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Principios de filtrado y convolución en imágenes digitales
Rodrigo Rojas Moraleda
April 8, 2011
Rodrigo Rojas Moraleda — Principios de filtrado y convolución en imágenes digitales 1/32

Outline
1 Vectores y sus representaciones
2 Matrices y sus representaciones
3 Sistemas Lineales
4 Detecci´on de bordes

Outline
3 Sistemas Lineales

Vectores
representaciones
Vector v =






x
y
z






Base vectorial y
coordenadas
r
Px
y
O
x
Producto Interno a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = abt
= a1 a2 a3


b1
b2
b3


Norma a
2
= aat
=
√
a1a1 + a2a2 + a3a3
Ortogonalidad = a · b = 0, ⊥

Outline
3 Sistemas Lineales

Matrices
representaciones
Conjunto de
elementos
organizados en
columnas y ﬁlas


a1,1 a1,2
a2,1 a2,2


Algunas operaciones
Suma



a1,1 a1,2
a2,1 a2,2



 +




b1,1 b1,2
b2,1 b2,2



 =




a1,1 + b1,1 a1,2 + b1,2
a2,1 + b2,1 a2,2 + b2,2




Escalamiento
b




a1,1 a1,2
a2,1 a2,2



 =




ba1,1 ba1,2
ba2,1 ba2,2




Multiplicaci´on



a1,1 a1,2
a2,1 a2,2



 ·




b1,1 b1,2
b2,1 b2,2



 =




a1,1b1,1 + a1,2b2,1 a1,1b1,2 + a1,2b2,2
a2,1b1,1 + a2,2b2,1 a2,1b2,1a2,2b2,2





Matrices
Operaciones con vectores
Al Multiplicar una matriz cuadrada a un vector se obtiene otro vector



a1,1 a1,2
a2,1 a2,2


 ·



x
y


 =



x
y



Ejemplo: la matriz de
rotaci´on 2D



coseno(θ) −seno(θ)
seno(θ) coseno(θ)



O
v
v'

Valores propios y vectores propios
A partir de una transformaci´on A se busca resolver



a1,1 a1,2
a2,1 a2,2


 ·



x
y


 = λ



x
y



v'=λv
v
v'
Al resolver en una matriz 2D los vectores propios son rotaciones
V = v1 v2 =



coseno(θ) −seno(θ)
seno(θ) coseno(θ)


 , v1 · v2 = 0, ⊥
V tAV =



cos(θ) sen(θ)
−sen(θ) cos(θ)






a1,1 a1,2
a2,1 a2,2






cos(θ) −sen(θ)
sen(θ) cos(θ)


 =



λ1 0
0 λ2




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3 Sistemas Lineales

Operador del sistema
Un sistema convierte una entrada f(x) en una salida g(x) don de x es una
variable independiente.
f(x)
System
H
g(x)
Es requerido que la salida del sistema este completamente determinada por
las entradas.
g(x) = H[f(x)]
H es el operador del sistema que mapea el conjunto de las posibles salidas
{g(x)} con cada una de las posibles entradas {f(x)}.

Operador lineal
H es un operador lineal para una clase de entradas {f(x)} si:
H[αifi(x) + αjfj(x)] = αiH[fi(x)] + αjH[fj(x)]
= αigi(x) + ajgj(x)
para toda fi(x) y fj(x) pertenecientes a {f(X)}, donde αi, αj son
constantes arbitrarias y
gi(x) = H[fi(x)]
es la salida para una entrada arbitraria fi(x) ∈ {f(x)}

Sistema lineal
Un sistema lineal es un sistema descrito por un operador lineal (y respecto
a la misma clase de entradas) que obedece las propiedades de escalado
(homogeneidad) y de superposici´on (aditiva)
H[αf(x)] = αH[f(x)]
H[f1(x) + f2(x)] = H[f1(x)] + H[f2(x)]
H g(x)
f1(x)
f2(x)
+
H
g(x)
f1(x)
f2(x)
+
H

Sistemas
Invariante en el tiempo / espacio
Un operador H es denominado invariante en el tiempo o invariante espacial
para una clase de entradas {f(x)} si
gi(x) = H[fi(x)] =⇒ gi(x + x0) = H[fi(x + x0)]
, ∀ fi(x) ∈ {f(x)} y ∀ x0
H g(x- T)f(x) T
f(x- T)
H g(x- T)f(x) T
g(x)
La forma de la salida no cambia con el retraso de la entrada, la Salida es la
misma si el retraso es colocado en la entrada o en la salida.

