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  1. 1. Projet tutoré Présenté par : Sarah Bounejmate & Salma Bouyahya Pour obtenir le diplome de : Licence fondamentale : Sciences Mathématiques et Applications ' & $ % Résolution des équations aux dérivées partielles par la méthode des éléments finis soutenue le : 25 Juin 2015 devant le jury composé de : Mme. Touria Ghemires Président Professeur de l’Enseignement Supérieur à la FSR Mr. Abdellah Alla Encadrant Professeur de l’Enseignement Supérieur à la FSR Mme. Nadia Raissi Examinateur Professeur de l’Enseignement Supérieur à la FSR Année universitaire : 2014/2015
  2. 2. Table des figures 1 Géométrie à étudier (réf.[4]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Maillage de la géométrie à étudier (réf.[4]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1 Diagramme expliquant la relation entre la dérivée au sens classique et la dé- rivée au sens des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.1 Exemple d’éléments finis en 1 2 et 3 dimensions (réf.[9]) . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Maillage en éléments finis (quadrilatères) d’un avion (réf.[7]) . . . . . . . . . 31 3.3 Fonction de base ϕi (réf.[1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.1 Graphe représentant la solution exacte et la solution approchée par la mé- thode des éléments finis de -u"(x)=f(x) (à gauche) et -u"(x)+u(x)=f(x) (à droite) pour n=3 et u(x)=x(x-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2 Graphe représentant la solution exacte et la solution approchée par la mé- thode des éléments finis de -u"(x)=f(x) (à gauche) et -u"(x)+u(x)=f(x) (à droite) pour n=10 et u(x)=x(x-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3 Graphe représentant la solution exacte et la solution approchée par la mé- thode des éléments finis de -u"(x)=f(x) (à gauche) et -u"(x)+u(x)=f(x) (à droite) pour n=100 et u(x)=x(x-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.4 Graphe représentant respectivement l’erreur pour -u"(x)=f(x) et u"(x)+u(x)=f(x) avec u(x)=x(x-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.5 Graphe représentant la solution exacte et la solution approchée par la mé- thode des éléments finis de -u"(x)=f(x) (à gauche) et -u"(x)+u(x)=f(x) (à droite) pour n=3 et u(x)=x(x-1) e(x−1/2)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1
  3. 3. TABLE DES FIGURES 4.6 Graphe représentant la solution exacte et la solution approchée par la mé- thode des éléments finis de -u"(x)=f(x) (à gauche) et -u"(x)+u(x)=f(x) (à droite) pour n=10 et u(x)=x(x-1) e(x−1/2)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.7 Graphe représentant la solution exacte et la solution approchée par la mé- thode des éléments finis de -u"(x)=f(x) (à gauche) et -u"(x)+u(x)=f(x) (à droite) pour n=100 et u(x)=x(x-1) e(x−1/2)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.8 Graphe représentant l’erreur respectivement pour -u"(x)=f(x) et u"(x)+u(x)=f(x) avec u(x)=x(x-1) e(x−1/2)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.9 Graphe représentant la solution exacte et la solution approchée par la mé- thode des éléments finis de -u"(x)=f(x) (à gauche) et -u"(x)+u(x)=f(x) (à droite) pour n=3 et u(x)=x4(x-1) ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.10 Graphe représentant la solution exacte et la solution approchée par la mé- thode des éléments finis de -u"(x)=f(x) (à gauche) et -u"(x)+u(x)=f(x) (à droite) pour n=10 et u(x)=x4(x-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.11 Graphe représentant la solution exacte et la solution approchée par la mé- thode des éléments finis de -u"(x)=f(x) (à gauche) et -u"(x)+u(x)=f(x) (à droite) pour n=100 et u(x)=x4(x-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.12 Graphe représentant la solution exacte et la solution approchée par la mé- thode des éléments finis de -u"(x)+u(x)=f(x) pour n=100 et u(x)=x4(x-1) . . . 49 4.13 Graphe représentant l’erreur respectivement pour -u"(x)=f(x) et u"(x)+u(x)=f(x) avec u(x)=x4(x-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2
  4. 4. Liste des tableaux 4.1 Tableau représentant l’erreur respectivement pour -u"(x)=f(x) et u"(x)+u(x)=f(x) avec u(x)=x(x-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2 Tableau représentant l’erreur respectivement pour -u"(x)=f(x) et u"(x)+u(x)=f(x) avec u(x)=x(x-1) e(x−1/2)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.3 Tableau représentant l’erreur respectivement pour -u"(x)=f(x) et u"(x)+u(x)=f(x) avec u(x)=x4(x-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3
  5. 5. Table des matières Remerciement i Introduction générale 1 1 L’espace de Sobolev H1 4 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Rappel sur les espaces de Banach et de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 L’espace de Sobolev H1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Notion de trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Formulation variationnelle 15 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Formulations variationnelles des problèmes modèles . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1 Problème de Dirichlet homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.2 Problème de Dirichlet non homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.3 Problème de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Théorème de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.1 Application aux problèmes modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4
  6. 6. TABLE DES MATIÈRES 2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Méthode des éléments finis 27 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Approximation interne générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 La méthode des éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.1 La méthode des éléments finis en dimension un . . . . . . . . . . . . . 31 3.3.2 Élément fini P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4 Applications 37 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3 Code Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4.1 Mise en œuvre de la méthode des éléments finis en dimension 1 pour u(x)=x(x-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.4.2 Mise en œuvre de la méthode des éléments finis en dimension 1 pour u(x)=x(x-1) e(x−1/2)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.4.3 Mise en œuvre de la méthode des éléments finis en dimension 1 pour u(x)=x4(x-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Conclusion et perspectives 50 Bibliographie 52 1
  7. 7. Remerciements Avant tout, nous rendons grâce à Dieu le tout puissant pour l’énergie, l’esprit et l’endurance sans lesquelles ce projet ne serait pas achevé. Nous adressons nos sincères remerciements et nos profondes gratitudes à notre professeur tu- teur, Mr .Abdellah Alla, qui n’a pas cessé de nous pousser à aller de l’avant, pour ses innombrables conseils et consignes, les documents qu’il a mis à notre disposition, son temps, et la confiance qu’il nous a témoigné. Nous tenons aussi à remercier Mme .Touria Ghemires, qui nous a honoré en acceptant d’être président du jury. Nous remercions également Mme .Nadia Raissi, qui nous a fait honneur en acceptant de faire partie du jury en tant qu’examinateur. Sans oublier de remercier toute l’équipe pédagogique du département de Mathématiques de la Faculté des Sciences de Rabat, ainsi que l’ensemble des intervenants responsables de la formation du cycle licence qui font de leur mieux pour que les étudiants aient une formation solide et par- faite. Nous serons à jamais reconnaissantes à nos parents, nos proches, et nos amis pour leur soutien inconditionné, et la confiance qu’ils nous ont accordé. Nous leur remercions pour tout ce qu’ils ont bien voulu faire de nous. i
  8. 8. Table des figures ii
  9. 9. Liste des tableaux iii
  10. 10. Table des matières iv
