Transmissão de Calor e suas Aplicações na Engenharia

UNIVERSIDADE DE SANTA CRUZ DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA, ARQUITETURA E CIÊNCIAS AGRÁRIAS
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA
TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA
Atualizado por: Prof. Anderson Fávero Porte
Santa Cruz do Sul, agosto 2007.

Apostila de Transferência de Calor e Massa 2
1) GENERALIDADES
1.1) INTRODUÇÃO
Sempre que um corpo está a uma temperatura maior que a de outro ou, inclusive, no
mesmo corpo existam temperaturas diferentes, ocorre uma cessão de energia da região de
temperatura mais elevada para a mais baixa, e a esse fenômeno dá-se o nome de
transmissão de calor.
O objetivo de presente curso é estudar as leis e os princípios que regem a
transmissão de calor, bem como suas aplicações, visto que é de fundamental importância,
para diferentes ramos de Engenharia, o domínio dessa área de conhecimento. Assim como
o Engenheiro Mecânico enfrente problemas de refrigeração de motores, de ventilação, ar
condicionado etc., o Engenheiro Metalúrgico não pode dispensar a transmissão de calor nos
problemas relacionados a processos pirometalúrgicos ou hidrometalúrgicos, ou nos projetos
de fornos ou de regeneradores.
Em nível idêntico, o Engenheiro Químico ou Nuclear necessita da mesma ciência
em estudos sobre evaporação, condensação ou em trabalhos de refinaria e reatores,
enquanto o Eletricista a utiliza no cálculo de transformadores e geradores e o Engenheiro
Naval aplica em profundidade a transmissão de calor em caldeiras, máquinas térmicas, etc.
Até mesmo o Engenheiro Civil e o arquiteto, especialmente em países frios, sentem a
importância de, em seus projetos, preverem tubulações interiores nas alvenarias das
edificações, objetivando o escoamento de fluidos quentes, capazes de permitirem conforto
maior mediante aquecimento ambiental.
Esses são, apenas, alguns exemplos, entre as mais diversas aplicações que a
Transmissão de Calor propicia no desempenho profissional da Engenharia.
Conforme se verá no desenvolvimento da matéria, é indispensável aplicar recursos
de Matemática e de Mecânica dos Fluidos em muitas ocasiões, bem como se perceberá a
ligação e a diferença entre Transmissão de calor e Termodinâmica..
A Termodinâmica relaciona o calor com outras formas de energia e trabalha com
sistemas em equilíbrio, enquanto a Transmissão de calor preocupa-se com o mecanismo, a
duração e as condições necessárias para que o citado sistema atinja o equilíbrio.
É evidente que os processos de Transmissão de Calor respeitem a primeira e a
segunda Lei da Termodinâmica, mas, nem por isto, pode-se esperar que os conceitos
básicos da Transmissão de calor possam simplesmente originar-se das leis fundamentais da
Termodinâmica.
Evidente também é, sem dúvida, que o calor se transmite sempre no sentido da
maior para a menor temperatura, e só haverá transmissão de calor se houver diferença de
temperatura, da mesma forma que a corrente elétrica transita do maior para o menor
potencial e só haverá passagem de corrente elétrica se houver uma diferença de potencial;
percebe-se, de início, sensível analogia entre os fenômenos térmico e elétrico, o que é
absolutamente correto, pois que, de fato, o fenômeno é de transporte e pode ser, inclusive,
estudado de forma global, como calor, eletricidade, massa, quantidade de movimento, etc.,
resultando daí a absoluta identidade entre as diferentes leis que comandam deferentes
setores do conhecimento humano.

1.2) REGIMES DE TRANSMISSÃO DE CALOR
Seja uma parede em forma de paralelepípedo, com todas as faces suficientemente
isoladas, exceto duas opostas e paralelas; de início estas faces estão à mesma temperatura
Ti, logo não há transmissão de calor através da parede. Em determinado instante, eleva-se
subitamente uma das faces à temperatura Tf e haverá transporte de calor na direção x (Fig.
1.4)
Fig. 1.4
Imaginando-se que Ti e Tf sejam temperaturas mantidas inalteradas, haverá, para cada
instante t que se considere, uma curva representativa de T = f(x), isto é, um mesmo ponto
de uma mesma seção reta terá temperaturas diferentes no decorrer do tempo, daí as curvas
para os tempos t1, t2, t3, etc. Desde que se conservem Ti e Tf, ocorrerá um determinado
momento, a partir do qual os pontos de uma mesma seção reta não mais variarão sua
temperatura com o tempo.
Com esse exemplo é possível caracterizar os dois regimes em que podem suceder as
formas de transmissão de calor.
Durante o período em que um mesmo ponto da parede alterou sua temperatura com o
tempo, diz-se que a parede estava em regime transitório, e, quando a temperatura do
mesmo ponto conservou-se constante, diz-se que na parede reinava regime estacionário ou
permanente; são esses os dois regimes de transmissão de calor.
O regime transitório pode ser particularmente um caso de periodicidade, no qual as
temperaturas de um mesmo ponto variem ciclicamente segundo uma determinada lei,
como, por exemplo, uma variação senoidal ou a variação da temperatura na cobertura de
um edifício, exposta dia e noite às condições atmosféricas. A esse regime costuma-se
denominar regime periódico.
É possível, e inclusive muito útil, definir regime estacionário e regime transitório em
termos de fluxo de calor. Assim, regime estacionário é aquele em que o fluxo de calor é
constante no interior da parede, pois os pontos interiores já apresentam saturação térmica e

não alterarão mais suas temperaturas, logo o fluxo de calor que entra é igual ao fluxo de
calor que sai; e regime transitório é aquele em que o fluxo de calor é variável nas diferentes
seções da parede ou, em outras palavras, o fluxo que entra é diferente do fluxo de calor que
sai.
1.3) FORMAS DE TRANSMISSÃO DE CALOR
Existem três formas de transmissão de calor: condução, convecção e radiação.
Tais formas são fundamentalmente diferentes, regidas por leis próprias, mas que, na
realidade, podem ocorrer em simultaneidade, o que torna, por vezes, muito complexa a
solução absolutamente exata de um problema de transmissão de calor.
O bom senso do engenheiro, sua experiência e o adequado conhecimento da matéria
ensejar-lhe-ão a oportunidade de desprezar uma ou até duas formas de transmissão de calor,
no projeto ou num problema de Engenharia, desde que as formas não consideradas tenham
presença insignificante, não ocasionando falhas nos resultados finais e oferecendo,
autenticamente, uma solução de Engenharia não deixando um problema sem solução, dada
a preocupação com a exatidão, que, conforme se poderá perceber no desenvolvimento de
assunto, é em várias ocasiões, absolutamente dispensável.
Em capítulos seguintes será estudada, em detalhe, cada uma das formas de
transmissão de calor, mas cabe aqui definir corretamente as diferenças entre as três citadas,
para que o acompanhamento do assunto possa ser feito com maior segurança e categoria.
1.3.1) Transferência de Calor por Condução
Quando existe um gradiente de temperatura num corpo, a experiência mostra que
ocorre uma transferência de energia de alta temperatura para a região de baixa temperatura.
Diz-se que a energia é transferida por condução e a taxa de transferência de calor por
unidade de área é proporcional ao gradiente normal de temperatura
≈
A
q
x
T
∂
∂
Quando a constante de proporcionalidade é inserida
x
T
kAq
∂
∂
−= 1-1
onde q é a taxa de transferência de calor e ∂T/∂x é o gradiente de temperatura na direção do
fluxo de calor. A constante positiva k é chamada condutividade térmica do material, sendo
o sinal de menos inserido para satisfazer o segundo princípio da termodinâmica, ou seja, o
calor deve fluir no sentido da temperatura decrescente, como indicado no sistema de
coordenadas da Fig. 1-1

Fig. 1-1 Esquema mostrando a direção do fluxo de calor
A equação 1-1 é chamada de lei de Fourier da condução de calor, em homenagem
ao físico matemático francês Joseph Fourier que trouxe contribuições significativas ao
tratamento analítico da transferência de calor por condução. É importante observar que a
Eq. 1-1 é a equação de definição de condutividade térmica e que k tem unidade de watt por
metro por grau Celsius [W/(m.o
C)] no Sistema Internacional de Unidades (SI).
O problema a ser tratado agora é o da determinação da equação básica que governa
a transferência de calor através de um sólido utilizando a Eq. 1-1 como ponto de partida.
Considere o sistema unidimensional mostrado na Fig. 1-2. Se o sistema está em
regime permanente, isto é, se a temperatura não varia com o tempo, então o problema é
simples devendo-se somente integrar a Eq. 1-1 e substituir os valores apropriados para a
solução nas quantidades desejadas. Entretanto, se a temperatura do sólido varia com o
tempo, ou se existem fontes ou sumidouros de calor no interior do sólido, a situação é mais
complicada. Consideremos o caso geral onde a temperatura pode variar com o tempo e
fontes de calor podem ocorrer no interior do corpo. Para o elemento de espessura dx, o
seguinte balanço de energia pode ser feito:
Fig. 1-2 Volume elementar para a análise da condução de calor unidimensional
Energia conduzida para dentro pela face esquerda + calor gerado no interior do elemento =
variação de energia interna + energia conduzida para fora pela face direita.
Estas quantidades de energia são dadas pelas seguintes expressões:
Energia conduzida para dentro pela face esquerda:

x
T
kAqx
∂
∂
−=
Calor gerado no interior do elemento: qx = q& Adx
Variação da energia interna: dx
T
cAE
τ∂
∂
ρ=∆
Energia conduzida para fora pela face direita:












∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
−= ++
dx
x
T
k
xx
T
kA]
x
T
kAq dxxdxx
onde q& = energia gerada por unidade de volume
c = calor específico do material
ρ = densidade
A combinação das relações acima fornece:












∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
τ∂
∂
ρ=+
∂
∂
− dx
x
T
k
xx
T
kAdx
T
cAAdxq
x
T
kA &
ou
τ∂
∂
ρ=+





∂
∂
∂
∂ T
cq
x
T
k
x
& 1-2
Esta é equação da condução de calor unidimensional. Para tratar do fluxo de
calor em mais de uma dimensão deve-se considerar o calor conduzido para dentro e
para fora do volume elementar em todas as três direções coordenadas, como
mostrado na Fig. 1-3. O balanço de energia conduz a:
Fig.1.3
τ
+++=+++ +++
d
dE
qqqqqqq dzzdyydxxgerzyx
sendo as quantidades de energia dadas por
x
T
kdydzqx
∂
∂
−=

dydzdx
x
T
k
xx
T
kq dxx 











∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−=+
y
T
kdxdzqy
∂
∂
−=
dxdzdy
y
T
k
yy
T
kq dyy 











∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−=+
z
T
kdxdyqz
∂
∂
−=
dxdydz
z
T
k
zz
T
kq dzz 











∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−=+
dxdydzqqger
&=
τ∂
∂
ρ=
τ
T
cdxdydz
d
dE
Assim a equação geral tridimensional da condução fica:
τ
ρ
∂
∂
=+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂ T
cq
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
& 1.3
Para condutividade constante a Eq. 1.3 pode ser escrita
τα ∂
∂
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ T
k
q
z
T
y
T
x
T 1
2
2
2
2
2
2
&
1.4
onde a quantidade α = k/ρc é chamada de difusividade térmica do material. Quanto maior o
valor de α, mais rapidamente o calor irá se difundir através do material. Isto pode ser visto
observando-se as quantidades que compõem α. Um valor elevado de α pode resultar tanto
de um valor elevado da condutividade térmica quanto de um valor baixo da capacidade
térmica ρc. Um valor baixo da capacidade térmica significa que menor quantidade de
energia em trânsito através do material é absorvida e utilizada para elevar a temperatura do
material; assim, mais energia encontra-se disponível para ser transferida.
Nas deduções acima, a expressão da derivada x + dx foi escrita na forma de uma
expansão de Taylor onde somente os dois primeiros termos da série foram considerados no
desenvolvimento.
Muitos problemas práticos envolvem somente casos especiais das equações gerais
apresentadas acima. Como uma orientação pata desenvolvimento em capítulos futuros, é
conveniente mostrar a forma reduzida da equação geral para alguns casos de interesse
prático.
- Fluxo de calor unidimensional em regime permanente (sem geração de calor)
02
2
=
dx
Td
1.5

