1. Dokumen tersebut membahas konsep dasar matematika, terutama mengenai sifat-sifat urutan pada bilangan bulat. 2. Dijelaskan definisi dan contoh kurang dari pada bilangan bulat, serta teorema-teorema yang berkaitan dengan sifat penjumlahan, perkalian, dan urutan bilangan bulat. 3. Pembuktian dilakukan secara formal untuk setiap teorema yang diajukan.

1. Konsep Dasar Matematika
Dosen Pembimbing Dr. Riyadi, M.Si
Untuk memenuhi tugas Mata Kuliah
Matematika
Oleh:
Rahmasari Dwimarta
K7110132
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
2010

2. 1. KONSE T N B L NGAN B LAT
Kit t l p l j i fi i i l i "l i cil i" p il - il c c
t l ti if t- if t B i t i i it p l j i l i t
il - il l t
Bil l t l il t ii i:
Bil l t p itif ( il li)
Bil l
c Bil l t tif (l il li)
Bil l t tif i l il l t t l t i l ii ( l)
Bil l t tif: - - - -4 -5 «
Bil l t p itif i l il l t t l t i l
( l) Bil l t p itif: 4 5 «
c A ( l) t il l t Bil ( l) ti p itif ti
tif Bil ( l) l il t l
i il l t il i i i ii
i cil
Bil l t lip ti:
Bil l t p: « -6 -4 - 4 6 «
Bil l t jil: « - -5 - - 5 «
fi i i
Ji il - il l t l i cil i ( i t < ) il
il il l t p itif c i i i +c=

3. Defi i i
Ji il - il l t lebi besar dari b (di atakan dengan a > b) bila dan
hanya bila b < a.
dengan demikian berarti 1>-1, 1>- , 1>- , demikian p la 2>-1, 2>-2, 2>- dan seterusnya.
Jadi urutan dalam bilangan bulat adalah«««««««.<- <-2<-
1< <1<2< <«««««««.
Contoh :
- 5 < -2 karena ada bilangan bulat positif 3 sehingga (-5) + 3 = (-2)
-3 < 7 karena ada bilangan bulat positif 10 sehingga (-3) + 10 = 7.
2. SIFAT URUTAN PADA BILANGAN BULAT
SIFAT ± SIFAT BILANGAN B LAT
a. Sifat Trikotomi Bilangan Bulat
Jika p dan q bilangan bulat, maka berlaku tepat satu dari tiga kemungkinan berikut :
1. p<q
2. p=q
3. p>q
Jadi tidak mungkin ada lebih dari satu kemungkinan di atas dapat berlaku bersama-sama.
b. Teorema
Untuk a, b, c bilangan ± bilangan bulat, berlaku
1. Jika a = b, maka a + c = b + c
2. Jika a < b, maka a + c < b + c
Bukti :
Untuk (1)
Diketahui a = b
Misal a + c = k
k=a+c
a=
k=b+c b+c = a+c
k=a+c a+c = b+c
Untuk (2)
Menurut definisi a < b jika dan hanya jika ada bilangan bulat positif d sehingga a + d = b

