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Proyecto de aula matematicas
- 1. UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO Sistema Nacional de Nivelación y Admisión Área de Educación Comercial y Administración PROYECTO DE AULA DE MATEMATICAS Grupo # 1 Integrantes: Karen De La Torre Galarza Melanie Vélez Auqui Thalía Ortiz Ortiz Adriana Moncayo Gómez María José Mora Materia: Matemáticas Docente: Lcdo.- Víctor Chicaíza. Periodo Abril – Agosto
- 2. 1 1) Simplificación de expresiones con fracciones Se dice que una fracción esta reducida sus términos más sencillos o totalmente simplificados, cuando no existe ningún factor común al numerador y denominador. Evidentemente una fracción dada puede reducirse a sus términos más sencillos dividiendo el numerador entre los factores que tenga en común. Ejercicios: 1) Sacamos el factor común monomio 2) Simplificamos términos semejantes 3) Sacamos la respuesta Primero resuelvo lo más interno del ejercicio (la suma de fracción de cada paréntesis). Luego simplifico o reduzco los términos semejantes. Operaciones Auxiliares:
- 3. 2 Procedimiento 1. Sacamos el mínimo común múltiplo de las dos operaciones. 2. Luego procedemos a multiplicar los respectivos términos. 3. Reducimos los términos semejante. 4. Despejamos el factor común, y procedemos a multiplicar extremos con extremos y medios con medios. 5. Y por último eliminamos los términos semejantes. -25a – + R// 2(a-1) Explicación: Factorizamos el numerador y el denominador, luego simplificamos numerador y denominador si es posible y obtenemos la respuesta 1. Realizamos la operación que se encuentra dentro del radical; es decir el numerador de la operación. () ) ) 2. Procedemos a resolver la operación que se encuentra en el denominador . =() ) 3 2 + 11 _ 8 + 2 - 1 + 5 7 2 - 3 27 8 + 2 3 7 2 -2 -2 2 + 11 =16 + 11 = 27 1 8 8 8 - 1 + 5 =-2 + 5 = 3 1 2 2 2 - 1 + 2 =- 7 + 2 = -5 7 7 7
- 4. 3 3. Una vez obtenido el resultado de las operaciones anteriores, procedemos a sacar la raíz =()= -6 = = = 4. Multiplicamos extremos por extremos y medios por medios. Como obtuvimos un resultado de -6 en el numerador y 6 en el denominador nos da como resultado -1, que lo sumamos con el siguiente factor y ese resultado lo elevamos al exponente. Simplificación de raíces y exponentes Simplificar un radical es obtener otro equivalente de índice menor. Si el exponente de la cantidad subradical y el índice del radical son divisibles entre un mismo número, calculamos el m.c.d del índice y de los exponentes y dividimos cada uno entre el m.c.d. Ejercicios Procedimiento 1. Como tenemos el exponente negativo, procedemos a convertir el término en fracción para que el exponente se haga positivo. 2. Luego multiplicamos los términos de acuerdo a su exponente. 3. Después procedemos a multiplicar extremos con extremos y medios con medios. 4. Simplificamos la fracción y restamos los exponentes. = = = . -3 2 + 2 3 7 2 -2 (- 5 7 ) -2 ( ) 2 7 5 49 25) -6 = -1+2 6 7=(
- 5. 4 = Explicación: El valor de una raíz no varía si multiplicas o divides por un mismo número al índice y al exponente del radicando. = = R// Operaciones Auxiliares: X2 - 6X +9= (x-3) (x-3)// X2 -5X+6= (x-3)(x-2)// 9-X2 = (3+x) (3-x)// 3X2 -9X= 3x(x-3)//
