Combinatória e probabilidade

Prof. Cooperativa Centro de Estudos “Paulo Freire” Matemática
Sérgio Henrique Caderno 01 – Análise Combinatória Data __ / __ / __

Introdução

Esse esquema é conhecido como diagrama
da árvore. Fazendo a leitura ao longo de todas
Quando Magali se aproximou, os vendedores as “ramificações” da árvore, obtemos as
rapidamente informaram a ela as seguintes possíveis refeições.
opções de comida: o primeiro ofereceu hot dog Notemos que fazer uma refeição completa
simples (maionese, salsicha, catchup e mostarda) representa uma ação constituída de duas
ou completo (simples mais purê, batata palha, etapas sucessivas. A primeira é a escolha do
vinagrete, etc.), e o segundo sugeriu sorvete de tipo de hot dog: há duas possibilidades de fazer
chocolate, flocos ou morango. tal escolha. A segunda é a escolha do sabor do
Magali, entretanto, surpreendeu os vendedores, sorvete: para cada uma das possibilidades
informando-lhes que acabara de almoçar e estava anteriores, há três maneiras de escolher o
sem fome. Iria apenas “forrar o estômago”, sabor da bola de sorvete.
servindo-se de um sanduíche e de uma bola de Assim, a realização da ação (duas etapas
sorvete. sucessivas) pode ser feita de
De quantos modos distintos Magali pôde fazer sua maneiras distintas.
“refeição”? Para resolver problemas de contagem
elementares (como o do exemplo dado) ou
De acordo com o problema, podemos ter bem mais complexos, passaremos a estudar,
as seguintes refeições:
com detalhes, a Análise Combinatória.
• Hot dog simples e sorvete de chocolate;
• Hot dog simples e sorvete de flocos; Princípio Fundamental da Contagem
• Hot dog simples e sorvete de morango; Suponhamos que uma ação seja
• Hot dog completo e sorvete de chocolate;constituída de duas etapas sucessivas. A 1ª
etapa pode ser realizada de maneiras
• Hot dog completo e sorvete de flocos; distintas. Para cada uma dessas
• Hot dog completo e sorvete de morango; possibilidades, a 2ª etapa pode ser realizada
A determinação de tais possibilidades de maneiras distintas. Então, o número de
pode ser simplificada por meio de um possibilidades de se efetuar a ação completa
diagrama, em que a 1ª coluna, representa as é dado por .
possibilidades de escolha de hot dog e, na 2ª Esse princípio pode ser generalizado para
coluna, as possibilidades de escolha do sabor ações constituídas de mais de duas etapas
da bola de sorvete. sucessivas.

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Exercícios A medida que aumenta, o cálculo de
torna-se mais trabalhoso. Notemos, então, as
1) Há quatro estradas ligando as cidades A e B, e três seguintes simplificações:
estradas ligando as cidades B e C. De quantas
maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando por
B?
2) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números
de três algarismos distintos podemos formar? Esses exemplos sugerem a seguinte
relação de recorrência:
3) Uma prova consta de 10 questões do tipo V ou F. De
quantas maneiras distintas ela pode ser resolvida?
4) Quantos números de três algarismos podemos formar
com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? Exercícios
5) Quantos números ímpares de três algarismos distintos 6) Calcule:
podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, e a) d)
7? b) e)
c) f)
Fatorial de um número natural 7) Efetue:
Dado um número natural , definimos o a) d)
fatorial de (indicado por ) através das
relações: b) e)
I.
c) f)
8) Simplifique:
II. Se .
III. Se .
a) d)
Notemos que, em I, o fatorial de
b) e)
representa o produto dos primeiros
naturais positivos, escritos desde até 1.
c)
EXEMPLOS
Assim, temos: 9) Resolva a equação
a) 10) (UA – AM) Simplifique a expressão:
b)

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Arranjos Simples 14) A senha de um cartão eletrônico é formada por duas
letras distintas acompanhadas por uma sequência de
Dado um conjunto com elementos três algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser
distintos, chama-se arranjo dos elementos, “confeccionadas”?
tomados a , a qualquer sequência ordenada de
15) Uma cinemateca dispõe de seis filmes e oferece uma
elementos distintos escolhidos entre os
sessão dupla, na qual serão exibidos dois desses
existentes.
filmes: o primeiro às 16 horas, e o segundo, diferente
EXEMPLO: do primeiro, às 18 horas. De quantas maneiras
Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4}, vamos escrever todos distintas a sequência de filmes pode ser escolhida?
os arranjos desses quatro elementos tomados dois a dois.
