La diversité empirique pour faire exister les
objets mathématiques
Thierry Dias
Haute Ecole pédagogique du canton de Vaud
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Thierry Dias – juillet 2014
Références épistémologiques principales pour cette allocution :
Petitot, J. (1987). Refaire le...
Thierry Dias – juillet 2014
1. De la réalité des objets mathématiques
2. Situation, savoir/connaissance/expérience
3. Des ...
Thierry Dias – juillet 2014
1. De la réalité des objets mathématiques
•un positionnement épistémologique nécessaire
•la qu...
Thierry Dias – juillet 2014
Les quatre piliers de l'épistémologie des mathématiques
(Petitot) :
-les actes constitutifs de...
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Les objets mathématiques peuvent être
considérés comme des principes de cohérence.
Les objets ...
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subsomption*
(catégorisation)
langage formel
Faits
(et divers)
empiriques
Faits
(et divers)
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Sens et réalité ?
Osons un renversement de point de vue :
Ce ne sont pas les situations concrè...
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C'est notamment la cohérence des règles
opérant sur le système symbolique qui donne
du sens au...
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• Dépasser la juxtaposition des expériences.
• Ce qui fait sens n'est pas l'expérience mais la...
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Réel partagé (Lelong, 2004) : nécessité (mais non
suffisance) des expériences sociales interac...
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Distinction choses/objets (Conne)
Enseigner consiste à mettre en scène des objets
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conclusion du positionnement épistémologique :
La réalité peut être associée à la notion de
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2. Situation : savoir / connaissance / expérience
La situation est une modélisation théorique ...
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Finalité didactique : réussir la rencontre entre les objets
et les sujets
L'environnement créé...
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3. Des expériences pour faire exister les
objets mathématiques
ou comment rendre opérationnels...
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Différents contextes de mise en œuvre des
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- les élèves ayant des b...
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• nous proposons aux élèves des milieux matériels
spécifiques et adaptés susceptibles de provo...
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Le choix de l'espace et de la géométrie
Pour devenir géométrique, l'a priori de l'espace sensi...
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le choix d'un travail dans l'espace :
-pour échapper à l'emprise du formalisme
numérique,
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exemple 1 :
Construire en grand
originalité de la situation : ses variables de grandeur
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L'expérimentation consiste à intervenir,
anticiper, transformer, vérifier dans une
chronologie...
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montrer, désigner, expérimenter les choses qui peuvent
être les modélisations des objets mathé...
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La variation et la mise en lien des registres
de représentations des objets
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des connaissances géométriques
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paver l'espace avec uniquement les solides
platoniciens
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  • Sens : émergence, reconnaissance et mise en relation
    aussi bien au niveau des représentations que des traitements qui opèrent sur elles.
  • Les règles permettent le dépassement de la juxtaposition des expériences  naissance et compréhension des invariants.
  • Nous inscrivons nos recherches dans l'idée d'un processus dynamique; d'une dialectique reliant le sensible au théorique (Dias, 2009). La réalité peut s'envisager comme un univers de significations possible, qu'elle soit objective ou seulement de pensée. Ainsi, la notion de réel perçu nous paraît limitative et nous lui préférons celle de réel partagé (Lelong, 2004) dont le point de départ n'est pas forcément sensible. A minima, la seule volonté de faire, l'intention de réalisation de quelque chose est déjà une manifestation de réalité. Ce réel est dit partagé car il est à replacer dans le cadre spécifique d'une communauté d'individus (d'élèves par exemple si on s'en tient au contexte scolaire) qui collaborent dans leurs actes et leurs mots en vue de catégorisations permettant l'élaboration de concepts (Descaves, 1992).
  • Les mathématiques que font les élèves ne sont pas celles qui sont prescrites par les enseignants, leur rapport aux choses dépendent de leurs connaissances préalables, de leur expériences passées et des invariants qu'ils sont susceptibles de reconnaître dans la situation. Pour que les choses qu'ils expérimentent soient liées aux objets mathématiques qui les modélisent, il faut un processus (schéma de Petitot/Descaves).
