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Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá
                   Análise de Regressão:
Extensões
               Extensões e regressão múltipla
Regressão
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
                           Rodrigo de Sá
inferência




              Fundação de Economia e Estatística, 2011
Livro texto

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá




               Damodar Gujarati
Extensões

Regressão
múltipla -     Econometria Básica
               3ª ed. 2005.
estimação

Regressão
múltipla -
inferência
Regressão pela origem

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão

                  Há ocasiões que a Teoria Econômica diz que o melhor
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá            modelo a ser utilizado é Yi = β1 Xi + ui .
Extensões
                  Nesse modelo, o intercepto é igual a zero, ou seja, a
Regressão
                  regressão passa pela origem.
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência
Regressão pela origem

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão

                  Há ocasiões que a Teoria Econômica diz que o melhor
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá            modelo a ser utilizado é Yi = β1 Xi + ui .
Extensões
                  Nesse modelo, o intercepto é igual a zero, ou seja, a
Regressão
                  regressão passa pela origem.
múltipla -
estimação

Regressão
                  Por exemplo, temos o Capital Asset Pricing Model
múltipla -
inferência
                  (CAPM).
                  No CAPM, o retorno de um ativo i e o retorno da carteira
                  de mercado são relacionados pela fórmula
                  (ERi − rf ) = βi (ERm − rf ).
Regressão pela origem: visualização

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá


Extensões

Regressão
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência




                                  Figura: CAPM
Regressão pela origem: propriedades

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla    Estimador da inclinação
 Rodrigo de
    Sá                                  ˆ      XY
                                               i       i
                                        β1 =
                                               X2  i
Extensões

Regressão
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência
Regressão pela origem: propriedades

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla    Estimador da inclinação
 Rodrigo de
    Sá                                  ˆ      XY
                                               i       i
                                        β1 =
                                               X2  i
Extensões

Regressão
múltipla -
estimação
                  A soma dos resíduos não é necessariamente igual a zero,
Regressão         como no caso com intercepto.
                  O r 2 não precisa ser positivo.
múltipla -
inferência


                  Usa-se o r 2 ajustado.
                  Pode ser mais interessante utilizar a regressão
                  convencional, com intercepto.
Modelo log-linear (log-log)

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
               Linearização
    Sá
               Considere o modelo de regressão exponencial
Extensões

Regressão
múltipla -
estimação                          Y = β0 X β e
                                        i       i
                                                    1   ui


Regressão
múltipla -
                                ln Y = ln β0 + β1 ln X + u
                                        i                     i   i
inferência
                                  Y ∗ = α + β1 X ∗ + u
                                    i                    i    i



               onde Yi∗ = ln Yi , Xi∗ = ln Xi e α = ln β0 .
log-log: propriedades

 Análise de
Regressão:
Extensões e       No modelo log-log, a inclinação β1 meda a
 regressão
  múltipla
                  ELASTICIDADE de Y em relação a X .
 Rodrigo de           Elasticidade é a variação percentual em Y dada uma
    Sá
                      variação percentual em X (variação pequena, assim como
Extensões             no conceito de derivada).
Regressão
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência
log-log: propriedades

 Análise de
Regressão:
Extensões e       No modelo log-log, a inclinação β1 meda a
 regressão
  múltipla
                  ELASTICIDADE de Y em relação a X .
 Rodrigo de            Elasticidade é a variação percentual em Y dada uma
    Sá
                       variação percentual em X (variação pequena, assim como
Extensões              no conceito de derivada).
Regressão

              Elasticidade
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência                               variação % em Y
                                β1 =
                                         variação % em X
                                         ∆Y /Y
                                β1 =
                                         ∆X /X
                                         ∆Y X
                                     =
                                         ∆X Y
log-log: exemplo

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá

                  Considere um modelo de demanda de um certo produto:
Extensões

Regressão
                      Y é a quantidade demandada;
múltipla -
estimação
                      X é o preço.
Regressão         Regredindo as duas variáveis em log, β1 será a
múltipla -
inferência        elasticidade-preço do produto.
log-log: visualização

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá


Extensões

Regressão
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência




                                 Figura: Elasticidade
Modelo log-lin

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla
              Linearização
 Rodrigo de
    Sá        Considera a equação do crescimento (ou juros compostos)
Extensões



                                  Y    = Y0 (1 + r )t
Regressão
múltipla -                         t
estimação

Regressão
                               ln Yt   = ln Y0 + t ln (1 + r )
                               ln Y    = β0 + β1 t + ut
múltipla -
inferência                         t



              onde β0 = ln Y0 , β1 = ln (1 + r ) e r é a taxa de crescimento ou
              taxa de juros.
log-lin: propriedades

