задания для самостоятеьного изучения предмета математика

1
Министерство образования и науки ЛНР
ГОУ СПО ЛНР “Краснодонский промышленно-экономический колледж”
РАССМОТРЕНО
на заседании
УТВЕРЖДАЮ
цикловой комиссии Заместитель директора
компьютерных дисциплин по учебной работе
«__»_________________г. _______________ О. Н. Каранда
Протокол №_____________ «___»________________г.
Председатель ЦК
______________Т. А. Матвеева
МЕТОДИЧСКИЕ УКАЗАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ ПРЕДМЕТА
МАТ ЕМАТ ИК А
для студентов 1 курса специальностей
«Экономика предприятия »
«Бухгалтерский учет»
«Коммерческая деятельность»
Составил преподаватель:
Прилипа А.С.
Краснодон

2
Содержание
1. Пояснительная записка 3
2. Тематический план организации самостоятельной работы 4
3. Инструктаж по выполнению самостоятельной работы 7
4. Задания для самостоятельной работы 10
5. Формы и методы контроля самостоятельной работы 42
6. Литература 43

3
Пояснительная записка
Самостоятельная работа студентов – планируемая учебная и учебно-
исследовательская работа обучающихся, выполняемая во внеаудиторное время по
заданию, при методическом руководстве и консультативной помощи преподавателя,
но без его непосредственного участия.
Самостоятельная работа студентов проводится с целью:
 систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических
умений;
 формирования умений использовать справочную литературу, интернет - ресурсы;
 развития познавательных способностей и активности студентов: творческой
инициативы, самостоятельности, ответственности, организованности;
 формирования способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и
самореализации;
 развития исследовательских умений;
 формирования общих компетенций.
Самостоятельная работа студентов по учебной дисциплине «Математика» включает в
себя:
 выполнение типовых контрольно-оценочных заданий;
 работу с библиотечным фондом (учебной литературой? периодическими изданиями),
информационными ресурсами сети «Интернет»;
 проработку конспектов занятий, учебной литературы ;
 подготовку к практическим занятиям с использованием методических рекомендаций
преподавателя.
Объем времени, отведенный на самостоятельную работу, приводится в рабочем
учебном плане, рабочей программе по учебной дисциплине, календарно-тематическом
планировании.
В данных методических рекомендациях обучающимся представлены домашние
работы по каждому разделу учебной дисциплины «Математика» в виде выполнения
типовых контрольно - оценочных заданий, теоретические вопросы для самоподготовки,
усвоив которые, студент может выполнять контрольные работы. Для формирования
мотивации к получению знаний, готовности обучающихся к самостоятельному труду в
методических рекомендациях обозначены информационные ресурсы (список литературы,
интернет-ресурсы и т.п.).
В методических рекомендациях представлены формы и методы контроля
самостоятельной работы, который осуществляется в пределах времени, отведенного на
обязательные учебные занятия по математике - контрольной работы по каждой теме в
рамках программы учебной дисциплины.

4
Тематический план организации самостоятельной работы
Семестр 1 - 8 часов
Тема Темы (задания) для самостоятельного изучения
Кол.
часов
на см.
раб.
Формируе
мые
компетенц
ии
ТЕМА 1
Развитие понятия о
числе.
Выполнение домашней работы №1 по теме:
«Развитие понятия о числе» (выполнение типовых
контрольно-оценочных заданий
2 1
2
3
Работа с библиотечным фондом (учебной
литературой, периодическими изданиями),
информационными ресурсами сети «Интернет».
1
ТЕМА 2
Корни, степени и
логарифмы.
«Корни, степени и логарифмы» (выполнение
типовых контрольно-оценочных заданий)
1
1
2
3
Подготовка к практическим занятиям с
использованием методических рекомендаций
1
18
литературой периодическими изданиями),
ТЕМА 3
Основы
тригонометрии.
«Основы тригонометрии» (выполнение типовых
контрольно-оценочных заданий)
2
1
2
3
Подготовка к практическим занятиям с
использованием методических рекомендаций
1
Семестр 2 – 28 часов
Тема Темы (задания) для самостоятельного изучения
Кол.
часов
на см.
раб.
Формируе
мые
компетенц
ии
ТЕМА 4
Функции, их
свойства и графики.
Степенные,
показательные,
логарифмические и
тригонометрические
функции
«Функции, их свойства и графики. Степенные,
показательные, логарифмические и
тригонометрические функции»
(выполнение типовых контрольно-оценочных
заданий).
2
1
2
3
литературой, периодическими изданиями),
2
ТЕМА 5
«Начала математического анализа»
заданий)
2
1
2
3

5
Начала
математического
анализа
Проработка конспектов занятий, учебной
литературы (по вопросам к параграфам, главам
учебных пособий, составленным преподавателем) с
целью подготовки к контрольной работе.
2
Работа с базами данных, информационными
ресурсами сети «Интернет».
Подготовка выступлений, творческих заданий,
рефератов.
3
ТЕМА 6
Элементы
комбинаторики
Элементы теории
вероятностей.
Элементы
математической
статистики.
«Элементы теории вероятностей. Элементы
математической статистики» (выполнение
2
1
2
3
1
ТЕМА 7
Прямые и плоскости
в пространстве.
Выполнение домашней работы №7по теме:
«Прямые и плоскости в пространстве» (выполнение
1
1
2
3
1
1
ТЕМА 8
Многогранники.
«Многогранники»
заданий)
1 1
2
3Работа с библиотечным фондом (учебной
1
ТЕМА 9
Тела вращения и
поверхности тел
вращения.
Выполнение домашней работы №9 по теме: «Тела
и поверхности вращения»
заданий)
1
1
2
3
учебных пособий) с целью подготовки к
контрольной работе.
2
ТЕМА 10
Измерения в
геометрии
«Измерения в геометрии»
заданий)
1 1
2
3
Проработка конспектов занятий, учебной с целью
подготовки к контрольной работе.
1
ТЕМА 11
«Уравнения и неравенства»
2 2
3

6
Уравнения и
неравенства.
заданий)
Семестр3 – 2 часа
ТЕМА 12
Повторение
«Повторение»
заданий)
2 1
2
Всего часов 38