- Fluxo de calor unidimensional em regime permanente com fontes de calor
02
2
=+
∂
∂
k
q
x
T &
1.6
- Condução bidimensional em regime permanente sem fontes de calor
02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
T
x
T
1.7
1.3.1.1) Condutividade Térmica
A Eq. 1-1 é a equação de definição para a condutividade térmica. Com base nesta
definição, podem ser feitas medidas experimentais para a determinação da condutividade
térmica de diferentes materiais. Tratamentos analíticos da teoria cinética podem ser usados
para gases em temperaturas moderadamente baixas para antecipar com precisão os valores
observados experimentalmente. Em alguns casos existem teorias para o cálculo da
condutividade térmica em líquidos e sólidos, mas em geral nestas situações os conceitos
não são muito claros, permanecendo várias questões em aberto.
O mecanismo da condução térmica num gás é simples. A energia cinética de uma
molécula é identificada com sua temperatura; assim, numa região de alta temperatura as
moléculas têm velocidades maiores do que numa região de baixa temperatura. As
moléculas estão em movimento contínuo ao acaso, colidindo umas com as outras e
trocando energia e quantidade de movimento.Esta movimentação ao acaso das moléculas
independe da existência de um gradiente de temperatura no gás. Se uma molécula se
movimenta de uma região de alta temperatura para uma de baixa temperatura, ela transporta
energia cinética para esta região de baixa temperatura do sistema perdendo esta energia
através de colisões com moléculas de energia mais baixa.
Foi dito que a unidade da condutividade térmica é watts por metro por grau Celsius
[W/(m.o
C)] no SI. Note que existe uma taxa de calor envolvida, e o valor numérico da
condutividade térmica indica a rapidez com que o calor será transferido num dado material.
Qual é a taxa de transferência de energia levando-se em consideração o modelo molecular
discutido acima? Quanto mais veloz o movimento das moléculas, mais rapidamente a
energia será transportada. Portanto, a condutividade térmica de um gás deve ser dependente
da temperatura. Um tratamento analítico simplificado mostra que a condutividade térmica
de um gás varia com a raiz quadrada da temperatura absoluta. (Convém lembrar que a
velocidade do som em um gás varia com a raiz quadrada da temperatura absoluta
kRTv = ; esta velocidade é aproximadamente a velociade média das moléculas.)
O mecanismo físico da condução de energia térmica em líquidos é qualitativamente
o mesmo dos gases; entretanto, a situação é consideravelmente mais complexa, uma vez
que o espaçamento das moléculas é menor e os campos de força molecular exercem uma
forte influência na troca de energia no processo de colisão.
A energia térmica pode ser conduzida em sólidos de duas maneiras: vibração da
grade e transporte por elétrons livres. Em bons condutores elétricos um grande número de
elétrons move-se sobre a estrutura do material. Como estes elétrons podem transportar
carga elétrica, podem também conduzir energia de uma região de alta temperatura para uma

região de baixa temperatura, como nos gases. A energia também pode ser transmitida como
energia de vibração na estrutura do material. Entretanto, este último modo de transferência
de energia não é tão efetivo quanto o transporte por elétrons, sendo esta a razão pela qual
bons condutores elétricos são quase sempre bons condutores de calor, como por exemplo o
cobre, o alumínio e a prata, e isolantes elétricos geralmente são bons isolantes térmicos.
Um problema técnico importante é o armazenamento e o transporte, por longos
períodos, de líquidos criogênicos como o hidrogênio líquido. Tais aplicações causaram o
desenvolvimento de superisolantes para serem usados em temperaturas mais baixas (até
aproximadamente –250o
C). O superisolamento mais efetivo é constituído de múltiplas
camadas de materiais altamente refletivos separados por espaçadores isolantes. O sistema é
evacuado para minimizar as perdas pela condução no ar, sendo possível atingir
condutividades térmicas tão baixas quanto 0,3 mW/(m.o
C).
1.3.2) Transferência de Calor por Convecção
É sabido que uma placa de metal aquecida irá se resfriar mais rapidamente quando
colocada em frente ao ventilador do que exposta ao ar parado. Este processo é chamado de
transferência de calor por convecção. O termo convecção fornece ao leitor uma noção
intuitiva em relação ao processo de transferência de calor; entretanto, esta noção intuitiva
deve ser ampliada para que se possa conseguir um tratamento analítico adequado do
problema. Por exemplo, sabemos que a velocidade do ar sobre a placa aquecida influencia a
taxa de transferência de calor. Mas esta influência sobre o resfriamento será linear, ou seja,
dobrando-se a velocidade do ar estaremos dobrando a taxa de calor transferido? Devemos
supor que a taxa de transferência de calor será diferente se a placa for resfriada com água
em vez de ar. Porém de quanto será essa diferença? Estas questões podem ser respondidas
com o auxílio de algumas análises básicas a serem apresentadas nos próximos capítulos.
Agora, o mecanismo físico da transferência de calor por convecção será esquematizado e
mostrada a sua relação com o processo de condução.
Considere a placa aquecida mostrada na fig 1.5. A temperatura da placa é Tp, e a
temperatura do fluido é T∞. Nesta está representado o comportamento da velocidade do
escoamento, que se reduz a zero na superfície da placa como resultado da ação viscosa.
Como a velocidade da camada de fluido junto à parede é zero, o calor deve ser transferido
somente por condução neste ponto. Assim devemos calcular o calor transferido, usando a
Eq. 1-1, com a condutividade térmica do fluido e o gradiente de temperatura junto à parede.
Por que, então, se o calor é transferido por condução nesta camada, falamos em
transferência de calor por convecção e precisamos considerar a velocidade do fluido? A
resposta é que o gradiente de temperatura depende da razão na qual o calor é removido;
uma velocidade alta produz um gradiente elevado de temperatura, e assim por diante.
Portanto, o gradiente de temperatura junto à parede depende do campo de velocidade;
conseqüentemente, em análises posteriores, desenvolveremos uma expressão que relaciona
essas duas quantidades. Deve ser lembrado, entretanto, que o mecanismo de transferência
de calor na parede é um processo de condução.
O efeito global da convecção é expresso através da lei de Newton do resfriamento
q = hA(Tp - T∞) 1.8

Fig. 1-5 transferência de calor por convecção
Aqui a taxa de transferência de calor é relacionada à diferença de temperatura entre a
parede e o fluido e à área superficial A. A quantidade h é chamada de coeficiente de
transferência de calor por convecção, e a Eq. 1.8 é a equação de definição deste parâmetro.
Para alguns sistemas é possível o cálculo analítico de h. Para situações complexas e
determinação é experimental o coeficiente de transferência é algumas vezes chamado de
condutância de película devido à sua relação com o processo da condução na fina camada
de fluido estacionário junto à superfície da parede. Pela Eq. 1.8 a unidade de h é watt por
metro quadrado por grau Celsius [W/(m2
.o
C)] no SI.
Em vista desta discussão, pode-se antecipar que a transferência de calor por
convecção irá exibir uma dependência da viscosidade do fluido além da sua dependência
das propriedades térmicas do fluido (condutividade térmica, calor específico, densidade).
Isto é esperado porque a viscosidade influência o perfil de velocidade e, portanto, a taxa de
transferência de energia na região junto à parede.
Se uma placa aquecida estiver exposta ao ar ambiente sem uma fonte externa de
movimentação de fluido, o movimento do ar será devido aos gradientes de densidade nas
proximidades da placa. Esta convecção é chamada natural ou livre em oposição à
convecção forçada, que ocorre no caso de se ter um ventilador movimentando o ar sobre a
placa. Os fenômenos de ebulição e condensação são também agrupados dentro desse
assunto de transferência de calor por convecção
1.3.3) Transferência de Calor por Radiação
Em contraste com os mecanismos de condução e convecção, onde a energia é
transferida através de um meio natural, o calor pode também ser transferido em regiões
onde existe o vácuo perfeito. O mecanismo neste caso é a radiação eletromagnética que é
propagada como resultado de uma diferença de temperatura; trata-se da radiação térmica.
Considerações termodinâmicas mostram que um radiador ideal, ou corpo negro,
emite energia numa taxa proporcional à quarta potência da temperatura absoluta do corpo.
Quando dois corpos trocam calor por radiação, a troca líquida de calor é proporcional à
diferença T4
. Assim
q = σA(T1
4
– T2
4
) 1-9
Onde σ é a constante de proporcionalidade chamada de constante de Stefan-Boltzmann
que vale σ = 5,669 x 10-8
W/(m2
.K4
). A Eq. 1-9 é chamada de lei de Stefan-Boltzmann da

radiação térmica e vale somente para corpos negros. É importante observar que esta
equação é válida somente para radiação térmica; outros tipos de radiação eletromagnética
podem não ser tratados com esta simplicidade.
Foi mencionado que um corpo negro é um corpo que emite energia de acordo com a
lei T4
. Tal corpo é denominado negro porque superfícies negras, como um pedaço de metal
coberto por negro de fumo, se aproxima desse tipo de comportamento. Outros tipos de
superfícies, como uma superfície pintada ou uma placa metálica polida, não emitem tanta
energia quanto o corpo negro; entretanto, a radiação total emita por estes corpos ainda é
proporcional a T4
. Para levar em consideração a natureza “cinzenta” destas superfícies é
introduzido um outro fator na Eq. 1-9, a emissividade ε, que relaciona a radiação de uma
superfície “cinzenta” com a de uma superfície negra ideal. Além disso devemos levar em
conta que nem toda a radiação que deixa uma superfície atinge a outra superfície, uma vez
que a radiação eletromagnética se propaga segundo linhas retas havendo perdas para o
ambiente. Portanto, para considerar estas duas situações, são introduzidos dois novos
fatores na Eq. 1-9
Q = Fεεεε FG σσσσA(T1
4
– T2
4
) 1.10
onde Fε é a função emissividade e FG é a função “fator de forma” geométrico. A
determinação da forma destas funções para configurações específicas é objeto de um
capítulo subseqüente. Entretanto, é importante alertar para o fato destas funções em geral
não serem independentes uma da outra como indicado na Eq. 1-10.
O fenômeno da transferência de calor por radiação pode ser muito complexo e os
cálculos raramente são simples como indicado pela Eq. 1-10. No momento, interessa-nos
somente enfatizar as diferenças entre o mecanismo físico da transferência de calor pela
radiação e os sistemas condução e convecção.

2. CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME
PERMANENTE
2.1) INTRODUÇÃO
Agora serão examinadas as aplicações da lei de Fourier da condução de calor para o
cálculo da transferência de calor em sistemas unidimensionais. Muitos formatos físicos
diferentes podem ser incluídos na categoria de sistemas unidimensionais. Sistemas
cilíndricos e esféricos são unidimensionais quando a temperatura no corpo é função
somente da distância radial e independe do ângulo azimutal ou da distância axial. Em
alguns problemas bidimensionais os efeitos da segunda coordenada espacial podem ser tão
pequenos a ponto de serem desprezados, e o problema de fluxo de calor multidimensional
pode ser aproximado por uma análise unidimensional. Nestes casos as equações
diferenciais são simplificadas e as soluções são obtidas mais facilmente como resultados
destas simplificações.
2.2) A PAREDE PLANA
Inicialmente considere a parede plana onde pode ser feita uma aplicação direta da
lei de Fourier (Eq. 1-1). Da integração resulta
( )12 TT
x
kA
q −
∆
−= 2-1
para condutividade constante. A espessura da parede é ∆x, e as temperaturas das faces da
parede são T1 e T2. Se a condutividade térmica varia com a temperatura de acordo com
alguma relação linear k = ko(1 + βT), a equação resultante para o fluxo de calor é
( ) ( )



−+−
∆
−=
2
1
2
212
2
TTTT
x
Ak
q o β
2.2
Se mais de um material estiver presente, como é o caso da parede composta mostrada na
Fig. 2-1, o fluxo de calor poderá ser escrito
c
34
c
B
23
B
A
12
A
x
TT
Ak
x
TT
Ak
x
TT
Akq
∆
−
−=
∆
−
−=
∆
−
−=
Observe que o fluxo de calor deve ser o mesmo através de todas as seções.
Resolvendo estas equações simultaneamente, o fluxo de calor é dado por
Ak/xAk/xAk/x
TT
q
cCBBAA
41
∆+∆+∆
−
= 2-3

Aqui é conveniente introduzir um ponto de vista conceitual diferente para a lei de
Fourier. A taxa de transferência de calor pode ser considerada como um fluxo, a
combinação da condutividade térmica, espessura do material, e a área como uma resistência
a este fluxo. A temperatura, e a função potencial, ou motora, para este fluxo de calor, e a
equação de Fourier pode ser escrita
elétricaaResistênci
potencialdeDiferença
calordeFluxo = 2-4
que é uma relação semelhante à lei de Ohm na teoria de circuitos elétricos.
Fig. 2-1 Transferência de calor unidimensional através de uma parede composta e analogia elétrica
Fig. 2-2 Transferência de calor em série e em paralelo através de uma parede composta e a analogia elétrica.
Na Eq. 2-1 a resistência a resistência térmica é ∆x/kA, e na Eq. 2.3 á soma dos três
termos do denominador. Esta situação é esperada na Eq. 2.3 porque as três paredes lado a
lado agem como três resistências térmicas em série.

A analogia elétrica pode ser empregada para resolver problemas mais complexos
envolvendo resistências térmicas em série e em paralelo. Um problema típico e o seu
circuito análogo estão mostrados na Fig. 2-2. A equação do fluxo de calor unidimensional
para este tipo de problema pode ser escrita
∑
∆
=
t
total
R
T
q 2-5
onde Rt são as resistências térmicas dos vários materiais.
É interessante mencionar que em alguns sistemas como o da Fig. 2-2 pode resultar
um fluxo de calor bidimensional se as condutividades térmicas dos materiais B, C e D
forem muito diferentes. Nesses casos outras técnicas devem ser empregadas para a
obtenção de uma solução.
2.4) SISTEMAS RADIAIS – CILINDROS
Considere um cilindro longo de raio interno ri, raio externo re, e comprimento L, tal
como mostrado na Fig. 2-3. Este cilindro é submetido a um diferencial de temperatura(Ti –
Te) e deseja-se saber qual será o fluxo de calor. Pode-se considerar que o fluxo é
transmitido na direção radial e assim a única coordenada espacial que deve ser especificada
é r.
Fig. 2-3 Fluxo de calor unidimensional através de uma parede cilíndrica e a analogia elétrica
Fig. 2.4 Fluxo de calor unidimensional através de seções cilíndricas múltiplas e a analogia elétrica
Mais uma vez é usada a lei de Fourier, inserindo-se a relação de áreas apropriadas. A área
para o fluxo de calor em sistemas cilíndricos é
Ar = 2πrL
E, portanto a lei de Fourier fica

dr
dT
kAq rr −=
ou
dr
dT
krL2qr π−= 2-7
com as condições de contorno
T =Ti em r = ri
T = Te em r = re
A solução da Eq. 2-7 é
( )
( )ie
ei
rr
TTkL
q
ln
2 −
=
π
2-8
e a resistência térmica pode ser usado para paredes cilíndricas compostas, da mesma
maneira que para paredes planas. Para o sistema de três camadas mostrado na Fig. 2-4 a
solução é
( )
( ) ( ) ( ) CBA krrkrrkrr
TTL
q
342312
41
lnlnln
2
++
−
=
π
2-9
O circuito térmico é mostrado na Fig. 2-4b.
Sistemas esféricos também podem ser tratados como udimensionais quando a
temperatura é somente função do raio. O fluxo de calor é então
ei
ei
r1r1
)TT(k4
q
−
−π
= 2-10
2.5) O COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Considere a parede plana mostrada na Fig. 2-5, exposta a um fluido quente A em
um dos lados. O calor transferido é dado por
( ) ( ) ( )B22211A1 TTAhTT
x
kA
TTAhq −=−
∆
=−=

Fig. 2-5 Fluxo de calor através de uma parede plana
O processo de transferência de calor pode ser representado pelo circuito da
resistência da Fig. 2-5, e o calor total transferido é calculado como razão entre a diferença
total de temperatura e a soma das resistências térmicas
AhkAxAh
TT
q BA
21 11 +∆+
−
= 2.11
Observe que o valor 1/ha é usado para representar a resistência de convecção. O
calor total transferido pelos mecanismos combinados de condução e convecção é
freqüentemente expresso em termos de um coeficiente global de transferência de calor U,
definido pela relação
totalTUAq ∆= 2.12
onde A é uma área adequada para a transferência de calor. De acorda com a Eq. 2.11, o
coeficiente global de transferência de calor é
21 11
1
hkxh
U
+∆+
=
A analogia elétrica para um cilindro oco, que troca calor por convecção interna e
externamente, está representada na Fig. 2-6, onde TA e TB são as temperaturas dos fluidos.
Fig. 2-6 Analogia elétrica para um cilindro oco com troca de calor por convecção nas superfícies interna e externa
Observe que a área para convecção não é a mesma para os dois fluidos neste caso.
Estas áreas dependem do diâmetro interno do tubo e da espessura da parede. Neste caso, o
fluxo total de calor é dado por

( )
ee
ie
ii
BA
AhkL
rr
Ah
TT
q
1
2
ln1
++
−
=
π
2.13
de acorda com o circuito térmico da Fig. 2-6. Os termos Ai e Ae reapresentam as áreas das
superfícies interna e externa do tubo. O coeficiente global de transferência de calor pode ser
baseado tanto na área interna como na externa.
( )
ee
iiei
i
i
hA
A
kL
rrA
h
U
1
2
ln1
1
++
=
π
2-14
( )
e
iee
ii
e
e
hkL
rrA
hA
A
U
1
2
ln1
1
++
=
π
2-15
2.6) ESPESSURA CRÍTICA DE ISOLAMENTO
Considere uma camada de isolamento que pode ser instalada ao redor de um tubo
circular, como mostrado na Fig. 2-7. A temperatura interna do isolamento é fixada em Ti, e
a superfície externa troca calor com o ambiente a T∞. Do circuito térmico, o calor
transferido vale
Fig 2-7 Espessura crítica de isolamento
( )
( )
hrk
rr
TTL
q
e
ie
i
1ln
2
+
−
= ∞π
2-16
Vamos agora manipular esta expressão para determinar o raio externo de isolamento
re que irá maximizar a transferência de calor. A condição de máximo é
( )
( )
2
2
1ln
11
2
0






+








−−−
==
∞
hrk
rr
hrkr
TTL
dr
dq
e
ie
ee
iπ

que fornece como resultado
h
k
re = 2.17
A equação 2.17 expressa o conceito de raio crítico de isolamento. Se o raio externo
for menor que o valor dado por esta equação, então a transferência de calor será aumentada
com a colocação de mais isolante. Para raios externos maiores que o valor crítico, um
aumento de espessura de isolamento causará um decréscimo da transferência de calor. O
conceito central é que para valores de h suficientemente pequenos as perdas de calor por
convecção podem aumentar com o aumento da espessura do isolamento, porque isto
aumenta a superfície externa do isolamento.
2.7) SISTEMAS COM GERAÇÃO DE CALOR
Algumas aplicações interessantes dos princípios da transferência de calor estão
relacionadas com sistemas onde o calor pode ser gerado internamente. Os reatores
nucleares são um exemplo, assim como condutores elétricos e sistemas quimicamente
reagentes. Nossa discussão aqui ficará limitada aos sistemas unidimensionais ou, mais
especificamente, sistemas onde a temperatura é função única de uma variável espacial.
2.7.1) Parede plana com geração de calor
Considere a parede plana com fontes de calor uniformemente distribuídas como
mostrado na Fig. 2-8. A espessura da parede na direção x é 2L, e é admitido que as
dimensões nas outras direções são suficientemente grandes para que o fluxo de calor seja
considerado unidimensional. O calor gerado por unidade de volume é q& e a condutividade
térmica é considerada constante, não variando coma temperatura. Esta situação pode ser
produzida na prática passando-se uma corrente elétrica através de um condutor. Do
Capítulo 1, a equação diferencial para esta situação é
02
2
=+
k
q
dx
Td &
2-18
Para as condições de contorno, especificamos as temperaturas dos dois lados da placa, isto
é,
T = Tp em x = L 2-19
A solução geral da Eq.2-18 é
21
2
2
CxCx
k
q
T ++−=
&
2-20
Como a temperatura deve ser a mesma nos dois lados da parede, C1 deve ser zero. A
temperatura do plano médio é denotado por To; da Eq 2-20
To = C2

Portanto, a distribuição de temperatura é
2
2
x
k
q
TT o
&
−=− 2-21a
2






=
−
−
L
x
TT
TT
op
o
2-21b
que é uma distribuição parabólica. Uma expressão para a temperatura do plano médio To
pode ser obtida através de um balanço de energia. Em regime permanente, o calor total
gerado deve ser igual ao calor perdido pelas duas faces. Assim,
LAq
dx
dT
kA
Lx
22 &=







−
=
onde A é a área de seção transversal da placa. O gradiente de temperatura na parede é
obtido diferenciando-se a Eq. 2-21b:
( ) ( )
L
TT
L
x
TT
dx
dT
op
Lx
op
Lx
22
2
−=








−=


==
Então ( ) Lq
L
TTk op
&=−−
2
e po T
k
Lq
T +=
2
2
&
2-22
Fig 2-8 Esquema ilustrativo do problema da condução unidimensional com geração de calor
2.7.2) CILINDRO COM GERAÇÃO DE CALOR
Considere um cilindro de raio R com fontes de calor uniformemente distribuídas e
condutividade térmica constante. Se o cilindro for suficientemente longo para que a

temperatura possa ser considerada somente uma função do raio, a equação diferencial
apropriada pode ser obtida da equação
0
1
2
2
=++
k
q
dr
dT
rdr
Td &
2-23
As condições de contorno são
T = Tp em r = R
e o calor gerado pode ser igual ao calor perdido na superfície
Rrdr
dT
RLkLRq
=


−= ππ 22
&
Como a função temperatura pode ser contínua no centro do cilindro, pode-se
especificar que
0=
dr
dT
em r = 0
Entretanto, não será necessário usar esta condição, pois isto será verificado
automaticamente quando as duas condições de contorno forem satisfeitas.
A Eq. 2-23 pode ser escrita
k
rq
dr
dT
dr
Td
r
&−
=+2
2
sendo que






=+
dr
dT
r
dr
d
dr
dT
dr
Td
r 2
2
Portanto a integração fornece
1
2
2
C
k
rq
dr
dT
r +
−
=
&
e
21
2
ln
4
CrC
k
rq
T ++
−
=
&
Da segunda condição de contorno acima,
R
C
k
Rq
k
Rq
dr
dT
Rr
1
22
+
−
=
−
=

=
&&
e, portanto C1 = 0
A solução final para a distribuição de temperatura é
( )22
4
rR
k
q
TT p −=−
&
2-24
ou, na forma adimensional
2
1 





