Naslov: Bilten - 3. stručno-metodički skup Nastava matematike i izazovi moderne tehnologije Osijek, 12. - 14. listopada 2012.

1. ic anje nasta
om ve
pr
m
za
a te
Udruga
matik
e
Normala
3. stručno-metodički skup
Nastava matematike
i izazovi moderne
tehnologije
Osijek, 12.−14. listopada 2012.

2. PROslov
Poštovana kolegice, poštovani kolega!
U rukama držite bilten stručnog skupa Nastava matematike i izazovi mo-
derne tehnologije koji udruga Normala u suradnji s Agencijom za odgoj i
obrazovanje po drugi puta organizira u Osijeku. Normala, udruga za pro-
micanje nastave matematike broji stotinjak članova, uglavnom učitelja i
nastavnika matematike iz raznih krajeva naše zemlje. Udruga je zapravo
virtualna zajednica čiji je nastanak omogućio internet i potreba da se entu-
zijazam i kreativnost udruže. U vremenu u kojem živimo iz dana u dan se
mijenjaju životne okolnosti, pa i one u kojima izvodimo svoj svakodnevni
učiteljski posao. Kroz nepreglednu i neistraženu prašumu tehnologije shva-
tili smo da sami moramo krčiti putove, jer će rijetko tko to raditi bolje od
nas samih. Pionirski poduhvati na internetu doveli su do potrebe za stvar-
nim, fizičkim okupljanjem. Zahvaljujući aktivnim članovima iz Slavonije
organizirali smo svoj prvi veliki skup ovdje u Osijeku prije dvije godine.
Ugodno nas je iznenadila dupkom puna velika kongresna dvorana hotela
Mursa, topao prijem i rijetko viđena savršena radna atmosfera na predava-
njima i radionicama. U postavljenoj anketi netko od polaznika je napisao:
„Sudionici su sve vrijeme, od početka do kraja, imali izraz lica kao učenici
u razredu kad ih nastavnik nečim oduševi i privuče svu njihovu pozornost“.
Odmah na samom skupu postalo je jasno da naš sljedeći skup mora biti na
istom mjestu.
Zajedno s vama postavili smo visoka očekivanja, koja i nije lako ispuniti
s obzirom da baš kao i vi svakodnevno radimo u učionici. Ipak, potrudili
smo se da ostvarimo veću suradnju s Matematičkim odjelom Sveučilišta J. J.
Strossmayera u Osijeku i s Agencijom za odgoj i obrazovanje, da dovede-
mo eminentne stručnjake, povećamo broj predavanja i radionica, te da po-
slušamo neke prijedloge koje ste nam iskazali u anketi nakon prošlog skupa.
Naravno, predavanja se ne odnose samo na tehnologiju u nastavi nego smo
nastojali dotaći i druge probleme. Među raznovrsnim radionicama, istina,
dominira specijalizirani računalni program GeoGebra, ali to je bilo teško
izbjeći jer se radi o velikom hitu među učiteljima matematike u svijetu.
Vjerujem da će u ponuđenom programu svatko naći ponešto za sebe, a što
će u konačnici imati odraza na vaš rad u učionici. Budite slobodni postavljati
pitanja nakon predavanja i tijekom radionica ali i neformalno izvan dvorane
i učionica. Najveća vrijednost ovakvih skupova je u razmjeni mišljenja i
ideja.
Želim Vam ugodan rad i lijepo druženje
Šime Šuljić
Predsjednik Udruge

3. Sažeci
Matematika i tehnologija: danas i sutra
Dr. sc. Neven Elezović,
FER, Zagreb,
elez@fer.hr
Razvitak tehnologije oduvijek je bio poduprt razvitkom matematike.
U današnje doba svjedoci smo ogromnih tehnoloških promjena koje se
događaju u vrlo kratkim vremenskim intervalima. Za razliku od toga
čini nam se da se matematika presporo i premalo mijenja u usporedbi
sa stanjem od prije dvadeset ili pedeset godina. Je li to istina? Što se
danas radi u matematici? Što danas treba raditi u matematici? Koja su
područja istraživanja unutar matematike važna i kakva je njihova veza
s klasičnom matematikom?
Razvitak tehnologije danas bitno utječe i na razvitak same matematike.
U tom smislu, nužne su određene prilagodbe u odnosu na standarne
matematičke kurikulume, i po sadržaju i po načinima podučavanja. Na
kojoj razini i na koji način bi te promjene trebalo uvoditi? Koliko one
trebaju promijeniti standardnu nastavu koja gotovo nepromijenjena tra-
je već desetljećima?
Javnost i mediji niti prate niti mogu razumjeti zbivanja u modernoj
matematici, što uzrokuje negativne posljedice na opću percepciju o
važnosti matematike u životu, a onda i u obrazovnom procesu. Fokus
današnje matematike vrlo je dalek od matematike kakvom je poimaju
laici, pa čak i od poimanja koje o matematici imaju neki profesional-
ni matematičari, nastavnici i profesori. Postoje li odvojene matematike
koje međusobno praktički ne komuniciraju?
U ovom predavanju pokušat ću razjasniti neka od ovih pitanja.

4. 4 Sažeci
Zaglađivanje podataka: pristupi, metode i
primjene
Dr. sc. Kristian Sabo,
Odjel za matematiku
Sveučilišta J. J. Strossmayera u Osijeku
ksabo@mathos.hr
Za zadani skup podataka u ravnini (odnosno prostoru), želimo prona-
ći krivulju (odnosno plohu) zadanog oblika, koja ovisi o nepoznatim
parametrima, a da pritom u nekom smislu najbolje aproksimira zadane
podatke. Takav postupak zovemo problem zaglađivanja podataka. U
ovisnosti o načinu definiranja udaljenosti podatka do krivulje (odnosno
plohe), moguće je konstruirati različite pristupe zaglađivanja podataka.
U tom smislu posebno ćemo razmatrati dva pristupa koji su poznati u
literaturi: pristup običnih i pristup potpunih najmanjih udaljenosti, koje
ćemo primijeniti na različite norme. Obično se takvi problemi svode
na probleme minimizacije realne funkcije više varijabli, koji su opće-
nito nelinearni te je za njihovo rješavanje potrebno koristiti se nekom
numeričkom metodom. Problem zaglađivanja podataka ilustrirat ćemo
primjerima koji dolaze iz različitih područja primjena.
Brojevni sustavi
Dr. sc. Ivan Matić,
Odjel za matematiku
Sveučilišta J. J. Strossmayera u Osijeku
imatic@mathos.hr
Brojevni sustav predstavlja dogovoreni način zapisa brojeva uporabom
određenih simbola (grafema). Brojevni sustavi postoje otkad i brojevi
i pismo te se tijekom godina mijenjaju ovisno o interesima i potreba-
ma. U ovom će predavanju biti predstavljen razvitak brojevnih sustava
kroz povijest, zajedno s njihovim današnjim posljedicama i utjecajem
na računala. Posebice će biti naglašena interdisciplinarnost ove teme te
potencijalne primjene u nastavi.

5. Nastava matematike i izazovi moderne tehnologije 5
Moderna tehnologija i „stara“ matematika
(interpretacija nekih tradicionalnih matematičkih
sadržaja pomoću moderne tehnologije)
Milan Kabić, prof.
Srednja škola Dugo Selo, Dugo Selo
milankabic@gmail.com
U svom ću izlaganju pokazati i riješiti nekoliko zanimljivih proble-
ma iz „stare“, tradicionalne matematike. Pritom ću se koristiti GeoGe-
brom, programskim paketom namijenjenim matematičkoj edukaciji.
Naglasak će biti na estetici, tj. ljepoti matematičkih sadržaja, upečatlji-
vom zornom prikazu problema i njihovih rješenja.
Istaknuto mjesto zauzima dio u kojem ću pokazati kako se izvode ge-
ometrijske konstrukcije, kod kojih se pokazuju mogućnosti nove teh-
nologije u lijepom, preglednom, preciznom i brzom prikazu geometrij-
skih crteža. Posebice onih složenijih i zamršenijih. Tu je računalo od
ogromne koristi jer se štedi na vremenu izvođenja konstrukcija, a crtež
je ljepši, uredniji i pregledniji. Može se ponoviti tijek cijele konstruk-
cije ili samo jednog njezina dijela, potreban broj puta i to željenom
brzinom. Još ako se tome doda mogućnost intervencije u crtež, njego-
vu dinamičnost, interaktivnost, mogućnost istraživanja i eksperimen-
tiranja, te upotrebe boje kao moćnog didaktičkog potencijala, onda do
punog izražaja dolazi pomoć i korist što nam ih pruža i omogućuje
moderna tehnologija.
Prednosti koje donosi moderna tehnologija čine novu dimenziju koja
bitno utječe na pristup suvremenoj nastavi matematike, koju karakte-
rizira usmjerenost prema učeniku i njegovim individualnim mogućno-
stima.
Ovi primjeri rezultat su mojeg istraživanja i praktične primjene u na-
stavi. Služe kao poticaj kolegama da i oni pokušaju češće se koristiti
modernom tehnologijom u svojem radu i time razvijati svoju kreativ-
nost kako bi im nastava bila zanimljivija i efikasnija.

