1. - ZLATNI PRESEK –
( Metodika nastave matematike 2 )
Simić Snežana ml02/282
Beograd, 2007
Od kakvog estetskog interesa može biti ponovno razmatranje problema zlatnog
preseka? Svakako ne od istog kao za estetske alhemičare iz ranijih vremena koji su,
poput Luke Paćolija, tražili univerzalnu matematičku formulu lepote i koji su je upravo
nalazili u zlatnom preseku. Pitanje koje može da bude interesantno za nas jeste: zašto
podela jedne linije na dva dela, tako da se manji deo odnosi prema većem kao veći
prema celini, pokazuje više sklada od ostalih podela? Zašto brojne geometrijske figure
koje proizilaze iz zlatnog preseka, kao što su pentagon, dekagon, dodekaedar,
ikosaedar, izvesne spirale,itd., eksploatisane često u arhitekturi i dekorativnim
umetnostima, pružaju više satisfakcije od ostalih? Pitanje je utoliko interesantnije što
se već odavno zna da je princip zlatnog preseka duboko ukorenjen u osnovi prirodnih
1

2. procesa, da se pojavljuje u mnogim oblicima organske prirode, kako biljnog tako i
životinjskog sveta, i da se pokazuje kao princip organskog rasta.
Ovaj naziv-zlatni presek će Euklid nazvati podelom u srednjoj i krajnjoj
razmeri ili nepekidnom podelom.
U knjizi sa naslovom De divina proportione (O bozanstvenoj proporciji) , renesansnog
matematičara Luke Paćolija (fra Luka Paćoli, oko 1445-1517), ova podela dobiće
naziv bozanstvena proporcija. U Klavijusovom(Cristoh Klau, 1537-1612) izdanju
Euklidovih Elemenata na latinskom jeziku iz 1574.godine, ova „proporcija“ bice
nazvana proporcionalnom podelom.Kao i Luka Paćoli pre njega, Kepler (Johannes
Kepler,1571-1630) ce je nazivati bozanstvenom proporcijom ali i neprekidnom
proporcijom. Naziv zlatni presek koji je danas najčešće u upotrebi, ova podela dobila
je kasnije. On je uveden prvi put tek u prvoj polovini devetnestog veka, u drugom
izdanju udžbenika sa naslovom Die reine Elementar-Mathematik ( Čista elementarna
matematika ) izdatom 1835. godine , profesora na Berlinskom univerzitetu Martina
Oma.
Evo kako Euklid u jedanaestom stavu knjige Elemenata uvodi zlatni presek, gde
konstruiše tačku koja zadatu duž razlaže na dve, takve da se veća prema manjoj odnosi
kao cela duž prema većoj ( on ovde za oznake koristi grčka slova alfabeta ):
11.Stav: Neka je AB data duž. Treba AB podeliti tako da pravougaonik obuhvaćen
celom duži i jednim odsečkom bude jednak kvadratu na drugom otsečku.
2

3. Nacrta se kvadrat AB∆Γ na AB [I.46], i prepolovi se AΓ tačkom E, povuče se
EB, produži ΓA do Z, i odmeri se EZ jednako BE; nacrta se kvadrat ZΘ na AZ, i
produži se HΘ do K. Tvrdim da je AB podeljeno tačkom Θ tako da je pravougaonik
obuhvaćen dužima AB i BΘ jednak kvadratu na AΘ .
Kako je duž AΓ preolovljena tačkom E, a prava AZ njeno produženje, pravouganik
obuhvaćen dužima ΓZ i ZA zajedno sa kvadratom na AE jednak je kvadratu na EZ
[II.6]. Ali EZ je jednako EB, zbog toga je pravougaonik obuhvaćen dužima ΓZ i ZA
zajedno sa kvadratom na AE jednak kvadratu na EB. No kvadrat na EB jednak je
kvadratima na BA i na AE, jer je ugao kod tačke A prav [I.47]. Na taj način
pravougoanik od ΓZ i ZA zajedno sa kvadratom na AE jednak je kvadratima na BA i
na AE. Ako se oduzme zajednički kvadrat na AE, onda je pravougaonik od ΓZ i ZA
jednak kvadratu na AB. Kako je pravougaonik obuhvaćen dužima ΓZ i ZA
pravougaonik ZK, jer je AZ jednako ZH, a kvadrat na AB je A∆, biće pravougaonik
ZK jednak kvadratu A∆ . Ako se odužme zajednički pravougaonik AK, ostatak ZΘ
biće jednak pravougaoniku Θ∆. Kako je Θ∆ pravougaonik obuhvaćen dužima AB i
BΘ, jer je duž AB jednaka duži B∆, a ZΘ je kvadrat na AΘ, biće pravougaonik
obuhvaćen dužima AB i BΘ jednak kvadratu na AΘ.
Na ovaj način je data duž AB tako podeljena tačkom Θ da je pravougaonik obuhvaćen
dužima AB i BΘ jednak kvadratu na ΘA . A to je trebalo izvesti. “
Fibonačijev niz i broj Phi
Racionalni prikaz broja PHI
Broj Phi možemo prikazati racionalnim brojem u obliku m/n.
3