−=
−
−
R
r
TT
TT
po
p
onde To é a temperatura em r = 0 dada por
po T
k
Rq
T +=
4
2
&

3. CONDUÇÃO TRANSIENTE E USO DE CARTAS DE
TEMPERATURA
Se a temperatura da face de um corpo sólido for alterada repentinamente, a
temperatura no interior do sólido principia a variar com o tempo. Passa-se algum tempo
antes que seja atingida a distribuição de temperatura estacionária. A determinação da
distribuição de temperatura é assunto complicado, pois a temperatura varia tanto com a
posição como com o tempo. Em muitas aplicações práticas, a variação da temperatura com
a posição é desprezível durante o estado transiente e, por isso, considera-se a temperatura
função exclusiva do tempo. A análise da transferência de calor com esta hipótese é a
análise global do sistema; por ser a temperatura função exclusiva do tempo, a análise é
muito simples. Por isso, neste capítulo, principiamos com a análise global de condução
transiente de calor.
O emprego de cartas de temperatura é ilustrado para resolver a condução de calor
transiente, simples, numa placa, num cilindro ou numa esfera, nas quais a temperatura varia
com o tempo e com a posição.
3.1) ANÁLISE GLOBAL DO SISTEMA
Considere um sólido de forma arbitrária, volume V, área superficial total A,
condutividade térmica k, densidade ρ, calor específico cp, a uma temperatura uniforme To,
que é repentinamente imerso, no instante t = 0, em um fluido agitado e mantido a uma
temperatura uniforme T∞. A fig. 3-1 ilustra o sistema da transferência de calor considerado.
A transferência de calor entre o sólido e o líquido se realiza por convecção, com um
coeficiente de transferência de calor h. Admite-se que a distribuição de temperatura dentro
do sólido, em qualquer instante seja suficientemente uniforme, de tal modo que a
temperatura de sólido pode ser considerada função exclusiva do tempo, isto é, T(t). A
equação de energia na transferência de calor no sólido pode ser escrita como
Fig.3.1 Nomenclatura da análise global do sistema durante o fluxo transiente de calor
Taxa de fluxo de calor afluente ao sólido de volume V = Taxa de aumento da
energia interna do sólido de volume V.

Escrevendo-se as expressões matemáticas apropriadas a cada um destes termos,
obtém-se:
[ ]
dt
tdT
VctTTAh p
)(
)( ρ=−∞ 3.1
ou
0])([
)(
=−+ ∞TtT
Vc
Ah
dT
tdT
pρ
em t > 0 3.2
sujeito à condição inicial
T(t) = To em t = 0
Para conveniência da análise, define-se uma nova temperatura θ(t)
θ(t)≡ T(t) - T∞
Então a equação 3-2 torna-se
0)(
)(
=+ tm
dt
td
θ
θ
em t > 0 3-3
e θ(t) = To - T∞ ≡ θo em t = 0
onde definimos
Vc
Ah
m
pρ
≡ 3.4
A Eq. 3-3 é uma equação diferencial ordinária na temperatura θ(t), cuja solução geral é
dada por
θ(t) = C e-mt
3.5
A aplicação da condição inicial dá a constante de integração C = θo. Então, a temperatura
do sólido em função do tempo é
mt
oo
e
TT
TtTt −
∞
∞
=
−
−
=
)()(
θ
θ
3.6
A fig. 3-2 mostra um gráfico da temperatura adimensional da Eq 3.6 em função do
tempo. A temperatura decai exponencialmente com o tempo, e a forma da curva é
determinada pelo valor do expoente m. Aqui, m tem a dimensão de (tempo)-1
. É claro que
as curvas na fig. 3-2 se tornam cada vez mais inclinadas à medida que o valor de m cresce.
Isto é, qualquer acréscimo de m fará com que o sólido responda mais rapidamente a uma
variação de temperatura ambiente. O exame dos parâmetros na definição de m revela que o
aumento da área superficial, para um dado volume, e o coeficiente de transferência de calor
provocam o aumento de m. Aumentando-se a densidade, o calor específico, ou o volume,
haverá diminuição de m.

Fig. 3.2 A temperatura adimensional θθθθ(t)/θθθθo em função do tempo.
Para estabelecer alguns critérios com que a distribuição de temperatura possa ser
considerada uniforme no interior do sólido, e com que a análise global do sistema seja
aplicável, vamos definir um comprimento característico Ls como
A
V
Ls = 3.7
e o número de Biot, Bi, como
k
hL
Bi s
= 3.8
onde k é a condutividade térmica do sólido. Em sólidos que tenham a forma de placa, ou
cilindro longo ou esfera, a distribuição de temperatura dentro do sólido, no estado
transiente, em qualquer instante, é uniforme, com um erro menor do que cerca de 5%, se
1,0≤=
s
s
k
hL
Bi 3.9
Discutiremos mais adiante este assunto, que se tornará então mais claro. Aqui, admitiremos
que a análise global do sistema é aplicável nas situações em que Bi < 0,1.
O significado físico do número de Biot visualiza-se melhor se for escrito na forma
ss Lk
h
Bi =
que é a razão entre o coeficiente de transferência de convectiva calor na superfície do
sólido e a condutância específica do sólido. Portanto, a hipótese de temperatura uniforme
no interior do sólido é válida se a condutância específica do sólido for muito maior do que
o coeficiente de transferência convectiva de calor.
3.2) CONDIÇÃO DE CONTORNO MISTA
Na discussão precedente, consideramos uma situação em que todas as fronteiras da
região estavam sujeitas a convecção. Este método também se aplica quando parte da
fronteira está sujeita a convecção e o restante está sujeito a um certo fluxo de calor, como
vamos ilustrar agora.
Considere uma placa de espessura L, inicialmente a uma temperatura uniforme To.
Em qualquer instante t > 0, fornece-se calor à placa através de uma de suas superfícies com
uma constante de q (W/m2
), enquanto se dissipa calor por convecção pela outra superfície,

para um ambiente com temperatura uniforme T∞ com um coeficiente de transferência de
calor h. A fig. 3.3 mostra a geometria e as condições de contorno do problema.
Fig. 3.3 Nomenclatura para análise global do fluxo transiente de calor em uma placa.
Vamos admitir áreas iguais A na transferência de calor em ambas as faces da placa.
O balanço de energia, neste caso particular dá
dt
tdT
ALctTTAhAq p
)(
)]([ ρ=−+ ∞
dt
tdT
LctTThq p
)(
)]([ ρ=−+ ∞ em t > 0 3-10a
com a condição inicial
T(t) = To em t = 0 3-10b
Para conveniência na análise, definimos uma nova temperatura θ(t)
θ(t) = T(t) - T∞
Dessa forma, as Eqs. = 3.10 são escritas
Qtm
dt
td
=+ )(
)(
θ
θ
em t > 0 3-11a
θ(t) = To - T∞ ≡ θo em t = 0 3-11b
onde definimos
Lc
h
m
pρ
≡ e
Lc
q
Q
pρ
≡
A solução da Eq. 3-11a é a soma da solução da parte homogênea da 3-11a com a solução
particular na forma
θ(t) = Ce-mt
+ θp 3-12
onde C é a constante de integração. A solução particular θp é dada por
m
Q
p =θ 3-13
Combinando as Eqs. 3-12 e 3-13, obtemos

m
Q
Cet mt
+= −
)(θ 3-14
A constante de integração C é determinada pela aplicação da condição inicial 3-11b como
m
Q
Co +=θ 3-15
Substituindo a Eq. 3-15 na 3-14, obtemos a solução deste problema da transferência de
calor:
( )m
Q
eet mtmt
o
−−
−+= 1)( θθ ou
( )h
q
eet mtmt
o
−−
−+= 1)( θθ 3-16
Para t → ∞, esta solução simplifica-se em
( )
h
q
m
Q
==∞θ 3-17
que é a temperatura estacionária da placa.
3.3) PLACA – EMPREGO DAS CARTAS DE TEMPERATURA TRANSIENTE
Em muitas situações, os gradientes de temperatura no interior dos sólidos não são
desprezíveis, e não é aplicável a análise global do sistema. Neste caso, a análise dos
problemas da condução de calor envolve a determinação da distribuição de temperaturas no
interior do sólido em função do tempo e da posição, e é um tema bastante complicado.
Vários métodos de análise para resolver estes problemas são discutidos em diversos textos,
com tratamento avançado da condução de calor. Problemas simples, como a condução de
calor, unidimensional, dependente do tempo, em uma placa sem geração interna de energia,
podem ser resolvidos facilmente pelo método da separação de variáveis, como será
descrito mais adiante neste capítulo. Além disso, a distribuição de temperatura em tais
situações foi calculada, e os resultados, apresentados na forma de cartas de temperaturas
transientes em várias obras. Apresentaremos as cartas de temperaturas transientes e de
fluxo de calor e discutiremos seu significado físico e seu emprego.
Considere uma placa (por exemplo, uma parede plana) de espessura 2L confinada na
região –L ≤ x ≤ L. Inicialmente, a placa está a uma temperatura uniforme Ti. De repente, a t
= 0, ambas as superfícies de contorno da placa são sujeitas a convecção com um
coeficiente de transferência de calor h para o ambiente à temperatura T∞ e assim mantida
nos instantes t > 0. A fig 3.4a mostra a geometria, coordenadas e condições de contorno
deste problema particular. Porém, neste problema, há simetria geométrica e térmica em
torno do plano x = 0, de forma que podemos considerar o problema de condução do calor
numa metade da região, digamos 0 ≤ x ≤ L. Com essa consideração, o problema da
condução do calor numa placa de espessura 2L confinada à região –L ≤ x ≤ L, como está
ilustrado na fig 3.4a, é equivalente ao problema de uma placa de espessura L confinada na
região 0 ≤ x ≤ L, como está ilustrado 3.4b. Então, a formação matemática deste problema da
condução do calor dependente do tempo, com a geometria e as condições de contorno de
fig. 3.4b, é dada por

(a) (b)
Fig. 3.4 Geometria, coordenadas e condições de contorno da condução de calor transiente em uma placa.
t
T
x
T
∂
∂
=
∂
∂
α
1
2
2
em 0 < x < L, e t > 0 3.18a
0=
∂
∂
x
T
em x = 0, e t > 0 3.18b
∞=+
∂
∂
hThT
x
T
k em x = L, e t > 0 3.18c
T = Ti em t = 0, e 0 ≤ x ≤ L 3.18d
3.3.1) Equações Adimensionais
O problema da condução transiente de calor, dado pelas Eqs. 3.18, pode ser
expresso em forma adimensional introduzindo-se as seguintes variáveis adimensionais:
aladimensionatemperatur
),(
=
−
−
=
∞
∞
TT
TtxT
i
θ 3.19a
aladimensioncoordenada==
L
x
X 3.19b
Biotdenúmero==
k
hL
Bi 3.19c
Fourierdenúmerooual,adimensiontempo2
==
L
tα
τ 3.19d
Desta forma, o problema da condução de calor dado pelas Eqs 3.19 se transforma em
τ
θθ
∂
∂
=
∂
∂
2
2
X
em 0 < X < 1, e τ > 0 3.20a
0=
∂
∂
X
θ
em X = 0, e τ > 0 3.20b
0=+
∂
∂
θ
θ
Bi
X
em X = 1, e τ > 0 3.20c
θ = 1 em 0≤ X ≤ 1, e τ = 0 3.20d
O significado físico do tempo adimensional τ, ou número de Fourier, visualiza-se melhor se
a equação 3.19d for reordenada na forma