- 6. 5 2) Factorización con la Suma o Resta de potencias impares iguales Este método se usa cuando se tiene un binomio en el cual ambos miembros están elevados a la misma potencia. Ejercicios: Procedimiento 1. Primero se extrae la raíz igual a la cantidad que están elevados los términos. 2. A Las raíces se las opera con el mismo signo, en este caso como tenemos más (+) van los signos alternados. 3. Luego se multiplican las raíces, el primer término elevado a una potencia menos a la inicial y la segunda elevado a la 0, la primera va bajando hasta llegar a 0 y la segunda sube hasta que hasta llegar a la potencia menos que la potencia inicial. (m+2) ( ( - m( m 2Sacamos la raíz quinta de los dos términos = (m+2) ( = (m+2) ( 243 – 32B5 = Se saca la raíz quinta. (3 – 2b) ((3)4 + (3)3 (2b) + (3)2 (2b)2 + (3) (2b)3 + (2b)3 ) (3 – 2b) (81 + 54b + 36b2 + 24b3 + 16b2 ) Explicación: La suma de dos potencias con el mismo exponente en impar se descompone en la suma de las bases. Se multiplica por un polinomio homogéneo de grado n - 1 con coeficientes+ 1 y - 1 alternativamente (2) + = =
- 7. 6 125 a6 + 1 = (5 a2 + 1) ((5 a2 ) 2 – (5 a2 ) (1) + (1)2 = (5 a2 +1) (25 a4 – 5 a2 + 1) 1. Procedemos a sacar la tercera parte del primer y segundo factor y realizamos el siguiente proceso. Factorización con el trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el término de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuánto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el ultimo término tendremos una diferencia de cuadrados. Ejercicios: 25a4b8-139a2b4c6+81c12= 5a2b4 9c6 2(5a2b4) (9c6) = 90a2b4c6 Procedimiento 1. Sacamos la raíz cuadrada del 1er y 3er término. 2. Multiplicamos el doble producto por las raíces encontradas. 3. Después restamos ese valor con el 2do término de la ecuación original, con ello procedemos a sumar y restar con la ecuación original. 4. Asociamos los términos y factorizamos el trinomio cuadrado perfecto, después obtenemos una diferencia de cuadrados la cual se desarrolla. 5. Y por último ordenamos los términos de cada factor. 4 2 2(2 = 12 4
- 8. 7 +4 - 4 4 +12 + 9 - 4 = ( = (2 =(2 = (2 49M4 – 151M2 N4 + 81N8 = Sacamos la raíz. 7m2 9n4 2(7m2 ) (9n4 )=126m2 n4 Multiplicamos, el duplo de la primera y la tercera. 49m4 – 151m2 n4 + 81n8 + 25m2 n4 - 25m2 n4 (49m4 -126m2 n4 + 81n8 ) - 25m2 n4 (49m4 -126m2 n4 + 81n8 ) - 25m2 n4 = (7m2 - 9n4 )2 – 25m2 n4 = Se resuelve la diferencia de cuadrados perfectos. ((7m2 - 9n4 )+ 5mn2 ) ((7m2 - 9n4 )2 - 5mn2 ) = (7m2 - 9n4 + 5mn2 ) (7m2 - 9n4 - 5mn2 )// + = = R. // = 4 – 108 x2 + 121 x4
- 9. 8 1. En primer lugar ordenamos los factores, de tal manera que el factor con mayor exponente quede primero y así hasta que el tercer y último término quede sin exponente. 121 x4 – 108 x2 + 4 11 2 2 2. Extraemos las raíces del primer y tercer término. Y multiplicamos las dos raíces extraídas por dos. Y ese resultado lo restamos del segundo factor, el resultadoque obtenemos de esa resta es el que vamos a utilizar para sumar y restar respectivamente. 2(11 x2 ) (2) = 44 x2 121x4 – 108 x2 + 4 +64 x2 -64 x2 (121 x4 - 44 x2 + 4) -64x2 11 x2 2 2(11x2 ) (2) =44x2 (11x2 -2) -64 x2 ((11x2 -2) +8x) ((11x2 -2)-8x) (11x2 +8x-2) (11x2 -8x-2) 3) Racionalización Es un proceso en donde se tiene que eliminar la raíz o raíces que están en el denominador de una fracción. Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión equivalente, que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por una expresión adecuada, de forma que al operar, se elimine la raíz del denominador. Racionalizar expresiones con denominadores racionales de suma o resta de raíces Es convertir una fracción cuyo denominador sea irracional en una fracción equivalente cuyo denominador sea racional.