4. Ovakvi razlomci se zovu konvergentni razlomci. Brojevi m i n su brojevi iz
Fibonaccijevog
niza, ako bi se niz nastavio dobili bi :
Prikaz broja Phi sa Fibonaccijevim brojevima kao koeficijentima
Poznato je da je:
Isto tako i iz temeljnog identiteta broja Phi znamo da je :
Treba uočiti da je prvom izrazu slobodan koeficijent nula a i koeficijent 1 jedan od
Fibonaccijevih brojeva! Ista stvar je i u prethodnom izrazu, brojevi 1 i 1 su takođe
brojevi Fibonaccijevog niza i to 1. i 2. broj niza. Sledimo li dalje istu pravilnost
uviđamo:
Izraz za četvrtu, petu bi izgledao;
Ako bi smo sada ovu pravilnost prikazali opštom formulom ona bi izgledala ovako:
Dokaz menjanja koeficijenata preveo bi se na sledeći način:
Uzmimo da su a i b dva koeficijenta, neka dva uzastopna broja Fibonačcijevog niza.
4

5. Prvi sledeći bi mogli zapisati kao
Uzmimo u obzir da je Phi2 = Phi + 1 i tako ga zapišimo
Pomnožimo
Iz prva dva člana izvučemo broj Phi
U izrazu a+b može zameniti sa sledećim brojem niza i time potvrditi opštu formulu.
Phi likovi i krivulje
Na sledećoj slici je prikazan jednakostraničan trougao konstrukcijom geometrijskog
lika unutar lika u nekim merama često daje broj Phi kojemu je opisana kružnica.
Mera |AB| i |BC| je jednak Phi. Ovaj model je prvi konstruirao George Odom 1983
godine te iste te godine objavljen u Američkom časopisu ''American Mathematics
Monthly''.
5

6. Na crtežu je prikazana kružnica i kvadrat. Ako kroz središte kružnice povučemo
dužinu te na njoj konstruišemo takav kvadrat da mu dva vrha dodiruju kružnicu a
druga dva se nalaze na dužini tada je mera između |AB| i |BC| jednak Phi.
Na crtežu je prikazan pravilni petougao, njemu opisana kružnica i njegove tri
dijagonale. Jedna dijagonala seče treću u razmeri AB| : |BC| = Phi.
Dijagonale petougla se seku u meri zlatnog reza, tj. broja PHI!
Još jedna mera pronađena je između tri koncentrične kružnice sa radijusima r=1,2,4 i
tangentom na najmanju kružnicu radijusa r=1.
Konstruišemo dve koncentrične kružnice s radijusima r = 1,2. Postupak ponovimo te
ih dovedemo u poziciju da se seku. Dužine |AC| i |AB| su u zlatnom rezu.
Petougao sa stranicom Ph
6

7. “Tri puta prepletni trougao, petougao“ –
zvezdoliki petougao čije ivice su dijagonale pravilnog konveksnog petougla.
Pitagorejci su koristili kao simbol bratstva po kojem su se poznavali i koji su nazivali
Zdravljem.Shodno njihovim uverenjima, oni su zdravlje, harmoniju tela,, doveli u
vezu, možda čak i poistovetili, sa harmonijom matematičke podele u krajnjoj i srednjoj
razmeri.
Fibonaccijevi brojevi i izvod temeljnog svojstva broja Phi
Iznos božanske proporcije, Phi može se dobiti iz Fibonaccijevih brojeva. Posmotrite
tablicu:
U prvom redu napisani su prvih jedanaest brojeva iz Fibonaccijevog niza i od
jedanestog prema prvom. U drugom redu napisan je broj dobijen deljenjem dva broja
iz reda naviše. Što se dalje slede brojevi iz Fibonačijevog niza te dele sve tačnije i
tačnije (u više decimala) daju iznos proporcije.Ako bi to prikazali grafički dobili bi
sledeću sliku
7

