Mathématiques méthodes et exercices mp

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Mathématiques méthodes et exercices mp

  1. 1. Méthodesetexercices mathémati uesm Jean-Marie Monier mp Les méthodes à retenir Plus de 600 énoncés d’exercices Indications pour bien démarrer Tous les corrigés détaillés uploading by KAMAL-EDDINE RKE/
  2. 2. © Dunod, Paris, 2009 ISBN 978-2-10-054258-1
  3. 3. Jean-Marie Monier MATHÉMATIQUES MP MÉTHODESETEXERCICES Professeur enclassedeSpéciales aulycéeLaMartinière-Monplaisir àLyon
  4. 4. Table des matières IV Table des matières 1. Espaces vectoriels normés 1 Les méthodes à retenir 2 Énoncés des exercices 8 Du mal à démarrer ? 16 Corrigés des exercices 20 2. Fonctions vectorielles d’une variable réelle 43 Les méthodes à retenir 44 Énoncés des exercices 48 Du mal à démarrer ? 55 Corrigés des exercices 59 3. Intégration sur un intervalle quelconque 77 Les méthodes à retenir 78 Énoncés des exercices 81 Du mal à démarrer ? 89 Corrigés des exercices 95 4. Séries 135 Les méthodes à retenir 136 Énoncés des exercices 140 Du mal à démarrer ? 149 Corrigés des exercices 154 5. Suites et séries d’applications 185 Les méthodes à retenir 186 Énoncés des exercices 192 Du mal à démarrer ? 201 Corrigés des exercices 205 6. Séries entières 247 Les méthodes à retenir 248 Énoncés des exercices 253 Du mal à démarrer ? 262 Corrigés des exercices 267 7. Séries de Fourier 311 Les méthodes à retenir 311 Énoncés des exercices 313 Du mal à démarrer ? 318 Corrigés des exercices 320 8. Équations différentielles 335 Les méthodes à retenir 336 Énoncés des exercices 339 Du mal à démarrer ? 347 Corrigés des exercices 351
  5. 5. Table des matières V 9. Fonctions de plusieurs variables réelles 377 Les méthodes à retenir 378 Énoncés des exercices 382 Du mal à démarrer ? 385 Corrigés des exercices 387 10. Compléments d’algèbre linéaire 397 Les méthodes à retenir 398 Énoncés des exercices 400 Du mal à démarrer ? 406 Corrigés des exercices 410 11. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 427 Les méthodes à retenir 428 Énoncés des exercices 431 Du mal à démarrer ? 441 Corrigés des exercices 445 12. Algèbre bilinéaire 471 Les méthodes à retenir 472 Énoncés des exercices 475 Du mal à démarrer ? 486 Corrigés des exercices 492 13. Algèbre sesquilinéaire 519 Les méthodes à retenir 519 Énoncés des exercices 520 Du mal à démarrer ? 522 Corrigés des exercices 523 14. Compléments d’algèbre générale 527 Les méthodes à retenir 528 Énoncés des exercices 529 Du mal à démarrer ? 533 Corrigés des exercices 535 15. Géométrie 545 Les méthodes à retenir 545 Énoncés des exercices 547 Du mal à démarrer ? 549 Corrigés des exercices 551 Index alphabétique 557
  6. 6. VI Pour bien utiliser cet ouvrage − − − − La page d’entrée de chapitre Elle propose un plan du chapitre, les thèmes abordés dans les exercices, ainsi qu’un rappel des points essentiels du cours pour la résolution des exercices. ∗ · · · · − ∗ ∗ · · · ∗ Les méthodes à retenir Cette rubrique constitue une synthèse des prin- cipalesméthodesàconnaître,détailléesétapepar étape,et indique les exercices auxquels elles se rapportent.
  7. 7. VII Énoncés des exercices De nombreux exercices de difficulté croissante sont proposés pour s’entraîner. La difficulté de chaque exercice est indiquée sur une échelle de 1 à 4. Corrrigés des exercices Touslesexercicessontcorrigésdefaçondétaillée. − − − ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∼ ∗ ∼ −−− − ∼∗ ∼ −−− − ∼ ∗ ∼ −−− − ∗ −−− ∗ − −−− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − Du mal à démarrer ? Des conseils méthodologiques sont proposés pour bien aborder la résolution des exercices. − − − − α − − π π − − − −
  8. 8. Préface VIII Préface Alors que, récemment, je feuilletais l’un des manuels de mathématiques qui servait de référence lorsque – voici quelques décennies ! – j’étais en prépa, me revinrent en mémoire certaines sensations : à la lecture des énoncés des exercices que j’avais jadis cochés, d’une concision à la fois élégante et provocante, je me rappelais le plaisir que j’avais éprouvé à la résolution de quelques-uns d’entre eux mais aussi, cette étrange amertume, pas encore totalement estom- pée aujourd’hui, que j’avais ressentie en abandonnant la recherche de quelques-uns, pourtant signalés d’un simple asté- risque, après de vains efforts et plusieurs tentatives avortées. Les volumes Méthodes et Exercices (pour MP d’une part, PC-PSI-PT d’autre part) que J.-M. Monier nous présente aujourd’hui semblent tout spécialement écrits pour éviter ce traumatisme aux étudiants d’aujourd’hui et de demain. Chacun de ces ouvrages se compose de deux parties éminemment complémentaires : • Les méthodes constituent ce guide précieux qui permet à l’étudiant de passer, confiant, efficacement « coaché », du cours qu’il apprend à la recherche nécessaire et fructueuse des exercices. Si les théorèmes du cours sont les outils de l’artisan-étudiant, les méthodes et techniques proposées ici en sont les modes d’emploi. Évidemment, ces conseils sont particulièrement soignés et pertinents : ne sont-ils pas le fruit de la longue et multiple expérience de J.-M. Monier, pédagogue avéré, interrogateur recherché et auteur apprécié de maints ouvrages reconnus ? Pour une aide encore plus précise, chaque méthode est assortie de la liste des exercices dans lesquels sa mise en œuvre est souhaitable. • Les exercices, nombreux, variés et souvent originaux, couvrent la totalité du programme, chapitre après chapitre. Ils répondent parfaitement à un triple objectif : permettre d’assurer, d’approfondir et d’affiner, pendant son apprentissage, la compréhension du cours ; consolider et enrichir ses connaissances par la résolution d’exercices plus substantiels et de questions plus déli- cates ; réaliser des révisions efficaces et ciblées lors de la préparation des épreuves écrites ou orales des concours. Ces exercices sont judicieusement classés en quatre niveaux de difficulté croissante, permettant ainsi aussi bien au néo- phyte de se mettre en confiance en traitant une application directe du cours (niveau 1) qu’à l’étudiant chevronné de se mesurer à des exercices plus difficiles et délicieusement subtils (niveau 4). On notera avec plaisir que chaque chapitre est couvert par des exercices des quatre niveaux. L’abandon douloureux devant une question trop abruptement posée, dont je parlais au début, ne saurait se produire avec l’ouvrage de J.-M. Monier : en effet, dans la rubrique « Du mal à démarrer », il apporte à l’étudiant(e) qui le souhaite une aide discrète, rappelant ici la méthode adéquate, donnant là une indication précieuse, ouvrant ailleurs une piste de recherche… Pour chaque exercice, l’auteur s’est imposé la rédaction complète et appliquée d’un corrigé clair, précis, détaillé, osons le mot, exemplaire. S’il est louable et formateur de chercher, il est plus gratifiant de trouver ! Et, ici encore, le manuel permet à chacun, soit de constater que sa solution est celle qui est fournie (et il en éprouve un indicible plaisir !), soit de s’aider du corrigé pour parvenir, rassuré et guidé, à cette solution. Qu’il me soit aussi permis d’insister sur l’ampleur de ces volumes, liée à la grande variété des exercices choisis, et qui est rare à ce niveau d’études, en même temps que sur leur prix très modique !
  9. 9. Préface IX Ces ouvrages de consultation particulièrement agréable constituent l’outil efficace et complet qui permettra à chacun, à son rythme mais en magnifiant ses propres aptitudes, de développer son goût pour les mathématiques et ses compé- tences et, tout à la fois, de forger son succès. Quant à moi, un regret est en train de m’assaillir : pourquoi n’ai-je pas attendu la rentrée prochaine pour commencer ma prépa ? H. Durand, professeur en Mathématiques Spéciales PT* au lycée La Martinière Monplaisir à Lyon. ©Dunod.Laphotocopienonautoriséeestundélit.
  10. 10. Index alphabétique X Remerciements Je tiens ici à exprimer ma gratitude aux nombreux collègues qui ont accepté de réviser des parties du manuscrit : Bruno Arsac, Jean-Philippe Berne, Gérard Bourgin, Jean-Paul Charroin, Jean-Paul Christin, Carine Courant, Hermin Durand, Jean Feyler, Viviane Gaggioli, Marguerite Gauthier, Daniel Genoud, André Laffont, Cécile Lardon, Ibrahim Rihaoui, René Roy, Marie-Dominique Siéfert, Marie-Pascale Thon, Audrey Verdier. Jean-Marie Monier
  11. 11. 1 1CHAPITRE 1Espaces vectoriels normés Thèmes abordés dans les exercices • Montrer qu'une application est une norme • Obtention d’inégalités portant sur des normes • Montrer que deux normes sont (ne sont pas) équivalentes • Montrer qu’une partie d’un evn est (n’est pas) fermée, est (n’est pas) ouverte • Manipulation d’adhérences, d’intérieurs, de fermés, d’ouverts • Calcul de la distance d’un point à une partie • Utilisation de la continuité, de la continuité uniforme, du caractère lipschitzien • Montrer qu’une application linéaire f est continue, calculer ||| f ||| • Montrer qu’une partie est (n’est pas) compacte, manipulation de parties com- pactes • Utilisation d’une suite de Cauchy • Montrer qu’une partie est (n’est pas) complète, manipulation de parties com- plètes • Montrer qu’une partie est (n’est pas) connexe par arcs, manipulation de parties connexes par arcs • Montrer qu’une application est un produit scalaire • Déterminer l’orthogonal d’une partie d’un espace préhilbertien Points essentiels du cours pour la résolution des exercices • Définition de norme, espace vectoriel normé, distance associée à une norme, inégalité triangulaire renversée, normes équivalentes • Définition de boule ouverte, boule fermée, parties bornées • Définition et propriétés de : ouvert, fermé, adhérence, intérieur, point adhérent, point intérieur • Définition de la distance d’un point x à une partie A d’un evn E, caractérisa- tion de d(x,A) = 0 • Définition et propriétés de la convergence des suites, suites extraites, valeurs d’adhérence d’une suite Les méthodes à retenir 2 Énoncés des exercices 8 Du mal à démarrer ? 16 Corrigés 20 Plan ©Dunod.Laphotocopienonautoriséeestundélit.
  12. 12. Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés 2 Les méthodes à retenir • Définition et propriétés des limites, de la continuité en un point, de la conti- nuité sur une partie • Définition de la continuité uniforme, du caractère lipschitzien, liens entre continue, uniformément continue, lipschitzienne • Caractérisation des applications linéaires continues parmi les applications linéaires, définition et propriétés de la norme |||.||| • Définition séquentielle de la compacité, liens entre compact et fermé, liens entre compact et fermé borné, produit cartésien de deux compacts, image continue d’un compact, théorème de Heine, équivalence des normes en dimension finie • Définition d’une suite de Cauchy, d’une partie complète, lien entre compact et complet, liens entre complet et fermé, tout evn de dimension finie est complet • Définition de connexe par arcs, lien avec la convexité, connexes par arcs de R, image continue d’un connexe par arcs, théorème des valeurs intermédiaires • Définition d’un produit scalaire (réel ou complexe), d’un espace préhilbertien, inégalité de Cauchy et Schwarz et cas d’égalité, inégalité de Minkowski et cas d’égalité • Définition et propriétés de l’orthogonalité dans un espace préhilbertien, théo- rème de Pythagore, procédé d’orthogonalisation de Schmidt, théorème de pro- jection orthogonale sur un sev de dimension finie. On abrège : espace vectoriel en ev sous-espace vectoriel en sev espace vectoriel normé en evn. Pour montrer qu’une application N : E −→ R est une norme sur un K-espace vectoriel E Pour exprimer la distance d associée à une norme sur un K-ev E à partir de cette norme, ou pour exprimer une norme à partir de la distance associée d sur E Revenir à la définition. Ne pas oublier de montrer que, pour tout x ∈ E, N(x) existe, en par- ticulier lorsque N(x) est donnée par une borne supérieure ou une intégrale. ➥ Exercices 1.28 a), 1.32, 1.46. Utiliser les formules : ∀(x,y) ∈ E2 , d(x,y) = N(x − y), ∀x ∈ E, N(x) = d(0,x).
  13. 13. Les méthodes à retenir 3 Essayer d’appliquer l’inégalité triangulaire : ∀ (x,y) ∈ E2 , ||x + y|| ||x|| + ||y||, ou l’inégalité triangulaire renversée : ∀ (x,y) ∈ E2 , ||x|| − ||y|| ||x − y||. ➥ Exercices 1.1, 1.44. Pour établir une inégalité faisant intervenir une norme ||.|| sur un K-ev Pour montrer que deux normes N, N sur un K-espace vectoriel E sont équivalentes Pour montrer que deux normes N, N sur un K-espace vectoriel E ne sont pas équivalentes Pour montrer qu’une partie A d’un evn E est fermée dans E • Lorsque E n’est pas nécessairement de dimension finie, revenir à la définition, c’est-à-dire montrer : ∃ (α,β) ∈ (R∗ +)2 , ∀,x ∈ E, αN(x) N (x) βN(x). ➥ Exercices 1.4, 1.32, 1.46 • Si E est de dimension finie, d’après le cours, toutes les normes sur E sont équivalentes. Chercher une suite ( fn)n dans E − {0} telle que : N ( fn) N( fn) −−→ n ∞ + ∞ ou N( fn) N ( fn) −−→ n ∞ + ∞. ➥ Exercices 1.18, 1.46. • Si on peut faire intervenir la notion de suite, utiliser la caractérisa- tion séquentielle des fermés : la partie A de E est fermée dans E si et seulement si, pour toute suite (an)n dans A convergeant vers un élément x de E, on a : x ∈ A. ➥ Exercices 1.3 a), 1.16, 1.17, 1.48 • Essayer de montrer que : ∗ A est une intersection de fermés de E ∗ A est une réunion d’un nombre fini de fermés de E ∗ A est un produit cartésien d’un nombre fini de fermés • Essayer de montrer que A est l’image réciproque d’un fermé par une application continue. ➥ Exercice 1.34. • Si le contexte fait intervenir des ouverts, essayer de montrer que E (A) est ouvert dans E. Pour montrer qu’une partie Ω d’un evn E est ouverte dans E • Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer : ∀x ∈ Ω, ∃r > 0, B(x ;r) ⊂ . • Montrer que E (Ω) est un fermé de E ©Dunod.Laphotocopienonautoriséeestundélit.
