1. Sesión Nº 11
UNIDAD V: ECUACIONES
APRENDIZAJES ESPERADOS
 Reconoce e interpreta la incógnita de un problema cotidiano dado.
 Traduce una situación problemática del lenguaje cotidiano al lenguaje
matemático.
El Arte de Plantear Ecuaciones
Situación Problemática: A continuación se presentan distintas situaciones problemáticas, debate las
posibles soluciones con la ayuda de tu compañero
 Si x representa la longitud de un trazo en cm.
¿Cómo expreso el doble de la longitud del trazo?
¿Qué significa (x + 2) cm?
¿ y (x - 5) cm?
 Si x representa el valor de un libro
¿Cómo se expresa la mitad del precio del libro?
¿Y cómo represento 25% del valor del libro?
¿Qué significa 3x? y ¿ ?
¿Qué es plantear una ecuación?
El plantear una ecuación es una de las habilidades más importantes para la resolución de
problemas, para ello tenemos que traducir un problema dado en lenguaje convencional, al
lenguaje matemático con ayuda de símbolos o variables.
Resolver una ecuación no es adivinar un resultado, es seguir un proceso lógico y matemático
basado fundamentalmente en las propiedades de las operaciones básicas, cuyo objetivo
principal va a ser hallar el valor de la incógnita (variables).
FORMA FORMA
VERBAL PLANTEO MATEMÁTICA
(Palabras) (Constantes y
variables
1
(Palabras) (Constantes y Variables)

2. Actividad Nº 1
A continuación, con la ayuda del profesor resolveremos a modo de ejercicio la traducción de ciertos
enunciados dados en forma verbal a su forma matemática.
Forma Verbal Forma Matemática
Un número cualquiera
Tres números consecutivos.
El exceso de A sobre B
Ana tiene 5 soles más que María.
El duplo de un número
El triple de un número
2 veces un número
La quinta parte de un número
La mitad de la quinta parte de un número
A es dos veces B
A es dos veces más que B
P es a Q como 3 es a 5
La suma de 3 números consecutivos es 30
La edad de Pedro es tanto como la suma de las edades de José y Luis.
A excede a B en 4
El número de carpetas excede en 10 al número de sillas
El triple de un número disminuido en 10
El triple de un número, disminuido en 10
El cuadrado de un número aumentado en 3
El cuadrado de un número, aumentado en 3
La cuarta parte de un número aumentado en 5
La cuarta parte de un número, aumentado en 5
El triple de un numero aumentado en 5
El triple, de un numero aumentado en 5
M es excedido por N en 5
2

3. Ecuaciones Lineales
Actividad Nº 2
A continuación se presentan distintas situaciones problemáticas, debate las posibles soluciones con la
ayuda de tu compañero
v
Caso 1: En un Local del Vaso de Leche
María, Carmen y Julia son tres trabajadoras del vaso de leche de un local de
ventanilla, entre las tres atendieron a 54 personas. María atendió a 8 personas más
que Carmen y Julia atendió a 2 personas más que Carmen. ¿A cuántas personas
atendió Carmen?
Caso 2: En el Estadio Miguel Grau del Callao
Carlos y Lucho, dos amigos del colegio Santo Domingo el Apóstol, se encuentran
después de muchos años en el estadio Miguel Grau. Carlos le pregunta a Lucho
cuantos años tenía actualmente y le responde que cuando cumplió 24 años nacieron
sus 2 hijos mellizos y que actualmente la edad de los tres suma 48 años. ¿Cuál es la
edad de Lucho?
¿Qué es una ecuación?
Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones algebraicas que tienen como
1
mínimo una variable . Esta igualdad puede verificarse o no. Las variables que intervienen en una
ecuación reciben el nombre de incógnita y a los valores que satisfacen a la ecuación se le llaman
soluciones de la ecuación.
Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad de la forma ax b 0 , donde a, b R
y a0 . Su solución es el conjunto de valores que satisfacen la igualdad.
Ejemplo: 2( x 3) 5 ( x 1)
Ejercicios Resueltos
1. Lucha y Rosa fueron a Polvos Chalacos y compraron un numero de blusas a S/.15 cada una y 2
jeans a S/.25 cada una, gastando en total S/.110. ¿Cuántas blusas compraron?
Solución:
El número de blusas se representa con la variable:
El costo de las blusas se representa con:
El costo total de las blusas y jeans lo representamos con:
Como el gasto total fue S/.110, formamos la ecuación:
De donde:
Se compraron:
3

