abscissas e outra
vertical chamada de eixo y ou eixo das ordenadas. Elas
se interceptam no ponto (0,0), denominado origem
do sistema.
A orientação positiva das retas é representada por
uma seta conforme a figura a seguir.
Um ponto no plano cartesiano é definido por meio de dois valores, um para o eixo x e outro
para o eixo y, respectivamente nesta ordem, que são denominados “par ordenado”. Esses valores
correspondem as coordenadas do ponto. Por exemplo, o ponto A apresentado no plano cartesiano
anterior corresponde ao par ordenado x = -2 e y = 3, ou seja, às coordendas A(-2, 3).
O que devo aprender
nesta aula
u Construir figuras no plano com
base em informações relevantes,
como: construir pontos dadas suas
coordenadas, construir polígonos
dadas as coordenadas de seus
vértices e circunferência dadas as
coordenadas do centro e a medida
de seu raio etc.

Matemática
71
Atividades
01 Relacione algumas situações onde utilizamos a orientação de linhas e colunas.
02 No Teatro Palco Iluminado as poltronas são dispostas conforme a figura a seguir.
Sabendo que o primeiro número do par indica a coluna e o segundo indica a linha, escreva as coordenadas
que indicam a posição das poltronas A, B e C.
03 Observe os pontos A, R, G, M, H e P marcados no mapa de uma cidade.
Encontre as coordenadas em que eles se localizam.

Matemática
72
04 Observe o plano cartesiano representado a seguir. Escreva os pares ordenados (x, y) que correspondem aos
pontos: A, B, C, D, E e F:
Desafio
Marque no plano cartesiano os pontos a seguir:
A = (-1 , 2), B = (4 , -2), C = (-1 , -2), D = (1 , 2) e F = (-2 , 0).

Matemática
73
AULA 25
Construção de polígonos no plano
cartesiano
Objetivo Geral
Representar, identificar e construir no plano
cartesiano polígono e circunferência.
Conceito Básico
Inicialmente é necessário relembrar um polígono
é uma superfície plana limitada por segmentos de reta
(ou linhas poligonais) fechadas onde cada um de seus
vértices é formado pela sucesão de dois segmentos de
retas seguidos.
O polígono divide o plano em duas regiões: a região interior ao polígono e a região exterior
a ele.
À região interior ao polígono damos o nome de região poligonal.
Os polígonos são classificados de acordo com o número de lados e ângulos, conforme a tabela
a seguir:
Números de lados ou
ângulos
Nome do Polígono
Em função do número de ângulos Em função do número de lados
3 Triângulo Trilátero
4 Quadrângulo Quadrilátero
5 Pentágono Pentalátero
6 Hexágono hexalátero
7 Heptágono Heptalátero
8 Octógono Octolátero
9 Eneágono Enealátero
10 Decágono Decalátero
11 Undecágono Undecalátero
12 Dodecágono Dodecalátero
15 Pentadecágono Pentadecalátero
20 Icoságono Icosalátero
O que devo aprender
nesta aula
de seu raio etc.

Matemática
74
Atividades
01 Observe alguns polígonos presentes em sua sala de aula e represente-os na malha quadricula a seguir.
Classifique os polígonos construídos quanto ao número de lados e ângulos.
02 Observe o plano cartesiano representado a seguir e escreva as coordenadas dos vértices dos triângulos BCF e
ADE. Desenhe os triângulos.

Matemática
75
03 Quais são as coordenadas do retângulo ABCD?
04 Marque os pontos a seguir no plano cartesiano e depois ligue-os de maneira que formem um único polígono.
A = (-2 , 3), B = (2 , 3), C = (4 , 1), D = (-4 , 1), E = (-4 , -2) F = (4 , -2), G = (2 , -4) e H = (-2 , -4).

Matemática
76
Desafio
Represente no plano cartesiano:
a) uma circunferência de centro A = (1 , 2) e raio 2.
b) um triângulo cujos vértices são: A = (0 , 0), B = (-4 , 2) e C = (3 , 4).
Aula 26
Exercícios envolvendo polígonos
Objetivo geral
Revisar por meio de itens e questões o conteúdo relativo a polígonos.
Atividades
01 Para determinar a quantidade de diagonais que partem de um único vértice de um polígono devemos utilizar
a fórmula d = n - 3, onde d representa a quantidade de diagonais que partem de um único vértice e n a quantidade
de lados deste polígono.
A quantidade de diagonais que partem do vértice A de um eneágono é igual a:
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9

Matemática
77
02 Para determinar a quantidade de diagonais de um polígono devemos utilizar a fórmula 2
3
D
n n$=
-^ h
, onde
D representa a quantidade de diagonais e n a quantidade de lados deste polígono.
A quantidade de diagonais de um icoságono corresponde a:
a) 340 b) 170
c) 34 d) 17
03 Observe o polígono a seguir.
Quantas diagonais faltam para que sejam traçadas todas as diagonais deste octógono?
a) 5 b) 20
c) 36 d) 40
04 Observe o polígono:
A medida do perímetro 2P deste polígono é igual a:
a) 17,11 cm b) 17,9 cm
c) 18 cm d) 18,1 cm

Matemática
78
05 Construa no plano cartesiano ortogonal a seguir um pentágono e determine as coordenadas de cada um de
seus vértices.
06 Determine a medida do lado de um hexágono regular cujo perímetro (2P) mede 17,4 cm.
AULA 27
Circunferência e círculo:
Definição e diferenças
Objetivo geral
Compreender os conceitos e os elementos de
circunferência e círculo.
Conceito básico
Uma das principais características que podemos
notar na circunferência sobrecai ao fato dela ser a única
figura plana que pode ser girada em torno de um ponto
(centro) sem modificar sua posição.
O que devo aprender
nesta aula
de seu raio etc.