4. Diketahui a dan b bilangan ± bilangan bulat dengan a < b. menurut hipotesis yang diketahui
a < b, oleh karena itu, berdasar definisi kurang dari terdapat bilanganbulat positif d
sehinnga berlaku a + d = b
Kedua ruas ditambahkan saja dua bilangan yang sama, yaitu c.
( a+ d ) + c = b + c
a+(d+c)=b+c sifat asosiatif
a+(c+d)=b+c sifat komutatif
(a+c)+d=b+c sifat asosiatif
Dengan d suatu bilangan bulat positif, oleh karena itu menurut definisi kurang dari diperoleh
a + c < b + c untuk setiap bilangan bulat a dan b.
Jadi, jika a < b maka a + c < b + c
Teorema
(Sifat kanselasi penjumlahan)
Untuk a,b,dan c bilangan- bilang bulat.
1. Jika a+c=b+c, maka a=b
2. Jika a+c<b+c, maka a<b
Bukti :
Untuk (1)
Diketahui a + c = b + c
a + c + ( -c ) = b + c + ( -c ) kedua ruas ditambahkan bilangan yang sama yaitu ±c
a + { c + ( -c ) } = b + { c + ( -c ) } sifat asosiatif
a+0=b+0 sifat invers
a=b sirat identitas
Untuk (2)
Diketahui a + c < b + c
Menurut definisi a < b jika dan hanya jika ada bilangan bulat positif d sehingga a + d = b
Diketahui a,b dan c bilangan ± bilangan bulat dengan a + c < b + c. menurut hipotesis yang
diketahui a + c < b + c, oleh karena itu, berdasar definisi kurang dari terdapat bilanganbulat
positif d sehinnga berlaku a + c + d = b + c
a+ c + d = b + c
a + c + d + ( -c ) = b + c + ( -c ) kedua ruas ditambahkan bilangan yang sama
yaitu ( -c )
a + c + ( -c ) + d = b + c + (-c ) sifat komutatif
a + { c + ( ±c )} + d = b + { c + ( ±c )} sifat asosiatif
a+0+d=b+0 sifat invers
a+d=b sifat identitas

5. Dengan d suatu bilangan bulat positif, oleh karena itu menurut definisi kurang dari diperoleh
a < b untuk setiap bilangan bulat a dan b.
Jadi, jika a + c < b + c maka a < b
Teorema
Untuk a , b ,dan c bilangan-bilangan bulat
1. Jika a = b, maka ac = bc
2. Jika a < b dan c > 0, maka ac < bc
3. jIka a < b dan c < 0, maka ac > bc
Untuk (1)
Diketahui a = b
Misal k = ac
k = ac
a=b
k = bc bc = ac
k = ac ac= bc
Untuk (2)
Menurut hipotesis a < b dan c > 0 oleh karena a < b menurut definisi kurang dari
terdapat bilangan bulat positif d sehinnga berlaku a + d = b. kedua ruas akan
bernilai sama jika masing ± masing ruas dikalikan bilangan bulat positif c sehinnga
c(a+d) = c.b
ca + cd = cb
dengan c dan d bilangan- bilangan bulat positif, maka c dikalikan dengan d sama
dengan bilangan bulat positif, sehingga cd adalah bilangan bulat positif. Dan
berakibat menurut definisi kurang dari diperoleh ac < bc.
Untuk (3)
Menurut hipotesis a < b dan c < 0 oleh karena a < b menurut definisi kurang dari
terdapat bilangan bulat positif d sehinnga berlaku a + d = b. kedua ruas akan
bernilai sama jika masing ± masing ruas dikalikan bilangan bulat negatif c sehinnga
c(a+d) = c.b
ca + cd = cb
dengan c bilangan bulat negative dan d bilangan bulat positif, maka c dikalikan
dengan d sama dengan bilangan bulat negatif, sehingga cd adalah bilangan
bulatnegatif. Dan berakibat menurut definisi kurang dari diperoleh ac > bc.
Teorema
(Sifat Transitif Urutan Bilangan Bulat)
Untuk a , b dan c bilangan-bilangn bulat.
Jika a < b dan b < c, maka a <c
Bukti : a < b dan b < c
Menurut definisi, a < b jika dan hanya jika ada bilangan bulat positif d sehingga
a+d=b; b<c jika dan hanya jika ada bilangan bulat positif e sehingga b+e=c

6. Kita punya : a + d = b
(a+d)+e=b+e
(a+d)+e=c
a+(d+e)=c
d + e bilangan bulat positif
a<c
Jadi, jika a < b dan b < c maka a < c.
Sifat 1
Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat, maka a < b bila dan hanya bila a + c < b + c.
Bukti:
I. Dibuktikan
jika a < b maka a + c < b + c.
a < b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga
a + k = b definisi "lebih kecil dari"
(a + k) + c = b + c sifat penjumlahan pada kesamaan
a + (k + c) = b + c sifat asosiatif penjumlahan
a + (c + k) = b + c sifat komutatif penjumlahan
(a + c) + k = b + c sifat asosiatif penjumlahan
a + c < b + c definisi "lebih kecil dari"
II. Dibuktikan, jika a + c < b + c maka a < b.
a + c < b + c berarti ada bilangan bulat positif p sedemikian hingga
(a + c) + p = b + c definisi "lebih kecil dari"
a + (c + p) = b + c sifat asosiatif penjumlahan
a + (p + c) = b + c sifat komutatif penjumlahan

