Análisis Numérico Unidad I

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICERREPTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA
Análisis Numérico
Unidad I
José Arteaga
15176866
JUNIO, 2012

2. Desde tiempos pasados el papel del ingeniero ha sido
básicamente el mismo, tratar de conocer e interpretar los
mecanismos de la naturaleza para así poder modificarla al
servicio del hombre. Para ello ha utilizado sus conocimientos,
intuición, experiencia y los medios naturales a los que en cada
momento ha tenido disponibles. Con el gran poder de cómputo
que se tiene en estos días, el ingeniero dispone de grandes
ventajas para poder llevar a cabo su misión y abordar cada día
retos mas ambiciosos en la solución de nuevos problemas, cuyos
aspectos políticos, económicos, científicos o tecnológicos
pueden tener un mayor impacto en la mejora de la calidad de
vida del hombre. Encontramos así aplicaciones de los métodos
numéricos en los ámbitos más diversos desde sectores
tecnológicos tan clásicos como la ingeniería estructural o la
aerodinámica de aviones, hasta aplicaciones más sofisticadas
como ingeniería de alimentos, ingeniería medica, biología, etc.

3. En la actualidad, gracias a la gran evolución que han tenido los métodos
numéricos y su implementación en potentes computadoras, es posible, por
ejemplo, modelar el choque de un vehículo o hacer el análisis aerodinámico
estructural de un avión, resolviendo en cada caso sistemas algebraicos de
ecuaciones con varios cientos de miles (a veces de millones) de incógnitas.
El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del
todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina
ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan
resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades
numéricas, con una precisión determinada.
En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo es un procedimiento que nos
puede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un número
de pasos finitos que pueden ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se
les da el nombre de métodos constructivos a estos algoritmos numéricos. El
análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores.
Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente
complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones
matemáticas simples.

4. Desde esta perspectiva, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje
necesario para llevar a cabo todos los procedimientos matemáticos existentes
en base a algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más
sencillos empleando números.
A pesar del desarrollo que ha tenido el análisis numérico en las ultimas
décadas es importante señalar que a pesar de la precisión y exactitud que
arrojan sus resultados también se encuentran presentes márgenes de error, los
cuales se generan con el uso de aproximaciones para representar las
operaciones y cantidades matemáticas. La relación entre el resultado exacto o
verdadero y el aproximado está dada por:
Valor verdadero = aproximación + error
De lo anterior se concluye que el error numérico resulta de la diferencia entre
el valor verdadero y la aproximación,
Ev = valor verdadero – aproximación
Ev : Valor “exacto” o “verdadero” del error.
No siempre se cuenta con el valor verdadero, por lo que se debe emplear una
estimación “aproximada” del error. Esta definición no toma en cuenta la
magnitud de la medición.

5. Ej.: Un error de 1 cm. es mucho más significativo si se está midiendo una hoja
tamaño carta, que un puente.
Una manera de tener en cuenta la magnitud es normalizar el error respecto a un
valor de referencia, a esta nueva forma de redefinir el error se le llama Error
Relativo:
Hoy en día son prácticamente innumerables la cantidad de aplicaciones
y usos que tiene el análisis numérico dentro del campo de la ingeniería, un gran
número de estructuras en ingeniería civil, que son modelados desde su
concepción utilizando técnicas de elementos finitos.
Los métodos numéricos también pueden ser utilizados para estudiar el
comportamiento de estructuras que son fabricadas en serie. También es posible
hacer la simulación numérica entre dos sólidos, cada uno de ellos con un
comportamiento diferente. Un ejemplo típico es la interacción entre una
cimentación (zapata) y el suelo sobre el que se apoya. El objetivo es determinar
la máxima capacidad de carga que puede soportar el suelo en condiciones de
servicio.

6. En ocasiones es muy importante hacer el análisis de estructuras que fueron
construidas hace muchos años. Estas estructuras pueden tener ya daños
estructurales y es muy importante poder predecir si la estructura es estable o
bien si requiere algún tipo de reparación. También es importante modelar el
tipo de reparación, qué materiales se utilizarán y qué estrategia constructiva se
va a utilizar.
Otro aspecto muy importante en una aplicación de la Mecánica de Fluidos es el
de generar laboratorios virtuales para modelar fenómenos físicos. Por ejemplo
el túnel de viento para modelar el paso de un vehículo a una cierta velocidad y
determinar el coeficiente de penetración en el aire, el cual puede incidir en el
gasto energético del vehículo para poder mantener una velocidad constante.