    L'action (agir qui transforme) est une chose à proprement parler.
  • Conne : la situation du côté du savoir (vs/ connaissance du côté de l'expérience)
    Le divers empirique dont nous parlons doit se comprendre comme un ensemble d'éléments symboliques d'abord mis à disposition des élèves, mais également progressivement enrichi par les actions et les expressions langagières qui les accompagnent. Phénomènes et faits sont le substrat de cette diversité empirique qui ne se limite donc pas aux objets réels puisqu'il s'étend aux expériences de pensée toujours envisageables dans de tels contextes d'apprentissage.
    Nous nous accordons à dire que l'existence des objets mathématiques relève pour partie des interprétations que les sujets en font : les élèvent agissent sur des signes, sur du matériel et éventuellement en parlent. Le professeur qui sait des choses sur ces actes ou ces mots décide (ou non) de qualifier de mathématique ces actes et ces mots, et ainsi participe au processus d'exhibition des savoirs.
  • Les règles permettent le dépassement de la juxtaposition des expériences  naissance et compréhension des invariants.
  • Les tâches que nous mettons à disposition des élèves relèvent selon nous de la terminologie de situations puisque ce sont des environnements matériels et symboliques adaptés suscitant des relations et des interactions entre les protagonistes. On peut raisonnablement parler de situations d'apprentissages car elles sont reproductibles et permettent à moyen terme l'acquisition ou pour le moins l'utilisation de connaissances. Du fait de leur problématisation, les tâches comportent à la fois un certain nombre de contraintes (par exemple des questions) mais également des ressources permettant leur résolution. Le rôle de l'enseignant accompagnateur relève le plus souvent d'un étayage discret et adapté (Dias & Tièche, 2012) aux difficultés des élèves, et doit garantir essentiellement l'absence de décrochage définitif dans la résolution des problèmes rencontrés.
    Nous pouvons résumer cela en trois temps :
    nous proposons aux élèves des milieux matériels (sémiotiques) spécifiques et adaptés nous paraissant susceptibles de provoquer des expériences et des créations personnelles et/ou collectives,
    nous ajoutons parfois dans ces environnements des contraintes spécifiques au cours de la résolution,
    nous observons et interagissons avec les propositions faites par les élèves.
    Nous ne faisons pas référence exclusivement à la terminologie de situation telle qu'elle est utilisée par Brousseau (1998) dans la théorie des situations didactiques, car nous n'emportons pas systématiquement l'ensemble des quatre phases chronologiques que sont l'action, la formulation, la validation et l'institutionnalisation. Nous limitons également l'étude environnementale de nos situations au domaine de la classe du fait de la complexité accrue à la fois des rôles institutionnels dans le cadre de l'enseignement spécialisé mais également des parcours personnels des élèves tant la mixité des handicaps est aujourd'hui de mise dans les classes.