7. (a + p) + c = b + c sifat asosiatif penjumlahan
{(a + p) + c} + (-c) _ (b + c) + (-c) sifat penjumlahan pada kesamaan
(a + p) + (c + (-c)) = b + (c + (-c)) sifat asosiatif penjumlahan
(a + p) + 0 = b+ 0 invers penjumlahan
a + p = b.
a < b definisi "lebih kecil dari"
Dari (i) dan (ii) terbuktilah bahwa
A < b bila dan hanya bila a + c < b + c
Sifat 2.
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a < b maka .
Bukti:
berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga:
Sifat 3.
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a x c < b x c maka a
Bukti: a x c < b x c
(a x c) + (-(b x c)) < (b X c) + (-(b x c))
(a x c) + (-b)) x c < 0
(a + (-b)) + b < 0 + b
A + ((-b) + b) < b
A<b

8. Sifat 4
Jika a dan b bilangan bilangan bulat dan c bilangan bulat negatif serta a < b maka a x b > b xc
Bukti:
a < b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga a + k = b definisi "lebih
kecil dari"
(a + k) x c = b x c sifat perkalian pada kesamaan
(a x c)+ (k x c) = b x c sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan
Karena k bilangan bulat positif dan c bilangan bulat negatif, maka (k x c) suatu bilangan bulat
negatif, sehingga (k x c) bilangan bulat positif.
{(a x c) + (k x c)} + ( -(k x c)) = (b x c) + (-(k x c)
Sifat penjumlahan pada kesamaan
(a x c) + {(k x c) + (-(k x c))} = (b x c) + (-(k x c))
Sifat asosiatif penjumlahan
(a x c) +0 = (b x c) + (-(k x c)= invers penjumlahan
(a x c) = (b x c) + (-(k x c)) Karena (-(k x c)) bilangan positif, maka
A x c > b x c Definisi ³lebih kecil dari ³.
Konvers sifat 2.5 juga bernilai benar, yaitu : a x c > b x c
Sifat 5
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat negatif serta a x c > b x c maka

9. Sifat-sifat urutan pada bilangan bulat beserta pembuktiannya:
1. Jika a dan b bilangan-bilangan cacah dengan a<b, maka a+c < b+c, untuk setiap
bilangan cacah c
2. Jika a, b dan c bilangan-bilangan cacah dengan a<b dan b<c, maka a<c
3. Jika a, b, c dan d bilangan-bilangan cacah dengan a<c dan b<d, maka a+b<c+d
4. Jika a, b, dan c bilangan-bilangan cacah dengan c>0 dan a<b, maka axc<bxc
Pembuktian sifat urutan bilangan:
1. menurut yang diketahui, a<b, oleh karena itu berdasarkan definisi kurang dari,
terdapat bilangan asli ³k´, sehingga berlaku : a+k=b
# ( a+k ) + c = b + c § kedua ruas ditambah bilangan yang sama ( ex: c )
# a + ( k+c ) = b + c § sifat asosiatif
# a + ( c+k ) = b + c § sifat komutatif
# ( a+c ) + k = b + c § sifat asosiatif
Dengan ³k´ blanngan asli, oleh karena menurut definisi kurang dari, diperoleh a+c<b+c (
untuk setiap bilangan cacah c )
2. Menurut yang diketahui, a<b dan b<c
A<c, berdasarkan ³definisi kurang dari´, terdapat bilangan asli ³k´,sehingga berlaku a+k =
b«.(1)
Dan b<c, berdasarkan definisi kuranga dari, terdapat bilangan asli ³m´, sehingga berlaku
b+m = c«.(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
A+k = b
B+m = c / c = b+m
Oleh karena itu diperoleh c = b+m
= ( a+ k ) + m
= a + ( k+m )