7
Инструктаж по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы
Перед выполнением студентами самостоятельной работы преподаватель проводит
инструктаж по выполнению задания, который включает цель задания, его содержание,
сроки выполнения, ориентировочный объем работы, основные требования к результатам
работы, критерии оценок.
Виды заданий самостоятельной работы:
1
Выполнение домашней работы
(выполнение типовых контрольно-оценочных заданий)
2
Проработка конспектов занятий, учебной литературы
с целью подготовки к контрольной работе.
3
Подготовка к практическим занятиям с использованием методических
рекомендаций преподавателя.
4
Работа с библиотечным фондом (учебной литературой, периодическими
изданиями), информационными ресурсами сети «Интернет».
Первый вид задания самостоятельной работы:
Выполнение типовых контрольно-оценочных заданий (выполнение домашних
работ по каждой теме учебной дисциплины)
Цели задания:
 систематизация и закрепление полученных теоретических знаний и
практических умений обучающихся по конкретной теме учебной дисциплины;
 развитие учебно-организационных умений - умение планировать свою
деятельность, осуществлять самоанализ;
 повышение культуры умственного труда, приобщение к творческим видам
деятельности, обогащение интеллектуальных способностей студентов.
Содержание работы: освоение ключевых правил и законов, решение типовых задач
по данной конкретной теме учебной дисциплины, используя полученные на аудиторных
занятиях теоретические знания и практические умения.
Срок выполнения: устанавливаются преподавателем в соответствии с календарно-
тематическим планом учебной дисциплины.
Требования к результатам:
 освоение необходимого уровня учебного материала в соответствии с
требованиями к знаниям и умениям обучающихся, указанным в рабочей
программе учебной дисциплины «Математика»;
 умение применять теоретические знания при решении задач;
 оформление решения задач в соответствии с предъявляемыми требованиями:
Задание выполняется в письменной форме в установленные сроки согласно
предложенному варианту.
Критерии оценки результатов самостоятельной работы:
При решении задач учитываются умения:
 правильно записать условие задачи;
 выбирать и правильно записывать формулу для решения задачи;
 пользоваться справочными таблицами;
 проверять наименование полученного результата и проводить необходимые
вычисления.
Оценка «отлично» выставляется студенту, глубоко и прочно усвоившему
программный материал по данной теме учебной дисциплины. При этом обучающийся не

8
затрудняется с ответом при видоизменении задания, свободно справляется с задачами,
вопросами, правильно обосновывает принятые решения.
Оценка «хорошо» выставляется студенту, твердо знающему программный материал по
данной теме, который не допускает существенных неточностей в ответе на вопрос,
правильно применяет теоретические положения при решении задач.
Оценка «удовлетворительно» выставляется студенту, который имеет знания только
основного материала, но не усвоил его детали, допускает неточности, недостаточно
правильные формулировки, нарушения последовательности в изложении программного
материала и испытывает трудности в выполнении практических заданий.
Оценка «неудовлетворительно» выставляется студенту, который не усвоил
значительной части программного материала по данной теме, допускает существенные
ошибки, неуверенно, с большим затруднением решает задачи.
Второй вид задания самостоятельной работы:
Проработка конспектов занятий, учебной литературы с целью подготовки к
контрольной работе.
 формирование умения осуществлять теоретическую самоподготовку к контрольной
работе;
 закрепление, систематизация знаний, применение полученных знаний для выполнения
контрольных заданий;
 формирование волевых черт характера, способности к самоорганизации.
Содержание задания: теоретическая подготовка по предложенным вопросам, знакомство
с тематикой контрольных работ для максимально лучшего выполнения контрольных
заданий.
тематическим планом учебной дисциплины, теоретическая подготовка оценивается при
выполнении контрольной работы.
Объем работы: изучить теоретический материал, ответить в полном объеме на
предложенные вопросы.
Требования к результатам: освоение необходимого уровня учебного материала для
качественного выполнения контрольной работы.
 умения сравнивать, анализировать, делать обобщения на основе теоретических знаний;
 самостоятельно оформлять результаты в соответствии с требованиями.
Третий вид задания самостоятельной работы:
Подготовка к практическим занятиям с использованием методических
рекомендаций преподавателя.
 формирование умения осуществлять теоретическую самоподготовку к практикуму по
решению задач;
 закрепление, систематизация знаний, применение полученныхзнаний для выполнения
практических заданий;
 приобретение твёрдых навыков решения задач.
Содержание задания: теоретическая подготовка по предложенным вопросам,
рассмотренным в текущей теме.
тематическим планом учебной дисциплины, теоретическая подготовка оценивается при
выполнении заданий (тестов, проверочных работ и др.) в теме «Решение задач».

9
Объем работы: изучить теоретический материал, ответить в полном объеме на
предложенные вопросы.
Требования к результатам: освоение необходимого уровня учебного материала для
качественного выполнения заданий текущего (тестового) контроля.
 умения обосновыватькаждый этап решения, исходя из теоретических положений курса,
сопоставлять, делать выводы на основе теоретических знаний;
 пользоваться различными приемами решения задач, оформлять результаты в
соответствии с требованиями.
Четвёртый вид задания внеаудиторной самостоятельной работы:
Работа с библиотечным фондом (учебной литературой, периодическими
изданиями), информационными ресурсами сети «Интернет».
 формирование у обучающихся навыков отбора и систематизации информации по
заданной новой теме изучаемого раздела;
 развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей
в процессе приобретения знаний и умений по математике с использованием различных
источников информации и современных информационных технологий;
 воспитание убежденности в возможности познания математических законов;
 развитие познавательных способностей и активности обучающихся, творческой
инициативы, самостоятельности, организованности и ответственности.
Содержание работы: самостоятельное выполнение хотя бы одного задания
реконструктивного, поискового, исследовательского и творческого вида (подготовка
доклада, создание презентаций и т.п.) по любой новой теме, предложенной в тематическом
плане.
тематическим планом дисциплины.
Объем работы: поиск и обработка информации для выполнения задания творческого
характера.
Требования к результатам:
 овладение опытом творческой, исследовательской деятельности при подготовке работ
(сообщений, докладов и т.д.);
 умения использовать нормативную, справочную и специальную литературу, интернет
– ресурсы;
 оформление материала в соответствии с предъявляемыми требованиями:
Сообщение. Объем не более трех страниц печатного текста.
Выступление. Объем 3-7 страниц печатного текста.
Доклад. Объем 7 -10 страниц печатного текста. При написании доклада по заданной теме
следует составить план, подобрать основные источники.
 оформление материала в соответствии с требованиями;
 соответствие содержания творческой работы обозначенной теме;
 обоснованность и четкость изложения материала;
 глубина проработки материала;
 разнообразие использования источников;
 уровень умения формулировать собственные выводы и аргументировать их.