  14. 14. Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés 4 • Essayer de montrer que : ∗ Ω est une réunion d’ouverts de E ➥ Exercice 1.5 b) ∗ Ω est une intersection d’un nombre fini d’ouverts de E ∗ Ω est un produit cartésien d’un nombre fini d’ouverts • Essayer de montrer que Ω est l’image réciproque d’un ouvert par une application continue. ➥ Exercices 1.5 a), 1.33, 1.34. Pour montrer qu’un point x d’un K-evn E est adhérent à une partie A de E Pour montrer qu’un point x d’un K-evn E est intérieur à une partie A de E Pour manipuler des adhérences et/ou des intérieurs de parties d’un K-evn E • Montrer qu’il existe une suite (an)n dans A convergeant vers x. ➥ Exercices 1.2, 1.29, 1.30 a) • Montrer, pour tout voisinage V de x dans E : V ∩ A =/ ∅. ➥ Exercice 1.31. Montrer qu’il existe r > 0 tel que : B(x ;r) ⊂ A. ➥ Exercices 1.2, 1.29. • Utiliser les propriétés ensemblistes (globales) des adhérences et des intérieurs : 1) ∗ A◦ est ouvert dans E ∗ si Ω ⊂ A et si Ω est ouvert dans E, alors Ω ⊂ A◦ ∗ A◦◦ = A◦ , E◦ = E, ∅◦ = ∅ ∗ A ⊂ B ⇒ A◦ ⊂ B◦ 2) ∗ A est fermé dans E ∗ si A ⊂ F et si F est fermé dans E, alors A ⊂ F ∗ A = A, E = E, ∅ = ∅ ∗ A ⊂ B ⇒ A ⊂ B 3) E (A) = E (A) ◦ , E (A◦ ) = E (A). ➥ Exercice 1.45 • On ne se résoudra à faire intervenir les éléments de E que lorsque des calculs globaux ne seront pas réalisables. ➥ Exercices 1.15, 1.45. Pour manipuler la distance d(x,A) d’un point x d’un K-evn E à une partie non vide A de E Utiliser la définition : d(x,A) = Inf a∈A d(x,a), ce qui revient à : ∀ a ∈ A, d(x,A) d(x,a) ∀ k ∈ R+, ∀,a ∈ A, k d(x,a) ⇒ k d(x,A) . On fera souvent alors intervenir l’inégalité triangulaire ou l’inégalité triangulaire renversée. ➥ Exercice 1.17.
  15. 15. Les méthodes à retenir 5 • Appliquer les théorèmes généraux (opératoires) relatifs à la conti- nuité en un point. ➥ Exercice 1.19 • Si f est à valeurs dans un produit cartésien, montrer que chaque fonc- tion-coordonnée de f est continue en a. • Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer : ∀ ε > 0, ∃ η > 0, ∀x ∈ A, dE (x,a) η ⇒ dF f (x), f (a) ε . • Utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité, c’est-à-dire montrer que, pour toute suite (an)n dans A convergeant vers a, la suite f (an) n converge vers f (a). Pour montrer qu’une application f : X ⊂ E −→ F est continue en un point a de X Pour montrer qu’une application f : X ⊂ E −→ F est continue sur X • Appliquer les théorèmes généraux (opératoires) relatifs à la conti- nuité sur une partie. ➥ Exercice 1.6 • Montrer que f est continue en chaque point de X, en se ramenant aux méthodes vues plus haut. • Montrer que l’image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de X, ou montrer que l’image réciproque par f de tout fermé de F est un fermé de X. • Se souvenir que le caractère lipschitzien ou l’uniforme continuité entraînent la continuité. Pour montrer qu’une application f : X ⊂ E −→ F est uniformément continue sur X Pour manipuler une application f : X ⊂ E −→ F k-lipschitzienne Pour montrer qu’une application linéaire f ∈ L(E,F) est continue • Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer : ∀ ε > 0, ∃ η > 0, ∀(x ,x ) ∈ X2 , dE (x ,x ) η ⇒ dF f (x ), f (x ) ε . • Se rappeler que, si f est lipschitzienne, alors f est uniformément continue. • Se rappeler le théorème de Heine : si f est continue sur X et si X est compact, alors f est uniformément continue sur X. Utiliser la définition : ∀ (x1,x2) ∈ X2 , dF f (x1), f (x2) k d(x1,x2). ➥ Exercice 1.7 • Exprimer f comme combinaison linéaire ou composée d’applica- tions linéaires continues. • Montrer qu’il existe M ∈ R+ tel que : ∀ x ∈ E, || f (x)||F M||x||E . ➥ Exercices 1.8, 1.12, 1.35, 1.36 • Se rappeler que, si E est de dimension finie, alors toute application linéaire f : E −→ F est continue. ©Dunod.Laphotocopienonautoriséeestundélit.
  16. 16. Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés 6 Pour calculer la norme |||f||| d’une application linéaire continue f ∈ LC(E,F) Montrer d’abord qu’il existe M ∈ R+ tel que : ∀ x ∈ E, || f (x)||F M||x||E , et on a alors ||| f ||| M, où, par définition : ||| f ||| = Sup x∈E−{0} || f (x)||F ||x||E = Sup x∈B(0 ;1) || f (x)||F . On peut espérer, si M a été convenablement obtenu, que l’on ait : ||| f ||| = M. La borne supérieure définissant ||| f ||| peut être atteinte ou non. Si E est de dimension finie, alors la borne supérieure est atteinte et on cherchera donc x0 ∈ E − {0} de façon que || f (x0)||F ||x0||E = M. Si E n’est pas de dimension finie, la borne supérieure peut être attein- te ou non. Essayer : ∗ soit de chercher x0 ∈ E − {0}) de façon que || f (x0)||F ||x0||E = M ➥ Exercices 1.8, 1.20, 1.35, 1.36 ∗ soit de chercher une suite (xn)n dans E − {0} de façon que : || f (xn)||F ||xn||E −→ n∞ M. Dans un contexte de compacité, pour établir une inégalité stricte Dans un contexte de compacité Pour montrer qu’une partie X d’un evn E est compacte Essayer de faire intervenir une application continue sur un compact et à valeurs dans R∗ +. ➥ Exercice 1.38. Un raisonnement par l’absurde peut permettre de construire une suite, puis d’appliquer la compacité pour obtenir une suite convergente et amener une contradiction. ➥ Exercice 1.22. • Essayer de faire apparaître X comme image directe d’un compact par une application continue. ➥ Exercice 1.9 • Essayer de montrer que X est fermé dans un compact. • Si E est de dimension finie, montrer que X est fermée et bornée. ➥ Exercices 1.10, 1.21, 1.39, 1.41.
  17. 17. Les méthodes à retenir 7 Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer : ∀ ε > 0, ∃ N ∈ N, ∀(p,q) ∈ N2 , p N q N ⇒ d(up,uq) ε . ➥ Exercices 1.11, 1.24, 1.50. Pour montrer qu’une suite (un)n d’un evn E est de Cauchy Pour montrer qu’une partie X d’un evn E est complète Pour montrer qu’une partie A d’un evn E est connexe par arcs • Montrer que X est fermée et qu’il existe une partie Y de E telle que X ⊂ Y et que Y soit complète. • Se rappeler que, si X est compacte, alors X est complète. • Se rappeler que, si E est de dimension finie et si X est fermée dans E, alors X est complète. • Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer que toute suite de Cauchy dans X converge dans X. • Se rappeler d’abord que : ∗ toute partie convexe est connexe par arcs ∗ les parties connexes par arcs de R sont les intervalles. ➥ Exercice 1.51. • Montrer que A est l’image directe d’une partie connexe par arcs par une application continue. ➥ Exercices 1.25, 1.51. • Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer que, pour tout (x,y) ∈ A2 , il existe un chemin joignant continument x et y en res- tant dans A, c’est-à-dire montrer qu’il existe une application conti- nue γ : [0 ; 1] −→ A telle que : γ(0) = x, γ(1) = y ∀ t ∈ [0 ; 1], γ(t) ∈ A. ➥ Exercice 1.26. Pour exploiter la connexité par arcs Pour montrer qu’une application ϕ : E × E −→ R est un produit scalaire, où E est un K-ev Pour relier un produit scalaire ϕ : E × E −→ K et la forme quadratique φ : E −→ R associée Essayer d’utiliser le théorème des valeurs intermédiaires : si A est connexe par arcs et si f : A −→ R est continue, alors f atteint tout réel entre deux réels qu’elle atteint déjà. Revenir à la définition. ➥ Exercice 1.43. Utiliser la formule qui exprime φ à l’aide de ϕ : ∀ x ∈ E, φ(x) = ϕ(x,x), ©Dunod.Laphotocopienonautoriséeestundélit.
  18. 18. Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés 8 ou, si K = R, une des formules exprimant ϕ à l’aide de φ : ∀ (x,y) ∈ E2 , ϕ(x,y) = 1 2 φ(x + y) − φ(x) − φ(y) , ∀ (x,y) ∈ E2 , ϕ(x,y) = 1 4 φ(x + y) − φ(x − y) . Pour obtenir des inégalités dans un contexte d’espace préhilbertien E,(. | .) Pour manipuler des orthogonaux de parties dans un espace préhilbertien E,(. | .) Utiliser l’inégalité de Cauchy et Schwarz : ∀ (x,y) ∈ E2 , |(x | y)| ||x|| ||y||, ou l’inégalité de Minkowski, c’est-à-dire l’inégalité triangulaire pour la norme associée au produit scalaire : ∀ (x,y) ∈ E2 , ||x + y|| ||x|| + ||y||. ➥ Exercice 1.52. • Revenir à la définition de l’orthogonal d’une partie A de E : A⊥ = x ∈ E ; ∀ a ∈ A, (x | a) = 0 . • Utiliser les propriétés ensemblistes (globales) de l’orthogonalité : ∗ A ⊂ B ⇒ A⊥ ⊃ B⊥ ∗ A⊥ = Vect (A) ⊥ ∗ A ⊂ A⊥⊥ , E⊥ = {0}, {0}⊥ = E ∗ A ∩ A⊥ ⊂ {0}. ➥ Exercice 1.27. • Se rappeler que, d’après le théorème de projection orthogonale sur un sev de dimension finie, si F est de dimension finie, alors : F ⊕ F⊥ = E. Énoncés des exercices Inégalité sur des normes Soient (E,||.||) un evn, x,y,z,t ∈ E. Montrer : ||x − y|| + ||z − t|| ||x − z|| + ||y − t|| + ||x − t|| + ||y − z||. Adhérence, intérieur d’un produit cartésien de deux parties Soient E,F deux evn, A ⊂ E, B ⊂ F. Montrer : a) A × B = A × B b) (A × B)◦ = A◦ × B◦ . 1.1 1.2
  19. 19. Énoncés des exercices 9 Une partie est-elle fermée, est-elle ouverte ? On note E le R-ev des applications continues bornées de R dans R, muni de ||.||∞. a) Est-ce que F = f ∈ E ; ∀ x ∈ R, f (x) 0 est fermée dans E ? b) Est-ce que U = f ∈ E ; ∀ x ∈ R, f (x) > 0 est ouverte dans E ? Exemple de deux normes équivalentes On note E = C1 [0 ; 1] ; R et ν1,ν2 les applications de E dans R définies, pour toute f ∈ E, par : ν1( f ) = | f (0)| + 2 1 0 | f (t)| dt, ν2( f ) = 2| f (0)| + 1 0 | f (t)| dt. Montrer que ν1 et ν2 sont des normes sur E et qu’elles sont équivalentes. Somme d’une partie et d’un ouvert Soient E un evn, Ω un ouvert de E. a) Montrer que, pour tout a ∈ E, la partie {a} + Ω = a + x ; x ∈ Ω est un ouvert de E. b) En déduire que, pour toute partie A de E, la partie A + Ω = a + x ; (a,x) ∈ A × Ω est un ouvert de E. Fonction continue à deux variables Soient E,F,G des evn, A ⊂ E telle que A =/ ∅, B ⊂ F telle que B =/ ∅, et f : A −→ G, g : B −→ G deux applications. On note : ϕ : A × B −→ G, (x,y) −→ ϕ(x,y) = f (x) + g(y). Montrer que ϕ est continue sur A × B si et seulement si : f est continue sur A et g est continue sur B. Exemple d’application lipschitzienne Soit (a,b) ∈ (R+)2 . On munit R2 de la norme ||.||1 définie, pour tout (x,y) ∈ R2 , par : ||(x1,x2)||1 = |x1| + |x2|. On note f : R2 −→ R2 , (x1,x2) −→ f (x1,x2) = (ax2, bx1). Montrer que f est lipschitzienne. Étude d’une application linéaire continue sur un espace de fonctions, calcul de sa norme On note E = C [0 ; 1] ; R , muni de ||.||1 définie par : ∀ f ∈ E, || f ||1 = 1 0 | f (t)| dt et on considère l’application : φ : E −→ R, f −→ φ( f ) = 1 0 f (t) dt. Montrer φ ∈ LC(E,R) et calculer |||φ|||. Somme de deux compacts Soient E un evn, K,L deux compacts de E. Montrer que K + L est compact. ©Dunod.Laphotocopienonautoriséeestundélit. 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
