S.D 1
Processus autorégressifs composés
Modèle affine de crédit
Application à l’analyse du risque de crédit
DUPREY Stéfan
E...
Plan de l’Exposé S.D 2
Plan
1. Introduction générale
2. Etat de l’art industriel de la modélisation du risque de crédit
3....
Introduction générale S.D 3
1. Introduction générale
Objectif : proposer un modèle de risque de crédit se
voulant une alte...
Etat de l’art industriel de la modélisation du risque de crédit S.D 4
2. Etat de l’art industriel de la modélisation du ri...
Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 5
3. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique...
Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 6
Equivalence CAR(p) et CAR(1)
Proposition :
Le processus (Yt...
Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 7
Processus autorégressifs composés à valeurs entières et
thé...
Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 8
Distribution invariante, prévision et stationnarité
Proposi...
Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 9
Réversibilité temporelle d’un processus autorégressif
compo...
Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 10
Opérateur espérance conditionnelle
Proposition :
E[Y n
t |...
Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 11
Expression des densités conditionnelles dans le cas de la
...
Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 12
Représentation espace-états, filtrage et lissage
Yt = Zt + ...
Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 13
Les différents processus CAR réversibles classés selon
l’é...
Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 14
Inférence statistique : modèle contraint
E[exp(−uYt)|Yt−1]...
Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 15
Inférence statistique : modèle non contraint
Proposition :...
Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" S.D 16
4. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Lo...
Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" S.D 17
Résultats Corporate Bonds
Corporate Bond Term Stru...
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Corporate Bond Spread decomposition
(Default−Sdf c...
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Résultats First-To-Default basket
First to default...
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First To Default Credit Spread decomposition
Sprea...
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Résultats Cycle effects
Cycle effect on Treasury B...
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Modélisation du taux de recouvrement
C∗i(t, t+h) =...
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Compounded autoregressive processes for Credit Risk modelling

  1. 1. S.D 1 Processus autorégressifs composés Modèle affine de crédit Application à l’analyse du risque de crédit DUPREY Stéfan Econométrie 24 février 2015
  2. 2. Plan de l’Exposé S.D 2 Plan 1. Introduction générale 2. Etat de l’art industriel de la modélisation du risque de crédit 3. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique 4. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" 24 février 2015
  3. 3. Introduction générale S.D 3 1. Introduction générale Objectif : proposer un modèle de risque de crédit se voulant une alternative fiable, robuste et plus complète que l’état de l’art "industriel" • Dans un premier temps, nous élaborons un état de l’art des différentes techniques utilisées par l’industrie banquaire et les instances régulatrices pour analyser les risques de crédit. • Fort de cette vision, nous introduisons la modélisation autorégressive affine de crédit, discutons ces avantages et inconvénient et proposons l’application à des case concrets. • Nous analysons ensuite plus précisément les propriétés mathématiques des processus autorégressifs composés. • Nous finissons en exposant des cas de calcul concret implémentés à l’aide du logiciel R. Nous présentons la décomposition du spread des paniers first-to-default, la prise en compte d’effet de cycle et enfin un calcul original : le rendement d’obligations d’entreprises risquées avec taux de recouvrement. 24 février 2015
  4. 4. Etat de l’art industriel de la modélisation du risque de crédit S.D 4 2. Etat de l’art industriel de la modélisation du risque de crédit Les différents modèles les plus courants 24 février 2015
  5. 5. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 5 3. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique Log-Laplace transformée conditionnelle : fonction affine des valeurs passées du processus Définition : Soit (Yt, t ≥ 0) un processus à n dimensions et notons Yt−1 l’ensemble des informations jusqu’à et incluant t − 1. Le processus Y est un processus autorégressif d’ordre p CAR(p) si et seulement si la distribution conditionnelle de Yt sachant Yt−1 admet une transformée de Laplace conditionnelle du type : E exp(u′ Yt)|Yt−1 = exp −a′ 1(u)Yt−1 − ... − a′ p(u)Yt−p + b(u) (1) , où ap = 0. 24 février 2015