  • Mathématiques et réalité - Dias 2014

    1. 1. La diversité empirique pour faire exister les objets mathématiques Thierry Dias Haute Ecole pédagogique du canton de Vaud Lausanne, Suisse thierry.dias@hepl.ch
    2. 2. Thierry Dias – juillet 2014 Références épistémologiques principales pour cette allocution : Petitot, J. (1987). Refaire le Timée : introduction à la philosophie mathématiques d'Albert Lautman. Revue d'histoire des sciences, 40(1), 79-115. Petitot, J. (1991). Idéalités mathématiques et réalité objective. Approche transcendantale. Hommage à Jean Toussaint Dessanti, Trans Europ-Repress, Mauvezin. Descaves, A. (2011). L'apprentissage du sens, certes ! Mais dans quel ses prendre le sens ? Actes du colloque de la COPIRELEM, Tours. Conne, F. (1999). Faire des maths, faire faire des maths, regarder ce que ça donne, In Le Cognitif en didactique des mathématiques, G. Lemoyne et F. Conne eds, presses universitaires de l'UdeM, p.31-69
    3. 3. Thierry Dias – juillet 2014 1. De la réalité des objets mathématiques 2. Situation, savoir/connaissance/expérience 3. Des environnements et des choses pour faire exister les objets mathématiques
    4. 4. Thierry Dias – juillet 2014 1. De la réalité des objets mathématiques •un positionnement épistémologique nécessaire •la question du sens •réel partagé •distinction choses/objets
    5. 5. Thierry Dias – juillet 2014 Les quatre piliers de l'épistémologie des mathématiques (Petitot) : -les actes constitutifs de l'activité mathématique -le statut de la connaissance et de la légalité symbolique -le problème de la donation et de la réalité des objets et des structures mathématiques -la nature de l'applicabilité des mathématiques au monde de l'expérience
    6. 6. Thierry Dias – juillet 2014 Les objets mathématiques peuvent être considérés comme des principes de cohérence. Les objets mathématiques sont des corrélats d'actes opérant sur un donné perceptif. (Descaves, 2001)
    7. 7. Thierry Dias – juillet 2014 subsomption* (catégorisation) langage formel Faits (et divers) empiriques Faits (et divers) empiriques CONCEPTS schématisation* modélisation corrélationcorrélation MATHEMATIQUES pas de dénotation *subsomption au sens Kantien: rapporter la pluralité des données de l'intuition à l'ensemble des concepts purs de l'entendement choseschoses expériences sensibles expériences sensibles *schématisation au sens (relativement) Kantien: passage par des schèmes intermédiaires entre entendement et sensibilité objet mathématique spécifique
    8. 8. Thierry Dias – juillet 2014 Sens et réalité ? Osons un renversement de point de vue : Ce ne sont pas les situations concrètes qui donnent du sens (c'est à dire leur cohérence) aux objets mathématiques, mais plutôt les mathématiques et leurs objets qui déterminent les formes de la réalité. "On ne peut pas confondre le sens des objets mathématiques avec celui de leur utilisation dans des situations concrètes." (Descaves)
    9. 9. Thierry Dias – juillet 2014 C'est notamment la cohérence des règles opérant sur le système symbolique qui donne du sens aux situations et aux éventuelles expériences qu'elles provoquent chez les élèves. voire la métaphore de l'iceberg proposée par Drijvers…
    10. 10. Thierry Dias – juillet 2014 • Dépasser la juxtaposition des expériences. • Ce qui fait sens n'est pas l'expérience mais la théorie liée aux objets de savoir mathématiques (leur syntaxe, leur sémantique). • Éviter de croire ou de compter sur la rencontre fortuite des savoirs lors des expériences : expérimenter /vs manipuler.
    11. 11. Thierry Dias – juillet 2014 Réel partagé (Lelong, 2004) : nécessité (mais non suffisance) des expériences sociales interactives. Une communauté d'individus (d'élèves par exemple) qui collaborent dans leurs actes et leurs mots en vue de catégorisations permettant l'élaboration de concepts.
    12. 12. Thierry Dias – juillet 2014 Distinction choses/objets (Conne) Enseigner consiste à mettre en scène des objets de savoir que les élèves perçoivent comme des choses avec lesquelles ils peuvent interagir. Pour différents sujets, une même chose ne réfèrera pas forcément au même objet.
    13. 13. Thierry Dias – juillet 2014 conclusion du positionnement épistémologique : La réalité peut être associée à la notion de véracité (Granger, 1999) : les objets, les choses, les actes et les pensées sont, ou, pour le moins, peuvent devenir.
    14. 14. Thierry Dias – juillet 2014 2. Situation : savoir / connaissance / expérience La situation est une modélisation théorique d'un niveau de réalité qui tient compte des différents types d'interactions qu'il faut distinguer selon les statuts des sujets et des objets qui interagissent.