6. 6 Sažeci
Van Hieleove razine geometrijskog mišljenja
Josip Kličinović, prof.
Hotelijersko-turistička škola, Zagreb
kjosip@net.amis.hr
Klasičan problem s kojim se susreću učitelji i nastavnici matematike
jest da neki učenici mogu prepoznati kvadrat, ali ga ne znaju opisati
i definirati. Ili da učenici ne mogu pojmiti da je kvadrat istovremeno
i pravokutnik. Ili da se žale kako im se predstavlja neki geometrijski
dokaz koji već poznaju. Danski matematičari, supružnici van Hiele
promatrali su učenike na satovima geometrije i također se suočili s
navedenim problemima. Potom su za svoje doktorske disertacije us-
postavili sustav danas poznat kao van Hieleove razine geometrijskog
mišljenja. Teorija koju su razvili sastoji se od tri aspekta: postojanje
razina, svojstva razina i prijelaz s jedne razine na drugu. Ta teorija ne
samo da objašnjava uzroke navedenih problema nego daje i praktične
upute kako učenicima pomoći da prijeđu s jedne razine na drugu. Su-
pružnici van Hiele te su razine označivali brojevima od 0 do 4, premda
danas neki znanstvenici govore o razinama od 1 do 5. Hoffer (1979.,
1981.) je dao imena tim razinama kako slijede (zajedno s kratkim opi-
som razine) kako se danas rabe, a podcrtani nazivi su oni koje je dala
Dina van Hiele (1957.):
0. (vizualizacija ili prepoznavanje): Učenici znaju imena geometrij-
skih likova i znaju prepoznati oblik u cjelini (trokut i četverokut
prepoznaju kao različite oblike).
1. (vanjština geometrije, analiza): Učenici mogu uspoređivati likove
u terminima njihovih bitnih svojstava, izbjegavaju inkluzije među
različitim klasama geometrijskih likova, za opisivanje likova rabe
sva njihova svojstva umjesto samo dovoljnih, empirijski se uvjera-
vaju u istinitost tvrdnji itd.
2. (srž geometrije, apstrakcija): Učenici mogu logički poredati geo-
metrijske likove i njihove međusobne relacije, prihvaćaju različite
ekvivalentne definicije istog pojma itd., ali ne razumiju ulogu aksi-
oma, definicije, teorema i dokaza (njima su to sve pravila).

7. Nastava matematike i izazovi moderne tehnologije 7
3. (uvid u teoriju geometrije, dedukcija): Učenici razumiju uloge ak-
sioma, definicije, teorema i dokaza, spontano stvaraju pretpostav-
ke i samoinicijativno ih deduktivno provjeravaju.
4. (znanstveni uvid u teoriju geometrije, strogost): Učenici razumi-
ju potrebu za strogošću i shvaćaju apstraktnu dedukciju (razumiju
neeuklidsku geometriju).
Prvo svojstvo („fiksni poredak“) van Hieleove teorije jest da učenik
ne može prijeći na razinu n ako prije toga bio na razini n – 1. Treće
svojstvo („različitost“) kaže da svaka razina ima sebi svojstven jezični
aparat i terminologiju. Četvrto svojstvo („razdvojenost“) kaže da se
osobe na različitim van Hieleovim razinama međusobno ne mogu ra-
zumjeti. Četvrto je svojstvo povezano s trećim svojstvom te su upravo
ta dva svojstva najbitnija za razumijevanje problema s geometrijom u
nastavi. Problem je što učitelji/nastavnici često od učenika očekuju da
se nalaze na višoj razini od one na kojoj se trenutačno nalaze te se i
izražavaju u skladu s očekivanom razinom. Možda najbitnije svojstvo
jest peto svojstvo („postignuće“) koje kaže da je ispravnim vođenjem
moguće učenike pomaknuti na višu razinu te da se to vođenje sastoji
od pet faza. U izlaganju se predstavljaju teorija (s naglaskom na peto
svojstvo teorije) i zanimljivi konkretni rezultati istraživanja provede-
nih u SAD-u i Japanu (Whitman i sur. 1997.).
Vježbanje pažnje i racionalnog zaključivanja
Dr. sc. Marija Heffer
Medicinski fakultet u Osijeku
mheffer@mefos.hr
Pažnja pojačava kognitivne procese. Ako vam je cilj naučiti dijete zbra-
jati do deset, morate mu prvo objasniti koncept broja. Vaš trud je uzalu-
dan ako njegovu trenutačnu pažnju zaokuplja televizor, hrana, prijatelj
u igri… No ako se uspijete uvući u svijet koji ga upravo zaokuplja, za-
posjesti ga tako da bude od presudne važnosti zbrojiti dva broja da bi
se došlo do nekog cilja – otvorili ste vrata spoznaje… Privući pažnju
sveti je gral obrazovnog procesa… Glumci znaju je li njihova predsta-
va zaslužila pažnju po tonu i duljini pljeska koji su zaslužili na kraju.

8. 8 Sažeci
Redatelj je postigao uspjeh ako je predstava dugo ostala na repertoaru,
a film doživio neslućenu gledanost… Svaki romanopisac ima povratnu
informaciju koliko je uspio zadržati pažnju prosječnog čitatelja…
Vrijeme u kojemu su profesori mislili kako su odradili svoj posao čak
i kada je pola učionice bilo odsutno duhom – odavno je prošlo. Profe-
sori koji se hvale brojem studenata koji su pali njihov predmet – relikt
su nekog prijašnjeg doba. Na tržištu edukacije pojavili su se virtualni
profesori koji svoj uspjeh mjere brojem klikova na svojim internet-
skim stranicama i blogovima, bodovima koje su njihovi studenti stekli
na virtualnim kvizovima i brojem novokreiranih/novootvorenih radnih
mjesta koja je generiralo to znanje. Oni polako zadobivaju ugled, a
uskoro bi mogli dobiti i premoć nad onima koji ne shvaćaju ozbiljno
virtualne studente te istinsku potrebu modernog svijeta za kvalitetnim
i upotrebljivim znanjem. Dostupnost informacija, koju zahvaljujemo
internetu, možda će u dogledno doba toliko promijeniti svijest o tome
što je kvalitetan edukativni proces da će se dio naših škola izgubiti
utakmicu na tržištu kvalitete. Već vas vidim kako zbrajate svoje godine
i zamišljate kako se ovo neće dogoditi u vašem životnom vijeku…
No pokušajmo to promotriti s druge strane. Oruđa modernoga svijeta
najbliža su ljudima s prirodoslovnom ili tehničkom edukacijom, dakle
vama. Bez obzira na to koliki bi mogao još biti vaš profesionalni
vijek – pred vama je izazov koji nije bio ponuđen vašim profesorima
matematike. Ovo je životna prilika da promijenite svijet oko sebe mi-
jenjajući sami sebe – nudeći svojim učenicima znanje na novi način,
onakvo kakvo mislite da će moći jednom upotrijebiti i znanje koje biste
vi sami rado usvojili da vam ga je netko ponudio na ovaj način. Kako
ćemo mjeriti vašu uspješnost? Pa brojem klikova na vaše novo krei-
rane matematičke zadatke, brojem bodova koje su na vašim zadacima
osvojili nečiji tuđi učenici i brojem zasluženih petica u vašem razredu.
Naučimo prvo nešto neuroznanosti pažnje. Pažnju možemo zatražiti
onom fenomenalnom rečenicom: “Mlade dame i gospodo, molim vas
obratite pažnju...” Ovako zadobivena pažnja po prirodi je voljna i na-
mjerna. Vaša mlada publika čula je i interpretirala vaše riječi za čovje-
ka karakterističnim frontalnim korteksom koji ima zapovjedno-izvrš-
nu funkciju i pratit će vašu uputu radi kompleksne voljne kognitivne
kontrole. Bas zato što je ova kontrola kompleksna, ometat će je sve i
svašta, a održavati vaš autoritet i povremena ponovljena uputa. Druga