Matemática
79
Assim, podemos dizer que circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um
plano que estão localizados a uma mesma distância r, denominado raio, de um ponto fixo O,
denominado o centro da circunferência.
Círculo é a reunião da circunferência com todos os pontos que estão em seu interior.
Observe a circunferência a seguir
Vamos identificar seus elementos:
Centro Raios Cordas Diâmetro
O , , 0A B E G0 0 0 e , ,AE BG CH DFe AE BGe
OBS: denominaremos por r o raio da circunferência e por d o seu diâmetro.

Matemática
80
INFORMAÇÕES IMPORTANTES
1) o diâmetro é a maior corda de uma circunferência;
2) o diâmetro é igual a duas vezes o raio (d = 2r);
3) a medida do comprimento C de uma circunferência é obtida pela fórmula 2 .C rr=
Exemplo:
Identifique os elementos na circunferência a seguir
Quais dos segmentos indicados são cordas?
R: O segmento AB e AC.
Quais dos segmentos indicados são raios?
R: O segmento A0, B0 e C0.
Qual do segmento indicado é diâmetro?
R: O segmento AB.
Atividades
01 Sabendo que a medida do raio de uma circunferência é 8 cm. Responda:
a) Qual a medida do seu diâmetro?
b) Qual a medida do seu comprimento?
02 Observe a figura a seguir

Matemática
81
Responda:
a) Qual a medida do seu diâmetro?
b) Qual a medida do seu comprimento?
03 As circunferências a seguir tem a mesma medida do raio
Determine:
a) Perímetro do triângulo ABC.
b) Soma das medidas do comprimento das circunferências.
Desafio
Sabendo que a medida do lado do quadrado é 10 cm, R é o raio da circunferência C2 e r o raio
de C1.
Determine a medida do comprimento da circunferência C1.

Matemática
82
Aula 28
Razão I
Objetivo geral
Compreender e aplicar as relações lógicas das
razões matemáticas em situações problema.
Conceito básico
Em matemática a comparação entre dois números
racionais, através de uma divisão, chama-se razão.
Assim, na razão temos uma divisão ou o quociente
entre dois números racionais a e b, representada por
a:b ou a/b ou , com 0
b
a
b ! .
Lê-se a para b, ou a está para b.
Exemplo:
3:5 3/5
5
3
ou ou , lê-se 3 para 5, ou 3 está para 5.
Os termos de uma razão recebem nomes específicos: o número a é denominado antecedente e
o número b é denominado consequente.
Exemplo:
antecedente
consequente5
3 "
"
Razões inversas
Dizemos que duas razões são inversas quando elas têm o produto igual a 1.
Importante: verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da outra,
e vice-versa.
Exemplo:
i) 5
3
e 3
5
são razões inversas, pois: 5
3
3
5
1=$
ii) 4
7
e 7
4
são razões inversas, pois: 4
7
7
4
1=$
O que devo aprender
nesta aula
u Formular e resolver situações-
problema que envolva a ideia de
fração (parte-todo) e também de
razão e divisão.

Matemática
83
Razões equivalentes
Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente multiplicando-se ou
dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional (diferente de zero).
Obs.: o símbolo + significa equivalente.
Exemplos:
i) 6
5
12
10
+ são razões equivalentes, pois: 6
5
12
10
2
2 =
$
$
ou 6
5
12
10=
ii) 9
15
3
5
+ são razões equivalentes, pois:
9
15
3
5
3
3 =
'
'
ou 9
15
3
5=
Exercícios resolvidos
01) Em uma avaliação do Enem com 180 questões, Michael acertou 156. Que razão você
poderia escrever para representar a comparação entre o número de acertos e o total de questões
da avaliação?
Do enunciado temos que Michael acertou 156 das 180 questões do Enem. Como queremos
a razão entre o número de acertos e o total de questões, basta escrevermos a seguinte razão,
simplificando-a, o máximo possível.
180
15
90
7
45
39
15
136 8= = =
Portanto, a razão é 15
13
.
02) Isabelle recortou dois pedaços de cartolina, conforme as figuras a seguir, nas seguintes
medidas:
x 2
x 2
:3
:3
:2
número de acertos
número de questões
=
:2 :2 :3
:2 :3