 Análise de
Regressão:
Extensões e
                  No modelo log-lin, a inclinação β1 mede a variação
 regressão
  múltipla
                  proporcional (ou relativa) constante em Y para uma dada
 Rodrigo de
                  variação absoluta do regressor.
    Sá




                                          variação % em Y
Extensões

Regressão                     β1 =
múltipla -
estimação
                                       variação absoluta em X
Regressão
                                       ∆Y /Y
                                  =
múltipla -
inferência
                                        ∆X
log-lin: propriedades

 Análise de
Regressão:
Extensões e
                  No modelo log-lin, a inclinação β1 mede a variação
 regressão
  múltipla
                  proporcional (ou relativa) constante em Y para uma dada
 Rodrigo de
                  variação absoluta do regressor.
    Sá




                                           variação % em Y
Extensões

Regressão                      β1 =
múltipla -
estimação
                                        variação absoluta em X
Regressão
                                        ∆Y /Y
                                   =
múltipla -
inferência
                                         ∆X

                  Caso o regressor seja o tempo, t , a inclinação mede a taxa
                  de crescimento da variável Y .
                      Note que a taxa de crescimento é constante neste modelo.
                      Para o cálculo desse modelo, a variável deve ser
                      estacionária.
log-lin: exemplo

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá


Extensões

Regressão
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência




                          Figura: Exemplo - taxa de crescimento
Modelo lin-log

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
              lin-log
    Sá


Extensões
                             Y   i   = β0 + β1 ln Xi + ui
Regressão
múltipla -                               variação absoluta em Y
                             β1 =
                                            variação % em X
estimação



                                          ∆Y
Regressão
múltipla -
inferência                           =
                                         ∆X /X

              Assim, se X crescer 1%, Y crescerá β1 unidades.
Modelos recíprocos

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá        Modelo recíproco
                                               1
Extensões
                                 Y = β0 + β1           + ui
Regressão
                                  i
                                               X   i
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência
Modelos recíprocos

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá        Modelo recíproco
                                                  1
Extensões
                                 Y = β0 + β1              + ui
Regressão
                                  i
                                                  X   i
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
                  Propriedade: conforme X aumenta indenidamente
inferência
                      o termo β1 (1/X ) se aproxima de zero.
                                      i


                      Y se aproxima do valor-limite ou assintótico β0 .
Modelos recíprocos: grácos

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá


Extensões

Regressão
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência




                              Figura: Modelo recíproco
Modelos recíprocos: curva de Phillips

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá


Extensões

Regressão
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência




                               Figura: Curva de Phillips
Síntese das formas funcionais

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá


Extensões

Regressão
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência




                        Figura: Modelos, inclinações e elasticidades
Regressão múltipla

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá


Extensões

Regressão
              Regressão de três variáveis
múltipla -
estimação
                               Y = β0 + β1 X1 + β2 X2 + u
                                i            i      i   i
Regressão
múltipla -
inferência
Hipótese - ausência de colinearidade

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla
                  Dentre as 10 hipóteses do modelo clássico de regressão
 Rodrigo de
    Sá            linear, é importante ressaltar a hipótese da AUSÊNCIA DE
Extensões
                  COLINEARIDADE (exata) entre as variáveis X .
Regressão
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência
Hipótese - ausência de colinearidade

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla
                  Dentre as 10 hipóteses do modelo clássico de regressão
 Rodrigo de
    Sá            linear, é importante ressaltar a hipótese da AUSÊNCIA DE
Extensões
                  COLINEARIDADE (exata) entre as variáveis X .
Regressão
múltipla -        Quando uma variável explicativa tem correlação com outra,
estimação

Regressão
                  dizemos que elas são COLINEARES ou LINEARMENTE
múltipla -
inferência
                  DEPENDENTES.
                  Colinearidade perfeita existe quando HÁ RELAÇÃO
                  LINEAR EXATA ENTRE as variáveis explicativas,
                  X3 = a + bX2 .
Colinearidade perfeita

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá         Efeito da colinearidade perfeita
Extensões

Regressão
múltipla -
                              X2i   = 2X1i
estimação
                               Yi   = β0 + β1 X1i + β2 X2i + ui
Regressão
múltipla -
inferência
                                    = β0 + (β1 + 2β2 ) X1i + ui
                                    = β0 + αX1i + ui
Interpretação

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de   Tomando a esperança em ambos os lados
    Sá


Extensões
                         E (Y |X1 , X2 ) = β0 + β1 X1 + β2 X2
                              i   i   i             i       i


Regressão
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência
Interpretação

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de   Tomando a esperança em ambos os lados
    Sá


Extensões
                          E (Y |X1 , X2 ) = β0 + β1 X1 + β2 X2
                               i   i   i              i        i