4. 2. Universitario, Alianza Lima y Cristal, en cierto momento de un campeonato ocupaban la
primera, segunda y tercera posición respectivamente, si la diferencia de puntajes era de una
unidad en cada caso y la suma de sus puntajes era 78. ¿Cuál es el puntaje de Cristal?
Solución:
El puntaje de Cristal: x
El puntaje de Alianza Lima: x+1
El puntaje de Universitario: (x+1) + 1 = x + 2
La suma de los puntajes es 78:
Luego: x + (x +1) + (x + 2) = 78
3x + 3 = 78
3x = 75
x = 25
El puntaje de Cristal es 25
3. Diego y Naira tienen juntos S/.120. Si Diego tiene el doble de la cantidad de dinero de Naira
aumentado en S/.12, ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
Solución:
Cantidad de dinero de Naira: x
Cantidad de dinero de Diego:
Juntos:
Cantidad de dinero de Naira: x = S/. 36
Cantidad de dinero de Diego: 2x + 12 = 2(36) + 12 = S/. 84
4. Don Carlos entrega los domingos S/.90 soles de propina a sus 3 hijos Lucho, Pepe y Mario. Si
al Segundo le da 10 más que el primero y al tercero el doble del primero. ¿Cuánto recibió el
segundo?
Solución:
Propina de Lucho: x
Propina de Pepe: x + 10
Propina de Mario: 2x
Total de Propina: S/. 90
x + (x+10) + 2x = 90
4x + 10 = 90
4x = 80
x = 20
El segundo recibió: x + 10 = S/. 30
4

5. 5. Tenía ahorrado cierta cantidad de dinero que utilicé en un viaje. El primer día gasté los 4/5 de
los que tenía, el segundo día gasté 2/3 del resto y el tercer día gasté los últimos S/ 80 que me
quedaba. ¿Cuánto tenia ahorrado?
Solución:
Dinero ahorrado: x
Gasté Queda
Primer día
Segundo día 80
Tercer día 80 0
Como el gasto total es en tres días, entonces:
Tenía ahorrado:
6. Fernando y Luis van a CARITAS a hacer una donación del mismo monto, luego Fernando y
Luis deciden dar el doble y triple de lo pensado, Si en total la donación fue S/. 250. ¿Cuál fue
la donación inicial pensada por ambos?
Solución:
Donación inicial pensada: x
Donación de Fernando: 2x
Donación de Luis: 3x
Total de la donación S/.250: 3x + 2x = 250
x = 50
La donación inicial pensada fue S/.50
7. Doña Meche va a un paga monedas con S/. 80 y cuando a perdido S/. 20 más de lo que no ha
perdido, apuesta lo que queda y lo duplica. ¿Ganó o perdió?, ¿Cuánto?
Solución:
Lo que no perdió: x
Lo que perdió: x + 20
Monto total S/.80: x + ( x + 20) = 80
2x + 20 = 80
2x = 60
x = 30
Al duplicar tiene S/.60
Luego perdió S/. 20
5

6. Problemas que plantean ecuaciones de primer grado con una incógnita
Para plantear un problema y desde luego resolverlo se recomienda antes que todo:
Comprender el mensaje del enunciado: es decir, que se debe dar lectura al problema, de ser posible
en forma grupal, tratando de imaginarse la situación planteada, luego se recomienda seguir los
siguientes pasos:
1. Muestre un dibujo, gráfico o esquema de la situación planteada; de no ser así, se recomienda al
lector hacer un esbozo
2. Plantear el problema: Esto puede significar el llegar a determinar cuál o cuáles son las operaciones
matemáticas necesarias para resolver el problema, o bien, definir la o las incógnitas:
Por ejemplo: llamemos "x" al ancho del terreno y, si el largo mide el doble que el ancho, el largo
debe quedar definido por "2x".
3. Ejecutar el planteo: Resolver la(s) ecuación(es):
4. Dar respuesta y verificar los resultados: No siempre el resultado de las operaciones o de la
ecuación son la respuesta a la pregunta planteada en el problema. Por ello es necesario verificar si la
o las respuestas son "lógicas".
Ejemplo: Se ha cercado un terreno rectangular dando tres vueltas de alambre, si se conoce que el largo
de dicho terreno es el doble del ancho y que se ha invertido 1 530 m de alambre. Hallar el ancho del
terreno.
Solución:
Sea x el ancho del terreno medido en metros.
Una vuelta de alambre significa sumar dos largos y dos anchos, es decir:
Una vuelta = 2x + 2x + x + x (recuerde que el largo = 2x)
= 6x
De aquí, tres vueltas:
Tres vueltas = 3(6x)
= 18x
y esta longitud equivale al valor de 1 530 m dado en el problema
18x = 1 530
1 1
18 1 530
18 18
1 530
18
85 m
Rpta. El ancho del terreno es de 85 m.
6