Sistema
Causal
Un sistema causal es aquel que es no-anticipativo; esto es, que las salidas
dependen de entradas presentes y pasadas, pero no de entradas futuras.
f(x) = 0 x < x0 ⇒ g(x) = H[f(x)] = 0 x < x0
En procesamiento de im´agenes digitales, si consideramos la variable
dependiente como los p´ıxeles de la derecha y de la izquierda (el “futuro”) de
la posici´on actual de la imagen. Entonces tendremos un sistema no-causal.

Convolución
Pulso unitario
La Función Delta de Dirac δ(t), conocida también como el impulso unitario
o función delta es una función infinitamente angosta, infinitamente alta,
cuya integral tiene un valor unitario.
∞
−∞
δ(t) dt = 1
Esta función es cero en todas partes excepto en el origen
Propiedades:
f(t)δ(t) = f(0)δ(t)
∞
−∞
f(t)δ(t) dt =
∞
−∞
f(0)δ(t) dt = f(0)
∞
−∞
δ(t) dt = f(0)
∞
−∞
f(t)δ(x − t) dt = f(x)

Convolución
Respuesta al impulso
∞
−∞
f(t)δ(x − t) dt = f(x)
g(x) = H[f(x)] g(x) = H
∞
−∞
f(a)δ(x − a)da
g(x) =
∞
−∞
f(a)H [δ(x − a)] da =
∞
−∞
f(a)h (x, a)) da
Se denomina respuesta al impulso al término
h(x, a) = H [δ(x − a)]
Que es la respuesta del sistema lineal a un pulso unitario localizado en la
posición x

Convolución
Convolución Integral
La expresión
g(x) =
∞
−∞
f(a)h(x, a) da
indica que la respuesta de un sistema lineal queda caracterizada por la
respuesta al impulso.
Si el operador H, es invariante entonces.
H [δ(x − a)] = h(x − a)
y la integral de superposición.
g(x) =
∞
−∞
f(a)h(x − a) da
convolución Integral

Convolución
Convolución Integral
g(x) =
∞
−∞
f(a)h(x − a) da
Considerando que a es una variable de integración
g(x) = f(x) h(x)
donde
f(x) h(x) =
∞
−∞
f(a)h(x − a) da

Convolución
Representación discreta
δ [n] =
1 si n = 0
0 otro caso
f [n] =
∞
k=−∞
f [k] δ [n − k]
La suma de convolución queda expresada como:
g [n] =
∞
k=−∞
f [k] h [n − k]
g [n] = f [n] h [n]

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3 Sistemas Lineales

Detección de bordes
Filtros del gradiente
Un borde es una transición local, de un objeto a otro sin ser
necesariamente una frontera, solo es una transición localmente
identificable.
Variaciones fuertes de la intensidad que corresponden a las fronteras de
los objetos visualizados.
Métodos basados en el gradiente: detectan los bordes en base a las
derivadas espaciales de la imagen aproximadas en forma de operadores
de convolución.

Gradiente
Considerando una imagen como un campo escalar z = E(x, y), por ejemplo
de la intensidad de los pixeles.
O
=λv
v' y
x
E
∂E/∂x
∂E/∂y
(x,y,E(x,y))
Figure: Representación de la evaluación de la función de valor de un plano
tangencial (x, y, E(x, y)) a un pixel
Gradiente grad(E) = ∂E
∂x
, ∂E
∂y
t
Vectores Normales: n− = ∂E
∂x
, ∂E
∂y
, −1
t
, n+ = −∂E
∂x
, −∂E
∂y
, +1
t

