Autour de la conjecture de Snevily
Sudarshan SHINDE
08/07/2015
Sudarshan SHINDE Autour de la conjecture de Snevily
Plan
1 Introduction
2 Conjecture de Snevily
3 Permutation sur les corps finis et cons´equences
4 Un r´esultat de Bir´o et q...
Conjecture de Snevily
Conjecture (Snevily, 1999)
Soit G un groupe fini ab´elien d’ordre impair. Alors pour tout
entiers pos...
Une preuve d’Alon
Th´eor`eme (Nullstellensatz combinatoire)
Soit F un corps fini et soit f un polynˆome en F[X1, ..., Xk].
...
Un r´esultat de G´acs et al
Th´eor`eme (G´acs et al, 2010)
Soit {a1, a2, ..., aq} un multiset en Fq, le corps des q ´el´em...
Cons´equence sur des hyperplans - 1
Corollaire
Soit {a1, ..., an} un multiset en Fq o`u n ≤ q − 1. Alors il n’existe
pas u...
Cons´equence sur des hyperplans - 2
Th´eor`eme
Soit n ≤ q et H ⊂ ∪i=j Hij un hyperplan de V , H = Hij pour i = j.
Alors on...
Cons´equences sur les polynˆomes
Lemme
Soit f (X) = cq−1Xq−1 + ... + c0 un polynˆome sur Fq o`u q est une
puissance d’un n...
Une conjecture
Conjecture
Soit M = {a1, ..., aq} un multiset en Fq o`u q est une puissance
d’un nombre premier p tel que a...
Une conjecture
Conjecture
Soit M = {a1, ..., aq} un multiset en Fq o`u q est une puissance
d’un nombre premier p tel que a...
Un r´esultat de Bir´o
Theorem (Bir´o, 2000)
Soit f ∈ Fp[X], deg(f ) < p − 1. Supposons que |f (F∗
p)| = 2. Alors
on a un d...
Calculs
Remarque
Si un polynˆome anXn + an−1Xn−1 + ... + a0, an = 0 prend
exactement deux valeurs sur F∗
p alors
Xn + an−1...
Combien sont-ils?
Notations :
Sp = {f ∈ Fp[X] | deg(f ) ≤ p − 2, f (0) = 0 and |f (F∗
p)| = 2}
et
S
(m)
p = Sp ∩ {f ∈ Fp[X...
Merci de votre attention! Bonnes vacances et bonne continuation!
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Autour de la conjecture de Snevily

  1. 1. Autour de la conjecture de Snevily Sudarshan SHINDE 08/07/2015 Sudarshan SHINDE Autour de la conjecture de Snevily
  2. 2. Plan 1 Introduction 2 Conjecture de Snevily 3 Permutation sur les corps finis et cons´equences 4 Un r´esultat de Bir´o et quelques exemples Sudarshan SHINDE Autour de la conjecture de Snevily
  3. 3. Conjecture de Snevily Conjecture (Snevily, 1999) Soit G un groupe fini ab´elien d’ordre impair. Alors pour tout entiers positifs k ≤ |G| and pour tout deux sous-ensembles avec k ´el´ements, {a1, ..., ak} and {b1, ..., bk} de G, il existe permutation π ∈ Sk telle que ai + bπ(i) sont deux-`a-deux distincts. Sudarshan SHINDE Autour de la conjecture de Snevily
  4. 4. Une preuve d’Alon Th´eor`eme (Nullstellensatz combinatoire) Soit F un corps fini et soit f un polynˆome en F[X1, ..., Xk]. Supposons que deg(f ) = k i=1 ti , o`u ti sont entiers non-n´egatifs. De plus on suppose que le coefficient de k i=1 Xti i en f est non-null. Alors, si S1, ..., Sk sont des sous-ensemble de F tels que |Si | > ti , alors il y a s1 ∈ S1, ..., sk ∈ Sk tel que f (s1, ..., sk) = 0. Sudarshan SHINDE Autour de la conjecture de Snevily
  5. 5. Un r´esultat de G´acs et al Th´eor`eme (G´acs et al, 2010) Soit {a1, a2, ..., aq} un multiset en Fq, le corps des q ´el´ements o`u q est une puissance d’un nombre premier. Alors il n’existe pas une r´enum´erotation des ´el´ements b1, ..., bq de Fq telle que q 1=i ai bi = 0 si et seulement si apr`es une r´enum´erotation, on a a1 = ... = aq−2 = a, pour a ∈ Fq, aq−1 = a + b et aq = a − b pour un b = 0 en Fq. Cons´equences : Sur des hyperplans de Fn q vu comme un espace vectoriel de dimension n sur Fq. Sur les polynˆomes dont images sont pr´edefinies. Sudarshan SHINDE Autour de la conjecture de Snevily