7. AFIANZANDO MIS CONOCIMIENTOS
1. A Lili le preguntaron cuantos hermanos tenia y ella responde: mis hermanos no son mucho, 3/4 de
todos ellos más 3 de ellos son todos mis hermanos ¿Cuántos hermanos son en total?
2. Anteayer tuve el triple de lo que tengo hoy, y lo que tengo hoy es el doble de lo que tenía ayer, que
fue $ 50 menos que anteayer. ¿Cuántos dólares me falta para comprarme un pantalón que cuesta $
60?
3. El papá de Juan acude al hipódromo con S/. 4 300 y cuando a perdido S/. 700 más de lo que no ha
perdido, apuesta lo que le queda y lo triplica. ¿Gano o perdió? ¿Cuánto?
4. En una reunión se encuentran tantos hombres como tres veces el número de mujeres. Después se
retiran 8 parejas y el número de hombres que aún quedan es 4 veces más que el número de mujeres.
¿Cuántas personas en total había al inicio de la fiesta?
5. En un salón de clase, si los alumnos se sientan de 3 en 3 se quedarían de pie 8 alumnos. En cambio
si se sientan de 4 en 4, una carpeta quedaría vacía. Hallar el número de alumnos.
6. Si subo una escalera de 4 en 4 escalones, doy 3 pasos más que subiendo de 5 en 5 escalones
¿Cuántos escalones tiene la escalera?
7. Lo que tú ganas y lo que yo gano suman S/. 600. Si tú ganas S/. 80 más y yo S/. 80 menos
tendríamos la misma cantidad de dinero ¿Cuánto tenemos cada uno?
8. Rafael tiene 23 aves entre patos y gallinas, y la diferencia entre el doble del número de patos y el
triple del número de gallinas es 6 ¿Cuántos patos y gallinas tiene Rafael?
9. Si tú me dieras 2 de tus canicas, tendríamos la misma cantidad de canicas; en cambio, si yo te diera
3 de las mías, tú tendrías el doble de lo que a mi me quedaría ¿Cuántas canicas tenemos entre los
dos?
10. Si compro 2 revistas gastaría S/.2 más que si comprara 3 periódicos. Pero si comprara 5 periódicos,
gastaría 2 soles más que si comprar 2 revistas ¿Cuánto cuesta cada periódico?
AUTOEVALUACIÓN
Estimado docente, a continuación te proponemos un conjunto problemas que te
permitirán contrastar, verificar tus aprendizajes en la presente sesión. Te sugerimos
desarrollar esta autoevaluación en forma ordenada y cuidadosa.
1. Jorge, preocupado le pregunta a su esposa por el dinero que le sobraba después de ir al mercado, y
ella muy tranquila le responde: Tenía 800 soles y gaste los 3/5 de lo que no gasté. ¿Cuánto de dinero
no gastó la esposa de Jorge?
2. Juanita después de observar la escalera de su casa nos dice lo siguiente: Si subo una escalera de 2
en 2, doy 10 pasos más que subiendo de 3 en 3. ¿Cuántos escalones tiene la escalera de Juanita?
3. Con motivo de la celebración del DÍA DEL MAESTRO, cierto número de alumnos compran un
televisor que cuesta S/.1 200. El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de
personas. ¿Cuántos participaron en la compra?
7

8. 4. En un estacionamiento se cuenta 27 vehículos entre autos y bicicletas. Si en total se han contado 60
llantas. ¿Cuántas bicicletas hay?
5. Elías , es un padre ejemplar, cierto día decide repartir su fortuna entre sus hijos dándole 4 800 soles
a cada uno, debido a que dos de ellos renuncian a dicha fortuna; a cada uno de los restantes le tocó
7 200 soles. ¿Cuántos hermanos son?
6. Sharon, le pregunta a Marcia por el dinero que tenía antes de ir de compras, Marcia, a quien le
encanta la matemática le responde de la siguiente manera: Gasté los 2/3 de lo que no gasté y aún
me quedan 200 soles más de lo que gasté. ¿Cuánto tenía Marcia antes de ir de compras?
7. En una conversación se escucha que Helen le dice a su novio: Si tuviera el doble de lo que no he
perdido me compraría lo que cuesta el triple de lo que tengo menos 300 soles. ¿Cuánto dinero tenía
Helen, si perdió 200 soles?
8. Un niño le dice a su mamá: Dame S/. 20 y tendré tanto como tú tengas: pero si te doy S/. 30 tú
tendrás el doble de lo que yo tenga. ¿Cuánto tiene la madre del niño?
9. El profesor de educación física le dice a su colega de matemática: Si mis alumnos se forman en filas
de 8 niños sobran 4 pero faltarían 8 niños para formar 3 filas más de 7 niños. ¿Cuántos alumnos
tengo?
10. En un examen de 30 preguntas, aplicado a los profesores asistentes a la capacitación en la
Universidad Nacional del Callao, cada respuesta correcta vale 4 puntos, la incorrecta -1 punto y en
blanco 0 puntos. Si un docente obtuvo 82 puntos y notó que por cada respuesta en blanco tenía 3
correctas. ¿Cuántas dejó en blanco?
11. Javier cría en un corral conejos y gallinas, si el doble de ojos es 20 menos que el doble de patas.
¿Cuántos conejos hay en el corral de Javier?
12. Un empresario gasta diariamente S/. 15 000 para el pago de los jornales de 40 administrativos y 75
operarios, pero con el mismo gasto puede duplicar el número de administrativos y reducir 50
operarios ¿Cuánto gana un operario?
RESPUESTAS
AFIANZANDO MIS CONOCIMIENTOS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
S/. 220 8 gallinas
Gano
13 S/. 20 96 44 60 y y 30 S/. 2
S/. 2 255
S/. 380 15 patos
AUTOEVALUACIÓN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
8