10
Задания для внеаудиторной самостоятельной работы
Тема 1. Развитие понятия о числе.
1. Законы сложения и умножения действительных чисел
2. Правила действий над рациональными числами
3. Действия с рациональными числами
Литература
 Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / З. І.
Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук: Зодіак-ЕКО, 2003.
 Математика: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / М. І. Бурда, Т. В.
Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова: Київ «Зодіак-ЕКО» 2010.
 Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г.
Мерзляк, Д. А Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір: Харків «Гімназія» 2010.
Индивидуальная домашняя работа №1
Вариант №1
1. Найдите значение выражения






 2
:1 b
c
a
при a =
3
2
, b = –
6
5
, c = 0,6.
2. Представьте обыкновенную дробь
7
3
в
виде десятичной периодической дроби.
3. Число 0,000314 представьте в
стандартном виде.
4. Найдите произведение чисел a = 5,4(25)
и b = 0,2468101… с точностью до десятых.
5. Изобразите на числовой оси значения
величины p, если известно
|p – 12,4| < 0,8. Укажите погрешность
вычисления величины p, найдите
относительную погрешность в процентах с
точностью до десятых.
Ответы: 1. 2,4; 2.0,(428571); 3. 3,14 ·10-4;
4.1,4; 5. %5,6;
31
2
Вариант №3
1. Найдите значение выражения 1 : (а2–
c
b
)
при a =
2
1
, b = –
5
4
, c = 1,6
2. Представьте обыкновенную дробь
7
4
в
виде десятичной периодической дроби.
3. Число 0,0000271 представьте в
стандартном виде.
и b = 0,02345202…с точностью до сотых.
5. Изобразите на числовой оси значения
величины с, если известно
|c – 3800|< 10. Укажите погрешность
вычисления величины с, найдите
относительную погрешность в процентах с
точностью до сотых.
Ответы: 1.
3
4
; 2. 0,(571428); 3. 2,71· 10 -5 ;
4. 0,07; 5. ;
38
1
0,26%
Вариант №2
1. Вычислите
25,0
25
3
:0345,0
4
1
6128,0
20
11
40
7
6,0725,0



.
Вариант №4
1. Вычислите 025,0
25
3
:0345,0
4
1
2128,0
20
11
40
7
5,0025,0



.

11
2. Запишите числа в стандартном виде:
а) 0,00018; б) 375000000.
и b = 0,012756… с точностью до 10–2.
4. Изобразите на числовой оси значение
величины q, если известно
|q – 18,12| < 0,02. Найдите относительную
погрешность вычисления величины q в
процентах с точностью до десятых.
5. Даны числа z1 = –2 + i, z2 = 2 – 3i.
а) Вычислите модули, сумму, разность,
произведение чисел z1 и z2.
б) Изобразите в координатной плоскости
числа: z1 + z2, z1 – z2.
Ответы: 1.1; 3. 0,03; 4. 0,12%; 5. z1·z2 = -
1 + 8i.
2. Запишите числа в стандартном виде:
а) 0,00018; б) 375000000.
и b = 0,012756… с точностью до 10-2.
4. Изобразите на числовой оси значение
величины q, если известно
|q – 18,12| < 0,02. Найдите относительную
погрешность в процентах с точностью до
десятых.
5. z1 = –2 + i, z2 = 2 – 3i.
а) Вычислите произведение и частное
комплексных чисел z1 и z2.
б) Вычислите модуль разности.
в) Вычислите значение выражения
2
2
4
1 2zz  .
Ответы: 3. 0,03; 5в) 3.
Глоссарий
Числа 1, 2, 3, 4, …… - множество натуральных чисел (N)
Числа 0; 1; 2; 3   , ……. - множество целых чисел (Z)
Числа
1 1
0; 2; ; 0,78; 1,24; ;...
2 8
     - множество рациональных чисел (Q)
Любое рациональное число можно записать в виде дроби
n
m
, где m Z , n N
Теорема. Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2
Законы сложения и умножения
действительных чисел:
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
𝑎 + ( 𝑏 + 𝑐) = ( 𝑎 + 𝑏) + 𝑐
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎
𝑎 ∙ ( 𝑏 ∙ 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐
( 𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑐
Запомни!
Действия с рациональными числами
𝑎
𝑑
±
𝑏
𝑑
=
𝑎 ± 𝑏
𝑑
𝑎
𝑏
±
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑 ± 𝑏𝑐
𝑏𝑑
𝑎 ±
𝑏
𝑐
=
𝑎𝑐 ± 𝑏
𝑐
𝑎
𝑏
= 𝑎: 𝑏
𝑎 ∙ 𝑐
𝑏 ∙ 𝑐
=
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
∙
𝑐
𝑑
=
𝑎 ∙ 𝑐
𝑏 ∙ 𝑑
𝑎
𝑐
𝑑
=
𝑎 ∙ 𝑐
𝑑
𝑎
𝑏
:
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
∙
𝑑
𝑐
=
𝑎 ∙ 𝑑
𝑏 ∙ 𝑐
𝑎
𝑏
: 𝑐 =
𝑎
𝑏
∙
1
𝑐
𝑎:
𝑏
𝑐
= 𝑎 ∙
𝑐
𝑏
Правила действий над
рациональными числами:
𝑎 + 𝑏 = 𝑐
−𝑎 − 𝑏 = −с,
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑐
−𝑎 ∙ (−𝑏) = 𝑐
а ∙ (−𝑏) = −𝑐
НА НУЛЬ ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ!
а ∙ 0 = 0, а ∙ 1 = а, а ∶ 1 = а

12
Тема 2. Корни, степени и логарифмы.
1. Основные свойства арифметических корней n-ой степени.
2. Логарифмом числа
3. Свойства логарифмов
4. Зависимость между логарифмами чисел при разных основаниях
 Алгебра і початки аналізу: : Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів / Є. П.
Нелін: Харків «Гімназія» 2010.
Мерзляк, Д. А Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір: Харків «Гімназія» 2010
1. Найдите значения числовых выражений:
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .
11. . 12. .
13. . 14. .
15. . 16. .
17. . 18. .
19. . 20. .
21. . 22. .
23. . 24. .
2. Вычислите без таблиц и вычислительных инструментов:
3
2
25,14
8
3
3
3
2