9. Nastava matematike i izazovi moderne tehnologije 9
mogućnost je zaposjedanje pažnje kroz osjetila. Ako mirno idete uli-
com, a iza vas zazvoni zvono bicikla, vaša pažnja postaje usmjerena
na izvor tog zvuka. U učionici punoj učenika, pažnju jednoga odre-
đenoga zadobit ćete prozivanjem njegova imena. Ako su vaši učenici
10 minuta gledali u ploču, pažnju će privući bilo koja promjena me-
dija – projektor, stvarni predmet koji će vam poslužiti kao ilustracija
nekog zadatka… Vaša ulaznica su sva ljudska osjetila. Ovakva pažnja
nije voljna, ona je spontana i usmjerena na stimulans koji ste ponudili.
Održava je stalna promjena ovog stimulansa. Neki stimulansi samom
svojom naravi automatski privlače pažnju – recimo crvena strelica na
dijagramu, nagli prodorni zvuk (više svojstven profesorima tjelesnog),
miris hrane kad smo gladni, miris jutarnje kave (primjenjivi u matema-
tičkoj učionici samo u izuzetnim okolnostima, ali dobri za ilustaciju)…
Najbolja promjena stimulansa je diskusija u grupi i timsko rješavanje
problemskih zadataka.
Možda u našim kurikulumima nema mjesta za 45 minuta ovakve nasta-
ve, možda je preteško promijeniti sve nastavne sate pa si nemojte zadati
prevelik cilj – recimo neka on bude samo pet minuta regularnog sata.
Kako kreirati zadatak koji će privući pažnju svih, a pritom imati praktič-
nu primjenu? Kanadski psiholog Stanovich primijetio je kako i vrlo in-
teligentni ljudi – ocijenjeno testom inteligencije – donose neracionalne
odluke (http://www.keithstanovich.com/Site/Home.html). Naime, naš
“emocionalni mozak” kreira prepreke u procesu racionalnog zaključiva-
nja. Ako ne vjerujete, pozivamo vas da riješite ponuđeni test.
Racionalnost se, za razliku od inteligencije, vježba. Procjene iz realnog
svijeta rijetko pokušavamo promatrati kao matematičke zadatke, čak kad
bi se one i mogle predstaviti matematičkom formulom. Osvješćivanje
svakodnevne uporabivosti matematičkog zaključivanja najbolji je tre-
ning za stvarni svijet i istinska misija ovoga predmeta u našim školama.
Obavezna literature:
1. http://www.ted.com/talks/daphne_koller_what_we_re_learning_from_
online_education.html?source=email#.UBuEzC0D4S0.email
2. http://www.ted.com/talks/lang/en/salman_khan_let_s_use_video_to_
reinvent_education.html
3. http://www.ted.com/talks/dan_meyer_math_curriculum_makeover.html

10. 10 Sažeci
Dodatna literatura:
1. http://www.ted.com/talks/lang/en/sugata_mitra_the_child_driven_edu-
cation.html
2. http://www.ted.com/talks/sugata_mitra_shows_how_kids_teach_
themselves.html
3. http://www.ted.com/talks/sir_ken_robinson_bring_on_the_revolution.
html
4. http://www.ted.com/talks/arthur_benjamin_s_formula_for_changing_
math_education.html
Čemu služe istraživanja u području
matematičkog obrazovanja?
Dr. sc. Dubravka Glasnović Gracin
Učiteljski fakultet Sveučilišta u Zagrebu
dubravka.glasnovic@ufzg.hr
Predavanje donosi pregled vrsta istraživanja u području matematičkog
obrazovanja, posebice značajke povezane s njihovom deskriptivnom,
preskriptivnom i normativnom razinom. Predavanje daje i neke primje-
re istraživanja u Hrvatskoj i u svijetu iz područja matematičkog obra-
zovanja, poput istraživanja udžbenika, PISA istraživanja i sl. Posebna
pažnja posvetit će se rezultatima istraživanja matematičkih udžbenika,
njihovoj ulozi kroz povijest i u današnje vrijeme u Hrvatskoj. Osim u
području udžbenika, testiranja i kurikuluma, istraživanja su važna i u
području primjene tehnologije u nastavi matematike, posebice stoga
što se modernom tehnologijom može koristiti u nastavi na kvalitetan i
nekvalitetan način. Velika količina istraživanja u području obrazovanja
u pojedinim zemljama može zbuniti i nastavnike koji nisu pravovreme-
no i dovoljno informirani o svrsi pojedinih istraživanja, a traženi su da
sudjeluju u njima. Stoga je važno upoznati se s osnovama istraživanja
u području matematičkog obrazovanja.

11. Nastava matematike i izazovi moderne tehnologije 11
Didaktički kaleidoskop
Branimir Dakić
profesor savjetnik u mirovini
dakicb@gmail.com
Suvremenu nastavu matematike obilježavaju otvorenost, dinamičnost,
usmjerenost individualnim sposobnostima i sklonostima učenika. Veli-
kim dijelom to se postiže raznovrsnošću nastavnih postupaka i oblika
rada čemu prije svega doprinosi nova suvremena tehnologija. Izlaganje
će biti popraćeno nizom raznovrsnih, atraktivnih i konkretnih primjera
(odatle potječe i “kaleidoskop” u samom naslovu), u snapshot stilu.
Takav bi pristup trebao biti poticajan za kreativno oplemenjivanje na-
stavne prakse.
Nastava matematike u skladu sa suvremenim
strategijama, definiranim metodičkim
pristupom i stanjem u obrazovnom
sustavu Republike Hrvatske
Neda Lesar, prof.
viša prosvjetna savjetnica
za matematiku u AZOO-u
neda.lesar@azoo.hr
Izlaganje će se zasnivati na:
• odrednicama kvalitetne nastave matematike postavljene na struč-
nim skupovima voditelja ZSV-a:
◦◦ postavljeni ciljevi, njihova ostvarenost i provjera njihove
ostvarenosti ( + osvrt na udžbenike)
◦◦ primjerene metode i potvrda primjerenosti metoda
◦◦ pravovremeno i spretno korištenje nastavnih sredstava i pomagala
◦◦ dvosmjerna komunikacija s učenicima

12. 12 Sažeci
◦◦ (pisana) priprema za nastavu (4 situacije: priprema - nastava
- , priprema - nastava +, priprema + nastava -, priprema + nas-
tava +)
• potrebi korištenja suvremenim nastavnim sredstvima i pomagali-
ma na način da nastava bude osuvremenjena i prosirena primjeri-
ma iz svakodnevnog života:
◦◦ kada, kako, zašto i u kojoj se mjeri koristiti tehnologijom
◦◦ kada i kako se koristiti dinamičnom (ili statičnom?) geometrijom
◦◦ kada i kako se koristiti ppt prezentacijom i o čemu posebno
voditi računa
◦◦ koji su primjeri iz svakodnevnog života “pravi primjer na pra-
vom mjestu”
• obrascima NA-2, 3 i 4 za napredovanje:
◦◦ što znači izvrstan, vrlo uspješan, uspješan, zadovoljava i ne
zadovoljava na NA-2 obrascu
◦◦ što ravnatelji potpisu, a što kažu
◦◦ što se boduje i kako se boduju sami nastavnici
◦◦ što znači redovito usavršavanje
◦◦ ponešto o pročitanoj literaturi
• stanju u RH:
◦◦ kurikulum
◦◦ DM
upis na fakultet  pritisak na učenike i nastavnike.
Zondle − učenje kroz računalne igre
Lidija Kralj, prof. savjetnica
OŠ Veliki Bukovec
lidija.kralj@os-bukovec.hr
Zondle je online platforma za učenje kroz računalne igre koja po-
maže učiteljima, roditeljima i učenicima u stvaranju i igranju obra-
zovnih igara koje su prilagođene njihovim obrazovnim potrebama.