CW/,L
volumenoLdelongoao
calorderetençãodetaxa
CW/,L
volumenoLdelongoao
calordeconduçãodetaxa
/
)/1(
o3
o3
3
2
2
===
tLc
LLk
L
t
pρ
α
τ 3.21a
Portanto, o número de Fourier é uma medida da razão entre a taxa de condução e a taxa de
retenção de calor, num elemento de volume. Por isso, quanto maior o número de Fourier,
mais profunda é a penetração do calor num sólido durante um certo intervalo de tempo.
O significado físico do número de Biot compreende-se melhor se a Eq. 3.19c for
escrita na forma
Locompriment
nosólidodoacondutânci
sólido
dosuperfícienacalorde
nciatransferêdeecoeficient
/
===
Lk
h
k
hL
Bi 3.21b
Assim, o número de Biot é a razão entre o coeficiente de transferência de calor e a
condutância do sólido sobre o comprimento característico.
Comparando os problemas de condução de calor expressos pelas Eq. 3.18 e 3.20,
concluímos que o número de parâmetros independentes que afetam a distribuição de
temperatura no sólido reduz-se significativamente quando se exprime o problema na sua
forma adimensional. No problema dado pelas Eqs. 3.18, a temperatura depende dos oito
seguintes parâmetros físicos:
x, t, L, k, α, h, Ti, T∞
Porém, no problema adimensional expresso pelas Eqs. 3.20, a temperatura depende dos três
seguintes parâmetros adimensionais:
X, Bi, e τ
Fica evidente que, se exprimirmos o problema na forma adimensional, o número de
parâmetros que afetam a distribuição de temperatura reduz-se significativamente. Por isso,
é prático resolver o problema de uma vez por todas e expor os resultados na forma de cartas
para referência rápida.
3.3.2) Carta de Temperatura Transiente numa Placa
O problema definido pelas Eqs. 3.20 já foi resolvido e os resultados para a
temperatura adimensional estão nas Figs 3.5a e 3.5b. A Fig.35a dá a temperatura no plano
central To ou θ(0, τ) em X = 0, em função do tempo adimensional τ com diferentes valores
do parâmetro 1/Bi. A curva com 1/Bi = 0 corresponde ou a h → ∞, ou então as faces da
placa estão mantidas na temperatura ambiente T∞. Nos grandes valores de 1/Bi, o número
de Biot é pequeno, ou a condutância interna do sólido é grande em relação ao coeficiente de
transferência de calor na superfície. Isto, por sua vez, implica que a distribuição de
temperatura dentro do sólido é suficientemente uniforme, e, portanto, pode-se adotar a

análise global do sistema. A Fig. 3.5b relaciona as temperaturas em diferentes posições
dentro da placa com a temperatura do plano central, To. Se soubermos a temperatura To,
saberemos as temperaturas nas diferentes posições dentro da placa.
Um exame da Fig 3.5b revela que, nos valores de 1/Bi maiores do que 10, ou Bi <
0,1, a distribuição de temperaturas na placa pode ser considerada uniforme, com um erro
menor do que cerca de 5%. Devemos recordar que o critério Bi < 0,1, foi utilizado para que
a análise global do sistema fosse aplicável.
Fig. 3.5 Carta de temperaturas transientes numa placa de espessura 2L sujeita a convecção em ambas as faces. (a)
Temperatura To no plano central x=0; (b) correção de posição para utilizar com a parte (a).

A Fig.3.6 Mostra o calor adimensional transferido Q/Qo em função do tempo adimensional,
em vários valores do número de Biot, numa placa de espessura 2L. Aqui, Q representa a
quantidade total de energia perdida pela placa até certo tempo t, durante a transferência de
calor. A quantidade Qo, definida como
Qo = ρcpV(Ti - T∞) 3.22
representa a energia interna inicial da placa na temperatura ambiente.
Fig. 3.6 Calor adimensional transferido Q/Qo numa placa de espessura 2L.
3.4) CILINDRO LONGO E ESFERA – EMPREGO DAS CARTAS DE
TEMPERATURAS TRANSIENTES
A distribuição das temperaturas adimensionais transientes e os resultados da
transferência de calor, semelhantes aos que estão nas Figs 3.5 e 3.6, também podem ser
calculados nos casos de um cilindro longo e no de uma esfera.
3.4.1) Carta de temperaturas transientes num cilindro longo
Considere a condução de calor, unidimensional, transiente, num cilindro longo de
raio b, inicialmente a uma temperatura uniforme Ti. Repentinamente, no tempo t = 0, a
superfície em r = b é sujeita a convecção, com um coeficiente de transferência de calor h
para um ambiente à temperatura T∞ e mantida assim em t > 0. A formulação matemática
deste problema de condução de calor é dada em forma adimensional como
τ
θθ
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
R
R
RR
1
em 0 < R < 1, e τ > 0 3.23a

0=
∂
∂
R
θ
em R = 0, e τ > 1 3.23b
0=+
∂
∂
θ
θ
Bi
R
em R = 1, e τ > 0 3.23c
θ = 1 em 0 ≤ R ≤ 1, e τ = 0 3.23d
onde as várias grandezas adimensionais são definidas da forma seguinte
==
k
hb
Bi número de Biot 3.24a
== 2
b
tα
τ tempo adimensional, ou número de Fourier 3.24b
( ) =
−
−
=
∞
∞
TT
TtrT
i
,
θ temperatura adimensional 3.24c
==
b
r
R coordenada radial adimensional 3.24d
O problema da Eq. 3.22 já foi resolvido, e os resultados para temperatura no centro
To ou θ(0,τ) estão na Fig. 3.7a, em função do tempo adimensional, com vários valores do
parâmetro 1/Bi. A fig.3.7b relaciona as temperaturas em diferentes posições dentro do
cilindro com a temperatura no plano médio To. Por isso, dada To, as temperaturas nas
diferentes posições internas do cilindro podem ser determinadas a partir da Fig. 3.7b.

Fig. 3.7 Carta de temperaturas transientes num cilindro maciço longo, de raio r=b sujeito a convecção na
superfície r=b. (a) Temperatura To no eixo do cilindro; (b) correção de posição para utilizar com a parte (a).
A Fig. 3.8 mostra o calor adimensional transferido Q/Qo em função do tempo
adimensional com diversos valores do número de Biot, no problema do cilindro dado pelas
Eqs. 3.22. Aqui Qo, tem o significado definido pela equação 3.22, e Q representa a
quantidade total de energia perdida pelo cilindro até certo tempo t, durante a transferência
transiente de calor.

Fig. 3.8 Calor adimensional transferido Q/Qo num cilindro longo de raio b
3.4.2) Carta de temperaturas transientes numa esfera
Numa esfera de raio b, inicialmente a uma temperatura uniforme Ti e em t > 0,
sujeita a convecção na superfície r = b, com um coeficiente de transferência de calor h,
para um ambiente à temperatura T∞, o problema da condução transiente de calor é dado na
forma adimensional como
τ
θθ
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
R
R
RR
2
2
1
em 0 < R < 1, e τ > 0 3.24a
0=
∂
∂
R
θ
em R = 0, e τ > 0 3.24b
0=+
∂
∂
θ
θ
Bi
R
em R = 1, e τ > 0 3.24c
θ = 1 em 0 ≤ R ≤ 1, se for τ = 0 3.25c
Aqui, os parâmetros adimensionais Bi, θ e R são definidos como as Eqs. 3.24.
A Fig. 3.9a mostra a temperatura no centro To, ou θ (0,τ), da esfera em função do
tempo adimensional τ com diferentes valores do parâmetro 1/Bi.
A Fig. 3.9b apresenta a relação entre as temperaturas em diferentes posições dentro da
esfera e a temperatura no centro To.

Fig. 3.9 Carta de temperaturas transientes numa esfera maciça, de raio r=b sujeito a convecção na superfície r=b.
(a) Temperatura To no centro da esfera; (b) correção de posição para empregar com a parte (a).
A Fig. 3.10 mostra o calor adimensional Q/Qo em função do tempo adimensional com
diferentes valores do número de Biot. Aqui, Q e Qo são definidos como previamente.

Fig. 3.10 Calor adimensional transferido Q/Qo numa esfera de raio b

4) CONVECÇÃO – CONCEITOS E RELAÇÕES BÁSICAS
Até aqui consideramos a transferência condutiva de calor nos sólidos, nos quais não há
movimento do meio. Nos problemas de condução, a convecção participou na análise,
simplesmente como condição de contorno, na forma de um coeficiente de transferência de
calor.
Nosso objetivo, neste e nos capítulos seguintes a respeito da convecção, é
estabelecer as bases físicas e matemáticas para a compreensão do transporte convectivo de
calor e revelar as várias correlações na transferência de calor.
Nas aplicações de engenharia, há interesse na perda de carga e na força de arraste
associadas ao escoamento dentro de dutos ou sobre corpos. Por isso, são apresentadas as
correlações apropriadas para prever a queda de pressão e força de arraste num escoamento.
A análise da convecção é complicada, pois o movimento do fluido afeta a perda de
carga, a força de arraste e a transferência de calor. Para determinar a força de arraste, ou a
perda de carga, deve ser conhecido o campo de velocidades nas vizinhanças imediatas da
superfície. Para determinar a transferência convectiva de calor também se precisa da
distribuição de velocidades no escoamento do fluido, porque a velocidade participa da
equação da energia; a solução da equação da energia determina a distribuição de
temperaturas no campo do escoamento.
A literatura a respeito da transferência convectiva de calor é superabundante e está
sempre crescendo. Nestes últimos anos, com a disponibilidade de computadores digitais
rápidos e de elevada capacidade, têm-se feito notáveis progressos na análise, com grandes
detalhes, de problemas muito complicados de transferência de calor. Não obstante, um
grande número de problemas de engenharia mais simples pode ser resolvido com o
emprego de correlações padrões de transferência de calor. Por isso, vamos focalizar nossa
atenção sobre esses casos. Para atingir este objetivo, apresentaremos neste capítulo uma
visão coerente da convecção, a fim de propiciar uma base firme para aplicações. Serão
discutidos os conceitos básicos associados ao escoamento sobre um corpo, ao escoamento
dentro de um duto e à turbulência. Ilustraremos também o papel da distribuição de
temperaturas e o da distribuição de velocidades, num escoamento, sobre a transferência de
calor e a força de arraste.
As distribuições de velocidades e de temperaturas no escoamento são determinadas
a partir da solução das equações do movimento e da energia. Por isso, estas equações são
apresentadas no caso de um escoamento bidimensional, de um fluido com propriedades
constantes, incompressível, nos sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas. A
simplificação destas equações é ilustrada a fim de se obterem as equações que governam a
análise dos problemas mais simples de transferência de calor.
Finalmente, discute-se o significado físico dos parâmetros adimensionais e
apresentam-se as equações das camadas limites.
4.1) ESCOAMENTO SOBRE UM CORPO
Quando um fluido escoa sobre um corpo sólido, a distribuição de velocidades e de
temperaturas na vizinhança imediata da superfície influencia fortemente a transferência
convectiva de calor. O conceito de camada limite é freqüentemente introduzido para

modelar os campos de velocidade e de temperatura próximos da superfície sólida, a fim de
simplificar a análise da transferência convectiva de calor. Assim, estaremos envolvidos
com dois tipos de camadas limites: a camada limite cinética e a camada limite térmica.
4.1.1) Camada limite cinética
Para ilustrar o conceito de camada limite cinética, consideremos o escoamento de
um fluido sobre uma placa, como está ilustrado na fig. 4.1. O fluido na borda frontal da
placa (isto é, em x = 0) tem uma velocidade u∞ que é paralela à superfície da placa. À
medida que o fluido se move na direção x ao longo da placa, as partículas do fluido em
contato com a face da placa assumem velocidade zero (isto é, não há deslizamento sobre a
face da placa). Portanto, a partir da superfície da placa haverá um retardamento da
componente x da velocidade u(x,y) = u. Isto é, na superfície da placa, em y = 0, a
componente axial da velocidade é zero, ou u = 0. O efeito do retardamento é reduzido
quando o fluido se move em uma região afastada da face da placa; a distâncias
suficientemente grandes da placa, o efeito de retardamento é nulo, isto é, u = u∞ para
grandes y. Portanto, a cada posição x ao longo da placa, há uma distância y = δ(x), medida a
partir da superfície da placa, onde a componente axial da velocidade u é igual a 99% da
velocidade da corrente livre u∞, isto é, u = 0,99 u∞. O lugar geométrico destes pontos, onde
u = 0,99 u∞, é a camada limite cinética δ(x). Com o conceito de camada limite cinética
assim introduzido no escoamento sobre uma placa plana, o campo do escoamento pode ser
dividido em duas regiões distintas: (1) Na região da camada limite, a componente axial da
velocidade u(x,y) varia rapidamente com a distancia y à face da placa; portanto, os
gradientes de temperatura e as tensões de cisalhamento são grandes. (2) Na região fora da
camada limite, na região de escoamento potencial, os gradientes de velocidade e as tensões
de cisalhamento são desprezíveis.
Fig. 4.1 Conceito de camada limite no escoamento sobre uma placa plana
Referindo-nos à ilustração na Fig. 4.1, vamos examinar o comportamento do
escoamento na camada limite em função da distância x medida a partir da borda frontal da
placa. A característica do escoamento é governada pelo valor da grandeza número de
Reynolds. No escoamento sobre uma placa plana, como está na Fig. 4.1, este número é
definido por