  20. 20. Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés 10 Une partie est-elle compacte, non compacte ? On considère l’application f : R −→ R, x −→ f (x) =    sin x x si x =/ 0 1 si x = 0 et on note : A = x ∈ R ; f (x) = 0 , B = x ∈ R ; f (x) 1 2 . Est-ce que A est compacte ? Est-ce que B est compacte ? Suite proche d’une suite de Cauchy Soient (E,||.||) un evn, d la distance associée à ||.||, (un)n∈N, (vn)n∈N deux suites dans E telles que : d(un,vn) −→ n ∞ 0. Montrer que, si l’une des deux est de Cauchy, alors l’autre l’est aussi. Exemple d’application diminuant strictement les distances, dans un evn complet, et sans point fixe Donner un exemple d’application f : R −→ R telle que : ∀ (x,y) ∈ R2 , x =/ y ⇒ | f (x) − f (y)| < |x − y| et que, cependant, f n’a pas de point fixe. Caractérisation de l’égalité de deux boules pour deux normes Soient E un K-evn, N1,N2 deux normes sur E. On note, pour tout i ∈ {1,2} : Bi = x ∈ E ; Ni (x) < 1 , Bi = x ∈ E ; Ni (x) 1 , qui sont la boule ouverte et la boule fermée de E, de centre 0, de rayon 1, pour la norme Ni . Montrer : a) B1 = B2 ⇐⇒ N1 = N2 b) B1 = B2 ⇐⇒ N1 = N2. Intérieur d’un sous-espace vectoriel a) Soient E un evn, F un sev de E. Montrer que, si ◦ F =/ ∅, alors F = E. b) On note E le R-ev C [0; 1],R muni de || · ||∞, E1 (resp. P) la partie de E formée des appli- cations de classe C1 (resp. polynomiales). Montrer : ◦ E1 = ◦ P = ∅. Adhérence d’une boule ouverte, intérieur d’une boule fermée Soient (E,||.||) un evn, a ∈ E,r ∈ R∗ +. Montrer : a) B(a ; r) = B (a ; r) b) B (a ; r) ◦ = B(a ; r). Exemple de partie fermée dans un espace de fonctions On note E le R-ev des applications de [0 ; 1] dans R bornées, muni de la norme ||.||∞, et on consi- dère A = f ∈ E ; ∀x ∈ [0 ; 1], e f (x) 2 + f (x) . Montrer que A est une partie fermée, non bornée, de E. 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16
  21. 21. Énoncés des exercices 11 Exemple de calcul de la distance d’un point à une partie On note E = C [0 ; 1] ; R , muni de ||.||∞. a) On note A = f ∈ E ; f (0) = 1 et 1 0 f = 0 . 1) Montrer que A est une partie fermée de E. 2) Calculer d(0,A). Cette distance est-elle atteinte ? b) Mêmes questions pour B = f ∈ E ; f (0) = 0 et 1 0 f = 1 . Exemple de trois normes deux à deux non équivalentes On note E = C2 [0 ; 1] ; R et N∞, N∞, N∞ les applications de E dans R définies, pour toute f ∈ E, par : N∞( f ) = Sup x∈[0;1] | f (x)|, N∞( f ) = | f (0)| + Sup x∈[0;1] | f (x)|, N∞( f ) = | f (0)| + | f (0)| + Sup x∈[0;1] | f (x)|. a) Montrer que N∞, N∞, N∞ sont des normes sur E. b) Comparer les normes N∞, N∞, N∞ pour la relation d’équivalence entre normes. Exemple d’application continue Soit (E,||.||) un evn. On considère l’application f : E −→ E, x −→ f (x) = x 1 + ||x||2 . Montrer : a) f est continue sur E b) f (E) = B 0 ; 1 2 . Étude d’une application linéaire continue sur un espace de suites On note ∞ l’evn formé des suites réelles bornées x = (xn)n∈N, muni de || · ||∞ définie par ||x||∞ = Sup n∈N |xn|, et on considère l'opérateur de différence : ∞ −→ ∞ défini par (x) = y où y = (yn)n∈N est définie par : ∀n ∈ N, yn = xn+1 − xn. Montrer ∈ LC( ∞ ), et calculer ||| |||. Exemple de partie compacte de R2 La partie E = (x,y) ∈ R2 ; x2 (x − 1)(x − 3) + y2 (y2 − 4) = 0 de R2 est-elle compacte ? Suites, dans un compact, n’ayant qu’une seule valeur d’adhérence Soient E un evn, K une partie compacte de E, (un)n∈N une suite dans K ; montrer que, si (un)n n’a qu’une seule valeur d’adhérence, alors (un)n converge. ©Dunod.Laphotocopienonautoriséeestundélit. 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22
  22. 22. Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés 12 Exemple d’evn non complet Montrer que C [0 ; 1] ; R , muni de ||.||1, est un evn non complet. Étude de la distance d’un point fixé aux points d’une suite de Cauchy Soient (E,||.||) un evn, d la distance associée à ||.||, (un)n∈N une suite de Cauchy dans (E,||.||). a) Montrer que, pour tout a ∈ E, la suite d(a,un) n∈N converge dans R. On note f : E −→ E, a −→ f (a) = lim n∞ d(a,un). b) Montrer Inf a∈E f (a) = 0, et que cette borne inférieure est atteinte si et seulement si la suite (un)n∈N converge. Somme de deux parties connexes par arcs Soient E un evn, A,B deux parties connexes par arcs de E. Montrer que A + B est connexe par arcs. Toute partie étoilée est connexe par arcs, exemple a) Soient (E,||.||) un evn, A une partie étoilée de E, c’est-à-dire une partie de E telle qu’il exis- te a ∈ E tel que : ∀ x ∈ A, [a ; x] ⊂ A, où [a ; x] = (1 − t)a + tx ; t ∈ [0 ; 1] est le seg- ment joignant a et x dans E. Montrer que A est connexe par arcs. b) Exemple : l’ensemble D des matrices de Mn(R) diagonalisables dans Mn(R) est connexe par arcs. Exemple de sev F d’un ev préhilbertien E, tel que F⊥ ne soit pas un supplémentaire de F dans E On note E = C [0 ; 1] ; R , muni du produit scalaire ( f,g) −→< f , g > = 1 0 f g et on considère F = f ∈ E ; f (0) = 0 . Montrer : a) F⊥ = {0} b) F ⊕ F⊥ =/ E. Exemple de norme sur R2 , détermination d’une boule On note N : R2 −→ R, (x,y) −→ Sup t∈R |x + ty| 1 + t + t2 . a) Montrer que N est une norme sur R2 . b) Représenter graphiquement la boule BN (0 ; 1) = (x,y) ∈ R2 ; N(x,y) 1 dans le plan usuel. c) Calculer l’aire (dans le plan usuel) de BN (0 ; 1). Adhérence et intérieur d’une partie convexe d’un evn Soient E un evn, C une partie convexe de E. Montrer que C et C◦ sont convexes. 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29
  23. 23. Énoncés des exercices 13 Adhérence de la somme de deux parties a) Soient E un evn, A,B des parties de E. Montrer : A + B ⊂ A + B. b) Montrer, par un exemple, qu’il peut ne pas y avoir égalité dans l’inclusion de a). Adhérence d’une intersection a) Soient E un evn, A un ouvert de E, B une partie de E. Montrer : A ∩ B = A ∩ B. b) Soient E un evn, A une partie de E. On suppose que, pour toute partie B de E, on a A ∩ B ⊂ A ∩ B. Montrer que A est un ouvert de E. c) Donner un exemple d’ouverts A,B de R tels que les cinq ensembles A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B soient deux à deux distincts. Exemple de deux normes équivalentes On note E le R-ev des applications f : [0; 1] −→ R de classe C1 sur [0; 1] et telles que f (0) = 0. Pour f ∈ E, on note N( f ) = Sup x∈[0;1] | f (x)| + Sup x∈[0;1] | f (x)| et ν( f ) = Sup x∈[0;1] | f (x) + f (x)|. Montrer que N et ν sont des normes sur E, et qu’elles sont équi- valentes. Séparation de deux fermés disjoints par deux ouverts disjoints Soient E un evn, F,G deux fermés de E tels que F ∩ G = ∅. Montrer qu’il existe deux ouverts U,V de E tels que : F ⊂ U, G ⊂ V, U ∩ V = ∅. Diverses caractérisations de la continuité Soient E,F deux evn, f : E −→ F une application. Montrer que les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes : (i) f est continue (ii) ∀ A ∈ P(E), f (A) ⊂ f (A) (iii) ∀ B ∈ P(F), f −1(B) ⊂ f −1 (B) (iv) ∀ B ∈ P(F), f −1 ( ◦ B) ⊂ f −1 (B) ◦ . Exemple d’application linéaire continue sur un espace de suites, calcul de sa norme On note ∞ le R-ev des suites réelles bornées (indexées par N∗ ), muni de ||.||∞. On considère l’ap- plication T : ∞ −→ ∞ qui, à tout élément (un)n 1 de ∞ associe la suite un n n 1 . a) Montrer que T est correctement définie, que T ∈ LC( ∞ ), et calculer |||T|||. b) Déterminer Ker (T), Im (T). Est-ce que T est injective ? surjective ? Exemple d’application linéaire continue sur un espace de fonctions, calcul de sa norme On note E = C [0 ; 1] ; R , muni de ||.||∞. Soient p ∈ N∗ , a1,. . . ,ap ∈ [0 ; 1] deux à deux distincts, λ1,. . . ,λp ∈ R. On note : φ : E −→ R, f −→ φ( f ) = p k=1 λk f (ak). Montrer φ ∈ LC(E,R) et calculer |||φ|||. ©Dunod.Laphotocopienonautoriséeestundélit. 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36
  24. 24. Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés 14 Somme d’un fermé et d’un compact Soient E un evn, F est un fermé de E, K un compact de E. Montrer que F + K est fermée dans E. Application diminuant strictement les distances sur un compact Soient E un evn, K une partie compacte de E, f : K −→ K une application telle que : ∀(x,y) ∈ K2 , x =/ y ⇒ d f (x), f (y) < d(x,y) où d est la distance sur E. Montrer que f admet un point fixe et un seul. Applications continues de limites infinies en +∞ et en −∞ Soit f : R −→ R une application continue. Montrer que les trois propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes : (i) L’image réciproque par f de tout compact de R est un compact de R (ii) lim −∞ | f | = +∞ et lim +∞ | f | = +∞ (iii) lim −∞ f = −∞ ou lim −∞ f = +∞ et lim +∞ f = −∞ ou lim +∞ f = +∞ . Réunion d’une famille de boules fermées de même rayon indexée par un compact Soient E un evn, K une partie compacte de E, r ∈ R∗ +. On note F = x∈K B (x ; r). Montrer que F est fermé dans E. Ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite bornée dans un evn de dimension finie Soient (E,||.||) un evn de dimension finie, (un)n∈N une suite bornée dans E. On note V l’ensemble des valeurs d’adhérence de (un)n∈N dans E. Montrer que V est une partie compacte non vide de E. Natures différentes pour [0 ; 1]2 et [0 ; 1] Montrer qu’il n’existe aucune application continue injective de [0 ; 1]2 dans [0 ; 1]. Exemple de norme issue d’un produit scalaire On note E = C1 [0 ; 1] ; R et N : E −→ R l’application définie par : ∀ f ∈ E, N( f ) = 1 0 f 2 + f (0) f (1) 1 2 . Montrer que N est une norme sur E. Inégalité sur des normes Soient (E,||.||) un evn, x,y ∈ E − {0}. Démontrer : x ||x|| − y ||y|| 2 ||x − y|| Max (||x||, ||y||) . Intersection de deux ouverts partout denses Soit E un evn. a) Montrer, pour tous ouverts U,V de E : U = V = E ⇒ U ∩ V = E. b) En déduire, pour tous fermés F,G de E : ◦ F = ◦ G = ∅ ⇒ (F ∪ G)◦ = ∅. 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45
  25. 25. Énoncés des exercices 15 Exemple de norme paramétrée par une fonction On note E = C [0; 1],R et, pour ϕ ∈ E, Nϕ : E −→ R l’application définie par : ∀ f ∈ E, Nϕ( f ) = || f ϕ||∞. a) Montrer que Nϕ est une norme sur E si et seulement si ϕ−1 ({0}) ◦ = ∅. b) Montrer que Nϕ et || · ||∞ sont des normes sur E équivalentes si et seulement si ϕ−1 ({0}) = ∅. Endomorphismes continus tels que u ◦ v − v ◦ u = e Soit E un evn distinct de {0}. On note e = IdE . On suppose qu’il existe (u,v) ∈ LC(E) 2 tel que : u ◦ v − v ◦ u = e. a) Montrer : ∀ n ∈ N, u ◦ vn+1 − vn+1 ◦ u = (n + 1)vn . b) En déduire : ∀ n ∈ N, (n + 1)|||vn ||| 2 |||u||| |||v||| |||vn |||. c) Conclure. Image d’un fermé de C par une application polynomiale Soit P ∈ C[X]. Montrer que l’image par P de tout fermé de C est un fermé de C. Image de l’intersection d’une famille décroissante de parties fermées dans un compact, par une application continue Soient E un evn, K une partie compacte de E, (Fn)n∈N une suite décroissante (pour l’inclusion) de parties fermées de K, et f : K −→ K une application continue. Montrer : f n∈N Fn = n∈N f (Fn). Théorème du point fixe Soient (E,||.||) un evn, F ⊂ E, et f : F −→ F une application. On suppose que F est complète et que f est contractante, c’est-à-dire qu’il existe k ∈ [0 ; 1[ tel que : ∀ (x,y) ∈ R2 , || f (x) − f (y)|| k ||x − y||. On se propose de montrer que f admet un point fixe et un seul. a) Montrer l’unicité d’un éventuel point fixe de f. b) On considère, pour a ∈ F fixé, la suite (un)n∈N définie par u0 = a et : ∀ n ∈ N, un+1 = f (un). Montrer que la suite (un)n∈N converge et que sa limite est un point fixe de f. c) Conclure que f admet un point fixe et un seul. Théorème de Darboux Soient I un intervalle de R, non vide ni réduit à un point, et f : I −→ R une application dérivable sur I. Démontrer que f (I) est un intervalle de R. ©Dunod.Laphotocopienonautoriséeestundélit. 1.46 1.47 1.48 1.49 1.50 1.51