8. Kada bi podelili četrdeseti i trideset i deveti član Fibonaccijevog niza dobili bi iznos
broja Phi tačan u 15 decimala.
Posmotrimo osnovni identitet za dobijanje sledećeg člana Fibonacciejvog niza.
Ukoliko celi izraz podelimo sa Fn+1 dobijamo sledeće
8

9. Kako sada znamo da je mera n+1 i n-tog člana Fibonačijevog niza tačno Phi onda
je mera n-tog i n+1 člana Fibonaccijevog niza 1/Phi.
I to je način na koji je dobijeno to poznato svojstvo broja Phi.
Pojednostavljenje Binetove formule
Formulu za dobijanje n-tog Fibonačijevog niza možemo iskazati i preko broja Phi i to
na sledeći način:
Npr.
Značaj i upotreba broja Phi i Fibonačijevog niza
Phi je sveprisutan u matematici i drugim prirodnim znanostima. Da je Phi
prisutan i u svemiru svedoči svima nama poznati Saturnov prsten koji je podijeljen u
meri zlatnog reza.
U svemiru je pronađen izvor energije koji ima frekvencije u iznosu broja Phi.
Udaljenosti između deset planeta i velikih asteroida teže broju Phi.
9

10. Merkuru je potrebno vreme od približno Phi-3 godina da obiđe Sunce dok je Jupiteru
potrebno približno Phi5 godina da obiđe Sunce ili Veneri, Phi7god.
Posmotrite sledeće slike
Iz prethodne slike sledi da je udaljenost od Sunca do zemlje Phi uz uslov da je
udaljenost od Sunca do Venere jednaka jedan.
Vreme u kvantnoj fizici je povezano s PHI. Elektroni imaju masu, okreću se
određenom brzinom, imaju naboj. Phi se pojavljuje u gfaktoru elektrona koji nastaje
zbog poremećaja, rastezanja prostorno-vremenskog kontinuuma zbog okretanja
elektrona pri brzini svetlosti.
Moderna fizika još nije pronašla pravi razlog postojanja gfaktora!
Svemir je sastavljen od beskonačnog broja raznih valova. Od onih mikroskopskih
veličina do onih makroskopskih veličina. Svi su oni fazno povezane u beskonačno
mogućnosti. Zvuk, boja, miris itd. Institut za istraživanje niskih frekvencija zemlje
(ELFRAD) je pronašao iznimno nisku frekvenciju od 1.618 Hz. Signali su se
pojavljivali bez ikakve povezanosti sa bilo kojim izvorom, nisu povezani sa nikakvom
anomalijom ili pravilnošću. Isto to vredi za amplitudu, intenzitet i vreme pojavljivanja
signala.
2001 NASA je počela prikupljati podatke za izradu modela svemira. Godine 2003
skupio se tim znanstvenika, fizičara i matematičara koji su na temelju prikupljenih
podataka trebali dati konačni pojednostavljeni model svemira. Ekstrapolirani model je
ispao dodekaedar. Telo koje se sastoji od dvanaest pravilnih petouglova, a u svakom se
vrhu sastaju tri ruba i tri stranice.
10