ν
xu
x
∞
≡Re (4.1)
onde u∞ = velocidade da corrente livre
x = distância à borda frontal
ν = viscosidade cinemática do fluido
A camada limite começa na borda frontal (isto é, em x =0) da placa como uma
camada limite laminar, na qual o escoamento permanece ordenado e as partículas do fluído
se movem ao longo das linhas de corrente. Este movimento ordenado continua ao longo da
placa até que se atinge uma distância crítica, ou o número de Reynolds alcance um valor
crítico. Depois de este número de Reynolds crítico ser atingido, os pequenos distúrbios no
escoamento começam a ser amplificados, e flutuações no fluído começam a se desenvolver,
o que caracteriza o final da camada limite laminar e o início da transição para a camada
limite turbulenta. No escoamento sobre uma placa plana, o número de Reynolds crítico, no
qual acontece a transição do escoamento laminar para o turbulento, é geralmente tomado,
na maior parte das finalidades analíticas, como
5
105Re x
v
xu
x ≅≡ ∞
(4.2)
Entretanto este valor crítico é fortemente dependente da rugosidade da superfície e
do nível de turbulência da corrente livre. Por exemplo, com distúrbios muito grandes na
corrente livre, a transição pode começar em um número de Reynolds tão baixo como 105
, e,
nos escoamentos livres de perturbações, pode não começar até que o número de Reynolds
atinja um valor de 106
ou mais. Mas num escoamento sobre uma placa plana, a camada
limite é sempre turbulenta para Rex ≥4x106
. Na camada limite turbulenta próxima da
parede, há uma camada muito delgada, chamada subcamada laminar, onde o escoamento
retém seu caráter laminar. Adjacente a subcamada laminar existe uma região chamada
camada amortecedora, na qual há turbulência muito fina e a velocidade média axial
aumenta rapidamente com a distância à superfície sólida. A camada amortecedora é seguida
pela camada turbulenta, na qual há turbulência em alta escala e a velocidade muda
relativamente pouco com a distância à parede.
A fig 4.2 mostra o conceito de camada limite no escoamento sobre um corpo curvo.
Neste caso, a coordenada x é medida ao longo da superfície curva do corpo; principiando
pelo ponto de estagnação, e em cada posição x segundo a normal à superfície do corpo. A
velocidade da corrente livre )(xu∞ não é constante, mas varia com a distância ao longo da
superfície curva. O conceito de camada limite, discutido acima, também se aplica a esta
situação particular. A espessura da camada limite )(xδ cresce com a distância x ao longo
da superfície. Entretanto, devido a curvatura da superfície, depois de uma certa distância x,
o perfil de velocidade ),( yxu mostra um ponto de inflexão, isto é, yu ∂/δ se anula na
superfície do sólido. Além do ponto de inflexão, há uma inversão do escoamento, e diz-se
que a camada limite está descolada da superfície do sólido. Além do ponto de inversão do
fluxo, os padrões do fluxo são muito complicados e o conceito da camada limite não é mais
aplicável.

Fig. 4.2 Conceito de camada limite no escoamento sobre um corpo curvo
4.1.2) Coeficiente de arraste e força de arraste
Suponha que o perfil de velocidade ),( yxu na camada limite seja conhecido. A tensão de
cisalhamento xτ que atua ao longo da superfície em qualquer posição x é determinada a
partir de sua definição por
0
),(
=
∂
∂
=
y
x
y
yxu
µτ (4.3)
A constante de proporcionalidade µ é a viscosidade do fluido. Logo, conhecendo-
se a distribuição de velocidades na camada limite, pode-se determinar a força de
cisalhamento, devida ao escoamento que está atuando sobre a superfície sólida. A definição
de tensão de cisalhamento, dada pela Eq. (4.3), entretanto, não é prática para aplicações de
engenharia. Na prática, a tensão de cisalhamento ou força de arraste local xτ por unidade
de área está relacionada com o coeficiente local de arraste cx pela relação
2
2
∞
=
u
cxx
ρ
τ (4.4)
onde ρ é a densidade do fluido e ∞u é a velocidade da corrente livre. Portanto, conhecendo
o coeficiente de arraste, podemos calcular a força de arraste exercida pelo fluido que está
escoando sobre a placa plana. Igualando as Eqs. (4.3) e (4.4), obtemos:
oy
x
y
yxu
u
c
=∞ ∂
∂
=
),(2
2
ν
(4.5)
Portanto, o coeficiente local de arraste pode ser determinado pela Eq. (4.5), se o perfil de
velocidade ),( yxu , na camada limite for conhecido.
O valor médio do coeficiente de arraste Cm, de x=0 até x=L, é definido como
∫ =
=
L
ox
x dxc
L
1
Cm

(4.6)
Sabendo o coeficiente médio de arraste Cm, podemos calcular a força de arraste F, que está
atuando sobre a placa de x=0 até x=L e numa largura w, com a fórmula
2
2
∞
=
u
wLCF m
ρ
(N) (4.7)
4.1.3) Camada limite térmica
Análogo ao conceito de camada limite cinética, pode-se imaginar o desenvolvimento de
uma camada limite térmica ao longo da placa, associada ao perfil de temperatura no fluido.
Para ilustrar o conceito, consideremos um fluido a uma temperatura uniforme ∞T que escoa
sobre uma placa plana mantida a uma temperatura constante WT . Sejam x e y os eixos
coordenados paralelo e perpendicular à superfície da placa, respectivamente, como está na
figura 4.3.
Fig. 4.3 Conceito de camada limite térmica no escoamento de um fluido quente sobre uma placa fria
Definimos a temperatura adimensional θ(x,y) como
W
W
TT
TyxT
yx
−
−
=
∞
),(
),(θ (4.8)
onde T(x,y) é a temperatura local no fluido. Na superfície da placa, a temperatura do fluido
é igual à temperatura da parede; portanto
θ(x,y) = 0 em y = 0(superfície da placa) (4.9 a)
A distâncias suficientemente grandes da placa, a temperatura do fluido é a mesma ∞T ;
então
1),( →yxθ a medida que ∞→y (4.9 b)

Por isso em cada posição x ao longo da placa, pode-se imaginar uma posição )(xy δ= no
fluido onde ),( yxθ seja igual a 0,99. O lugar geométrico destes pontos onde ),( yxθ =0,99 é
chamado a camada limite térmica )(xδ .
A espessura relativa da camada limite térmica )(xtδ frente a camada limite
cinética )(xδ depende da grandeza do número de Prandtl do fluido. Nos fluidos que tem
um número de Prandtl igual a unidade, como os gases, ).()( xxt δδ = A camada limite
térmica é muito mais espessa do que a camada limite cinética nos fluidos que tem Pr <1,
como os metais líquidos, e é muito mais delgado do que a camada limite cinética nos
fluidos que tem Pr >1.
4.1.4) Coeficiente de transferência de calor
Suponha que a distribuição de temperatura T(x,y) na camada limite térmica seja conhecida.
Então o fluxo de calor q(x) do fluido para a placa é determinado por
0
),(
)(
=
∂
∂
=
y
y
yxT
xq κ (4.10 a)
onde k é a condutividade térmica do fluido. Entretanto, nas aplicações de engenharia, não é
prático empregar a Eq. (4.10 a) para calcular a taxa de transferência de calor entre o fluido
e a placa. Na prática define-se um coeficiente de transferência de calor local h(x) para
calcular o fluxo de calor entre o fluido e a placa:
))(()( WTTxhxq −= ∞ (4.10 b)
Igualando (4.10 a) e (4.10 b), obtemos
[ ]
W
y
TT
yT
kxh
−
∂∂
=
∞
=0
)( (4.11 a)
Esta expressão agora é escrita em termos da temperatura adimensional ),( yxθ como
0
),(
)(
=
∂
∂
=
y
y
yx
kxh
θ
(4.11 b)
Logo as Eqs. (4.11) fornecem a relação para determinar o coeficiente de transferência de
calor local h(x) a partir do conhecimento da distribuição da temperatura adimensional
),( yxθ na camada limite térmica.
O coeficiente de transferência de calor médio hm sobre a distância x=0 até x=L,
ao longo da superfície da placa, é determinado a partir de
∫=
L
m dxxh
L
h
0
)(
1
(4.12)

Sabendo o coeficiente de transferência de calor médio hm, podemos determinar a taxa de
transferência de calor Q do fluido para a placa de x=0 até x=L e para a espessura w.
)( Wm TTwLhQ −= ∞ (4.13)
4.1.5) Relação entre cx e h(x)
Considerando as expressões exatas de coeficiente de local de arraste e do
número de Nusselt local, no escoamento laminar sobre uma placa plana,
21
Re332,0
2
−
= x
Cx
(4.14 a)
2131
RePr332,0 xxNu = (4.14 b)
Definimos o número de Stanton local, Stx, como
∞
=
uc
xh
St
p
x
ρ
)(
que pode ser reordenado na forma
x
x
x
Nu
vxuv
kxxh
St
RePr)/)(/(
/)(
==
∞α
Então, a expressão (4.14 b) do número de Nusselt local pode ser reescrita como
2132
RePr332,0 −−
= xxSt (4.14 c)
Das Eqs. (4.14 a) e (4.14 c), pode-se obter a seguinte relação entre o número de Stanton e o
coeficiente de arraste:
2
Pr 3/2 Cx
Stx = (4.15 a)
Esta expressão recebe o nome de analogia de Reynolds-Colburn e relaciona o coeficiente
local de arraste cx ao número de Stanton local Stx num escoamento laminar sobre uma placa
plana. Portanto, fazendo-se as medidas do arraste atrativo no escoamento laminar sobre
uma placa plana, quando não há transferência de calor, pode-se determinar o coeficiente de
transferência de calor correspondente pela Eq. (4.15 a). É muito mais fácil fazer medidas de
arraste do que medidas de transferência de calor.
Pode-se também aplicar a Eq. (4.15 a) ao escoamento turbulento sobre uma
placa plana, porém não se aplica ao escoamento laminar dentro de um tubo.
No caso de valores médios, a Eq. (4.15 a) é escrita como
2
Pr 3/2 m
m
C
St = (4.15 b)

