1. BERNOULLI 5 EJEMPLOS
1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál
es la probabilidad de sacar la carta 9?
° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.
P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 =
0.111
° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.
P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888
2) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para
así poder darles un premio, pero la maestra los
seleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es la
probabilidad de que salga el alumno numero 16?
° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16.
P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 =
0.0625
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero
16.
P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 =
0.9375

2. 3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil,
al momento de sacar alguno de ellos ¿que probabilidad hay
para que pueda salir premiado el boleto número 342?
° La probabilidad de que saque el boleto número 342.
P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 =
1/342 = 0.00292
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero
342.
P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 =
341/342 = 0.99707
4) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga
cruz".
Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles:
el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso
(q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.
La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen
en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles:
0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).
Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que
cumple todos los requisitos.
° La probabilidad de obtener cruz.
P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5
° La probabilidad de no obtener cruz.
P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5

3. EJEMPLOS DE BINOMIAL
Ejemplo 1

5. EJEMPLOS DE POISSON
• Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el
3% de los alumnos de contabilidad son
muy inteligentes ¿ Calcular la probabilidad
de que si tomamos 100 alumnos al azar 5
de ellos sean muy inteligentes
• n= 100
• P=0.03
• =100*0.03=3
• x=5

6. • Ejemplo2.- La producción de televisores
en Samsung trae asociada una
probabilidad de defecto del 2%, si se toma
un lote o muestra de 85 televisores,
obtener la probabilidad que existan 4
televisores con defectos.
• n=85
• P=0.02
• P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746
• X=4
• =1.7
• Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos 15
de ellos hablan ruso calcular la
probabilidad de que si tomamos 20 al azar
3 de ellos hablan ruso
• n=20
• P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418
• X=3
• =3

7. • Ejemplo4.- El 8% de los registros
contables de una empresa presentan algún
problema, si un auditor toma una muestra
de 40 registros ¿Calcular probabilidad de
que existan 5 registros
con problemas?
• n=40
• P=0.08 P(X=5)(e^3.2)
(3.2^5)/5!=0.1139793
• =3.2
• X=5
EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL
1.- Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar
de 14.0
µ = 80
σ = 14 z
a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0
p (75 ≤ x ≤ 90) 75 80 90
μ
Probabilidad
acumulada.
0.7611
0.3594

8. z =
z =
p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017
b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor.
p(x ≤ 75)
Probabilidad
acumulada.
0.3594
z
p(x ≤ 75) = 0.3594 75 80
μ
c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0
p (55 ≤ x ≤ 70)
Probabilidad
acumulada.
0.2389
z =
0.0367
z = 55 70 80
μ
p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022
2.-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en
Down River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de

9. $70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió
una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:
µ= $70,00
σ =$20,0 z
a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior?
p(x ≥ 80,000)
Probabilidad
acumulada.
0.6915
z = 70000 80000
μ
p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085
b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000?
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000)
Probabilidad
acumulada.
0.6915
z = 65000 70000 80000
0.4013 μ
z =
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902
c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior.
p(x ≥ 65,000)
Probabilidad
acumulada.
0.4013

10. z = 65000 70000
μ
p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987
3.-Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de
250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de
24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de
Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que
la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York
tiene una distribución de probabilidad normal y la desviación
estándar es de 7.5 minutos.
µ = 38.3 min.
σ = 7.5 min. z
a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen
menos de 30 minutos?
p( x ≤ 30)
Probabilidad
acumulada.
0.1335
z =
p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% 30 38.3
μ
b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos?

11. p(30 ≤ x ≤ 35)
Probabilidad
acumulada.
0.3300
z =
0.1335
z =
30 35 38.3
μ
p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 –
0.1335 = µ = 1,200 0.1965 =
19.65% σ = 225 z
Probabilidad
acumulada.
5% = .0500
c) ¿Qué porcentaje de
viajes consumen entre 30 y 40 minutos?
p(30 ≤ x ≤ 40)
Probabilidad
acumulada.
0.5910
z =
0.1335
z =
30 38.3
μ
p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 0.1335 = 0.4575 = 45.75%
4.- Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond,
Virginia, tiene una distribución normal, con una media de $1,200 y
una desviación estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecer
niveles de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de
que se agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles
de inventario?