13. Nastava matematike i izazovi moderne tehnologije 13
Pokrenut je 2010. godine i već ima oko 70 000 registriranih korisnika
iz više od 150 zemalja, koji su zajedno pripremili oko 106 000 primje-
raka obrazovnih sadržaja za dijeljenje i igranje interaktivnih multime-
dijskih igara. Program je besplatan i preveden je na hrvatski jezik.
Zondle vam omogućuje uključivanje cijele škole, povezivanje u grupe, ra-
zrede, dijeljenje tema te praćenje rezultata. Na taj način možete jednostav-
nije zadavati teme za pojedine razrede, povezati se s kolegama, razmjenji-
vati sadržaje te naravno dobiti pomoć ili predložiti poboljšanja programa.
Za svakog učenika možete pratiti koje je teme rješavao, koliko puta te
kakav je napredak pritom ostvario.
Polupametna ploča
Snježana Starčević, prof. savjetnica
Ekonomska škola Velika Gorica
snjezana.starcevic@zg.t-com.hr
„Polupametna“ ploča je kombinacija klasične bijele ploče i projektora
(naravno s računalom), te flomastera u boji. Najbolja je varijanta pro-
jektor postavljen na strop učionice jer osoba pred pločom najmanje
zaklanja prikaz (stvara sjenu) na ploči pri rješavanju.
Ovaj oblik rada koristim najčešće za motivaciju na početku sata, za
uvježbavanje gradiva ili diskusiju oko nekih problema. Na ploču pro-
jiciram zadatak odnosno problem koji zatim flomasterima rješavamo
na ploči. Zadatak je uredno, čitljivo i pregledno prikazan na ploči s
predviđenim mjestom za rješavanje. Brisanje i ispravljanje eventualnih
pogrešaka je lagano jer zadatak ostaje i dalje kompletan na ploči, a ako
treba postupak dodatno komentirati ili objašnjavati koristim više boja.
„Polupametna“ ploča mi je bitno olakšala izvođenje nastave u do-
punskoj/izbornoj/fakultativnoj nastavi koju organiziramo u trećem i
četvrtom razredu kao pripreme za polaganje državne mature na višoj
razini. U relativno malo sati treba proći kroz dosta gradiva gimnazij-
skog programa. Većinu materijala (teoretskog dijela) učenici dobiva-
ju na papiru, a profesor komentira isti takav predložak na ploči pa si
svatko na materijale upisuje samo dodatne komentare. Također učenici

14. 14 Sažeci
imaju pred sobom isprintane originalne testove s državne mature koje
istodobno projiciram na ploču. Budući da ih rješavamo na identičnim
predlošcima, jednostavno je pokazati ispravno mjesto i način zapisa
postupka i rješenja.
Naučavanje matematike i/ili instant pouke
Šime Šuljić, prof. savjetnik
Gimnazija i strukovna škola Jurja Dobrile, Pazin
sime.suljic@normala.hr
Ovdje ne pišem kako matematiku učiniti lakom jer ona to nije, nego
kako je činiti smislenom što i jest. (E. Ronda)
Pozicija nastavnika matematike danas i prije jednog desetljeća nije ista,
iako se program nastave matematike gotovo nimalo nije promijenio, a
o promjenama se u poučavanju matematike eventualno nagađalo. Dva
su faktora koja danas imaju velikog utjecaja na nastavnike matematike
i prema kojima pokušavaju zauzeti stav: medijska povika na instrukcije
iz matematike i obvezan test državne mature na kraju srednjoškolskog
školovanja. Kada bi oni koji se bave fenomenom instrukcija ušli u bit
problema, brzo bi shvatili da se na instrukcije u velikoj mjeri ne ide da
bi se naučilo matematiku, nego da bi se prošlo sutrašnji test. A to je već
ozbiljan problem cijelog školskog sustava, a ne samo matematike. S
druge strane, nitko ne istražuje kako i gdje su svladali matematiku oni
koji je znaju solidno. Malo koji bi se nastavni predmet poput matema-
tike mogao pohvaliti da stečeno znanje potječe isključivo iz učionice, a
ne iz posebnih škola, posebne literature, interneta… Bez obzira na to,
javnost, pa i prosvjetne institucije smatraju kako problem leži isklju-
čivo u programu i načinu poučavanja matematike. Katedre za nastavu
matematike nisu se dovoljno angažirale i nastavnik je uglavnom prepu-
šten samom sebi. Nužno je postaviti granice nerazumnim zahtjevima.
Projekt državne mature je od nastavnika matematike pozdravljen kao
vrlo pozitivan pomak u našem obrazovnom sustavu. Rezultati iz mate-
matike očekivano su zabrinjavajući, ali su odraz realnosti. Zabrinutost
za cijeli obrazovni sustav može se iščitati i iz rezultata drugih nastav-

15. Nastava matematike i izazovi moderne tehnologije 15
nih predmeta. Ozbiljna analiza rezultata iz koje bi slijedili reformski
zahvati u školstvu nažalost izostaju. Državna matura donijela je po-
pratne pojave poput obilja priručne literature za pripremu državne ma-
ture, instant poduke, daljnju potražnju za instrukcijama, poduku putem
interneta, dopunsku nastavu u školama itd. Postoji opasnost da redov-
nu nastavu podredimo tom jednom testu. Iako bismo mogli raspravljati
o tome je li za zadnji test više razine iz matematike bilo dovoljno vre-
mena, vjerujem kako bismo se mogli složiti da on daje jasnu poruku
− najbolja je priprema za maturu raditi na redovnoj nastavi. Na koji
način? U izlaganju ću istaknuti neka važna načela koja su postavili
učitelji učitelja, veliki metodičari Paul Halmos i George Polya.
Tu su i pitanja koja se u posljednje vrijeme nameću i o kojima treba
razgovarati:
• Treba li se potpuno okrenuti primjeni matematike u svakodnev-
nom životu?
• Je li tehnologija čarobni štapić?
• Treba li se potpuno otvoriti sve popularnijim videima na internetu?
• Možemo li matematiku učiniti lakšom?
Tražeći odgovor na zadnje pitanje, sigurno ćemo se sjetiti Euklida i po-
znate anegdote o kralju Ptolomeju kojem je kazao kako nema kraljev-
skog puta u geometriju. Ali to je bilo davno i možda je, s obzirom na
to što nam sve danas stoji na raspolaganju, moguće bezbolnije riješiti
problem. Može nam se činiti da u suvremenim okolnostima, u radu s
našim Facebook učenicima, stari metodičari ne daju zadovoljavajuće
recepte. Suvremena metodičarka dr. Erlina Ronda, koja temelji svoj
pristup na učenju velikih metodičara, iz tjedna u tjedan na svom in-
ternetskom blogu (math4teaching.com) obrađuje konkretne probleme
s kojima se svakodnevno susrećemo. Misao istaknuta na vrhu ovog
sažetka moto je njezina bloga. U jednom od zadnjih blogova dr. Ronda
daje deset znakova koje lako možemo uočiti, a koji nas mogu upozoriti
na to da s našom nastavom nešto nije u redu. A kada nešto nije u redu?
1. Kada test uključuje zadatke poput ovog: U jednadžbi
3x2 − 4x − 1 = 0 odredite vrijednosti a, b i c.
2. Kada čujete jake argumente o tome treba li ili ne staviti AB u apso-
lutne zagrade kad podrazumijeva duljinu dužine.

16. 16 Sažeci
3. Kada razredom zavlada rutina, učitelj predaje, učitelj dijeli radne
listove, učitelj skuplja radne listove.
4. Kada nastavna jedinica uvijek započinje vježbanjem postupaka
kao što su računanje s cijelim brojevima, razlomcima i sl.
5. Kada učenici rješavaju problemski zadatak rabeći isključivo uči-
teljevu metodu.
6. Kada nastava započinje s definicijom pojma koji se uči.
7. Kada zadatak poput ovog: Ako je 2x2 − 8 = 15 , koliko je 2x2 − 5?
učenik rješava tražeći najprije vrijednost od x i tek onda 2x2 − 5.
8. Kada je stil poučavanja isti za učenje definicije kosinusa i dokazi-
vanje adicijskih formula.
9. Kada se zadaci problemskog tipa zadaju samo kao primjena, uvi-
jek na kraju nastavne jedinice ili poglavlja.
10. Kada učitelj najprije objasni teorem, a onda posegne za računalnim
programom dinamične geometrije da pokaže da teorem vrijedi.
Što od matematike promakne modernoj
tehnologiji?
Senka Sedmak
profesorica savjetnica u mirovini
senka.sedmak@inet.hr
U izlaganju je riječ o tome da moderna tehnologija, ma koliko impre-
sionirala svojim korisnim svojstvima, ipak ne posjeduje intelektualnu
znatiželju ni maštu. Matematičar koji ih posjeduje koristit će se teh-
nologijom da lakše, brže i preglednije potraži i prezentira odgovore
na svoja pitanja. Sama pitanja i ideju dokaza mora postaviti ona ili on.
Tvrdi se da nastava koja želi potaknuti sposobnost razmišljanja i argu-
mentirane rasprave mora biti zasnovana na razmišljanju i raspravi, a ne
prezentaciji gotovih rezultata. Dakle, da joj moderna tehnologija može
biti alat, ali ne bit ni cilj. Bit matematike je dokaz, bez njega nema ni
matematike ni matematičara.