onde Stm e Cm são, respectivamente, o número de Stanton médio e o coeficiente médio de
arraste.
4.2) ESCOAMENTO NO INTERIOR DE UM DUTO
Os conceitos básicos discutidos na última seção sobre o desenvolvimento das camadas
limites cinética e térmica no escoamento sobre uma placa plana também se aplicam ao
escoamento na região da entrada de dutos. Ilustramos este assunto considerando o
escoamento no interior de um tubo circular.
4.2.1) Camada limite cinética
Considere o escoamento dentro de um tubo circular, como está ilustrado na fig.
4.4.
Fig.4.4 Conceito de desenvolvimento da camada limite cinética na região de entrada de um tubo circular
O fluido tem uma velocidade de entrada uniforme 0u . Quando o fluido entra no
tubo, começa a se desenvolver uma camada limite cinética sobre a superfície da parede. A
velocidade das partículas do fluido, na superfície da parede, anula-se, e a velocidade nas
vizinhanças da parede diminui; como resultado, a velocidade na parte axial do tubo
aumenta para ser cumprida a exigência da continuidade do fluxo. A espessura da camada
limite cinética )(zδ cresce continuamente ao longo da superfície do tubo até que ocupa todo
o tubo. A região que se estende desde a entrada do tubo até um pouco além da posição
hipotética em que a camada limite atinge o eixo do tubo é a região hidrodinâmica de
entrada. Nesta região, a forma do perfil de velocidade varia tanto na direção axial como na
radial. A região além da distância hidrodinâmica de entrada é chamada região
hidrodinamicamente desenvolvida, pois nesta região o perfil de velocidade é invariante com
a distância ao longo do tubo.
Se a camada limite permanece laminar até encher todo o tubo, o perfil
parabólico de velocidade no escoamento laminar completamente desenvolvido prevalece na
região hidrodinamicamente desenvolvida. Entretanto, se a camada limite transforma-se em
turbulenta antes de a sua espessura atingir o eixo do tubo, há um escoamento turbulento
completamente desenvolvido na região hidrodinamicamente desenvolvida. Quando o
escoamento é turbulento, o perfil de velocidade é mais achatado do que o perfil parabólico
de velocidade no escoamento laminar.
No escoamento no interior de um tubo circular, o número de Reynolds, definido por

v
Dum
≡Re (4.16)
é utilizado como critério para a passagem do escoamento laminar a turbulento. Nesta
definição mu é a velocidade média do escoamento, D é o diâmetro interno do tubo, e v é a
viscosidade cinemática do fluido. No escoamento no interior de um tubo circular, observa-
se ordinariamente escoamento turbulento para
2300Re >=
v
Dum
(4.17)
Entretanto, este valor crítico depende fortemente da rugosidade da superfície,
das condições de entrada e das flutuações no escoamento. Em geral, a transição pode
ocorrer no domínio 2000<Re<4000.
4.2.2) Fator de atrito e perda de carga
Nas aplicações de engenharia, o gradiente de pressão dP/dz associado ao
escoamento é uma grandeza de interesse, pois a perda de carga (queda de pressão) ao longo
de um dado comprimento do tubo pode ser determinada pela integração de dP/dz sobre o
comprimento. Para desenvolver uma expressão que defina dP/dz, consideremos um balanço
de forças sobre um comprimento diferencial dz do tubo. Igualando a força da pressão à
força de cisalhamento na parede, obtemos (veja fig. 4.5)
Fig. 4.5 Equilíbrio de forças num elemento diferencial de volume
wzzz zSPAPA τ∆=− ∆+)()(
www
DD
D
A
S
dz
dP
ττ
π
π
τ
4
)4/( 2
−=−=−= (4.18 a)
onde A é a área de seção reta e S é o perímetro.
A tensão de cisalhamento wτ na parede está relacionada com o gradiente de
velocidade por

paredeparede
w
r
u
y
u
∂
∂
−=
∂
∂
= µµτ (4.18 b)
uma vez que r= D/2 – y. Então, das Eqs. (4.18 a) e (4.18 b), temos
pareder
u
Ddz
dP
∂
∂
=
µ4
(4.18 c)
Nas aplicações de engenharia, a Eq. (4.18 c) não é prática para determinação de dP/dz, pois
exige o cálculo do gradiente de velocidade na parede. Para calcular a perda de carga (queda
de pressão) nas aplicações de engenharia, define-se um fator de atrito f.
D
u
f
dz
dP m
2
2
ρ
−= (4.18 d)
onde um é a velocidade média do escoamento dentro do tubo e ρ é a densidade do fluido.
Igualando as Eqs. (4.18 c) e (4.18 d) obtém-se a seguinte expressão para o fator de atrito:
paredem r
u
u
f
∂
∂
−= 2
8
ρ
µ
(4.18 e)
Portanto, dada a distribuição de velocidades u do escoamento no interior do tubo, o fator de
atrito f pode ser determinado pela Eq. (4.18 e).
Dado o fator de atrito, a perda de carga P1 - P2 P∆≡ sobre a distância z2 – z1 L≡
no tubo é determinada pela integração da Eq. (4.18 d):
∫ ∫−=
2
1
2
12
2
P
P
Z
Z
m
dz
D
u
fdP
ρ
ou a perda de carga P∆ fica
2
2
mu
D
L
fP
ρ
=∆ 2
m
N
(4.19 a)
Se M for a vazão, em metros cúbicos por segundo, através do tubo, a potência
da bomba exigida para movimentar o fluido no tubo contra a perda de carga P∆ se torna
Potência da bomba = ))(( 2
3
m
N
P
s
m
M ∆
Potência da bomba = M P∆ ouW
s
mN.
(4.19 b)
4.2.3) Camada limite térmica
No caso da distribuição de temperaturas no escoamento no interior de um tubo circular, é
mais difícil visualizar o desenvolvimento da camada limite térmica e a exigência de uma

região termicamente desenvolvida. Entretanto, sob certas condições de aquecimento, ou de
resfriamento, como fluxo de calor constante ou temperatura uniforme na parede do tubo, o
conceito é possível.
Considere um escoamento laminar no interior de um tubo circular sujeito a um
fluxo de calor uniforme nas paredes. Sejam r e z as coordenadas, respectivamente, radial e
axial. Define-se uma temperatura adimensional ),( zrθ como
)()(
)(),(
),(
zTzT
zTzrT
zr
wm
w
−
−
=θ (4.20a)
onde Tw(z) = temperatura na parede do tubo
Tm(z) = Temperatura média de todo o fluido na área transversal do tubo em z
T(r,z) = temperatura local do fluido
Evidentemente, ),( zrθ é zero na superfície da parede do tubo e atinge um valor finito no
eixo do tubo. Então visualiza-se o desenvolvimento de uma camada limite térmica
paralelamente a superfície da parede. A espessura da camada limite térmica )(ztδ cresce
continuamente ao longo da superfície do tubo até que preenche todo o tubo. A região da
entrada do tubo até a posição hipotética onde a espessura da camada limite térmica atinge o
eixo do tubo é a região de entrada térmica. Nesta região, a forma do perfil da temperatura
adimensional ),( zrθ muda tanto na direção axial quanto na radial. A região além da
distância de entrada térmica é chamada região termicamente desenvolvida, porque nesta
região o perfil da temperatura adimensional permanece invariante com a distância ao longo
do tubo, isto é,
)()(
)(),(
)(
zTzT
zTzrT
r
wm
w
−
−
=θ (4.20 b)
É difícil explicar qualitativamente por que )(rθ deve ser independente da
variável z, pois as temperaturas no segundo membro da Eq. (4.20 b) dependem tanto de r
como de z. Entretanto, pode-se demonstrar matematicamente que, não só com uma
temperatura constante mas também com um fluxo de calor constante na parede, a
temperatura adimensional )(rθ depende somente de r para valores suficientemente grandes
de z.
4.2.4) Coeficiente de transferência de calor
Nas aplicações de engenharia envolvendo o escoamento de um fluido num tubo, a taxa de
transferência de calor entre o fluido e o tubo é uma informação de muito interesse.
Discutiremos o conceito de coeficiente de transferência de calor que é utilizado com mais
freqüência nas aplicações de engenharia para determinar a transferência de calor entre o
fluido e a superfície da parede.
Considere um fluido escoando dentro de um tubo circular de raio interno R. Seja
T(r,z) a distribuição de temperaturas no fluido, onde r e z são as coordenadas radial e axial,
respectivamente. O fluxo de calor do fluido para a parede do tubo é determinado por

pareder
zrT
Kzq
∂
∂
−=
),(
)( (4.21 a)
onde k é a condutividade térmica do fluido.
Nas aplicações de engenharia não é prático utilizar a Eq. (6.21 a) para
determinar a transferência de calor entre o fluido e a parede do tubo, pois essa equação
envolve o cálculo da derivada da temperatura na parede. Para evitar esta dificuldade,
define-se um coeficiente de transferência de calor local h (z)
[ ])()()()( zTzTzhzq wm −= (4.21 b)
onde Tm(z) = temperatura média global calculada sobre a área da seção transversal do tubo
na posição z
Tw(z) = temperatura na parede do tubo em z
Evidentemente se o coeficiente de transferência de calor for conhecido, é questão muito
simples determinar o fluxo de calor na parede para uma dada diferença entre a temperatura
média do fluido e a da parede do tubo. Por isso o uso do coeficiente de transferência de
calor é muito conveniente nas aplicações de engenharia e sua determinação, em várias
condições de escoamento, foi objeto de numerosas investigações experimentais e analíticas.
Trataremos da relação entre o coeficiente de transferência de calor h(z) a partir de T(r,z).
Igualando (4.21 a) e (4.21 b), obtemos:
Rpareder
rzTwzTm
zrTk
zh
=
∂−
∂
−=
)()(
),(
)( (4.22 a)
onde Tm(z) e Tw(z), num tubo circular de raio R, são determinadas por
2
0
0
0
2),()(
2)(
2),()(
)(
Ru
rdrzrTru
rdrru
rdrzrTru
zTm
m
R
R
R
π
π
π
π ∫
∫
∫ == (4.22 b)
Rparederw zrTzT =
= ),()( (4.22 c)
A temperatura média do fluido Tm(z) é uma definição baseada no transporte de energia
térmica com o movimento global do fluido à medida que ele passa através da seção
transversal, pois a grandeza "" utcpρ representa o fluxo de energia por unidade de área.
Num fluido incompressível, de propriedades constantes, o termo ρ cp cancela-se no
numerador e no denominador de (4.22 b).
A Eq. (4.22 a) pode ser escrita em termos da temperatura adimensional
),( zrθ definida pela Eq. (4.20 a) como
Rparederr
zr
kzh
=∂
∂
−=
),(
)(
θ
(4.23 a)
Na região termicamente desenvolvida, a temperatura adimensional )(rθ é
independente de z. Então, a equação (4.23 a) se reduz a

Rparederdr
rd
kh
=
−=
)(θ
(4.23 b)
onde )(rθ é definida pela Eq. (4.20 b). Este resultado implica que, na região termicamente
desenvolvida,o coeficiente de transferência de calor não varia com a distância ao longo do
tubo; e vale para a transferência de calor sob condições de fluxo de calor constante na
parede, ou temperatura constante na parede.
As definições dadas pela Eq. (4.23) podem ser empregadas para desenvolver
expressões do coeficiente de transferência de calor se a distribuição da temperatura
adimensional no fluido, definida pela equação (4.20 b), for conhecida.
4.3) PARÂMETROS ADIMENSIONAIS
Neste capítulo foram introduzidos parâmetros adimensionais, como os números de
Reynolds, de Prandtl, de Nusselt e de Stanton, e vamos discutir o significado físico destes
parâmetros adimensionais na interpretação das condições associadas com o escoamento do
fluido, ou com a transferência de calor.
Consideremos o número de Reynolds baseado em um comprimento
característico L, reordenado na forma
===
∞
∞∞
2
2
/
/
Re
Lvu
Lu
v
Lu
força de inércia/força viscosa (4.24 a)
Então, o número de Reynolds representa a razão entre a força de inércia e a força viscosa.
Este resultado implica que as forças viscosas são dominantes nos números de Reynolds
pequenos, e as forças de inércia são dominantes nos números de Reynolds grandes.
Lembremo-nos de que o número de Reynolds foi utilizado como critério para determinar a
transformação do escoamento laminar em turbulento.
O número de Prandtl pode ser escrito na forma
====
x
v
ckk
c
p
p
)/(
Pr
ρ
ρµµ
difusividade molecular do momento/difusividade molecular do
calor (4.24 b)
Representa, portanto, a importância relativa do transporte de momento e energia no
processo de difusão. Nos gases com Pr≅ 1, a transferência de momento e energia pelo
processo de difusão é equilibrada. Nos óleos, Pr > 1 , e daí se vê que a difusão de momento
é muito maior do que a difusão de energia; mas, nos metais líquidos, Pr<1, e a situação é
inversa. Lembramos que, na discussão do desenvolvimento das camadas limites cinética e
térmica no escoamento sobre uma placa plana, a espessura relativa das camadas limite
cinética e térmica dependia da grandeza do número de Prandtl.
Considere o número de Nusselt, baseado em um comprimento característico L,
reordenado na forma