  6. 6. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 6 Equivalence CAR(p) et CAR(1) Proposition : Le processus (Yt, t ≥ 0) est un processus CAR(p) si et seulement si le processus Yt = Y ′ t , Y ′ t−1, . . . , Y ′ t−p est un processus CAR(1). a(v) =         a1(v1) + v2 ... ap−1(v1) + vp ap(v1)         (2) 24 février 2015
  7. 7. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 7 Processus autorégressifs composés à valeurs entières et thématique de file d’attente : Yt = Zt + ǫt avec Zt = ρYt−1. Problème Zt pas entier ! Yt = Yt−1 i=1 Zi,t + ǫt (3) , où les variables Zi,t suivent une loi de Bernouilli B(1, ρ). Dans ce cas : E[exp(−uYt)|Y t−1 ] = exp(−a(u)Yt−1 + b(u)) Processus autorégressifs composés à valeurs positives On donne une condition nécessaire et suffisante sur la transformée de Laplace d’une variable aléatoire pour qu’elle soit positive. ∀j ∈ N, (−1)j dj duj [exp(b(u))] ≥ 0 (4) 24 février 2015
  8. 8. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 8 Distribution invariante, prévision et stationnarité Proposition : La distribution invariante E[exp (−u′ Yt) |Y t−1] = exp[c(u)] vérifie : b(u) = c(u) − c(a(u)) Un processus stochastique CAR(1) vérifie : E[exp(−uYt+h)|Y t ] = exp(−aoh (u)Yt + h−1 k=0 b(aok (u))) (5) Soit un processus CAR(1) admettant une log-Laplace transformée invariante c. La transformée de Laplace conditionnelle tend vers une limite indépendante de la variable conditionnante si et seulement si : lim h→∞ aoh (u) = 0, ∀u. (6) 24 février 2015
  9. 9. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 9 Réversibilité temporelle d’un processus autorégressif composé Proposition : Le processus CAR(1) est réversible si et seulement si la fonction ψ(u, v) = c(a(u) + v) + c(u) − c(a(u)) est une fonction symétrique de u et v. La démonstration est immédiate en exprimant la symétrie de la transformée de Laplace de la distribution jointe de (Yt, Yt−1) par la propriété de Markov. Quand le processus Yt est réversible : i)a(u) = dc du −1 da du (0) dc du (u) − dc du (0) + dc du (0) ii) La fonction γ(u) = d2 c du2 o( dc du )−1 est quadratique. 24 février 2015
  10. 10. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 10 Opérateur espérance conditionnelle Proposition : E[Y n t |Yt−1] = Pn(Yt−1) (7) , où Pn est un polynôme de degré n dont le coefficient de plus haut degré est [da du (0)]n . Considérons l’opérateur d’espérance conditionnelle ψ → Tψ défini par : Tψ(y) = E[ψ(Yt)|Yt−1 = y] (8) Cet opérateur admet les valeurs propres réels λn = [da du (0)]n , n ≥ 0 et pour fonctions propres associées des polynômes Pn de degré n. 24 février 2015
  11. 11. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 11 Expression des densités conditionnelles dans le cas de la réversibilité Proposition : Supposons |da du (0)| < 1. Pour un processus CAR(1) stationnaire et réversible, les fonctions propres Pn, n ≥ 0, de l’opérateur espérance conditionnelle sont orthogonales pour le produit scalaire associé à la distribution invariante f. De plus : f (yt|yt−1) = f(yt) 1 + ∞ n=1 da du (0) n Pn(yt)Pn(yt−1) (9) , où Pn est la base orthogonale des fonctions polynômiales propre de l’opérateur conditionnel d’espérance. fh (yt|yt−h) = f(yt) 1 + ∞ n=1 da du (0) hn Pn(yt)Pn(yt−h) (10) 24 février 2015
  12. 12. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 12 Représentation espace-états, filtrage et lissage Yt = Zt + ǫt (11) Zt = α(Yt−1, ηt) (12) Proposition : 1. Les variables Zt, t variant, sont indépendants conditionnellement au processus observable. 2. La distribution conditionnelle de Zt sachant toutes les valeurs de Yt coïncide avec la distribution conditionnelle de Zt sachant Yt−1 et Yt seulement (réversibilité et propriété de Markov). Cette distribution filtrante est donnée par : l(zt|yt−1, yt) = g(zt|yt−1)h(yt − zt) g(z|yt−1)h(yt − z)dz (13) 3. La distribution lissante de ǫt suit directement puisque ǫt = yt − zt. 24 février 2015
  13. 13. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 13 Les différents processus CAR réversibles classés selon l’équation caractéristique β0 + β1x + β2x2 associé à l’équation de Ricatti • β1 = β2 = 0 : les processus de Poisson composés • β2 = 0 : les processus gaussiens autorégressifs. • β2 = 0 et β2 1 − 4β0β2 = 0 : les processus γ-composés. • β2 = 0 et β2 1 − 4β0β2 > 0 : les processus de Bernouilli à régime changeant. • β2 = 0 et β2 1 − 4β0β2 < 0 : processus à γ fonction quadratique et racines complexes conjuguées. 24 février 2015