12. 1 - 0.0500 = 0.9500
Valor z = 1.65
5% ó 0.0500
1.65
z
X=
1,571.25
x = 1,571.25
5.-En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad
privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la
distribución de los costos anuales se
rigen por una distribución de
probabilidad normal y que la
desviación estándar es de $4,500. El
95% de los estudiantes de
universidades privadas paga menos de
¿Qué cantidad?
z
95% ó 0.9500 1.64
z µ = 20,082
σ = 4,500
Probabilidad Valor
acumulada. de z
95% = .9500 =

13. x = 27,462. X=
27,46275
DISTRIBUCIÓN GAMMA
La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en la
ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable que
mide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución
gamma con parámetros a= nn lambda(escala) y p=n (forma). Se denota
Gamma(a,p).
Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración de
elementos físicos (tiempo de vida).
Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, es
muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo
en una consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).
Ejercicio 1
El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución de
Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una
hora hasta la llegada del segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del
segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).
Solución:
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a p)
a : Escala 60000
p : Forma 20000
Punto X 10000
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826
Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174
Media 0,3333
Varianza 0,0556

14. Moda 0,1667
La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es
0,98.
Ejercicio 2
Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una
cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros
a=0,81 y p=7,81, calcúlese:
1. El tiempo medio de supervivencia.
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a,p)
a : Escala 0,8100
p : Forma 7,8100
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429
Media 9,6420
Varianza 11,9037
Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

15. Ejercicio

16. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un
promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25
focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con
esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración
fue?:
520 521 511 513 510 µ=500 h
513 522 500 521 495 n=25
496 488 500 502 512 Nc=90%
510 510 475 505 521 X=505.36
506 503 487 493 500 S=12.07
SOLUCIÓN.
t= x -μ
SI n α = 1- Nc = 10%
v = n-1 = 24
t = 2.22

17. Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.
El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada
10 días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en los que pone el despertador
acaba no levantándose a tiempo de dar su primera clase, mientras que 2 de cada 10 días en los
que olvida poner el despertador, llega a tiempo adar su primera clase.
(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.
(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar su primera clase?
Solución: En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que estamos
realizando. Este consiste en tomar un dia al azar en la vida del profesor Pérez y analizarlo en
base a los siguientes sucesos.
(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:
O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertador
T ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.
Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de sucesos. A continuación
traducimos en términos de probabilidad de los sucesos anteriores todos los datos que nos dan
en el enunciado.
P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .
(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por tanto nos piden que
calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistema completo de sucesos, podemos aplicar la
formulas de la probabilidad total, de donde tenemos que:
P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).

18. En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha proporcionando el enunciado,
sin embargo no conocemos directamente el valor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos que
P(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior se puede escribir como:
P(T¯) = + =0.69
La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen media
μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamaño
n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:
P (μ<20.5)
Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de libertad
T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5
P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)
P (T<2.5) = 0.9902
P (μ<20.5)=0.9902
La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea inferior a 20.5 mm es
del 99.02%
Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los
siguientes casos:
1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.
2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.
Solución.

19. 1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica:
S [W · w0=95] = 0=95
Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:
- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.
- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso: 0=95=
- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anteriores hasta cruzarnos en el
punto w0=95.
Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad será el valor:
w0=95 = 2=3534
Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta la primera columna,
llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos verticalmente hacia la primera fila la
llegaremos al valor 0.95 (probabilidad acumulada).
Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colas probabilísticas que van
desde 0=75 hasta 0=999, para calcular el percentil w0=25, tendremos que realizar la siguiente
consideración:
S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]
Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica:
w0=25 = ¡w0=75
Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]
Por tanto, buscando en la tabla con los datos:
Grados de libertad: 3
Cola de probabilidad: 0.75
Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649
2. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al caso anterior, pero
buscando en la fila 30 de la tabla. Resultando:
w0=95 = 1=6973
Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828
Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01

20. Solución.
Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos de tener en cuenta que:
df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)
df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)
0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)
El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado.
Por tanto: I9>7; 099 = 6=840