9. Sesión Nº 12
Sistema de Ecuaciones
APRENDIZAJES ESPERADOS
 Reconoce e interpreta las incógnitas de un problema cotidiano dado.
 Hace uso de las ecuaciones lineales para determinar las incógnitas.
Situación Problemática: Con la corriente del rio a su favor una lancha navega a 100 km/h, y con la
corriente en contra navega a 70 km/h. ¿Cuál es la velocidad de la corriente, y la de la lancha cuando el
río está en calma?
Sea x la velocidad de la lancha cuando el río está en calma, y
sea y la velocidad del río o de la corriente. Entonces:
x + y: es la velocidad de la lancha con la corriente a su favor, y
x – y: es la velocidad de la lancha con la corriente en su contra.
Por lo que:
Se obtuvieron dos ecuaciones lineales con las mismas dos variables cada una, tales ecuaciones
forman un sistema de ecuaciones lineales.
Resolviendo el sistema, se obtiene:
CONCEPTOS BASICOS:
Se denomina sistema de ecuaciones al conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se
pretenden obtener en caso que existan. La solución del sistema de ecuaciones es todo conjunto de
valores de las incógnitas que verifican a la vez todas las ecuaciones del sistema.
Existen diversas formas de resolver un sistema de ecuaciones, entre ellas tenemos: Método de
reducción, Método de sustitución, Método de igualación. A continuación te presentamos una gráfica que
te ilustrará la aplicación de cada uno de éstos métodos.
9

10. Métodos de Solución
Sustitución Igualación Reducción
Ejemplo: Ejemplo:
Ejemplo:
x + 2y = 13 …... (1) x + 2y = 13 ….. (1)
x + 2y = 13 ….. (1)
3x – y = 11 …... (2) 3x – y = 11 …... (2)
3x – y = 11 …... (2)
 Desp. “x” de (1): x = 13 – 2y ….. (3)  Desp. “x” de (1): x = 13 – 2y … (3)  Coeficientes iguales: x + 2y = 13 ….. (1)
 Sust. (3) en (2): 3(13 – 2y) – y =11  Desp. “x” de (2): …. (4)
A la ec. (2) lo multip. 2: 6x – 2y = 22 .. (3)
Despejamos “y” y=4  Igu. (3) y (4):
 Sumamos las ecs. (1) y (2):7x = 35
 Reem. y = 4 en (1): x + 2(4) = 13 y=4
x=5
Despejamos “x” x=5  Remp. y = 4 en (3): x = 5
 Reemplazamos “x” en cualquiera de las
ecuaciones (1) o (2):
5 + 2y = 13
y=4
Ejercicios Resueltos:
1. Un mayorista de Minka invierte S/ 72 000 en la compra de café y azúcar. El quintal de café
cuesta S/ 10 más que el de azúcar que vale S/ 68. Si hubiera pagado el azúcar al precio del
café y viceversa hubiera gastado S/ 3 450 más ¿Cuántos quintales más de azúcar que café
compró?
Solución:
Cantidad de quintales de café: x
Cantidad de quintales de azúcar: y
Observa lo que se pide: y–x
Precio de 1 Quintal de café: S/ 78
Precio de 1 Quintal de azúcar: S/ 68.
Ecuación que expresa el gasto
Error en el pago: 68y + 78x = 72 000…………..(1)
Ecuación que expresa un supuesto
Error en el pago: 78y + 68x = 72 000 + 3 450 ….. (2)
Si restamos (2) – (1) obtendremos: 10y – 10x = 3 450
La diferencia y - x que buscamos: y – x = 345 quintales mas de azúcar
10

11. 2. Cuatro hermanos viajaron al extranjero, unos a Panamá y otros a Los Ángeles con un gasto
total en pasaje de 2 250 dólares. Si un pasaje a Panamá cuesta 550 Dólares y un pasaje a Los
Ángeles cuesta 600 dólares ¿Cuántos hermanos viajaron a Panamá?
Solución:
Sean x el número de hermanos que viajaron a Panamá.
Entonces, el número de hermanos que viajaron a Los Ángeles, es: y = 4 - x
Ecuación que expresa el gasto total: 550x + 600 y = 2250
550x + 600 (4 –x) = 2250
550x + 2400 – 600x = 2250
150 = 50x
x = 3 hermanos viajaron a Panamá
3. El papá de Carmen y Diego desea repartir entre ambos S/ 800. Si el doble de lo que recibe
Diego excede en S/ 100 a lo que recibe Carmen. ¿Cuánto recibe Diego?
Solución:
Sea x lo que recibe Diego
y lo que recibe Carmen
Ambos reciben: x + y = 800 ……. (1)
Pero: 2x = y + 100 …… (2)
Entonces: x + y = 800
2x - y = 100
3x = 900
x = S/. 300 recibe Diego
4. Calcular el jornal que se le paga a un obrero, si el dueño de la fábrica del Callao paga por día
S/1 500 correspondientes a 40 jornales de obreros y a 75 jornales de ayudantes, siendo que
con el mismo gasto podría duplicar la cantidad de obreros y reducir a 25 el número de
ayudantes.
Solución:
Sea: x: Jornal del obrero
y: Jornal del ayudante
Ecuación que expresa el pago por día
40x + 75y = 1 500
80x + 25y = 1 500
-80x – 150y = - 3 000
480x + 150y = -9 000
400x = 600
x = S/. 15 es el pago por jornal de cada obrero
11