17. Nastava matematike i izazovi moderne tehnologije 17
Ove tvrdnje ilustrirat će se analizom jedne sustavne pogreške, godina-
ma ponavljane u brojnim predavanjima i nekim udžbenicima. Nepo-
sredna korist od izlaganja očekuje se u ispravljanju te prakse, posredna
od razmatranja racionalnog izbora metode i, prije svega, u povećanom
osjećaju za nužnost kritičkog mišljenja.
Dokaz da su sporne tvrdnje neistinite provest će se u izlaganju bez
pomoći moderne tehnologije. Štoviše, dovoljno je znanje nižih razreda
osnovne škole za kontraprimjer kojim su se u jednostavnu funkciju
uvrstila dva broja i usporedili rezultati. Tom postupku, međutim, tre-
balo je prethoditi kritičko čitanje teksta sa svim što taj pojam podra-
zumijeva. Treba mu slijediti zaključak utemeljen na dokazu. Ni tom
krajnje jednostavnom dokazu nije računalo moglo sugerirati ni potrebu
ni način provedbe.
Dokazano je da o jednoj temi matematičari godinama pišu i predaju
neistinu. U članku se tvrdi da se takve stvari u budućnosti ne mogu
spriječiti s više moderne tehnologije, nego isključivo s više matematič-
ke kompetencije.
Popularno-obrazovna TV emisija VIJUGA +
Nenad Kuzmanović, prof.
OŠ Lipik
nenad_kuzmanovic@yahoo.com
Emisija Vijuga + plod je suradnje pulske TV Nove i Matematičkog
društva Istra. Cilj je emisije popularizacija matematike i logičkog nači-
na razmišljanja na zanimljiv način. Prema preporuci u ekipama su bili
samo učenici sedmih i osmih razreda osnovnih škola. U svakoj emisiji
sudjelovale su dvije ekipe. Jedan član ekipe je kapetan ekipe koji jedini
može davati primjedbe i komunicirati s voditeljem i sucem kviza. Neki
drugi član ekipe zove se Pametna glavica i on nije kapetan ekipe, a
sudjeluje u igri Pametne glavice. Treći član ekipe je koordinator ekipe.
Pametne glavice iz svake ekipe dobivaju četiri ista zadatka koja rješa-
vaju u roku od 15 minuta (točnije do kraja igre točno-netočno), a nakon
igre sucu predaju papir s odgovorima. Ti su odgovori mjerodavni. Rje-

18. 18 Sažeci
šenja su u obliku testa (biraju jedan od ponuđenih pet odgovora, kao u
natjecanju Klokan bez granica ili na pulskim ekipnim natjecanjima), a
svoja rješenja prikazuju na kraju svih ostalih igara, kada se i boduju.
U igri Razotkrivanje svaka ekipa ima zadatak pogoditi jedan matema-
tički pojam (koji se može sastojati i od više riječi), a njega voditelj
opisuje rečenicama.
U trećoj igri, Točno-netočno svakoj se ekipi postavljaju četiri kratka
pitanja na koja se brzo mora odgovoriti. U posljednjoj, četvrtoj igri
Zapiši i pokaži ekipama se daje isti zadatak i nakon zadanog vremena
svi moraju istovremeno pokazati svoj odgovor. Vrijeme je ograničeno,
oko 15 sekundi.
Primjer zadatka: Nastavi niz brojeva: 0, 1, 4, 9, 16 s još dva broja. Rješenje:
25, 36. Točan odgovor donosi jedan bod, a za netočan se oduzima jedan bod.
Ako ekipa ne prikaže rješenje, broj bodova joj se ne mijenja.
Emisija je dobila puno pohvala od običnih ljudi, gledatelja te emisije.
Ponavljamo ono što smo nekad davno naučili, kažu. Sustav igara je
autor tako osmislio da se može primjenjivati i bez televizijskih kamera,
kao klasičan kviz, kao natjecanje razreda, škola, gradova, županija s
bilo kojim predznanjem učenika.
GeoGebra − matematički alat za
demonstraciju, istraživanje, dokazivanje
Željka Bjelanović Dijanić, prof. mentorica
Srednja škola Čazma
zeljka.bjelanovic@bj.t-com.hr
Josip Kličinović, prof.
Hotelijersko-turistička škola, Zagreb
kjosip@net.amis.hr
GeoGebra se može primjenjivati kao konstrukcijski i autorski alat, alat
za demonstraciju, alat za istraživanje, a u posljednje vrijeme sve se više
rabi i kao alat za dokazivanje. Nguyen (2012.) naglašava kako GeoGe-
bra može pomoći u procesu dokazivanja, posebno pri prijelazu između

19. Nastava matematike i izazovi moderne tehnologije 19
abduktivne argumentacije (engl. abductive argumentation) do deduk-
tivnog dokaza. Osim na abduktivnoj argumentaciji, njegov se model
za dokazivanje u GeoGebri temelji i na interaktivnom sustavu pomoći
(IHS, engl. Interactive Help System). Zanimljivo je da se Nguyen, kao
i Karadag i McDougall (2009.), vodi heurističkim pitanjima Georgea
Polye (Mathematics and plausible reasoning, 1954.) kako bi učenike/
studente sa što manje lutanja doveo do rješenja. U procesu dokazivanja
interaktivan sustav pomoći sastoji se od nekoliko razina:
1. informativna razina – uočiti bitne informacije kao npr. što je nepo-
znato, što poznato, koji su uvjeti, a koji zaključci;
2. konstruktivna razina – potiče se konstrukcija nekih pomoćnih fi-
gura;
3. invarijantna razina – promjenom nekih objekata, odnosa ili para-
metara uočiti nepromjenjivost onoga što se dokazuje;
4. razina pretpostavke – formulirati pretpostavku;
5. razina argumentacije – osmisliti što više različitih argumenata (ab-
duktivnih, induktivnih i deduktivnih);
6. razina dokaza – povezati argumente u logičan slijed koji vodi do
dokaza tvrdnje;
7. razina udubljivanja – udubiti se u problem, izvesti generalizacije,
analogije, specijalizacije.
Tijekom procesa dokazivanja abduktivna argumentacija igra ključnu
ulogu. Pojam abdukcije (engl. abduction) je u logičko zaključivanje
uveo Peirce davne 1960., a označuje objašnjavanje činjenica uvođe-
njem nekog novog pravila. I dok dedukcija polazi od opće zakonitosti,
a indukcija od pojedinačnih slučajeva, abdukcija se zasniva na prihva-
ćanju čiste mogućnosti odnosno na intuiciji. Tijekom procesa dokazi-
vanja abdukcijom se generiraju ideje koje indukcijom možemo provje-
riti na pojedinačnim slučajevima, a zatim dedukcijom izvesti dokaz.

20. 20 Sažeci
e-učionica
Damir Belavić, učitelj
OŠ Ludina
dbelavic@gmail.com
Kako danas u svijetu računala, interneta, Youtubea i društvenih mreža
poučavati učenike uz knjigu i bilježnicu, a da im nastava bude zani-
mljiva? Pokušao sam ući u njihov svijet i približiti im se tako što sam
napravio e-učionicu. Uz pomoć CARNeta otvorio sam Moodle tečaj
za učenike 8. razreda uz gradivo preslikavanja ravnine. Prije svega da
bi učenici imali gdje pohraniti svoje domaće uratke napravljene u Ge-
oGebri, no napravili smo puno više od toga. Učili smo zajedno, po-
magali jedni drugima i na kraju pisali online ispit znanja. Jedan pravi
e-learning tečaj. Kako je izgledala naša e-učionica? Koje su prednosti
takvog načina rada, a koji nedostaci? Kako su učenici reagirali? Što je
ustvari e-learning? Na ova pitanja pokušat će se dati odgovor.
TIMSS − procjena učeničkih dostignuća
Stjepan Špoljarec, učitelj mentor
OŠ Žitnjak, Zagreb
TIMSS je međunarodna procjena znanja iz matematike i prirodoslov-
lja. Na početku prošle školske godine provodio sam ispit predznanja u
sedmim razredima koji je bio izbor zadataka iz TIMSS testova. Uspo-
redio sam postinuća svojih učenika s postignućima iz susjednih nam
zemalja: Slovenije, BiH i Mađarske, ali i iz dalekog Tajvana. U PP
prezentaciji ispitnih zadataka prikazat ću i usporedne grafove s ko-
mentarima.