- 10. 9 Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fracción, desaparece todo signo radical del denominador. Ejercicios: Procedimiento 1. Multiplicamos el numerador y el denominador por 2. Resolvemos la diferencia de cuadrados que tenemos en el denominador y por último reducimos los términos semejantes. = = = R//
- 11. 10 Operaciones Auxiliares: Se simplifica el exponente con la raíz. 2+ = Aquí simplifico el exponente con la raíz = 6 Aquí resuelvo = R.//= 1. Multiplicamos por el mismo factor del denominador pero con el signo contrario. Y procedemos a resolver la operación. 4 X2 - . . = (x – x2 ) ( x + x3 ) x(1-x) - x (1 + x2 x-1 1-x O. A. 4 X6 X+1 X-1 X - 1 ( ) 2 ( -1 ) 2 x x X - 1
- 12. 11 X - x3 X - 1 X2 - x4 - x+ x3 x – x2 - x + x3 x (1 – x) - x ( 1 - x2 = (1-x) (x- x = (x x )= - (x+ x ) 1-x 1-x 4) Problemas con ecuaciones de primer grado con incógnita La verificación de estos problemas consiste en ver si los resultados obtenidos satisfacen las condiciones del problema. Ejercicios: En tres días un hombre ganó $185. Si cada día ganó los de lo que ganó el día anterior, ¿Cuánto ganó en cada uno de los tres días? 1er día 2do día 3er día La suma de 2 números es 77, y si el mayor se divide por el menor el cociente es 2 y el residuo 8, Hallar los números. X = numero mayor 77 – x = el numero menor
- 13. 12 X– 8= 2(77- X) X - 8=154-2X 3X=162 X= X= 54 // número menor La suma de la tercera y la cuarta parte de un número equivale al duplo del número disminuido en 17. Hallar el número. #= x La tercera parte del #= // La cuarta parte del #= El duplo del # disminuido en 17 = 2x - 17= 2(12) -17 = 7// Resolución: Comprobación:
- 14. 13 La edad actual de A es la mitad de la de B, y hace 10 años la edad de A era los 3/7 de la edad de B. Hallar las edades actuales. Edad Actual de A= X Edad Actual de B =2x Edad de A hace 10 años = x – 10 Edad de B hace 10 años = 3 (2x-10) 7 X -10 = 3 (2x-10) 7 7x – 70 = 6x – 30 7x – 6 x = -30 + 70 X= 40 edad Actual de A 2x= 80 años edad actual de B 5) Ecuaciones de 2do grado Una ecuación de segundo gradoo ecuación cuadrática es una ecuación que tiene la forma de una suma de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. Ejercicios: (Sacamos el mínimo común múltiplo) (La convertimos en una Ecuación lineal) (Igualamos a 0 los dos términos,) Obteniendo los puntos de intersección) (Luego vamos a encontrar puntos para formar la gráfica, dándole valores a la x aplicando la siguiente fórmula
- 15. 14 (Después procedemos a encontrar el vértice utilizando esta ecuación Vértice Gráfico a b c 1) Resolvemos el trinomio de la forma a +bx+c 2) Sacamos el vértice 3) graficamos 3 2x – 8= 0 x y 3 0 5 24 -3 -24 -5 -16 -7 0 Obteniendo los siguientes puntos “y” intersecto “x” intersecto
- 16. 15 (3x-4) (x+2) x + 2=0 3x - 4= 0 = VERTICE X= X= = X= Y = C Y= Y= Y= Y= 1 Discriminante:
- 17. 16 // Vertices: X Y Puntos de X y de Y: 2 8 Le damos puntos a X y a Y. 3 3 4 0 5 -1 6 0 7 3 8 8 Y= (2)2 -1082)+24 Y= (3)2 -30+24 Y= (4)2 -10(4)+24 Y= (5)2 -10(5)+24 Y= 4-20+24 Y= 9-30+24 Y= 16-40+24 Y= 25-50+24 Y= 8 Y=3 Y=0 Y= -1 Explicacion: establecemos la formula y sacamos el vertice x = y = 8 7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3
- 18. 17 X = - (-7) + x = y = 3 2 (2) X = 7 y = 4 X = 7 4 -1 12 X = 7 5 4 7 4 X 1 = X2 = 2x2 – 7x + 3 = 0 2 (-1)2 - 7 (1) + 3 = 0 2 (1) + 7+ 3 = 0 2+ 7+ 3 = 0 Y = 12 2(4)2 - 7(4) + 3 = 0 32 - 28 + 3 = 0 7 = 0 7 (x-3) – 5 (x2 -1) = x2 -5 (x-2) 7x-21-5x2 +5=x2 +5x+10 7x-21-5x2 +5-x2 +5x-10=0 -6x2 -12x+26=0 6x2 +12x-26=0 14 12 10 8 6 4 2 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 ( ) ( ) )
- 19. 18 X= - b +- b – 4 ac x =-(-12)+(-12)2 – 4 (6) (26) x = 12+ 144-624 2a 2(6) 12 x =12 + (-480) x = 12 + -480 x = 12 - - 480 6) Sistemas de inecuaciones Un sistema de inecuaciones es un grupo de dos o más inecuaciones. El conjunto solución del sistema es el conjunto de todas las soluciones comunes a todas las inecuaciones del sistema. Ejercicios: (Pasamos las xs al lado izquierdo y los números al lado derecho) (Realizamos la suma de negativos) (Y procedemos a dividir) (Pasamos el número al lado derecho) (Y obtenemos x) 1) Separamos las inecuaciones 2) Procedemos a resolver y a graficar 5x+2x 4x+3x > 10 7x 7x > 10 x x >