12. 5. En una oficina se requiere de un escritorio, de un sillón giratorio y un mueble para
computadora, calculando el gasto total en S/ 430. Si el costo del mueble de computadora
excede en S/ 70 el costo de la silla giratoria y el costo del escritorio excede en S/ 40 al doble
del costo de la silla ¿Cuánto cuesta el escritorio?
Solución:
Sea x: Precio del escritorio
y: Precio del sillón
z: Precio del mueble para computadora
El costo total: x + y + z = 430 (1)
Se cumple que: z = y + 70 (2)
x = 2y + 40 (3)
Reemplazando (2) y (3) en (1)
(2y + 40) + y + (y + 70) = 430
4y + 110 = 430
4y = 320
y = S/. 80
Luego: x = S/. 200 cuesta el escritorio
6. Juana observa que su profesora de Lógico Matemático tiene una caja con
pelotitas blancas, rojas y verdes. La profesora le comenta que el numero de
pelotitas entre blancas y rojas es 32, entre blancas y verdes 27 y entre rojas y
verdes 29. ¿Cuántas pelotitas blancas hay?
Solución:
Numero de pelotitas blancas: x
Numero de pelotitas rojas: y
Numero de pelotitas verdes: z
Se tiene que: x + y = 32 (1)
x + z = 27 (2)
y + z = 29 (3)
Sumando: (1 ) + ( 2 ) + ( 3 ) 2( x + y +z ) = 88
x + y +z = 44 (4)
Reemplazando (3) en (4) x + 29 = 44
x = 15
Hay 15 pelotitas blancas
12

13. AFIANZANDO MIS CONOCIMIENTOS
1. El dueño de un almacén de Los Olivos ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de S/. 500 (sin
impuestos). El valor del vino es S/. 60 menos que el de los refrescos y de la cerveza conjuntamente.
Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IGV del 6%, por la cerveza del 12% y por el vino
del 30%, lo que hace que la factura total con impuestos sea de S/. 592.4. Calcular la cantidad invertida en
cada tipo de bebida.
2. En una granja se crían crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134.
¿Cuántos animales hay de cada clase?
3. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre
Matemática. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión
incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas
cuestiones respondió correctamente?
4. Un ama de casa compra en un supermercado 6 Kg. de café y 3 de azúcar, por lo que paga S/.1 530.
Ante la amenaza de nuevas subidas, vuelve al día siguiente y compra 1 Kg. de café y 10 Kg. de azúcar
por lo que paga S/. 825. No se fija en el precio y plantea el problema a su hijo de 13 años. Este después
de calcular lo que su madre hubiera pagado por 6 Kg de café y 60 de azúcar halla el precio de cada
artículo. ¿Podrías llegar tú a resolver el problema?
5. Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma es 15; mientras
que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174.
6. Juan y Roberto comentan:
Juan: "Si yo te tomo 2 monedas, tendré tantas como tú"
Roberto: "Sí, pero si yo te tomo 4, entonces tendré 4 veces más que tú".
¿Cuántas monedas tienen cada uno?
7. Al preguntar en mi familia cuántos hijos son, yo respondo que tengo tantas hermanas como hermanos y
mi hermana mayor responde que tiene doble número de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos hijos e
hijas somos?
8. Dos obreros trabajan 8 horas diarias en la misma empresa. El primero gana S/. 5 diarias menos que el
segundo; pero ha trabajado durante 30 jornadas mientras que el segundo sólo 24. Si el primero ha
ganado S/. 3 300 más que el segundo. Calcula el salario diario de cada obrero.
9. Dos pueblos, A y B, distan 155 Km. A la misma hora salen de cada pueblo un ciclista. El de A viaja a una
velocidad de 25 Km/h y el de B a 33 Km/h. ¿A qué distancia de cada pueblo se encuentran? ¿Cuánto
tiempo ha transcurrido?
3
10. Dos grifos han llenado un depósito de 31 m corriendo el uno 7 horas y el otro 2 horas. Después llenan
3
otro depósito 27 m corriendo el uno 4 horas y el otro 3 horas. ¿Cuántos litros vierte por hora cada grifo?
AUTOEVALUACIÓN
Estimado docente; A continuación te proponemos un conjunto problemas que te permitirán
contrastar, verificar tus aprendizajes en la presente sesión. Te sugerimos desarrollar esta
autoevaluación en forma ordenada y cuidadosa.
1. La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos
años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del padre era triple que
13