21. Nastava matematike i izazovi moderne tehnologije 21
Konkretni didaktički materijali u
razrednoj nastavi matematike
Dr. sc. Dubravka Glasnović Gracin
Učiteljski fakultet Sveučilišta u Zagrebu
dubravka.glasnovic@ufzg.hr
Edukacija se odnosi na upotrebu konkretnih didaktičkih materijala
u razrednoj nastavi matematike. Pritom je naglasak stavljen na lako
dostupne didaktičke materijale za nastavu aritmetike (npr. računska
gusjenica, Stern blokovi, brojevne kartice) koje mogu izraditi i sami
učenici. Takvi su materijali posebice pogodni za individualni rad i kao
pomoć pri domaćim zadaćama.
Cilj je predavanja učiteljima naglasiti važnost korištenja didaktičkim
materijalima ne samo u demonstracijske svrhe već ih i poticati na ma-
sovnije korištenje materijalima u radu s učenicima te i u njihovu samo-
stalnom, timskom ili radu u parovima. U sklopu radionice sudionici će
upoznati kako pomoću konkretnih materijala bolje razumjeti standar-
dne algoritme za četiri osnovne računske operacije.

22. Radionice
e-tečaj za učenike
Zlata Ćurković, učiteljica mentorica
OŠ Petra Kanavelića, Korčula
zlata.curkovic@du.t-com.hr
Radionica je namijenjena svim nastavnicima matematike u osnovnoj
i srednjoj školi, prije svega onima koji imaju želju isprobati prednosti
virtualnog poučavanja, te imaju iskustvo u radu s programom GeoGe-
bra.
Opis radionice:
Uvodno izlaganje
• kako uz pomoć računala, matematičkog programa GeoGebra i Mo-
odle sustava za e-učenje omogućiti svojim učenicima samostal-
no učenje.
Prezentacija e-tečaja
• primjer iz vlastite prakse
Radionica
• sudionici podijeljeni u grupe po četiri člana odabiru jednu nastav-
nu temu,
• odabranu temu trebaju osmisliti i metodički tako oblikovati da
učenici mogu samostalno istraživati i učiti. Pritom će naglasak
biti stavljen na animirane primjere, dinamične i interaktivne aplete
izrađene u programu GeoGebra,
• svaka grupa na Moodle sustavu otvara svoju temu i objavljuje lek-
ciju, otvara mjesto gdje će učenici raspravljati o temi i na kraju,
kreira se i objavljuje zadaća koju nastavnik može opisno ili broj-
čano ocjenjivati.

23. Nastava matematike i izazovi moderne tehnologije 23
Prezentacije sudionika i diskusija
• sudionici će prezentirati svoje uratke virtualno, a diskusija će se
voditi na forumu – mjestu predviđenom za raspravu o temi.
Vrijeme trajanja radionice: 90 minuta
Oprema: projektor, učionica s 10 računala s instaliranom GeoGe-
brom 4.0 ili WebStart.
(Preporučuje se ponijeti svoje prijenosno računalo s instaliranom Ge-
ogebrom 4.0 ili WebStart inačicom.)
Broj sudionika: do 20.

24. 24 Radionice
Analitička Geometrija u 2D i 3D
Ela Rac-Marinić-Kragić, prof. savjetnica
V. gimnazija, Zagreb
ela.kragic-marinic@skole.hr
Ciljevi i zadaci radionice:
Cilj je ove radionice pokazati prednosti što nam ih pruža moderna
tehnologija pri rješavanju zadataka i vizualizaciji problema analitičke
geometrije. Naučiti nastavnike da sami izrađuju nastavne materijale
primjenom programskog paketa GeoGebra.
Zadatak je da sudionici tijekom radionice izrade nekoliko primjera i
dinamičnih uradaka, te da se pokaže kratki uvod u mogućnosti 3D pri-
kaza koji dolazi s programom GeoGebra 5.0.
Vrijeme trajanja radionice: 90 minuta.
Kome je radionica namijenjena?
Namijenjena je nastavnicima matematike koji rade u osnovnim i u
srednjim školama.
Broj sudionika u radionici:
Optimalan broj sudionika je oko 20, ali može ih biti i više.
Organizacija i potrebna oprema:
Za sudionike radionice nisu potrebna specijalizirana informatička zna-
nja. Dovoljno je da se znaju koristiti računalom na osnovnoj razini.
Nužno je da su svladali osnove programa GeoGebra. Potrebna je učio-
nica s jednim računalom koje je povezano s LCD projektorom.
Za uspješno provođenje radionice potrebno je po jedno računalo za
svakog sudionika. Na svakom računalu trebaju biti instalirani OS
WINDOWS i Java (TM) 7 i GeoGebra 4.

25. Nastava matematike i izazovi moderne tehnologije 25
Opis radionice:
Uvod
Kratko uvodno izlaganje u trajanju od oko 5 minuta. Upoznavanje su-
dionika sa sučeljem programa GeoGebra i podešavanjem koordinatnog
sustava.
Središnji dio
Aktivno sudjelujući na radionici, sudionici radionice će uz pomoć pri-
premljenih radnih materijala (tiskanih i/ili u digitalnom obliku) i vo-
ditelja rješavati primjere (točke, vektori, pravci) i izraditi dinamičke
uratke.
Završni dio
Kratki uvod u mogućnosti GeoGebre 5.0. 5 minutna prezentacija s ne-
koliko primjera. Sudionici će dobiti naočale za gledanje anaglifskih
slika.
Također, sudionici radionice će dobiti informacije kako i gdje se mogu
nastaviti educirati o upotrebi programa GeoGebre i u oblikovanju di-
gitalnih obrazovnih materijala. Bit će upućeni na forume na kojima
mogu postavljati pitanja u vezi sa spomenutom problematikom. Zatim
će biti upoznati s tim gdje sve mogu pronaći već gotove digitalne obra-
zovne materijale, slobodno ih preuzeti, primjenjivati u nastavi, ali i
preporučiti učenicima da ih primjenjuju za samostalno učenje.

26. 26 Radionice
Geometrijske konstrukcije uz pomoć
programa GeoGebra
Milan Kabić, prof.
Srednja škola “Dugo Selo”, Dugo Selo
milankabic@gmail.com
Ciljevi i zadaci radionice:
Cilj je ove radionice pokazati prednosti što nam ih pruža moderna teh-
nologija pri izvođenju geometrijskih konstrukcija. Naučiti nastavnike
da sami izrađuju nastavne materijale u kojima će biti prikazana izved-
ba elementarnih geometrijskih konstrukcija pomoću ravnala i šestara,
primjenom programskog paketa GeoGebra.
Zadatak je da sudionici tijekom radionice izrade jedan dinamički ura-
dak na kojem će biti prikazano rješenje jednog konstruktivnog zadatka.
Vrijeme trajanja radionice: 90 minuta.
Kome je radionica namijenjena?
Namijenjena je:
• nastavnicima matematike koji rade u osnovnim i srednjim školama
• studentima matematke, posebno nastavničkog smjera.
Broj sudionika u radionici:
Optimalan broj sudionika je oko 20, ali može ih biti i više.
Organizacija i potrebna oprema:
Za sudionike radionice nisu potrebna specijalizirana informatička zna-
nja. Dovoljno je da se znaju koristiti računalom na osnovnoj razini.
Nužno je da su svladali osnove programa GeoGebra. Potrebna je učio-
nica s jednim računalom koje je povezano s LCD projektorom.
Za uspješno provođenje radionice potrebno je po jedno računalo za
svakog sudionika. Na svakom računalu trebaju biti instalirani OS
WINDOWS i Java (TM) 7.

27. Nastava matematike i izazovi moderne tehnologije 27
Opis radionice:
Uvod
Kratko uvodno izlaganje, tj. prezentacija u trajanju od oko 10 minuta,
u kojoj će biti prikazani obrazovni digitalni materijali u kojima su ri-
ješeni konstruktivni zadaci. Na kraju će biti pokazano kako se pomoću
Klizača i naredbe Niz mogu jednostavno izvoditi elementarne geome-
trijske konstrukcije.
Središnji dio
Aktivno sudjelujući na radionici, sudionici radionice će uz pomoć pri-
premljenih radnih materijala (tiskanih i u digitalnom obliku) i voditelja
riješiti jedan konstruktivni zadatak.
Završni dio
Pred kraj će nekoliko sudionika prezentirati svoj rad.
Na samom kraju sudionici radionice će dobiti informacije kako i gdje
se mogu nastaviti educirati o upotrebi programa GeoGebre i u obliko-
vanju digitalnih obrazovnih materijala. Bit će upućeni na forume na
kojima mogu postavljati pitanja u vezi sa spomenutom problematikom.
Zatim će biti upoznati s tim gdje sve mogu pronaći već gotove digital-
ne obrazovne materijale, slobodno ih preuzeti, primjenjivati u nastavi,
ali i preporučiti učenicima da ih primjenjuju za samostalno učenje.