10. Dengan ³k´ dan ³m´ bilangan-ilangan asli, oleh karena itu, ³k´ dan ³m´ juga bilangan asli
Jadi terdapat bilangan asli ³k´ dan ³m´, sehingga berlaku c=a + ( k+m )
Menurut ³definisi kurang dari´, diperoleh c<a
3. Menurut yang diketahui, a<c dan b<d
Karena a<c, menurut definisi kurang dari´, terdapat bilangan asli ³n´, sehingga berlaku a+n =
c«..(1)
Karena b<d, menurut ³definisi kurang dari ³, terdapat bilangan asli ³g´, sehingga berlaku b+g
= d / b = d-g«..(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
A+n = c
B+g = d
+
(a+n ) + ( b+g ) = c+d
# a + ( n+b ) + g = c+d
# a + ( b+n ) + g = c+d
# ( a+b ) + ( n+g) = c+d
Jadi terdapat bilangan asli ³n´ dan ³g´, sehingga ( a+b )+ ( n+g ) = c+d
Menurut definisi kurang dari´ diperoleh : a+b < c+d
4. menurut yang diketahui, c>0 dan a<b
berdasarkan ³definisi lebih dari´, terdapat bilangan asli ³p´, sehingga berlaku : 0+p = c«..(1)
Berdasarkan definisi kurang dari´, terdapat bilangan asli ³s´, sehingga berlaku : a+s = b«(2)

11. 3. KONSEP HABIS BAGI
Jika 2 x 5 =10, maka 10 : 2=5 dikatakan 2 membagi 10, 10 habis dibagi 2, 10 kelipatan 2, 2
faktor 10.
Definisi : jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan bulat, maka a membegi b
(dinyatakan dengan a | b) jika dan hanya jika ada sebuah bilangan c demikian sehingga b=
ac. Jika a mambagi b, maka dapat dikatakan bahwa :
a pembagi b
a faktor b
b kelipatan a
c habis dinbagi a
untuk a| b maka b: a adalah sebuah bilanagn bulat. ³a | b utnuk menyatakan bahwa a
tidak membagi b. Misalnya 2 | 7 karena tidak ada bilangan bulat x demikian sehingga 7 = 2x.
Contoh 1:
32 : 4 = 8 atau 32 = 4.8
Dengan demikian 4 membagi 32
32 habis dibagi 4
4|32
Contoh2:
4| 28 (*dibaca 4 membagi 28 ) karena 4.7 = 28
Dengan demikian 4 adalah faktor 28 dan 28 adalah kelipatan 4
Contoh 3 :
8| -48 kerena 8 (-6) = -48. Sehingga 8 adalah faktor dari -48 dan -48 adalah kelipatan
dari 8.
Contoh 4 :
nyatakan benar atau salah pernyataan- pernyataan berikut bila a adalah suatu bilangan a
I. 1|a
II. a|a
III. 7|0
IV. 0|9

12. V. 00
Jawab :
1a benar, karena a = 1.a
A a benar, karena a = a.1
7.0 benar, karena 0 = 7.0
09 salah, karena tidak ada bilangan bulat x demikian hingga 9= 0.x
00 salah, karena tidak ada bilangan bulat x yang tumnggal demikian hingga 0= x.0
Perhatikan bahwa dalam definisi memnbagi tidak termasuk pembagian oleh 0. Bandingkan
contoh 4 (iv) dan 4 (v).
Contoh 5: 3|15 karena 15 = 3.5
Demikian pula 15 | 390 karena 390 = 15.26
Selanjutnya, 390 = (3.5).26 = 3. (5.26)
Jadi 390 = 3.290, dan 3 | 390
Secara umum, jika x|y dan y|z maka x|z.
Contoh 6 :
3|21 dan 7|35, karena 21= 7.3 dan 35 =7.5
Selanjutnya , 21+ 35 = (7.3)+(7.5) = 7(3+5) = 7.8
Jadi, 7| (21 +35)
Secara umum , jika jika x|y dan x|z maka x|(y+z)
Contoh 7:
gunakan fakta 3|6 untuk menunjukkan garis 3|54
Jawab :
Karena 3|6 , maka 6 = 3.2 .
Untuk melihat bahwa 3 | (6.9), tulis 6 sebagai 3.2
6.9 = (3.2).9
= 3(2.9)
= 3(18)
Jadi, 3 |6.9 atau 3 |54.
Secara umum , jika Secara umum , jika jika x|y dan x|z maka x|y.z