11. Božanska proporcija
Već u dalekoj prošlosti ljudi su primetili kako im je najugodnije za oko kada
gledaju dve dužine, kvadrata, pravougaonika ili sl. u vidu zlatnog reza tj. Phi. Phi je
oduvek postojao kao i matematika, međutim ne zna se kada je PHI tačno otkriven i
prvi put primenjen. Egipćani su primenjivali mere bliske zlatnom rezu, no nigde nije
ostao zabeležen u matematičkom ili ikakvom drugom obliku pa se stoga i pretpostavlja
da ga nisu ni znali.
Grčki kralj i matematičar Phidias oko 500 godina pre Krista bavio se proučavanjem
broja Phi koji je kasnije i primenio na dizajnu skulptura za Parthenon. Plato je
predstavljao Phi kao ključ, temeljnu vezu u fizici svemira.
Piramide, Parthenon, crkva Notre Dame, Fibonaccijevi brojevi, Da Vincijeva slika -
Poslednja večera i sl. sadrže dužine koje se nalaze u meru bliskom zlatnom rezu.
Oko 300 godine pre Krista Euklid iz Aleksandrije
je pisao svoje knjige nazvane "Elemenata", u
kojima, kao učenik Platonove škole govori o
pitanjima geometrije i proporcija i precizno
govori o podeli dane dužine tako da se manji deo
(minor) odnosi prema većem (major) kao ovaj
prema broju manjeg i većeg (tj. celini). Stoleće
pre Krista sva znanja starih Grka objedinio je
rimski arhitekt MarcusVitruvius Polio u svom kapitalnom delu "De architectura libri
decem", posvećenom imperatoru Augustu. Pisao je o simetriji hramova te njihove
proporcije uspoređuje sa razmerima čovječjeg tijela. Vitruvije je ucrtao ljudsko telo u
kružnicu što je mnogo stoleća kasnije ponovo interpretirao Leonardo Da Vinci.
Kepler, fizičar poznat po čuvenim Keplerovim zakonima rekao je:
''Geometrija ima dva velika blaga, prvo Pitagorin
trougao, drugo zlatni rez. Prvo možemo usporediti sa
zlatom ali drugo je dragocen biser.''
Phi se pojavljuje svugdje kroz nama poznati svemir. Neki ga nazivaju
''Božanska proporcija'' jer smatraju daje oznaka Boga. Ime ''Phi'' dobiva tek u početku
prošlog stoleća, postoji više teorija zašto Phi. Možda zbog PHIdias-a ili Fibonačija, jer
je Phi ekvivalent za prvo slovo njegovog imena, takođe PHI je dvadeset i prvo slovo u
Grčkoj abecedi, a broj dvadeset i jedan je Fibonaccijev broj. Phi je praktično svugde
oko nas, celi naš svet je temeljen na njemu, pa i naše kreditne kartice. Poznati arhitekt
11

12. La Corbusier pokušava standardizirati proporcije, to je i napravio preko Modulor-a
koji je trebao predstavljati harmonične odnose prema ljudskoj meri, koji su
univerzalno primjenljivi u arhitekturi i umetnosti. Modulor je smešten na moneti
od10CHF.
Kuće Lepenskog vira i egipatske piramide građene po istovetnoj konstrukciji.
Pomerio granicu svesnog poznavanja zlatnog preseka za oko 3.300
godina u prošlost
Dvadesetsedmogodišnji Beograđanin Peđa Milosavljević je dizajner koji je "svratio" u
svet geometrije i fizike i doveo u pitanje konstante ovih nauka koje su hiljadama
godina bile svetinja.
Sa dvadeset godina, na prvoj godini studija Fakulteta primenjenih umetnosti uspeo je
da uprosti Euklidovu konstrukciju zlatnog preseka koja se koristila oko dve i po hiljade
godina, a samo tri godine kasnije usavršio je svoju prethodnu postavku, koja će, kako
tvrdi, pomeriti granice naučnog saznanja.
Zlatni presek zasnovan je na tome, da je odnos manjeg dela geometrijske duži prema
većem delu, isti kao i odnos većeg dela prema celini. Sve stvari u prirodi u svojoj
osnovi sadrže zlatni presek, kao vid savršene prirodne podele, simetrije i ravnoteže.
Anatomija čoveka je u potpunosti podređena zakonima zlatnog preseka i odnosima
bliskih njemu.
Na primer, zlatni presek kod čoveka određuje se u srazmeri, tako da je razdaljina
između vrha temena i vrhova prstiju na opruženoj ruci ista kao između stopala i pupka.
Ovaj najsavršeniji način deljenja upotrebljavali su stari Grci u vajarstvu, slikarstvu,
arhitekturi, estetici uopšte kao i nauci. Tokom vremena, a na osnovu iskustva, utvrđen
je, kao jedan od osnovnih zakona prirode.
Još su filozofi predsokratovci tumačili tajnu harmonije zlatnog preseka, ali su je
objašnjavali na svoj način. Kasnije, svoje viđenje zlatnog preseka dao je i Euklid i na
osnovu njegove postavke vršena su kasnija tumačenja. Tajnu za koju se smatralo da je
izgubljena "pronašao" je Milosavljević. Njegova istraživanja, kako dokazuje, pomerila
su granicu svesnog poznavanja zlatnog preseka za oko 3300. godina u prošlost,
12