Regressão

                  β1 mede a mudança no valor médio de Y , E (Yi |X1i , X2i ),
múltipla -
estimação

Regressão         por variação unitária em X1 , mantendo constante todas as
                  outras variáveis explicativas (X2 ).
múltipla -
inferência


                  Isto é, fornece o efeito DIRETO ou LÍQUIDO da mudança
                  em X1 .
Propriedades dos estimadores de MQO

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla



                  A reta (superfície) de regressão passa pelas médias Y , X 1
 Rodrigo de
    Sá


Extensões
                  e X 2.
Regressão         O valor médio do Yi estimado é igual ao valor médio do Yi
múltipla -
estimação         verdadeiro.
Regressão
múltipla -
                  A soma dos resíduos é igual a zero.
inferência
                  Os resíduos não tem correlação com nenhuma das variáveis
                  explicativas.
Propriedades dos estimadores de MQO

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla
                  As variâncias dos estimadores de MQO são diretamente
 Rodrigo de
                  proporcionais a σ 2 .
                  Os estimadores são MELNV (não viesados e de variância
    Sá


Extensões         mínima).
Regressão
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência
Propriedades dos estimadores de MQO

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla
                  As variâncias dos estimadores de MQO são diretamente
 Rodrigo de
                  proporcionais a σ 2 .
                  Os estimadores são MELNV (não viesados e de variância
    Sá


Extensões         mínima).
Regressão

                  Conforme aumenta r12 (o coeciente de correlação entre
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
                  X1 e X2 ), as variâncias de β1 e β2 aumentam.
                                              ˆ ˆ
inferência
                       No limite, quando r12 = 1, as variâncias de β1 e β2 se
                                                                   ˆ ˆ
                       tornam innitas.
                       Quanto mais correlacionadas forem as variáveis
                       explicativas, mais difícil ca fazermos testes sobre os seus
                       efeitos (isolados).
R 2 e R 2 ajustado
 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla
                   Chamamos de R 2 o COEFICIENTE MÚLTIPLO DE
 Rodrigo de
                   DETERMINAÇÃO, semelhante ao r 2 do caso univariado.
    Sá


Extensões

Regressão
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência
R 2 e R 2 ajustado
 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla
                   Chamamos de R 2 o COEFICIENTE MÚLTIPLO DE
 Rodrigo de
                   DETERMINAÇÃO, semelhante ao r 2 do caso univariado.
    Sá


Extensões
                   Uma propriedade do R 2 é que ele é uma função não
Regressão
                   decrescente do número de variáveis explicativas.
                   Quando o número de regressores aumento, o R 2 quase
múltipla -
estimação

Regressão          invariavelmente aumenta, e nunca diminui.
múltipla -
inferência
                   Uma variável adicional X não diminuirá o R 2 .
R 2 e R 2 ajustado
 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla
                   Chamamos de R 2 o COEFICIENTE MÚLTIPLO DE
 Rodrigo de
                   DETERMINAÇÃO, semelhante ao r 2 do caso univariado.
    Sá


Extensões
                   Uma propriedade do R 2 é que ele é uma função não
Regressão
                   decrescente do número de variáveis explicativas.
                   Quando o número de regressores aumento, o R 2 quase
múltipla -
estimação

Regressão          invariavelmente aumenta, e nunca diminui.
múltipla -
inferência
                   Uma variável adicional X não diminuirá o R 2 .

                   Assim devemos ser cautelosos ao usar o R 2 para
                   compararmos modelos com um número diferente de
                   variáveis.
R 2 e R 2 ajustado
 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
                                   2
  múltipla         O R 2 ajustado R leva em conta o número de variáveis
 Rodrigo de
    Sá
                   para melhorar a comparação.
Extensões
                                    2         u 2 / (n − k )
                                              ˆ
                                   R =1−       i

                                              y 2 / (n − 1)
Regressão
múltipla -
                                               i
estimação

Regressão
múltipla -
inferência
R 2 e R 2 ajustado
 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
                                    2
  múltipla         O R 2 ajustado R leva em conta o número de variáveis
 Rodrigo de
    Sá
                   para melhorar a comparação.
Extensões
                                    2          u 2 / (n − k )
                                               ˆ
                                   R =1−        i

                                               y 2 / (n − 1)
Regressão
múltipla -
                                                i
estimação



                   O R 2 ajustado pode ser menor do que um e é menor do
Regressão
múltipla -

                   que o O R 2 não ajustado quando k  1.
inferência
R 2 e R 2 ajustado
 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
                                    2
  múltipla         O R 2 ajustado R leva em conta o número de variáveis
 Rodrigo de
    Sá
                   para melhorar a comparação.
Extensões
                                     2          u 2 / (n − k )
                                                ˆ
                                   R =1−         i