  11. 11. Introduction générale Depuis leur introduction en 1950, les équations aux dérivées partielles (en abrégé EDPs) ont servi comme un outil de modélisation pour représenter analytiquement le compor- tement dynamique de certains systèmes physiques. Aujourd’hui, l’application des EDPs n’épargne presque aucun domaine : biologie, dynamique des populations, traitement de signal, etc... d’où l’intérêt porté à leur résolution. Certaines EDPs peuvent être résolues analytiquement. Toutefois, un nombre important d’EDPs n’admettent pas de solutions analytiques. C’est dans cette optique que les recherches se sont penchées sur les méthodes numériques pour arriver à approcher les solutions de ces équations. Notons que malgré ces efforts indéniables, il n’existe pas de méthode universelle pour la résolution numérique des EDPs. L’algorithme de résolution dépend très étroitement du type du problème posé. C’est pour celà que nous allons restreindre notre champs d’étude aux équations de type elliptique. Les équations aux dérivées partielles sont regroupées suivant trois grandes catégories : les EDPs paraboliques, hyperboliques, et elliptiques. Pour mieux comprendre ce que celà veut dire, nous allons voir le cas des équations aux dérivées partielles du deuxième ordre portant sur des fonctions réelles de deux variables réelles u(x,y). Une telle équation s’écrit : a ∂2u ∂x2 + b ∂2u ∂x∂y + c ∂2u ∂y2 + d ∂u ∂x + e ∂u ∂y + f u = g. (1) Pour simplifier, nous supposons que les coefficients a, b, c, d, e, f sont constants et g une fonction continue. On dit que l’équation (1) est elliptique si b2 − 4ac < 0, parabolique si b2 − 4ac = 0, et hyper- bolique si b2 − 4ac > 0. L’origine de ce vocabulaire est bien sûr la classification des coniques du plan. En effet, il est bien connu que l’équation du deuxième degré : ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, 1
  12. 12. définit une courbe plane qui est (sauf dans certains cas dégénérés) une ellipse si b2 −4ac < 0, une parabole si b2 − 4ac = 0, et une hyperbole si b2 − 4ac > 0 (réf. [6]). Il existe plusieurs techniques permettant de résoudre les équations aux dérivées par- tielles. On pense par exemple à la méthode des différences finies, Cette méthode travaille directement sur une discrétisation de l’équation via une discrétisation du domaine. Mais nous allons nous intéresser à une autre méthode dont l’esprit est un peu différent et plus abstrait, c’est la méthode des éléments finis qui est basée essentiellement sur la discréti- sation de l’espace des solutions cherchées, plutôt que le domaine sur lequel l’équation est posée. A part la méthode des différences finies et des éléments finis, il existe bien d’autres méthodes d’approximation comme la méthode des volumes finis, la méthode spectrale, etc... Mais, la méthode des éléments finis reste la plus largement répandue. Cette popularité est sans doute fondée. En effet, la méthode des éléments finis est très générale, elle possède une base mathématique rigoureuse qui est fort utile, elle permet de faire le traitement de plu- sieurs géométries complexes, et enfin, une fois un algorithme de résolution est écrit, il peut être appliqué à n’importe quel problème en changeant seulement les inputs. L’objectif de notre mémoire serait donc, d’introduire les bases de la résolution des EDPs par la méthode des éléments finis (réf[3]). Le principe de la méthode des éléments finis est simple, on transforme notre système d’EDP continu en un système discret. La géométrie considérée initiale étant complexe est subdivisée en un nombre fini de sous domaines simples appelés éléments dont l’assemblage permet d’obtenir la géométrie initiale. Chaque élément est lié a son voisin par un nœud. Considérons à titre d’exemple la géométrie suivante et supposons que l’on veuille calculer sa surface : Fig. 1 – Géométrie à étudier (réf.[4]) Cette géométrie n’étant pas usuelle, on ne sait pas comment calculer directement sa sur- 2
  13. 13. face. La méthode des éléments finis propose qu’on la subdivise en un nombre fini d’objets simples (carreaux, rectangles ..) pour lesquels le calcul de la surface ne pose pas de pro- blèmes. Fig. 2 – Maillage de la géométrie à étudier (réf.[4]) Pour arriver à notre objectif nous allons suivre le cheminement suivant : Dans un premier temps, nous allons introduire quelques outils primordiaux de l’analyse mathématique. Ces outils nous seront essentiels pour l’étude des équations aux dérivées partielles. Il s’agit, en particulier, de la théorie des distributions et des espaces de Sobolev. Ensuite, dans le chapitre 2 nous allons parler de la formulation variationnelle et du théorème de Lax-Milgram. Nous consacrons le troisième chapitre à la méthode des éléments finis que l’on va élaborer en dimension 1, pour finir avec la simulation de celle ci sur Matlab pour quelques exemples tests. 3
  14. 14. Chapitre 1 L’espace de Sobolev H1 1.1 Introduction La majorité des phénomènes sont modélisés par le biais des équations aux dérivées par- tielles. Il s’est avéré que l’espace des fonctions continument dérivables suffisamment de fois pour donner un sens à l’EDP ne soit pas le cadre adéquat pour faire son étude défaut de complétude d’où la nécessité d’introduire un nouvel espace complet appelé espace de Sobo- lev H1 que nous allons définir dans ce qui suit. L’objectif de ce chapitre est de donner les outils de base nécessaires à l’utilisation de la méthode des éléments finis (expliquée dans le chapitre 3). Parmi les outils de base, on retrouve les notions de distribution, des espaces de Hilbert et de Sobolev, et la notion de trace. L’étude de ces notions pourrait faire l’objet d’un livre (et même de plusieurs) et il va de soi que nous nous contenterons d’un survol assez rapide mais relativement complet. Nous omettrons toutefois quelques détails qui ont bien sûr leur importance mais qui ne sont pas essentiels pour une bonne compréhension de la méthode des éléments finis. Pour une étude approfondie de ces notions nous renvoyons à ces deux livres [8] et [6] sur lesquels est essentiellement basé notre rapport. 1.2 Rappel sur les espaces de Banach et de Hilbert Espace de Banach : Soit {un}n∈N une suite dans un espace normé (V , . ). On dit que cette suite est de Cauchy si : lim n,m→+∞ un − um = 0. L’espace normé (V , . ) est dit de Banach si toute suite de Cauchy dans V converge vers un élément de V (pour la norme . ). En d’autres termes, un espace de Banach est un espace 4
  15. 15. 1.2. RAPPEL SUR LES ESPACES DE BANACH ET DE HILBERT normé complet. Exemple : Soit Ω un ouvert borné de Rn, l’espace V = C0(Ω)muni de la norme du maximum, est un espace de Banach : v ∞ = max x∈Ω |v(x)|. Par contre, même si l’application . p : C0(Ω) −→ R(1 ≤ p ≤ ∞), définie par : v p = Ω |v|p 1 p , ∀v ∈ v. est une norme sur C0(Ω) , l’espace (C0(Ω), . p) n’est pas un espace de Banach. Définition 1.2.1. Un produit scalaire dans un espace linéaire V est une forme (., .) : V ×V −→ R avec les propriétés suivantes : 1. (u,u) ≥ 0, ∀u ∈ V et (u,u) = 0 ⇔ u = 0. 2. (u,v) = (v,u), ∀u,v ∈ V . 3. (αu + βv,w) = α(u,w) + β(v,w), ∀u,v,w ∈ V α,β ∈ R. Le couple (V ,(., .)) est un espace linéaire muni d’un produit scalaire. Théorème 1.2.1. (Inégalité de Cauchy-Schwarz). Soit (V ,(., .)) un espace linéaire muni d’un produit scalaire. Alors on a : |(u,v)| ≤ (u,u) (v,v), ∀u,v ∈ V . Espace de Hilbert : Théorème 1.2.2. Soit (V ,(., .)) un espace linéaire muni d’un produit scalaire. Posons v = (v,v) pour tout v ∈ V . Alors le couple (V , . ) est un espace normé et |(u,v)| ≤ u . v . ∀u,v ∈ V . Un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme est induite par un produit scalaire. Exemple : L’espace (Rn, . 2) est un espace de Hilbert. x 2 =   n i=1 x2 i   1 2 = (x,x), ∀x = (xi)n i=1 ∈ Rn , 5
  16. 16. 1.3. LES DISTRIBUTIONS où (., .) est le produit scalaire dit euclidien. Soit Ω un ouvert borné de Rn, les espaces L2(Ω) et H1(Ω) qu’on va introduire dans les paragraphes suivants sont aussi des espaces de Hilbert. 1.3 Les distributions Soient Ω un ouvert de Rn (n ≥ 1) et f une fonction f : Ω −→ R. On appelle support de f l’ensemble : suppf = {x ∈ Ω tel que : f (x) 0}. On dit que la fonction f est a support compact s’il existe un sous-ensemble compact K ⊂ Ω tel que supp f ⊂ K. On définit ainsi l’espace D(Ω) par D(Ω) = {f ∈ C∞ (Ω) tel que : f est a support compact}. On peut maintenant définir l’espace des distributions sur Ω. Soit T une application linéaire de D(Ω) dans R. On note par < T ,ϕ > la valeur de T cor- respondante à l’élément ϕ ∈ D(Ω), c’est-à-dire < T ,ϕ >= T (ϕ). On dit que T est continue si : lim n→+∞ T ,ϕn = T ,ϕ , où {ϕk}k∈N est une suite arbitraire de D(Ω) qui converge vers ϕ dans D(Ω). On appelle distribution sur D(Ω) toute application T : D(Ω) −→ R linéaire et continue. L’espace des distributions sur Ω est l’espace D (Ω), dual de D(Ω), c’est-a-dire, l’espace des applications T : D(Ω) −→ R linéaires et continues (au sens spécifié ci-dessus). Exemple : Soit a un point de Ω. Le delta de Dirac relatif au point a, noté par δa, est la distribution définie par : δa,ϕ = ϕ(a), ∀ϕ ∈ D(Ω). δa est linéaire. En effet, δa,ϕ + ψ = (ϕ + ψ)(a), = ϕ(a) + ψ(a), = δa,ϕ + δa,ψ , ∀ϕ,ψ ∈ D(Ω). 6