13. smestivši je u kulturne tekovine naroda balkanskog Podunavlja, a ne, kako se do sada
smatralo, u epohu antičke grčke.
- Rekonstruisao sam kuće Lepenskog vira koje su stare preko sedam hiljada i osamsto
godina, kao i slova vinčanske azbuke mlađa za skoro hiljadu i po godina. Slova
vinčanske kulture ustanovio je arheolog Miloje M. Vasić prilikom prvih istraživanja
praistorijske Vinče, a koje je objavio 1912. godine - priča Milosavljević.
Veliko iznenađenje predstavlja novootkrivena veza između geometrije kuća
Lepenskog vira i estetike vinčanskog pisma. Vinčansko pismo i oblici kuća zasnovane
su na istovetnoj geometrijskoj metodi, na šta je ranije ukazivao i Radivoje Pešić
(profesor na Milanskom univerzitetu).
Poznavanje zlatnog preseka vezivano je za antičko doba, ali je još egipatska kultura
poznavala tajnu zlatnog preseka, pa savremena shvatanja teoretičara o tome da su
egipatske piramide građene bez svesne upotrebe zlatnog preseka padaju u vodu, tvrdi
Milosavljević i napominje da Egipćani, ne samo da su znali za zlatni presek već su i
piramide zasnovane na potpuno istovetnoj osnovi zlatnog preseka koja je otkrivena i u
kulturi Lepenskog vira, a koja je starija od egipatske za preko tri, a od grčke za oko pet
hiljada godina. Po njemu, kuće Lepenskog vira i egipatske piramide u osnovi imaju
istu konstrukciju.
Najzanimljiviji deo Milosavljevićevog istraživanja jeste otkriće veze između kulture
Lepenskog vira (5800. g. pre n. e.), Vinče (4300. g. p. n. e.) i srednjovekovne srpske
kulture, uprkos tome što dosadašnja istorijska saznanja ne uviđaju nikakvu vezu
između stanovnika koji su preko 70 vekova naseljavali područje današnje Srbije.
Neobjašnjivo je i to da razne civilizacije, koje su smatrane naprednijim ( Grčka, Rim,
Vizantija Otomanska i Austro-ugarska imperija), a koje su se smenjivale na ovim
područjima nisu preuzele lepensko i vinčansko tumačenje zlatnog preseka.
Naime, Milosavljević je u zadužbinama srpskih srednjevekovnih loza Nemanjića,
Hrebeljanovića, Lazarevića i Brankovića otkrio da je korišćen isti geometrijski princip,
koji je upotrebljavan sedam hiljada godina ranije na prostoru Balkanskog poluostrva.
Manastiri Studenica, Manasija, smederevska tvrđava, kuće iz Lepenskog vira i slova
vinčanskog pisma na prvi pogled nemaju ništa zajedničko. Ono što ih povezuje je
primena istog geometrijskog principa - zlatnog preseka. Tu razliku ili sličnost, verovali
ili ne, otkrio je Milosavljević.
Upotreba zlatnog preseka
Najčešći ugao izmedju susednih listova na biljci je 137.5 stepeni. To je zlatni ugao
(360-360/G=137.5, gde je G zlatni presek tj proporcija tj 1.6180339887).
13

