1. FUVEST 1999 – Prova de Matemática
Q.01
Ache todas as soluções da equação
sen3 x cos x − 3 sen x cos3 x = 0
no intervalo [0, π ) .
2
Q.02
Um jogo eletrônico funciona da seguinte maneira: no início de
uma série de partidas, a máquina atribui ao jogador P pontos;
em cada partida, o jogador ganha ou perde a metade dos pontos
que tem no início da partida.
a) Se uma pessoa jogar uma série de duas partidas nas quais ela
ganha uma e perde outra, quantos pontos terá ao final?
b) Se uma pessoa jogar uma série de quatro partidas nas quais
ela perde duas vezes e ganha duas vezes, quantos pontos terá
ao final?
c) Se uma pessoa jogar uma série de sete partidas, qual o menor
número de vitórias que ela precisará obter para terminar com
mais que P pontos?
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2. FUVEST 1999 – Prova de Matemática
Q.03
Um
pirata
enterrou
um
tesouro numa ilha e deixou
um mapa com as seguintes
indicações: o tesouro está
enterrado num ponto da
linha reta entre os dois
rochedos; está a mais de
50 m do poço e a menos de
20 m do rio (cujo leito é
reto).
a) Descreva, usando equações e inequações, as indicações
deixadas pelo pirata, utilizando para isto o sistema de
coordenadas mostrado na figura.
b) Determine o menor intervalo ao qual pertence a coordenada x
do ponto (x,0) onde o tesouro está enterrado.
Q.04
A reta r tem equação 2x + y = 3 e intercepta o eixo x no ponto
A. A reta s passa pelo ponto P = (1, 2) e é perpendicular a r.
Sendo B e C os pontos onde s intercepta o eixo x e a reta r,
respectivamente,
a) determine a equação de s.
b) calcule a área do triângulo ABC.
-2-

3. FUVEST 1999 – Prova de Matemática
Q.05
Considere o sistema linear nas incógnitas x, y, z, w:
 2x +
 x +


 y +
 z −

my = −2
y = −1
(m − 1) z + 2w = 2
w = 1
a) Para que valores de m, o sistema tem uma única solução?
b) Para que valores de m, o sistema não tem solução?
c) Para m = 2 , calcule o valor de 2x + y − z − 2w .
Q.06
(
)
Considere a função f(x) = 2 loga x 2 + 1 − 4 loga x , com a > 1,
definida para x > 0.
a) Determine g(x) tal que f x) = loga g x), onde g é um quociente
(
(
de dois polinômios.
b) Calcule o valor de f(x) para x =
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1
a2 − 1
.

4. FUVEST 1999 – Prova de Matemática
Q.07
As retas r e s são paralelas e A é um
ponto entre elas que dista 1 de r e 2
de s. Considere um ângulo reto, de
vértice em A, cujos lados interceptam
r
e
s
nos
pontos
B
e
C,
respectivamente. O ângulo agudo entre
o segmento AB e a reta r mede α.
a) Calcule a área do triângulo ABC
em função do ângulo α.
b) Para que valor de α a área do triângulo ABC é mínima?
Q.08
Considere uma caixa sem tampa com a forma de
um paralelepípedo reto de altura 8 m e base
quadrada de lado 6 m. Apoiada na base,
encontra-se uma pirâmide sólida reta de
altura 8 m e base quadrada com lado 6 m. O
espaço interior à caixa e exterior à pirâmide
é preenchido com água, até uma altura h, a
partir da base (h ≤ 8) . Determine o volume da
água para um valor arbitrário de h, 0 ≤ h ≤ 8 .
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5. FUVEST 1999 – Prova de Matemática
Q.09
Seja
(an )
uma progressão geométrica de primeiro termo a1 = 1 e
razão q , onde q é um número inteiro maior que 1. Seja (bn ) uma
progressão geométrica cuja razão é q. Sabe-se que a11 = b17 .
Neste caso:
2
a) Determine o primeiro termo b1 em função de q.
b) Existe algum valor de n para o qual a n = b n ?
c) Que condição n e m devem satisfazer para que a n = b m ?
Q.10
a) Construa, com régua e compasso, um trapézio ABCD, onde AB
seja paralelo a CD , conhecendo-se os pontos A, M, N e I,
que satisfazem as seguintes condições: M é o ponto médio do
lado AD , N é o ponto médio de BC e I é o ponto de
intersecção do segmento MN com a reta que passa por B e é
paralela a AD .
b) Descreva e justifique a construção feita.
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