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1. ¸˜ ´
FUNCOES DE UMA VARIAVEL
x2 −x
Exerc´
ıcio) Esboce o gr´fico de f (x) =
a 1+3x2
.
1. Dom´
ınio da fun¸˜o
ca
Dom f = R
2. Intersec¸˜o com os eixos
ca
02 −0
Para x = 0 temos f (0) = 1+3·02
= 0. Logo, o ponto (0, 0) pertence a graf f.1
x2 −x
Para y = 0 temos f (x) = 0 ⇒ 1+3x2
= 0 ⇒ x = 0 ou x = 1. Logo, o ponto (1, 0) pertence a
graf f.
3. Derivada de primeira ordem, pontos de m´ximo e m´
a ınimo locais e regi˜es de crescimento e
o
decrescimento
d (x2 − x) (1 + 3x2 ) − (x2 − x)(1 + 3x2 )
f (x) = f (x) = =
dx (1 + 3x2 )2
(2x − 1)(1 + 3x2 ) − (x2 − x)6x 2x + 6x3 − 1 − 3x2 − 6x3 + 6x2
= =
(1 + 3x2 )2 (1 + 3x2 )2
d 3x2 + 2x − 1
∴ f (x) = f (x) =
dx (1 + 3x2 )2
Igualamos f (x) a 0 para obter as abscissas dos pontos de m´ximo e m´
a ınimo local.
3x2 + 2x − 1 1
f (x) = 0 ⇒ 2 )2
= 0 ⇒ 3x2 + 2x − 1 = 0 ⇒ x = −1 ou x =
(1 + 3x 3
Substituindo os valores de x encontrados acima na fun¸˜o f , achamos os pontos
ca
1 1 1 1 −1
P1 = (−1, f (1)) = 1, e P2 = ,f = ,
2 3 3 3 6
Como f (1) > f ( 1 ), concluimos que P1 ´ ponto de m´ximo local e P2 ´ ponto de m´
3 e a e ınimo local.
Para determinar as regi˜es de crescimento e decrescimento da fun¸˜o devemos estudar o sinal da
o ca
fun¸˜o f (x). Esta fun¸˜o ´ racional, logo precisamos estudar o sinal das fun¸˜es do numerador
ca ca e co
e do denominador. A fun¸˜o do denominador (1 + 3x
ca 2 )2 ´ positiva para qualquer valor real de
e
x, portanto n˜o influenciar´ no estudo do sinal de f . Resta estudar o sinal de 3x2 + 2x − 1.
a a
O gr´fico desta ´ uma par´bola com concavidade para cima, portanto, ` esquerda do menor
a e a a
zero (x = −1) ´ positiva, entre os dois zeros da fun¸˜o ela ´ negativa e ` direita do maior zero
e ca e a
(x = −1/6) ´ positiva. Resumindo e concluindo,
e
1 1
(a) f (x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −1)∪ 3 , +∞ ∴ f (x) ´ crescente no intervalo (−∞, −1)∪
e 3 , +∞ .
1 1
(b) f (x) < 0 ⇔ x ∈ −1, 3 ∴ f (x) ´ decrescente no intervalo −1,
e 3 .
4. Derivada de segunda ordem, pontos de inflex˜o e regi˜es com concavidade para cima e para
a o
baixo
d2 (3x2 + 2x − 1) (1 + 3x2 )2 − (3x2 + 2x − 1)[(1 + 3x2 )2 ]
f (x) = f (x) = =
dx2 [(1 + 3x2 )2 ]2
(6x + 2)(1 + 3x2 )2 − (3x2 + 2x − 1)2(1 + 3x2 )6x
=
(1 + 3x2 )4
1
graf f := {(x, f (x)) : x ∈ Dom f }.
1

2. (1 + 3x2 )[(6x + 2)(1 + 3x2 ) − (3x2 + 2x − 1)12x]
=
(1 + 3x2 )4
6x + 18x3 + 2 + 6x2 − 36x3 − 24x2 + 12x −18x3 − 18x2 + 18x + 2
=
(1 + 3x2 )3 (1 + 3x2 )3
d2 9x3 + 9x2 − 9x − 1
∴ f (x) = f (x) = −2
dx2 (1 + 3x2 )3
Igualamos f (x) a zero para descobrir os pontos de inflex˜o 2 .
a
9x3 + 9x2 − 9x − 1
f (x) = 0 ⇒ −2 = 0 ⇒ 9x3 + 9x2 − 9x − 1 = 0
(1 + 3x2 )3
⇒ x ≈ −1, 5863 ou x ≈ −0, 1018 ou x ≈ 0, 6881
Os pontos de inflex˜o s˜o
a a
(−1, 5863, f (−1, 5863)) e (−0, 1018, f (−0, 1018)) e (0, 6881, f (0, 6881))
5. Limites da fun¸˜o quando x → ∞ e quando x → −∞ e ass´
ca ıntotas
x2 − x
lim
x→∞ 1 + 3x2
Pela regra de L’Hospital, o limite acima ´ igual a limx→∞ 2x−1 . Como o limite continua inde-
e 6x
terminado, aplicamos novamente a regra de L’Hospital e obtemos
2 1
lim f (x) = lim = .
x→∞ x→∞ 6 3
x −x 2
Analogamente, conclu´ımos que limx→−∞ 1+3x2 = 1 .
3
a ıntota horizontal cuja equa¸˜o ´ y = 1 .
H´ portanto uma ass´ ca e 3
6. Gr´fico
a
2
Os zeros do polinˆmio foram determinados computacionalmente.
o
2