14. la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de
las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será 150 años. ¿Qué edad
tenía el padre en el momento de nacer sus hijos?
2. Una empresa tiene tres minas con menas de Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%)
composiciones: Mina A 1 2 3
¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse Mina B 2 5 7
para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y
Mina C 1 3 1
16 de hierro?
3. Se quieren mezclar vino de 60 ptas. con otro de 35 ptas., de modo que resulte vino con un precio de
50 ptas. el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla?
4. En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buen comportamiento 2 bolígrafos a
cada chica y un cuaderno a cada chico. Si en total han sido 55 regalos, ¿cuántos chicos y chicas
están en mi clase?
5. Con S/. 1 000 que le ha dado su madre Juan ha comprado 9 paquetes de leche entera y leche
semidesnatada por un total de S/. 960. Si el paquete de leche entera cuesta S/. 115 y el de
semidesnatada S/. 90. ¿Cuántos paquetes ha comprado de cada tipo?
6. Un número consta de dos cifras cuya suma es 9. Si se invierte el orden de las cifras el resultado es
igual al número dado más 9 unidades. Hallar dicho número.
7. En la fiesta de un amigo se han repartido entre los 20 asistentes el mismo número de monedas.
Como a última hora ha acudido un chico más nos han dado a todos 1 moneda menos y han sobrado
17. ¿Cuántas monedas para repartía se tenía?
8. Sabemos que mi tío tiene 27 años más que su hijo y que dentro de 12 años le doblará la edad.
¿Cuántos años tiene cada uno?
9. Un obrero ha trabajado durante 30 días para dos patrones ganando S/. 2 070. El primero le pagaba
S/. 65 diarias y el segundo S/. 80. ¿Cuantos días trabajó para cada patrón?
10. Calcula las dimensiones de un rectángulo tal que si se aumenta la base en 5 metros y se disminuye
la altura en otros 5 la superficie no varía; pero si se aumenta la base en 5 y disminuye la altura en 4,
la superficie aumenta en 4 metros cuadrados.
11. A las tres de la tarde sale de la ciudad un coche con una velocidad de 80 Km/h. Dos horas más tarde
sale una moto en su persecución a una velocidad de 120 Km/h. ¿A qué hora lo alcanzará? ¿A qué
distancia de la ciudad?
12. Un depósito se llena por un grifo en 5 horas y por otro en 2 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse
abriendo los dos grifos a la vez?
RESPUESTAS
AFIANZANDO MIS CONOCIMIENTOS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
120, S/. 60
160 y 17 y 23 22 y 24 y 27
220 S/. 225
AUTOEVALUACIÓN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1, 2,y
3
14

15. Sesión Nº 13
Ecuaciones Cuadráticas
APRENDIZAJES ESPERADOS
 Reconoce e interpreta las incógnitas de un problema cotidiano dado.
 Reconocer, interpretar y solucionar problemas con ayuda de las ecuaciones
cuadráticas.
Situación Problemática: Queremos confeccionar una
caja de cartón sin tapa con una hoja de cartón cuadrada.
3 cm
 La caja debe tener 3 cm de altura y un volumen de 48
3
cm .
 ¿Qué medidas debe tener, como mínimo, la hoja de
cartón?
 ¿Como determino el área de la caja formada? x-6 x
Solución:
El volumen de la caja es: V = (base) (altura) (ancho)
3 cm
Base = (x - 6) cm
Ancho = (x - 6) cm x
Altura = 3 cm
Luego:
2 3
V = 3 (x – 6) = 48 cm
Desarrollando, se tiene: x = 10 cm, las medidas de la caja:
3 cm
Base = (x - 6) cm = 4 cm
Ancho = (x - 6) cm = 4 cm
Altura = 3 cm
El área de la caja es: x-6
A = 4 x 4 + 4 (3 x 4) x-6
2
A = 64 cm
CONCEPTOS BASICOS:
El análisis de la ecuación cuadrática es la continuación del estudio de la ecuación lineal con una
incógnita, tratada con anterioridad. En analogía con la ecuación lineal que genera una recta en el plano
cartesiano, la ecuación cuadrática genera el objeto geométrico llamado Parábola, cuyo estudio se
aborda con el nombre de Función Cuadrática y Secciones Cónicas.
Una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado es aquella en la cual el mayor exponente de
la incógnita (en este caso x) es dos. La forma general de la ecuación cuadrática es:
2
ax + bx + c = 0;
con a, b y c números reales cualquiera y a 0 (a distinto de cero).
15

16. La solución general de una ecuación cuadrática, se obtiene usando la siguiente relación:
Ejercicios Resueltos:
2
1. Agapito tiene un terreno rectangular del que conoce que su área es de 600 m . Cuando le mandó
poner una barda, le cobraron el equivalente a 100 m. ¿Cómo podrá Agapito conocer la dimensión
de cada uno de los lados de su terreno con estos datos?
Solución:
El área del rectángulo es: x • y = 600
El perímetro del rectángulo es: x + y = 50 y = 50 – x
2
Luego, se obtiene: x - 50x + 600 = 0
2
Factorizando: x - 50x + 600 = (x-30) (x-20) = 0
tiene dos soluciones:
x = 30 m
x = 20 m
Que significa:
y = 20 m ; x = 30 m
2
2. Rolando tiene un terreno, en una esquina, con área de 500 m . Cuando urbanizan tiene que
poner una banqueta de 2 metros en dos lados como se muestra en el dibujo y le quedan sólo
2
414 m . ¿Cuánto medía en cada lado el terreno? y ¿cuánto quedó midiendo en cada lado?
Solución:
El terreno original tenía un área de: x • y = 500
El nuevo terreno, queda con un área de:(x - 2) (y - 2) = 414.
2
Reemplazando, se tiene: - x + 45x - 500 = 0
Usando la fórmula general para solución:
Por lo anterior, Rolando sabe que uno de los lados de su terreno tenían 20 m y 25 m, como a cada lado
le quitó 2 m para la banqueta quedó con lados de 18m y 23 m.
16