  17. 17. 1.3. LES DISTRIBUTIONS Elle est aussi continue. En effet, lim n→+∞ δa,ϕn = lim n→+∞ ϕn(a), = ϕ(a), = δa,ϕ , ∀ϕn ∈ D(Ω)tel que lim n→+∞ δn = δ. On dit qu’une suite de distributions {Tn} converge dans D (Ω) vers une distribution T si : lim n→+∞ Tn,ϕ = T ,ϕ , ∀ϕ ∈ D(Ω). Considérons l’espace L2(Ω) des fonctions à carré sommable défini par : L2 (Ω) = {f : Ω −→ R tel que Ω |f (x)|2 dx < ∞}. Cet espace est un espace de Hilbert. (f ,g)L2(Ω) = Ω f (x)g(x)dx. La norme de L2(Ω) associée à ce produit scalaire est donc donnée par : f L2(Ω) = (f ,f )L2(Ω) 1 2 = Ω |f (x)|2 dx 1 2 . A toute fonction f ∈ L2(Ω) on associe une distribution Tf ∈ D (Ω) définie par : Tf ,ϕ = Ω f (x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Ω). (1.1) On a le résultat suivant : Lemme 1.3.1. L’espace D(Ω) est dense dans L2(Ω). En d’autres mots, toute fonction f ∈ L2(Ω) peut être approchée (pour la norme ( . L2(Ω)) par des fonctions de D(Ω). Soit T ∈ D (Ω) avec Ω un ouvert de Rn. La dérivée partielle de T par rapport à xi avec i = (1,...,n) au sens des distributions est une nouvelle distribution définie de la manière suivante : ∂T ∂xi ,ϕ = − T , ∂ϕ ∂xi , ∀ϕ ∈ D(Ω). De manière analogue on peut définir les dérivées successives. Pour chaque multi-indice α = (α1,...,αn) ∈ Nn, on définit : Dα T ,ϕ = (−1)|α| T ,Dα ϕ ∀ϕ ∈ D(Ω). 7
  18. 18. 1.4. L’ESPACE DE SOBOLEV H1(Ω) Remarque 1.3.1. la dérivation au sens des distributions est une généralisation de la dérivée clas- sique pour les fonctions, au sens suivant : si une fonction f est de classe C1, alors la dérivée de sa distribution associée Tf coïncide avec la distribution Tf associée à la dérivée au sens classique f de f . Cette relation est résumé dans le diagramme suivant (réf.[2]) : Fig. 1.1 – Diagramme expliquant la relation entre la dérivée au sens classique et la dérivée au sens des distributions 1.4 L’espace de Sobolev H1 (Ω) Soit Ω un ouvert de Rn, et v une fonction de L2(Ω), en général les fonctions intégrables ou les fonctions de carré intégrable ne sont pas forcement dérivables, et donc ∂v ∂xi n’aurait pas de sens (au sens usuel). Mais pourtant, il va falloir considérer leurs dérivées pour que notre EDP ait un sens. C’est ici ou l’on va se servir de la notion de dérivée faible(ou dérivée au sens des distributions). En effet, ∂v ∂xi a un sens au sens des distributions donnée par définition par ∂v ∂xi ,ϕ = − v, ∂ϕ ∂xi pour tout ϕ ∈ D(Ω). Définition 1.4.1. On appelle espace de Sobolev H1(Ω) d’ordre 1 sur Ω (ouvert de Rn), l’espace : H1 (Ω) = {v ∈ L2 (Ω) tel que ∂v ∂xi ∈ L2 (Ω), ∀i = 1,...,n}, = {v ∈ L2 (Ω) tel que (v) ∈ (L2 (Ω))n }. On lui associe le produit scalaire : (u,v)H1(Ω) = Ω  uv + n i=1 ∂u ∂xi ∂v ∂xi  dx. et la norme associée est notée : v H1(Ω) = (v,v)1/2 H1(Ω) =   Ω  v2 + n i=1 ∂v ∂xi 2  dx   1/2 . Définissons maintenant un autre espace de Sobolev qui est H1 0(Ω), et qui nous sera très utile pour les problèmes avec conditions aux limites. 8
  19. 19. 1.4. L’ESPACE DE SOBOLEV H1(Ω) Définition 1.4.2. L’espace de Sobolev H1 0(Ω) est défini comme étant l’adhérence de D(Ω) dans H1(Ω). Théorème 1.4.1. (Inégalité de Poincaré). Si Ω est borné, alors il existe une constante C = C(Ω) > 0 telle que : ∀v ∈ H1 0(Ω), v L2(Ω) ≤ C(Ω) v L2(Ω). (1.2) Démonstration : On va montrer le résultat pour v ∈ D(Ω), puis on va conclure par densité de D(Ω) dans H1 0(Ω). Puisque Ω est borné, alors on peut supposer que Ω ⊂ Ω × [a,b], avec Ω un ouvert de Rn-1, on note x = (x ,xn) ∈ Rn-1 × R. On peut écrire que : Ω ⊂ (x ,xn) ∈ Rn−1 × R a ≤ xn ≤ b, a,b ∈ R . Soit v ∈ D(Ω) et soit ˜v son prolongement par 0 en dehors de Ω, on a ˜v ∈ D(Rn) et ˜v(x ,a) = 0. D’où : ˜v(x ,xn) = xn a ∂ ˜v ∂xn (x ,t)dt ∀(x ,xn) ∈ Rn . On a aussi : | ˜v(x ,xn)|2 = xn a ∂ ˜v ∂xn (x ,t)dt 2 ≤ xn a ∂ ˜v ∂xn (x ,t) dt 2 . D’où par l’inégalité de Cauchy-Schwarz : | ˜v(x ,xn)|2 ≤ xn a ∂ ˜v ∂xn (x ,t) 2 dt × xn a |1|dt, ≤ (xn − a) × xn a ∂ ˜v ∂xn (x ,t) 2 dt, ≤ (xn − a) × +∞ −∞ ∂ ˜v ∂xn (x ,t) 2 dt. Ainsi : Rn−1 | ˜v(x ,xn)|2 dx ≤ (xn − a) × Rn ∂ ˜v ∂xn (x) 2 dx. D’où en intégrant en xn, et ˜v(x ,.) étant nul à l’extérieur de ]a,b[, on obtient : Rn | ˜v(x ,xn)|2 dx ≤ b a (xn − a)dxn × Rn ∂ ˜v ∂xn (x) 2 dx, ≤ 1 2 (b − a)2 × Rn ∂ ˜v ∂xn (x) 2 dx. 9
  20. 20. 1.4. L’ESPACE DE SOBOLEV H1(Ω) Ainsi : v(x) 2 L2(Ω) ≤ 1 2 (b − a)2 × ∂v ∂xn (x) 2 L2(Ω) . =⇒ v L2(Ω) ≤ b − a √ 2 × ∂v ∂xn L2(Ω) ∀v ∈ D(Ω). L’inégalité de Poincaré étant vérifiée pour toute fonction de D(Ω), et on sait que toute fonction de H1 0(Ω) est une limite d’une suite de fonctions de D(Ω) (car D(Ω) est dense dans H1 0(Ω)), on en déduit alors le résultat. Remarque 1.4.1. – Ce résultat nous montre en particulier que pour Ω borné, H1 0(Ω) est un sous-espace de H1(Ω). Cependant, la fonction constante égale à 1 appartient à H1(Ω) et n’appartient pas à H1 0(Ω), sinon elle vérifierait l’égalité ci-dessus ce qui est absurde car son gradient est nul. – H1 0(Ω) est un espace de Hilbert. Lemme 1.4.1. Si Ω est borné, la semi-norme |v|H1(Ω) = v L2(Ω) =   n i=1 Ω ∂v ∂xi 2 dx   1/2 . (1.3) est une norme sur l’espace H1 0(Ω) équivalente à la norme . H1(Ω). Démonstration : On se limite ici au cas de l’espace H1 0(Ω). D’après (1.2), on tire que si |v|H1(Ω) = 0 avec v ∈ H1 0(Ω), alors v L2(Ω) = 0, ce qui implique que v = 0 puisque . L2(Ω) est une norme. Il en résulte donc que |.|H1(Ω) est une norme sur H1(Ω). Soit v ∈ H1 0(Ω). Puisque : v H1(Ω) =   Ω  v2 + n i=1 ∂v ∂xi 2  dx   1/2 , = v 2 L2(Ω) + |v|2 H1(Ω) 1 2 , il est clair que : |v|H1(Ω) ≤ v H1(Ω). 10
  21. 21. 1.5. NOTION DE TRACE D’autre part, d’après (1.2), on a : v H1(Ω) = v 2 L2(Ω) + |v|2 H1(Ω) 1 2 ≤ (1 + C2 (Ω))|v|2 H1(Ω) 1 2 = (1 + C2 (Ω) 1 2 |v|H1(Ω). Ce qui complète la démonstration. 1.5 Notion de trace Lors de la résolution des équations aux dérivées partielles, il nous faudra introduire des conditions aux limites, ce qui nous amène à parler de la restriction à la frontière Γ = ∂Ω, d’une fonction de H1(Ω). Une fonction v ∈ H1(Ω) n’est pas nécessairement continue, et définir sa trace v|Γ (i.e sa ’va- leur’) sur le bord Γ = ∂Ω pose un problème. Les fonctions de H1(Ω) ne sont pas nécessairement continues. Pour définir leur valeur au bord on va les approcher par des fonctions régulières. On admet que les fonctions de D(Rn) sont denses dans H1(Rn). La démonstration de ce résultat se fait par troncature et régularisation. D’autre part si Ω est un ouvert de classe C1 par morceaux, c’est à dire que localement sa frontière est le graphe d’une fonction C1, ou bien si Ω = Rn alors D(Ω) est dense dans H1(Ω). Nous allons montrer que le fait d’associer une valeur au bord pour une fonction est une opération continue pour la topologie de H1. Plus précisément, nous avons le théorème suivant : 11
  22. 22. 1.5. NOTION DE TRACE Théorème 1.5.1. (théorème de trace) Soit Ω un ouvert borné de Rn, de frontière Γ de classe C1 par morceaux. Alors : 1. D Ω est dense dans H1(Ω). 2. l’application restriction γ0 définie par : γ0 :    D Ω −→ C0(Γ ) v −→ γ0(v) = v|Γ est linéaire continue (pour D Ω muni de la norme . H1(Ω) et C0(Γ ) muni de la norme . L2(Γ )) et γ0 se prolonge par continuité de H1(Ω) dans L2(Γ ). On définit ainsi : γ0 :    H1(Ω) −→ L2(Γ ) v −→ γ0(v) = v|Γ Et la continuité s’écrit : ∃c > 0,∀v ∈ H1 (Ω); γ0(v) L2(Γ ) ≤ c v H1(Ω). Remarque 1.5.1. le noyau de γ0 est en fait H1 0(Ω). Pour la démonstration de ce théorème nous aurons besoin du lemme suivant : Lemme 1.5.1. Pour toute fonction v de D Rn + , nous avons l’inégalité suivante : v(.,0) L2(Rn-1) ≤ v H1(Rn +). (1.4) Démonstration : Soit D Rn + , alors on peut écrire : |v(x ,0)|2 = − ∞ 0 ∂ ∂xn |v(x ,xn)|2 dxn, = −2 ∞ 0 v(x ,xn) ∂v ∂xn (x ,xn)dxn, et en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwartz et l’inégalité suivant : 2ab ≤ a2 + b2 . 12