Combinações Simples
Devemos escrever todas as sequências ordenadas de
dois elementos distintos escolhidos entre os elementos de Dado um conjunto com elementos
A. Assim, temos: distintos, chama-se combinação dos elementos
de , tomados a , a qualquer subconjunto de
(1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 1) (2, 3) (2, 4) formado por elementos.
(3, 1) (3, 2) (3, 4) (4, 1) (4, 2) (4, 3) EXEMPLO:
Notemos que (2, 3) ≠(3, 2), isto é, a troca na ordem dos Vamos escrever todas as combinações dos cinco
elementos de um possível agrupamento gera um elementos do conjunto M = {a, e, i, o, u}, tomados dois a
agrupamento diferente. dois:
Para um conjunto com elementos
Devemos determinar todos os subconjuntos de M
distintos, temos uma fórmula recursiva para
formados por dois elementos. Lembremos que não importa
calcular o número de arranjos desses
elementos tomados a . a ordem dos elementos escolhidos: {a, e} = {e, a}, por
exemplo.
Assim, as combinações pedidas são:
{a, e} {a, i} {a, o} {a, u} {e, i}
Exercícios {e, o} {e, u} {i, o} {i, u} {o, u}
11) Calcule o valor de . Para um conjunto com elementos
distintos, temos uma fórmula recursiva para
12) Resolva a equação . calcular o número de combinações desses
13) O quadrangular final de um torneio mundial de elementos tomados a .
basquete é disputado por quatro seleções: Brasil, Cuba,
Rússia e EUA. De quantas maneiras distintas podemos
ter os três primeiros colocados?
Exercícios
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16) Calcule o valor de .
17) Resolva a equação . EXEMPLO:
18) Uma pizzaria oferece 15 diferentes sabores de pizza a Vamos escrever todos os anagramas da palavra SOL.
seus clientes. Um anagrama da palavra SOL é qualquer permutação
a) De quantas maneiras uma família pode escolher das letras S, O, L de modo que se forme uma palavra com
três desses sabores? ou sem sentido.
b) Suponhamos, agora, que uma família sempre opta Temos:
por mussarela. Como poderão ser escolhidos os SOL, SLO, OSL, OLS, LOS, LSO,
outros dois sabores?
19) Uma classe tem 15 alunos, sendo 9 meninos e 6
meninas. Exercícios
a) Quantas comissões de dois meninos e duas 21) Calcule:
meninas podem ser formadas?
a) b) c)
b) Quantas comissões de quatro alunos têm pelo
menos um menino? 22) Determine , sabendo que .
20) Marcam-se cinco pontos sobre uma reta . Sobre outra 23) Resolva a equação .
reta , paralela a , marcam-se mais quatro pontos.
Quantos triângulos podem ser formados com vértices 24) Qual é o número de anagramas da palavra SOMA? E de
em três quaisquer desses pontos? LIVRO?
25) Considere os anagramas da palavra BRASIL.
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
Devemos ter em mente sempre que: quando a a) Quantos são?
ordem dos elementos é importante, o problema b) Quantos começam por B?
deve ser resolvido por Arranjo, se a ordem dos
c) Quantos começam por vogal?
elementos não é importante, o problema deve ser
resolvido por Combinação!!! 26) Determine quantos anagramas da palavra BRASIL
apresentam as letras BR juntas e:
Permutações Simples a) Nessa ordem;
Dado um conjunto com elementos b) Em qualquer ordem.
distintos, chama-se permutação dos elementos a 27) Considere os anagramas formados com as letras C,
toda ordenação desses elementos. A, S, T, E, L, O:
O número total de permutações de a) Quantos são?
elementos, indicado por , é dado por:
b) Quantos começam por C?