 33
92733 
375,6
27
1
375,0 







 333 100
25
4
5,623 
 3333 1084322425,0 
35
4528 
3
33
12
25681 
 2
44
82
234


  33333
4102252100    4
2
22535 
324
1
324
1


 626
3
626
3



501218583  333
4031352320 
21112111  33
175175 
32
1
23


13
13
13
13





288288  246246 
2951229512  37203720 
35
27
17
4
1024
243

5
5
5
288
5
5,4
16
11
1 

13
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .
11. . 12. .
13. 25log5log 44
4 
. 14. .
15. . 16. .
17. . 18. .
19. . 20. .
21. . 22. .
23. . 24. .
Глоссарий
Корнем n-ой степени из числа а называется такое число, n-ая степень которого равна
а, т.е.   aa
n
n
 .
Арифметическим корнем n-ой степени из числа а называют неотрицательное число,
n-ая степень которого равна а.
Основные свойства арифметических корней n-ой степени.
Для любых натуральных чисел n, m и k, больших 1, и любых неотрицательных чисел a
и b выполнены равенства:
1°.
nk mkn m
aa  .
2°. nnn
baab  .
3°.  0 b
b
a
b
a
n
n
n .
4°. nkn k
aa  .
5°.   n kk
n
aa  .
Для любых рациональных чисел r и s и любых положительных a и b справедливы
равенства.
1°. .
2°. .
3log4log 1212  125lg8lg 
16log
64log
2
2
8lg64lg
4lg

16
7
log7log 22  130lg13lg 
25,6log2log 55
 12log3log 66 
8lg16lg
4lg
 81
58
7log25log 33

   23log13log2 2121 
9lg
81lg
2log16loglog3 5,042 
3
125 5log 2log72log 66 
3log4log 1212  125lg8lg 
16log
64log
2
2
8lg64lg
4lg

16
7
log7log 22  130lg13lg 
25,6log2log 55
 12log3log 66 
srsr
aaa 

sr
s
r
a
a
a 


14
3°. .
4°. .
5°. .
Логарифмом числа N ( ) по основанию а ( ) называется показатель
степени х, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число N, т.е.
.
.
Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.
Свойства логарифмов:
1°. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов
сомножителей:
.
2°. Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого
и делителя:
.
3°. Логарифм степени положительного основания равен произведению показателя
степени на логарифм основания степени:
.
4°. Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного числа,
делённому на показатель корня:
.
Десятичным логарифмом числа называется логарифм этого числа по основанию 10.
Такой логарифм записывается следующим образом:
Натуральным логарифмом числа называется логарифм этого числа по основанию е,
где е – иррациональное число, приближённо равное 2,718. Обозначение:
Зависимость между логарифмами чисел при разных основаниях:
1°. Формула перехода от логарифмов по основанию а к логарифмам по основанию b
.
2°. Зависимость между основаниями a и b выражается формулой
.
3°. Имеет место соотношение
.
  srsr
aa 

  rrr
baba 
r
rr
b
a
b
a






RN 1,0  aa
NaxN x
a log
Na Na
log
  NMMN aaa logloglog 
NM
N
M
aaa logloglog 
MnM a
n
a loglog 
M
n
M a
n
a log
1
log 
aa 10loglg 
aa elogln 
a
M
M
b
b
a
log
log
log 
a
b
b
a
log
log
1

M
m
M aam log
1
log 

15
Тема 3. Основы тригонометрии.
1. Радианная мера угла.
2. Основные тригонометрические тождества.
3. Знаки, числовые значения и свойства чётности, нечётности и периодичности
тригонометрических функций.
4. Формулы приведения.
5. Тригонометрические функции алгебраической суммы двух аргументов (формулы
сложения).
6. Тригонометрические функции удвоенного и половинного аргумента.
7. . Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую
сумму.
8. Преобразование алгебраической суммы тригонометрических функций в
произведение.
Вариант №1
1. Выразите в радианной мере величины
углов 640; 1600.
2. Выразите в градусной мере величины
углов , .
3. Укажите знак числа: а) ; б)
.
4. Дано: , .
Найдите и .
Вариант №3
углов 720; 1400.
углов , .
3. Укажите знак числа: а) ;
б) .
4. Найдите и , если известно, что
и не лежит во второй
четверти.
5
3

4
3
1
75
4
sin

tg
4cos3sin 
5
4
sin  00
270180  
cos ctg
12
11

8
23
0
00
400sin
300200cos tg
42cos tg
sin tg
5
2
cos  

16
Вариант №2
углов 560; 1700.
углов , .
3. Укажите знак числа: а) ; б)
.
4. Дано: , .
Найдите и .
Вариант №4
углов 420; 1300.
углов , .
3. Укажите знак числа: а)
; б) .
4. Найдите и , если известно,
что и не лежит во первой
четверти.
Глоссарий
Отношение длины дуги окружности l к длине её радиуса R называется радианной
мерой a этой дуги:
.
Основные тригонометрические тождества:
.
.
.
.
Знаки тригонометрических функций по четвертям приведены на рисунке
Наименьший положительный период для косинуса и синуса равен , а для тангенса
и котангенса он равен .
Формулами сложения называются формулы, выражающие тригонометрические
функции углов через одноимённые функции углов и . Приведём эти формулы:
;
;
.
6
5

6
1
2
95
3
cos

tg
5cos4sin 
25
24
cos  00
18090  
sin tg
12
7

4
21
0
00
330
220cos110sin
ctg

42sin ctg
cos ctg
5
4
sin  
R
l
a 
1cossin 22
 
0cos,0sin,1ctgtg  
0cos,
cos
1
1tg 2
2
 


0sin,
sin
1
1ctg 2
2
 


2

    
   sincoscossinsin 
   sinsincoscoscos 
   sinsincoscoscos 
 



tgtg1
tgtg
tg



 



tgtg1
tgtg
tg



   sincoscossinsin 

17
;
.
Формулы для тригонометрических функций удвоенного аргумента позволяют
выразить функции аргумента через функции аргумента :
;
;
;
;
Для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
применяются формулы
;
;
.
Преобразование алгебраической суммы тригонометрических функций в
произведение
Для преобразования алгебраической сумм тригонометрических функций в
произведение используются формулы
;
;
.
;
 



ctgctg
1ctgctg
ctg



 



ctgctg
1ctgctg
ctg



2 
 cossin22sin 
 2222
sin211cos2sincos2cos 


 2
tg1
2tg
2tg





ctg2
1ctg
ctg2
2


      sinsin
2
1
cossin
      coscos
2
1
coscos
      coscos
2
1
sinsin
2
cos
2
sin2sinsin