Gradiente
O
=λv
v' y
x
E
∂E/∂x
∂E/∂y
(x,y,E(x,y))
Vector gradiente, E =


∂E
∂x
∂E
∂y

 =


Gx
Gy


Magnitud vector gradiente E = ∂E
∂x
2
+ ∂E
∂y
2
1
2
Orientaci´on del vector gradiente: φ( f) = tan−1 Gx
Gy

Aproximaci´on de derivadas
Una manera de aproximar las derivadas en un entorno discreto es utilizar
un operador explicito del tipo {+1, −1} que calcule E(xi) − E(xj) para dos
pixeles en un entorno. Esta operaci´on particular recibe el nombre de
diferencias hacia adelante.
∂I
∂x
≈ I(x + 1, y) − I(x, y)
3 4 51 1 1 1 2 5 5
F[n]
F'[n]=F[n+1] - F[n-1]
2 2 10 0 0 1 2 0 0
F'[n]=F[n] - F[n-1]
2 2 10 0 0 1 2 0 0
3 3 31 1 1 3 3 3 1
F[n]
F'[n]=F[n+1] - F[n-1]
0 0 -20 0 2 2 0 -2 0
F'[n]=F[n] - F[n-1]
1 1
0
0 0 00 0 0 2 0 -2 0 0

Kernels de convolución
Conexión con sistemas LTI
Puesto que las derivadas son operadores lineales e invariantes, la
aproximación en el calculo del gradiente es realizado normalmente por
convolución con una función discreta denominada Kernel.
Se han propuesto numerosos kernels para aproximar este operador.
Roberts Kernels
∂E
∂x
≈ E(i + 1, j + 1) − E(i, j) ∂E
∂y
≈ E(i + 1, j) − E(i, j + 1)
Gx =
+1 0
0 -1
Gy=
0 +1
-1 0
E = (Gx E)2 + (Gy E)2

Prewitt Kernels
∂E
∂x
≈ E(i + 1, j) − E(i − 1, j)/2 ∂E
∂y
≈ E(i, j + 1) − E(i, j − 1)/2
Esto corresponde con un Kernel de convoluci´on del tipo
Gx = -1 0 1
Sin embargo este kernel muestra emp´ıricamente ser sensible al ruido. El
enfoque de Prewitt reduce este problema mediante el calculo de un
promedio en y cuando se calcula la componente x del gradiente y promedio
en x en la componente y del gradiente.
Gx =
-1 0 1
-1 0 1
-1 0 1
Gy=
-1 -1 -1
0 0 0
1 1 1
E = (Gx E)2 + (Gy E)2

Sobel Kernel
∂E
∂x
≈ E(i + 1, j) − E(i − 1, j)/h ∂E
∂y
≈ E(i, j + 1) − E(i, j − 1)/h
En la promediación aplica mayor peso a los p´ıxeles centrales..
Gx =
-1 0 1
-2 0 2
-1 0 1
Gy=
-1 -2 -1
0 0 0
1 2 1
Este tipo de Kernel de convolución se puede considerar como una
aproximación 3x3 de la primera derivada de un kernel Gaussiano. Es decir
es equivalente a convolucionar con un kernel gaussiano de 3x3 y luego
calcular sus derivadas.
∂(I G)
∂x
= E ∂G
∂x

Métodos de la segunda derivada
Métodos de la segunda derivada
Operadores que buscan máximos en la magnitud del gradiente. En el caso
unidimensional encontrar el borde ideal es equivalente a encontrar el punto
donde la derivada es máxima o m´ınima dependiendo del sentido de a
pendiente. Una forma de encontrar estos puntos es volver a derivar y
encontrar los puntos donde la derivada es 0.
La búsqueda de bordes optimos consiste en encontrar donde la segunda
derivada es 0. Este punto (D = 0) raramente se consigue en imágenes

Puntos de inflexión
Proporcionan dos puntos de transición uno positivo en la entrada a un
transición y otro a la salida.
son muy sensibles al ruido

Puntos de inﬂexi´on

Laplaciano
Kernel Laplaciano
El Laplaciano es invariante rotacional, y es posible encontrar los bordes de
la imagen buscando los puntos donde el laplaciano es 0 ( Marr-Hildreth
operador)

Questions ?
Rodrigo Rojas Moraleda
rodrigo.rojas@postgrado.usm.cl

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