  26. 26. Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés 16 Théorème de projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel complet d’un espace préhilbertien Soient (E,< ·,· >) un espace préhilbertien, F un sev complet de E. a) Montrer que, pour tout x de E, il existe un élément z de F et un seul tel que x − z ∈ F⊥ . On note pF : E −→ E x −→ z l’application ainsi définie. b) Montrer : 1) pF ∈ LC(E) 2) pF ◦ pF = pF 3) pF admet un adjoint, et p∗ F = pF. Ce résultat généralise le théorème de projection orthogonale sur un sev de dimension finie, figu- rant dans le cours. 1.52 Du mal à démarrer ? Appliquer convenablement, plusieurs fois, l’inégalité tri- angulaire. a) Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle de l’adhérence. b) Séparer en deux inclusions et,par exemple,utiliser la caracté- risation d’un point intérieur par l’existence d’ouverts conve- nables. a) Utiliser,par exemple,la caractérisation séquentielle des fermés. b) Montrer que U n’est pas ouvert, en trouvant f ∈ U telle que, pour tout ε ∈ R∗ +, B( f ; ε) U. 1) Montrer que ν1 est une norme sur E en revenant à la définition d’une norme. 2) De même pour ν2. 3) Remarquer que, pour toute f ∈ E : ν1( f ) 2ν2( f ) et ν2( f ) 2ν1( f ). a) Considérer, par exemple, pour a ∈ E fixé, la translation de vecteur −a : τ−a : E −→ E, y −→ y − a. b) Exprimer A + Ω à l’aide des {a} + Ω, a ∈ A. 1) Si ϕ est continue sur A × B, exprimer f à l’aide de ϕ, pour déduire que f est continue sur A. 2) Si f est continue sur A et g est continue sur B, exprimer ϕ à l’aide de f,g et des projections canoniques, pour déduire que ϕ est continue sur A × B. Évaluer, pour (x1,x2), (y1,y2) ∈ R2 : || f (x1,x2) − f (y1,y2)||1. • Voir d’abord la linéarité de φ. • Majorer convenablement |φ( f )| à l’aide de || f ||1, pour toute f ∈ E. • Montrer que la borne supérieure définissant |||φ||| est atteinte par une fonction simple de E. Considérer l’application f : E × E −→ E, (x,y) −→ x + y. 1) A n’est pas bornée. 2) B est fermée et bornée. Majorer d(vp,vq ) en intercalant up et uq et utiliser les deux hypothèses : la suite (un)n∈N est de Cauchy et d(un,vn) −→ n ∞ 0. Considérer, par exemple : f : R −→ R, x −→ x2 + 1. a) • Un sens est immédiat. • Si B1 = B2, pour x ∈ E − {0}, considérer 1 N1(x) x, qui est dans B1, donc dans B2. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13
  27. 27. Du mal à démarrer ? 17 ©Dunod.Laphotocopienonautoriséeestundélit. b) • Un sens est immédiat. • Si B1 = B2, pour x ∈ E − {0}, considérer 1 N1(x) x, qui n’est pas dans B1, donc pas dans B2. a) Il existe a ∈ E,r ∈ R∗ + tels que B(a ;r) ⊂ F. Soit x ∈ E tel que x = a. Construire y ∈ E tel que : y − a est colinéaire à x − a et y ∈ B(a ;r). En déduire x − a ∈ F, puis x ∈ F. b) Appliquer a). a) 1) Une inclusion est immédiate. 2) Réciproquement,soit x ∈ B (a ;r). Approcher x par une suite d’éléments de B(a ;r). b) 1) Une inclusion est immédiate. 2) Réciproquement, raisonner sur les complémentaires, de manière analogue à la résolution de a)2). 1) Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle des fermés. 2) Montrer : ∀ t ∈ [2 ; +∞[, et 2 + t. En déduire que toute application constante supérieure ou égale à 2 est dans A. a) 1) Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle des fermés. 2) • Montrer : d(0,A) 1. • Considérer f : [0 ; 1] −→ R, x −→ 1 − 2x. b) 1) Comme en a)1). 2) • Montrer : d(0,B) 1. • Considérer,pour tout n ∈ N∗, une application gn continue,affi- ne par morceaux, constante égale à 1 sauf près de 0, telle que gn(0) = 0. Déduire d(0,B) = 1. • Montrer que d(0,B) n’est pas atteinte, en raisonnant par l’ab- surde. a) Revenir à la définition d’une norme. b) 1) Remarquer d’abord : ∀ f ∈ E, N∞( f ) N∞( f ) N∞( f ), en utilisant l’inégalité des accroissements finis. 2) Trouver une suite ( fn)n dans E − {0} telle que, par exemple, N∞( fn) N∞( fn) −→ n ∞ +∞. b) 1) Remarquer : ∀ t ∈ R+, t 1 + t2 1 2 , et déduire l’inclusion f (E) ⊂ B 0 ; 1 2 . 2) Réciproquement, pour y ∈ B 0 ; 1 2 fixé, chercher λ ∈ R pour que f (λy) = y. Montrer que ∆ est linéaire et que |||∆||| 2. Considérer, par exemple, la suite (−1)n )n∈N pour déduire |||∆||| = 2. 1) Montrer que E est fermée, comme image réciproque d’un fermé par une application continue. 2) Montrer que E est bornée, en utilisant les coordonnées polaires par exemple. Raisonner par l’absurde : supposer que (un)n n’admette qu’une seule valeur d’adhérence a et que (un)n diverge. Montrer l’existence de ε > 0 et d’une extractrice σ tels que : ∀ n ∈ N, d(uσ(n),a) > ε. Utiliser la compacité de K pour obtenir l’existence de b ∈ K et d’une extractrice τ tels que : uσ(τ(n)) −→ n ∞ b. Déduire d(a,b) ε, a = b, puis une contradiction. Construire une suite ( fn)n d’applications continues de [0 ; 1] dans R telle que ( fn)n soit de Cauchy pour ||.||1 et que ( fn)n diverge pour ||.||1. On pourra prendre fn affine par mor- ceaux et continue telle que fn(x) = 1 pour 0 x 1 2 et fn(x) = 0 pour 1 2 + 1 n x 1. a) Montrer que d(a,un) n∈N est de Cauchy dans R, en uti- lisant l’inégalité triangulaire renversée. b) 1) Dans la phrase mathématique traduisant que (un)n∈N est de Cauchy, fixer p et faire tendre q vers l’infini. 2) Se rappeler que : d(a,un) −→ n ∞ 0 ⇐⇒ un −→ n ∞ a. Si γ joint continument a1 et a2 dans A et δ joint continu- ment b1 et b2 dans B, construire γ + δ, joignant continument a1 + b1 et a2 + b2 dans A + B. a) Joindre x ∈ A et y ∈ A par un chemin formé de deux segments successifs, joignant x et a, puis a et y. b) Montrer que D est étoilé par rapport à 0 et appliquer a). a) Soit g ∈ F⊥. Considérer l’application f : [0 ; 1] −→ R, x −→ xg(x) qui est dans F, et traduire < f,g > = 0. a) • Montrer d’abord, pour tout (x,y) ∈ R2, l’existence de N(x,y),en montrant que l’application t −→ |x + ty| 1 + t + t2 est bor- née sur R. 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28
  28. 28. Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés 18 • Revenir à la définition d’une norme. b) Transformer la condition N(x,y) 1 en : ∀ t ∈ R, −1 x + ty 1 + t + t2 1, puis utiliser les résultats sur les trinômes réels. c) Calculer l’aire comme intégrale double de la constante 1. Se rappeler qu’une partie C de E est dite convexe si et seulement si : ∀ λ ∈ [0 ; 1], ∀ (x,y) ∈ C2 , λx + (1 − λ)y ∈ C. a) Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle de l’adhérence d’une partie de E. b) Envisager, par exemple : E = R2 , A = (x,y) ∈ (R∗ +)2 ; xy = 1 , B = R × {0}. a) Une inclusion est immédiate. • Réciproquement, soit x ∈ A ∩ B. Soit V un voisinage de x dans E. Montrer l’existence d’un y dans V ∩ (A ∩ B), puis montrer : (V ∩ A) ∩ B = ∅. b) Appliquer l’hypothèse à E (A) à la place de B. c) Choisir pour A et B des intervalles ou des réunions d’inter- valles convenables. 1) Montrer que N et ν sont des normes.Pour montrer l’im- plication ν ( f ) = 0 ⇒ f = 0, utiliser la résolution d’une équation différentielle. 2) • Montrer : ∀ f ∈ E, ν( f ) N( f ). • Pour f ∈ E, considérer g : [0 ; 1] −→ R, x −→ ex f (x), exprimer g , puis déduire des majorations de |g(x)|, | f (x)|, | f (x)|, à l’aide de ν ( f ). Considérer l’application ϕ : E −→ R, x −→ d(x,G) − d(x,F) et les parties U = ϕ−1(]0 ; +∞[), V = ϕ−1(] − ∞ ; 0[) de E. (i) ⇒ (ii) : Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle de l’adhérence. (ii) ⇒ (iii) : Pour B ∈ P (F), appliquer l’hypothèse à A = f −1(B). (iii) ⇒ (iv) : Pour B ∈ P (F), appliquer l’hypothèse à B et à F (B). (iv) ⇒ (i) : Pour tout ouvert U de F, appliquer l’hypothèse à B = U. a) • Montrer que, pour toute (un)n 1 ∈ ∞, on a : un n n 1 ∈ ∞ . • Montrer que T est linéaire. • Montrer : ∀ u ∈ ∞ , ||T(u)||∞ ||u||∞. • En déduire : T ∈ LC( ∞) et |||T||| 1. • Considérer la suite constante égale à 1, et déduire :|||T||| = 1. b) • On obtient : Ker (T) = {0}. • Montrer que Im (T) est l’ensemble des suites réelles en O 1 n . • La linéarité de φ est immédiate. • Montrer : ∀ f ∈ E, |φ( f )| M|| f ||∞, en notant M = p k=1 |λk|. • Considérer une application convenable f de E prenant les valeurs 1 ou −1 en les ak. Utiliser la caractérisation séquentielle des fermés et la défi- nition séquentielle des compacts. 1) L’unicité est immédiate. 2) Pour l’existence, raisonner par l’absurde. Considérer l’application ϕ : K −→ R, x −→ d x, f (x) . (i) ⇒ (ii) : Appliquer l’hypothèse au compact [−A ; A], pour A ∈ R∗ + fixé. (ii) ⇒ (iii) : Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires. (iii) ⇒ (i) : Soit K un compact de R. Il existe A ∈ R∗ + tel que : K ⊂ [−A ; A]. Appliquer l’hypothèse pour déduire que f −1(K) est borné, puis est compact. Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle d’un fermé et la définition séquentielle d’un compact. 1) Montrer que V = ∅, en utilisant la définition séquen- tielle de la compacité. 2) Montrer que V est bornée. 3) Montrer que V est fermée,en montrant,par exemple,que son complémentaire est ouvert. 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41
  29. 29. Du mal à démarrer ? 19 ©Dunod.Laphotocopienonautoriséeestundélit. Raisonner par l’absurde : supposer qu’il existe une appli- cation f : [0 ; 1]2 −→ [0 ; 1] continue injective. Considérer a,b,c ∈ [0 ; 1]2 de façon que, par exemple, f (a) < f (b) < f (c), puis considérer un chemin γ joignant continument a et c dans [0 ; 1]2 , sans passer par b, et envisager f ◦ γ. Vu l’exposant 1 2 et le carré dans l’intégrale,on peut conjec- turer que N soit une norme associée à un produit scalaire. Montrer que l’application ϕ : E × E −→ R définie, pour tout ( f,g) ∈ E × E par : ϕ( f,g) = 1 0 f g + 1 2 f (0)g(1) + f (1)g(0) est un produit scalaire et que N est la norme associée à ϕ. Dans le premier membre de l’inégalité demandée, inter- caler, par exemple, x ||y|| , puis utiliser l’inégalité triangulaire et les rôles symétriques de x et y. a) Soient U,V des ouverts de E tels que U = V = E. Soient x ∈ E et Ω un voisinage ouvert de x dans E. Montrer l’existence d’un y ∈ Ω ∩ U, puis montrer (Ω ∩ U) ∩ V = ∅. b) Passer aux complémentaires dans le résultat de a). a) Montrer que, pour ϕ ∈ E fixée, Nϕ vérifie une partie de la définition d’une norme. 1) Supposer ϕ−1 ({0}) ◦ = ∅. Montrer qu’alors : ∀ f ∈ E, Nϕ( f ) = 0 ⇒ f = 0 . 2) Supposer ϕ−1 ({0}) ◦ =/ ∅.Construire un élément f de E tel que : f = 0 et Nϕ( f ) = 0. b) Soit ϕ ∈ E fixée. 1) Supposer ϕ−1({0}) = ∅. Montrer qu’alors Nϕ et ||.||∞ sont équivalentes, en faisant intervenir 1 ϕ . 2) Supposer ϕ−1({0}) = ∅. Construire alors une suite ( fn)n∈N∗ dans E − {0} telle que : || fn||∞ Nϕ( fn) −→ n ∞ +∞. a) Récurrence sur n. b) Utiliser a) et la sous-multiplicativité de |||.|||. c) • Montrer, en utilisant a), qu’on ne peut pas avoir : ∀ n ∈ N, vn = 0. • Considérer l’ensemble {n ∈ N ; vn = 0}, son plus petit élé- ment, et obtenir une contradiction à l’aide de b)}. On conclut qu’il n’existe pas de tel couple (u,v). Soit F un fermé de C. Soient (Zn)n une suite dans P(F), Z ∈ C tels que Zn −→ n ∞ Z. Pour chaque n ∈ N, il existe zn ∈ F tel que P(zn) = Zn. Montrer que (zn)n est bornée. En déduire l’existence de u ∈ C et d’une extractrice σ tels que : zσ(n) −→ n ∞ u. Déduire Z = P(u) ∈ P(F). Noter F = n∈N Fn. 1) L’inclusion f (F) ⊂ n∈N f (Fn) est immédiate. 2) Réciproquement, soit x ∈ n∈N f (Fn). Pour chaque n ∈ N, il existe xn ∈ Fn tel que x = f (xn). Utiliser la caractérisation séquentielle de la compacité de K. b) 1) Montrer : ∀ n ∈ N∗ , ||un+1 − un|| k||un − un−1||, puis : ∀ (p,r) ∈ N × N∗ , ||up+r − up|| kp ||u1 − u0|| 1 − k . En déduire que (un)n est de Cauchy dans F. Considérer l’ensemble E = (x,y) ∈ I2 ; x < y et l’appli- cation taux d’accroissement : τ : E −→ R, (x,y) −→ f (x) − f (y) x − y . Montrer que E est connexe par arcs, que τ est continue, et en déduire que τ(E) est un intervalle et que l’on a τ(E) ⊂ f (I) ⊂ τ(E). a) 1) Unicité : Soit x ∈ E. Soient z1,z2 ∈ F tels que : x − z1 ∈ F⊥ et x − z2 ∈ F⊥. Exprimer ||z1||2, < z1 , z2 > , < z2 , z1 > , ||z2||2 et déduire ||z1 − z2||2 = 0, puis z1 = z2. 2) Existence : Soit x ∈ E. Considérer l’application ϕ : F −→ R, u −→ ||x − u|| et sa borne inférieure α, puis une suite (un)n∈N∗ dans F telle que : ∀ n ∈ N∗ , α ϕ(un) α + 1 n . Montrer que (un)n∈N∗ est de Cauchy dans F. En déduire qu’il existe z ∈ F tel que un −→ n ∞ z. Montrer que z minimise ϕ. Établir x − z ∈ F⊥, en considérant, pour y ∈ F et λ ∈ C, ||x − (z + λy)||2. b) 1) • La linéarité de pF est facile. • Montrer : ∀ x ∈ E, ||pF (x)|| ||x||, puis : |||pF ||| = 1. 2) L’égalité pF ◦ pF = pF est immédiate. 3) Montrer, pour tout (x,y) ∈ E2 : < pF (x) , y > = < pF (x) , pF (y) > , puis : < x , pF (y) > = < pF (x) , y > . 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.50 1.51 1.52