  23. 23. 1.5. NOTION DE TRACE On obtient : |v(x ,0)|2 ≤ 2 ∞ 0 v(x ,xn) 2 dxn 1/2 ∞ 0 ∂v ∂xn (x ,xn) 2 dxn 1/2 , ≤ ∞ 0 v(x ,xn) 2 dxn + ∞ 0 ∂v ∂xn (x ,xn) 2 dxn . Par intégration en x , on en déduit : Rn-1 |v(x ,0)|2 dx ≤ Rn + |v(x)|2 + ∂v ∂xn (x) 2 dx. D’où : v(.,0) L2(Rn-1) ≤ v H1(Rn +). Revenons maintenant à la démonstration du théorème (1.5.1). Démonstration : Pour démontrer le théorème (1.5.1), on se restreint au cas Ω = Rn +, qui est le modèle le plus simple d’ouverts de Rn de frontière C∞. Rn + := {x = (x ,xn); xn > 0}. Dans ce cas, la frontière de Ω est l’hyperplan : Γ = {x = (x ,0); x ∈ Rn-1 } Rn-1 . Le cas d’un domaine général Ω est traité par cartes locales : on se place sur un morceau de ∂Ω et on le redresse grâce à un difféomorphisme en une partie de Rn sur lequel on applique le résultat désormais connu. Puis on recolle les morceaux. Pour revenir au cas Ω = Rn +, on va utiliser l’inégalité (1.4) du lemme (1.5.1). Comme D Rn + est dense dans H1(Rn +) cette inégalité se prolonge aux fonctions de ce dernier espace et on obtient, pour ces fonctions, une trace dans L2 du bord. A noter que ce n’est pas le cas pour les fonctions de L2(Rn +) : pour celles-ci on ne peut pas définir de valeur au bord (réf.[5]). Corollaire 1.5.1. H1 0(Ω) est le sous-espace de H1(Ω) constitué des fonctions qui s’annulent sur le bord Γ = ∂Ω et on a : H1 0(Ω) = {v ∈ H1 (Ω) tel que γ0(v) = 0L2(Γ )}. Démonstration : Comme les fonctions de H1 0 sont des limites de fonctions de D(Ω) pour la topologie de 13
  24. 24. 1.6. CONCLUSION H1 0 et que celles-ci s’annulent sur ∂Ω, la continuité de γ0 implique que la fonction limite a une trace nulle. L’inclusion dans un sens est donc prouvée. L’autre sens est admis. Le résultat suivant permet de déduire la formule de Green. Corollaire 1.5.2. (intégration par parties en dimension n) Soit Ω un ouvert borné de Rn, de frontière Γ de classe C1 par morceaux. Alors si u et v sont des fonctions de H1(Ω), on a : Ω ∂u ∂xi v dx = − Ω u ∂v ∂xi v dx + Γ uvni ds, i = 1,...,n où ni est la i-ème composante de la normale sortante au domaine Ω. 1.6 Conclusion Nous avons donc préparé le terrain, nous disposons maintenant de tous les outils néces- saires pour élaborer la méthode des éléments finis. On a commencé par l’espace de Sobolev pour assurer la complétude de l’espace dans lequel la solution approchée est définie, la no- tion de dérivée au sens des distributions pour que l’EDP ait un sens, et enfin le théorème de trace pour pouvoir donner des valeurs à la solution (qui n’est pas forcément continue) aux bords. 14
  25. 25. Chapitre 2 Formulation variationnelle 2.1 Introduction Nous abordons dans ce chapitre l’étude de certains problèmes aux limites elliptiques linéaires intervenant de manière courante en mécanique et en physique. L’objet principal est de trouver une formulation variationnelle de ces problèmes qui nous permet d’élaborer une démonstration aisée de l’existence et de l’unicité des solutions. L’approche que nous allons suivre est dite variationnelle. Au cours de ce chapitre, l’exemple modèle d’EDP que nous allons traiter sera le Lapla- cien, pour lequel nous étudions le problème aux limites suivant :    −∆u = f dans Ω, u = 0 sur Γ . (2.1) où nous imposons des conditions aux limites de type Dirichlet. Dans (2.1), Ω est un ouvert de l’espace Rn, Γ = ∂Ω est son bord (ou frontière), f est un second membre (une donnée du problème), et u l’inconnue. Le principe de l’approche variationnelle pour la résolution des équations aux déri- vées partielles, est de remplacer l’équation du problème (2.1) par une formulation équi- valente, dite variationnelle, obtenue en intégrant l’équation multipliée par une fonction quelconque, qu’on appelle fonction test. 2.2 Formulations variationnelles des problèmes modèles 2.2.1 Problème de Dirichlet homogène On appelle problème de Dirichlet une équation de Laplace avec des conditions aux li- mites de type Dirichlet c’est à dire on spécifie les valeurs de la solution sur la frontière. 15
  26. 26. 2.2. FORMULATIONS VARIATIONNELLES DES PROBLÈMES MODÈLES Pour tout Ω ouvert de Rn et de frontière Γ := ∂Ω le problème de Dirichlet s’énonce de la façon suivante : étant donné une fonction f∈ L2(Ω), trouver une fonction u définie dans Ω et solution de :    −∆u = f dans Ω, u = 0 sur Γ . (2.2) Supposons qu’il existe une solution u ∈ H2(Ω) de (2.2) (une solution assez régulière). Soit v∈ H1 0(Ω), en multipliant la première équation de (2.2) par la fonction test v et en inté- grant sur Ω, on obtient : Ω −(∆u)v dx = Ω f v dx. Et en utilisant la formule de Green, on a : Ω u. v dx − Γ ∂u ∂n v dσ = Ω f v dx. comme v=0 sur le bord, on obtient ce que l’on appelle la formulation variationnelle du problème (2.2) :    Trouver u ∈ H1 0(Ω), tel que : ∀v ∈ H1 0(Ω) Ω u. v dx = Ω f v dx. (2.3) Réciproquement, si u ∈ H1 0(Ω) est solution de (2.3), alors puisque D(Ω) ⊂ H1 0(Ω), on a pour tout ϕ ∈ D(Ω) : Ω u. ϕ dx = n i=1 Ω ∂u ∂xi ∂ϕ ∂xi dx = Ω f ϕ dx. cette égalité s’écrit encore : n i=1 ∂u ∂xi , ∂ϕ ∂xi = f ,ϕ , et par définition de la dérivation au sens des distributions il vient : − n i=1 ∂2u ∂x2 i ,ϕ = f ,ϕ , c’est à dire : −∆u = f . 16
  27. 27. 2.2. FORMULATIONS VARIATIONNELLES DES PROBLÈMES MODÈLES La formulation variationnelle est donc équivalente pour les solutions régulières, à la formu- lation classique du problème (2.2) de Dirichlet. 2.2.2 Problème de Dirichlet non homogène Soit Ω un ouvert de Rn de frontière Γ := ∂Ω , on considère le problème suivant : étant donné une fonction f∈ L2(Ω), trouver une fonction u définie dans Ω et solution de :    −∆u = f dans Ω, u = d sur Γ . (2.4) Pour se ramener au problème de Dirichlet homogène, on va construire un relèvement, c’est- à-dire une fonction u0 ∈ H1(Ω) telle que γ0(u0) = d où γ0 est l’application trace. Si d ∈ Im(γ0) = γ0(H1(Ω)) qui est un sous-espace de L2(Γ ), on sait d’après le théorème (1.5.1) de trace qu’il existe u0 ∈ H1(Ω) telle que d = γ0(u0). On cherche donc u sous la forme u=˜u+u0 avec ˜u∈ H1 0(Ω) et u0 ∈ H1(Ω) telles que γ0(u0) = d. Soit v ∈ H1 0(Ω), on multiplie la première équation de (2.4) par v et on intègre sur Ω on ob- tient : Ω −(∆u)v dx = Ω f v dx. Comme u = ˜u + u0, on trouve : − Ω ∆ ˜u.v dx − Ω ∆ ˜u0.v dx = Ω f v dx. D’où par la formule de Green, on obtient : Ω ˜u. v dx − Γ ∂ ˜u ∂n v dσ + Ω u0. v dx − Γ ∂ u0 ∂n v dσ = Ω f v dx. Et puisque ˜u ∈ H1 0(Ω), alors ˜u = 0 sur Γ , et on se ramène donc au problème suivant :    Trouver ˜u ∈ H1 0(Ω), tel que : Ω ˜u. v dx = Ω f v dx − Ω u0. v dx ∀v ∈ H1 0(Ω). (2.5) C’est la formulation variationnelle du problème (2.4) de Dirichlet non homogène. 17
  28. 28. 2.2. FORMULATIONS VARIATIONNELLES DES PROBLÈMES MODÈLES 2.2.3 Problème de Neumann Toujours avec les mêmes hypothèses sur Ω, on cherche maintenant une fonction u telle que :    −∆u + u = f dans Ω, ∂u ∂n = 0 sur Γ . (2.6) Supposons qu’il existe une solution u ∈ H2(Ω) de (2.6) (u suffisamment régulière). Soit v∈ H1(Ω), en multipliant la première équation de (2.6) par la fonction test v et en inté- grant sur Ω, on obtient : Ω −(∆u)v dx + Ω uv dx = Ω f v dx, et en utilisant la formule de Green, on a : Ω u. v dx − Γ ∂u ∂n v dσ + Ω uv dx = Ω f v dx, comme ∂u ∂n = 0 sur le bord Γ , on obtient ce que l’on appelle la formulation variationnelle du problème (2.6) de Neumann :    Trouver u ∈ H1 0(Ω), tel que : ∀v ∈ H1(Ω) Ω u. v dx + Ω uv dx = Ω f v dx. (2.7) Réciproquement, si u∈ H2(Ω) est solution du problème (2.7), alors en particulier on a en prenant v ∈ D(Ω) dans (2.7), et on utilisant la formule de Green : Ω −(∆u)v dx + Ω uv dx = Ω f v dx. On a donc −∆u + u = f , au sens des distributions et comme f et u sont dans L2(Ω), cette égalité à lieu dans L2(Ω). Reprenons maintenant pour une fonction test v dans H1(Ω) et intégrons par parties l’équa- tion du problème (2.7), on obtient : Ω −(∆u)v dx + Ω uv dx − Γ ∂u ∂n v dσ = Ω f v dx. D’après l’égalité obtenue précédemment, Γ ∂u ∂n v = 0 pour tout v∈ H1(Ω), on retrouve alors la formulation variationnelle. 18