                                                y 2 / (n − 1)
Regressão
múltipla -
                                                 i
estimação



                   O R 2 ajustado pode ser menor do que um e é menor do
Regressão
múltipla -

                   que o O R 2 não ajustado quando k  1.
inferência




                   Mesmo com o O R 2 ajustado deve-se tomar cuidado ao
                   usá-lo para comparar dois ou mais modelos concorrentes.
Exemplo: função de produção Cobb-Douglas

 Análise de
Regressão:    Linearização
              Seja a seguinte função de produção, onde Y é o produto, X1 é
Extensões e
 regressão


              o trabalho e X2 é o capital.
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá


Extensões
                           Y   i   = β0 X1i1 X2i2 e u
                                         β    β     i


Regressão
múltipla -
estimação
                        ln Y   i   = ln β0 + β1 ln X1i + β2 ln X2i + ui
Regressão
múltipla -
inferência
Exemplo: função de produção Cobb-Douglas

 Análise de
Regressão:    Linearização
              Seja a seguinte função de produção, onde Y é o produto, X1 é
Extensões e
 regressão


              o trabalho e X2 é o capital.
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá


Extensões
                           Y   i   = β0 X1i1 X2i2 e u
                                         β    β     i


Regressão
múltipla -
estimação
                        ln Y   i   = ln β0 + β1 ln X1i + β2 ln X2i + ui
Regressão
múltipla -        Esse é um modelo log-log.
inferência
                  β1 é a elasticidade parcial do produto em relação ao insumo
                  trabalho, isto é, mede a variação percentual no produto para
                  uma variação de 1% na quantidade de trabalho, mantendo
                  contante o capital.
                  Analogamente, β2 é a elasticidade parcial do produto em
                  relação ao insumo capital.
                  A soma β1 + β2 nos informa sobre os RETORNOS DE ESCALA.
Exemplo: função de produção

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá


Extensões

Regressão
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência




              Figura: Produto real, dias-trabalho e capital no setor agrícola de
              Taiwan
Exemplo: função de produção

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá


Extensões

Regressão
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência
              Figura: Produto real, dias-trabalho e capital no setor agrícola de
              Taiwan
Modelo de regressão polinomial

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
              Regressão polinomial de k -ésimo grau
    Sá


Extensões
                        Y = β0 + β1 X + β2 X 2 + . . . + β X + u
                         i            i       i         k   i
                                                             k
                                                                 i


Regressão
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência
Modelo de regressão polinomial

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
              Regressão polinomial de k -ésimo grau
    Sá


Extensões
                        Y = β0 + β1 X + β2 X 2 + . . . + β X + u
                         i             i        i           k   i
                                                                 k
                                                                     i


Regressão
múltipla -
estimação
                  Polinômios aproximam bem funções contínuas
Regressão         (aumentando k ).
                  Há apenas uma variável explicativa (X ).
múltipla -
inferência


                  X , X 2 , X 3 , . . . são correlacionados, mas não apresentam
                  correlação perfeita.
Exemplo: função custo total

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá


Extensões

Regressão
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência




                             Figura: Função custo total
Exemplo: função custo total

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá


Extensões

Regressão
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência




                             Figura: Função custo total
Exemplo: função custo total

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá


Extensões

Regressão
múltipla -
estimação

Regressão                    Figura: Função custo total
múltipla -
inferência
Outra vez a hipótese da normalidade

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá
                  Assim como na regressão simples, supondo a normalidade
                  dos resíduos, os estimadores de MQO da regressão
Extensões
                  múltipla são os melhores estimadores não viesados.
Regressão
múltipla -        Os estimadores dos betas são normalmente distribuídos
estimação

Regressão
                  com esperança igual ao valor verdadeiro do parâmetro
múltipla -
inferência
                  populacional.
                  Para cada um dos estimadores, pode-se aplicar o teste t,
                  como no caso simples.
Teste de hipótese individuais

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá


Extensões
                  Pode-se testar uma certa hipótese sobre um estimador de
                  regressão parcial INDIVIDUALMENTE.
Regressão
múltipla -
estimação

Regressão
                  Funciona de maneira idêntica à regressão simples.
múltipla -
inferência
Teste de signicância global

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de       Consideremos a hipótese H0 : β1 = β2 = 0.
    Sá

                  A hipótese nula é uma hipótese conjunta de que β1 e β2
Extensões
                  são conjunta ou simultaneamente iguais a zero.
Regressão
múltipla -
estimação
                  Este teste é um teste de SIGNIFICÂNCIA GLOBAL da reta
Regressão
                  de regressão observada ou estimada, isto é, se Y tem
múltipla -
inferência
                  relação linear tanto com X1 quanto com X2 .
                  Testar esta hipótese não é o mesmo que testar a
                  signicância de cada um dos parâmetros individualmente!
Teste de signicância global: teste F