- 20. 19 ] ( {x ) (x // Separamos las dos inecuaciones y resolvemos. Explicación: despejamos la X en las dos ecuaciones, luego el resultado graficamos. X + 4 1 2x + 4 3 x + 4 2x 3 – 4 x 1 – 4 2x < - 1 x 3 X - //////////////////// ///////////////////// +∞ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
- 21. 20 (- ∞ , - 1/2 ] u [ 3 + ∞ ) 6(2-5x) > 18 – 12x x-3< 2x +10 10-30x > 18 -12 x x-2x < 10 + 3 -20x +12 x > 18 -10 -x < 13 -8x > 8 x >-13 8x < -8 X < 8 = -1 8 R=[-13,-1] 7) Inecuaciones cuadráticas Una inecuación cuadrática o de segundo grado es una desigualdad donde la variable tiene exponente 2 y es en su forma general de una de las formas siguientes ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c > 0 ó ax2 + bx + c ; 0, también puede tener el signo de desigualdad (d≥ bx + c), pero se puede llevar a una de las formas anteriores haciendo transformaciones equivalentes. Ejercicios: (Realizamos este trinomio por la forma x2 +bx+c) (Igualamos a 0 y obtenemos las xs) (x + 10) (x - 4) > 0 X+10 > 0 x – 4 >0 X > - 10 x > 4
- 22. 21 { x Primero resolvemos el trinomio de la forma x2 +bx+c Luego igualamos a 0 Y finalmente graficamos. Explicación: resolvemos el trinomio de la forma (x + 2) (x – 2) X 2 x - 2 + ∞ (- ∞ , - 2 ] u [ 2 + ∞ ) Explicación: resolvemos el trinomio de la forma (X-4) (X-1) <0 X- 4< 0 -1 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
- 23. 22 (- X – 1 > 0 X-4>0 X- 4<0 X-1>0 X>4 X<4 X> 1 X-1<0 X< 1 8) Inecuaciones lineales Una inecuación lineal es una expresión matemática que describe cómo se relacionan entre sí dos expresiones lineales. Por ejemplo: 3 + 5x ≥ 18; - 2(x + 3) < -9. La solución de una inecuación lineal se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinito números reales. Ejercicios: -3x+4<2x-6 -3x-2x<-6-4 -5x<-10 x>2 Realizamos la multiplicación de los dos factores Pasamos las X a un solo lado y resolvemos. Reducimos términos semejantes 2(X+1) – 3(X - 2) < X+6 2x + 2 – 3x + 6 < x + 6 2x – 3x – x< -2 – 6 + 6 - 2x < - 2 X > 1 -2 -10 1 2 -2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 3 4 -1 0 1 2 3 4
- 24. 23 Pasamos las X a un solo lado y resolvemos. 2 (X-3) > X +5 2 X -6 > X + 5 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 2X – X >5 +6 X > 11 {XER/(X>11)} 9) Graficar rectas en el plano La recta, o línea recta, es la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). Ejercicios: (Damos valores a la x para encontrar y) x=0 y=3(0)+5 y=5 y=0 0=3x+5 -3x=5 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2
- 25. 24 y intersecto x intersecto 5X-4Y=8 -4Y=8-5X 4Y=-8+5X Y= Le damos valores a X y Y Y= Y= Y= -2 0 = -8+5X=4 5X=4(8) X= Ordenamos la función. Multiplicamos por (-1) para convertir la Y en positiva. x y 0 5 - 0
- 26. 25 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 X Y -2 -5 -1 -3 0 -1 1 1 2 -3 3 5
- 27. 26 Explicacion: despejamos Y, luego damos valores a X y a Y en la tabla y representamos en la recta 3x + 4y = 15 4y = -3x + 15 Y = 3x + 4 (0) = 15 3x + 0 = 15 X = X = 5 3(0) + 4y = 15 0 + 4y = 15 Y = Y = 3 4x – 1 =y y=4(-3)-1 y=4(-2) -1 y=4(-1) -1) y=4(0) -1 -y= 4x+1 y=-12-1 y=-8-1 y=-4-1 y=0-1 Y=4x-1 y=-13 y=-9 y=-5 y=-1 X y y=4(1)-1 y=4(2)-1 -3 -13 y=4-1 y=8-1 -2 -9 y=3 y=7 -1 -5 0 -1 1 3 2 7 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4
- 28. 27 10) Encontrar el punto de dos rectas en el plano Las únicas funciones que se pueden trazar de forma completa son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una línea recta o curva Ejercicios: * (Despejamos y) * (Despejamos y) x=0 (Damos el valor de 0 a las xs) x=0 para obtener y intersecto) y=4 y=0 (Damos el valor de 0 a las y) y=0 para obtener x intersecto)
- 29. 28 Despejamos Y en la ecuacion1 X-Y=2 -y=2-x y=x-2 x=0 y=0-2 y=-2 y=0 0=x-2 -x=-2 X=2 Despejamos Y en la ecuación 3x+y=18 y=-3x+18 x=0 y=-3(0)+18 x y 0 0 X Y 0 -2 2 0 X Y 0 18 6 o
- 30. 29 y=18 y=0 0=-3x+18 3x=18 X= X= 6 Descomponemos en dos y sacamos el valor de Y. Luego le damos valores a X y a Y. X Y X Y 0 5 1/8 0 1 2 3/8 -2 2 -1 3 -4 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 .