13. 4. SIFAT-SIFAT HABIS BAGI DAN PE BUKTIAN
Misalkan x bilangan asli, y dan z bilangan-bilangan bulat, maka berlaku:
a) 1|y dan x|x
b) Jika x|y dan y|z, dimana y0, maka x|z. sifat transitif
c) Jika x|y dan x|z, maka x|(y+z)
d) Jika x|y dan x|z, maka x|(y-z)
e) Jika x|y dan x|(y+z) atau x|(y-z), maka x|z
f) Jika x|y dan x|z, maka x|yz
Bukti sifat a)
Jelas bahwa 1|y karena menurut definisi, maka y=1.y. Demikian juga x|x karena
menurut definisi, maka x= x.1
Bukti sifat (b)
Jika x|y dan y|z maka y = xk dan z = yt, untuk k dan t bilangan-bilangan bulat.
Jika y = xk, maka yt = (xk)t.
Karena z = yt, maka diperoleh persamaan z = (xk)t. Oleh sifat asosiatif perkalian,
diperoleh z = x(kt), dank t adalah suatu bilangan bulat, karena sifat tertutup perkalian pada
bilangan bulat.
Jadi, jika x| y dan y| z, dimana y0, maka x | z.
Contoh 1: 1| 5 dan 9 | 9, oleh sifat (a).
Contoh 2: 4 | 12 dan 12 | 36, maka 4 | 36, oleh sifat (b).
Contoh 3: 6 | 36 dan 6 | 42, maka 6 | 78 karena 78 = 36+42, oleh sifat (c).
Sebaliknya 6 | 78 atau 6 | (70+8), tetapi 6 | 70 dan 6 | 8
Jadi kebalikan sifat (c) adalah tidak benar.
Contoh 4: 7 | 28 dan 7 | 91, maka 7 | -63, karena -63= 28-91, oleh sifat (d).

14. Contoh 5: 4 | 16 dan 4 | 60, maka 4 | 44, oleh sifat (e).
Contoh 6: 3 | 12 maka 3 | 12(20), meskipun 3 bukan pembagi 20, oleh sifat (f).
Sekarang, perhatikan bahwa sifat (c) dapat digeneralisasikan dalam jumlah sembarang
bilangan bulat n yang terhingga.
Jika a|b , a|b , a|b , ««,. Dan a|b n maka
a| (b + b + b + «.. + b n )
Dengan cara yang sama, sifat (d) dapat digeneralisasikan dalam jumlah sembarang
bilangan bulat n yang terhingga.
Jika a|b , a|b , «««, a|b n1 dan jika
a|(b + b + ««. + b n 1 + b n maka
a|b n
Bukti sifat c
diketahui x|y dan x|z,
x|y dikatakan x membagi y. berarti x membagi y . karena terdapat suatu bilangan bulat yaitu k
sehinnga berlaku y = xk. Dengan demikian x adalah haktor dari y dan y adalah kelipatan x«.. (1)
x|z dikatakan x membagi z. berarti x membagi z . karena terdapat suatu bilangan bulat yaitu t sehinnga
berlaku z = xt. Dengan demikian x adalah haktor dari z dan z adalah kelipatan x«.. (2)
dari (1) dan (2) diperoleh bahwa factor dari z dan y adalah x. dan berdasar rumus dapat
digeneralisasikan dalam jumlah sembarang bilangan bulat n yang terhingga jika a|b , a|b , a|b , ««,.
Dan a|b n maka
a| (b + b + b + «.. + b n ) dengan demikian berakibat x|(y+z).
bukti sifat d
dapat digeneralisasikan dalam jumlah sembarang bilangan bulat n yang terhingga.
Jika a|b , a|b , «««, a|b n 1 dan jika
a|(b + b + ««. + b n1 + b n maka
a|b n