  29. 29. 2.3. THÉORÈME DE LAX-MILGRAM 2.3 Théorème de Lax-Milgram Cette section est consacrée au théorème de Lax-Milgram qui sera l’outil essentiel per- mettant de démontrer des résultats d’existence et d’unicité de solutions de la formulation variationnelle dans un espace de Hilbert. On note V un espace de Hilbert réel de produit scalaire ., . et de norme . . Nous considérons une formulation variationnelle du type :    Trouver u ∈ V , tel que : a(u,v) = L(v) ∀v ∈ V . (2.8) On se donne : 1. L(.) est une forme linéaire continue sur V , c’est-à-dire que v −→ L(v) est linéaire de V dans R, et il existe une constante C > 0 telle que : |L(v)| ≤ C v ∀v ∈ V . 2. a(.,.) est une forme bilinéaire sur V , c’est-à-dire que u −→ a(u,v) est une forme linéaire de V dans R pour tout v ∈ V , et v −→ a(u,v) est une forme linéaire de V dans R pour tout u ∈ V . 3. a(.,.) est continue sur V × V , c’est-à-dire, qu’il existe une constante M > 0 telle que : |a(u,v)| ≤ M u V v V ∀u,v ∈ V . 4. a(.,.) est V-elliptique (cœrcive), c’est-à-dire, qu’il existe une constante strictement positive α telle que : |a(v,v)| ≥ α v 2 V ∀v ∈ V . Théorème 2.3.1. (Lax-Milgram) soit V un espace de Hilbert, et soit L une forme linéaire conti- nue sur V, et soit a(. , .) une forme bilinéaire continue sur V ×V . Si a(. , .) est V-elliptique (cœrcive), alors il existe une unique solution u du problème variationnel . Démonstration : On considère l’application suivante : v −→ a(u,v). Elle est linéaire continue donc d’après le théorème de Riesz on a : ∃A : V −→ V tel que a(u,v) = Au,v . 19
  30. 30. 2.3. THÉORÈME DE LAX-MILGRAM D’autre part, on considère l’application : v −→ L(v). Elle est aussi linéaire et continue, donc d’après le théorème de Riesz, on a : ∃τ : V −→ V tel que L(v) = τL,v . Alors : Au,v = τL,v ∀v ∈ V , d’où : Au = τL. Montrons maintenant l’existence et l’unicité de la solution u. On considère l’application suivante : T : v −→ T (v) = v − ρ(Av − τL) avec ρ > 0. Montrons que T est contractante. Soit v1,v2 ∈ V , on a : T (v1) − T (v2) 2 = v1 − v2 − ρ(Av1 − τL + ρ(Av2 − τL)) 2 = v1 − v2 − ρA(v1 − v2)) 2 . On pose, v = v1 − v2, on obtient : T (v) 2 = v − ρAv 2 = v 2 − 2ρ v,Av + ρ2 Av 2 . On sait que a(., .) est V-elliptique, alors : v,Av = a(v,v) ≥ α v 2 . =⇒ −2ρ v,Av ≤ −2ρα v 2. Puisque a(., .) est continue, il existe donc une constante M > 0 telle que : Av 2 = a(v,v) ≤ M||v||2 . D’où : T (v) 2 ≤ v 2 − 2ρ v,Av + ρ2 M v 2 ≤ v 2 − 2ρα v 2 + ρ2 M v 2 . 20
  31. 31. 2.3. THÉORÈME DE LAX-MILGRAM Ainsi : T (v) 2 ≤ (1 − 2ρα + ρ2 M) v 2 T est une contraction si : 1 − 2ρα + ρ2 M < 1. Ce qui implique que : ρ(ρM − 2α) < 0 =⇒ ρM − 2α < 0 =⇒ ρ < 2α M . Donc T est une contraction si ρ ∈]0, 2α M [. D’après le théorème de point fixe, il existe une unique solution u dans V qui vérifie : T (u) = u. Or T (u) = u − ρ(Au − τL). C’est-à-dire : u = u − ρ(Au − τL). D’où il existe une unique solution u telle que : Au = τL. Théorème 2.3.2. Sous les mêmes hypothèses du théorème (2.3.1) et si de plus la forme bilinéaire a(.,.) est symétrique, c’est-à-dire : a(u,v) = a(v,u) ∀u,v ∈ V , nous avons : Le problème variationnel (2.8) est équivalent au Problème de minimisation suivant :    Trouver une fonction u ∈ V telle que : J(u) = min v∈V J(v) = min v∈V 1 2 a(v,v) − L(v) (2.9) Démonstration : En premier lieu, on démontre que si u est l’unique solution du problème variationnel (2.8), alors u minimise forcement la fonctionnelle J sur tout espace V, soit donc w ∈ V quel- conque. 21
  32. 32. 2.3. THÉORÈME DE LAX-MILGRAM On va montrer que J(u + w) ≥ J(u). On a : J(u + w) = 1 2 a(u + w,u + w) − L(u + v). Puisque a(.,.) est bilinéaire, et L(.) est linéaire, nous avons : J(u + w) = 1 2 [a(u,u) + a(u,w) + a(w,u) + a(w,w)] − L(u) − l(w), et la symétrie de a(.,.) nous donne : J(u + w) = 1 2 a(u,u) − L(u) + (a(u,w) − L(w)) + 1 2 a(w,w). Dans le terme de droite, on reconnait dans la première parenthèse J(u), tandis que l’ex- pression à l’intérieur de la deuxième parenthèse est nulle puisque u est solution du pro- blème variationnel (2.8). Et puisque a(.,.) est V-elliptique alors le dernier terme est toujours positif. On a donc : J(u + w) = J(u) + 1 2 a(w,w) ≥ J(u). Donc J(u) est certainement inférieure ou égale à J(u+w). Puisque ce raisonnement est valide quel que soit w ∈ V , u minimise bien la fonctionnelle J sur l’espace V. Inversement, si u minimise J, on démontre que u est aussi une solution du problème variationnel (2.8). Considérons pour ce faire, la fonction de la variable réelle t définie par : g(t) = J(u + tv), = 1 2 a(u + tv,u + tv) − L(u + tv). En développant, on trouve : g(t) = J(u) + t(a(u,v) − L(v)) + 1 2 t2 a(v,v). On pose : P (t) = t(a(u,v) − L(v)) + 1 2 t2 a(v,v). C’est un polynôme de degré 2 en t. Alors : g(t) = J(u) + P (t). Or : J(u) ≤ J(u + tv) = g(t). 22
  33. 33. 2.3. THÉORÈME DE LAX-MILGRAM Donc : P (t) ≥ 0, et ceci n’est vrai, que si le discriminant D de P (t) est inférieur ou égal à 0. C’est-à-dire : D = (a(u,v) − L(v))2 ≤ 0. Ceci implique que : D = 0. Ainsi : a(u,v) = L(v). D’où u est solution de (2.8). 2.3.1 Application aux problèmes modèles • Problème de Dirichlet On rappelle qu’il s’agit de trouver u ∈ H1 0(Ω) tel que : ∀v ∈ H1 0(Ω) Ω u. v dx = Ω f v dx. On applique donc le théorème (2.3.1) ci-dessus avec : a(u,v) = Ω u. v dx et L(v) = Ω f v dx. Ceci sur l’espace V = H1 0(Ω) muni de la norme : v V = |v|H1 0(Ω) = v L2(Ω). • La forme bilinéaire a(.,.) est continue sur H1 0(Ω)×H1 0(Ω), en effet, à l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a : |a(u,v)| = Ω u. v dx , ≤ Ω | u. v|dx, ≤ Ω | u|2 dx 1/2 Ω | v|2 dx 1/2 , = u L2(Ω) v L2(Ω), = u V v V . D’où : |a(u,v)| ≤ u V v V . 23
  34. 34. 2.3. THÉORÈME DE LAX-MILGRAM • D’autre part, a(.,.) est V-elliptique, en effet : a(v,v) = Ω ( v)2 dx, ≤ Ω | v|2 dx, = v L2(Ω), = v V . D’où : a(v,v) = v V . • Et enfin, L(.) est continue sur H1 0(Ω), en effet à l’aide des inégalités de Cauchy-Schwarz et de Poincaré, on a : |L(v)| = Ω f v dx , |L(v)| ≤ Ω |f |2 dx 1/2 . Ω |v|2 dx 1/2 , = f L2(Ω). v L2(Ω), ≤ C(Ω) f L2(Ω). v L2(Ω). On pose : M = C(Ω) f L2(Ω). D’où : |L(v)| ≤ M v V . Le théorème (2.3.1) de Lax-Milgram nous assure donc l’existence et l’unicité de la solution u∈ H1 0(Ω) du problème (2.2) de Dirichlet. De plus, puisque la forme bilinéaire a(.,.) est symétrique, le théorème (2.9), nous assure que cette fonction u minimise la fonctionnelle quadratique suivante : J(v) = 1 2 Ω ( v)2 dx − Ω f v dx, sur l ’espace H1 0(Ω). • Problème de Neumann Rappelons qu’il s’agit de trouver u∈ H1(Ω) tel que : ∀v ∈ H1 (Ω) Ω u. v dx + Ω uv dx = Ω f v dx. On applique donc le théorème (2.3.1) de Lax-Milgram, avec : a(u,v) = Ω u. v dx + Ω uv dx, et L(v) = Ω f v dx. 24
  35. 35. 2.4. CONCLUSION Ceci sur l’espace V = H1(Ω) muni de la norme : v V = v H1(Ω). • La forme bilinéaire a(.,.) est continue sur H1(Ω)×H1(Ω), en effet à l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a : a(u,v) = Ω u. v dx + Ω uv dx ≤ u H1(Ω) v H1(Ω). D’où |a(u,v)| ≤ u V v V . • D’autre part a(.,.) est V-elliptique. En effet, a(v,v) = Ω ( v)2 dx + Ω (v)2 dx, = v 2 V . D’où : a(v,v) ≥ v 2 H1(Ω) . • Enfin L(.) est continue sur H1(Ω), en effet à l’aide de l’inégalité de Poincaré, on a : |L(v)| ≤ Ω |f |2 dx 1/2 . Ω |v|2 dx 1/2 , = f L2(Ω). v L2(Ω), ≤ C(Ω) f L2(Ω). v V . En posant : M = C(Ω) f L2(Ω). On obtient : |L(v)| ≤ M v V . Le théorème (2.3.1) de Lax-Milgram nous assure donc l’existence et l’unicité de la solution u ∈ H1(Ω) du problème (2.6) de Neumann. De plus, puisque la forme bilinéaire a(., .) est symétrique, alors d’après le théorème (2.9), la solution u minimise la fonctionnelle quadratique : J(v) = 1 2 Ω ( v)2 dx + Ω v2 dx − Ω f v dx sur l ’espace H1 (Ω). 2.4 Conclusion En se plaçant dans un cadre fonctionnel adéquat ; l’espace de Sobolev d’ordre 1, les mo- dèles posés sous forme d’EDP avec des conditions aux limites, peuvent être écrits sous une 25
  36. 36. 2.4. CONCLUSION forme plus générale, dite forme faible ou variationnelle. Cette formulation permet de poser un cadre conceptuel général qui nous fournit des outils d’analyse puissants, à savoir le théo- rème de Lax-Milgram, ce théorème à la fois simple est puissant, nous assure l’existence et l’unicité de la solution cherchée. Lors de la transformation du système d’EDPs sous forme variationnelle, on suit la dé- marche suivante : On choisit l’espace de Sobolev des fonctions tests en fonction du problème considéré, On multiplie l’EDP par une fonction test, et enfin on intègre par parties. 26