28. 28 Radionice
eTwinning međunarodni projekti
Lidija Kralj, prof. savjetnica
eTwinning ambasadorica
OŠ Veliki Bukovec
lidija.kralj@os-bukovec.hr
Potrebna predznanja: upotreba mrežnog preglednika, upotreba
e-maila uključivši i pristup elektroničkoj pošti tijekom radionice,
poželjno je da sudionici unaprijed odrade prijavu na
www.etwinning.net
Potrebni uvjeti: projektor, računala i bežični pristup internetu za sve
sudionike.
Opis radionice:
Sudionici će upoznati mogućnosti Programa za cjeloživotno učenje,
potprograma Comenius i njegovih aktivnosti. Imat će priliku vidjeti
konkretne primjere mogućnosti eTwinning međunarodnih projekata te
osmišljavanje načina upotrebe u svakodnevnom radu u školi.
Tijekom radionice sudionici će aktivno upotrebljavati eTwinning,
pronalaziti informacije o partnerima i projektima, upotrebljavati
eTwinning kao društvenu mrežu, komunicirati i surađivati u okruže-
njima Radna površina i TwinSpace, rabiti osnovne alate u virtualnom
okruženju za projekte TwinSpace te osmišljavati projekte i planirati
njihovu realizaciju.
Trajanje : 90 minuta.

29. Nastava matematike i izazovi moderne tehnologije 29
Uvod u GeoGebru, izrada didaktičkih
materijala pomoću programa GeoGebra
Petar Piljić, učitelj
OŠ “Matija Gubec”, Cernik
petar.piljic@skole.hr
Niko Grgić, učitelj
OŠ Zrinskih Nuštar, Nuštar
niko.grgic@skole.hr
Ciljevi i zadaci
• Upoznati sudionike s mogućnostima aktualne inačice GeoGebre
(4.0.33.0) i njezine primjene u nastavi matematike te ih motivirati
za :
◦◦ primjenu GeoGebre za pripremanje nastave matematike
◦◦ primjenu GeoGebre u nastavi matematike radi poboljšanja
zornosti
◦◦ približavanje GeoGebre učenicima kako bi u samostalnom
radu mogli ispitivati i dokazivati svoje ideje te provjeravati
dobivena rješenja.
• Izraditi nastavni listić izvozom slika iz GeoGebre u Word.
• Informirati sudionike o forumima povezanim s GeoGebrom i po-
nuditi im poveznice na skladišta gotovih uradaka koje mogu preu-
zeti i primjenjivati u nastavi.
Organizacija i potrebna oprema
• Radionica je predviđena za učitelje i nastavnike matematike u os-
novnim i srednjim školama.
• Vrijeme trajanja: dva školska sata.
• Optimalan broj sudionika do 25.

30. 30 Radionice
• Poželjno je da sudionici imaju svoja prijenosna računala s insta-
liranim programima GeoGebra inačica (4.0.33.0) i Java J(TM) 6 i
produžni kabel s više utičnica.
Uvod
• Upoznavanje sudionika s instaliranjem programa, otvaranjem i
spremanjem dokumenata, algebarskim, grafičkim i tabličnim pri-
kazom, izbornicima, alatnom trakom i načinima unosa.
• Dogovor o načinu rada i primjeni materijala (digitalnih i papirna-
tih).
Središnji dio
Aktivan rad sudionika na pripremljenim materijalima uz asistenciju
voditelja. Sudionici će napraviti nekoliko jednostavnijih zadataka i
pritom naučiti:
• konstruirati pomoću alatne trake
• konstruirati iz polja za unos
• upotrebljavati dinamični tekst
• prenositi sliku iz GeoGebre u Word ili u PowerPoint radi pravlje-
nja didaktičkih materijala
• samostalno napraviti nastavni listić (prijedlog: graf i tok linearne
funkcije za sudionike iz OŠ i graf kvadratne funkcije za sudionike
iz SŠ )
Završni dio
Prezentacija nastavnih listića,diskusija i razmjena iskustava i informi-
ranje sudionika davanjem poveznica:
Forum : www.geogebra.org/forum/
Ubrzani vodič: www.geogebra.org
Dinamična matematika ( riznica matematičkih apleta): apleti.normala.hr

31. Nastava matematike i izazovi moderne tehnologije 31
Konstrukcija geometrijskih tijela u 3D prikazu
programa Geogebra 5.0
Niko Grgić, učitelj
OŠ Zrinskih Nuštar, Nuštar,
niko.grgic@skole.hr
Ciljevi i zadatci
• Upoznati sudionike sa mogućnostima beta inačice GeoGebre 5.0 s
naglaskom na korištenje 3D prikaza i njegovu primjenu kao moć-
noga prezentacijskog alata u nastavi matematike.
• Izradom nekoliko uradaka u programu demonstrirati jednostav-
nost i lakoću konstrukcije geometrijskih tijela u 3D prikazu.
Organizacija i potrebna oprema
▪▪ Radionica je predviđena za učitelje i nastavnike matematike u os-
novnim i srednjim školama koji imaju barem malo iskustva u radu
s GeoGebrom u prijašnjim inačicama.
▪▪ Vrijeme trajanja: dva školska sata.
▪▪ Optimalan broj sudionika do 25.
▪▪ Poželjno je da sudionici imaju svoja prijenosna računala s instalira-
nim programima: GeoGebra, inačica (4.0.33.0) i Java J (TM) 6 i Ge-
oGebra 5.0 Beta Release, produžni kabel s više utičnica, 3D naočale
(nekoliko naočala donijet će organizator). Sudionici će moći por-
tabl inačicu programa GeoGebra 5.0 Beta Release dobiti na početku
radionice.
Uvod
Podjela radnih materijala i dogovor o načinu rada, ukratko o sadržaju
radionice (kratka prezentacija gotovih uradaka u 3D prikazu koje će
sudionici izraditi na radionici). Upoznavanje sudionika s instaliranjem
programa (Webstart i Offline), otvaranjem i spremanjem dokumenata,

32. 32 Radionice
osnovnim naredbama, alatnom trakom u 3D prikazu, kao i radom s pri-
kazima – promjene iz jednoga u drugi, pokazivanje svih istovremeno
ili pojedinačno.
Središnji dio
Aktivan rad sudionika na pripremljenim materijalima uz asistenciju
voditelja. Sudionici će naučiti konstruirati sljedeća geometrijska tijela
u 3D prikazu:
• prizmu i piramidu s promjenjivim visinama, brojem osnovnih bri-
dova i duljinama osnovnih bridova,
• valjak i stožac promjenjivog polumjera baze i visine, sve to po-
moću:
◦◦ alatne trake
◦◦ iz polja za unos
◦◦ kombinacijom navedenih načina
Također će naučiti kako napravljene uratke dopuniti detaljima koji po-
mažu uočavanju i izračunavanju nepoznatih elemenata pojedinog geo-
metrijskog tijela i kako ih izdvojiti iz 3D prikaza.
Završni dio
Diskusija, razmjena iskustava i informiranje sudionika davanjem po-
veznica: forum: www.geogebra.org/forum/ forum za ggb 5.0 http://
www.geogebra.org/forum/viewtopic.php?f=52&t=19846 ili http://
www.geogebra.org/forum/viewforum.php?f=52
Ubrzani vodič: www.geogebra.org
Dinamična matematika (riznica matematičkih apleta): apleti.normala.hr

33. Nastava matematike i izazovi moderne tehnologije 33
LaTex
Josip Kličinović, prof.
Hotelijersko-turistička škola, Zagreb
kjosip@net.amis.hr
Željko Vrabec, prof.
Osnovna škola Mate Lovraka, Županja
zeljko.vrabec@skole.hr
Okvirno trajanje radionice: 90 minuta.
U vrijeme modernih tehnologija sve je više alata kojima možemo obli-
kovati našu nastavu i dokumente na jednostavniji i elegantniji način.
TeX nije novi alat, postoji već 20 godina i popularan je među matema-
tičarima i onima koji u svojim radovima imaju komplicirane matema-
tičke formule i jednadžbe.
Cilj je ove metodičke radionice prikazati prednosti (i nedostatke) pisa-
nja u LaTeX-u pred različitim tekst-procesorima (MS Word, OO Wri-
ter…), osposobiti ljude za pisanje u LaTeX-u i dati im podlogu koju će
poslije sami nadograđivati.
Radionica je podijeljena u nekoliko dijelova:
1. ukratko o povijesti (5’)
2. prednosti i nedostaci TeX-a (5’)
3. što je potrebno za uspješno TeXiranje (10’)
4. definiranje dokumenta i jezika pisanja (10’)
5. osnovna okružja i osnovno oblikovanje teksta (10’)
6. pisanje matematičkog teksta (25’)
7. ubacivanje slika i grafova (5’)
8. završni rad (20’)
Za završni će rad sudionicima radionice biti dan jedan unaprijed ispisan
dokument koji će oni morati samostalno napraviti u LaTeX-u.
Evaluacija radionice će se provoditi za vrijeme pisanja završnog rada
i uz pomoć evaluacijskih listića. Za uspješno provođenje radionice
potrebno je po jedno računalo za svakog sudionika.