15. bukti sifat e
Jika x|y dan x|(y+z) atau x|(y-z), maka x|z
bukti sifat f
diketahui x|y dan x|z,
x|y dikatakan x membagi y. berarti x membagi y . karena terdapat suatu bilangan bulat yaitu k
sehinnga berlaku y = xk. Dengan demikian x adalah haktor dari y dan y adalah kelipatan x«.. (1)
x|z dikatakan x membagi z. berarti x membagi z . karena terdapat suatu bilangan bulat yaitu t sehinnga
berlaku z = xt. Dengan demikian x adalah haktor dari z dan z adalah kelipatan x«.. (2)
dari (1) dan (2) diperoleh bahwa factor dari z dan y adalah x. sehinnga berakibat x juga factor dari z
dan y sehinnga z dan y merupakan kelipatan dari x. dan dapat ditulis x|yz.
5. CIRI BILANGAN HABIS BAGI
y Syarat atau ciri bilangan yang habis dibagi 2
Suatu bilangan habis dibagi 2 apabila bilangan tersebut berakhiran (berangka satuan)
0, 2, 4, 6, atau 8. Dengan kata lain bilangan itu adalah bilangan genap.
Contoh :
Apakah 74 habis dibagi 2? Karena 74 merupakan bilangan genap (Ingat rumus untuk
bilangan genap. Rumus untuk bilangan genap adalah untuk sebarang bilangan bulat.
Sedangkan untuk bilangan ganjil yaitu untuk sebarang bilangan bulat). Karena 74
memenuhi rumus bilangan genap, maka 74 habis dibagi 2.
Bukti :
Untuk sebarang bilangan misalnya sebanyak digit. Bentuk tersebut
dapat kita tuliskan menjadi bentuk
Karena habis dibagi , maka agar bilangan habis
dibagi harusnya habis dibagi . Dimana adalah digit terakhir (satuan) dari angka kita.

16. Sehingga ciri bilangan habis dibagi yaitu digit terakhirnya (satuannya) habis dibagi . Yaitu
. Yang tidak lain merupakan bilangan genap.
y Syarat atau ciri bilangan yang habis dibagi 3
Jumlah digit-digitnya habis dibagi 3
Contoh : Apakah 213 habis dibagi 3? Akan kita jumlahkan digit-digit pada bilangan 213.
Didapatkan, . Karena (hasil dari penjumlahan digit-digitnya) habis dibagi .
Maka bilangan itu habis dibagi .
Bukti :
Untuk sebarang bilangan misalnya sebanyak digit. Bentuk tersebut
dapat kita tuliskan menjadi bentuk
Sekarang perhatikan ini
pada bilangan sebanyak angka
Kemudian perhatikan ini
perhatikan bahwa jumlah digitnya
sebanyak
Dari situ kita dapatkan :
jumlah digitnya sebanyak
Disini kita akan menuliskan sebagai lambang .
Ingat bahwa adalah kelipatan

