Compounded autoregressive processes for Credit Risk modelling

1. S.D 1
Processus autorégressifs composés
Modèle affine de crédit
Application à l’analyse du risque de crédit
DUPREY Stéfan
Econométrie
24 février 2015

2. Plan de l’Exposé S.D 2
Plan
1. Introduction générale
2. Etat de l’art industriel de la modélisation du risque de crédit
3. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique
4. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default"
24 février 2015

3. Introduction générale S.D 3
1. Introduction générale
Objectif : proposer un modèle de risque de crédit se
voulant une alternative fiable, robuste et plus complète que
l’état de l’art "industriel"
• Dans un premier temps, nous élaborons un état de l’art des différentes techniques
utilisées par l’industrie banquaire et les instances régulatrices pour analyser les
risques de crédit.
• Fort de cette vision, nous introduisons la modélisation autorégressive affine de
crédit, discutons ces avantages et inconvénient et proposons l’application à des case
concrets.
• Nous analysons ensuite plus précisément les propriétés mathématiques des
processus autorégressifs composés.
• Nous finissons en exposant des cas de calcul concret implémentés à l’aide du
logiciel R. Nous présentons la décomposition du spread des paniers first-to-default,
la prise en compte d’effet de cycle et enfin un calcul original : le rendement
d’obligations d’entreprises risquées avec taux de recouvrement.
24 février 2015

4. Etat de l’art industriel de la modélisation du risque de crédit S.D 4
2. Etat de l’art industriel de la modélisation du risque de crédit
Les différents modèles les plus courants
24 février 2015

5. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 5
3. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique
Log-Laplace transformée conditionnelle : fonction affine
des valeurs passées du processus
Définition :
Soit (Yt, t ≥ 0) un processus à n dimensions et notons Yt−1 l’ensemble des
informations jusqu’à et incluant t − 1. Le processus Y est un processus
autorégressif d’ordre p CAR(p) si et seulement si la distribution
conditionnelle de Yt sachant Yt−1 admet une transformée de Laplace
conditionnelle du type :
E exp(u′
Yt)|Yt−1 = exp −a′
1(u)Yt−1 − ... − a′
p(u)Yt−p + b(u) (1)
, où ap = 0.
24 février 2015

6. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 6
Equivalence CAR(p) et CAR(1)
Proposition :
Le processus (Yt, t ≥ 0) est un processus CAR(p) si et seulement si le
processus Yt = Y ′
t , Y ′
t−1, . . . , Y ′
t−p est un processus CAR(1).
a(v) =








a1(v1) + v2
...
ap−1(v1) + vp
ap(v1)








(2)
24 février 2015

7. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 7
Processus autorégressifs composés à valeurs entières et
thématique de file d’attente :
Yt = Zt + ǫt avec Zt = ρYt−1. Problème Zt pas entier !
Yt =
Yt−1
i=1
Zi,t + ǫt (3)
, où les variables Zi,t suivent une loi de Bernouilli B(1, ρ). Dans ce cas :
E[exp(−uYt)|Y t−1
] = exp(−a(u)Yt−1 + b(u))
Processus autorégressifs composés à valeurs positives
On donne une condition nécessaire et suffisante sur la transformée de
Laplace d’une variable aléatoire pour qu’elle soit positive.
∀j ∈ N, (−1)j dj
duj
[exp(b(u))] ≥ 0 (4)
24 février 2015

8. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 8
Distribution invariante, prévision et stationnarité
Proposition :
La distribution invariante E[exp (−u′
Yt) |Y t−1] = exp[c(u)] vérifie :
b(u) = c(u) − c(a(u))
Un processus stochastique CAR(1) vérifie :
E[exp(−uYt+h)|Y t
] = exp(−aoh
(u)Yt +
h−1
k=0
b(aok
(u))) (5)
Soit un processus CAR(1) admettant une log-Laplace transformée
invariante c. La transformée de Laplace conditionnelle tend vers une limite
indépendante de la variable conditionnante si et seulement si :
lim
h→∞
aoh
(u) = 0, ∀u. (6)
24 février 2015

9. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 9
Réversibilité temporelle d’un processus autorégressif
composé
Proposition :
Le processus CAR(1) est réversible si et seulement si la fonction
ψ(u, v) = c(a(u) + v) + c(u) − c(a(u)) est une fonction symétrique de u et
v. La démonstration est immédiate en exprimant la symétrie de la
transformée de Laplace de la distribution jointe de (Yt, Yt−1) par la
propriété de Markov. Quand le processus Yt est réversible :
i)a(u) =
dc
du
−1
da
du
(0)
dc
du
(u) −
dc
du
(0) +
dc
du
(0)
ii) La fonction γ(u) = d2
c
du2 o( dc
du )−1
est quadratique.
24 février 2015

10. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 10
Opérateur espérance conditionnelle
Proposition :
E[Y n
t |Yt−1] = Pn(Yt−1) (7)
, où Pn est un polynôme de degré n dont le coefficient de plus haut degré est
[da
du (0)]n
. Considérons l’opérateur d’espérance conditionnelle ψ → Tψ
défini par :
Tψ(y) = E[ψ(Yt)|Yt−1 = y] (8)
Cet opérateur admet les valeurs propres réels λn = [da
du (0)]n
, n ≥ 0 et pour
fonctions propres associées des polynômes Pn de degré n.
24 février 2015

11. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 11
Expression des densités conditionnelles dans le cas de la
réversibilité
Proposition :
Supposons |da
du (0)| < 1. Pour un processus CAR(1) stationnaire et
réversible, les fonctions propres Pn, n ≥ 0, de l’opérateur espérance
conditionnelle sont orthogonales pour le produit scalaire associé à la
distribution invariante f. De plus :
f (yt|yt−1) = f(yt) 1 +
∞
n=1
da
du
(0)
n
Pn(yt)Pn(yt−1) (9)
, où Pn est la base orthogonale des fonctions polynômiales propre de
l’opérateur conditionnel d’espérance.
fh (yt|yt−h) = f(yt) 1 +
∞
n=1
da
du
(0)
hn
Pn(yt)Pn(yt−h) (10)
24 février 2015

12. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 12
Représentation espace-états, filtrage et lissage
Yt = Zt + ǫt (11)
Zt = α(Yt−1, ηt) (12)
Proposition :
1. Les variables Zt, t variant, sont indépendants conditionnellement au processus
observable.
2. La distribution conditionnelle de Zt sachant toutes les valeurs de Yt coïncide
avec la distribution conditionnelle de Zt sachant Yt−1 et Yt seulement
(réversibilité et propriété de Markov). Cette distribution filtrante est donnée
par :
l(zt|yt−1, yt) =
g(zt|yt−1)h(yt − zt)
g(z|yt−1)h(yt − z)dz
(13)
3. La distribution lissante de ǫt suit directement puisque ǫt = yt − zt.
24 février 2015

13. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 13
Les différents processus CAR réversibles classés selon
l’équation caractéristique β0 + β1x + β2x2
associé à
l’équation de Ricatti
• β1 = β2 = 0 : les processus de Poisson composés
• β2 = 0 : les processus gaussiens autorégressifs.
• β2 = 0 et β2
1 − 4β0β2 = 0 : les processus γ-composés.
• β2 = 0 et β2
1 − 4β0β2 > 0 : les processus de Bernouilli à régime changeant.
• β2 = 0 et β2
1 − 4β0β2 < 0 : processus à γ fonction quadratique et racines
complexes conjuguées.
24 février 2015

14. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 14
Inférence statistique : modèle contraint
E[exp(−uYt)|Yt−1] = Lo
(u, y) = exp(−a(u)y + b(u)) (14)
Proposition :
ˆaT (u),ˆbT (u) = arg min
a,b
T
t=1
[exp(−uyt) − exp(ayt−1 + b)]2
, (15)
Sous les hypothèses de régularité standards et sous la condition que le
processus CAR(1) soit bien défini, l’estimateur ˆaT (u),ˆbT (u)
′
est
asymptotiquement normal et tel que :
√
T




ˆaT (u)
ˆbT (u)

 −


a(u)
b(u)



 → N (0, Ω(u)) , (16)
où Ω(u) = J−1
(u)I(u)J−1
(u)
24 février 2015

15. Processus autorégressifs composés : analyse mathématique S.D 15
Inférence statistique : modèle non contraint
Proposition :
La transformée de Laplace non contrainte peut être estimée par l’estimateur de
Nadaraya-Watson :
ˆLT (u, y) =
T
t=2 exp(−uyt)KhT (yt−1 − y)
T
t=2 KhT (yt−1 − y)
, u ∈ I, y variant, (17)
L’estimateur est consistent et asymptotiquement normal
√
ThT
ˆLT (u, y) − L(u, y) → N(0, Σ(u, y)), (18)
où :
Σ(u, y) =
1
f(y)
K2
(v)dvV [exp(−uYt)|Yt−1 = y] (19)
L(2u, y) − [L(u, y)]2
f(y)
K2
(v)dv
La qualité de l’estimation peut alors être évaluée en considérant le résidu
fonctionnel de ˆLT (u, y) − ˆL0
T (u, y), u et y variant.
24 février 2015

16. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" S.D 16
4. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default"
Les processus γ-composés
On peut démontrer que la log-transformée de Laplace de ce processus
s’écrit :
Et−1 [exp(uYt)] = (1 − uct)−δ
exp
ctu
1 − ctu
βtYt−1 . (20)
La log-transformée de Laplace vérifie donc l’hypothèse affine avec pour
fonction a(u) = ctu
1−ctu βt et b(u) = −δ log(1 − ctu).
Dans le cadre où c, δ et γ sont des constantes, la prévision de Y à l’ordre h
est donné par la formule analytique suivante :
Et [exp(uYt+h)] = exp Yt
ρh
u
1 − uc1−ρh
1−ρ
− δ log 1 − uc
1 − ρh
1 − ρ
(21)
24 février 2015

17. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" S.D 17
Résultats Corporate Bonds
Corporate Bond Term Structure
(Corporate Bond Yield(dash), Treasury Bond Yield(solid), Credit Spread(short dash))
Term
Yields
0 10 20 30 40
0.010.020.030.040.050.060.070.08
24 février 2015

18. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" S.D 18
Corporate Bond Spread decomposition
(Default−Sdf correlation effect(short dash),Default Effect(dash), Credit Spread(solid))
Term
Yields
0 10 20 30 40
0.000.020.040.06
si(t, t + h) − πi(t, t + h) = − log



1 +
Covt(Mt,t+11τi>t+1)
Et(Mt,t+1)Et(1τi>t+1)



24 février 2015

19. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" S.D 19
Résultats First-To-Default basket
First to default Basket Term Structure
(First To Default Basket Yield(dash), Treasury Bond Yield(solid), Credit Spread(short dash))
Term
Yields
0 10 20 30 40
0.050.100.150.200.250.30
24 février 2015

20. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" S.D 20
First To Default Credit Spread decomposition
Spread (solid), Marginal Default (dash), Defaults correlation(short dash), Default−Sdf correlation(medium)
Term
Yields
0 10 20 30 40
0.000.050.100.150.200.25
s(t, t + h) = π ∗ (t, t + h) + (π(t, t + h) − π ∗ (t, t + h)) + (s(t, t + h) − π(t, t + h))
24 février 2015

21. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" S.D 21
Résultats Cycle effects
Cycle effect on Treasury Bond Yields
HMLM (solid), MLMH (dash), LMHM (short dash), MHML (medium)
Term
Yield
0 10 20 30 40
0.0550.0600.0650.070
24 février 2015

22. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" S.D 22
Modélisation du taux de recouvrement
C∗i(t, t+h) =
h
k=1
Et Π
k−2
j=0
Mt+j,t+j+1πt+j,t+j+1Mt+k−1,t+k 1 − πt+k−1,t+k Rt+k−1,t+k
+Et Π
h−1
j=0
(Mt+j,t+j+1πt+j,t+j+1) ,
Hyopthèse : Les taux de recouvrement pour les différentes entreprises sont
indépendants conditionnellement aux facteurs Z et Zi. Le taux de recouvrement
pour l’entreprise i est tel que :
Rt+j,t+j+1 = exp(−(δt+1 + ǫ′
t+1Zt+1 + θ′
t+1Zit+1)) = exp(−ω′
t), (22)
où ω′
t = δt + ǫ′
tZt + θ′
tZit est l’intensité de recouvrement et δt, ǫ′
t , θ′
t des
fonctions de l’information contenue dans les facteurs Zt et Zi. Ce sont aussi des
paramètres de sensibilités pour le recouvrement. Les taux de recouvrement étant
compris entre 0 et 1, les sensibilités de recouvrement doivent vérifier comme les
intensités de survie : ω′
t ≥ 0.
24 février 2015

23. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" S.D 23
Résultats Loss Given Default
Corporate Bond Price with different recovery rate
Zero rate (solid), Rate (95%) (dash), Rate (60%) (short dash), Rate (35%) (medium)
Term
Price
0 10 20 30 40
0.20.40.60.81.0
24 février 2015

24. Application "FTD Basket", "Cycle effect" et "Loss given Default" S.D 24
Corporate Bond Yield with different recovery rate
Zero rate (solid), Rate (95%) (dash), Rate (60%) (short dash), Rate (35%) (medium)
Term
Yield
0 10 20 30 40
0.010.020.030.040.050.060.070.08
24 février 2015