2
sin
2
cos2sinsin




2
cos
2
cos2coscos




2
sin
2
sin2coscos




 



coscos
sin
tgtg


 



coscos
sin
tgtg



18
Тема 4. Функции, их свойства и графики. Степенные, показательные,
логарифмические и тригонометрические функции.
1. Степенная функция. Свойства и график в зависимости от показателя степени k.
2. Показательная функция. Основные свойства.
3. Логарифмическая функция.
4. Основные свойства логарифмической функции.
5. Тригонометрические функции.
Вариант №1
1. Найдите область определения функции
2
16 ху 
2. Найдите область значений функции
у = cos x +2
3.Проверьте функцию на четность
у = х4+ cos x
4. Найдите нули функции 1 хху
5. По графику некоторой функции у= f (x)
найдите промежутки возрастания
6. Найдите наименьший положительный
период функции
2
x
ctgу 
Вариант №3
и 2
81 ху 
у = sin x -2
3. Проверьте функцию на четность:
12


x
tgx
y
4. Найдите нули функции
5
3
5

x
y
5. По графику некоторой функции
у= f (x) найдите промежутки
возрастания
период функции у = tg 4x
Вариант №2 Вариант №4

19
2
4 ху 
у = cos x +4
3.Проверьте функцию на четность
у = 2х4+ cos x
4. Найдите нули функции 1 ху
5. По графику некоторой функции у= f (x)
найдите промежутки убывания
период функции
2
x
tgу 
и 2
9 ху 
у =4 sin x -2
3. Проверьте функцию на четность:
12 2


x
tgx
y
4. Найдите нули функции
5
x
y 
5. По графику некоторой функции
у= f (x) найдите промежутки убывания
период функции у = tg 8x
Глоссарий
Степенная функция
Функция вида , где k действительное число, называется степенной функцией с показателем
k.
Свойства и график степенной функции существенным образом зависят от показателя степени k.
Рассмотрим различные варианты:
1. Показатель степени – чётное натуральное число. (рис. .1)
2. Показатель степени – нечётное натуральное число. (рис. 2).
Рис. .1 Рис. 2
3. Показатель степени – натуральное число. (рис. 3)
4. Показатель степени – натуральное число.
(рис. 4).
Рис. 3 Рис. 4
5. Показатель степени k – положительное действительное нецелое число. (рис. 5).
k
xy 
nk 2
12  nk
nk 2
 12  nk

20
6. Показатель степени k – отрицательное действительное нецелое число.(рис. 6).
Рис. 5 Рис. 6
Показательная функция
Функция вида , где основанием служит заданное число , , называется
показательной функцией.
Область определения – множество R всех действительных чисел.
Множество значений показательной функции – множество всех положительных чисел .
Показательная функция является возрастающей при (рис. 7) на множестве всех
действительных чисел и убывающей при (рис. 8).
Рис. 7 Рис. 8
Логарифмическая функция
Функция называется логарифмической функцией.
Логарифмическая функция является обратной по отношению к показательной функции
.
Основные свойства логарифмической функции:
1°. Область определения: .
2°. Множество значений функции: , т.е. вся числовая прямая.
3°. Логарифм единицы равен нулю, логарифм основания равен единице: .
4°. Функция ( ) возрастает в промежутке (рис. 9).
5°. Функция ( ) убывает в промежутке (рис. .10).
Рис. 9 Рис..10
Функция
Основные свойства функции:
1. Область определения функции – множество всех действительных чисел.
2. Множество значений – отрезок .
3. Функция является периодической с периодом .
4. Функция нечётная.
Применив данные свойства можно построить график функции (рис11)
x
ay  0a 1a
0y
x
ay  1a
10  a
)1,0,(log   aaRxxy a
xy alog
x
ay 
   RyD
  RyE 
1log,01log  aaa
xy alog 1a 0x
xy alog 10  a 0x
xy sin
 1;1
2T
xy sin
xy sin

21
Рис. 11
Функция
1. Область определения функции – множество всех действительных чисел.
2. Множество значений – отрезок .
4. Функция чётная. График функции симметричен относительно оси Оу.
Применив данные свойства можно построить график функции (рис. 12)
Рис.12
Функция
1. Область определения функции – множество всех действительных чисел .
2. Множество значений – множество всех действительных чисел.
Рис.
Функция
1. Область определения функции – множество всех действительных чисел .
2. Множество значений – множество всех действительных чисел.
4. Функция нечётная.
Применив данные свойства можно построить график функции (рис. 4.8)
xy cos
 1;1
2T
xy cos
xy cos
xy tg
Znnx  ,
2


T
xy сtg
Znnx  ,
T
xy сtg
xy сtg

22
Тема 5. Начала математического анализа.
1. Производная, её геометрический и механический смысл.
2. Основные правила дифференцирования.
3. Производная сложной функции.
4. Критические точки функции. Возрастание и убывание функции.
5. Правило нахождения экстремумов функции с помощью первой производной.
6. Построение графиков функций.
7. Неопределённый интеграл и его свойства.
8. Формула Ньютона-Лейбница.
Вариант №1
1. Найдите первообразную функции f(x)
= х2 – 5, график которой проходит через
точку (3;4).
2. Найдите общий вид первообразных f(x)
= 2
)16(
1


х
.
3. Точка движется прямолинейно, ее
скорость выражается формулой v = t +3t2.
Найдите закон движения, если известно,
что в момент времени t = 0 координата
точки равнялось числу 1.
4. Найдите общий вид первообразных для
функций f(x) = 8 sin
2
х
cos
2
х
.
5. Дана функция f(x) = excosx. Найдите
f1(x), f1(0).
6. Дана функция g(x) =
6
1
ln(-2x). Найдите
g1(x), g1(-
8
1
).
Вариант №3
1. Найдите первообразную функции f(x) =
2х2 + 3, график которой проходит через
точку (-2;5 ).
= 2
)37(
1
х
.
скорость выражается формулой v = t +3t2.
функций f(x) = cos2
2
х
- sin2
2
х
.
5. Дана функция f(x) = 2xcosx. Найдите
f1(x), f1(0).
6. Дана функция g(x) = 6ln(
2
1
x). Найдите
g1(x), g1(
2
1
).