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla
                  Dada a impossibilidade de testar a signicância dos
                  parâmetros isoladamente, outra abordagem é necessária.
 Rodrigo de
    Sá


Extensões
                  A alternativa é o teste F.
Regressão
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência
Teste de signicância global: teste F

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla
                  Dada a impossibilidade de testar a signicância dos
                  parâmetros isoladamente, outra abordagem é necessária.
 Rodrigo de
    Sá


Extensões
                  A alternativa é o teste F.
Regressão
múltipla -
estimação
                  Pode-se mostrar que, sob a hipótese nula β1 = β2 = 0, a
Regressão
                  variável F tem distribuição F com 2 e n − 3 graus de
múltipla -
inferência
                  liberdade.

                                          SQE / (k − 1)
                                     F=
                                          SQR / (n − k )
ANOVA

 Análise de
Regressão:
Extensões e
 regressão
  múltipla


 Rodrigo de
    Sá


Extensões

Regressão
múltipla -
estimação

Regressão
múltipla -
inferência




                      Figura: Tabela de análise de variância (ANOVA)

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  • 1. Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Sá Análise de Regressão: Extensões Extensões e regressão múltipla Regressão múltipla - estimação Regressão múltipla - Rodrigo de Sá inferência Fundação de Economia e Estatística, 2011
  • 2. Livro texto Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Sá Damodar Gujarati Extensões Regressão múltipla - Econometria Básica 3ª ed. 2005. estimação Regressão múltipla - inferência
  • 3. Regressão pela origem Análise de Regressão: Extensões e regressão Há ocasiões que a Teoria Econômica diz que o melhor múltipla Rodrigo de Sá modelo a ser utilizado é Yi = β1 Xi + ui . Extensões Nesse modelo, o intercepto é igual a zero, ou seja, a Regressão regressão passa pela origem. múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência
  • 4. Regressão pela origem Análise de Regressão: Extensões e regressão Há ocasiões que a Teoria Econômica diz que o melhor múltipla Rodrigo de Sá modelo a ser utilizado é Yi = β1 Xi + ui . Extensões Nesse modelo, o intercepto é igual a zero, ou seja, a Regressão regressão passa pela origem. múltipla - estimação Regressão Por exemplo, temos o Capital Asset Pricing Model múltipla - inferência (CAPM). No CAPM, o retorno de um ativo i e o retorno da carteira de mercado são relacionados pela fórmula (ERi − rf ) = βi (ERm − rf ).
  • 5. Regressão pela origem: visualização Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Sá Extensões Regressão múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência Figura: CAPM
  • 6. Regressão pela origem: propriedades Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Estimador da inclinação Rodrigo de Sá ˆ XY i i β1 = X2 i Extensões Regressão múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência
  • 7. Regressão pela origem: propriedades Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Estimador da inclinação Rodrigo de Sá ˆ XY i i β1 = X2 i Extensões Regressão múltipla - estimação A soma dos resíduos não é necessariamente igual a zero, Regressão como no caso com intercepto. O r 2 não precisa ser positivo. múltipla - inferência Usa-se o r 2 ajustado. Pode ser mais interessante utilizar a regressão convencional, com intercepto.
  • 8. Modelo log-linear (log-log) Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Linearização Sá Considere o modelo de regressão exponencial Extensões Regressão múltipla - estimação Y = β0 X β e i i 1 ui Regressão múltipla - ln Y = ln β0 + β1 ln X + u i i i inferência Y ∗ = α + β1 X ∗ + u i i i onde Yi∗ = ln Yi , Xi∗ = ln Xi e α = ln β0 .
  • 9. log-log: propriedades Análise de Regressão: Extensões e No modelo log-log, a inclinação β1 meda a regressão múltipla ELASTICIDADE de Y em relação a X . Rodrigo de Elasticidade é a variação percentual em Y dada uma Sá variação percentual em X (variação pequena, assim como Extensões no conceito de derivada). Regressão múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência
  • 10. log-log: propriedades Análise de Regressão: Extensões e No modelo log-log, a inclinação β1 meda a regressão múltipla ELASTICIDADE de Y em relação a X . Rodrigo de Elasticidade é a variação percentual em Y dada uma Sá variação percentual em X (variação pequena, assim como Extensões no conceito de derivada). Regressão Elasticidade múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência variação % em Y β1 = variação % em X ∆Y /Y β1 = ∆X /X ∆Y X = ∆X Y
