This is one of the core slides about water in soils and aquifers. It presents Darcy law and its generalisation (Buckingham law) on vadose (unsaturated) case.

1. L’acqua nei suoli e nel sottosuolo
Darcy, Buckingham
(ovvero la seconda legge della dinamica)
Riccardo Rigon
JayStrattonNoller,GreatBasinSoil#2,2009

2. R. Rigon
Obbiettivi:
!2
L’acqua nei suoli e nel sottosuolo
•Introdurre il bilancio di quantità di moto nel caso dei moti nei mezzi porosi
•Introdurre la legge di Darcy , e la legge di Buckingham

3. R. Rigon
L’esperimento di
Darcy
!3
Equazioni ed esperimenti

4. R. Rigon
Q ⇥ (A/l)(h2 h1)
Jv =
Q
A
= K
(h2 h1)
l
(h2 h1)
l
=
dh
dz
Jv = K
dh
dz
!4
Equazioni ed esperimenti

5. R. Rigon
Jv = K
dh
dz
K è detto conducibilità
idraulica
D’altra parte la pressione
alla base della colonna è
p = wg(h z)
Quindi:
h = z +
p
wg
!5
Equazioni ed esperimenti

6. R. Rigon
h = z +
p
wg
Si può osservare che h è il
carico idraulico (l’energia
per unità di volume) di un
volume d’acqua posto ad
altezza z e sottoposto
alla pressione relativa p
!6
Equazioni ed esperimenti

7. R. Rigon
Studi successivi conducibilità idraulica a quello di Darcy hanno mostrato
che la conducibilità idraulica ha, in suoli non omogenei un vettore con
componenti lungo tre direzioni preferenziali
¯K = (Kx , Ky , Kz )
Ed è pertanto un tensore nella direzione di un sistema di assi coordinati
arbitrari (x,y,z)
La conducibilità idraulica
!7
Equazioni ed esperimenti

8. R. Rigon
La conducibilità idraulica
!8
limite inferiore
di validità
limite superiore
(deformazione della matrice)
Equazioni ed esperimenti

9. R. Rigon
La conducibilità idraulica è, in generale, un tensore. Ma qui la
consideriamo per semplicità uno scalare. Questo fattore è un
parametro concentrato che riunisce in se tutti i fattori fisici che
interagiscono con il moto del fluido nel mezzo poroso:
!
- le proprietà meccaniche del fluido
!
- e le caratteristiche geometriche del mezzo
!9
La conducibilità idraulica
Equazioni ed esperimenti

10. R. Rigon
Le proprietà meccaniche del fluido:
!
!
- viscosità cinematica
!
- la densità del fluido
!
- (o la loro combinazione, la viscosità dinamica)
Le caratteristiche geometriche del mezzo
!
- la scala dei grani (la struttura dei pori)
!
- la forma geometrica del fattore dei pori
d [L]
N
µ [L2
T 1
]
[ML 3
]
[M(LT) 1
]
!10
La conducibilità idraulica
Equazioni ed esperimenti

11. R. Rigon
Ricordando che K ha le dimensioni di una velocità, ne consegue, che la
conducibilità idraulica dovrebbe essere composta da una forma monomia ,
combinazione delle grandezze precedenti elevate ad un opportuno esponente:
[Nda b
] = [TL 1
]
Da cui, uguagliando gli esponenti, risulta:
K = N d2 1
k 1
k è detto permeabilità e dipende solo dalla geometria del mezzo
!11
La conducibilità idraulica
Equazioni ed esperimenti

12. R. Rigon
!12!12
Deriving from momentum balance
Navier-Stokes equation (i.e. Newton Law plus Newton hypothesis on fluid flows
Darcy flows
R. Rigon
Fundamentals

13. R. Rigon
!13!13
Deriving from momentum balance
Navier-Stokes equation (i.e. Newton Law plus Newton hypothesis on fluid flows
Darcy flows
R. Rigon
Fundamentals

14. R. Rigon
!14!14
Darcy equations are OK
for saturated flow
They can be obtained from Navier-Stokes Equation
by*:
!
•introducing a resistance term
•assuming creep flow (neglecting kinetic terms)
•integrating over the Darcy scale
*Whitaker, 1966; Bear, 1988; Narsilio et al., 2009
Fundamentals

15. R. Rigon
q
R=2RH
A A
sezione A_A
a
q
Flusso laminare all’interno di un tubo capillare: la legge di Poiseuille
q = v ⇤ =
(2Rh)2
8µ
h a
La conducibilità idraulica
!15
Equazioni ed esperimenti

16. L’acqua nei suoli e nel sottosuolo
Alberto Bellin
16
La legge di Darcy vale per i sistemi
saturi
Vale anche per l’acqua nei mezzi porosi
insaturi (vadosi) ?

17. R. Rigon
!17
Che cosa muove l’acqua nei suoli ?
Il fluido che si muove (e questo vale in generale) deve muoversi per effetto di un
campo di forze termodinamiche generato:
•gradienti di forze esterne (la gravità)
•gradienti di temperatura
•gradienti di pressione
•gradienti di potenziale chimico (tra questi le forze osmotiche e le forze
capillari)
•etc.
Queste forze, nel caso dei fluidi nei mezzi porosi, agiscono a livello dei pori.
La legge di Darcy è una rappresentazione “statistica” di queste forze alla scala di
Darcy ;-)

18. R. Rigon
!18
Come si rappresenta l’energia nei mezzi porosi
AfterLuandGodt,2012-Chapter3

19. R. Rigon
!19
Tre modi per rappresentare l’energia
(per unità di peso di acqua nei pori)
• carico idraulico o energia per unità di peso d’acqua
• pressione o energia per unità di volume d’acqua
• potenziale chimico o energia per mole
AfterLuandGodt,2012-Chapter3

20. R. Rigon
osmosi < 0suzione < 0:
è una tensione !
gravità
Carico idraulico
!20
Consideriamo l’energia
come carico idraulico

21. R. Rigon
!21
Consideriamo l’energia
come carico idraulico

22. R. Rigon
carico
atmosferico
!22
Consideriamo l’energia
come carico idraulico
Spesso si considera la suzione relativa alla pressione atmosferica

23. R. Rigon
Legge di Darcy-Buckingham
Flusso volumetrico
attraverso il
contorno del volume
infinitesimo
Conducibilità idraulica x
gradiente del carico
Buckingham,1907,Richards,1931
!23
~Jv = K(✓w)~r h
Equazioni ed esperimenti
che generalizza Darcy per i suoli insaturi