23
7. Вычислите площадь фигуры,
ограниченной линиями у = ех, у = 1, х = 2.
8. Исследуйте на возрастание (убывание )
и на экстремумы функцию f(x) = 2x lnx.
ограниченной линиями у = е-х, у = 1, х = -2.
и на экстремумы функцию f(x) =
x
xln2
.
Вариант №2
4 - х2, график которой проходит через
точку (-3;10 ).
= 2
)38(
1
х
.
скорость выражается формулой v = -4sin3t.
функций f(x) = 1 - 2 sin2
2
х
.
5.Дана функция f(x) = exsinx. Найдите
f1(x), f1(0).
6. Дана функция g(x) =
6
1
ln(-3x). Найдите
g1(x), g1(-
9
1
).
ограниченной линиями у =
х
1
, у = 1, х = 4.
и на экстремумы функцию f(x) = x ех .
Вариант №4
3х - 5 , график которой проходит через
точку (4;10 ).
= 2
)210(
1


х
.
скорость выражается формулой v = t - 2t2.
функций f(x) = 2 sin
2
х
cos
2
х
.
5. Дана функция f(x) = 2
4
х
х
. Найдите f1(x),
f1(-1).
6. Дана функция g(x) = lоg3 (
2
1
x). Найдите
g1(x), g1(
2
1
).
ограниченной линиями у = 2х, у = 1, х = 2.
и на экстремумы функцию f(x) = 2x – 2 lnx.
Глоссарий
Производная, её геометрический и механический смысл
Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой
точке к приращению аргумента, если он существует.
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)(
0

24
Физический смысл производной):
v(t) = s'(t)
Таблица производных
1. 0)const( .
2.
1
)( 
 nn
nxx .
3.   1

x
4.   x
x
2
1


5. 2
11
xx








6.
xx
e)e(  .
7. aaa xx
ln)(  .
8.   xx cossin 
 .
9.   xx sincos 
 .
10.  
x
tgx 2
cos
1


.
11.  
x
ctgx 2
sin
1


.
12.  
ax
xa
ln
1
log 

13.  
x
x
1
ln 

.
 0xytgk   -геометрический смысл производной
  000 xxxyyy  - уравнение касательной
Основные правила дифференцирования
1. ;υ'u'υ)'(u 
2. ;)( 'uυυ'u'uυ 
3. ;)conct()(  c'cυ'cυ
4.
'
υ
uυu'υ'
υ
u
.2







Производная сложной функции
.
Критические точки функции. Возрастание и убывание функции
Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю или
не существует, называются критическими точками.
Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной: если в
некотором промежутке , то функция возрастает в этом промежутке; если же ,
то функция убывает в этом промежутке.
Исследование функций на максимум и минимум
Точки минимума и максимума функции называются экстремальными точками, а значения функции в
этих точках – минимумом и максимумом функции.
Правило нахождения экстремумов функции с помощью первой производной:
1. Найти производную f'(x).
2. Приравнять ее нулю и найти действительные корни – критические точки функции у = f(x)
(при мнимых корнях экстремум функции не существует).
3. Исследовать знак производной f'(x) в промежутках, на которые найденные критические точки
делят область определения функции .
4. Критическая точка есть точка максимума, если она отделяет промежуток, в котором
слева от точки , от промежутка, в котором справа от точки , т. е. производная
меняет знак с (+) на (-) при переходе через точку .
5. Критическая точка есть точка минимума, еслиона отделяет промежуток, в котором
слева от точки , от промежутка, в котором справа от точки , т. е. производная меняет
знак с (-) на (+) при переходе через точку
Если в промежутках, разделенных критической точкой , знак производной не меняется, то точка
экстремума не имеет.
  uufy 
 xfy 
  0 xf   0 xf
0x
 xfy 
0x
  0 xf 0x   0 xf 0x
0x
0x   0 xf
0x   0 xf 0x
0x
0x
0x

25
6. Вычислить значения функции в точках экстремума.
Построение графиков функций
Общая схема построения графиков функций:
1. Найти область определения функции.
2. Выяснить, чётность, нечётность функции, периодичность.
3. Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений).
4. Найти асимптоты графика функции.
5. Найти промежутки монотонности функции и её экстремумы.
6. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.
7. Построить график, используя полученные результаты исследования.
Совокупность первообразных для функции или для дифференциала называется
неопределённым интегралом и обозначается символом . Таким образом:
, если
Свойства:
10
.
20
. .
30
.
40
. .
Интеграл Значение Интеграл Значение
1 dx Cx  11 Cx  cosln
2  dxxn
1,
1
1



nC
n
xn
12 ctgxdx Cx sinln
3  x
dx
Cx ln 13   22
xa
dx
C
a
x
arctg
a

1
4
 dxax
 0a
1a
C
a
ax

ln
14   22
ax
dx
C
ax
ax
a



ln
2
1
5  dxex
Cex
 15   22
ax
dx
Caxx  22
ln
6  xdxsin Cx  cos 16   22
xa
dx
C
a
x
arcsin
7  xdxcos Cx sin 17  dx
xcos
1
C
x
tg 






42
ln

8  dx
x2
cos
1
Ctgx  18  dx
xsin
1
C
x
tg 
2
ln
9  dx
x2
sin
1
Cctgx  19  xdxln xxx ln
10
 0k
Ckx
k
 cos
1
20  kxcos
 0k
Ckx
k
sin
1
Для вычисления определённого интеграла от функции в том случае, когда можно найти
соответствующий неопределённый интеграл , служит формула Ньютона-Лейбница:
.
 xf  dxxf
 dxxf )(
     CxFdxxf     dxxfCxFd 
  CxFxdF )()(
  ;)()( dxxfdxxfd    )()( xfdxxf 


    wdxvdxudxdxwvu )(
  dxxfCdxxfC )()(
tgxdx
 kxdxsin
 xf
 xF
       aFbFxFdxxf
a
bb
a