17. Sehingga kita bisa menulis :
Karena habis dibagi . Maka agar habis
dibagi . Harusnya habis dibagi . Dimana
adalah jumlah angka-angkanya (jumlah digit-digitnya). Sehingga syarat bilangan habis dibagi
adalah jumlah digit-digitnya harus habis dibagi
y Syarat atau ciri bilangan yang habis dibagi 4
Dua digit terakhir habis dibagi 4. Lebih mudahnya yaitu puluhan dari bilangan itu habis
dibagi 4.
Contoh : Apakah 324 habis dibagi 4? Dua digit terakhir yaitu 24. Dan 24 habis dibagi 4.
Sehingga 326 habis dibagi 4. Apakah 2006 habis dibagi 4? Tidak. Karena dua angka
terahirnya yaitu 06. Sedangkan 06 tidak habis dibagi 4. Sehingga 2006 tidak habis dibagi 4.
Bukti ditinggalkan sebagai latihan. Tips untuk membuktikan, langkah yang digunakan hampir
sama dengan pembuktian bilangan habis dibagi dua. Hanya saja nantinya memakai angka
. Karena habis dibagi , sedangkan tidak habis dibagi .
y Syarat atau ciri bilangan yang habis dibagi 5
Bilangan tersebut berakhiran 0 atau 5.
Contoh : Apakah 3255 habis dibagi 5? Digit terakhir adalah 5. Sehingga 3255 habis dibagi 5.
Apakah 2005 habis dibagi 5? Sangatlah mudah menentukan ciri bilangan habis dibagi 5.
Buktinya sama dengan pembuktian pada ciri bilangan yang habis dibagi .
y Syarat atau ciri bilangan yang habis dibagi
Ciri bilangan yang habis dibagi adalah bilangan genap yang jumlah angka-angkanya habis
dibagi . Atau bilangan yang habis dibagi dan habis dibagi .
Contoh : apakah habis dibagi 6? Sekarang kita perhatikan jumlah angka-angkanya.
. Dan habis dibagi . Karena jumlah angka-angkanya habis dibagi dan
bilangan itu genap. Maka habis dibagi .

18. Bukti :
Kita juga bisa mengatakan bahwa jika bilangan habis dibagi , maka bilangan itu habis
dibagi dan habis dibagi . Bukti :
Misalkan bilangan itu .
membagi atau . menurut definisi, ada bilangan bulat sehingga
.
Didapatkan dan . Sehingga diperoleh dan . Karena
. Sehingga syarat bilangan habis dibagi . Harus memenuhi syarat bilangan habis
dibagi dan syarat bilangan habis dibagi . Dengan kata lain, syarat bilangan habis dibagi
adalah apabila digit-digitnya dijumlahkan harus habis dibagi dan angkanya berakhiran
dan . Atau bisa dikatakan bilangan habis dibagi adalah bilangan genap yang
apabila digit-digitnya dijumlahkan maka habis dibagi
y Syarat atau ciri bilangan yang habis dibagi 7
Bila bagian satuannya dikalikan , dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya
habis dibagi , maka bilangan itu habis dibagi .
Contoh : apakah habis dibagi 7? Kita pisahkan (satuannya), kemudian
. Apakah habis dibagi 7? . Karena habis
dibagi , maka habis dibagi .
Bukti :
Misalkan bilangan awal adalah P
sebanyak digit. Ini adalah bilangan awal.
bedakan dengan yang di atas. Yang ini berkurang satu digit.
Sehingga diperoleh hubungan antara dan , yaitu .
ini adalah syarat bilangan habis dibagi 7.
Kita dapat menuliskan syarat bilangan habis dibagi 7 seperti ini : Jika bilangan habis dibagi 7
maka (perhatikan di atas) habis dibagi 7. Jika habis dibagi 7 maka bilangan awal habis
dibagi 7. Dari pernyataan itu bisa dikatakan : ³bilangan habis dibagi 7 jika dan hanya jika
habis dibagi 7.´ Sehingga kita harus membuktikan dua kali. yaitu untuk Jika bilangan habis
dibagi 7 maka habis dibagi 7. Dan untuk jika habis dibagi 7 maka bilangan awal habis
dibagi 7.
Bukti untuk Jika bilangan habis dibagi 7 maka habis dibagi 7