17. 3. Por motivo de la finalización del programa de capacitación, un grupo de profesores acordaron
hacer un paseo llamado “viaje de confraternidad”, para lo cual alquilaron un vehículo por S/.
400, a pagar por partes iguales, pero faltaron 2 de ellos y cada uno de los que asistieron
tuvieron que pagar S/.10 más. ¿Cuántos profesores fueron al paseo?
Solución:
Sea “x” en número de personas.
Sea “p” el pago que debe hacer cada profesor: (1)
Pero faltaron 2 y cada uno paga S/. 10 más: (2)
Luego: →
Resolviendo, se tiene:
x1 = 8
x2 = - 10
Al paseo fueron 8 profesores.
4. ¿Cuántos sacos de azúcar compró Lita con 240 soles, sabiendo que si hubiera comprado 3
sacos más por el mismo dinero, cada saco le hubiera costado 4 soles menos?
Solución:
x N de sa cos que compró Lito, p precio
240
p.......................(1)
x
240
p 4................(2)
x 3
Re emplazando (1) en (2)
240 240
4
x 3 x
240 240 4 x
x 3 x
2
x 3 x 180 0
x 12 x 15
Re spuesta 12 polos
17

18. 5. Se compra cierto número de relojes por S/. 5 625, sabiendo que el número de relojes
comprados es igual al precio de un reloj en soles. ¿Cuántos relojes se han comprado?
Solución:
x Cantidad de relojes, p precio
5625
p .......................(1)
x
5625
x ................(2)
x
5625 x2
x 75 x 75
Re spuesta 75 relojes
6. Se quiere construir una caja metálica de base cuadrada que tenga exactamente 400
centímetros cúbicos de capacidad, cortando cuadrados de 4 cm de lado en las puntas de una
lámina cuadrada de aluminio y doblando los lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de la
lámina de aluminio?
Solución:
4 cm
v volúmen
v ( Area de la base)(altura)
v ( x 8) 2 (4) x-8 x
2
400 4 x 64 x 256
2
x 16 x 36 0
x 18 x 2 4 cm
Re spuesta x 18
x
AFIANZANDO MIS CONOCIMIENTOS
1. Juan posee un terreno rectangular cuyo largo es el doble del ancho. Si la longitud del largo se
aumenta en 40 m y el ancho en 6 m, el área se duplica. Hallar el ancho del terreno.
2
2. Hallar las dimensiones de un rectángulo que tiene un perímetro de 270 m y un área de 4 050 m .
3. Si por dos soles dieran 6 caramelos más de los que dan, la docena costaría 90 céntimos menos.
Deduzca una ecuación de segundo grado que, al resolverla, me permita contestar la siguiente
pregunta: ¿Cuánto cuesta cada caramelo en céntimos?
4. Una persona compró cierto número de revistas por $ 180; si cada revista hubiera costado $ 1
menos, con el mismo dinero hubiera podido comprar 6 revistas más. Deduzca una ecuación de
18

19. segundo grado que, al resolverla, me permita contestar la siguiente pregunta: ¿Cuántas revistas ha
comprado?
5. Una cancha para patinaje mide 100 m de largo y 70m de
ancho. El dueño quiere ampliarla añadiendo una franja en
forma de L como muestra la figura, de modo que el área
2
final resulte de 13 000 m . ¿Cuál es el ancho de la franja?
AUTOEVALUACIÓN
Estimado docente, a continuación te proponemos un conjunto problemas que te
permitirán contrastar, verificar tus aprendizajes en la presente sesión. Te sugerimos
desarrollar esta autoevaluación en forma ordenada y cuidadosa.
1. Con S/. 600 se compraron determinada cantidad de polos. Si cada polo hubiera costado S/. 5
menos, con el mismo dinero se hubieran comprado 4 polos más. Deduzca una ecuación de segundo
grado que, al resolverla, me permita contestar la siguiente pregunta: ¿Cuánto costó cada polo?
2. Con S/. 480 se compran cierta cantidad de polos; pero si cada polo hubiera costado S/. 8 menos, se
hubieran podido comprar 10 polos más. Deduzca una ecuación de segundo grado que, al resolverla,
me permita contestar la siguiente pregunta: ¿Cuántos polos se compraron?
3. Con S/. 360 se compraron determinada cantidad de cajas de diskettes. Pero si cada caja hubiera
costado S/. 6 menos, con el mismo dinero se hubieran comprado 10 cajas más. Deduzca una
ecuación de segundo grado que, al resolverla, me permita contestar la siguiente pregunta: ¿Cuántas
cajas de diskettes se compraron?
4. Una formación escolar está compuesta de 130 alumnos, dispuestos en filas. El número de alumnos
de cada fila es 3 más que el número de filas que hay. Deduzca una ecuación de segundo grado que,
al resolverla, me permita contestar la siguiente pregunta: ¿Cuántas filas hay?
5. Un motociclista recorre 240 km en cierto tiempo, pero si aumenta su velocidad en 10 km/h, la misma
distancia la recorre en 2 horas menos. Deduzca una ecuación de segundo grado que, al resolverla,
me permita contestar la siguiente pregunta: ¿Cuál es la velocidad inicial en km/h?
RESPUESTAS
AFIANZANDO MIS CONOCIMIENTOS
1 2 3 4 5
2
30 m 90 m y 45 m 2x - 15x – 5 = 0 30 50 m
AUTOEVALUACIÓN
1 2 3 4 5
S/. 30 S/. 20 20 10 filas 30 km/h
19