14. Iracionalni brojevi mogu biti izraženi kao niz razlomaka - beskonačna serija
opadajućih vrednosti (koji se u beskonačnosti približavaju celom broju, tj
konvergiraju). Od svih iracionalnih brojeva, zlatni presek najsporije konvergira.
Upravo zato su uglovi listova na biljci odredjeni ovim odnosom: biljka mora listove
tako da poredja da najveci moguci broj stane u 360 stepeni bez da baci senku na onaj
list ispod (da bi maksimizirala izlozenost suncu). Najbolji nacin za ovo je da biljka
"koristi" ugao tj broj kome ce najduze vreme biti potrebno da konverguje!
Slicno se nalazi i u porastu kvazikristala koji imaju petostruku simetriju (čine
geometrijsku sliku koja je slična ako se rotira za 1/5 od 360 stepeni). Mikroskopom je
otkriveno da na ravnima ovih kristala postoje "stepenici" koji dolaze u 2 velicine.
Jos Pitagorejci izgleda da su znali za odnos izmedju zlatnog preseka i petostruke
simetrije. Simbol njihovog kulta je bio zvezda petokraka, a odnos duze stranice prema
osnovi svakog trouglastog dela u ovoj zvezdi predstavlja zlatni presek.
Jedno od čudnijih mesta gde je "iskrsnuo" zlatni presek su crne rupe. Crne rupe, kao i
sva samogravitirajuća tela, imaju negativnu specifičnu toplotu (zagrevaju se kad gube
toplotu). Gubitak toplote smanjuje unutrašnji pritisak gasa u unutrašnjosti tela što
omogućava gravitaciji da ga stisne u manu zapreminu, što onda taj gas zagreva. Kod
crnih rupa još postoji i centrifugalna sila koja sprečava bilo kakvo skupljanje crne
rupe. Ova sila zavisi od brzine rotacije crne rupe. Postoji jedna kritična brzina rotacije,
pri kojoj se crna rupa "presaltuje" iz negativne u pozitivnu toplotu (tj hladi se).Šta
određuje kritičnu brzinu? Masa crne rupe i zlatni presek. A zasto je to tako? Odgovor
je dao Šekspir: "Ima stvari pod ovim nebom..."
Cajzing potvrđuje ove činjenice: pupak deli ljudsko telo po principu zlatnog
preseka, i članci prstiju stoje međusobno u istom odnosu. Često citirani Fehnerovi
eksperimenti sa pravougaonicima različitih proporcija pokazali su da je najveći broj
ispitanika našao da je najlepši upravo onaj pravougaonik čije proporcije stoje u odnosu
zlatnog preseka. Kao matematički problem, zlatni presek privlačio je još Pitagoru.
Kepler će ga nazvati jednim od dva bisera geometrije. ( Drugi je bio Pitagorina
teorema. ) Kao i mnogi njegovi prethodnici, Kepler je u zlatnom preseku video ključ
kosmičke harmonije. Nije stoga čudno što zlatni presek nalazimo u proporcijama
Keopsove piramide, ili kasnije, na fasadi Partenona. Ako zlatni presek s lakoćom
vezujemo za plastičke umetnosti, njegovo prisustvo u takozvanim umetnostima
vremena, kao što je muzika, može da izazove izvesne nedoumice. Međutim, numerička
transpozicija muzike, dozvoljava takođe primenu proporcija, naročito na nivou
intervala, zasnovanih na zlatnom preseku.
Zapravo, najzanimljivije kod zlatnog preseka je to što, za razliku od proste simetrije,
nudi ideju kretanja. Podelimo li jednu duž na pola, dobijamo dva jednaka segmenta,
odnos 1:1, ili simetriju kao statički oblik ritma. Podelimo li duž po principu zlatnog
preseka, dobićemo dva nejednaka segmenta koji omogućavaju uspostavljanje
progresije, poznate pod nazivom Fibonačijev niz ( 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 ... ),
kao kontinualne proporcije gde treći segment uvek predstavlja zbir prva dva. Ova
kontinualnost dozvoljava praktično beskrajan pokret u oba pravca, što nas goni da
mislimo na najnovije rezultate fraktalne geometrije. Time se i objašnjava princip
organskog rasta: moguć je rast bezbroj segmenata koji su jedan prema drugom u
pomenutom odnosu, a da se osnovni princip i integritet bića ne naruši. I upravo je ovaj
14

15. dinamički aspekt taj koji nas interesuje. Zlatni presek pokazuje se kao princip
dinamičke simetrije. Jer nisu više segmenti ti koji se ponavljaju i umnožavaju, kao kod
translatorne simetrije, već su to odnosi među segmentima.
Dosta životinja se nalazi u meri zlatnog reza i to na više mesta! Neke od takvih
životinja su leptiri, puževi, delfini, ribe, ptice …
Nisu samo životinje u zlatnom rezu, već i ljudi!
Udaljenost od ramena do poda i pupka do poda te od ramena do vrška šake i od lakta do
šake je zlatni rez. Zlatni presek se ne nalazi samo na ovim mestima, već duž ljudskog tela.
15

16. Literatura :
EUKLID, Elementi, Naučna knjiga, Beograd, 1957.
FIBONAČIJV NIZ I BROJ PHI, Milan Milanović, org/math/srpski/andrej/Phi.pdf.
OGLEDI IZ ISTORIJE ANTIČKE GEOMETRIJE, Z. Lučić.
M. Ghuka, LE NOMBRE D’OR, Gallimard , Yaris 1939
Adolph Zeysing, AESTETICHE FORSCHUNGEN, 1885
Johannes Kepler, MYSTERIUM COSMEGRAFICUM DE ADMIRABLI
PROPOTIONE ARBIUM CAELESTIUM, Tubingen 1596
16