19. Bilangan awal yaitu . dan diketahui habis dibagi 7.
Kita tulis (lambang adalah sebuah garis vertical pada keterbagian. Contohnya .
Yang artinya habis dibagi . atau adalah factor dari )
Kita punya teorema, jika , maka dengan bilangan bulat. Sehingga kita boleh
menuliskan
Sekarang perhatikan bahwa 21 habis dibagi 7. Tentunya kelipatan dari 21 juga habis dibagi 7.
Dalam keterbagian, kita punya teorema jika dan maka
Sehingga diperoleh
Terbukti
Bukti untuk jika habis dibagi 7 maka bilangan awal habis dibagi 7.
Menurut teorema, jika , maka dengan bilangan bulat.
Seperti halnya bukti yang pertama, 21 habis dibagi 7. Sehingga,

20. Ada teorema pada keterbagian yang mengatakan, jika dan maka
Menurut teorema, jika maka . Maka,
Terbukti
y Bilangan habis dibagi 8
Tiga digit terakhir habis dibagi 8.
Contoh : apakah 2168 habis dibagi 8. Iya, karena 168 habis dibagi 8.
Buktinya diserahkan kepada pembaca. Tipsnya, gunakan langkah yang mirip dengan ciri
bilangan habis dibagi 2 dan 4. Nantinya akan ditemukan suatu hal yang menarik bahwa ciri
bilangan habis dibagi akan ada hubungannya dengan digit terakhirnya
y Bilangan yang habis dibagi 9
Suatu bilangan habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah bilangan yang dinyatakan oleh
angka dari bilangan tersebut habis dibagi 9.
Bentuk umum bilangan asli N dapat ditulis sebagai
N = a k (10) k - 1 + 1) + a ( 10 k 1 - 1 + 1 ) + « + a ( 10) 2 - 1 + 1 ) + a (10 ± 1 + 1) +
k 1 2 1
a
0
=(ak +a + «+ a 2 + a 11 + a 0 ).
k 1
Jelas bahwa 9|(10-1), 9|(10 2 -1), 9|(10 3 -1) dan secara umum 9|(10 k -1), untuk k adalah
sembarang bilangan asli. Dengan demikian 9|N jika dan hanya jika 9| (a k + a +«+ a 2 + a
k 1
11 + a 0)

21. Contoh : apakah 819 habis dibagi 9? Jumlah digit-digitnya yaitu 8 + 1 + 9 = 18. Dan 18 habis
dibagi 9. Sehingga 819 habis dibagi 9.
Bukti : sama dengan ciri bilangan habis dibagi 3.
y Ciri-ciri habis dibagi 10
suatu bilangan habis dibagi 10 jika dan hanya jika satuan bilangan tersebut 0.
Contoh: Jelas bahwa 10|768940
y Ciri habis dibagi 11
suatu bilangan habis dibagi 11 jika dan hanya jika jumlah bilangan yang dinyatakan oleh
angka yang terletak pada posisi ganjil dikurangi jumlah bilangan yang dinyatakan oleh angka
yang terletak pada posisi genap habis dibagi 11.
Contoh:
a) 11|722084 karena 11|(7+2+8) ± (2+0+4) atau 11|11
b) 11|2837604 karena 11|(2+3+6+4)- (8+7+0) atau 11|0
Ciri-ciri habis dibagi 25
2 Angka terakhir adalah 25, 50, 75, atau 00.
Misal: 250, 4425, 375, 1000.
Ciri-ciri habis dibagi 50
2 angka terakhir adalah 50 atau 00.
Misal: 2250, 2100.
Ciri-ciri habis dibagi 100
2 angka terakhir adalah 00.
Misal: 3300, 1200.
Ciri-ciri habis dibagi 125

22. 3 angka terakhir adalah 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875, atau 000.
Misal: 1125, 44375, 34000.
Ciri-ciri habis dibagi 250
3 angka terakhir adalah 250, 500, 750, atau 000.
Misal: 33500, 2250, 10000.
Ciri-ciri habis dibagi 500
3 angka terakhir adalah 500 atau 000.
Misal: 12500, 2000.
Ciri-ciri habis dibagi 1000
3 Angka terakhir adalah 000.
Misal: 23000, 12000, 56000.