  37. 37. Chapitre 3 Méthode des éléments finis 3.1 Introduction Dans ce chapitre nous présentons la méthode des éléments finis qui est la méthode nu- mérique de référence pour le calcul des solutions de problèmes aux limites elliptiques. Le principe de cette méthode est directement issu de l’approche variationnelle que nous avons vu dans le chapitre précédent. L’idée de base est de remplacer l’espace de Hilbert V , sur lequel est posée la formulation variationnelle, par un sous-espace Vh de dimension finie. Le problème approché posé sur Vh se ramène à la simple résolution d’un système linéaire, dont la matrice est appelée matrice de rigidité. Par ailleurs, on peut choisir le mode de construc- tion de Vh de manière à ce que le sous-espace Vh soit une bonne approximation de V, et que la solution uh dans Vh de la formulation variationnelle, soit proche de la solution exacte u dans V . Remarque 3.1.1. Si le problème modèle est sous la forme : −∆u + u = f , on obtient au plus de la matrice de rigidité, une autre matrice dite de masse. Le plan de ce chapitre est le suivant. Dans la section (3.1) nous détaillons le processus d’approximation variationnelle interne, et dans la section (3.2) nous présentons la méthode des éléments finis en une dimension d’espace. 3.2 Approximation interne générale Nous considérons à nouveau le cadre général de la formulation variationnelle introduit dans le Chapitre 2. Étant donné un espace de Hilbert V , une forme bilinéaire continue et cœrcive a(u,v), et une forme linéaire continue L(v), on considère la formulation variationnelle suivante :    Trouveru ∈ V tel que : a(u,v) = L(v), ∀vh ∈ Vh, (3.1) 27
  38. 38. 3.2. APPROXIMATION INTERNE GÉNÉRALE dont on sait qu’elle admet une unique solution par le Théorème (2.3.1). L’approximation interne de (3.1) consiste à remplacer l’espace de Hilbert V par un sous-espace de dimension finie Vh, c’est-à-dire à chercher la solution de :    Trouveruh ∈ Vh tel que : a(uh,vh) = L(vh), ∀vh ∈ Vh, (3.2) La résolution de l’approximation interne (3.2) est facile comme le montre le lemme suivant. Lemme 3.2.1. Soit V un espace de Hilbert réel, et Vh un sous-espace de dimension finie. Soit a(u,v) une forme bilinéaire continue et cœrcive sur V , et L(v) une forme linéaire continue sur V . Alors l’approximation interne (3.2) admet une unique solution. Par ailleurs cette solution peut s’obtenir en résolvant un système linéaire de matrice définie positive et symétrique si a(u,v) est symétrique. Démonstration : L’existence et l’unicité de uh ∈ Vh, solution de (3.2), découle du théorème (2.3.1) de Lax- Milgram appliqué à Vh. Pour mettre le problème sous une forme plus simple, on introduit une base (ϕj)1≤j≤Nh de Vh. Si uh = Nh j=1 ujϕj, on pose U = (u1,...,uNh ) le vecteur dans RNhdes coordonnées de uh. Le problème (3.2) est équivalent à : Trouver U ∈ RNh tel que a   Nh j=1 ujϕj,ϕi   = L(ϕi), ∀i = 1,...,Nh. Ce qui s’écrit sous la forme d’un système linéaire : AU = b. (3.3) avec, pour 1 ≤ i,j ≤ Nh, (A)ij = a(ϕj,ϕi), et (b)i = L(ϕi). Dans les applications mécaniques la matrice A est appelée matrice de rigidité. La proposition suivante permet de montrer que la matrice A est inversible. Proposition 3.2.1. La matrice A est définie positive c’est-à-dire qu’elle vérifie la propriété sui- vante : ∀U ∈ RNh − {0}, AU,U > 0. Avant de donner la démonstration de cette proposition, expliquons pourquoi elle im- plique l’inversibilité de la matrice A. En effet, si A n’est pas inversible, alors il existe un vecteur U 0 dans RNh tel que AU = 0. Ceci implique en particulier que AU,U = 0 avec U 0, ce qui contredit le fait que A est définie positive. Démonstration : 28
  39. 39. 3.2. APPROXIMATION INTERNE GÉNÉRALE Soit U = (u1,...,uNh ) 0 dans RNh. Le vecteur AU a pour coordonnées   Nh j=1 A1juj,..., Nh j=1 ANjuj   =   Nh j=1 uja(ϕj,ϕ1),..., Nh j=1 uja(ϕj,ϕNh )   . On a donc AU,U = Nh i=1 Nh j=1 uiuja(ϕj,ϕi) = a   Nh j=1 ujϕj, Nh i=1 uiϕi   = a(uh,uh) = 1 0 |uh|2 dx, où uh(x) est une fonction de Vh dénie par uh(x) = Nh j=1 ujϕj(x). Comme les (u1,...,uNh ) sont tous non nuls, on vérifie aisément que uh est non nulle, ce qui implique que 1 0 |uh|2 > 0. Nous allons maintenant comparer l’erreur commise en remplaçant l’espace V par son sous-espace Vh. Plus précisément, nous allons majorer la différence u −uh où u est la solu- tion dans V de (3.1) et uh elle dans Vh de (3.2). Le lemme suivant, dû à Jean Céa, montre que la distance entre la solution exacte u et la solu- tion approchée uh est majorée uniformément par rapport au sous-espace Vh par la distance entre u et Vh. Lemme 3.2.2. (lemme de Céa) Soit u une solution du problème (3.1) et uh une solution du problème (3.2). Alors il existe une constante C > 0 indépendante de h tel que : u − uh V ≤ C inf vh∈Vh u − vh V . Démonstration : Soit vh ∈ Vh quelconque, et wh = vh − uh ∈ Vh ⊂ V . Comme wh est dans V et vh c’est une fonction test valide dans (3.1) et (3.2). On a donc : a(uh,wh) = L(wh). Et a(u,wh) = L(wh). D’où : a(u − uh,wh) = 0. 29
  40. 40. 3.3. LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS Par cœrcitive et continuité de a(., .), on a : α u − uh 2 ≤ a(u − uh,u − uh), = a(u − uh,u − vh + wh), = a(u − uh,u − vh) + a(u − uh,wh), ≤ M u − uh u − vh . Donc u − uh ≤ M α u − vh . et ceci pour tout vh, d’oú le résultat, avec C = M α . 3.3 La méthode des éléments finis Le principe de la méthode des éléments finis est de construire des espaces d’approxi- mation interne Vh, des espaces fonctionnels usuels H1(Ω), H1 0(Ω), . . . , dont la définition est basée sur la notion géométrique de maillage du domaine Ω. Un maillage est un recouvre- ment de l’espace en volumes élémentaires très simples : triangles, tétraèdres, parallélépi- pèdes. Fig. 3.1 – Exemple d’éléments finis en 1 2 et 3 dimensions (réf.[9]) Le paramètre h de Vh correspond à la taille maximale des mailles ou cellules qui com- posent le maillage. Typiquement une base de Vh sera constituée de fonctions dont le support est localisé sur une ou quelques mailles. Ceci aura deux conséquences importantes : d’une part, quand h −→ 0, l’espace Vh sera de plus en plus "grand" en terme de dimension et approchera de mieux en mieux l’espace V tout entier, et d’autre part, la matrice de rigidité A sera creuse, c’est-à-dire que la plupart de ses coefficients seront nuls (ce qui limitera le coût de la résolution numérique). La mé- thode des éléments finis est une des méthodes les plus efficaces et les plus populaires pour résoudre numériquement des problèmes aux limites. 30
  41. 41. 3.3. LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS Fig. 3.2 – Maillage en éléments finis (quadrilatères) d’un avion (réf.[7]) 3.3.1 La méthode des éléments finis en dimension un Nous choisissons le domaine Ω =]0,1[. En dimension 1 un maillage est simplement constitué d’une collection de points (xj)0≤j≤N+1 tels que 0 = x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xN ≤ xN+1 = 1. Le maillage sera dit uniforme si les points xj sont équidistants, c’est-à-dire que : xj = jh avec h = 1 N + 1 , 0 ≤ j ≤ N + 1. Les points xj sont aussi appelés les sommets (ou nœuds) du maillage. Nous considérons le problème modèle suivant :    −u”(x) = f (x) dans]0,1[, u(0) = u(1) = 0. (3.4) dont nous savons qu’il admet une solution unique dans H1 0(Ω) si f ∈ L2(Ω). Dans ce qui suit on notera Pk l’ensemble des polynômes à coefficients réels d’une variable réelle de degré inférieur ou égal à k : Pk =    p(x) = k j=0 ajxj , aj ∈ R    . Remarque 3.3.1. Généralement, le sous-espace Vh de V est noté V k h = {vh ∈ C0 (Ω)tel que vh|K ∈ Pk(K)} Sa dimension est égale à : dimV k h = (k + 1)(N + 1) − N 31