  6. 6. Cons´equence sur des hyperplans - 1 Corollaire Soit {a1, ..., an} un multiset en Fq o`u n ≤ q − 1. Alors il n’existe pas une r´enum´erotation des ´el´ements b1, ..., bn du corps Fq telle que i ai bi = 0 si et seulement si on est dans un des cas suivants. 1 n ≤ q − 1 et apr`es une r´enum´erotation a1 = a2 = ... = an−2 = 0, an−1 = b et an = −b pour un ´el´ement du corps b = 0. 2 n = q − 1 et apr`es une r´enum´erotation a1 = a2 = ... = aq−2 = a, aq−1 = 2a pour un ´el´ement du corps a = 0. 3 n = q − 2, q pair et apr`es une r´enum´erotation a1 = a2 = ... = aq−2 = a, pour un ´el´ement du corps a = 0. Sudarshan SHINDE Autour de la conjecture de Snevily
  7. 7. Cons´equence sur des hyperplans - 2 Th´eor`eme Soit n ≤ q et H ⊂ ∪i=j Hij un hyperplan de V , H = Hij pour i = j. Alors on a un des cas suivants. 1 n = q, H = {(x1, ..., xn)|c(xj − xk) + i xi = 0} o`u c = 0 en Fq et j = k. 2 n = q − 1, H = {(x1, ..., xn)|xj + i xi = 0} pour une indice j. 3 n = q − 2, q pair. H = {(x1, ..., xn)| i xi = 0}. Sudarshan SHINDE Autour de la conjecture de Snevily
  8. 8. Cons´equences sur les polynˆomes Lemme Soit f (X) = cq−1Xq−1 + ... + c0 un polynˆome sur Fq o`u q est une puissance d’un nombre premier p > 2. Alors 1 x∈Fq f (x) = −cq−1 2 x∈Fq xf (x) = −cq−2 Sudarshan SHINDE Autour de la conjecture de Snevily
  9. 9. Une conjecture Conjecture Soit M = {a1, ..., aq} un multiset en Fq o`u q est une puissance d’un nombre premier p tel que a1 + ... + aq = 0. Soit k < √ p. S’il n’existe aucun polynˆome d’image M de degr´e < q − k, alors M contient un ´el´ement de multiplicit´e au moins q − k. Sudarshan SHINDE Autour de la conjecture de Snevily
  10. 10. Une conjecture Conjecture Soit M = {a1, ..., aq} un multiset en Fq o`u q est une puissance d’un nombre premier p tel que a1 + ... + aq = 0. Soit k < √ p. S’il n’existe aucun polynˆome d’image M de degr´e < q − k, alors M contient un ´el´ement de multiplicit´e au moins q − k. D’apr`es un r´esultat de Muratovic-Ribic et Wang (2012), cette conjecture est fausse pour p > 9. Ils d´emontrent que ∀m tel que 3 < m ≤ min{p − 1, q/2} o`u q = ph > 9, il existe un multiset M pour lequel 0 ∈ M est de multiplicit´e q − m est b∈M b = 0 tel que tout polynˆome dans Fq[X] d’image M sont de degr´e plus grand que q − m. Ici k = m − 1 ≥ 3. Sudarshan SHINDE Autour de la conjecture de Snevily
  11. 11. Un r´esultat de Bir´o Theorem (Bir´o, 2000) Soit f ∈ Fp[X], deg(f ) < p − 1. Supposons que |f (F∗ p)| = 2. Alors on a un des cas suivants. 1 f (X) = a + bX p−1 2 , pour a et b = 0 en Fp. 2 p ≡ 1 mod 3 et f est de la forme aX2p−1 3 + bX p−1 3 + c o`u a et b sont tel que a3 b3 = 1. 3 deg(f ) ≥ 3 4(p − 1). Sudarshan SHINDE Autour de la conjecture de Snevily
  12. 12. Calculs Remarque Si un polynˆome anXn + an−1Xn−1 + ... + a0, an = 0 prend exactement deux valeurs sur F∗ p alors Xn + an−1a−1 n Xn−1 + ... + a1a−1 n X aussi. Voici quelques polynˆomes unitaires et sans terme constante en F7[X] qui prennent deux valeurs sur F∗ 7 1 X3 2 X4 + X2,X4 + 2X2 et X4 + 4X2 3 27 polynˆomes de degr´e 5 Sudarshan SHINDE Autour de la conjecture de Snevily
  13. 13. Combien sont-ils? Notations : Sp = {f ∈ Fp[X] | deg(f ) ≤ p − 2, f (0) = 0 and |f (F∗ p)| = 2} et S (m) p = Sp ∩ {f ∈ Fp[X] |f est unitaire}. Proposition |S (m) p | = 2p−2 − 1. Sudarshan SHINDE Autour de la conjecture de Snevily
  14. 14. Merci de votre attention! Bonnes vacances et bonne continuation! Sudarshan SHINDE Autour de la conjecture de Snevily

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