Curso Estatística I

CURSO DE ESTATÍSTICA I
Ricardo Bruno N. dos Santos
FACECON-PPGE (UFPA)

O Que é a Estatística?
• A Estatística originou-se com a coleta e construção de tabelas de
dados para o governo.
• A situação evoluiu e esta coleta de dados representa somente um
dos aspectos da Estatística.
• No século XIX, o desenvolvimento do cálculo de probabilidade e
outras metodologias matemáticas, tais como a técnica de Mínimos
Quadrados, foram fundamentais para o desenvolvimento da
Estatística

• Somente no século XX a Estatística desenvolve-se como uma área
específica do conhecimento a partir do desenvolvimento da
Inferência Estatística; uma metodologia baseada em probabilidade
que tem ampla aplicação nas ciências experimentais.
• A Estatística hoje consiste num metodologia científica para
obtenção, organização e análise de dados, oriundos das mais variadas
áreas das ciência experimentais, cujo objetivo principal é auxiliar a
tomada de decisões em situações de incerteza.

Etapa inicial da análise utilizada para descrever, organizar e
resumir os dados coletados.
A disponibilidade de uma grande quantidade de dados e de
métodos computacionais muito eficientes revigorou esta área da
Estatística.

O que fazer com as observações
que coletamos?

6
QUALITATIVA
QUANTITATIVA
NOMINAL
ORDINAL
CONTÍNUA
DISCRETA
peso, altura, salário, idade
número de filhos, número de
carros
sexo, cor dos olhos
classe social, grau de instrução
Variável:
Qualquer característica associada a uma população.
Classificação das variáveis:

7
Amplitude, Intervalo-Interquartil, Variância, Desvio
Padrão, Coeficiente de Variação.
MEDIDAS DE DISPERSÃO:
Mínimo, Máximo, Moda, Média, Mediana, Percentis
MEDIDAS DE POSIÇÃO:

Medidas de posição: Medidas de Tendência
Central
Resumos numéricos são ferramentas importantes para descrever a
distribuição de uma variável quantitativa. Agora você vai trabalhar com
medidas de posição que, como o próprio nome indica, são medidas que
indicam a localização dos dados. O objetivo não é o cálculo das medidas,
mas, sim, explorar propriedades e relações entre três das principais
medidas de posição.
Média Aritmética Simples: é calculada somando-se os valores de todas
as observações e dividindo-se essa soma pelo número de observações.
Equivale a dividir o total das n observações em n partes iguais.
Mediana: é o valor que divide o conjunto de dados em duas partes tais
que abaixo e acima da mediana encontram-se 50% das observações. O
cálculo da mediana requer que os dados estejam ordenados. Se o número
de observações for ímpar, a mediana é o valor central; se o número de
observações for par, a mediana é a média dos dois valores centrais.

Central
Moda: é o valor mais frequente.
Média Amostral: A média amostral, aritmética, ou simplesmente
média, é calculada somando-se os valores das observações da
amostra e dividindo-se o resultado pelo número de valores. Assim, a
média amostral é dada por:
𝒙 =
𝒙𝒊
𝒏
Média Populacional: A média populacional é calculada somando-
se todos os valores da população e dividindo o resultado pelo total
de elementos da população. Numa população de elementos, a
média populacional é dada por
𝝁 =
𝒙𝒊
𝑵

Central
Mediana: Para calcular a mediana devemos, em primeiro lugar,
ordenar os dados do menor para o maior valor. Se o número de
observações for ímpar, a mediana será a observação central. Se o
número de observações for par, a mediana será a média aritmética
das duas observações centrais. Notação: 𝑥
Exemplo: Salários mensais iniciais para uma amostra de 12
graduados em Administração