  30. 30. 20 On applique l’inégalité triangulaire, de deux façons à chaque fois, pour majorer ||x − y|| et pour majorer ||z − t|| : ||x − y|| ||x − z|| + ||z − y|| ||x − y|| ||x − t|| + ||t − y|| ||z − t|| ||z − x|| + ||x − t|| ||z − t|| ||z − y|| + ||y − t||. Ensuite, on additionne ces quatre inégalités, on simplifie par un coefficient 2, et on obtient l’inégalité voulue : ||x − y|| + ||z − t|| ||x − z|| + ||y − t|| + ||x − t|| + ||y − z||. a) Soit (x,y) ∈ E × F. On a : (x,y) ∈ A × B ⇐⇒ ∃ (zn)n ∈ (A × B)N , zn −→ n ∞ (x,y) ⇐⇒ ∃ (xn)n ∈ AN , ∃ (yn)n ∈ BN , (xn,yn) −→ n ∞ (x,y) ⇐⇒    ∃ (xn)n ∈ AN , xn −→ n ∞ x ∃ (yn)n ∈ BN , yn −→ n ∞ y ⇐⇒ x ∈ A y ∈ B ⇐⇒ (x,y) ∈ A × B. On conclut : A × B = A × B. b) 1) Soit (x,y) ∈ (A × B)◦ . Il existe un ouvert W de E × F tel que : (x,y) ∈ W ⊂ A × B. Par définition des ouverts de E × F, il existe alors un ouvert U de E et un ouvert V de F tels que : x ∈ U, y ∈ V, U × V ⊂ W. On déduit : x ∈ U ⊂ A et y ∈ V ⊂ B, donc x ∈ A◦ et y ∈ B◦ , d’où (x,y) ∈ A◦ × B◦ . Ceci montre : (A × B)◦ ⊂ A◦ × B◦ . 2) Réciproquement, soit (x,y) ∈ A◦ × B◦ . Alors : x ∈ A◦ et y ∈ B◦ . Il existe donc un ouvert U de E tel que x ∈ U ⊂ A, et un ou- vert V de F tel que y ∈ V ⊂ B. Alors, U × V est un ouvert de E × F et on a : (x,y) ∈ U × V ⊂ A × B. Il en résulte : (x,y) ∈ (A × B)◦ . Ceci montre : A◦ × B◦ ⊂ (A × B)◦ . On conclut : (A × B)◦ = A◦ × B◦ . a) Nous allons montrer que F est fermé dans E en uti- lisant la caractérisation séquentielle des fermés. Soient ( fn)n∈N une suite dans F, et f ∈ E tels que fn −→ n∞ f dans (E,||.||∞). On a : ∀ x ∈ R, | fn(x) − f (x)| || fn − f ||∞ −→ n ∞ 0, donc : ∀ x ∈ R, fn(x) −→ n ∞ f (x). Comme, par hypothèse : ∀ x ∈ R, ∀ n ∈ N, fn(x) 0, il s’ensuit, par passage à la limite dans une inégalité lorsque l’entier n tend vers l’infini : ∀ x ∈ R, f (x) 0, et donc : f ∈ F. On conclut que F est fermé dans E. b) Nous allons montrer que U n’est pas ouvert dans E, en trou- vant f ∈ U telle que, pour tout ε ∈ R∗ +, on ait : B( f ; ε) /⊂ U. Considérons f : R −→ R, x −→ f (x) = 1 x2 + 1 . Il est clair que f est continue et bornée, donc f ∈ E. Soit ε ∈ R∗ + fixé. Considérons l’application g = f − ε 2 . On a : g ∈ E, || f − g||∞ = ε 2 < ε, donc g ∈ B( f ; ε). Mais g /∈ U car g(x) −→ x−→+∞ − ε 2 < 0, donc g prend des valeurs 0. Ceci montre : ∀ ε ∈ R∗ +, B( f,ε) /⊂ U, et on conclut que U n’est pas ouvert dans E. 1) • Il est clair que, pour toute f ∈ E, ν1( f ) existe. • On a, pour tout α ∈ R et toute f ∈ E : ν1(α f ) = |(α f )(0)| + 2 1 0 |(α f ) (t)| dt = |α| | f (0)| + 2|α| 1 0 | f (t)| dt = |α|ν1( f ). Corrigés des exercices 1.1 1.2 1.3 1.4
  31. 31. 21 • On a, pour toutes f,g ∈ E : ν1( f + g) = |( f + g)(0)| + 2 1 0 |( f + g) (t)| dt = | f (0) + g(0)| + 2 1 0 | f (t) + g (t)| dt (| f (0)| + |g(0)|) + 2 1 0 | f (t)| + |g (t)| dt = | f (0)| + 2 1 0 | f (t)| dt + |g(0)| + 2 1 0 |g (t)| dt = ν1( f ) + ν1(g). • Soit f ∈ E telle que ν1( f ) = 0. On a alors : | f (0)| + 2 1 0 | f (t)| dt = 0, donc f (0) = 0 et 1 0 | f (t)| dt = 0. Puisque | f | est continue et 0, il en résulte f = 0, donc f est constante, f = f (0) = 0. Ceci montre que ν1 est une norme sur E. 2) De même, ν2 est aussi une norme sur E. De manière plus générale, pour tout (a,b) ∈ (R∗ +)2 , l’application f −→ a| f (0)| + b 1 0 | f (t)| dt est une norme sur E. 3) On a, pour toute f ∈ E : 1 2 ν1( f ) ν2( f ) 2ν1( f ), donc les normes ν1 et ν2 sur E sont équivalentes. a) Soit a ∈ E. Considérons l’application τ−a : E −→ E, y −→ y − a qui est la translation de vecteur −a. On a, pour tout y ∈ E : y ∈ {a} + Ω ⇐⇒ y − a ∈ Ω, donc : {a} + Ω = y ∈ E ; τ−a(y) ∈ Ω = τ−1 −a(Ω). Ainsi, {a} + Ω est l’image réciproque de l’ouvert Ω par l’ap- plication continue τ−a, donc {a} + Ω est un ouvert de E. b) Soit A ⊂ E. On a : A + Ω = a∈A ({a} + Ω). Ainsi, A + Ω est une réunion d’ouverts de E, donc est un ou- vert de E. 1) Supposons ϕ continue sur A × B. Puisque B =/ ∅, il existe b ∈ B. On a alors : ∀ x ∈ A, f (x) = ϕ(x,b) − g(b). Comme ϕ est continue sur A × B, par composition, l’application x −→ ϕ(x,b) est continue sur A, puis, par addi- tion d’une constante, f est continue sur A. De même, g est continue sur B. 2) Réciproquement, supposons f continue sur A et g continue sur B. Notons : pr1 : E × F −→ E, (x,y) −→ x , pr2 : E × F −→ F, (x,y) −→ y les deux projections canoniques, qui, d’après le cours, sont conti- nues sur E × F. On a alors : ϕ = f ◦ pr1 + g ◦ pr2, donc, par composition, ϕ est continue sur E × F. Soient (x1,x2), (y1,y2) ∈ R2 . On a : f (x1,x2) − f (y1,y2) 1 = (ax2,bx1) − (ay2,by1) 1 = (ax2 − ay2, bx1 − by1) 1 = a(x2 − y2), b(x1 − y1) 1 = |a(x2 − y2)| + |b(x1 − y1)| = a|x2 − y2| + b|x1 − y1| . En notant k = Max (a,b) ∈ R+, on a donc : f (x1,x2) − f (y1,y2) 1 k|x2 − y2| + k|x1 − y1| = k (x1 − y1, x2 − y2) 1 = k (x1,x2) − (y1,y2) 1 . On conclut que f est lipschitzienne. • La linéarité de φ est immédiate, résultant de la linéa- rité de l’intégration. • On a : ∀ f ∈ E, |φ( f )| = 1 0 f (t) dt 1 0 | f (t)| dt = || f ||1 , donc φ, qui est linéaire, est continue, et |||φ||| 1. • On a, en notant f0 : [0 ; 1] −→ R, t −→ 1 l’application constante égale à 1, f0 =/ 0 et : || f0||1 = 1 0 |1| dt = 1, φ( f0) = 1 0 1 dt = 1 , donc : |φ( f0)| || f0||1 = 1. Il en résulte : |||φ||| 1, et finalement : |||φ||| = 1. 1.5 1.6 1.7 1.8
  32. 32. 22 Considérons l’application f : E × E −→ E, (x,y) −→ x + y . On a : K + L = f (K × L). Puisque K et L sont compacts, d’après le cours, K × L est compact. D’autre part, par opération, f est continue. Ainsi, K + L est l’image d’un compact par une application continue, donc K + L est compact. Par théorèmes généraux, f est continue sur R∗ , et, comme f (x) = sin x x −→ x−→0 1 = f (0), f est continue en 0, donc f est continue sur R. Traçons d’abord l’allure de la courbe représentative de f : D’autre part, puisque (un)n∈N est de Cauchy, il existe N2 ∈ N tel que : ∀ p N2, ∀ q N2, d(up,uq ) ε 3 . Notons N = Max (N1,N2) ∈ N . On a alors, pour tout (p,q) ∈ N2 tel que p N et q N : d(vp,vq ) d(vp,up) + d(up,uq ) + d(uq ,vq ) 3 ε 3 = ε . Ceci montre que (vn)n∈N est de Cauchy dans E. Considérons l’application f : R −→ R, x −→ f (x) = x2 + 1 . 1) On a, pour tout (x,y) ∈ R2 tel que x =/ y : | f (x) − f (y)| = x2 + 1 − y2 + 1 = x2 − y2 √ x2 + 1 + y2 + 1 = |x + y| √ x2 + 1 + y2 + 1 |x − y| . Et : |x + y| √ x2 + 1 + y2 + 1 |x| + |y| √ x2 + 1 + y2 + 1 < 1, car : 0 |x| < x2 + 1 et 0 |y| < y2 + 1. D’où : | f (x) − f (y)| < |x − y|. Ainsi, f diminue strictement les distances. 2) On a, pour tout x ∈ R : f (x) = x2 + 1 > |x| x, donc : ∀ x ∈ R, f (x) =/ x, donc f n’a pas de point fixe. a) • L’implication N1 = N2 ⇒ B1 = B2 est évidente. • Réciproquement, supposons B1 = B2. Soit x ∈ E tel que x =/ 0. ∗ Considérons y = 1 N1(x) x. On a : N1(y) = N1 1 N1(x) x = 1 N1(x) N1(x) = 1 , donc y ∈ B1 = B2, d’où N2(y) 1. Mais : N2(y) = N2 1 N1(x) x = 1 N1(x) N2(x). On a donc : 1 N1(x) N2(x) 1, d’où : N2(x) N1(x). ∗ Puisque N1 et N2 jouent des rôles symétriques, on a aussi N1(x) N2(x), d’où : N1(x) = N2(x). Enfin, pour x = 0, l’égalité N1(x) = N2(x) est triviale. On conclut : N1 = N2 . 1.9 1.10 y x−π 2ππ −2π O 1 1 2 B A 1) On a : A = πZ∗ , donc A n’est pas bornée, donc n’est pas compacte. 2) • Puisque B = f −1 1 2 ; +∞ , que f est continue et que 1 2 ; +∞ , est fermé dans R, d’après le cours, B est fermée dans R. • On a, pour tout x ∈ R : |x| > 2 ⇒ | f (x)| = sin x x 1 x < 1 2 ⇒ x /∈ B , donc : B ⊂ [−2 ; 2], donc B est bornée. Ainsi, B est une partie fermée bornée de R, donc B est compacte. Supposons, par exemple, que (un)n∈N est de Cauchy. Soit ε > 0. Puisque d(un,vn) −→ n ∞ 0, il existe N1 ∈ N tel que : ∀ n N1, d(un,vn) ε 3 . 1.11 1.12 1.13
  33. 33. 23 b) • L’implication N1 = N2 ⇒ B1 = B2 est évidente. • Réciproquement, supposons B1 = B2. Nous allons adopter la même méthode que dans la solution de a). Soit x ∈ E tel que x =/ 0. ∗ Considérons y = 1 N1(x) x. On a alors N1(y) = 1, donc y /∈ B1 = B2, d’où N2(y) 1. Mais N2(y) = 1 N1(x) N2(x), d’où N2(x) N1(x). ∗ Puisque N1 et N2 jouent des rôles symétriques, on a aussi N1(x) N2(x), d’où : N1(x) = N2(x). Enfin, pour x = 0, l’égalité N1(x) = N2(x) est triviale. On conclut : N1 = N2 . a) Soit F un sev de E tel que ◦ F =/ ∅. Il existe donc a ∈ ◦ F, puis r ∈ R∗ + tel que B(a;r) ⊂ F. Soit x ∈ E tel que x =/ a. Notons y = a + r 2||x − a|| (x − a). On a alors ||y − a|| = r 2 < r, donc y ∈ B(a;r), d’où y ∈ F. Comme F est un sev et que a et y sont dans F, il en résulte que x − a = 2||x − a|| r (y − a) ∈ F , puis x = (x − a) + a ∈ F. Finalement : F = E. b) E1 et P sont des sev de E, distincts de E, car, par exemple, l’application [0; 1] −→ R x−→ x− 1 2 est dans E et non dans E1, et l’ap- plication [0; 1] −→ R x−→ 1 x+1 est dans E et non dans P. Par contre-apposition du résultat de a), on conclut : ◦ E1 = ◦ P = ∅. a) 1) On a : B(a ;r) ⊂ B (a ;r), d’où, en passant aux adhérences et puisque B (a ;r) est fermée : B(a ;r) ⊂ B (a ;r) = B (a ;r) . 2) Réciproquement, soit x ∈ B (a ;r). Notons, pour tout n ∈ N∗ : xn = 1 n a + 1 − 1 n x. On a, pour tout n ∈ N∗ : ||xn − a|| = 1 − 1 n (x − a) = 1 − 1 n ||x − a|| 1 − 1 n r < r, donc : xn ∈ B(a ;r). D’autre part : ||xn − x|| = 1 n (a − x) = 1 n ||x − a|| −→ n ∞ 0 , donc : xn −→ n ∞ x. Ainsi, x est limite d’une suite d’éléments de B(a ;r), donc x ∈ B(a ;r). Ceci montre : B (a ;r) ⊂ B(a ;r). On conclut : B(a ;r) = B (a ;r). b) 1) On a : B(a ;r) ⊂ B (a ;r), d’où, en passant aux intérieurs et puisque B(a ;r) est ouverte : B(a ;r) = B(a ;r) ◦ ⊂ B (a ;r) ◦ . 2) Nous allons montrer l’autre inclusion en raisonnant sur les complémentaires, de façon à manipuler des adhérences (au lieu d’intérieurs) et à utiliser des suites. Soit x ∈ E B(a ;r) , donc ||x − a|| r. 1.14 1.15 a xxn a x xn