34. 34 Radionice
Polupametna ploča
Snježana Starčević, prof. savjetnica
Ekonomska škola Velika Gorica
snjezana.starcevic@zg.t-com.hr
Ciljevi i zadaci radionice: snjezana.starcevic@zg.t-com.hr
Cilj je ove radionice pokazati kako možemo poboljšati kvalitetu odr-
žavanja nastave ako uz bijelu ploču upotrebljavamo i projektor kojim
projiciramo sadržaje na ploču.
Zadatak je da sudionici tijekom radionice sami izrade jednu prezenta-
ciju za polupametnu ploču.
Vrijeme trajanja radionice: 90 minuta.
Kome je radionica namijenjena?
Namijenjena je nastavnicima matematike koji rade u osnovnim i sred-
njim školama.
Broj sudionika u radionici:
Optimalan broj sudionika je oko 20, ali može ih biti i više.
Organizacija i potrebna oprema:
Za sudionike radionice nisu potrebna specijalizirana informatička zna-
nja. Dovoljno je da se znaju koristiti računalom na osnovnoj razini.
Potrebna je učionica s jednim računalom koje je povezano s LCD pro-
jektorom na stropu i bijela ploča s flomasterima. Projektor mora proji-
cirati na bijelu ploču.
Za uspješno provođenje radionice potrebno je po jedno računalo za
svakog sudionika. Na svakom računalu trebaju biti instalirani OS
WINDOWS, MS OFFICE, Java (TM) 7 i GeoGebra 4.

35. Nastava matematike i izazovi moderne tehnologije 35
Opis radionice:
Uvod
Kratko uvodno izlaganje, tj. prezentacija u trajanju od oko 10 minuta, u
kojoj će biti prikazani uvodni, motivacijski primjeri za nastavnu jedini-
cu Trapez uz upotrebu bijele ploče, projektora i flomastera.
Središnji dio
Aktivno sudjelujući na radionici, sudionici radionice će uz pomoć pri-
premljenih radnih materijala (tiskanih i/ili u digitalnom obliku) i vodi-
telja, sami pripremiti jednu prezentaciju za polupametnu ploču i odgo-
varajuće, prateće materijale za učenike.
Završni dio
Prezentacija napravljenih materijala, diskusija i razmjena iskustava.

36. 36 Radionice
Skrivene GeoGebrine mogućnosti
Šime Šuljić, prof. savjetnik
Gimnazija i strukovna škola Jurja Dobrile, Pazin
sime.suljic@normala.hr
Potrebno predznanje
Radionica je namijenjena svima koji su se koristili GeoGebrom, bilo
da su početnici bilo da su napredni korisnici.
Tehnički preduvjeti
Učionica s računalima i projektorom. Radi elegantnijeg rada s pro-
gramom preporučuje se ponijeti svoje prijenosno računalo s mišem.
Poželjno je na računalu imati instaliranu GeoGebru 4.0 ili WebStart
inačicu. Alternativa je pokretanje GeoGebre izravno s interneta ili po-
kretanje portabl verzije koju će imati voditelj.
Opis radionice
GeoGebra je vrlo intuitivan program kojim se lako koristi uporabom
alatne trake i kratkim naredbama koje se upisuju u traku za unos. Ge-
ometrijsku konstrukciju, grafički prikaz, numerički i simbolički izra-
čun ili tablični proračun korisnik može izvesti sukladno svojem ma-
tematičkom znanju i domišljatosti. GeoGebrini programeri u suradnji
s korisnicima izradili su čitav niz elegantnih rješenja s kojima i vrlo
složene konstrukcije možemo izraditi u malom broju koraka. Posebno
se to odnosi na interakciju između algebarskog, grafičkog i tabličnog
prikaza, ali i pridjeljivanjem specifičnih svojstava objektima (uvjetne
naredbe, logički operatori, dinamične boje, jednostavne skripte...). Na
radionici će polaznici upoznati tu „nevidljivu“ stranu GeoGebre pri-
mijenjenu u raznim područjima matematike, a ne samo geometrijskim
konstrukcijama.

37. Nastava matematike i izazovi moderne tehnologije 37
Tisuće se nastavnika matematike diljem svijeta koristi GeoGebrom.
Nekima treba odati priznanje za kreativnost i matematičku maštovi-
tost. Polaznici radionice upoznat će neka vrlo originalna, a pritom jed-
nostavna rješenja.
Trajanje radionice: 90 minuta.

38. 38 Radionice
Matematičke igre u GeoGebri
Damir Belavić, učitelj
OŠ Ludina
dbelavic@gmail.com
Ciljevi i zadaci radionice:
Cilj je ove radionice upoznati učitelje matematike s nekim posebnim
funkcijama računalnog programa GeoGebre s naznakom na izradu
matematičkih igara koje možemo upotrebljavati u nastavi u osnovnoj
školi.
Zadatak je da sudionici tijekom radionice izrade tri ili četiri matema-
tičke igre te se upoznaju s osnovnim naredbama i alatima u GeoGebri.
Potrebno predznanje za radionicu je da učitelji malo poznaju računalni
program GeoGebra.
Broj sudionika je oko 20. Ako ima više zainteresiranih, bolje je napra-
viti dvije radionice.
Vrijeme trajanja radionice: 90 minuta.
Organizacija i potrebna oprema:
Potrebna je učionica s jednim računalom koje je povezano s LCD pro-
jektorom.
Za uspješno provođenje radionice potrebno je po jedno računalo za
svakog sudionika. Na svakom računalu trebaju biti instalirani OS
WINDOWS i Java (TM) 7 i GeoGebra 4.
Opis radionice:
Sudionici će biti kratko upoznati s nekim igrama koje se mogu
upotrebljavati u nastavi te će u nastavku radionice i sami napra-
viti nekoliko igara. Svaki će sudionik radionice dobiti materija-
le (digitalne ili u tiskanom obliku) koji će ga voditi kroz zadatke.
Kroz radionicu će sudionici upoznati osnove naredbi: Ako, Slu-

39. Nastava matematike i izazovi moderne tehnologije 39
čajniBroj, Kut, i sl. te osnovno o kontrolnim okvirima, klizačima,
gumbima, tekstualnom polju, radu s tekstom i drugima alatima.
Igre (u svakoj igri uključena je i povratna informacija o točnosti za-
datka):
• pogodi točku u koordinatnom sustavu (7. razred) – Postavi točku
na zadanu točku slučajno generiranim brojevima,
• odredi suplementarni kut (5. razred) – Upiši suplementarni kut od
zadanog slučajnim brojem i slikom,
• odredi zbroj ili razliku cijelih brojeva (6. razred) – Upiši rješenje
zbroja ili razlike cijelih brojeva generiranih slučajno. *Uz dodatan
prikaz na brojevnom pravcu,
• *Pogodi preslikavanje (8. Razred) – Trokut ABC preslikava se
translacijom, osnom simetrijom, centralnom simetrijom ili rotaci-
jom. Na osnovi slike trokuta A’B’C’ odredi koje je preslikavanje
bilo u pitanju.
*Složenije igre za one koji malo bolje barataju GeoGebrom ili za one
koji brzo uče.

40. 40 Radionice
Uporaba pametne ploče
Damir Belavić, učitelj
OŠ Ludina
dbelavic@gmail.com
Pogledajte kako izgleda matematika u pokretu. Dinamične prezentaci-
je i igre na pametnoj ploči. Demonstracija rada matematičkih sadržaja
na pametnoj ploči.
U 45 minutnoj radionici demonstrirat ćemo:
• pokretanje programa i ploče
• crtanje i pisanje po pametnoj ploči prstom ili flomasterom
• uporabu specijaliziranih alata
• umetanje slika, oblika, grafova i multimedijskih sadržaja
• uporaba GeoGebre