Central
Percentis: Em estatística descritiva, o p-ésimo percentil Pk é o valor x (xk)
que corresponde à frequência cumulativa de 𝑛
𝑝
100
, onde n é o tamanho
amostral.
𝒊 =
𝒑
𝟏𝟎𝟎
𝒏
Calculando o p-ésimo percentil
1 – Arranje os dados na ordem ascendente (do menor para o maior)
2 – Calcule o índice 𝒊 =
𝒑
𝟏𝟎𝟎
𝒏
3 - (a) Se não for um inteiro, arredonde para cima. O próximo inteiro
maior que i expressará a posição do p-ésimo percentil.
- (b) Se i é impar, o p-ésimo percentil é a média dos valores dados nas
posições i e i+1

Central
Exemplo: para os dados de salários o 85º percentil será:
𝑖 =
85
100
12 = 10,2
Arredondando para mais teríamos então a 11ª posição.

Central
Quartis: Na estatística descritiva, um quartil é qualquer um dos
três valores que divide o conjunto ordenado de dados em quatro
partes iguais, e assim cada parte representa 1/4 da amostra ou
população.
Assim, no caso duma amostra ordenada,
primeiro quartil (designado por Q1/4) = quartil inferior = é o valor
aos 25% da amostra ordenada = 25º percentil
segundo quartil (designado por Q2/4) = mediana = é o valor até ao
qual se encontra 50% da amostra ordenada = 50º percentil, ou
5º decil.
terceiro quartil (designado por Q3/4) = quartil superior = valor a
partir do qual se encontram 25% dos valores mais elevados = valor
aos 75% da amostra ordenada = 75º percentil à diferença entre os
quartis superior e inferior chama-se amplitude inter-quartil.

Central
Exemplo 1:
Amostra: 6, 47, 49, 15, 42, 41, 7, 39, 43, 40, 36
Amostra ordenada: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49
Q1/4 = 15
Q2/4 = 40
Q3/4 = 43
Exemplo 2:
Amostra ordenada: 7, 15, 36, 39, 40, 41
Q1/4 = 15
Q2/4 = (39+36)/2 = 37.5
Q3/4 = 40

Central

Medidas de posição: Medidas de
Tendência CentralBox Plot (Diagrama de Caixa)
Em estatística descritiva, diagrama de caixa, ou boxplot, box plot, é um gráfico
no qual o:
- eixo vertical representa a variável a ser analisada;
- eixo horizontal um fator de interesse.
O diagrama de caixa é uma ferramenta para localizar e analisar a variação de
uma variável dentre diferentes grupos de dados.
O diagrama de caixa procura obter as seguintes informações:
- Calcular a mediana e os quartis ( o quartil inferior contém 25% ( 1/4) das
menores medidas e o quartil superior contém 75 ( 3/4) de todas as medidas);
- Plotar um símbolo onde se localiza a mediana e uma caixa, daí o nome de
diagrama de caixas, onde a base representa o quartil inferior ( 25% ou 1/4) dos
menores valores), e o topo da caixa o quartil superior (75% ou 3/4) dos valores
observados. A caixa portanto representa 50% de todos os os valores observados
,concentrados na tendência central dos valores, eliminando os 25% menores
valores e 25% maiores valores ( 75% - 25% = 50%);
- Um segmento de reta vertical conecta o topo da caixa ao maior valor
observado e outro segmento conecta a base da caixa ao menor valor observado,
este segmento denomina-se Whisker, ou fio de bigode.

Central
Média Geométrica: Este tipo de média é calculada multiplicando-
se todos os valores e extraindo-se a raiz de índice n deste produto.
Digamos que tenhamos os números 4, 6 e 9, para obtermos o
valor médio aritmético deste conjunto, multiplicamos os elementos
e obtemos o produto 216. Pegamos então este produto e extraímos
a sua raiz cúbica, chegando ao valor médio 6.
Extraímos a raiz cúbica, pois o conjunto é composto de 3
elementos. Se fossem n elementos, extrairíamos a raiz de índice n.
Neste exemplo teríamos a seguinte solução
𝑮 =
𝒊=𝟏
𝒏
𝒙𝒊
𝟏
𝒏
= 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐
.
. . 𝒙 𝒏
𝟏
𝒏 = 𝒏
𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 … 𝒙 𝒏