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c) Quantos começam por CAS? representa outra letra), são iguais a , …,
o número de permutações possíveis é dado
d) Quantos começam e terminam por vogal?
por:
e) Quantos começam por vogal e terminam por
consoante?
28) De quantas maneiras cinco pessoas, A, B, C, D e E,
podem ser dispostas em fila indiana? Exercícios
29) Oito pessoas, entre elas Antônio e Pedro, vão posar
31) Calcule o número de anagramas de:
para uma fotografia. De quantas maneiras elas podem
ser dispostas se Antônio e Pedro recusam-se a ficar a) APOSENTADO c) RODOVIÁRIA
lado a lado? b) SOSSEGADO
30) Uma estante tem 10 livros distintos, sendo cinco de 32) Um dado é lançado 4 vezes. De quantos modos
Álgebra, três de Geometria e dois de Trigonometria. De distintos pode ser obtida uma sequência com três faces
quantos modos podemos arrumar esses livros na iguais a 1 e uma face igual a 6?
estante, se desejamos que os livros de um mesmo
33) Permutando os algarismos 3, 2, 3, 4, 4 e 5, quantos
assunto permaneçam juntos?
números de 6 algarismos podemos formar?
34) Uma moeda é lançada 5 vezes. De quantos modos
Permutação com elementos repetidos distintos podem ser obtidas 2 caras e 3 coroas?
Já vimos que o número de permutações de
35) Considere os anagramas formados a partir de
4 elementos distintos, por exemplo, é dado
por . Assim, o número de
CORREDOR.
anagramas que podem ser formados a partir a) Quantos são?
de GATO, CAFÉ, ILHA etc. é igual a 24.
b) Quantos começam por R?
Consideremos agora a palavra CASA. Ao
c) Quantos começam por COR?
montarmos seus anagramas (faça isso),
percebemos que são apenas 12. Tal d) Quantos começam e terminam por R?
diminuição deve-se ao fato de que a letra A
aparece repetida. De fato, dado um anagrama
qualquer de CASA, ao mantermos fixas as Permutações Circulares
posições de C e de S e permutarmos as duas No caso da permutação com repetição
letras A, obteremos a mesma sequência: existe um caso especial, a permutação
circular. Observe o exemplo a seguir.
Vamos determinar de quantas maneiras 5
De modo geral, se temos elementos, dos meninas que brincam de roda podem formá-
quais são iguais a ( representa, por la.
exemplo, uma letra), são iguais a (

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Fazendo um esquema, observando que são dispõe de seis camisetas, quatro bermudas e três
posições iguais: pares de tênis, responda: de quantas maneiras
distintas poderá vestir-se?
2) Uma agência de turismo oferece bilhetes aéreos
para o trecho São Paulo – Miami através de duas
O total de posições é e cada 5 companhias: Varig ou TAM. O passageiro pode
representa uma só permutação circular. escolher também entre a primeira classe, classe
Assim, o total de permutações circulares será
dado por:
executiva e classe econômica. De quantas maneiras
um passageiro pode fazer tal escolha?
3) Um jantar constará de três partes: entrada, prato
Generalizando, para determinar uma principal e sobremesa. De quantas maneiras
permutação circular, utilizamos a fórmula: distintas ele poderá ser composto, se há como
opções oito entradas, cinco pratos principais e
quatro sobremesas?
Exercícios 4) O vagão de um trem possui seis portas. De quantas
maneiras distintas um passageiro pode entrar no
36) De quantas maneiras 7 meninas podem formar a roda?
trem e sair dele por uma porta diferente da que
37) Seja um conjunto com 4 pessoas. De quantos modos usou para entrar?
distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma
mesa circular (pode ser retangular) para realizar o 5) Uma prova consta de dez testes de múltipla
jantar sem que haja repetição das posições? escolha. De quantas maneiras distintas a prova
pode ser resolvida, se cada teste tem cinco
38) Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe
alternativas distintas?
e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai
ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições 6) Com os algarismos 1, 2, 4, 6, 8 e 9:
diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da a) Quantos números de quatro algarismos
mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos? podemos formar?