  34. 34. 24 Notons, pour tout n ∈ N∗ : xn = − 1 n a + 1 + 1 n x. On a, pour tout n ∈ N∗ : ||xn − a|| = 1 + 1 n (x − a) = 1 + 1 n ||x − a|| 1 + 1 n r > r, donc xn ∈ E B (a ;r) . D’autre part : ||xn − x|| = 1 n (x − a) = 1 n ||x − a|| −→ n ∞ 0 , donc : xn −→ n ∞ x. Ainsi, x est limite d’une suite d’éléments de E B (a ;r) , donc x ∈ E B (a ;r) . Ceci montre : E B(a ;r) ⊂ E B (a ;r) = E B (a ;r) ◦ , d’où, en passant aux complémentaires : B(a ;r) ⊃ B (a ;r) ◦ . Finalement : B (a ;r) ◦ = B(a ;r). 1) Nous allons montrer que A est une partie fermée de E en utilisant la caractérisation séquentielle des parties fermées. Soient ( fn)n∈N une suite dans A, f ∈ E tels que fn −→ n ∞ f dans (E,||.||∞). On a, pour tout x ∈ [0 ; 1] : | fn(x) − f (x)| || fn − f ||∞ −→ n ∞ 0 , donc : fn(x) −→ n ∞ f (x). D’autre part : ∀ x ∈ [0 ; 1], ∀ n ∈ N, efn(x) 2 + fn(x) . On déduit, par passage à la limite dans une inégalité lorsque l’entier n tend vers l’infini : ∀ x ∈ [0 ; 1], ef (x) 2 + f (x) , et donc : f ∈ A. Ceci montre que A est une partie fermée de E. 2) • Montrons : ∀ t ∈ [2 ; +∞[, et 2 + t. L’application ϕ : [2 ; +∞[−→ R, t −→ ϕ(t) = et − (2 + t) est dérivable et, pour tout t ∈ [2 ; +∞[ : ϕ (t) = et − 1 > 0 , donc ϕ est strictement croissante. De plus : ϕ(2) = e2 − 4 > 0. On déduit : ∀ t ∈ [2 ; +∞[, ϕ(t) 0, d’où l’inégalité voulue. • Soient t ∈ [2 ; +∞[ et ft : [0 ; 1] −→ R, x −→ t l’applica- tion constante égale à t. On a alors : ∀ t ∈ [2 ; +∞[, ft ∈ A et || ft || = |t| = t , ce qui montre que A n’est pas bornée. a) 1) Nous allons montrer que A est une partie fermée de E, en utilisant la caractérisation séquentielle des fermés. Soient ( fn)n∈N une suite dans A, f ∈ E tels que fn −→ n ∞ f dans (E,||.||∞). • On a : | fn(0) − f (0| || fn − f ||∞ −→ n ∞ 0, donc : fn(0) −→ n ∞ f (0). Mais : ∀ n ∈ N, fn(0) = 1, d’où : f (0) = 1. • On a : 1 0 fn − 1 0 f = 1 0 ( fn − f ) 1 0 | fn − f | (1 − 0)|| fn − f ||∞ −→ n ∞ 0, donc : 1 0 fn −→ n ∞ 1 0 f. Mais : ∀ n ∈ N, 1 0 fn = 0, donc : 1 0 f = 0. On déduit : f ∈ A. On conclut que A est une partie fermée de E. 2) • Soit f ∈ A. On a : || f − 0||∞ = || f ||∞ | f (0)| = 1, donc : d(0,A) || f − 0||∞ 1. • L’application f : [0 ; 1] −→ R, x −→ 1 − 2x est dans A et : d(0, f ) = || f ||∞ = 1. On conclut : d(0,A) = 1, et cette borne est atteinte, par f ci-dessus et représentée graphiquement ci-après. 1.16 1.17
  35. 35. 25 b) 1) On montre que B est une partie fermée de E par la même méthode qu’en a) 1). 2) • Soit f ∈ B. On a : 1 = 1 0 f 1 0 | f | (1 − 0)|| f ||∞ = || f − 0||∞ , donc : d(0,B) 1. • Considérons, pour tout n ∈ N∗ , l’application gn : [0 ; 1] −→ R définie, pour tout x ∈ [0 ; 1], par : gn(x) =    nan x si 0 x 1 n an si 1 n < x 1 , où an est à calculer pour que 1 0 gn = 1. On a : 1 0 gn = 1 ⇐⇒ an − an 2n = 1 ⇐⇒ an = 2n 2n − 1 . On a alors : ∀ n ∈ N∗ , gn ∈ B et : ||gn − 0||∞ = an = 2n 2n − 1 −→ n ∞ 1 , d’où l’on conclut : d(0,B) 1. • Supposons qu’il existe f ∈ B telle que d(0,B) = || f ||∞. On a : 0 1 0 || f ||∞ − f = || f ||∞ − 1 0 f = 1 − 1 = 0 , donc, puisque || f ||∞ − f est continue et 0, on a : || f ||∞ − f = 0, f = || f ||∞, f est une constante. Mais f (0) = 0, donc f = 0, contradiction avec 1 0 f = 1. Ceci montre que d(0,B) n’est pas atteinte. a) • D’abord, E est bien un R-ev, et N∞,N∞,N∞ sont définies, car, si f ∈ E, alors f, f , f sont continues sur le seg- ment [0 ; 1] , donc sont bornées, d’où l’existence de N∞( f ), N∞( f ), N∞( f ). Nous allons montrer que N∞ est une norme sur E, les preuves pour N∞ et N∞ étant analogues et plus simples. • On a, pour toutes f,g ∈ E : N∞( f + g) =|( f + g)(0)| + |( f + g) (0)| + Sup x∈[0;1] |( f + g) (x)| | f (0)| + |g(0)| + | f (0)| + |g (0)| + Sup x∈[0;1] | f (x)| + |g (x)| | f (0)| + |g(0)| + | f (0)| + |g (0)| + Sup x∈[0;1] | f (x)| + Sup x∈[0;1] |g (x)| = | f (0)| + | f (0)| + Sup x∈[0;1] | f (x)| + |g(0)| + |g (0)| + Sup x∈[0;1] |g (x)| =N∞( f ) + N∞(g). y x y = f(x) 1 1 O − 1 1 2 y 11 x n 1 O a n 1.18
  36. 36. 26 • On a, pour tout α ∈ R et toute f ∈ E : N∞(α f ) = |(α f )(0)| + |(α f ) (0)| + Sup x∈[0;1] |(α f ) (x)| = |α| | f (0)| + |α| | f (0)| + |α| Sup x∈[0;1] | f (x)| = |α|N∞( f ) . • Soit f ∈ E telle que N∞( f ) = 0. On a alors : | f (0)| 0 + | f (0)| 0 + Sup x∈[0;1] | f (x)| 0 = 0, donc f (0) = 0, f (0) = 0, Sup x∈[0;1] | f (x)| = 0. Il en résulte f = 0. Il existe donc (a,b) ∈ R2 tel que : ∀ x ∈ [0; 1], f (x) = ax + b . De plus : f (0) = 0 f (0) = 0 ⇐⇒ a = 0 b = 0 d’où f = 0. On conclut : N∞, N∞, N∞ sont des normes sur E. b) 1) • Soit f ∈ E. Pour tout x ∈ [0 ; 1], d’après l’inégalité des accroissements finis, appliquée à f sur [0 ; x], on a : | f (x) − f (0)| x Sup t∈[0;x] | f (t)| 1 Sup x∈[0;1] | f (t)| , puis : | f (x)| = f (0) + f (x) − f (0) | f (0)| + | f (x) − f (0)| | f (0)| + Sup t∈[0;1] | f (t)| = N∞( f ). Il en résulte : N∞( f ) N∞( f ). • De même : ∀ f ∈ E, N∞( f ) N∞( f ) . 2) Montrons que les normes N∞, N∞, N∞ sont deux à deux non équivalentes : Considérons la suite ( fn)n∈N∗ d’applications de [0 ; 1] dans R définies, pour tout n ∈ N∗ , par : ∀ x ∈ [0 ; 1], fn(x) = sin (πnx) . On a, pour tout n ∈ N∗ , fn ∈ E et, pour tout x ∈ [0 ; 1] : fn(x) = sin (πnx), fn(x) = πn cos (πnx), fn (x) = −π2 n2 sin (πnx) , d’où, pour tout n ∈ N∗ : N∞( fn) = 1, N∞( fn) = πn, N∞( fn) = πn + π2 n2 . Il s’ensuit : N∞( fn) N∞( fn) = πn −−−→ n ∞ + ∞, N∞( fn) N∞( fn) = 1 + πn −−−→ n ∞ + ∞, N∞( fn) N∞( fn) = πn + π2 n2 −−−→ n ∞ + ∞ . Ainsi, les rapports N∞( f ) N∞( f ) , N∞( f ) N∞( f ) , N∞( f ) N∞( f ) ne sont pas bor- nés lorsque f décrit E − {0}, donc les normes N∞, N∞, N∞ sont deux à deux non équivalentes. a) L’application f : E −→ E, x −→ f (x) = x 1 + ||x||2 est continue par opérations sur les applications continues. b) 1) On a : ∀ x ∈ E, || f (x)|| = ||x|| 1 + ||x||2 1 2 , car : ∀ t ∈ R+, t 1 + t2 − 1 2 = −(1 − t)2 2(1 + t2) 0. d’où : f (E) ⊂ B 0 ; 1 2 . 2) Réciproquement, soit y ∈ B 0 ; 1 2 . Cherchons λ ∈ R pour que f (λy) = y. On a : f (λy) = y ⇐⇒ λy 1 + ||λy||2 = y ⇐ ||y||2 λ2 − λ + 1 = 0. Si y = 0, on peut choisir λ = 0. Supposons y =/ 0. L’équation du second degré précédente, d’in- connue λ ∈ R, admet au moins une solution puisque son dis- criminant 1 − 4||y||2 est 0, car ||y|| 1 2 . Ceci montre : B 0 ; 1 2 ⊂ f (E). On conclut : f (E) = B 0 ; 1 2 . Remarque : Le résultat est apparent dans le cas E = R muni de la norme |.| usuelle : y x1 0 On a ici : f (R) = − 1 2 ; 1 2 = B 0 ; 1 2 . 1.19 Représentation graphique de f : x → x 1 + x2
  37. 37. 27 Remarquons d’abord que, pour toute suite réelle bornée x = (xn)n , la suite réelle y = (yn)n définie dans l’énoncé est bornée ; ainsi, ∆ est bien une application de ∞ dans ∞ . • La linéarité de ∆ est immédiate. • Soient x = (xn)n ∈ ∞ , y = (x) = (yn)n . On a : ∀n ∈ N, |yn| = |xn+1 − xn| |xn+1| + |xn| 2||x||∞, donc : || (x)||∞ 2||x||∞. Ceci montre que ∆, qui déjà est linéaire, est continue, et que : |||∆||| 2. • Considérons la suite réelle bornée x = (xn)n définie par : ∀n ∈ N, xn = (−1)n . D’une part : ||x||∞ = 1. D’autre part : ∀n ∈ N, |xn+1 − xn| = 2, donc : ||∆(x)||∞ = 2. On a donc : |||∆||| ||∆(x)||∞ ||x||∞ = 2. Finalement : ∆ ∈ LC ( ∞ ) et |||∆||| = 2 1) L’application f : R2 −→ R, (x,y) −→ x2 (x − 1)(x − 3) + y2 (y2 − 4) est continue et {0} est fermé dans R, donc E = f −1 ({0}) est fermé dans R2 , comme image réciproque d’un fermé par une application continue. 2) Montrons que E est bornée, en utilisant les coordonnées po- laires. Notons, pour (x,y) ∈ R2 : ρ = x2 + y2 . On a, pour tout (x,y) ∈ R2 : (x,y) ∈ E ⇐⇒ x4 − 4x3 + 3x2 + y4 − 4y2 = 0 ⇐⇒ x4 + y4 = 4x3 − 3x2 + 4y2 , d’où, pour tout (x,y) ∈ E : ρ4 = (x2 + y2 )2 = x4 + 2x2 y2 + y4 2(x4 + y4 ) = 2(4x3 − 3x2 + 4y2 ) 2(4ρ3 + 4ρ2 ) = 8ρ3 + 8ρ2 . En supposant ρ 1, on a donc, si (x,y) ∈ E : ρ4 16ρ3 , d’où : ρ 16. Ceci montre : ∀ (x,y) ∈ E, x2 + y2 16, donc E est bornée. Ainsi, E est une partie fermée bornée de R2 , qui est un evn de dimension finie, donc E est compacte. Raisonnons par l’absurde : supposons que (un)n n’ad- mette qu’une seule valeur d’adhérence a, et que (un)n diverge. Puisque un −→/ n ∞ a, il existe ε > 0 tel que : ∀N ∈ N, ∃ n ∈ N, n N et d(un,a) > ε . Ceci permet de construire une extractrice σ telle que : ∀n ∈ N, d(uσ(n),a) > ε. Puisque K est compact, la suite (uσ(n))n, à éléments dans K, admet au moins une valeur d’adhérence b dans K ; il existe donc un extractrice τ telle que uσ(τ(n)) −−−→ n∞ b. Comme : ∀n ∈ N, d(uσ(τ(n)),a) > ε, on obtient, en passant à la limite d(b,a) ε, et nécessairement a =/ b. Ainsi, (un)n admet au moins deux valeurs d’adhérence diffé- rentes, a et b, contradiction. Considérons, pour tout n de N tel que n 2, l’applica- tion fn : [0; 1] −→ R définie par : fn(x) =    1 si 0 x 1 2 −nx + n + 2 2 si 1 2 x 1 2 + 1 n 0 si 1 2 + 1 n x 1. 1.20 1.21 1.22 y xO 1 fn 1 2 1 2 1 n + 1 Il est clair que, pour tout n 2, fn est continue sur [0; 1]. 1) Montrons que ( fn)n 2 est de Cauchy pour || · ||1. Soient p ∈ N − {0,1}, r ∈ N. On a : || fp+r − fp||1 = 1 0 fp+r (x) − fp(x) dx = 1 2 + 1 p 1 2 fp(x) − fp+r (x) dx 1 2 + 1 p 1 2 fp(x) dx = 1 2p . Il en résulte : ∀ε > 0, ∃N ∈ N − {0,1}, ∀p N, ∀r ∈ N, || fp+r − fp||1 ε, et donc ( fn)n 2 est de Cauchy pour || · ||1. 1.23
  38. 38. 28 Fixons temporairement p tel que p N. On a, en faisant tendre l’entier q vers l’infini, d’après a) : d(up,uq ) −→ q∞ f (up) , d’où, par passage à la limite dans une inégalité : f (up) ε . Ceci montre, en particulier : ∀ ε > 0, ∃ N ∈ N, f (uN ) ε , donc : ∀ ε > 0, ∃ a ∈ E, f (a) ε, et donc : Inf a∈E f (a) = 0. 2) On a : ∃ a ∈ E, f (a) = 0 ⇐⇒ ∃ a ∈ E, d(a,un) −−−→ n ∞ 0 ⇐⇒ ∃ a ∈ E, un −−−→ n ∞ a. Ainsi, la borne inférieure en question est atteinte si et seule- ment si la suite (un)n∈N converge. Soit (x1,x2) ∈ (A + B)2 . Il existe (a1,a2) ∈ A2 , (b1; b2) ∈ B2 tels que : x1 = a1 + b1 et x2 = a2 + b2. Puisque A et B sont connexes par arcs, il existe des applica- tions continues γ,δ : [0; 1] −→ E telles que : ∀t ∈ [0; 1], γ(t) ∈ A et δ(t) ∈ B γ(0) = a1, γ(1) = a2, δ(0) = b1, δ(1) = b2. L’application γ + δ : [0; 1] −→ E t−→γ(t)+δ(t) est continue, et on a :    ∀t ∈ [0; 1], (γ + δ)(t) = γ(t) + δ(t) ∈ A + B (γ + δ)(0) = γ(0) + δ(0) = a1 + b1 = x1 et (γ + δ)(1) = x2. On conclut que A + B est connexe par arcs. Remarque On peut aussi montrer que A × B est connexe par arcs, puis remarquer que A + B est l’image de A × B par l’application continue E × E −→ E (x,y)−→x+y , si l’on sait que le produit cartésien de deux parties connexes par arcs est connexe par arcs a) Soit (x,y) ∈ A2 . Puisque A est étoilée (par rapport à a), on a : [a ; x] ⊂ A et [a ; y] ⊂ A . 1.24 1.25 1.26 2) Montrons que ( fn)n 2 ne converge pas dans C([0; 1],R),|| · ||1 . Raisonnons par l’absurde : supposons qu’il existe f : [0; 1] −→ R continue telle que || fn − f ||1 −−−→ n∞ 0. • On a : ∀n 2, || fn − f ||1 1 2 0 fn(x) − f (x) dx = 1 2 0 1 − f (x) dx, d’où : 1 2 0 |1 − f (x)|dx = 0. Puisque x −→ |1 − f (x)| est continue et 0, il en résulte : ∀x ∈ 0; 1 2 , f (x) = 1. • Soit x0 ∈ 1 2 ; 1 . On a, pour tout n 2 tel que n 1 x0 − 1 2 : || fn − f ||1 1 x0 fn(x) − f (x) dx = 1 x0 | f (x)| dx, d’où : 1 x0 | f (x)| dx = 0. Il en résulte : ∀x ∈ [x0; 1], f (x) = 0, ce qui montre : ∀x ∈ 1 2 ; 1 , f (x) = 0. On obtient ainsi : f (x) =    1 si x ∈ 0; 1 2 0 si x ∈ 1 2 ; 1 , et donc f n’est pas continue en 1 2 , contradiction. a) Soit ε > 0. Puisque (un)n∈N est de Cauchy dans (E,||.||), il existe N ∈ N tel que : ∀ p N, ∀ q N, d(up,uq ) ε. On a alors, par l’inégalité triangulaire : ∀ p N, ∀ q N, d(a,up) − d(a,uq ) d(up,uq ) ε . Ceci montre que la suite (d(a,un))n∈N est de Cauchy dans R. Comme R est complet, il en résulte que cette suite (d(a,un))n∈N converge dans R, vers un élément dépendant de a et noté f (a). b) 1) Soit ε > 0. Puisque (un)n∈N est de Cauchy dans (E,||.||), il existe N ∈ N tel que : ∀ p N, ∀ q N, d(up,uq ) ε .