26
Тема 6. Комбинаторика, статистик а и теория вероятностей.
1. Комбинаторика
2. Формула для числа перестановок
3. Формула для числа размещений из n элементов по k
4. Формула для числа сочетаний из n элементов по k
5. Знать определения основныхпонятий: случайное событие, достоверное событие,
невозможное событие, несовместные события, полная группа событий;
6. Иметь представление о понятиях попарно несовместных событий.
Элементы комбинаторики
Вариант №1
1. Сколькими способами можно составить
расписание одного учебного дня из 5
различных уроков?
1) 30 2) 100 3) 120 4) 5
2. В группе 32 обучающихся. Сколькими
способами можно сформировать команду
из 4 человек для участия в математической
олимпиаде?
1) 128 2) 35960 3) 36 4)46788
3. Сколько существует различных
двузначных чисел, в записи которых
можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6,
если цифры в числе должны быть
различными?
1) 10 2) 60 3) 20 4) 30
4. Вычислить: 6! -5!
1) 600 2) 300 3) 1 4) 1000
5. В ящике находится 45 шариков, из
которых 17 белых. Потеряли 2 не белых
шарика. Какова вероятность того, что
выбранный наугад шарик будет белым?
1) 2) 3) 4)
6. Бросают три монеты. Какова
вероятность того, что выпадут два орла и
одна решка?
Вариант №3
1. Сколькими способами можно расставить
4 различные книги на книжной полке?
1) 24 2) 4 3) 16 4) 20
2. Сколько диагоналей имеет выпуклый
семиугольник?
1) 30 2) 21 3) 14 4) 7
3. В футбольной команде 11 человек.
Необходимо выбрать капитана и его
заместителя. Сколькими способами это
можно сделать?
1) 22 2) 11 3) 150 4) 110
4. Сократите дробь:
!3
!11!12 
1) 1 2) 3) 4)
5. Какова вероятность, что при одном
броске игрального кубика выпадает число
очков, равное четному числу?
1) 2) 0,5 3) 4) 0,25
6. Катя и Аня пишут диктант. Вероятность
того, что Катя допустит ошибку,
составляет 60%, а вероятность ошибки у
Ани составляет 40%. Найти вероятность
того, что обе девочки напишут диктант без
ошибок.
1) 0,25 2) 0, 4 3) 0,48 4) 0,2

27
1) 2) 0,5 3) 0,125 4)
7. В денежно-вещевой лотерее на 1000000
билетов разыгрывается 1200 вещевых и
800 денежных выигрышей. Какова
вероятность выигрыша?
1) 0,02 2) 0,00012 3) 0,0008 4)
0,002
7. Завод выпускает 15% продукции
высшего сорта, 25% - первого сорта, 40% -
второго сорта, а все остальное – брак.
Найти вероятность того, что выбранное
изделие не будет бракованным.
1) 0,8 2) 0,1 3) 0,015 4) 0,35
Вариант №2
1. Сколько различных пятизначных чисел
можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
1) 100 2) 30 3) 5 4) 120
2. Имеются помидоры, огурцы, лук.
Сколько различных салатов можно
приготовить, если в каждый салат должно
входить 2 различных вида овощей?
1) 3 2) 6 3) 2 4) 1
3. Сколькими способами из 9 учебных
предметов можно составить расписание
учебного дня из 6 различных уроков.
1) 10000 2) 60480 3) 56 4) 39450
4. Вычислите: 23!-22!
1) 22 2) 56 3) 30 4) 23
5. В игральной колоде 36 карт. Наугад
выбирается одна карта. Какова
вероятность, что эта карта – туз?
1) 2) 3) 4)
6. Бросают два игральных кубика. Какова
вероятность того, что выпадут две четные
цифры?
1) 0,25 2) 3) 0,5 4) 0,125
7. В корзине лежат грибы, среди которых
10% белых и 40% рыжих. Какова
вероятность того, что выбранный гриб
белый или рыжий?
1) 0,5 2) 0,4 3) 0,04 4) 0,8
Вариант №4
1. Сколькими способами могут встать в
очередь в билетную кассу 5 человек?
1) 5 2) 120 3) 25 4) 100
2. Сколькими способами из 25 учеников
класса можно выбрать четырех для
участия в праздничном концерте?
1) 12650 2) 100 3) 75 4)10000
3. Сколько существует трехзначных чисел,
все цифры. Которых нечетные и
различные.
1) 120 2) 30 3) 50 4) 60
4. Упростите выражение: 15!-14!+5!
1) 0,5 2) 3) 4) 4
5. Какова вероятность, что ребенок
родится 7 числа?
1) 2) 3) 4)
6. Каждый из трех стрелков стреляет в
мишень по одному разу, причем
попадания первого стрелка составляет
90%, второго – 80%, третьего – 70%.
Найдите вероятность того, что все три
стрелка попадут в мишень?
1) 0,504 2) 0,006 3) 0,5 4) 0,3
7. Из 30 учеников спорткласса, 11
занимается футболом, 6 – волейболом, 8 –
бегом, а остальные прыжками в длину.
Какова вероятность того, что один
произвольно выбранный ученик класса
занимается игровым видом спорта?
1) 2) 0,5 3) 4)
Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики.
Вариант №1
Устройство состоит из трёх элементов,
работающих независимо. Вероятности
безотказной работы первого, второго и
третьего элементов соответственно равны 0,6;
0,7;08. Найти вероятность того, что безотказно
будут работать: а) только один элемент; б)
только два элемента; в) все три элемента.
Вариант №3
Заводом послана автомашина за различными
материалами на 4 базы. Вероятность наличия
нужного материала на первой базе равна 0,9; на
второй – 0,95; на третьей– 0,8; на четвёртой–
0,6. Найти вероятность, того что только на
одной базе не окажется нужного материала.
Вариант №2
Для сигнализации об аварии установлены два
независимо работающих сигнализатора.
Вероятность того, что при аварии сигнализатор
сработает, равна 0,95 для первого
Вариант №4
Производится три выстрела по одной и той же
мишени. Вероятность попадания при первом
выстреле равна 0,4; при втором – 0,5 и при
третьем – 0,7. Найти вероятности следующих

28
сигнализатора и 0,9 для – второго. Найти
вероятность того, что при аварии сработает
только один сигнализатор.
событий: А = {ровно одно попадание}; В = {
хотя бы одно попадание}; С = { хотя бы два
попадания}.
Глоссарий
Комбинаторика (комбинаторный анализ) – раздел математики, основное внимание в
котором сконцентрировано на задаче размещения объектов в соответствии со
специальными правилами и нахождении числа способов, которыми это может быть
сделано.
Формула для числа перестановок Рn = n!,
Замечание: символ n! (читается как факториал) есть сокращенное обозначение
произведения 1  2  3…(n – 1)  n. Принимается, что 1!=1, 0!=1.
Формула для числа размещений из n элементов по k
k
nA =
!)(
!
kn
n