    15. 15. Thierry Dias – juillet 2014 Finalité didactique : réussir la rencontre entre les objets et les sujets L'environnement créé pour les échanges de signes et de connaissances et pour les expériences sur les choses ne garantit pas la rencontre des objets mathématiques. C'est la consistance des situations (la richesse de leurs milieux) qui permet ou non le processus de conceptualisation.
    16. 16. Thierry Dias – juillet 2014 savoirssavoirs connaissancesconnaissances situation expériences environnement d'apprentissageenvironnement d'apprentissage faits et phénomènes divers empirique objetsobjets choseschoses signes représentations point de vue enseignantpoint de vue enseignant point de vue apprenantpoint de vue apprenant
    17. 17. Thierry Dias – juillet 2014 3. Des expériences pour faire exister les objets mathématiques ou comment rendre opérationnels les principes épistémologiques…
    18. 18. Thierry Dias – juillet 2014 Différents contextes de mise en œuvre des situations expérimentales : - les élèves ayant des besoins spécifiques - les enseignants en formation initiale - les enseignants en formation continue
    19. 19. Thierry Dias – juillet 2014 • nous proposons aux élèves des milieux matériels spécifiques et adaptés susceptibles de provoquer des expériences et des créations personnelles et/ou collectives, • nous ajoutons dans ces environnements des contraintes spécifiques (parfois au cours de la résolution), • nous observons et interagissons avec les propositions faites par les élèves.
    20. 20. Thierry Dias – juillet 2014 Le choix de l'espace et de la géométrie Pour devenir géométrique, l'a priori de l'espace sensible (l'espace représentatif) doit être idéalisé. Or, bien qu'empiriquement contraint, ce procès d'idéalisation est empiriquement (et expérimentalement) indécidable. Il relève d'une faculté formelle et a priori d'abstraction intellectuelle qui est autonome relativement à l'espace sensible. (Petitot, 1987).
    21. 21. Thierry Dias – juillet 2014 le choix d'un travail dans l'espace : -pour échapper à l'emprise du formalisme numérique, -pour aider au passage du local au global (facilitation des processus de généralisation), -pas de formalisme préalable prégnant.
    22. 22. Thierry Dias – juillet 2014 exemple 1 : Construire en grand originalité de la situation : ses variables de grandeur (dimension 3, longueur et aire) choses : baguettes, connecteurs, ficelle objets : plan, angles, symétries, limite tâche expérimentale : construire, observer, anticiper, comprendre des fuzzy constructions des fuzzy constructions
    23. 23. Thierry Dias – juillet 2014 L'expérimentation consiste à intervenir, anticiper, transformer, vérifier dans une chronologie d'actes qui appartient à chaque sujet mais qui s'interpellent constamment.
    24. 24. Thierry Dias – juillet 2014 montrer, désigner, expérimenter les choses qui peuvent être les modélisations des objets mathématiques idéaux Construire en grand: varier les registres de représentation
    25. 25. Thierry Dias – juillet 2014 La variation et la mise en lien des registres de représentations des objets géométriques est susceptible de révéler les connaissances et les aptitudes des apprentis mathématiciens (élèves et/ou enseignants).
    26. 26. Thierry Dias – juillet 2014  l’enjeu spatial et corporel dans la construction des connaissances géométriques à la rencontre des objets géométriques via la catégorisation et la mise en réseau des connaissances réel partagé réel partagé
    27. 27. Thierry Dias – juillet 2014 Construire en grand: pour faire des expériences différentes, pour exprimer et changer son point de vue.
    28. 28. Thierry Dias – juillet 2014 exemple 2 : paver l'espace avec uniquement les solides platoniciens originalité de la situation : son ancrage culturel et esthétique choses : enveloppes, boites objets : plan, angles, symétries, limite tâche expérimentale : explorer, mettre en relation
    29. 29. Thierry Dias – juillet 2014
    30. 30. Thierry Dias – juillet 2014 thierry.dias@hepl.ch http://perso.orange.fr/dias.thierry thierry.dias@hepl.ch http://perso.orange.fr/dias.thierry

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