Notions de codage de l'information. Entiers non-signés et signés. Codage en virgule fixe. Codage en virgule flottante à la norme IEEE754. Niveau DUT Génie Electrique et Informatique Industrielle.

1. Codage de l’information
Module d’Electronique Numérique

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Bases de numération
Représentation des nombres
 Concaténation de un ou plusieurs caractères, ici N, pris dans un
alphabet constitué de B symboles (lettres, chiffres …).
 B est la base de codage.
Base de tous les jours : la base 10 ou décimale
 L’alphabet de codage est constitué des 10 chiffres de 0 à 9.
 Le nombre s’écrit :

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Autres bases usuelles

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Introduction à la base 2
Stockage de l’information dans un système numérique
 Information de base : le bit  l’information élémentaire ne peut
prendre que 2 valeurs
 0 ou encore 0L (pour 0 logique) appelé aussi état bas.
 1 ou encore 1L (pour 1 logique) appelé aussi état haut.
 Entiers, Réels, Caractères obéissent à un codage se
décomposant sous la forme d’une série de bits.
 Exemple :
 Caractère A se code en binaire.
 Entier 17 s’écrit sous forme binaire.
– En précisant les bases de codage utilisées en indice, cela donne l’écriture
suivante :
qui se lit 17 en base 10 égale 00010001 en base 2.
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Vocabulaire et définitions
Vecteurs de bit
 Bit de poids fort, toujours à gauche. Poids faible toujours à droite.
Différents formats
 4 bits = 1 quartet
 8 bits = 1 octet (byte)
 16 bits = 1 mot (word)
 32 bits = 1 double mot (dword)
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𝐵𝑖𝑡 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑑𝑠
𝑓𝑜𝑟𝑡
𝐵𝑖𝑡 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑑𝑠
𝑓𝑎𝑖𝑏𝑙𝑒

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Vocabulaire et définitions
Complément à 1
 L’opérateur du complément à 1 se note
 Exemple vectoriel :
Complément à 2
 L’opérateur complément à 2 se note
 On complémente à 1 et on ajoute 1 :
 Exemple :
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Codage des entiers non-signés
Cas général sur N bits
 Les bits ont des indices allant de 0 à N-1.
 Chaque bit est affublé d’un poids de valeur 2numéro du bit (en
rouge)
 A s’écrit :
7

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Codage non-signé sur 8 bits
Vecteur et poids :
Expression :
Extrêmes :
 Minimum :
 maximum :
 Intervalle :

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Codage non-signé sur 16 bits
Vecteur et poids :
Expression :
Extrêmes :
 Minimum :
 maximum :
 Intervalle :

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Méthodes de décomposition
Objectif
 Décomposer en base 2 (binaire) d’un entier donné en base 10
(décimal)
Par la division euclidienne
 Rappel :
où est le reste de la division de par
 Pour
on a alors :
donc la division de par 2 permet d’obtenir .
 Le procédé peut se répéter jusqu’à ce que soit nul. 10

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Méthodes de décomposition
Par une méthode itérative
 Soit à décomposer sur N bits notés
 La méthode itérative repose sur l’algorithme suivant :
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𝑁𝑜𝑡𝑒 ∶ 𝐴𝑝𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑇𝐷

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Codage des entiers signés
Cas général sur N bits
 Les bits ont des indices allant de 0 à N-1.
 indique le signe de .
 A s’écrit :
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Codage signé sur 8 bits
Vecteur et poids :
Expression :
Extrêmes :
 Minimum :
 maximum :
 Intervalle :
13