3. ıcio) Esboce o gr´fico de f (x) = (x2 − 1)3 .
Exerc´ a
1. Dom´
ınio da fun¸˜o
ca
Dom f = R
2. Intersec¸˜o com os eixos
ca
Para x = 0 temos f (0) = (02 − 1)3 = −1. Logo, o ponto (0, −1) pertence a graf f .
Para y = 0 temos f (x) = 0 ⇒ (x2 − 1)3 = 0 ⇒ x = −1 ou x = 1. Logo, os ponto (−1, 0) e (1, 0)
pertencem a graf f.
3. Derivada de primeira ordem e regi˜es de crescimento e decrescimento
o
d
f (x) = f (x) = 3(x2 − 1)2 2x = 6x(x2 − 1)2
dx
Igualando f (x) a zero
f (x) = 0 ⇒ 6x(x2 − 1)2 = 0 ⇒ 6x = 0 ou (x2 − 1)2 = 0 ⇒ x = 0 ou x = −1 ou x = 1.
Como (x2 − 1)2 ´ positivo para qualquer valor real de x, conclu´
e ımos que o sinal de f (x) depende
apenas de 6x. Logo,
(a) f (x) < 0 ⇔ x ∈ (−∞, 0) ∴ f´ decrescente em (−∞, 0),
e
(b) f (x) > 0 ⇔ x ∈ (0, ∞) ∴ f´ crescente em (0, ∞).
e
4. Derivada de segunda ordem e regi˜es com concavidade para cima e para baixo
o
d2
f (x) = f (x) = (6x) (x2 − 1)2 + 6x[(x2 − 1)2 ] = 6(x2 − 1)2 + 6x[2(x2 − 1)2x]
dx2
= 6{(x2 − 1)2 + x[2(x2 − 1)2x]} = 6{(x2 − 1)2 + 4x2 (x2 − 1)} = 6{(x2 − 1)[(x2 − 1) + 4x2 ]}
d2
∴ f (x) = f (x) = 6(x2 − 1)(5x2 − 1)
dx2
Igualando f (x) a zero
1 1
6(x2 −1)(5x2 −1) = 0 ⇒ (x2 −1) = 0 ou (5x2 −1) = 0 ⇒ x = −1 ou x = 1 ou x = − √ ou x = √ .
5 5
Estadando o sinal de f (x), por meio do estudo das fun¸˜es (x2 − 1) e (5x2 − 1), conclu´
co ımos que
1 1
(a) f (x) < 0 ⇔ x ∈ I1 = −1, − √5 ∪ √ ,1
5
∴ f tem concavidade voltada para baixo em I1 ,
1 1
(b) f (x) > 0 ⇔ x ∈ I2 = (−∞, −1) ∪ − √5 , √5 ∪ (1, +∞) ∴ f tem concavidade voltada para
cima em I2 .
5. Determina¸˜o dos pontos de m´ximo e de m´
ca a ınimo
Podemos submeter os pontos cr´ ıticos da fun¸˜o f (os pontos cuja derivada se anula) ao teste da
ca
segunda derivada. Id est, calcularemos cr´ ıticos de f em f (x). Para x = 0,
f (0) = 6(02 − 1)(5 · 02 − 1) = 6 > 0 ∴ x = 0 ´ abscissa de um ponto de m´
e ınimo3
3
Se f (c) = 0 e f (c) > 0, c ´ ponto de m´
e ınimo local; Se f (c) = 0 e f (c) < 0, c ´ ponto de m´ximo local.
e a
3

4. Para x = −1 e x = 1,
a a a ınimo4
f (−1) = f (1) = 0 ∴ x = 1 e x = −1 n˜o s˜o abscissas de ponto de m´ximo nem de m´
Substituindo x = 0 na fun¸˜o f , encontramos f (0) = −1. Portanto (0, −1) ´ ponto de m´
ca e ınimo
local.
6. Determina¸˜o dos pontos de inflex˜o As abscissas dos pontos de inflex˜o j´ foram determinadas
ca a a a
no item 4. Substituindo-as em f , obtemos os pontos de inflex˜o
a
1 −64 1 −64
(−1, 0) , (1, 0) , − √ , e √ ,
5 125 5 125
7. Limites da fun¸˜o quando x → ∞ e quando x → −∞ e ass´
ca ıntotas
lim (x2 − 1)3 = ∞
x→−∞
e
lim (x2 − 1)3 = ∞
x→∞
Logo, n˜o h´ ass´
a a ıntotas.
8. Gr´fico
a
4
Essa conclus˜o poderia ser tirada observando-se que n˜o h´ mudan¸a no sinal de f (x) no ponto x = 1 nem no ponto
a a a c
x = −1, logo n˜o podem ser nem ponto de m´ximo nem de m´
a a ınimo, pois estes est˜o necessariamente entre um peda¸o
a c
crescente e um decrescente de uma fun¸ao.
c˜
4