Central
Média Harmônica: é o número de membros dividido pela soma
do inverso dos membros
𝐻 =
1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
−1
−1
Pode-se então estabelecer que:
𝐻 ≤ 𝐺 ≤ 𝑥

A origem das médias
Arquitas de Tarento, um matemático pitagórico que viveu por volta
de 400 a.C., definiu que existiam três tipos de média. Um número é
a média aritmética de dois outros quando o excesso do primeiro
para o segundo é igual ao excesso do segundo para o terceiro,
a média geométrica quando a proporção do segundo para o terceiro
é igual à proporção do primeiro para o segundo, e a média
harmônica quando a quantidade que o primeiro excede o segundo
em relação ao primeiro é igual à quantidade que o segundo excede o
terceiro em relação ao terceiro; em notação moderna, sendo o
primeiro x, o segundo m e o terceiro y (x > m > y > 0):

Medidas de dispersão
As medidas de posição apresentadas fornecem a informação dos
dados apenas a nível pontual, sem ilustrar outros aspectos
referentes à forma como os dados estão distribuídos na amostra.
As medidas de dispersão são utilizadas para avaliar o grau de
variabilidade, ou dispersão, dos valores em torno da média.

Qual a importância das medidas de dispersão na prática?
Vejamos o exemplo das notas de três turmas (A, B e C)
Essa tabela será o nosso mote para no final avaliar qual foi a
melhor turma.
Turma A Turma B Turma C
4 5 2
5 6 3
6 6 8
7 6 8
8 7 9

Amplitude total: é a diferença entre o menor e o maior valor
observado.
𝑨𝑻 = 𝑿𝒊 𝒎𝒂𝒙 − 𝑿𝒊 𝒎𝒊𝒏
Verifica-se que a amplitude como medida de dispersão é limitada.
Essa medida só depende dos valores extremos, ou seja, não é
afetada pela dispersão dos valores internos.
Quais os resultados para as notas das turmas?
Amplitude interquartil: é a diferença entre o terceiro quartil e o
primeiro.

Variância: A variância de um conjunto de dados (amostra ou
população) é uma medida de “VARIABILIDADE ABSOLUTA”. Ela mede
a variabilidade do conjunto em termos de desvios quadrados em
relação à média aritmética. É uma quantidade sempre NÃO
NEGATIVA e expressa em unidades quadradas do conjunto de dados,
sendo de difícil interpretação.
𝜎2 =
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝜇 2
𝑁
𝑠2 =
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑛 − 1
Populacional
Amostral

Desvio Padrão: É uma outra medida de dispersão mais
comumente empregada do que a variância, por ser expressa na
mesma unidade de medida do conjunto de dados. Mede a
"DISPERSÃO ABSOLUTA" de um conjunto de valores e é obtida a
partir da variância. Trata-se da raiz quadrada da variância
𝜎 = 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝜇 2
𝑁
𝑠 = 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑛 − 1

Coeficiente de variação: É uma medida de “VARIABILIDADE
RELATIVA”, útil para comparar a variabilidade de observações com
diferentes unidades de medida.
𝑐𝑣 =
𝜎
𝑥
(100)

Vamos avaliar qual a melhor Turma. Na sua opinião qual turma é
melhor.

Vamos usar:
Excel
R

Distribuição de Frequências
Organização dos dados: Os métodos utilizados para organizar
dados compreendem o arranjo desses dados em subconjuntos que
apresentem características similares.
mesma idade (ou “faixa etária”), mesma finalidade, mesma escola,
mesmo bairro, etc
Os DADOS AGRUPADOS podem ser resumidos em tabelas ou
gráficos e, a partir desses, podemos obter as estatísticas descritivas
já definidas: média, mediana, desvio, etc.
Dados organizados em grupos ou categorias/classes são
usualmente designados “DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA”.