  • 11. log-log: exemplo Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Sá Considere um modelo de demanda de um certo produto: Extensões Regressão Y é a quantidade demandada; múltipla - estimação X é o preço. Regressão Regredindo as duas variáveis em log, β1 será a múltipla - inferência elasticidade-preço do produto.
  • 12. log-log: visualização Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Sá Extensões Regressão múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência Figura: Elasticidade
  • 13. Modelo log-lin Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Linearização Rodrigo de Sá Considera a equação do crescimento (ou juros compostos) Extensões Y = Y0 (1 + r )t Regressão múltipla - t estimação Regressão ln Yt = ln Y0 + t ln (1 + r ) ln Y = β0 + β1 t + ut múltipla - inferência t onde β0 = ln Y0 , β1 = ln (1 + r ) e r é a taxa de crescimento ou taxa de juros.
  • 14. log-lin: propriedades Análise de Regressão: Extensões e No modelo log-lin, a inclinação β1 mede a variação regressão múltipla proporcional (ou relativa) constante em Y para uma dada Rodrigo de variação absoluta do regressor. Sá variação % em Y Extensões Regressão β1 = múltipla - estimação variação absoluta em X Regressão ∆Y /Y = múltipla - inferência ∆X
  • 15. log-lin: propriedades Análise de Regressão: Extensões e No modelo log-lin, a inclinação β1 mede a variação regressão múltipla proporcional (ou relativa) constante em Y para uma dada Rodrigo de variação absoluta do regressor. Sá variação % em Y Extensões Regressão β1 = múltipla - estimação variação absoluta em X Regressão ∆Y /Y = múltipla - inferência ∆X Caso o regressor seja o tempo, t , a inclinação mede a taxa de crescimento da variável Y . Note que a taxa de crescimento é constante neste modelo. Para o cálculo desse modelo, a variável deve ser estacionária.
  • 16. log-lin: exemplo Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Sá Extensões Regressão múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência Figura: Exemplo - taxa de crescimento
  • 17. Modelo lin-log Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de lin-log Sá Extensões Y i = β0 + β1 ln Xi + ui Regressão múltipla - variação absoluta em Y β1 = variação % em X estimação ∆Y Regressão múltipla - inferência = ∆X /X Assim, se X crescer 1%, Y crescerá β1 unidades.
  • 18. Modelos recíprocos Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Sá Modelo recíproco 1 Extensões Y = β0 + β1 + ui Regressão i X i múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência
  • 19. Modelos recíprocos Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Sá Modelo recíproco 1 Extensões Y = β0 + β1 + ui Regressão i X i múltipla - estimação Regressão múltipla - Propriedade: conforme X aumenta indenidamente inferência o termo β1 (1/X ) se aproxima de zero. i Y se aproxima do valor-limite ou assintótico β0 .
  • 20. Modelos recíprocos: grácos Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Sá Extensões Regressão múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência Figura: Modelo recíproco
  • 21. Modelos recíprocos: curva de Phillips Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Sá Extensões Regressão múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência Figura: Curva de Phillips
  • 22. Síntese das formas funcionais Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Sá Extensões Regressão múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência Figura: Modelos, inclinações e elasticidades
  • 23. Regressão múltipla Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Sá Extensões Regressão Regressão de três variáveis múltipla - estimação Y = β0 + β1 X1 + β2 X2 + u i i i i Regressão múltipla - inferência
  • 24. Hipótese - ausência de colinearidade Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Dentre as 10 hipóteses do modelo clássico de regressão Rodrigo de Sá linear, é importante ressaltar a hipótese da AUSÊNCIA DE Extensões COLINEARIDADE (exata) entre as variáveis X . Regressão múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência
  • 25. Hipótese - ausência de colinearidade Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Dentre as 10 hipóteses do modelo clássico de regressão Rodrigo de Sá linear, é importante ressaltar a hipótese da AUSÊNCIA DE Extensões COLINEARIDADE (exata) entre as variáveis X . Regressão múltipla - Quando uma variável explicativa tem correlação com outra, estimação Regressão dizemos que elas são COLINEARES ou LINEARMENTE múltipla - inferência DEPENDENTES. Colinearidade perfeita existe quando HÁ RELAÇÃO LINEAR EXATA ENTRE as variáveis explicativas, X3 = a + bX2 .
  • 26. Colinearidade perfeita Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Sá Efeito da colinearidade perfeita Extensões Regressão múltipla - X2i = 2X1i estimação Yi = β0 + β1 X1i + β2 X2i + ui Regressão múltipla - inferência = β0 + (β1 + 2β2 ) X1i + ui = β0 + αX1i + ui
  • 27. Interpretação Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Tomando a esperança em ambos os lados Sá Extensões E (Y |X1 , X2 ) = β0 + β1 X1 + β2 X2 i i i i i Regressão múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência
  • 28. Interpretação Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Tomando a esperança em ambos os lados Sá Extensões E (Y |X1 , X2 ) = β0 + β1 X1 + β2 X2 i i i i i Regressão β1 mede a mudança no valor médio de Y , E (Yi |X1i , X2i ), múltipla - estimação Regressão por variação unitária em X1 , mantendo constante todas as outras variáveis explicativas (X2 ). múltipla - inferência Isto é, fornece o efeito DIRETO ou LÍQUIDO da mudança em X1 .
  • 29. Propriedades dos estimadores de MQO Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla A reta (superfície) de regressão passa pelas médias Y , X 1 Rodrigo de Sá Extensões e X 2. Regressão O valor médio do Yi estimado é igual ao valor médio do Yi múltipla - estimação verdadeiro. Regressão múltipla - A soma dos resíduos é igual a zero. inferência Os resíduos não tem correlação com nenhuma das variáveis explicativas.
  • 30. Propriedades dos estimadores de MQO Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla As variâncias dos estimadores de MQO são diretamente Rodrigo de proporcionais a σ 2 . Os estimadores são MELNV (não viesados e de variância Sá Extensões mínima). Regressão múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência
  • 31. Propriedades dos estimadores de MQO Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla As variâncias dos estimadores de MQO são diretamente Rodrigo de proporcionais a σ 2 . Os estimadores são MELNV (não viesados e de variância Sá Extensões mínima). Regressão Conforme aumenta r12 (o coeciente de correlação entre múltipla - estimação Regressão múltipla - X1 e X2 ), as variâncias de β1 e β2 aumentam. ˆ ˆ inferência No limite, quando r12 = 1, as variâncias de β1 e β2 se ˆ ˆ tornam innitas. Quanto mais correlacionadas forem as variáveis explicativas, mais difícil ca fazermos testes sobre os seus efeitos (isolados).
  • 32. R 2 e R 2 ajustado Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Chamamos de R 2 o COEFICIENTE MÚLTIPLO DE Rodrigo de DETERMINAÇÃO, semelhante ao r 2 do caso univariado. Sá Extensões Regressão múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência
  • 33. R 2 e R 2 ajustado Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Chamamos de R 2 o COEFICIENTE MÚLTIPLO DE Rodrigo de DETERMINAÇÃO, semelhante ao r 2 do caso univariado. Sá Extensões Uma propriedade do R 2 é que ele é uma função não Regressão decrescente do número de variáveis explicativas. Quando o número de regressores aumento, o R 2 quase múltipla - estimação Regressão invariavelmente aumenta, e nunca diminui. múltipla - inferência Uma variável adicional X não diminuirá o R 2 .
  • 34. R 2 e R 2 ajustado Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Chamamos de R 2 o COEFICIENTE MÚLTIPLO DE Rodrigo de DETERMINAÇÃO, semelhante ao r 2 do caso univariado. Sá Extensões Uma propriedade do R 2 é que ele é uma função não Regressão decrescente do número de variáveis explicativas. Quando o número de regressores aumento, o R 2 quase múltipla - estimação Regressão invariavelmente aumenta, e nunca diminui. múltipla - inferência Uma variável adicional X não diminuirá o R 2 . Assim devemos ser cautelosos ao usar o R 2 para compararmos modelos com um número diferente de variáveis.
  • 35. R 2 e R 2 ajustado Análise de Regressão: Extensões e regressão 2 múltipla O R 2 ajustado R leva em conta o número de variáveis Rodrigo de Sá para melhorar a comparação. Extensões 2 u 2 / (n − k ) ˆ R =1− i y 2 / (n − 1) Regressão múltipla - i estimação Regressão múltipla - inferência
  • 36. R 2 e R 2 ajustado Análise de Regressão: Extensões e regressão 2 múltipla O R 2 ajustado R leva em conta o número de variáveis Rodrigo de Sá para melhorar a comparação. Extensões 2 u 2 / (n − k ) ˆ R =1− i y 2 / (n − 1) Regressão múltipla - i estimação O R 2 ajustado pode ser menor do que um e é menor do Regressão múltipla - que o O R 2 não ajustado quando k 1. inferência
  • 37. R 2 e R 2 ajustado Análise de Regressão: Extensões e regressão 2 múltipla O R 2 ajustado R leva em conta o número de variáveis Rodrigo de Sá para melhorar a comparação. Extensões 2 u 2 / (n − k ) ˆ R =1− i y 2 / (n − 1) Regressão múltipla - i estimação O R 2 ajustado pode ser menor do que um e é menor do Regressão múltipla - que o O R 2 não ajustado quando k 1. inferência Mesmo com o O R 2 ajustado deve-se tomar cuidado ao usá-lo para comparar dois ou mais modelos concorrentes.
  • 38. Exemplo: função de produção Cobb-Douglas Análise de Regressão: Linearização Seja a seguinte função de produção, onde Y é o produto, X1 é Extensões e regressão o trabalho e X2 é o capital. múltipla Rodrigo de Sá Extensões Y i = β0 X1i1 X2i2 e u β β i Regressão múltipla - estimação ln Y i = ln β0 + β1 ln X1i + β2 ln X2i + ui Regressão múltipla - inferência