39) Dois meninos e três meninas formarão uma roda
b) Quantos números de quatro algarismos
dando-se as mãos. De quantos modos diferentes
distintos podemos formar?
poderão formar a roda de modo que os dois meninos
não fiquem juntos? 7) Quantos números de três algarismos distintos
existem?
Exercícios Complementares 8) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos
1) Para ir ao clube, Júnior deseja usar uma camiseta, números ímpares de quatro algarismos podemos
uma bermuda e um par de tênis. Sabendo que ele formar?
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9) Deseja-se formar números divisíveis por 5, adversário). Quantas partidas são disputadas ao
compostos de quatro algarismos distintos. Quantas todo, se os dois melhores classificados da 1ª fase
são as possibilidades dispondo-se dos algarismos 0, fazem a final no mesmo sistema?
1, 2, 3, 4, 5 e 6? 18) Uma emissora de TV dispõe, ao todo, de 20
10) Um ladrão sabe que o segredo de um cofre é programas distintos.
formado por uma sequência de três algarismos a) Quantas são as possíveis sequências de seis
distintos. Além disso, ele sabe que o algarismo das programas distintos a serem exibidos em um
centenas é igual a 4. Se, em média, o ladrão leva 3 dia?
minutos para testar uma possível sequência, qual o
b) Suponha que, entre 20 programas, haja apenas
tempo máximo para o ladrão abrir o cofre?
um musical. De quantas maneiras a
11) Resolva a equação . programação acima pode ser escolhida de
modo que sempre se encerre com o programa
12) Simplifique . musical?
13) Resolva a equação 19) Para animar uma festa, uma orquestra dispõe de
cinco tipos de música: valsa, samba, dance music,
MPB e rock. De quantas maneiras o anfitrião
poderá escolher os ritmos de abertura e
14) Resolva as seguintes equações:
fechamento da festa, se ele já decidiu manter
a) samba no restante da festa e não pretende repetir
b) nenhum ritmo?
15) Resolva as seguintes equações: 20) Dez enxadristas participam de um campeonato em
que todos jogam contra todos. Se um deles vence
a)
todas as partidas, quantas são as classificações
possíveis para os três primeiros colocados?
b)
21) Uma prova de atletismo reúne 15 atletas. Quantos
16) Para a eleição do corpo dirigente de uma empresa são os resultados possíveis para que sejam
candidatam-se oito pessoas. De quantas maneiras distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze?
poderão ser escolhidos presidente e vice- Em quantos resultados o atleta X recebe medalha,
presidente? mas o atleta Y não?
17) A 1ª fase de um torneio de futebol é disputada por 22) (FGV – SP) Suponha que uma senha utilizada
15 equipes no sistema de turno e returno (a equipe numa rede de computadores seja constituída de 5
A, por exemplo, joga com a equipe B duas vezes: letras, escolhida entre 26 do alfabeto latino, sendo
uma em seu campo e a outra no campo permitida a repetição de letras.
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a) Quantas senhas diferentes podem ser c) Em quantas respostas não aparece o nome de
construídas? Guga?
b) Quantas senhas podem ser construídas com 26) Um torneio de futebol será disputado em duas
uma letra comparecendo pelo menos duas sedes a serem escolhidas entre seis cidades. De
vezes? quantas maneiras poderá ser feita a escolha das
23) Numa dinâmica de grupo, uma psicóloga de RH duas cidades?