Uma distribuição de frequência é um método de se agrupar dados
em classes de modo a fornecer a quantidade (e/ou a percentagem)
de dados em cada classe.
Com isso, podemos RESUMIR e VISUALIZAR um conjunto de
dados sem precisar levar em conta os valores individuais.
Construindo assim uma SÍNTESE dos DADOS QUANTITATIVOS.
Uma distribuição de frequência (absoluta ou relativa ) pode ser
apresentada em TABELAS ou GRÁFICOS.

Uma distribuição de frequência agrupa os dados por classes de
ocorrência, resumindo a análise de conjunto de dados grandes.
Tipos de Frequência
Simples
Absolutas
Relativas
Acumuladas
Crescente
Absolutas
Relativas
Decrescente
Absolutas
Relativas

Eventos Altura
Aluno1 1,60
Aluno2 1,69
Aluno3 1,72
Aluno4 1,73
Aluno5 1,73
Aluno6 1,74
Aluno7 1,75
Aluno8 1,75
Aluno9 1,75
Aluno10 1,75
Aluno11 1,75
Aluno12 1,76
Aluno13 1,78
Aluno14 1,80
Aluno15 1,82
Aluno16 1,82
Aluno17 1,84
Aluno18 1,88

Como construir uma distribuição de frequência a partir dessas
informações?
Primeiro reduzir o número de linhas da tabela, para isso temos
que calcular o NÚMERO DE CLASSES.
O Número de classes pode ser representado pela letra (k). Para o
cálculo do número de classes pode-se utilizar algumas regras como:
1) Regra de Sturges (Regra do Logaritmo)
𝑘 = 1 + 3,3log(𝑛)
2) Regra da Raiz Quadrada
𝑘 = 𝑛
3) Bom Senso!
Podemos decidir qual o melhor número de classes, muitos afirmam
que devemos ter classes entre os tamanhos 5 a 20.

Existem várias maneiras de apresentarmos o intervalo de classes: iguais
ou diferentes entre si. Porém, sempre que possível, deveremos optar por
intervalos iguais, o que facilitará os cálculos posteriores. Mas mesmo com
intervalos iguais, as distribuições poderão apresentar-se da seguinte
forma:
0 -- 10: compreende todos os valores entre 0 e 10, exclusive os
extremos.
0 |--|10: compreende todos os valores entre 0 e 10, inclusive os
extremos.
0 --|10: compreende todos os valores entre 0 e 10, inclusive o 10 e
exclusive o 0.
010: compreende todos os valores entre 0 e 10, inclusive o 0 e
exclusive o 10.
Como optaremos por este último tipo (010), pode-se definir como
intervalo de classe a diferença entre o limite superior e o limite inferior da
classe. Portanto, no exemplo, 10 – 0 = 10 é o intervalo ou amplitude da
classe que será representado pela letra h.

Largura das classes (amplitude das classes (h)): É a segunda etapa
da construção de uma distribuição de frequência para dados
quantitativos. Recomenda-se que a largura seja a mesma para cada
uma das classes.
𝐿𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 =
𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 − 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒𝑠
Para o exemplo das alturas temos:
1,88−1,60
5
= 0,056
Que arredondando transforma-se em 0,06

Obs. 1: Na amplitude das classes (h), observe que aumentamos
uma unidade, não seguindo, portanto, as regras de arredondamento.
Esta é uma regra que deve ser sempre seguida no cálculo da
amplitude da classe. Você saberia me dizer por quê?
Obs. 2: Deve-se conservar o número de casas decimais dos dados
observados. Por exemplo, se os dados se referem à massa de
indivíduos em kg e forem expressos com uma casa após a vírgula
(por exemplo, 60,5 kg), então a amplitude deverá ter uma casa após
a vírgula.
Obs. 3: Usando o bom-senso e a experiência, poderá ser
conveniente , quando possível, a utilização da amplitude de um
intervalo de classe igual a 10 ou 5, facilitando as operações
posteriores.