  42. 42. 3.3. LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS 3.3.2 Élément fini P1 Pour k=1 et en notant V 1 h = Vh on a : Vh = {v ∈ C0 ([0,1]), v|[xj,xj+1] ∈ P1, 0 ≤ j ≤ n, v(0) = v(1) = 0}. (3.5) La méthode des éléments finis P1 est alors simplement une méthode d’approximation va- riationnelle interne appliquée à l’espaces Vh définis par (3.5). On peut représenter les fonctions de Vh, affines par morceaux, à l’aide d’une fonctions de base très simple. Introduisons la "fonction chapeau" ϕj définie par : ϕj(x) =    x−xj−1 xj−xj−1 six ∈ [xj−1,xj] xj+1−x xj+1−xj six ∈ [xj,xj+1] 0 sinon Lemme 3.3.1. L’espace Vh, défini par (3.5), est un sous-espace de H1(]0,1[) de dimension n + 2, et toute fonction vh ∈ Vh est définie de manière unique par ses valeurs aux sommets (xj)0≤j≤N+1 : vh(x) = N+1 j=0 vh(xj)ϕj(x) ∀x ∈ [0,1]. Démonstration : Les fonctions continues et de classe C1 par morceaux appartiennent H1(Ω). Donc Vh est bien un sous-espaces de H1(]0,1[). Le reste de la preuve est immédiat en remarquant que ϕj(xi) = δij, où δij est le symbole de Kronecker qui vaut 1 si i = j et 0 sinon. Corollaire 3.3.1. Les {ϕj}0≤j≤N+1 constituent une base de Vh. Démonstration : Puisque la famille {ϕj}0≤i≤N+1 est de dimension finie, et sa dimension est égale à la dimension de Vh, on montre seulement que cette famille est libre. Soient donc αj des scalaires dans R, avec j ∈ {0,...,N + 1}. On suppose que : N+1 j=0 αjϕj(xi) = 0 aveci ∈ {0,...,N + 1}. • Pour i = 0, on a : α0ϕ0(x0) + α1ϕ1(x0) + ... + αN+1ϕN+1(x0) = 0 =⇒ α0ϕ0(x0) = 0, d’où : α0 = 0. 32
  43. 43. 3.3. LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS • Pour i = 1, on a : α0ϕ0(x1) + α1ϕ1(x1) + ... + αN+1ϕN+1(x1) = 0 =⇒ α1ϕ1(x1) = 0, d’où : α1 = 0. ... • Pour i = N + 1, on a : α0ϕ0(xN+1) + α1ϕ1(xN+1) + ... + αN+1ϕN+1(xN+1) = 0 =⇒ αN+1ϕN+1(xN+1) = 0, d’où : αN+1 = 0. Donc : ∀j ∈ {0,...,N + 1}, αj = 0. Ainsi, {ϕj}0≤i≤N+1 est une famille libre. Fig. 3.3 – Fonction de base ϕi (réf.[1]) Décrivons la résolution pratique du problème de Dirichlet (3.4) par la méthode des élé- ments finis P1. La formulation variationnelle (3.2) de l’approximation interne devient ici :    Trouver uh ∈ Vh tel que : 1 0 uh(x)vh(x)dx = 1 0 f (x)vh(x)dx ∀vh ∈ Vh. (3.6) On décompose uh sur la base des (ϕj)1≤j≤n et on prend vh = ϕi, ce qui donne : N j=1 uh(xj) 1 0 ϕj(x)ϕi(x)dx = 1 0 f (x)ϕi(x)dx. En notant U = (uh(xj))1≤j≤N , b = ( 1 0 f (x)ϕi(x)dx)1≤i,j≤n, et en introduisant la matrice de 33
  44. 44. 3.3. LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS rigidité : A = 1 0 ϕj(x)ϕi(x)dx 1≤i,j≤N . la formulation variationnelle dans Vh revient à résoudre dans Rn le système linéaire suivant : AU = b. Comme les fonctions de base ϕj ont un "petit" support, l’intersection des supports de ϕj et ϕi est souvent vide et la plupart des coefficients de A sont nuls. Les coefficients non nuls se calculent facilement : Ai,i−1 = a(ϕi−1,ϕi) = 1 0 ϕi(x)ϕi−1(x)dx = xi xi−1 (−1) h 1 h dx = − 1 h . Ai,i = a(ϕi,ϕi) = 1 0 (ϕi(x))2 dx = xi xi−1 1 h2 dx + xi+1 xi 1 (−h)2 dx = 2 h . Ai,i+1 = a(ϕi+1,ϕi) = 1 0 ϕi+1(x)ϕi(x)dx = xi+1 xi 1 h (−1) h dx = − 1 h . D’où : Aij =    −1 h si j = i − 1ou j = i + 1 2 h si j = i 0 si j {i − 1,i,i + 1}. (3.7) Finalement, la matrice de rigidité est une matrice tridiagonale : A = 1 h   2 −1 0 ... 0 −1 2 −1 0 0 −1 2 −1 0 ... ... ... ... 0 ... 0 −1 2 −1 0 ... 0 −1 2   (3.8) Remarque 3.3.2. Si le problème modèle est sous la forme : −u”+u = f , on a au plus de la matrice 34
  45. 45. 3.3. LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS de rigidité (3.8), la matrice de masse qui s’écrit de la forme suivante : M = h 6   4 1 0 ... 0 1 4 1 0 0 1 4 1 0 ... ... ... ... 0 ... 0 1 4 1 0 ... 0 1 4   (3.9) Pour obtenir le second membre b, il faut calculer l’intégrale : b = xi+1 xi−1 f (x)ϕi(x)dx pour tout1 ≤ i ≤ N. L’évaluation exacte du second membre b peut être difficile ou impossible si la fonction f est compliquée. En pratique on a recours à des formules de quadrature (ou formules d’intégra- tion numérique) qui donnent une approximation des intégrales définissant b. Par exemple, on peut utiliser la formule du point milieu : 1 xi+1 − xi xi+1 xi ψ(x)dx ≈ ψ( xi + 1 xi ). ou la formule des trapèzes : 1 xi+1 − xi xi+1 xi ψ(x)dx ≈ 1 2 (ψ(xi+1) + ψ(xi)). ou bien encore la formule de Simpson : 1 xi+1 − xi xi+1 xi ψ(x)dx ≈ 1 6 ψ(xi+1) + 1 6 ψ(xi) + 2 3 ψ( xi+1 + xi 2 ). On utilise la formule du trapèze, et on trouve : xi xi−1 f (x)ϕi(x)dx = xi − xi−1 2 (f (xi)ϕi(xi) + f (xi−1)ϕi−1(xi−1)), = h 2 f (xi). et de la même manière on trouve : xi+1 xi f (x)ϕi(x)dx = (xi+1 − xi) 2 f (xi+1)ϕi(xi+1) + f (xi)ϕj(xj) , = h 2 f (xi). 35
  46. 46. 3.4. CONCLUSION D’où b = h × f (xi). Ainsi, le système à résoudre s’écrit : 1 h2   2 −1 0 ... 0 −1 2 −1 0 0 −1 2 −1 0 ... ... ... ... 0 ... 0 −1 2 −1 0 ... 0 −1 2     u1 u2 ... ... uN   =   f (x1) f (x2) ... ... f (xN )   On remarque que la matrice A est tridiagonale, symétrique et définie positive, alors le système ci-dessus admet une unique solution. 3.4 Conclusion La méthode des éléments finis 1D consiste donc à : • Choisir N points entre 0 et 1 et choisir les fonctions ϕi. • Construire la matrice de rigidité A. • Déterminer le vecteur b (avec une méthode d’intégration). • Résoudre le système linéaire AU = b où U désigne le vecteur des inconnus. 36
  47. 47. Chapitre 4 Applications 4.1 Introduction Le but de ce chapitre est la mise en œuvre de la méthode des éléments finis en dimension 1 pour les deux problèmes modèles suivants :    −u”(x) + u(x) = f (x) sur ]0,1[, u(0) = u(1) = 0.    −u”(x) = f (x) sur ]0,1[, u(0) = u(1) = 0. Nous allons ensuite pour les deux problèmes, comparer la solution obtenue par approxi- mation, et la solution exacte. Nous utilisons le logiciel de calcul scientifique Matlab pour illustrer la méthode des éléments finis. 4.2 Algorithme Etape 1 : Discrétisation du domaine selon le degré de liberté fourni par l’utilisateur (Maillage). Etape 2 : Calcul de la matrice de masse et de rigidité. Etape 3 : Calcul du second membre. 37
  48. 48. 4.2. ALGORITHME Etape 4 : Prise en compte des conditions aux limites. Etape 5 : Résolution du système linéaire. Etape 6 : Représentation graphique de la solution approchée. 38
  49. 49. 4.3. CODE MATLAB 4.3 Code Matlab —— On cherche à résoudre : −u”(x) + u(x) = f (x) sur [0,1] —— —— La fonction u est donnée, deux fois dérivable et f continue —— —— On fait d’abord le grand ménage —— clc close all clear all dbstop if error ; — On demande à l’utilisateur de saisir le nombre de nœuds désirés — nddl=input(’donner le nombre de degré de liberté nddl : ’) ; ————– On saisit notre second membre f(x)=-u"(x)+u(x) ————– f=@(x)(NOTRE SECOND MEMBRE f) ; ————– On saisit notre solution exacte ————– sln = inline(’ON SAISIT LE u’) ; ————– On discrétise notre intervalle [0,1] ————– xx=linspace(0,1,nddl) ; ————– On définit le pas de chaque maille ————– for i=1 :nddl-1 h(i)=xx(i+1)-xx(i) ; end h ; ————– On définit les conditions aux limites ————– 39
  50. 50. 4.3. CODE MATLAB x0=0 ; xL=1 ; ua=0 ; ub=0 ; ————– On définit notre matrice de rigidité ————– A=zeros(nddl-2) ; for i=1 :nddl-2 for j=1 :nddl-2 if(abs(i-j)>1) A(i,j)=0 ; elseif(abs(i-j)==0) A(i,j)=(1./h(i)) + (1./h(i+1)) + (1./3)*(h(i)+h(i+1)) ; else A(i,j)=(-1./h(i)) + h(i)./6 ; end end end —— On calcule le second membre du problème approché —— Bb=[] ; for i=1 :nddl-2 Bb=[Bb 0.5*(h(i)+h(i+1))*f(xx(i+1))] ; B=[Bb ] ; end ————– On calcule la solution approchée ————– u=[ua ; A B’ ; ub] ; ————– On dessine la solution exacte avec un ————– ————– graphe de couleur noire et d’épaisseur 3 ————– figure(140) ; plot(0 :0.01 :1,sln(0 :0.01 :1),’-.K’,’LineWidth’,3) ; hold on ; 40
  51. 51. 4.3. CODE MATLAB ————– On dessine la solution approchée en marron ————– plot(xx,u,’o-’,’Color’,[ 8.7059e-001 4.9020e-001 0],’LineWidth’,2) ; ————– On définit la légende et on nomme les axes ————– Texte...legend(’ bf sol exacte’,’ bf sol approchée pour n=40’) ; xlabel(’ fontnameTimes fontsize14 bf x’,’Color’,[ 8.7059e-001 4.9020e-001 0]) ; ylabel(’ fontnameTimes fontsize14 bf u(x)’,’Color’,[ 8.7059e-001 4.9020e-001 0]) ; grid ; ————– On définit les couleurs de l’interface graphique ————– set(gcf,’Color’,[ 9.5294e-001 8.7059e-001 7.3333e-001]) ; whitebg([ 9.5294e-001 8.7059e-001 7.3333e-001]) ; 41
  52. 52. 4.4. APPLICATIONS 4.4 Applications Dans ce paragraphe, nous traitons les deux problèmes -u”(x)+u(x) = f (x) et −u”(x) = f (x) sur [0,1] pour chacun des exemples suivants : Exemple 1 :    u(x) = x(x − 1) sur ]0,1[ u(0) = u(1) = 0 Exemple 2 :    u(x) = x(x − 1)e(x−1/2)2 sur ]0,1[ u(0) = u(1) = 0 Exemple 3 :    u(x) = x4(x − 1) sur ]0,1[ u(0) = u(1) = 0 Nous traçons la solution exacte et approchée pour chaque exemple, et regardons la convergence pour chacune à partir du graphe. 42