(Recursos Humanos) relaciona de todas as 27) Quinze alunos participam de um sorteio promovido
formas possíveis dois participantes: ao pelo professor de Matemática. Se ele dispõe de três
primeiro faz a pergunta e ao segundo pede que prêmios idênticos, de quantas formas poderão ser
comente a resposta do colega. Admita que a escolhidos os alunos?
psicóloga não repetirá a mesma pergunta mais 28) Uma classe tem 30 alunos. Um professor organiza
de uma vez. uma prova oral para a qual 5 alunos serão
a) Se 10 candidatos participam da dinâmica, qual sorteados ao acaso. De quantas formas o professor
é o número de perguntas feitas pela psicóloga? poderá escolher os alunos?
b) Qual é o número mínimo de candidatos que 29) (UF – BA) Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba,
obriga a psicóloga a ter mais de 250 questões laranja, maçã, mamão e melão, calcule de quantos
para realizar a dinâmica? sabores diferentes pode-se preparar um suco,
24) Um curso de inglês é dividido em quatro partes: usando-se três frutas distintas.
vocabulário, gramática, conversação e 30) De um baralho de 52 cartas, sorteamos
interpretação de textos. Todos os dias, essas partes simultaneamente cinco cartas.
são estudadas, mas nunca na mesma ordem. Em a) Quantas são as possibilidades de sorteio das
quantos dias se esgotará a sequência possível de cartas?
aulas para o curso?
b) De quantas formas essas cartas podem ser
25) Uma pesquisa deseja saber a ordem de sorteadas de modo que o ás de copas seja
preferência dos três maiores ídolos do esporte sempre incluído?
no Brasil.
31) (FGV - SP) O administrador de um fundo de ações
a) Quantas respostas diferentes são possíveis, se a dispõe de ações de 10 empresas para a compra,
cada entrevistado é apresentada uma lista com entre elas as da empresa R e as da empresa S.
o nome de 20 esportistas?
a) De quantas maneiras ele poderá escolher 7
b) Quantas dessas respostas têm o nome de Guga empresas, entre as 10?
como 1º colocado?
b) Se entre as 7 empresas escolhidas devem
figurar obrigatoriamente as empresas R e S, de
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quantas formas ele poderá escolher as 37) Um professor dispõe de 8 questões de Álgebra e
empresas? duas de Geometria para elaborar uma prova de 10
32) Em uma reunião havia pessoas; cada uma questões. De quantas maneiras ele poderá escolher
saudou as outras com um aperto de mão. Sabendo a ordem delas, sabendo que as de Geometria não
que houve ao todo 66 apertos de mão, responda: podem aparecer uma em seguida da outra?
qual é o valor de ? 38) (UF – AL) Aline e Cláudia fazem parte de um grupo
33) Uma junta médica deverá ser formada por quatro de 6 pessoas que devem ocupar 6 cadeiras
médicos e dois enfermeiros. De quantas maneiras enfileiradas. Se as duas não podem ocupar
ela poderá ser formada se estão disponíveis dez simultaneamente as cadeiras das extremidades, de
médicos e seis enfermeiros? quantos modos podem ser acomodadas essas 6
pessoas?
34) Uma classe tem 10 meninos e 12 meninas. De
quantas maneiras poderá ser escolhida uma 39) Uma classe de 10 alunos, entre eles Júlia e
comissão de três meninos e quatro meninas, Alberto, será submetida a uma prova oral em
incluindo, obrigatoriamente, o melhor aluno e a que todos os alunos serão avaliados. De
melhor aluna? quantas maneiras o professor pode escolher a
sequência dos alunos:
35) Uma locadora de automóveis tem à disposição
a) Se Júlia deve ser sempre a primeira a ser
de seus clientes uma frota de dezesseis carros
nacionais e quatro carros importados. De chamada e Alberto sempre o último a ser
quantas formas uma empresa poderá alugar chamado?
três carros de modo que: b) Se Júlia deve ser, no máximo, a 2ª pessoa a ser

a) Todos sejam nacionais?
chamada?
b) Pelo menos um carro nacional seja escolhido? 40) Um comício reúne oito políticos de um partido,
entre eles o presidente e seu vice. Supondo que
36) (FGV – SP) Um processo industrial deve passar todos os políticos presentes irão discursar, de
pelas etapas A, B, C, D e E. quantas maneiras pode ser estabelecida a
a) Quantas sequências de etapas podem ser sequência de discurso:
delineadas se A e B devem ficar juntas no início a) Se o comício for aberto pelo presidente do
do processo e A deve anteceder B? partido?
b) Quantas sequências de etapas podem ser b) Se o presidente e vice devem,em qualquer
delineadas se A e B devem ficar juntas, em ordem, iniciar e encerrar o comício?
qualquer ordem, e não necessariamente no
início do processo? c) Se presidente e vice, nessa ordem, devem
discursar consecutivamente?

