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Dalles 02. elasticité

  1. 1. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Dalles Introduction à l’élasticité
  2. 2. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Le gauchissement : près de l’appui Fig. 7.35
  3. 3. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Le gauchissement: bande de champ Fig. 7.35
  4. 4. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Le gauchissement : visualisation Fig. 7.35
  5. 5. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet On pourrait éviter la torsion… Fig. 7.37
  6. 6. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Dalles Théorie de l’élasticité
  7. 7. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Equation différentielle des dalles ▪ Etablie par Lagrange ▪ Hypothèses de base: –Dalles élancées (l/h > 5) –Dalles isotropes homogènes –Pas de déformation du feuillet moyen dans son plan –Les sections planes restent planes –Les contraintes normales sont négligées Fig. 7.5
  8. 8. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Elément infinitésimal de dalle dx dy Fig. 7.6
  9. 9. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Equilibre d’un élément de dalle ( )m dm dyx x+ ⋅ Fig. 7.6 ( )m dm dyx x+ ⋅ ( )m dm dyxy xy+ ⋅( )m dm dxy y+ ⋅ ( )m dm dxyx yx+ ⋅ ( )v dv dyx x+ ⋅ ( )v dv dxy y+ ⋅ v dxy ⋅v dyx ⋅ m dyx ⋅ m dxy ⋅ m dyxy ⋅ m dxyx ⋅ y x z dx dy q dx dy⋅ ⋅
  10. 10. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Equilibre autour de y y z x0=− ∂ ∂ + ∂ ∂ x xyx v y m x m Fig. 7.6 dy x m m x x ⋅      ∂ ∂ + dymx ⋅ dxmxy ⋅ dx y m m xy xy ⋅      ∂ ∂ + dyvx ⋅ dy x v v x x ⋅      ∂ ∂ +
  11. 11. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Equilibre autour de x y z x 0=− ∂ ∂ + ∂ ∂ y xyy v x m y m Fig. 7.6 dy y m m y y ⋅      ∂ ∂ + ym dymyx ⋅ dy y m m yx yx ⋅      ∂ ∂ + dxvy ⋅ dx y v v y y ⋅      ∂ ∂ +
  12. 12. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Equilibre vertical y z x 0=+ ∂ ∂ + ∂ ∂ q y v x v yx Fig. 7.6 dxvy ⋅ dx y v v y y ⋅      ∂ ∂ + dyvx ⋅ dy x v v x x ⋅      ∂ ∂ +
  13. 13. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Equilibre d’un élément infinitésimal de dalle 0=− ∂ ∂ + ∂ ∂ x xyx v y m x m 0=− ∂ ∂ + ∂ ∂ y xyy v x m y m 0=+ ∂ ∂ + ∂ ∂ q y v x v yx Fig. 7.6 q y m yx m x m yxyx −= ∂ ∂ + ∂∂ ∂ + ∂ ∂ 2 22 2 2 2 Eq. 7.2
  14. 14. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Déformation d’un élément de dalle ▪ Etablie par Lagrange ▪ Hypothèses de base: –Dalles élancées (l/h > 5) –Dalles isotropes homogènes –Pas de déformation du feuillet moyen dans son plan –Les sections planes restent planes –Les contraintes normales sont négligées Fig. 7.5
  15. 15. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Déformation dans un plan parallèle au feuillet moyen x v y u yxxy ∂ ∂ + ∂ ∂ =+= γγγ Fig. 7.7
  16. 16. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Répartition des contraintes z h x x ⋅= 2/ max,σ σ Fig. 7.8
  17. 17. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Moments en fonction de la déformée       ∂ ∂ + ∂ ∂ −= 2 2 2 2 y w x w Bmx ν       ∂ ∂ + ∂ ∂ −= 2 2 2 2 y w x w Bmy ν ( ) yx w Bmxy ∂∂ ∂ −−= 2 1 ν ( )2 3 112 ν−⋅ ⋅ = hE Bavec Eq. 7.9
  18. 18. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Equation de Lagrange (1811) B q y w yx w x w = ∂ ∂ + ∂∂ ∂ + ∂ ∂ 4 4 22 4 4 4 2 Eq. 7.10
  19. 19. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Grille de poutres sans torsion B q y w x w = ∂ ∂ + ∂ ∂ 4 4 4 4 Fig. 7.37