  39. 39. 29 On conclut que A est connexe par arcs. b) L’ensemble D des matrices de Mn(R) diagonalisables dans Mn(R) est étoilé par rapport à 0. En effet, soient X ∈ D et t ∈ [0 ; 1]. Il existe P ∈ GLn(R),D ∈ Dn(R) telles que X = P DP−1 . On a alors : (1 − t)0 + t X = t P DP−1 = P(t D)P−1 . Ceci montre que, si X ∈ D, alors le segment [0 ; X] de Mn(R) est inclus dans D, donc D est étoilé par rapport à 0. D’après a), on conclut que D est connexe par arcs. a) Soit g ∈ F⊥ . Considérons l’application f : [0 ; 1] −→ R, x −→ f (x) = xg(x) . On a f ∈ F, donc : 0 = < f , g > = 1 0 f (x)g(x) dx = 1 0 x g(x) 2 dx . Comme x −→ x g(x) 2 est continue et 0, on déduit : ∀ x ∈ [0 ; 1], x g(x) 2 = 0 , puis : ∀ x ∈ ]0 ; 1], g(x) = 0. Comme g est continue en 0, il en résulte g = 0. On conclut : F⊥ = {0}. b) On a donc : F ⊕ F⊥ = F ⊕ {0} = F. Il est clair que F =/ E, puisque l’application constante égale à 1 est dans E et n’est pas dans F. On conclut : F ⊕ F⊥ =/ E. a) • Existence : Soit (x,y) ∈ R2 . Première méthode : L’application fx,y : t −→ |x + ty| 1 + t + t2 , est continue sur R, car le trinôme réel 1 + t + t2 est de discriminant < 0 , et fx,y(t) −→ t−→±∞ 0. Il existe donc t0 ∈ [0 ; +∞[ tel que : ∀ t ∈ ] − ∞ ; −t0] ∪ [t0 ; +∞[, | fx,y(t)| 1 . Ensuite, f étant continue sur le segment [−t0 ; t0], d’après un théorème du cours, f est bornée sur ce segment. Il existe donc A ∈ R+ tel que : ∀ t ∈ [−t0 ; t0], | fx,y(t)| A. En notant M = Max (1,A) ∈ R+ , on a donc : ∀ t ∈ R, | fx,y(t)| M . Ainsi, fx,y est bornée, donc N(x,y) = Sup t∈R fx,y(t) existe. Deuxième méthode : Soit (x,y) ∈ R2 . On a, pour tout t ∈ R tel que |t| 1 : |x + ty| 1 + t + t2 |x| + |t| |y| 1 + t + t2 |x| + |y| 1 = |x| + |y| , et, pour tout t ∈ R tel que |t| 1 : |x + ty| 1 + t + t2 |x| + |t| |y| 1 + t + t2 (|x| + |y|)|t| t2 = |x| + |y| |t| |x| + |y|. D’où : ∀ t ∈ R, |x + ty| 1 + t + t2 |x| + |y|. Ainsi, l’application t ∈ R −→ |x + ty| 1 + t + t2 , est bornée, donc N(x,y) = Sup t∈R fx,y(t), existe. x y a t = 0 t = 1t = 1 2 1.27 1.28 L’application γ : [0 ; 1] −→ E définie, pour tout t ∈ [0 ; 1], par : γ(t) =    a + (1 − 2t)(x − a) si 0 t 1 2 a + (2t − 1)(y − a) si 1 2 < t 1 est continue sur [0 ; 1], car : γ(t) −→ t −→ < 1 2 a, γ(t) −→ t −→ > 1 2 a, γ 1 2 = a. On a : γ(0) = x et γ(1) = y et, pour tout t ∈ [0 ; 1] : γ(t) =    a + (1 − 2t)(x − a) ∈ [a ; x] ⊂ A si 0 t 1 2 a + (2t − 1)(y − a) ∈ [a ; y] ⊂ A si 1 2 < t 1. Ainsi, γ est un chemin continu joignant x et y dans A.
  40. 40. 30 • On a, pour tous (x,y), (x ,y ) ∈ R2 : N (x,y) + (x ,y ) = N(x + x , y + y ) = Sup t∈R (x + x ) + t(y + y ) 1 + t + t2 Sup t∈R |x + ty| + |x + ty | 1 + t + t2 Sup t∈R |x + ty| 1 + t + t2 + Sup t∈R |x + ty | 1 + t + t2 = N(x,y) + N(x ,y ). • On a, pour tout α ∈ R et tout (x,y) ∈ R2 : N α(x,y) = N(αx,αy) = Sup t∈R |αx + tαy| 1 + t + t2 = |α| Sup t∈R |x + ty| 1 + t + t2 = |α|N(x,y). • On a, pour tout (x,y) ∈ R2 : N(x,y) = 0 ⇐⇒ ∀ t ∈ R, |x + ty| 1 + t + t2 = 0 ⇐⇒ ∀ t ∈ R, x + ty = 0 ⇐⇒ (x,y) = (0,0). On conclut que N est une norme sur R2 . b) Soit (x,y) ∈ R2 . On a : (x,y) ∈ BN (0 ; 1) ⇐⇒ N(x,y) 1 ⇐⇒ Sup t∈R |x + ty| 1 + t + t2 1 ⇐⇒ ∀ t ∈ R, |x + ty| 1 + t + t2 1 ⇐⇒ ∀ t ∈ R, −(1 + t + t2 ) x + ty 1 + t + t2 ⇐⇒ ∀ t ∈ R, t2 + (1 − y)t + (1 − x) 0 ∀ t ∈ R, t2 + (1 + y)t + (1 + x) 0 ⇐⇒ (1 − y)2 − 4(1 − x) 0 (1 + y)2 − 4(1 + x) 0. Ainsi, BN (0 ; 1) est la partie du plan comprise entre les deux paraboles : P : (y − 1)2 = −4(x − 1), Q : (y + 1)2 = 4(x + 1) . b) Les points d’intersection des deux paraboles P et Q ont pour ordonnées − √ 3 et √ 3. L’aire S de BN (0 ; 1) est donnée, par exemple, par l’intégrale double : S = √ 3 − √ 3 1− (1−y)2 4 (1+y)2 4 −1 dx dy = √ 3 − √ 3 1 − (1 − y)2 4 − (1 + y)2 4 + 1 dy = √ 3 − √ 3 3 2 − y2 2 dy = 3 2 y − y3 6 √ 3 − √ 3 =2 3 2 √ 3 − 3 √ 3 6 = 2 √ 3. 1) Soient λ ∈ [0 ; 1], (x,y) ∈ C 2 . Il existe une suite (xn)n∈N dans C telle que xn −−−→ n ∞ x, et il existe une suite (yn)n∈N dans C telle que yn −−−→ n ∞ y. Puisque C est convexe, on a alors : ∀ n ∈ N, λxn + (1 − λ)yn ∈ C . D’autre part, par opérations sur les suites convergentes : λxn + (1 − λ)yn −−−→ n ∞ λx + (1 − λ)y . y x 1 2 3 2 3 1 1 3 O B'N(0 ; 1) 3 1 1.29
  41. 41. 31 On déduit : λx + (1 − λ)y ∈ C , et on conclut que C est convexe. 2) Soient λ ∈ [0 ; 1], (x,y) ∈ (C◦ )2 . Notons z = λx + (1 − λ)y. Nous allons montrer : z ∈ C◦ . Il existe α > 0 tel que B(x ; α) ⊂ C et il existe β > 0 tel que B(y,β) ⊂ C. Notons r = Min (α,β) > 0. On a alors : B(x ;r) ⊂ B(x ; α) ⊂ C et B(y ;r) ⊂ B(y ; β) ⊂ C . • On a : A = A, B = B, donc A + B = A + B = R × R∗ + , d’où, dans cet exemple : A + B =/ A + B . a) • On a, d’après les propriétés ensemblistes de l’ad- hérence, B ⊂ B, donc : A ∩ B ⊂ A ∩ B, puis : A ∩ B ⊂ A ∩ B . • Réciproquement, soit x ∈ A ∩ B . Soit V un voisinage ouvert de x dans E. On a : V ∩ (A ∩ B) =/ ∅ . Il existe donc y ∈ V ∩ (A ∩ B) = (V ∩ A) ∩ B ⊂ B . Comme V et A sont ouverts et contiennent y, V ∩ A est un voisinage ouvert de y, donc : (V ∩ A) ∩ B =/ ∅. Ceci montre que, pour tout voisinage ouvert V de x dans E, on a V ∩ (A ∩ B) =/ ∅. Il en résulte : x ∈ A ∩ B . On a montré : A ∩ B ⊂ A ∩ B. Finalement : A ∩ B = A ∩ B. b) Appliquons l’hypothèse à B = E (A) : A ∩ E (A) ⊂ A ∩ E (A) = ∅ = ∅, d’où : A ⊂ E E (A) = E E (A◦ ) = A◦ , ce qui montre que A est un ouvert de E. c) On peut choisir, dans R usuel : A = ]0 ; 1[ ∪ ]2 ; 4[, B = ]1 ; 3[ . On a alors : A ∩ B = ]2 ; 3[, A ∩ B = ]2 ; 3], A ∩ B = [2 ; 3[, A ∩ B = {1} ∪ [2 ; 3], A ∩ B = [2 ; 3] , qui sont deux à deux distincts. v u w x z y C Soit u ∈ B(z ;r). Notons v = u + (x − z), w = u + (y − z). On a : λv + (1 − λ)w = (u − z) + λx + (1 − λ)y = u. D’autre part : ||v − x|| = ||u − z|| < r et ||w − z|| = ||u − z|| < r , donc : v ∈ B(x,r) ⊂ C et w ∈ B(y,r) ⊂ C. Ceci montre u ∈ C et on obtient : B(z,r) ⊂ C. Ainsi : ∃r > 0, B(z,r) ⊂ C, donc z ∈ C◦ . On conclut que C◦ est convexe. a) Soit x ∈ A + B . Il existe a ∈ A, b ∈ B tels que : x = a + b. Il existe une suite (an)n∈N dans A et une suite (bn)n∈N dans B telles que : an −−−→ n ∞ a et bn −−−→ n ∞ b. On a alors : ∀ n ∈ N, an + bn ∈ A + B, et, par addition de suites convergentes : an + bn −−−→ n ∞ a + b . Il en résulte : x ∈ A + B. Ceci montre : A + B ⊂ A + B. b) Prenons, dans E = R2 usuel : A = (x,y) ∈ (R∗ +)2 ; xy = 1 , B = R × {0} . • On a : A + B = R × R∗ + , donc A + B = R × R+. B A y O x 1.30 1.31
  42. 42. 32 1) Montrons d’abord que N et ν sont des normes sur E. Pour f ∈ E, N( f ) et ν( f ) existent dans R car f et f sont conti- nues sur le segment [0; 1], donc bornées. Les propriétés, pour tous α de R, f,g de E : N(α f ) = |α|N( f ), ν(α f ) = |α|ν( f ) N( f + g) N( f ) + N(g), ν( f + g) ν( f ) + ν(g) sont immédiates. Soit f ∈ E. Si N( f ) = 0, alors Sup x∈[0;1] | f (x)| = 0, donc f = 0. Supposons ν( f ) = 0. Alors f + f = 0, donc il existe λ ∈ R tel que : ∀x ∈ [0; 1], f (x) = λe−x . Comme f (0) = 0, on déduit λ = 0, puis f = 0. Ainsi, N et ν sont des normes sur E. 2) Soit f ∈ E. On a : ∀x ∈ [0; 1], f (x) + f (x) | f (x)| + | f (x)| N( f ), d’où : ν( f ) N( f ). 3) Soit f ∈ E. Considérons l’application g : [0; 1] −→ R x−→ex f (x) , qui est de classe C1 sur [0; 1]. On a, pour tout t de [0 ; 1] : |g (t)| = et f (t) + f (t) eν( f ), puis, pour tout x de [0 ; 1] : |g(x)| = x 0 g (t) dt x 0 |g (t)| dt xeν( f ) eν( f ), d’où : | f (x)| = e−x |g(x)| |g(x)| eν( f ). Et : | f (x)| = f (x) + f (x) − f (x) f (x) + f (x) + | f (x)| (1 + e)ν( f ). D’où : ∀ x ∈ [0 ; 1], | f (x)| + | f (x)| (1 + 2e)ν( f ), donc : N( f ) (1 + 2e)ν( f ). On a montré : ∀ f ∈ E, ν( f ) N( f ) (1 + 2e)ν( f ) , donc N et ν sont des normes équivalentes. Considérons l’application ϕ : E −→ R définie par : ∀ x ∈ E, ϕ(x) = d(x,G) − d(x,F), et les parties U = ϕ−1 (]0 ; +∞[) , V = ϕ−1 (] − ∞; 0[) de E. On sait que, pour toute partie non vide A de E, l’application x −→ d(x,A) est continue (et même : 1-lipschitzienne), donc ϕ est continue. Comme ]0 ; +∞[ et ] − ∞ ; 0[ sont des ouverts de R, il en résulte que U et V sont des ouverts de E. Soit x ∈ F. D’une part, d(x,F) = 0. D’autre part, x /∈ G (car F ∩ G = ∅) et G est fermé, donc d(x,G) > 0. Il en résulte ϕ(x) > 0, c’est-à-dire x ∈ U. Ceci montre : F ⊂ U. De même : G ⊂ V. Enfin, il est clair que U ∩ V = ∅. (i) ⇒ (ii) : Supposons f continue. Soit A ∈ P(E). Soit y ∈ f (A) ; il existe x ∈ A tel que y = f (x). Puisque x ∈ A, il existe une suite (an)n dans A convergeant vers x. Comme f est continue en x, la suite f (an) n converge vers f (x), donc y ∈ f (A), et ainsi : f (A) ⊂ f (A). (ii) ⇒ (iii) : Supposons : ∀ A ∈ P(E), f (A) ⊂ f (A). Soit B ∈ P(F). On a, pour toute partie X de E : X ⊂ f −1 ( f (X)), donc : f −1(B) ⊂ f −1 f f −1(B) . En appliquant l’hypothèse à A = f −1 (B), on obtient d’autre part : A A B [ B [ [ [ [ [ [ [ [ [ 0 1 2 3 4 1 3 A B [[ [ [ [ [ A B A B A B 2 3 2 3 2 3 2 31 2 3 ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ 1.32 1.33 1.34