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Codage signé sur 16 bits
Vecteur et poids :
Expression :
Extrêmes :
 Minimum :
 maximum :
 Intervalle :
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Méthodes de décomposition
En décalant par rapport à -128
 Soit à coder -13 sur 8 bits signés :
 c’est négatif donc on place le bit de signe à 1  cela revient
à coder -128.
 avec la partie positive sur les 7 bits restantes, il faut atteindre
-13 en partant de -128 soit à coder positivement :
X = -13+128 = 115 sur les 7 bits restants.
X = 11510 = 111 00112
 d’où : -1310 = 1111 00112
En utilisant le complément à 2 :
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Codage en virgule fixe
Caractéristiques
 N bits sont réservés pour la partie entière et M bits pour la partie
fractionnaire  format N.M .
 Le codage peut être signé ou non-signé.
 Calcul peu gourmand en surface silicium
 Calculer en virgule = calculer sur des entiers.
Domaine d’utilisation
 Calcul rapide sur des processeurs de traitement du signal (DSP)
à virgule fixe (il existe des DSP travaillant en virgule flottante).
 Calcul sur des réels avec des microcontrôleurs.
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Codage en virgule fixe non-signé
Décomposition :
Equation :
Intervalle :
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18. www.geii.eu 18
Codage en virgule fixe non-signé
Cas du format 1.7 non-signé :
Exemple :
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Codage en virgule fixe signé
Décomposition :
Equation :
Intervalle :
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Méthode de codage
Coder en virgule fixe = coder un entier !
 Démonstration sur le cas non-signé
 ce qui correspond au codage d’un entier non-signé.
 pour coder un nombre en virgule fixe au format N.M non-
signé, on code l’entier sur N+M bits. Le principe se
transpose au codage des flottants en virgule fixe signés.
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Cas du format 1.15 signé
Plus généralement, c’est le format 1.M signé qui est intéressant.
Soit à coder au format 1.15
Intervalle couvert :
Limitons-nous à l’intervalle
 la multiplication n’entraine pas de dépassement de capacité et
c’est l’immense atout de ce format !
 sur les microcontrôleurs 8 bits, le format 1.7 est souvent utilisé.
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Cas du format 1.15
Exemple de codage en 1.15 : A=-0,77612
On code l’entier en utilisant le complément à 2 :
Seule la partie entière peut être codée  il y a une perte due à la
faible précision du codage.
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Codage en virgule flottante
Illustration sur un exemple en base 10 avec un codage sur 6
chiffres et une puissance de 10 :
 Différentes écritures possibles pour un même nombre :
 Et une écriture dite normalisée :

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Codage en virgule flottante
La norme IEEE754 permet de coder en virgule flottante avec
différents niveaux de précision :
 3 formats :
 simple précision, soit 32 bits :
– Signe sur 1 bit, exposant1 décalé sur 8 bits et « mantisse – 1 » sur 23 bits.
 double précision, soit 64 bits :
– Signe sur 1 bit, exposant décalé sur 11 bits et « mantisse – 1 » sur 52 bits.
 double précision étendue, soit un codage sur 80 bits :
– Signe sur 1 bit, exposant décalé sur 15 bits et « mantisse – 1 » sur 64 bits.
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1 : On ne code pas directement l’exposant mais l’exposant auquel on applique un décalage (voir par la suite) d’où l’appellation d’exposant décalé par la suite.

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Codage en virgule flottante
Plusieurs types de données représentés :
 En simple précision :

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Codage en virgule flottante
On peut représenter les nombres normalisés avec :
 où est le signe, est la mantisse, est l’exposant
avec
Simple précision
 La mantisse apparaît comme un réel à virgule fixe au format
1.23, non signé, dont on ne conserve que la partie fractionnaire
dans le codage car sa partie entière en constamment égale à 1.
 Le codage de l’exposant s’effectue après un décalage de 127
afin de libérer les valeurs 0 et 255 pour les types de données
particuliers 
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Exemple de codage en virgule flottante
Soit à coder -11,21332 en nombre normalisé
 Signe :
 Méthodologie :
 Exposant :
 Mantisse :
– partie fractionnaire à coder sur 23 bits :
– on code l’entier sur 23 bits non signé.
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Cas des nombres dénormalisés
En simple précision, ces nombres s’écrivent
 L’exposant décalé est nul : 0
 La partie significative, notée , est non nulle :