Matemática
84
De acordo, com as figuras, determine qual a razão entre a medida do lado do
quadrado e a medida do lado do quadrado .
Do enunciado com a figura temos as seguintes medidas:
quadrado seu lado mede 20 cm e quadrado seu lado mede 30 cm.
Como queremos determinar a razão entre a medida do lado do quadrado e a medida do
lado do quadrado , basta escrevermos a seguinte razão, simplificando-a, o máximo possível:
Portanto, a razão é
3
2 .
03) O time de futebol do Goiás obteve, durante o ano de 2012, 23 vitórias, 9 empates e 6
derrotas. Qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas?
Do enunciado temos que o time de futebol do Goiás obteve 23 vitórias, 9 empates e 6 derrotas
no ano de 2012.
Como queremos saber qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas
disputadas, primeiro vamos somar a quantidade de vitórias, empates e derrotas:
23 + 9 + 6 = 38
Então, basta escrevermos a seguinte razão:
38
23= , neste caso não dá para simplificar a razão.
Portanto, a razão é
38
23 .
Atividades
01 MarcosVinícius acertou 16 das 20 questões propostas pela professora em uma atividade na aula de matemática.
a) Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de acertos e o total de
questões da atividade?
b) Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de erros e o total de ques-
tões da atividade?
:10
lado do quadrado
lado do quadrado
=
:10
30
20
3
2=
número de vitórias
número total de partidas disputadas

Matemática
85
c) Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de acertos e o número de
erros da atividade?
02 O time de futebol do Flamengo obteve, durante o ano de 2012, 12 vitórias, 14 empates e 12 derrotas. Qual é a
razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas?
03 Vanessa desenhou as seguintes figuras:
De acordo, com as figuras, determine qual a razão entre:
a) a medida da hipotenusa do triângulo e a medida da hipotenusa do triângulo .
b) a medida da hipotenusa do triângulo e a medida da hipotenusa do triângulo .
Desafio
(Olimpíada Brasileira de Matemática - OBMEP 2007)
Em uma certa cidade, a razão entre o número de homens e mulheres é
3
2 e entre o número de mulhe-
res e crianças é
1
8 . A razão entre o número de adultos e crianças é:
(A)
1
5 (B)
1
16 (C)
1
12
(D)
3
40 (E)
1
13

Matemática
86
Aula 29
Razão II (situações problema
envolvendo razões em porcentagens)
Objetivo geral
Representar e aplicar as razões matemáticas no
estudo das porcentagens através da resolução de
Conceito básico
As razões além das formas fracionária e decimal,
tambémpodemserrepresentadasnaformapercentual,
onde se utiliza o símbolo %.
Geralmente, podemos dizer que toda razão na
forma
b
a , onde b = 100, pode ser representada na forma de porcentagem.
Exemplo:
100
30
30%= , onde lê-se trinta por cento.
Na representação de uma razão
b
a , temos:
i) Frações equivalentes:
O conseqüente b é um fator natural de 100.
Exemplo:
5
4
100
80
80%= =
Para descobrir que devo multiplicar por 20, basta dividir 100 por 5.
ii) Forma decimal:
O consequente b não é um fator natural de 100.
Exemplo:
O que devo aprender
nesta aula
u Formular e resolver situações-
problema que envolvam a ideia de
fração (parte-todo) e também de
razão e divisão.
x 20
x 20
razão equivalente de
consequente igual a 100
8
3
0,375
100
0,375 100
100
37,5
37,5%= = = =
$
forma decimal de
8
3

Matemática
87
Exemplos
01) No final de ano sempre há liquidação nos shopping de Goiânia, onde os descontos variam
muito. Suponha que em determinada loja um produto teve o desconto de 7 mil reais sobre um
preço de 20 mil reais. Quanto por cento equivale esse desconto?
Do enunciado temos inicialmente, a razão de 7 para 20, ou seja,
20
7 .
Aqui podemos resolver este exercício de duas formas:
i) Usando frações equivalentes, temos:
20
7
100
35
35%= =
Para descobrir que devo multiplicar por 5, basta dividir 100 por 20.
ii) Usando a forma decimal, temos:
20
7
0,35
100
0,35 100
100
35
35%= = = =
$
Portanto, o desconto de 7 mil reais equivale a 35%.
02) O Brasil tem um total de 8.514.876 km2
de superfície territorial. A região Centro-
Oeste ocupa cerca de 1.606.371,505 km2
. A área ocupada pela região Centro-Oeste representa,
aproximadamente, quanto por cento da área total do Brasil?
Do enunciado temos:
área total do Brasil " 8.514.876 km2
área da região Centro-Oeste " 1.606.371,505 km2
Usando a razão:
área da região Centro-Oeste
área total do Brasil................
Aplicando a forma decimal, temos:
8 514 876
1606 371 505
0,18
100
0,18 100
18, %
,
8
8
8= =
$
-
Portanto, a área ocupada pela região Centro-Oeste no Brasil representa, aproximadamente
18,8%.
03) Obtive um lucro de R$ 3,00 sobre o preço de um produto vendido a R$ 120,00. Quanto
por cento obtive de lucro?
x 5
x 5
8 514 876
1606 371 505,
km
km
2
2
"

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