Формула для числа сочетаний из n элементов по k C
k
n =
k
nA /k! =
!)(!
!
knk
n

Случайным называется событие наступление, которого нельзя гарантировать.
Рассмотрим основные понятия теории вероятности:
Испытанием называется совокупность условий, при котором может произойти данное
случайное событие.
Событие – это факт, который при осуществлении определенных условий может
произойти или нет. События обозначают большими латинскими буквами А, В, С…
Опр: Событие, всегда осуществляющееся при проведении испытания, называют
достоверным событием.
Опр: Когда событие не может произойти в результате испытания, его называют
невозможным.
Опр: Под случайным событием, связанным с некоторым опытом, понимается всякое
событие, которое при осуществлении этого опыта либо происходит, либо не происходит.
Опр: События называются несовместными, если в результате данного испытания
появление одного из них исключает появление другого.
Опр: События называются совместными, если в результате данного испытания
появление одного из них не исключает появление другого.
Опр: События называются равновозможными, если нет основания считать, что одно из
них происходит чаще, чем другое.
Опр: Два несовместных события А и A (не А) называются противоположными, если в
результате испытания одно из них должно обязательно произойти.
Вероятность события – это число, характеризующее степень возможности появления
событий при многократном повторении события.
Классическое определение вероятности
Р (А)=
n
m
, где m – число благоприятных исходов, n – число всех исходов.
Свойства вероятности
1. Р(А)= 0, если А – невозможное событие
2. Р(А)=1, если А – достоверное событие
3. Вероятность случайного события: 1)(0  AP
Случайной величиной, связанной с данным испытанием, называется переменная
величина X, принимающая различные числовые значения в зависимости от случая.
Дискретная случайная величина X считается заданной, если заданы все ее значения и
известен закон распределения вероятностей.

29
Тема 7. Прямые и плоскости в пространстве.
1. Аксиомы стереометрии
2. Определение параллельных прямых.
3. Определение прямой параллельной плоскости; признак параллельности прямой и
плоскости.
4. Определение параллельных плоскостей; признак параллельности двух плоскостей.
5. Определение прямой, перпендикулярной плоскости; признак перпендикулярности
прямой и плоскости.
6. Теоремы о трех перпендикулярах
7. Определение перпендикулярных плоскостей; признакперпендикулярности двух
плоскостей.
8. Свойства точек, равноудаленных от всех вершин или сторон многоугольника.
9. Определение величины угла между двумя скрещивающимися прямыми.
 Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 10-11 кл. загальноосвіт. навч.
закл.– К.: Школяр, 2004, Освіта, 2001
Вариант №1
Выполните чертеж к задаче. Прямые а, в, и
с имеют общую точку О, но не
существует плоскости, в которой лежат
все эти три точки.
Выполните чертеж к задаче. Плоскость α
проходит через середины сторон АВ и АС
ΔАВС и не содержит вершины А.
Выполните чертеж куба. По чертежу
укажите: а) прямые параллельные для
прямой АД; б) прямые
скрещивающиеся с прямой ;
в) плоскости параллельные прямой АВ.
Прямая АВ пересекает плоскость α в точке
О, расстояние от точки А до плоскости
равно 4 см. Найдите расстояние от точки В
до плоскости, если точка О середина АВ.
Вариант №3
Выполните чертеж к задаче. Прямые СД и
СК пересекают плоскость β в разных
точках.
Выполните чертеж к задаче. Прямая АВ
параллельна плоскости γ, а прямая АТ
пересекает ее в точке Т.
Выполните чертеж куба . По чертежу
прямой СД;
б) прямые скрещивающиеся с прямой ;
в) плоскости параллельные прямой ВС.
до плоскости, если точка А средина ОВ.
Вариант №2
Выполните чертеж к задаче. Прямые а, в, и
с имеют общую точку О и лежат в одной
плоскости.
Выполните чертеж к задаче. Прямая а
параллельна каждой из параллельных
плоскостей α и β.
прямой АВ;
Вариант №4
Выполните чертеж к задаче. Две вершины
ΔАВС лежат в плоскости γ, а вершина С не
лежит в плоскости γ. Прямая d пересекает
стороны СВ и СК соответственно в точках
М и Т, а плоскость α в точке К.
Выполните чертеж к задаче. Плоскость α
пересекает три параллельных прямых
соответственно в точках А, В, и С,
лежащих на одной прямой.

30
в) плоскости параллельные прямой АД.
до плоскости, если точка В середина ОА.
прямой ВС;
в) плоскости параллельные прямой АВ.
равно 4см. Найдите расстояние от точки В
до плоскости, если ОА =8 см, АВ=6 см.
Глоссарий
1. Аксиомы стереометрии (три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых,
плоскостей).
1) Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость
и притом только одна.
2) Если две различные точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой
лежат в этой плоскости.
3) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую,
на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
2. Определение параллельных прямых. Две прямые в пространстве называются
параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
3. Определение скрещивающихся прямых; признак скрещивающихся прямых.
Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной
плоскости.
Признак: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая
пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые
скрещивающиеся.
4. Определение прямой параллельной плоскости; признак параллельности прямой и
плоскости.
Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих
точек.
Признак: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой,
лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
5. Определение параллельных плоскостей; признак параллельности двух плоскостей.
Определение: Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Признак: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны
двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
6. Теорема об отрезках параллельных прямых, заключенных между параллельными
плоскостями.
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
7. Определение прямой, перпендикулярной плоскости; признак перпендикулярности
прямой и плоскости.
Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она
перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в этой плоскости.
Признак: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в
плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

31
8. Теоремы о трех перпендикулярах.
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к её проекции на эту
плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её
проекции.
9. Определение перпендикулярных плоскостей; признак перпендикулярности двух
плоскостей.
Определение: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол
между ними равен 90º
Признак: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к
другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
10. Свойства точек, равноудаленных от всех вершин или сторон многоугольника.
Если точка равноудалена от всех вершин многоугольника, то она проецируется на
плоскость этого многоугольника в центр описанной окружности.
Если точка равноудалена от всех сторон многоугольника, то онапроецируется на плоскость
этого многоугольника в центр вписанной окружности.
11. Определение величины угла между двумя скрещивающимися прямыми.
Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми,
параллельными данным.
а ∸ 𝑏; а′‖а; а′
∩ 𝑏 = О; угол 𝛽 − искомый

задания для самостоятеьного изучения предмета математика

задания для самостоятеьного изучения предмета математика

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (15)

Similaire à задания для самостоятеьного изучения предмета математика

Similaire à задания для самостоятеьного изучения предмета математика (20)

задания для самостоятеьного изучения предмета математика