- 31. 30 Comprobamos reemplazando Y en 8x-3y-2=0 2x –y+4 =0 9x-3y =12 Igualación 2x-y+4 =0 9x – 3y=12 -y=-2x -4 -3y=12 -9x Y=2x+4 y=-12+9x 2x+4=-12 +9x 3 3(2x+4)=-12+9x y=2(8) +4 6x+12=-12+9x y=16+4 6x-9x=-12-12 y=20 -3x=-24 -x=-24 3 X=8 Sustitución 2x-y+4=0 Y=2x+4 9x-3 (2x+4) = 12 9(8)-3y =12 9x -6 x – 12 =12 72-3y= 12 //
- 32. 31 { 3x=12 +12 -3y=12-72 X=24 3y=-60 3 y=60 X=8 3 REDUCCION -3 2x-y+4 =0 -6 x+3y-12 =0 1 9x-3y=12 9x – 3y =12 3x= 12+12 -6x+3y-12=0 X=24 -6(8)+3y-12=0 3 -48+3y-12=0 Y= 60 X=8 3 Y= 20 9y-3y=12 2x-y+4=0 9(0)-3y=12 2(0) – y+4=0 -3y=12 -y= 4 Y=12 =-4 y=4 3 9x-3(0)=12 2x-0+4=0 9x=12 2x+4=0 X=12 x=4 9 2 X=4 = 1,33 x=2 3 11) Sistemas de ecuaciones lineales Grupo de dos o más ecuaciones que comprenden dos o más variables. Cuando el número de variables es mayor que el de las ecuaciones, por lo general existen muchas soluciones. Si es número de variables es menor que el de las ecuaciones, por lo general no existe solución. Ejercicios: Método de igualación 1era ecuación 2da ecuación
- 33. 32 * (Despejamos x) * (Igualamos las dos ecuaciones y multiplicamos en equis “x”) (Pasamos las y al lado izquierdo reducimos los términos semejantes, dividimos y obtenemos el valor de y) (Remplazamos el valor de y en la 2da ecuación) (Y obtenemos el valor de x) Comprobación Método de sustitución (Despejamos x en la 2da ecuación) (Reemplazo x en la 1era ecuación y encontramos y)
- 34. 33 (Reemplazamos y en x de la 2da ecuación) Comprobación Método de reducción (Una vez multiplicado los números de las 2 ecuaciones restamos y despejamos y) y= y= 2 (Reemplazamos y en la 1era ecuación) * 3x+5(2)=7 3x+10=7 3x=-3 Comprobación
- 35. 34 Ecuación de la recta y la pendiente (Utilizamos la 2da ecuación y le damos valores de 0 a x a y) 2.- x=0 -y=-4 y=4 y=0 2x=-4 (0,4) y (-2,0) Puntos encontrados x=- Ecuación de la recta Pendiente x=-2y-y1 = m(x-x1) y-4 =2(x-0) y-4 =2x-0 y=2x+4 -2x+y-4=0 (A la ecuación de la recta le damos valores a x para obtener y, con los cuales graficamos la recta en el plano) -2x+y-4=0 x=1 x=-1 -2(1)+y-4=0 -2(-1)+y-4=0 -2+y-4=0 2+y-4=0 y=4+2 y=4-2 y=6 y=2 Determinantes x Y 0 4 -2 0 1 6 -1 2
- 36. 35 (Multiplicamos en “x”; los números independientes y los números que corresponden a “y” todo esto en el numerador; y en el denominador los números correspondientes a “x” y a “y”) (Multiplicamos en “x”; los números independientes y los números que corresponden a “x” todo esto en el numerador; y en el denominador los números que corresponden a “y” y los números independientes) 1) En la ecuación 1 y 2 despejamos Y Método de igualación multiplicamos cruzado 3(9-5+8x)= 7(-6+6x) 27-15+24x= -42+42x Pasamos las x al lado izquierdo 24x-42x=-42-27+15 -18x=-54 X= obtenemos la respuesta X=3 Método de sustitución -7y= -9+5-8x 7y= 9-5+8x Y= -3y= 6 - 6x 3y= -6 + 6x Y Y= Y = Y= Y= Y= 4 Y= y= y= Remplazamos en la primera ecuación para obtener Y
- 37. 36 6 -8 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 . . (3,4) . -3 -27+15-24x=6-6x(7) -27+15-24x=42-42x -27+15-24x-42+42x=0 18x-54=0 18x=54 X= X=3 Método de reducción 1) ordenamos los términos 2) multiplicamos 48x - 42y = -24 -48x+24y = -48 // - 18y = -72 Y= Y=4 Y= Y= Y= 8x-5=7y-9 8x-5=7(4)-9 8x=28-9+5 8x=24 X= X=3 0 = 0=4+8x -8x=4 X= - X= - 0,5