Para os dados das alturas teremos:
1,59 --| 1,66
1,66 --| 1,72
1,72 --| 1,78
1,78 --| 1,84
1,84 --| 1,90

Ponto Médio das Classes (𝑿𝒊): É a média aritmética entre o limite
superior e o limite inferior da classe. Assim, se a classe for 0--|10,
teremos
0+10
2
= 5, que será o ponto médio da classe.
Limites de Classe: São os números extremos de cada intervalo:
sendo assim, temos um limite inferior e um superior. Se a primeira
classe tiver um intervalo de notas de 0 até 10, o 0 será o limite
inferior enquanto que o 10 será o limite superior desta classe.

Frequência Acumulada (𝑭𝒊): Corresponde à soma das freqüências
de determinada classe com as anteriores. No exemplo, vejamos
como fica a frequência acumulada de cada classe:
Altura Fi
1,59 --| 1,66 1
1,66 --| 1,72 2
1,72 --| 1,78 10
1,78 --| 1,84 4
1,84 --| 1,90 1
Total 18

Frequência relativa ( 𝒇𝒊 ):Corresponde ao quociente entre a
freqüência absoluta da classe e o total de elementos.
𝑓𝑖 =
𝑓𝑖
𝑛
Altura Fi fi
1,59 --| 1,66 1 0,06
1,66 --| 1,72 2 0,11
1,72 --| 1,78 10 0,56
1,78 --| 1,84 4 0,22
1,84 --| 1,90 1 0,06
Total 18 1,00

Distribuições cumulativas: São as somas das ocorrências de dados
cumulativamente às classes. Também é importante mostrar os
termos em percentuais tanto na relativa quanto na acumulada
Altura Fi fi %fi FA %FA
1,59 --| 1,66 1 0,06 5,56 0,06 5,56
1,66 --| 1,72 2 0,11 11,11 0,17 16,67
1,72 --| 1,78 10 0,56 55,56 0,72 72,22
1,78 --| 1,84 4 0,22 22,22 0,94 94,44
1,84 --| 1,90 1 0,06 5,56 1,00 100,00
Total 18 1,00 100,00

Gráficos: Histograma: Também conhecido como Distribuição de
Frequências ou Diagrama das Frequências, é uma representação gráfica na
qual um conjunto de dados é agrupado em classes uniformes,
representado por um retângulo cuja base horizontal são as classes e seu
intervalo e a altura vertical representa a frequência com que os valores
desta classe estão presente no conjunto de dados . É uma das Sete
Ferramentas da Qualidade. O histograma é um gráfico composto por
retângulos justapostos em que a base de cada um deles corresponde ao
intervalo de classe e a sua altura à respectiva frequência. Quando o
número de dados aumenta indefinidamente e o intervalo de classe tende a
zero, a distribuição de frequência passa para uma distribuição de
densidade de probabilidades. A construção de histogramas tem caráter
preliminar em qualquer estudo e é um importante indicador da
distribuição de dados. Podem indicar se uma distribuição aproxima-se de
uma FUNÇÃO NORMAL, como pode indicar mistura de populações quando
se apresentam bimodais.

Passos para a construção do histograma:
1) Na abscissas, distribua as classes
2) Na ordenada da esquerda, as frequências absolutas
3) Construa um gráfico de barras para as frequências
4) Construa um gráfico de linha para a frequência acumulada
(utilize a escala da direita)

Ogivas
0
5
10
15
20
1,59 --| 1,66 1,66 --| 1,72 1,72 --| 1,78 1,78 --| 1,84 1,84 --| 1,90

Gráfico de Pizza

Média Ponderada de uma Frequência:
𝒙 =
𝑭𝒊 𝒙
𝒇
Onde:
𝒙 – Ponto Médio da Classe
𝒇𝒊 - Frequência acumulada
𝒇 - n