  20. 20. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Conditions de bord Type de condition cinématique (déplacements connus) statique (efforts connus) appui simple w = 0 m = 0 encastrement total w = 0, ∂w ∂n = 0 encastrement élastique w = 0 ∂w ∂n proportionnel à m m proportionnel à ∂w ∂n bord libre m = 0, r = 0 B q y w yx w x w = ∂ ∂ + ∂∂ ∂ + ∂ ∂ 4 4 22 4 4 4 2 Tab. 7.10
  21. 21. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Résolution de l’équation de Lagrange w x y qa D m y b y b y b m x a m m m m m m m m ( , ) tanh cosh cosh cosh sinh sin , , ,... = − + +       = ∞ ∑ 4 1 1 2 2 2 2 2 24 5 5 1 3 5π α α α α α α α π w(x,y) = ∑ m ∞ ∑ n ∞ amn · sin    mπx a · sin    nπy b avec α π m m b a = 2 y x b 2 b 2 a On peut le faire avec Excel ! Fig. 7.11
  22. 22. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Moments – dalle rectangulaire 0.04 0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 a a/2 0 1.5 M qa2 b = a b = 1.5 a b = 2 a b = 3 a b = 4 a M qa2 des moments Diagramme m à y = 0y Diagramme des moments m à x = a/2x Distribution transversale des moments m à x = a/2y Distribution transversale des moments m à y = 0x a 2a 3a 4a3a/2a/2 0.125 Diagramme Diagramme Distribution Distribution Fig. 7.12
  23. 23. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Isolignes des déformations
  24. 24. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Vue 3D des déformations
  25. 25. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Vue 3D des déformations
  26. 26. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Isolignes des moments mx
  27. 27. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Isolignes des moments my
  28. 28. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Isolignes des moments de torsion mxy
  29. 29. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Moments élastiques (ν = 0.17)
  30. 30. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Soulèvement des coins b) coins ancrésa) coins libres de se soulever Fig. 7.14
  31. 31. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Efforts dans les coins Fig. 7.15
  32. 32. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Torsion pure dans les coins de dalles R réaction répartie r m- m+ a a a m- m+ a) moments dans l'angle d'une dalle simplement appuyée et ancrée b) moments dans l'angle d'une dalle sur quatre colonnes A A Fig. 7.17
  33. 33. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Réactions d’appui Fig. 7.13
  34. 34. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Dalle encastrée sur son pourtour Fig. 7.18
  35. 35. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Etat de contraintes dans un coin dz dx dzσy dy dzσx dx dzτyx dy dzτxy dx dzσα ds dzτα dydx α z y x Fig. 7.19
  36. 36. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Moments principaux m T mm1 m2 mx my mxy 2α mxy Figs. 7.20 et 7.21
  37. 37. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Trajectoires des moments principaux
  38. 38. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Comparaison dalle-poutre (1) h h b z x w ),( yxw )(xw Dalle Poutre z x w y
  39. 39. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Comparaison dalle-poutre (2) h h b       ∂ ∂ ⋅+ ∂ ∂ −= 2 2 2 2 y w x w Bmx ν       ∂ ∂ ⋅+ ∂ ∂ −= 2 2 2 2 x w y w Bmy ν ( ) yx w Bmm yxxy ∂∂ ∂ −−== 2 1 ν 2 2 dx wd BMx ′−= 0≡yM 0=xyM 12 3 bh IEIB ==′
  40. 40. ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de construction en béton Structures en béton II Dr O. Burdet Comparaison dalle-poutre (3) h h b B q y w yx w x w = ∂ ∂ + ∂∂ ∂ + ∂ ∂ 4 4 22 4 4 4 2 B q x w ′ = ∂ ∂ 4 4 121 3 2 h I EI B = − = ν 12 3 bh IEIB ==′

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