- 38. 37 PENDIENTE DE LA RECTA (0. 1,75) (-0, 5,0) m = m = m = m = m= 3,5 METODO DETERMINANTE X= = = = X= 3 Y= = = = Y= 4 ECUACION DE LA RECTA Y- = m (x- ) Y-1,75= 3,5(x-0) Y-1,75= 3,5x y= 3,5x + 1,75
- 39. 38 Primero despejamos la Y en las dos ecuaciones. // // Método de igualación: En este método vamos ha igualar los dos valores de Y. Luego reemplazamos x en Y Método de sustitución: En este método vamos a reemplazar Y en la segunda ecuación. Comprobamos reemplazando X en Y Método de reducción: //-3Y+36=-24 Comprobamos con 2x-y+4=0 Intersección
- 40. 39 X Y X Y 0 - 4 0 - 4 -2 0 12/9 0 Pendiente de la recta: (4,-4) ; (-2.0)Dados los puntos Sacamos la pendiente. Ecuación de la recta: Sacamos la ecuación de la recta con la pendiente que hayamos. 2 0 1 8 1 6 1 4 1 2 1 0 8 6 4 2 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 1 0 -1 -2 -4 .(8,20)
- 41. 40 Método de determinantes: Se resuelve el método de determinantes para comprobar los puntos de intersección. X+4Y=7 -3X+2Y=14 IGUALACION 7-4Y=-14+2Y X+4Y=7 3 X+4( 21-12Y=-14+2Y X+20/2=7 -12Y-2Y=-14-21 X+10=7 -14Y=-35 X=7-10 5 X=-3 Y= -35 -14 2 Y= //
- 42. 41 SUSTITUCION X=7-4Y -3X+2Y=14 -3(7-4Y)+2Y=14 -21+12Y+2Y=14 14Y=14+21 Y= -35 = -14 REDUCCION 3 X+4Y=7 1 -3X+2Y=14 3X+12Y=21 -3X+2Y=14 // 14Y= 35 5 Y= -35 14 2 Y= GRAFICO X=7-4Y X= -14+2(0) X= -14+2Y X=7-4(0) X= -14+0 3 X=7 3 (3)=0=-14+2Y 0=7-4Y 3X=-14 3 4Y=7 X=- - 0=-14+2Y Y= X= -4,6 -2Y=-14 Y= 1.75 Y= Y= 7
- 43. 42 ECUACION DE LA RECTA Explicación: sacamos la pendiente con los puntos dado y resolvemos 1= m(x –x1) m= Y2 –Y1 — X2 –X1 m= 0- m= -0,5 0,3 m= -1.7 pendiente x-5y=8 x=8+5y -7x+8y=25 -7x=25-8y X=25-8y 7 7 7 -3-5
- 44. 43 { { Igualación 8+5y=25 -8y 7 -7(8+5y)=25-8y x=8+5(-3) -56-35y=25-8y x=8-15 -35y+8y=25+56 x=-7 -27y=81 Y=81 -27 Y=- 3 Sustitución X=8+5y sustituye x en la 2ª ecuación -7(8+5y)+8y=25 x=8+5(-3) -56-35y+8y=25 x=8-15 -27y=25+56 x=-7 -27y=81 Y=81 =-3 -27 Reducción 8 x-5y=8 8x-40y =64 -7-5y=8 5 -7x+8y=25 -35x+40y=125 -5y=8+7 -27x =189 -5y=15 -27x=189 y=15 X=189 -3 -27 y=-3 X=-7 Determinante x-5y=8 -7x+8y=25 8 -5 X=25 8 = (8)(8) – (25) (-5) = 64+125 = 189 =-7 1 -5 (1)(8) – (-7) (-5) = 8-35 27 -7 8
- 45. 44 1 8 Y=-7 25 = (1) (25) -(-7) (8) = 25+56 = 81 = -3 1 -5 (1)(8) - (-7) (-5) 8-35 -27 -7 8 Gráficos Pend m=y2 -y1 X2 -x1 M=0-(-1,6) 8 – 0 M= 0+1,6 8 M= 1,6 =0,2 8 x-5y=8 0-5y=8 Y= 8 =-1,6 -5 -7x+8y=25 -7x+8y025 -7 (0) + 8y=25 -7x+8(0) =25 8y= 25 7x=25 Y=25 x=25 8 - 7 Y= 3,13 x=-3,57 Ecuación y-y1 =m (x-x1 ) y-(-1,6)=0,2 x y+1,6 = 0,2 x y=0,2x-1,6
- 46. 45 x y x y 0 -1,6 0 3,13 8 0 -3,570 12) Sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Cada una de las ecuaciones representa un plano. De acuerdo con las posibles relaciones que se den entre los tres plano, se determina el tipo de conclusión que tiene cada una. Ejercicios: Resolvemos la 1era y 2da ecuación Resolvemos la 2da y 3era ecuación Resolvemos la 4ta y 5ta ecuación Encontramos z En la 4ta ecuación reemplazamos la z y encontramos y En la 2da ecuación despejamos x y reemplazamos la z y la y 4 5 1 2 3