  • 39. Exemplo: função de produção Cobb-Douglas Análise de Regressão: Linearização Seja a seguinte função de produção, onde Y é o produto, X1 é Extensões e regressão o trabalho e X2 é o capital. múltipla Rodrigo de Sá Extensões Y i = β0 X1i1 X2i2 e u β β i Regressão múltipla - estimação ln Y i = ln β0 + β1 ln X1i + β2 ln X2i + ui Regressão múltipla - Esse é um modelo log-log. inferência β1 é a elasticidade parcial do produto em relação ao insumo trabalho, isto é, mede a variação percentual no produto para uma variação de 1% na quantidade de trabalho, mantendo contante o capital. Analogamente, β2 é a elasticidade parcial do produto em relação ao insumo capital. A soma β1 + β2 nos informa sobre os RETORNOS DE ESCALA.
  • 40. Exemplo: função de produção Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Sá Extensões Regressão múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência Figura: Produto real, dias-trabalho e capital no setor agrícola de Taiwan
  • 41. Exemplo: função de produção Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Sá Extensões Regressão múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência Figura: Produto real, dias-trabalho e capital no setor agrícola de Taiwan
  • 42. Modelo de regressão polinomial Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Regressão polinomial de k -ésimo grau Sá Extensões Y = β0 + β1 X + β2 X 2 + . . . + β X + u i i i k i k i Regressão múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência
  • 43. Modelo de regressão polinomial Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Regressão polinomial de k -ésimo grau Sá Extensões Y = β0 + β1 X + β2 X 2 + . . . + β X + u i i i k i k i Regressão múltipla - estimação Polinômios aproximam bem funções contínuas Regressão (aumentando k ). Há apenas uma variável explicativa (X ). múltipla - inferência X , X 2 , X 3 , . . . são correlacionados, mas não apresentam correlação perfeita.
  • 44. Exemplo: função custo total Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Sá Extensões Regressão múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência Figura: Função custo total
  • 45. Exemplo: função custo total Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Sá Extensões Regressão múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência Figura: Função custo total
  • 46. Exemplo: função custo total Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Sá Extensões Regressão múltipla - estimação Regressão Figura: Função custo total múltipla - inferência
  • 47. Outra vez a hipótese da normalidade Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Sá Assim como na regressão simples, supondo a normalidade dos resíduos, os estimadores de MQO da regressão Extensões múltipla são os melhores estimadores não viesados. Regressão múltipla - Os estimadores dos betas são normalmente distribuídos estimação Regressão com esperança igual ao valor verdadeiro do parâmetro múltipla - inferência populacional. Para cada um dos estimadores, pode-se aplicar o teste t, como no caso simples.
  • 48. Teste de hipótese individuais Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Sá Extensões Pode-se testar uma certa hipótese sobre um estimador de regressão parcial INDIVIDUALMENTE. Regressão múltipla - estimação Regressão Funciona de maneira idêntica à regressão simples. múltipla - inferência
  • 49. Teste de signicância global Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Consideremos a hipótese H0 : β1 = β2 = 0. Sá A hipótese nula é uma hipótese conjunta de que β1 e β2 Extensões são conjunta ou simultaneamente iguais a zero. Regressão múltipla - estimação Este teste é um teste de SIGNIFICÂNCIA GLOBAL da reta Regressão de regressão observada ou estimada, isto é, se Y tem múltipla - inferência relação linear tanto com X1 quanto com X2 . Testar esta hipótese não é o mesmo que testar a signicância de cada um dos parâmetros individualmente!
  • 50. Teste de signicância global: teste F Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Dada a impossibilidade de testar a signicância dos parâmetros isoladamente, outra abordagem é necessária. Rodrigo de Sá Extensões A alternativa é o teste F. Regressão múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência
  • 51. Teste de signicância global: teste F Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Dada a impossibilidade de testar a signicância dos parâmetros isoladamente, outra abordagem é necessária. Rodrigo de Sá Extensões A alternativa é o teste F. Regressão múltipla - estimação Pode-se mostrar que, sob a hipótese nula β1 = β2 = 0, a Regressão variável F tem distribuição F com 2 e n − 3 graus de múltipla - inferência liberdade. SQE / (k − 1) F= SQR / (n − k )
  • 52. ANOVA Análise de Regressão: Extensões e regressão múltipla Rodrigo de Sá Extensões Regressão múltipla - estimação Regressão múltipla - inferência Figura: Tabela de análise de variância (ANOVA)