20. Resumen de la Unidad
En esta unidad hemos visto como las situaciones cotidianas pueden traducirse al lenguaje algebraico
mediante una expresión numérica llamada ecuación en la que una o mas cantidades son desconocidas.
Para encontrar dichas cantidades debemos ejercitarnos en distintas cuestiones básicas y principalmente
desarrollar nuestra capacidad de abstracción cuantitativa, es decir la capacidad para representar
simbólicamente las cantidades y las relaciones existentes. Esto no es tarea sencilla pero puede lograrse
si ponemos en su realización voluntad y constancia.
La ecuación, que es la parte sustantiva de las matemáticas, tiene el mayor número de aplicaciones como
herramienta de resolución de problemas.
Bibliografía
• ASOCIACIÓN FONDO DE INVESTIGADORES Y EDITORES (2006). Razonamiento Matemático.
Propedéutica para las Ciencias. Lima: Lumbreras
• Ecuación. (2009) . Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: marzo 31, 2009 disponible
en http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n&oldid=25228388.
• EQUIPO DE CAPACITADORES UNAC (2008). Modulo Autoinstructivo 3 – Lima: UNAC
• MINISTERIO DE EDUCACIÓN. (2006) Expresiones Algebraicas y Ecuaciones. Cuaderno de
Trabajo 8. Chile: MED
• POVIS, A. (2000). Razonamiento Matemático. Lima: Moshera
• TIMOTEO, S (2007) Razonamiento Matemático S.XXI. Perú: San Marcos.
20

21. Solucionario de Ecuaciones Cuadráticas
AFIANZANDO MIS CONOCIMIENTOS
1. x x 6
2x 2x 2
4x 2
2 x 40
(2 x 40)( x 6) 4x2
2 x 2 52 x 240 4 x 2
x 2 26 x 120 0
x 30 x 4
Solución x 30
2. l
a
Area la 4050, Perímetro 2a 2l 270
a l 135, l 135 a
4050 (135 a)a
4050 135a a 2
a 2 135a 4050 0
a 90 a 45
3.
21

22. x Pr ecio actual de cada caramelo en céntimos
y Número de caramelos
Actualmente :
xy 2 la docena 12 x
Situación deseada :
2
Pr ecio
y 6
2
La docena 12( )
y 6
Luego :
2 24
12( ) 12 x 90 12 x 90
y 6 y 6
24 ( y 6)(12 x 90) 24 12 xy 90 y 72 x 540
2
24 12(2) 90( ) 72 x 540
x
2
72 x 540 x 180 0
2 x 2 15 x 5 0 Rpta.
4.
x Número de revista que se compró
p precio
180
xp 180 p
x
180
( x 6)( p 1) 180 ( x 6)( 1) 180
x
180 x 180 x
( x 6)( ) 180 ( x 6)( ) 180
x x
( x 6)(180 x) 180 x
180 x x 2 6 x 1080 180 x x 2 6 x 1080 0
x 2 6 x 1080 0 x 30 x 36
Re spuesta x 30
5.
A (70)(100
x
A1 (70 X )(100 X )
1300 X 2 170 X 7000
170 1702 4(6000)
X
2
x
X 50 X 120
Re spuesta x 50 22

23. AUTOEVALUACIÓN
1.
x Número de polos que se compró
p precio
600
xp 600 x
p
600
( x 4)( p 5) 600 ( 4)( p 5) 600
p
600 4 p
( p 5)( ) 600
p
( p 5)(600 4 p) 600 p
4 p 2 20 p 600 p 3000 600 p 4 p 2 20 p 3000 0
p 2 5 p 750 0 ( p 30)( p 25) 0 p 30 p 25
Re spuesta p 30
2.
x Número de polos que se compró
p precio
480
xp 480 p
x
480
( x 10)( p 8) 480 ( x 10)( 8) 480
x
480 8 x
( x 10)( ) 480
x
( x 10)(480 8 x) 480 x
480 x 8 x 2 80 x 4800 480 x 8 x 2 80 x 4800 0
x 2 10 x 600 0 ( x 30)( x 20) 0
Re spuesta x 20
23

24. 3.
x Número de cajas de diskettes que se compró
p precio
360
xp 360 p
x
360
( x 10)( p 6) 360 ( x 10)( 6) 360
x
360 6 x
( x 10)( ) 360
x
( x 10)(360 6 x) 360 x
360 x 6 x 2 60 x 3600 360 x 6 x 2 60 x 3600 0
x 2 10 x 600 0 x 30 x 20
Re spuesta x 20
4.
X N de filas, y N de alumnos
xy 130, y x 3, x( x 3) 130
x 2 3 x 130 0
( x 13)( x 10) 0 X 13 X 10
Re spuesta hay 10 filas
5.
v velocidad , t tiempo, e espacio
240
v.t e v.t 240 t
v
240
(v 10)(t 2) 240 (v 10)( 2) 240
v
240 240 2v
(v 10)( 2) 240 (v 10)( ) 240
v v
(v 10)(240 2v) 240v 240v 2400 2v 2 20v 240v
2
v 10v 1200 0 (v 40)(v 30) 0
Re spuesta v 30 Km / h.
24