- 47. 46 4 5 5 Comprobación 1 Y 2sacamos la ecuación 1 y 2 X+Y+Z = 12 2X-Y+Z = 7 X = 12-y –z Remplazar x en la ecuación 2 2( 12 –y –z) – y +Z=7 24- 2y – 2z- y + z -7 = 0 -3y-z+17 =0 -3y-z+17=0 2 y 3sacamos la ecuación 2 x 3 2x-y+z=7 X+2y-z=6 X=6-2y+z Remplazo x en la ecuación 2 2(6-2y+z)-y+z=7 12-4y+2z-y+z-7=0 -5y+3z-5=0 - 15y - 5z = -85 + 15y - 9z =15 // -14z =-70 Z= Z= 5 -3y-5= -17 -y = Y = Y = 4 Remplazo Y y Z en X X= 12 – y –z X = 12 – 4 -5 X= 3 1 Y 2sacamos la ecuación 1 y 2 X+Y+Z = 12 2X-Y+Z = 7 X = 12-y -z
- 48. 47 X= 3 ; Y= 4 ; Z= 5 // Ecuación 1 y 2: 1.- Despejo x de la ecuación 1. 2.- Remplazo X en la ecuación dos: Saco el denominador común que es 2 y multiplico e igualo a 0. Luego se reduce términos semejantes. Ecuación 2 y 3: 2.- 3.- Despejo x de la ecuación 2. Reemplazo x en la ecuación dos. Saco el denominador común que es 3 y multiplico e igualo a 0. 4 5
- 49. 48 { { ( ) ( ) { Ecuación 4 y 5: Método de Reducción; Reemplazo z en la ecuación 4. Multiplico por (-1) y cambio de signo a toda la ecuación. Remplazo Y y Z en la ecuación uno donde despejamos X: Respuesta: (X; Y; Z)= (1; 3; 2) o 1 2x + 3y + z=1 2 6x – 2y – z =-14 3 3 x+ y – z = 1 1 y 2 2 y 3 2x+3y+z=1 6x-2y-z=-14 6x-2y-z=-14 3x +y-z =1 2x=1-3y-z 6x=-14 +2y +z X=1-3y-z x= -14+2y +z 2 6 Reemplazo x en 2 Reemplazo en 3 6 1-3y – z -2y – z = -14 3 -14 + 2y + z +y-z =1 2 6 X=1; Y=3; Z=2//
- 50. 49 6-18 y – 6z – 2y –z +14 =0 -42+6y+3z + y-z-1 =0 2 6 6-18y-6z-4y-2z+28 = 0 -42+6y+3z+6y-6z-6 =0 4 -22y-8z+34 =0 5 12 y -3 z- 48=0 4 y 5 3 -22 y -8 z = -34 -66 y -24 z =- 102 -8 12 y-3z =48 -96 y+24 z= -384 -162y =-486 -162y=-486 Y=-486 -162 Y=3 Para hallar z -22 y – 8z= -3y -22 (3) – 8z = -3 y -66 -8z = -34 -8 z= -34 + 66 Z= 32 -8 Z=-4 Para hallar x comprobamos 2x+3y + z=1 3x+y-z=1 6x-2y+z=-14 X=1-3y-z -4+9-4=1 -6+3+4=1 -12-6+4=-14 2 -8+9=1 -6+7=1 -18+4=-14 1=1 1=1 -14=-14 X=1-3 (3) – (-4) 2 X= 1-9+4 2 X=-4 = -2
- 51. 50 13) Distancia entre dos puntos Es la trayectoria descrita por una línea de un punto A hacia un punto B, donde la línea más recta entre los dos puntos será la distancia más corta entre ellos. Dicha distancia será medida en alguna unidad de medida, como: kilómetros, centímetros, milímetros, etc. Ejercicios: Calcular la distancia entre los puntos A(7,5) y B(4,1) (Reemplazamos los valores y sacamos la distancia) (4,3) (-2,4) D= D= D= D= D= D= D= 6,08
- 52. 51 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. Dados los puntos = (2,3) (6,4) Tenemos la siguiente fórmula: Reemplazamos: DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS A (-3,2) y B (1,-1) x2– x1 ) y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4 8 7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 (6,4) (2,3)
- 53. 52 X1 y1 (2, -3) d= (x2-x1)2 + (y2-y1)2 d= (4-2)2 + (2+3)2 (4 , 2) d= 22 +52 X2 y2 d= 29 14) Conjuntos: Área Rayada Un conjunto es una colección de objetos bien definidos y diferenciables entre sı. A los objetos que constituyen un conjunto se les denomina elementos del mismo. Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas. Ejercicios: Re Re=
- 54. 53 Sean los conjuntos: Entonces: Entonces: Re 1, 2, 3,4 (A u B)= 1, 2,3 (A B )= 2 (A B) – (A B) = 2 4 1 32 A B
- 55. 54 Re= {1, 2, 3, 4, 5,6} A= {1, 2, 3, 4} B= {2, 3, 4, 5} C= {4, 5} A-B= {1} BΩC= {4, 5} BΩC-A= {5} (A-B) µ *(BΩC) –A] {1,5} Resolver el siguiente ejercicio: Sean los conjuntos: Entonces tenemos que: Entonces la intersección : Re