  53. 53. 4.4. APPLICATIONS 4.4.1 Mise en œuvre de la méthode des éléments finis en dimension 1 pour u(x)=x(x-1) 4.4.1.1 Pour n=3 : Fig. 4.1 – Graphe représentant la solution exacte et la solution approchée par la méthode des élé- ments finis de -u"(x)=f(x) (à gauche) et -u"(x)+u(x)=f(x) (à droite) pour n=3 et u(x)=x(x-1) 4.4.1.2 Pour n=10 : Fig. 4.2 – Graphe représentant la solution exacte et la solution approchée par la méthode des élé- ments finis de -u"(x)=f(x) (à gauche) et -u"(x)+u(x)=f(x) (à droite) pour n=10 et u(x)=x(x-1) 43
  54. 54. 4.4. APPLICATIONS 4.4.1.3 Pour n=100 : Fig. 4.3 – Graphe représentant la solution exacte et la solution approchée par la méthode des élé- ments finis de -u"(x)=f(x) (à gauche) et -u"(x)+u(x)=f(x) (à droite) pour n=100 et u(x)=x(x-1) On sait que l’erreur vaut : Err = xn+1 x0 |u(x) − uh|2 dx 1/2 . avec uh = n+1 i=0 ϕi(x)ui. Donc : Err =   xn+1 x0 u(x) − n 0 ϕi(x)ui 2 dx   1/2 . Et on a : ϕi(x) =    x−xi−1 xi−xi−1 si x ∈ [xi−1,xi] xi+1−x xi+1−xi six ∈ [xi,xi+1] 0 sinon. Donc : xn+1 x0 n i=0 ϕi(x)ui dx = n i=0 xi+1 xi ϕi(x)ui + ϕi+1(x)ui+1 dx. On se sert de cette formule pour calculer l’erreur pour ces exemples et on a : 44
  55. 55. 4.4. APPLICATIONS ————– On calcule l’erreur sur Matlab ————– d=0 ; for i=1 :nddl-2 g=@(x)abs(x.*(x-1)-u(i).*((x-xx(i+1))/(xx(i)-xx(i+1)))-u(i+1).*((x-xx(i))/(xx(i+1)-xx(i))))2 ; d=d+quad(g,xx(i),xx(i+1)) ; end d=d1/2 ; Fig. 4.4 – Graphe représentant respectivement l’erreur pour -u"(x)=f(x) et -u"(x)+u(x)=f(x) avec u(x)=x(x-1) Remarque : Dans tout ce qui suit, Err1 représente l’erreur pour -u"(x)=f(x), et Err2 l’erreur pour -u"(x)+u(x)=f(x). n 3 10 100 Err1 3.2275.10−2 2.1251.10−3 1.8534.10−5 Err2 2.9270.10−2 1.8448−3 1.6243.10−5 Tab. 4.1 – Tableau représentant l’erreur respectivement pour -u"(x)=f(x) et -u"(x)+u(x)=f(x) avec u(x)=x(x-1) Commentaire : La solution u(x) est est régulière dans cet exemple, s’annule en 0 et 1 et ne représente aucune singularité. A partir de n=10 la solution approchée converge vers la solution exacte. 45
  56. 56. 4.4. APPLICATIONS 4.4.2 Mise en œuvre de la méthode des éléments finis en dimension 1 pour u(x)=x(x-1) e(x−1/2)2 4.4.2.1 Pour n=3 : Fig. 4.5 – Graphe représentant la solution exacte et la solution approchée par la méthode des élé- ments finis de -u"(x)=f(x) (à gauche) et -u"(x)+u(x)=f(x) (à droite) pour n=3 et u(x)=x(x-1) e(x−1/2)2 4.4.2.2 Pour n=10 : Fig. 4.6 – Graphe représentant la solution exacte et la solution approchée par la méthode des élé- ments finis de -u"(x)=f(x) (à gauche) et -u"(x)+u(x)=f(x) (à droite) pour n=10 et u(x)=x(x-1) e(x−1/2)2 46
  57. 57. 4.4. APPLICATIONS 4.4.2.3 Pour n=100 : Fig. 4.7 – Graphe représentant la solution exacte et la solution approchée par la méthode des élé- ments finis de -u"(x)=f(x) (à gauche) et -u"(x)+u(x)=f(x) (à droite) pour n=100 et u(x)=x(x-1) e(x−1/2)2 Fig. 4.8 – Graphe représentant l’erreur respectivement pour -u"(x)=f(x) et -u"(x)+u(x)=f(x) avec u(x)=x(x-1) e(x−1/2)2 n 3 10 100 Err1 6.0688.10−2 5.0346.10−3 4.4660.10−5 Err2 5.5407.10−2 4.4860.10−3 4.0162.10−5 Tab. 4.2 – Tableau représentant l’erreur respectivement pour -u"(x)=f(x) et -u"(x)+u(x)=f(x) avec u(x)=x(x-1) e(x−1/2)2 Commentaire : Il s’agit d’une fonction gaussienne centrée en 1/2, elle converge moins rapidement que le premier exemple mais pour n=100 il est clair que la solution approchée et exacte coïncident. 47
  58. 58. 4.4. APPLICATIONS 4.4.3 Mise en œuvre de la méthode des éléments finis en dimension 1 pour u(x)=x4 (x-1) 4.4.3.1 Pour n=3 : Fig. 4.9 – Graphe représentant la solution exacte et la solution approchée par la méthode des élé- ments finis de -u"(x)=f(x) (à gauche) et -u"(x)+u(x)=f(x) (à droite) pour n=3 et u(x)=x4(x-1) ) 4.4.3.2 Pour n=10 : Fig. 4.10 – Graphe représentant la solution exacte et la solution approchée par la méthode des élé- ments finis de -u"(x)=f(x) (à gauche) et -u"(x)+u(x)=f(x) (à droite) pour n=10 et u(x)=x4(x-1) 48
  59. 59. 4.4. APPLICATIONS 4.4.3.3 Pour n=100 : Fig. 4.11 – Graphe représentant la solution exacte et la solution approchée par la méthode des élé- ments finis de -u"(x)=f(x) (à gauche) et -u"(x)+u(x)=f(x) (à droite) pour n=100 et u(x)=x4(x-1) Fig. 4.12 – Graphe représentant la solution exacte et la solution approchée par la méthode des élé- ments finis de -u"(x)+u(x)=f(x) pour n=100 et u(x)=x4(x-1) À première vue, il semble que la solution approchée coïncide en tous les points avec la solution exacte. Mais, en agrandissant l’image on s’aperçoit que même pour un nombre d’itérations très grand (ici n=100), la solution approchée ne vaut pas la solution exacte mais elles s’approchent de plus en plus l’une de l’autre au fil des itérations avec une erreur à ne pas oublier quoiqu’elle soit petite. 49
  60. 60. 4.5. CONCLUSION Fig. 4.13 – Graphe représentant l’erreur respectivement pour -u"(x)=f(x) et -u"(x)+u(x)=f(x) avec u(x)=x4(x-1) n 3 10 100 Err1 3.3002.10−2 3.9726.10−3 3.9657.10−5 Err2 2.9590.10−2 3.6269.10−3 3.7001.10−5 Tab. 4.3 – Tableau représentant l’erreur respectivement pour -u"(x)=f(x) et -u"(x)+u(x)=f(x) avec u(x)=x4(x-1) Commentaire : Contrairement aux deux premiers exemples, dans ce cas u(x) représente une singularité : gradient fort au voisinage de 1. On remarque que pour n petit la solu- tion approchée est loin de la solution exacte et que celles-ci ne coïncident qu’à partir d’un nombre considérable d’itérations n=100. 4.5 Conclusion Au fil des itérations, on remarque que la solution approchée converge vers la solution exacte. La solution approchée converge plus rapidement pour -u"(x)+u(x)=f(x) que pour -u"(x)=u(x). 50
  61. 61. Conclusion générale et perspectives La méthode des éléments finis est largement utilisée pour l’analyse des problèmes d’in- génierie, non seulement en raison de son aptitude à résoudre une variété de problèmes phy- siques formulés en termes d’équations aux dérivées partielles, mais aussi en raison de sa capacité à gérer des géométries complexes et des conditions aux limites. Cependant cette méthode représente quelques points faibles, qu’il serait faux de sous-estimer : • La méthode des éléments finis s’appuie sur une formulation variationnelle de l’équa- tion aux dérivées partielles, mais Il n’existe pas forcement de formulation variation- nelle pour toute équation aux dérivées partielles. • La méthode n’est pas bien adaptée à la résolution numérique d’équations non linéaires. • Complexité de mise en œuvre de la méthode. • Grand coût en temps de calcul et mémoire. Il existe bien d’autres méthodes numériques de résolution d’équations aux dérivées par- tielles comme les méthodes de volumes finis, d’éléments finis de frontière (ou méthode in- tégrale), spectrale, de Fourier, ...etc. Parlons par exemple de la méthode des volumes finis, c’est la méthode de choix pour les équations de conservation non linéaires. Cette méthode consiste à intégrer, sur des volumes élémentaires, les équations écrites sous forme intégrale. Elle est plus avantageuse que la méthode des éléments finis puisque sa mise en œuvre est simple avec des volumes élémen- taires rectangles, et elle permet de traiter des géométries plus complexes avec des volumes de forme quelconque. C’est une méthode particulièrement bien adaptée aux équations de la mécanique des fluides. 51
  62. 62. Bibliographie [1] ALEXANDRE ERN, Aide mémoire : Éléments finis, Dunod, 2005. [2] ALFIO QUARTERONI : Introduction à la méthode des éléments finis, École Polytechnique fédération de Lausanne, 2013-2014. [3] ANDRÉ FORTIN, ANDRÉ GARON :Les éléments finis : de la théorie à la pratique, École Polytechnique de Montréal,1997-2006. [4] Dr. H. JERRY QI : Finite element analysis, 2006. [5] EMMANUEL MAITRE : Notes du Cours Éléments Finis - ENSIMAG 2A - Version du 21 février 2011. [6] GRÉGOIRE ALLAIRE : Analyse numérique et optimisation. Éditions de l’école polytechnique-Octobre 2012, 91128 Palaiseau Cedex.Méthode numérique. [7] MARI VUORINEN et PEBTTI VARPASUO et JUKKA KäHKöNEN, Reaction-time res- ponse of a large commercial aircraft using finite element method, Mai 2011, www.kolumbus.fi (webographie) [8] RAVIART, P.A et J.M.THOMAS : Introduction à l’analyse numérique des équations aux dérivées partielles. Masson, Paris,1983. [9] The Finite Element Method Theory, www.illustrations.marin.ntnu.no (webographie). 52

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