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41) Considere os anagramas da palavra CHAVE. Em 47) (Unifap – AP) A cidade de Macapá é banhada
quantos desses anagramas as vogais não aparecem pelo rio Amazonas e cortada pela linha do
lado a lado? Equador. Responda:
42) Uma empresa distribui a seus funcionários um a) Quantos são os anagramas da palavra
questionário constituído de duas partes. Na 1ª, o MACAPÁ?
funcionário deve colocar a ordem de preferência de b) Quantos anagramas da palavra AMAZONAS
turno de trabalho: diurno, vespertino e noturno. Na começam por consoante?
2ª, o funcionário deve escolher, em ordem de
c) Em quantos anagramas da palavra EQUADOR as
preferência, dois dos sete dias da semana para
folgar. De quantas maneiras um funcionário letras Q, U, A mantém-se juntas?
poderá preencher esse questionário? 48) Calcule o número de anagramas obtidos a partir
43) (UF – MG) Considere formados e dispostos em de ARARA. Conclua que quando uma palavra de
ordem crescente todos os números que se obtém letras é formada exclusivamente por 2 letras que se
permutando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9 e . Nessa repetem vezes e vezes , as
disposição, que lugar ocupa o número 75391? fórmulas de permutação e combinação se
equivalem.
44) Suponha que Fábio tenha uma foto de cada uma de
suas 3 ex-mulheres, uma foto de seu irmão, uma 49) Uma equipe de futebol disputou 8 jogos em um
foto de um amigo, uma foto de um ídolo do rock e torneio: venceu 4, perdeu 2 e empatou 2.
uma foto do jogador de futebol favorito. De quantos a) De quantos modos distintos pode ter ocorrido a
modos distintos ele poderá dispor tais fotos em 5 sequência de resultados?
porta-retratos (3 sobre o aparador e 2 na parede), b) Supondo que a equipe estreou no torneio com
se deseja que as fotos das ex-mulheres apareçam vitória e o encerrou também com vitória, de
juntas sobre o aparador)? quantos modos distintos pode ter ocorrido a
45) Considere os números obtidos do número 12345, sequência dos outros resultados?
efetuando-se todas as permutações de seus 50) Uma urna contém 8 bolas: 5 azuis e 3 cinzas. De
algarismos. Colocando esses números em ordem quantas maneiras é possível retirar, uma a uma,
crescente, qual o lugar ocupado pelo número as 8 bolas dessa urna?
43521?
46) Uma prova contém 10 testes que devem ser Questões de vestibulares
respondidos com V ou F. De quantos modos
distintos ela pode ser resolvida assinalando-se 3 1) (UFPA – PSS 06) Por ocasião dos festejos da
testes com V e 7 com F? Semana da Pátria, uma escola decidiu exibir seus
melhores atletas e as respectivas medalhas. Desses
atletas, em número de oito e designados por a1,
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a2, a3, ..., a8, serão escolhidos cinco para, no 4) (UFPA – PSE 09/2) O número de palavras distintas
momento do desfile, fazerem honra à Bandeira que podemos formar permutando as letras da
Nacional. Do total de grupos que podem ser palavra JURUTI é igual a
formados, em quantos o atleta a2 estará presente? a) 120 d) 720
a) 18 d) 41 b) 240 e) 5040
b) 21 e) 55 c) 360
c) 35 5) (UEPA – PROSEL 06) O presidente de uma Comissão
2) (UFPA – PSS 07) No cartão da mega-sena existe a Parlamentar Mista de Inquérito (CPMI) escolheu 5
opção de aposta em que o apostador marca oito senadores e 6 deputados federais para a formação
números inteiros de 1 a 60. Suponha que o de subcomissões com 5 parlamentares, sendo 2
apostador conheça um pouco de Análise senadores e 3 deputados federais. Assim, o número