- 56. 55 15) Problema con conjuntos Un conjunto es una colección de objetos distintos y no ordenados, (que podemos llamar elementos) y es considerado un objeto en sí mismo. Los conjuntos son considerados uno de los conceptos matemáticos más fundamentales. Aunque en realidad no el término no fue inventado hasta finales del siglo XIX, la teoría de conjuntos es parte ineludible en la matemática de hoy y puede ser usada como base para casi cualquier concepto matemático actual. Una de las herramientas principales para enseñar conjuntos son los diagramas de Ven más que nada por su utilidad visual. Ejercicios: De un grupo de 65 alumnos: 30 prefieren comunicación 40 prefieren matemática 5 prefieren otros cursos ¿Cuántos prefieren matemática y comunicación? 10 alumnos ¿Cuántos prefieren sólo comunicación? 20 alumnos ¿Cuántos prefieren sólo matemática? 30 alumnos Re= 65 30-x+x+40-x+5=65 75-x=65 -x=65-75 X=10 En un aula hay un cierto número de alumnos que hemos determinado se sabe que cada uno de los alumnos presentes en el aula estudio, al menos, una de las tres asignaturas siguientes: matemáticas, física, química pues bien, en sucesivas veces se pide que levanten la mano los que estudian: a) Matemáticas y lo hacen 48
- 57. 56 b) Física y lo hacen 45 c) Química y lo hacen 49 d) Matemáticas y física y lo hacen 28 e) Física y química y lo hacen 26 f) Física y química y lo hacen 28 g) Los tres asignaturas y lo hacen 18 Se preguntan 1) ¿Cuántos alumnos hay en el aula? 2) ¿Cuántos estudian matemáticas y fisca pero no química? 3) ¿Cuántos estudian nada más que química? 1)N(M+F+Q)=n(M)+n(F)+n(Q)-n(MF)-n(MQ)-n(FQ)+n(MFO) N (M+F+Q) = 78 N (M) = 48 N (F) = 45 N (Q) = 49 1)N(M+F+Q)= 48+45+49-28-26-28+18 N (M+F+Q)= 78 // N (M F) = 12+7 = 19 // N( Q) = 13 // Se presentan 44 solicitudes para cubrir los puestos que ofrece una empresa. De entre los solicitantes, hay 29 ingenieros mecánicos, 19 ingenieros químicos, 6 ingenieros mecánicos y eléctricos, 8 ingenieros químicos y eléctricos, 9 ingenieros mecánicos y químicos, y 1 que tiene triple titulación, es decir, hay uno que es ingenieros mecánico, químico y eléctrico. Se pregunta: ¿cuantos ingenieros eléctricos han presentado solicitud?
- 58. 57 N (Re) = 44 N (M) = 29 = 15 N (Q) = 19 = 3 Resolución: Se presentaron 18 Ingenieros Eléctricos. Una farmacia rebajó el precio de una loción y el de una crema. La contabilidad al final de un día indicó que 66 personas habían comprado crema; 21 compraron loción y 21 ambos productos. a. ¿Cuántas personas aprovecharon la oferta? B .¿Cuántas compraron solamente la loción .¿Cuántas compraron solamente la crema? Solución Consideremos los siguientes conjuntos = {x/x compró crema} L = {x/x compró loción} De acuerdo al problema tenemos que: η(C∩L) = 21 solución: η(C∪L)=η(C) +η(L) -η(C∩L). η(C∪L)=66+21-12η(C∪L)= 75
- 59. 58 En una clase: 15 gustan de física y química 12 de química y matemáticas 8 de física, química y matemáticas 14 física y matemática. 7 7 8 4 6 67 12 Re=50
- 60. 59 N(F)=27 N(Q)= 26 N(M) = 30 N(FΩQ)=15 N(QΩM)=15 N(FΩM)=14 N(FΩQΩM)=8 N(FuQuM)= N(F) + N(Q) + N(M) – N(FΩQ) –N(QΩM)–N (FΩM) +N (FΩQΩM) N(FuQuM)= 27+26+30-15-12-14+8. 50=50