Altura Fi fi %fi FA %FA
Ponto
Médio
x*fi
1,59 1,65 1 0.06 5.56 0.06 5.56 1,62 1.62
1,65 1,71 1 0.06 5.56 0.11 11.11 1,68 1.68
1,71 1,77 10 0.56 55.56 0.67 66.67 1,74 17.4
1,77 1,83 4 0.22 22.22 0.89 88.89 1,80 7.2
1,83 1,89 2 0.11 11.11 1.00 100.00 1,86 3.72
Total 18 1,00 100,00 8,75 31,62
Média 1,7564
Média
real
1,7589

Podemos além da média, encontrar a mediana e a moda para
distribuições de frequência, bem como a variância e o desvio padrão.

Para dados agrupados em intervalos de classes, você pode calcular
a moda por meio do método de Czuber, que se baseia na influência
das classes adjacente na moda deslocando-se no sentido da classe
de maior frequência. A expressão que você utilizará é:
𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 +
𝑑1
𝑑1 + 𝑑2
× 𝑐
Li : limite inferior da classe modal;
𝑑1 : diferença entre a frequência da classe modal e a
imediatamente anterior;
𝑑2 : diferença entre a frequência da classe modal e a
imediatamente posterior; e
c : amplitude da classe modal
Para a tabela de alturas temos: 1.71 +
9
9+6
× 0,06 = 1,746 ≅ 1,75

Quando os dados estão agrupados na mediana, devemos
encontrar a classe mediana. Se os dados estão agrupados em
intervalos de classe, como no caso do número de casa por rua,
utilizaremos a seguinte expressão:
𝑀𝑑 = 𝑙𝑖 +
𝑛
2
− 𝑓𝑎𝑛𝑡𝑎𝑐
𝑓 𝑚𝑒𝑑
× 𝑐
li : limite inferior da classe mediana;
n : número total de elementos;
𝑓𝑎𝑛𝑡𝑎𝑐 : frequência acumulada anterior à classe mediana;
𝑓 𝑚𝑒𝑑 : frequência absoluta da classe mediana; e
c: amplitude da classe mediana.

Porém é importante definir a classe mediana, para tanto devemos
usar a seguinte fórmula (n/2) para definir a classe mediana
Utilizando os dados das alturas teremos:
Classe mediana =
18
2
= 9 logo temos que examinar o 9º
elemento, onde o mesmo se encontra na classe 1,71--|1,77
Aplicando a fórmula da mediana temos:
𝑀𝑑 = 1,71 +
18
2
− 0,11
10
× 0,06 = 1,763 ≅ 1,76

Em um conjunto de dados, a mediana, a moda e a média não
necessariamente devem apresentar o mesmo valor. Uma informação
importante é que a mediana não é influenciada pelos valores
extremos. Comparando os resultados encontrados para uma
amostra em relação às medidas de posição estudadas e verificando a
inter-relação entre elas, você pode concluir que seus valores podem
nos dar um indicativo da natureza da distribuição dos dados, em
função das regras definidas pela Figura seguinte:

Com relação a Variância para dados agrupados em classes, pode-se utilizar a
seguinte expressão a partir dos desvio padrão:
𝑠 =
1
𝑛 − 1
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥 2 𝑓𝑎
Onde
n – Nº de Observações
𝑥𝑖 − 𝑥 2 - Os desvios em torno da média ao quadrado. Onde 𝑥𝑖 são os pontos
médios de cada classe;
𝑓𝑎 - Frequências absolutas de cada classe.
Para as alturas temos:
𝑠 =
1
18 − 1
{ 1,62 − 1,76 2 × 1 + 1,68 − 1,76 2 × 1 + 1,74 − 1,76 2 × 10 + 1,8 − 1,76 2 × 4 + [ 1,86 − 1,76 2 × 2]
s=0,058
𝑠2
= 0,03

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