Combinatória e que ele percebeu que é mais de subcomissões que podem ser formadas com os
vantajoso marcar um determinado número de parlamentares escolhidos é:
cartões, usando apenas os oito números, de modo a) 30 d) 200
que, se os seis números sorteados estiverem entre
os oito números escolhidos, ele ganha, além da b) 90 e) 240
sena, algumas quinas e algumas quadras. Supondo c) 150
que cada aposta seja feita usando apenas seis 6) (UEPA – PROSEL 07) Obedecendo ao código de
números, a quantidade de cartões que o apostador cores disposto no QUADRO III, o sindico de um
deve apostar é edifício de apartamentos resolveu recolher
a) 8 d) 19 seletivamente os resíduos sólidos do prédio,
b) 25 e) 17 instalando na área de serviços quatro recipientes,
um de cada cor, numerados de 1 a 4 e colocados
c) 28 lado a lado. O número de maneiras diferentes que o
3) (UFPA – PSS 08) O número de possibilidades de síndico dispõe para arrumar esses quatro
colocar seis pessoas em círculo igualmente recipientes, de modo que o AZUL seja sempre o
espaçadas, de modo que duas delas não possam número 1, é:
ficar em posições opostas, é:
a) 96 d) 72
b) 120 e) 60
c) 24

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a) 120 d) 60
b) 108 e) 56
c) 84
a) 6 d) 18
9) (UEPA – PROSEL 09) A graviola é uma fruta que
b) 8 e) 24
possui diversos nutrientes , como as Vitaminas C,
c) 12 B1 e B2 e os Sais Minerais: Cálcio, Fósforo, Ferro,
7) (UEPA – PROSEL 07) Para a coleta de resíduos do Potássio e Sódio. Uma indústria química deseja
prédio, o sindico pretende utilizar os 6 recipientes fabricar um produto a partir da combinação de 4
que encontram-se enfileirados na área de serviço. daqueles nutrientes, entre vitaminas ou sais
Para tanto, deseja pintá-los, cada um de uma só minerais, encontrados na graviola. A quantidade
cor, utilizando as quatro cores do código de cores de produtos que poderá ser fabricada, se forem
do QUADRO III, da questão acima. O número de utilizados no máximo 2 tipos de vitaminas, será de:
maneiras que poderá fazer essa pintura é: a) 26 d) 60
b) 30 e) 65
c) 32
a) 4096 d) 720 10) (UEPA – PROSEL 09)
b) 1296 e) 360
c) 972
8) (UEPA – PROSEL 08) Visando obter mais
informações sobre a denúncia de que uma tribo da
região Amazônica estava sendo dizimada, um
repórter recorreu a seu computador para acessar a
Internet, entretanto não lembrou a senha de Considere que os programas acima (Texto 8) sejam
acesso, que era composta por três algarismos. exibidos em três turnos: o primeiro pela manhã, o
Lembrava apenas que a senha era composta por segundo pela tarde, e o terceiro pela noite. Então, o
três dos cinco algarismos: 1, 3, 5, 6 e 9. Para número de maneiras distintas que a seqüência de
encontrar a senha, o repórter escreveu num papel programas pode ser exibida é:
todos os possíveis agrupamentos com esses a) 10 d) 80
algarismos. O número de agrupamentos escritos
por esse repórter, na tentativa de encontrar a b) 30 e) 120
senha de acesso à Internet, é: c) 60

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11) (UEPA – PROSEL 10) Uma loja de um shopping
Center na cidade de Manaus divulga inscrições
para um torneio de Games. Para realizar essas
inscrições, a loja gerou um código de inscrição com
uma sequência de quatro dígitos distintos, sendo o
primeiro elemento da sequência diferente de zero.
A quantidade de códigos de inscrição que podem
ser gerados utilizando os elementos do conjunto {0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} é:
a) 4.500 d) 4693
b) 4.536 e) 5000
c) 4684

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