  14. 14. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 14 Inférence statistique : modèle contraint E[exp(−uYt)|Yt−1] = Lo (u, y) = exp(−a(u)y + b(u)) (14) Proposition : ˆaT (u),ˆbT (u) = arg min a,b T t=1 [exp(−uyt) − exp(ayt−1 + b)]2 , (15) Sous les hypothèses de régularité standards et sous la condition que le processus CAR(1) soit bien défini, l’estimateur ˆaT (u),ˆbT (u) ′ est asymptotiquement normal et tel que : √ T     ˆaT (u) ˆbT (u)   −   a(u) b(u)     → N (0, Ω(u)) , (16) où Ω(u) = J−1 (u)I(u)J−1 (u) 24 février 2015
  15. 15. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 15 Inférence statistique : modèle non contraint Proposition : La transformée de Laplace non contrainte peut être estimée par l’estimateur de Nadaraya-Watson : ˆLT (u, y) = T t=2 exp(−uyt)KhT (yt−1 − y) T t=2 KhT (yt−1 − y) , u ∈ I, y variant, (17) L’estimateur est consistent et asymptotiquement normal √ ThT ˆLT (u, y) − L(u, y) → N(0, Σ(u, y)), (18) où : Σ(u, y) = 1 f(y) K2 (v)dvV [exp(−uYt)|Yt−1 = y] (19) L(2u, y) − [L(u, y)]2 f(y) K2 (v)dv La qualité de l’estimation peut alors être évaluée en considérant le résidu fonctionnel de ˆLT (u, y) − ˆL0 T (u, y), u et y variant. 24 février 2015
  16. 16. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" S.D 16 4. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" Les processus γ-composés On peut démontrer que la log-transformée de Laplace de ce processus s’écrit : Et−1 [exp(uYt)] = (1 − uct)−δ exp ctu 1 − ctu βtYt−1 . (20) La log-transformée de Laplace vérifie donc l’hypothèse affine avec pour fonction a(u) = ctu 1−ctu βt et b(u) = −δ log(1 − ctu). Dans le cadre où c, δ et γ sont des constantes, la prévision de Y à l’ordre h est donné par la formule analytique suivante : Et [exp(uYt+h)] = exp Yt ρh u 1 − uc1−ρh 1−ρ − δ log 1 − uc 1 − ρh 1 − ρ (21) 24 février 2015
  17. 17. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" S.D 17 Résultats Corporate Bonds Corporate Bond Term Structure (Corporate Bond Yield(dash), Treasury Bond Yield(solid), Credit Spread(short dash)) Term Yields 0 10 20 30 40 0.010.020.030.040.050.060.070.08 24 février 2015
  18. 18. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" S.D 18 Corporate Bond Spread decomposition (Default−Sdf correlation effect(short dash),Default Effect(dash), Credit Spread(solid)) Term Yields 0 10 20 30 40 0.000.020.040.06 si(t, t + h) − πi(t, t + h) = − log    1 + Covt(Mt,t+11τi>t+1) Et(Mt,t+1)Et(1τi>t+1)    24 février 2015
  19. 19. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" S.D 19 Résultats First-To-Default basket First to default Basket Term Structure (First To Default Basket Yield(dash), Treasury Bond Yield(solid), Credit Spread(short dash)) Term Yields 0 10 20 30 40 0.050.100.150.200.250.30 24 février 2015
  20. 20. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" S.D 20 First To Default Credit Spread decomposition Spread (solid), Marginal Default (dash), Defaults correlation(short dash), Default−Sdf correlation(medium) Term Yields 0 10 20 30 40 0.000.050.100.150.200.25 s(t, t + h) = π ∗ (t, t + h) + (π(t, t + h) − π ∗ (t, t + h)) + (s(t, t + h) − π(t, t + h)) 24 février 2015
  21. 21. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" S.D 21 Résultats Cycle effects Cycle effect on Treasury Bond Yields HMLM (solid), MLMH (dash), LMHM (short dash), MHML (medium) Term Yield 0 10 20 30 40 0.0550.0600.0650.070 24 février 2015
  22. 22. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" S.D 22 Modélisation du taux de recouvrement C∗i(t, t+h) = h k=1 Et Π k−2 j=0 Mt+j,t+j+1πt+j,t+j+1Mt+k−1,t+k 1 − πt+k−1,t+k Rt+k−1,t+k +Et Π h−1 j=0 (Mt+j,t+j+1πt+j,t+j+1) , Hyopthèse : Les taux de recouvrement pour les différentes entreprises sont indépendants conditionnellement aux facteurs Z et Zi. Le taux de recouvrement pour l’entreprise i est tel que : Rt+j,t+j+1 = exp(−(δt+1 + ǫ′ t+1Zt+1 + θ′ t+1Zit+1)) = exp(−ω′ t), (22) où ω′ t = δt + ǫ′ tZt + θ′ tZit est l’intensité de recouvrement et δt, ǫ′ t , θ′ t des fonctions de l’information contenue dans les facteurs Zt et Zi. Ce sont aussi des paramètres de sensibilités pour le recouvrement. Les taux de recouvrement étant compris entre 0 et 1, les sensibilités de recouvrement doivent vérifier comme les intensités de survie : ω′ t ≥ 0. 24 février 2015
  23. 23. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" S.D 23 Résultats Loss Given Default Corporate Bond Price with different recovery rate Zero rate (solid), Rate (95%) (dash), Rate (60%) (short dash), Rate (35%) (medium) Term Price 0 10 20 30 40 0.20.40.60.81.0 24 février 2015
  24. 24. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" S.D 24 Corporate Bond Yield with different recovery rate Zero rate (solid), Rate (95%) (dash), Rate (60%) (short dash), Rate (35%) (medium) Term Yield 0 10 20 30 40 0.010.020.030.040.050.060.070.08 24 février 2015

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