1. I.E.S.. Pedro Mercedes Curso 2009/2010
Departamento de Física y Química
ECUACIONES DE MOVIMIENTOS EN EL PLANO
Este documento resume las características de tres tipos de movimiento en el plano:
tiro vertical, tiro horizontal y tiro oblicuo.
Para cada uno de ellos se analiza cómo es el movimiento en la dirección vertical y
en la horizontal, se escriben las componentes del vector de posición y las del vector
velocidad. Además se indica cómo se calculan algunos de los parámetros característicos de
cada tiro.
TIRO VERTICAL
Las direcciones del vector velocidad inicial y de la aceleración de la gravedad son
iguales, aunque, si el lanzamiento es vertical ascendente, los sentidos son opuestos.
El sistema de referencia que usamos es aquel en el que al suelo le corresponde el
valor y=0
Como la trayectoria es vertical, sólo
hay que preocuparse de lo que
 sucede en la dirección vertical.
v 0 Debido a que la aceleración de la
Y
gravedad es constante, en la
dirección vertical se producirá un
 movimiento uniformemente variado
g 
con velocidad inicial v 0 y aceleración
altura de 
g.
lanzamiento
El vector de posición de la partícula
h0 en función del tiempo será
 
r (t ) (h0 v0 · t 1 g t2) j
2
y, derivando la expresión anterior con
respecto al tiempo, se obtendrá la
expresión del vector velocidad
 
v (t ) (v0 g t) j

v final
El tiempo de caída se obtiene
haciendo y=0 y, con el valor de
tiempo así calculado, se puede
determinar la velocidad final
Evidentemente, si el lanzamiento se produce con velocidad inicial descendente,
tanto la velocidad inicial como la aceleración de la gravedad tienen el mismo sentido, por
lo que las ecuaciones anteriores deben recoger esa circunstancia y se convertirían en
   
r (t ) (h0 v0 · t 1 g t2) j y v (t ) ( v0 g t) j
2
Ecuaciones de movimientos en el plano 1
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TIRO HORIZONTAL

v0

g
altura de
lanzamiento
h0

v final
alcance, x max
El vector velocidad inicial tiene dirección horizontal, por tanto, no tiene componente
vertical. Además, no actúa ninguna aceleración en la dirección horizontal. Por otra parte, la
aceleración de la gravedad tiene dirección vertical descendente.
De acuerdo con lo anterior, en la dirección horizontal hay movimiento uniforme y en
la dirección vertical movimiento uniformemente variado sin velocidad inicial
Entonces las componentes del vector de posición serán
componente horizontal x v0 · t
componente vertical yh0 1 g t 2
2
  
y el vector de posición es r (t ) v0 · t i (h0 1 g · t 2 ) j
2
Como en el tipo anterior, derivando el vector de posición con respecto al tiempo se obtiene
  
el vector velocidad v v0 i g · t j
Para determinar el alcance, xmax, basta con considerar que, en esa situación, el valor de la
componente y del vector de posición vale 0
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TIRO OBLICUO
Y

g
 altura máxima
v0
 h max
v0 y
 X
v0 x
alcance, x max 
v final
En dirección horizontal no actúa ninguna aceleración, por lo que la componente horizontal
de la velocidad permanece constante. En dirección vertical actúa la aceleración de la
gravedad con sentido descendente.
Por ello en dirección horizontal las ecuaciones serán las de un movimiento uniforme,
mientras que en dirección vertical serán las de un movimiento uniformemente variado.
Las componentes de la velocidad inicial son
   
v0 x v0 · cos i y v0 y v0 · sen j
Las componentes del vector de posición son
componente horizontal x v0 · t · cos
componente vertical y v0 · t · sen 1 g ·t 2
2
  
y el vector de posición r v0 · t · cos i (v0 · t · sen 1 g ·t 2 ) j
2
La derivada del vector de posición con respecto al tiempo proporciona el vector velocidad
  
v v0 cos i (vo sen gt) j
Para determinar el alcance basta igualar a cero la componente vertical del vector de
posición y=0, y con el valor de tiempo obtenido calcular el valor de la componente
horizontal de ese vector de posición.
El valor de la altura máxima se obtiene considerando que, en ese punto de la trayectoria,
la componente vertical de la velocidad es cero, vo sen gt 0 ; el valor de tiempo así
calculado sirve para obtener el valor de la componente vertical del vector de posición en
ese punto sustituyendo en y v0 · t · sen 1 g ·t 2
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