  43. 43. 33 f f −1(B) ⊂ f f −1(B) ⊂ B, d’où : f −1 f f −1(B) ⊂ f −1 (B), et finalement : f −1(B) ⊂ f −1 (B). (iii) ⇒ (iv) : Supposons : ∀ B ∈ P(F), f −1(B) ⊂ f −1 (B). Soit B ∈ P(F). On a : f −1 ( ◦ B) = f −1 F F (B) = E f −1 F (B) . En appliquant l’hypothèse à F (B), on obtient d’autre part : f −1 F (B) ⊂ f −1 F (B) , d’où : f −1 ( ◦ B) ⊂ E f −1 F (B) = E f −1 F (B) ◦ = f −1 (B) ◦ . (iv) ⇒ (i) : Supposons : ∀ B ∈ P(F), f −1 ( ◦ B) ⊂ f −1 (B) ◦ . Soit U un ouvert de F. On a alors : f −1 (U) = f −1 ( o U ) ⊂ f −1 (U) ◦ , d’où f −1 (U) = f −1 (U) ◦ , c’est-à-dire que f −1 (U) est ouvert. Ceci montre que f est continue. a) • Soit u = (un)n 1 ∈ ∞ . On a : ∀ n 1, un n = |un| n |un| ||u||∞, donc un n n 1 ∈ ∞ , ce qui montre que T est correctement définie. • On a, pour tout α ∈ R et toutes suites u = (un)n 1 , v = (vn)n 1 ∈ ∞ : T(αu + v) = αun + vn n n 1 = α un n n 1 + vn n n 1 = αT(u) + T(v), donc T est linéaire. • On a vu : ∀ u ∈ ∞ , ∀ n 1, un n ||u||∞, donc : ∀ u ∈ ∞ , ||T(u)||∞ ||u||∞. Comme T est déjà linéaire, il en résulte que T est continue, donc T ∈ LC( ∞ ), et que : |||T||| 1. • Pour u = (1)n 1, suite constante égale à 1, on a u ∈ ∞ et : ||T(u)||∞ = Sup n 1 1 n = 1 = ||u||∞, d’où : ||T(u)||∞ ||u||∞ = 1, et donc : |||T||| 1. On conclut : |||T||| = 1. b) • Soit u = (un)n 1 ∈ ∞ . On a : u ∈ Ker (T) ⇐⇒ T(u) = 0 ⇐⇒ ∀ n 1, un n = 0 ⇐⇒ ∀ n 1, un = 0 ⇐⇒ u = 0 . Ceci montre : Ker (T) = {0}, donc T est injective. • On a : Im (T) = v ∈ ∞ ; ∃ u ∈ ∞ , T(u) = v = v = (vn)n 1 ∈ ∞ ; ∃ u = (un)n 1 ∈ ∞ , ∀ n 1, vn = un n = v = (vn)n 1 ∈ ∞ ; vn = O n∞ 1 n = v = (vn)n 1 ∈ RN∗ ; vn = O n∞ 1 n . Ainsi, Im (T) est l’ensemble des suites réelles dont le terme général est un O 1 n , lorsque l’entier n tend vers l’infini. Comme la suite constante égale à 1 est dans ∞ mais n’est pas un O 1 n , donc n’est pas dans Im (T), on conclut que T n’est pas surjective. • L’application φ est linéaire, car, pour tout α ∈ R et tout ( f,g) ∈ E2 : φ(α f + g) = p k=1 λk(α f + g)(ak) = α p k=1 λk f (ak) + p k=1 λk g(ak) = αφ( f ) + φ(g). • On a, pour toute f ∈ E : |φ( f )| = p k=1 λk f (ak) p k=1 |λk| | f (ak)| p k=1 |λk| || f ||∞. 1.35 1.36
  44. 44. 34 En notant M = p k=1 |λk| ∈ R+, on a donc : ∀ f ∈ E, |φ( f )| M || f ||∞ . Ceci montre que φ, qui est déjà linéaire, est continue, donc φ ∈ LC(E,R), et que : |||φ||| M. • Il existe f ∈ E telle que :    ∀ k ∈ {1,. . . ,p}, f (ak) = 1 si λk 0 −1 si λk < 0 ∀ x ∈ [0 ; 1], | f (x)| 1. En effet, en supposant, par exemple, a1 < . . . < ap , il suffit de prendre f valant 1 en les ak tels que λk 0, valant −1 en les ak tels que λk < 0, joignant ak, f (ak) et ak+1, f (ak+1) par un segment, et convenablement complétée entre 0 et a1 (si a1 =/ 0) et entre ap et 1 (si ap =/ 1). Pour chaque n de N, il existe xn ∈ F et yn ∈ K tels que zn = xn + yn. La suite (yn)n, à éléments dans le compact K, admet au moins une valeur d’adhérence y dans K ; il existe donc une extractrice σ telle que yσ(n) −−−→ n∞ y. Comme : ∀ n ∈ N, xσ(n) = zσ(n) − yσ(n), on déduit : xσ(n) −−−→ n∞ z − y, et donc : z − y ∈ F = F. On obtient ainsi : z = (z − y) + y ∈ F + K. 1) Unicité Soient x,y deux points fixes de f : f (x) = x et f (y) = y. Si x =/ y, on obtient, d’après l’hypothèse, d(x,y) < d(x,y), contradiction ; donc x = y. 2) Existence Raisonnons par l’absurde ; supposons : ∀ x ∈ K, f (x) =/ x. Considérons l’application ϕ : K −→ R x−→d(x, f (x)) . Puisque f : K −→ K et d : K × K −→ R sont continues, ϕ est continue. Ainsi, ϕ est continue sur le compact K et à va- leurs > 0 ; il existe donc z ∈ K tel que : ϕ(z) = Inf x∈K ϕ(x). Comme f (z) =/ z, on a, par l’hypothèse : ϕ f (z) = d f 2 (z), f (z) < d f (z),z = ϕ(z), contradiction. (i) ⇒ (ii) : Supposons que l’image réciproque par f de tout compact de R est un compact de R. Soit A ∈ R∗ + . Puisque [−A ; A] est un compact de R, f −1 ([−A ; A]) est un compact de R, donc est bornée. Il existe donc B ∈ R∗ + tel que : f −1 ([−A ; A]) ⊂ [−B ; B] . On obtient, pour tout x ∈ R : |x| > B ⇒ x /∈ [−B ; B] ⇒ x /∈ f −1 ([−A ; A]) ⇒ f (x) /∈ [−A ; A] ⇐⇒ | f (x)| > A . On a montré : ∀ A > 0, ∃ B > 0, ∀ x ∈ R, x < −B ⇒ | f (x)| > A x > B ⇒ | f (x)| > A, et on conclut : lim −∞ | f | = +∞ et lim +∞ | f | = +∞. (ii) ⇒ (iii) : Supposons : lim −∞ | f | = +∞ et lim +∞ | f | = +∞. y x 1 O 1 a1 a2 1 a3 y = f(x) On a alors || f ||∞ = 1 et : φ( f ) = p k=1 λk f (ak) = p k=1 |λk| = M, donc φ( f ) || f ||∞ = M, d’où : |||φ||| M. On conclut : |||φ||| = p k=1 |λk|. Nous allons montrer que F + K est fermée dans E en utilisant une caractérisation séquentielle. Soit (zn)n une suite dans F + K, convergeant vers un élément z de E. 1.37 1.38 1.39 Exemple : p = 3 0 < a1 < a2 < a3 < 1 λ1 0, λ2 0, λ3 < 0.
  45. 45. 35 Soit A ∈ R∗ +. Il existe B ∈ R∗ + tel que : ∀ x < −B, | f (x)| > A , c’est-à-dire : ∀ x ∈ ] − ∞ ; −B[, f (x) < −A ou f (x) > A . S’il existe (x1,x2) ∈ ] − ∞ ; −B[2 tel que f (x1) < −A et f (x2) > A, alors, comme f est continue sur ] − ∞ ; −B[, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existerait x3 ∈] − ∞ ; −b[ tel que f (x3) = 0, contradiction. On a donc : ∀ x < −B, f (x) < −A ou ∀ x < −B, f (x) > A , et on conclut : lim −∞ f = −∞ ou lim −∞ f = +∞. De même : lim +∞ f = −∞ ou lim +∞ f = +∞. (iii) ⇒ (i) : Supposons : lim −∞ f = −∞ ou lim −∞ f = +∞ et : lim +∞ f = −∞ ou lim +∞ f = +∞. Il est clair qu’alors : lim −∞ | f | = +∞ ou lim +∞ | f | = +∞, c’est-à-dire : (iii) ⇒ (ii). Soit K un compact de R. Alors, K est borné, donc il existe A ∈ R∗ + tel que : K ⊂ [−A ; A]. D’après l’hypothèse, il existe B ∈ R∗ + tel que, pour tout x ∈ R : |x| > B ⇒ | f (x)| > A, d’où, par contraposition, pour tout x ∈ R : x ∈ f −1 (K) ⇒ f (x) ∈ K ⇒ | f (x)| A ⇒ |x| B ⇐⇒ x ∈ [−B ; B]. Ceci montre : f −1 (K) ⊂ [−B ; B], donc f −1 (K) est borné. D’autre part, puisque f est continue et que K est fermé (car com- pact), f −1 (K) est fermé. Ainsi, f −1 (K) est un fermé borné de R, donc, d’après le cours, f −1 (K) est un compact de R. Nous allons montrer que F est fermé dans E en utili- sant la caractérisation séquentielle des fermés. Soit ( fn)n∈N une suite dans F, f ∈ E telle que fn −−−→ n ∞ f. Pour chaque n ∈ N, puisque fn ∈ F = x∈K B (x ;r), il existe xn ∈ K tel que fn ∈ B (xn ;r). Puisque K est compact et que (xn)n∈N est à termes dans K, il existe une extractrice σ et x ∈ K tels que : xσ(n) −−−→ n ∞ x. Comme fn −−−→ n ∞ f, par suite extraite : fσ(n) −−−→ n ∞ f. On a, pour tout n ∈ N : d(xσ(n), f ) d(xσ(n), fσ(n)) + d( fσ(n), f ) r + d( fσ(n), f ), d’où, en passant à la limite lorsque l’entier n tend vers l’infini : d(x, f ) r, et donc f ∈ B (x ;r) ⊂ F. On conclut que F est fermé dans E. Puisque (un)n∈N est bornée, il existe M ∈ R+ tel que : ∀ n ∈ N, ||un|| M. 1) Montrons que V n’est pas vide. Puisque la boule fermée B (0 ; M) est une partie fermée bor- née de l’evn E de dimension finie, B (0 ; M) est compacte. La suite (un)n∈N admet donc au moins une valeur d’adhérence, donc V =/ ∅. 2) Montrons que V est bornée. Soit v ∈ V. Il existe une extractrice σ telle que uσ(n) −−−→ n ∞ v. En particulier, il existe N ∈ N tel que : ||uσ(N) − v|| 1. On a donc, par l’inégalité triangulaire : ||v|| ||v − uσ(N)|| + ||uσ(N)|| 1 + M . Ceci montre que V est bornée. 3) Montrons que V est fermée, en montrant que son complé- mentaire dans E est ouvert. Soit x ∈ E (V). Puisque x n’est pas valeur d’adhérence de (un)n∈N, il existe ε > 0 tel que l’ensemble n ∈ N ; un ∈ B(x ; ε) soit fini. Il est clair alors que, pour tout y ∈ B(x ; ε), l’ensemble n ∈ N ; un ∈ B y,ε − d(x,y) , est fini, car cet ensemble est inclus dans le précédent, donc y n’est pas valeur d’adhérence de (un)n∈N, d’où y ∈ E (V). Ceci montre : B(y ; ε) ⊂ E (V), et donc E (V) est ouvert dans E, V est fermé dans E. Ainsi, V est une partie non vide, fermée et bornée de l’evn E de dimension finie, donc V est une partie compacte non vide de E. Raisonnons par l’absurde : supposons qu’il existe une application f : [0 ; 1]2 −→ [0 ; 1] continue bijective. Il est clair qu’il existe alors a,b,c ∈ [0 ; 1]2 tels que, par exemple : f (a) < f (b) < f (c). Il est clair qu’il existe au moins un chemin continu γ joignant a et c, dans [0 ; 1]2 , sans passer par b. C’est-à-dire qu’il existe une application γ : [0 ; 1] −→ [0 ; 1]2 continue telle que : γ(0) = a, γ(1) = c ∀ t ∈ [0 ; 1], γ(t) =/ b. 1.40 1.42 1.41
  46. 46. 36 Par composition, f ◦ γ : [0 ; 1] −→ [0 ; 1] est continue, et [0 ; 1] est connexe par arcs, donc (théorème du cours), ( f ◦ γ)([0 ; 1]) est connexe par arcs. Mais : ( f ◦ γ)(0) = f γ(0) = f (a) ( f ◦ γ)(1) = f γ(1) = f (c), donc : ( f ◦ γ)([0 ; 1]) ⊃ [ f (a) ; f (c)] f (b). Il existe donc u ∈ [0 ; 1] tel que : ( f ◦ γ)(u) = f (b). On a ainsi f γ(u) = f (b) d’où, puisque f est injective, γ(u) = b, contradiction avec b /∈ γ([0 ; 1]). On conclut qu’il n’existe pas d’application continue injective de [0 ; 1]2 dans [0 ; 1]. Nous allons montrer que N est la norme associée à un produit scalaire. Considérons l’application ϕ : E × E −→ R définie, pour tout ( f,g) ∈ E × E, par : ϕ( f,g) = 1 0 f g + 1 2 f (0)g(1) + f (1)g(0) , obtenue à partir de N en « dédoublant » le rôle de f dans N( f ) 2 . • Il est clair que ϕ est symétrique et est linéaire par rapport à la deuxième place. • Soit f ∈ E. On a : ϕ( f, f ) = 1 0 f 2 + f (0) f (1). En utilisant l’inégalité de Cauchy et Schwarz pour des intégrales, on a : f (1) − f (0) 2 = 1 0 f 2 1 0 12 1 0 f 2 = 1 0 f 2 . d’où : ϕ( f, f ) = 1 0 f 2 + f (0) f (1) f (1) − f (0) 2 + f (0) f (1) = f (1) 2 − f (0) f (1) + f (0) 2 = f (1) − f (0) 2 2 + 3 f (0) 2 4 0. En particulier, ceci montre que, pour toute f ∈ E, la racine car- rée proposée dans l’énoncé existe. •Avec les mêmes notations, supposons ϕ( f, f ) = 0. On a alors : f (1) − f (0) 2 2 0 + 3 f (0) 2 4 0 = 0, donc : f (1) − f (0) 2 = 0 et f (0) = 0, d’où : f (0) = 0 et f (1) = 0, puis : 1 0 f 2 = ϕ( f, f ) − f (0) f (1) = 0 − 0 = 0. Comme f 2 est continue et 0, on déduit f 2 = 0, puis f = 0, donc f est constante, puis f = f (0) = 0. Ceci montre que ϕ est un produit scalaire sur E, et Nest la norme associée à ϕ, donc N est une norme sur E. On a, par l’inégalité triangulaire, en intercalant par exemple x ||y|| , entre x ||x|| , et y ||y|| : x ||x|| − y ||y|| x ||x|| − x ||y|| + x ||y|| − y ||y|| = 1 ||x|| − 1 ||y|| ||x|| + 1 ||y|| ||x − y|| = ||y|| − ||x|| ||y|| + 1 ||y|| ||x − y|| ||y − x|| ||y|| + 1 ||y|| ||x − y|| = 2 ||x − y|| ||y|| . Par rôles symétriques, on a aussi : x ||x|| − y ||y|| 2 ||x − y|| ||x|| . On conclut : x ||x|| − y ||y|| 2 ||x − y|| Max (||x||,||y||) . a) Soient x ∈ E et Ω un voisinage ouvert de x dans E. Puisque U = E, on a : Ω ∩ U =/ ∅. Il existe donc au moins un élément y dans Ω ∩ U. Comme Ω ∩ U est ouvert et contient y, Ω ∩ U est un voisinage de y dans E. Puisque V = E, on a alors (Ω ∩ U) ∩ V =/ ∅, c’est- à-dire Ω ∩ (U ∩ V) =/ ∅. Ceci montre que, pour tout voisinage ouvert de x dans E, Ω ∩ (U ∩ V) =/ ∅, donc x ∈ U ∩ V . 1 0 0 1 a b f f(a) c f(b) f(c) γ 1γf ° 1.43 1.44 1.45

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