LTk
Th
k
hL
Nu
/∆
∆
== (4.25 a)
onde ∆ T é a diferença de temperatura de referência entre a superfície da parede e a
temperatura dos fluidos. Então o número de Nusselt pode ser interpretado como a razão
entre a transferência de calor por convecção e por condução através de uma camada do
fluido de espessura L. Com base nesta interpretação, o valor do número de Nusselt igual a
zero implica que não há convecção – A transferência de calor se efetua por pura condução.
Um valor maior do número de Nusselt implica um aumento de transferência convectiva de
calor.
O número de Stanton pode ser reordenado como
Tuc
Th
uc
h
St
mpmp ∆
∆
==
ρρ
(4.25 b)
onde T∆ é uma diferença de temperatura de referência entre a superfície da parede e o
fluido. O numerador representa o fluxo de calor para o fluido, e o denominador representa
a capacidade de transferência de calor do escoamento do fluido.
O parâmetro adimensional, o número de Eckert, definido como
),/(2
TCpuE ∆≡ ∞ surgem freqüentemente em problemas de transferência de calor em alta
velocidade. O número de Eckert pode ser reordenado como
T
Cpu
TCp
u
E
∆
=
∆
= ∞∞ /22
(4.26)
Temperatura dinâmica devido ao movimento do fluido pela diferença de temperatura
Aqui, )2/(2
pCu∞ representa uma elevação ideal de temperatura, se um gás ideal com a
velocidade ∞u fosse reduzido adiabaticamente à velocidade zero. Esta definição implica
que, se o número de Eckert for pequeno, os efeitos da geração viscosa da energia devido ao
movimento do fluido podem ser desprezados em comparação com as diferenças de
temperaturas envolvidas no processo de transferência de calor. Lembramos que o termo da
dissipação viscosa de energia, que apareceu na equação da energia, e a grandeza do número
de Eckert tornam-se o critério para decidir se os efeitos de dissipação viscosa de energia
devem ser considerados na análise da transferência de calor.

5) CONVECÇAO FORÇADA NO ESCOAMENTO NO
INTERIOR DE DUTOS
5.1) ESCOAMENTO NO INTERIOR DE UM TUBO CIRCULAR
Os problemas de transferência de calor estacionária e de perda de carga na
convecção laminar forçada dentro de um tubo circular, em regiões afastadas da entrada,
onde os perfis de velocidades e de temperaturas estão plenamente desenvolvidos, têm
grande interesse em numerosas aplicações de engenharia. O fator de atrito e o coeficiente
de transferência de calor no escoamento são determinados, respectivamente, a partir do
conhecimento da distribuição da velocidade e da distribuição de temperaturas no fluido.
5.1.1) Fator de atrito
Considere um fluido incompressível, de propriedades constantes, em uma
convecção laminar forçada dentro de um tubo de raio R, na região onde o escoamento está
hidrodinamicamente desenvolvido. O fator de atrito no escoamento, no interior de um tubo
circular, está relacionado com o gradiente de pressão nas paredes pela Eq. (4.18e)
Rrm dr
du
u
f
=
−= 2
8
ρ
µ
(5.1)
A distribuição de velocidades u(r) pode ser determinada a partir da solução das equações do
movimento. Foi demonstrado que no escoamento hidrodinamicamente desenvolvido,
dentro de um tubo circular, as equações do movimento se reduzem à simples equação
escrita na forma:
dz
dP
dr
du
r
dr
d
r µ
1
)(
1
= em 0 < r < R (5.2)
sujeita às condições de contorno
du/dr = 0 em r = 0 (5.3a)
u = 0 em r = R (5.3b)
A primeira condição de contorno é a simetria do perfil de velocidades em torno do eixo do
tubo, e a segunda é a nulidade da velocidade nas paredes.
No escoamento laminar estacionário, plenamente desenvolvido, dentro de um tubo
circular, o gradiente de pressão dP/dz é constante. Então, a solução da Eq. (5.3) dá o perfil
das velocidades plenamente desenvolvido u(r).
])(1[)
4
1
()( 22
R
r
R
dz
dP
ru −−=
µ
(5.4)

Aqui, a velocidade u(r) é sempre uma grandeza positiva no escoamento na direção positiva
dos z, mas o gradiente de pressão dP/dz é uma grandeza negativa.
A velocidade média do escoamento um, sobre a seção reta do tubo, é determinada a partir da
definição, e fica
dz
dPR
drrru
R
u
R
m ∫ −==
0
2
2
8
)(2
1
µ
π
π
(5.5)
uma vez que u(r) é dada pela Eq. (5.4).
O significado físico da velocidade média um , implica que a vazão através do tubo é
determinada por
vazão = (área da seção reta) um = muR2
π
Agora, das Eqs. (5.4) e (5.5), obtemos
])(1[2
)( 2
R
r
u
ru
m
−= (5.6)
Esta relação mostra que o perfil de velocidades u(r)um na região hidrodinamicamente
desenvolvida é parabólico. A velocidade uo no eixo do tubo é obtida da Eq. (5.4) quando se
faz r = 0;
dz
dPR
u
µ4
2
0 −= (5.7)
Uma comparação entre os resultados dados pelas Eqs. (5.5) e (5.7) mostra que a velocidade
no eixo do tubo é igual ao dobro da velocidade média do escoamento:
muu 20 = (5.8)
O fator de atrito f no escoamento laminar, no interior de um tubo circular, na região
hidrodinamicamente desenvolvida, é determinado quando se obtém o gradiente da
velocidade a partir da Eq. (5.6)
D
u
R
u
dr
rdu mm
Rr
84)(
−=−=
=
(5.9)
e se introduz este resultado na Eq. (5.1),
Re
6464
==
Du
f
mρ
µ
(5.10 a)
onde D é o raio interno do tubo e
v
DuDu mm
==
µ
ρ
Re (5.10 b)
é o número de Reynolds.

Na literatura, o fator de atrito também se define com base no raio hidráulico. Se fr
representa o fator de atrito baseado no raio hidráulico, ele está relacionado com o fator de
atrito definido pela Eq. (5.10 a) por f = 4fr. Isto é, a Eq. (5.10 a), na representação de fr,
seria fr = l6/Re, onde µρ /Re Dum= . Este resultado recebe muitas vezes o nome de relação
de Hagen-Poiseuille para o fator de atrito em tubos, em virtude dos dados experimentais de
Hagen ulteriormente verificados teoricamente por Poiseuille.
5.1.2) Coeficiente de transferência de calor. O coeficiente de transferência de calor no
escoamento interior de um tubo circular, na região termicamente desenvolvida, está
relacionado com o gradiente da temperatura adimensional nas paredes pela Eq. (4.23 b) .
Rrdr
rd
kh
=
−=
)(θ
(5.11)
onde θ (r) é definida pela Eq. (4.20b):
)()(
)(),(
)(
zTzT
zTzrT
r
wm
w
−
−
=θ (5.12)
Para determinar h, é necessária a distribuição de temperaturas no escoamento, o que pode
ser estabelecido a partir da solução da equação da energia. .
Na região hidrodinamicamente desenvolvida, a equação da energia, no escoamento laminar
de um fluido incompreensível, dentro de um tubo circular, com dissipação viscosa da
energia desprezível pela equação:
2
2
)(
1
)(
1
z
T
r
T
r
rrz
T
ru
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
α
(5.13)
Em geral, esta é uma equação diferencial parcial para determinar a distribuição de
temperaturas no escoamento, e sua solução é bastante complicada. Entretanto, na
convecção forçada, no interior de um tubo circular, na região termicamente desenvolvida,
com temperatura da parede constante, ou com fluxo de calor na parede constante, pode-se
demonstrar que o termo do gradiente de temperatura axial, na Eq. (5.13), reduz-se a uma
constante, isto é,
=
∂
∂
z
T
constante
Então, a equação diferencial parcial (5.13) se reduz a uma equação diferencial
ordinária no perfil de temperaturas plenamente desenvolvido T®, pois o termo 22
/ zT ∂∂ se
anula para zt ∂∂ / constante. Vamos examinar agora o problema da transferência de calor
com a condição de contorno, fluxo de calor constante na parede, ou temperatura constante
na parede, na convecção forçada, no interior de um tubo circular.
5.1.3) Fluxo de calor constante. Demonstra-se que, na condição de fluxo de calor
constante na parede, o gradiente de temperatura na direção do escoamento, em qualquer

ponto do fluido, é constante e igual ao gradiente axial da temperatura média do fluido. Isto
é,
==
∂
∂
dz
zdT
z
zrT m )(),(
constante (5.14)
Este resultado implica que, com o fluxo de calor constante na parede, a temperatura média
do escoamento Tm(z), na região termicamente desenvolvida, cresce linearmente com a
distância z ao longo do tubo.
Quando a Eq. (5.14) for introduzida na Eq. (5.13), o termo 22
/ zT ∂∂ se anula para zt ∂∂ /
constante, e se obtém a seguinte equação diferencial ordinária para T(r):
dz
zdT
ru
dr
dT
r
dr
d
r
m )(
)(
1
)(
1
α
= (5.15)
Esta equação escreve-se em termos da temperatura adimensional θ (r), definida pela Eq.
(5.12), como
)]()([
)(
)(
1
)(
1
zTzT
dz
zdT
ru
dr
d
r
dr
d
r
wm
m
−=
α
θ -1
(5.16 a)
onde o perfil de velocidades plenamente desenvolvido u(r) é dado pela Eq. (5.6)
])(1[2)( 2
R
r
uru m −= (5.16 b)
As Eqs. (5.16 a) e (5.16 b) são combinadas e escritas mais compactamente como
])(1[)( 2
R
r
Ar
dr
d
r
dr
d
−=
θ
em 0 < r < R (5.17 a)
onde a constante A é definida por
=
−
=
dz
zdT
zTzT
u
A
m
wm
m )(
)]()([
2
α
constante (5.17 b)
As condições de contorno para a Eq. (5.17) são
0=
dr
dθ
em r = 0 (5.18 a)
0=θ em r = R (5.18 b)
A primeira condição de contorno afirma que θ é simétrica em torno do eixo do tubo, e a
segunda resulta da definição de θ dada pela Eq. (5.12), pois θ deve ser zero nas paredes.

A Eq. (5.17 a) é semelhante à equação de condução de calor estacionária, em coordenadas
cilíndricas, e pode ser integrada facilmente, sujeita às condições de contorno das Eqs.
(5.18), para dar














−





+−=
24
2
4
1
16
1
16
3
)(
R
r
R
r
ARrθ (5.19)
A constante desconhecida A que aparece nesta equação pode ser determinada empregando-
se a definição da temperatura média global do fluido.
De acordo com a definição da temperatura média global do fluido, dada pela Eq. (4.22b),
escrevemos
2
0
2)()(
)(
Ru
rdrrru
m
m
R
π
πθ
θ
∫= (5.20)
onde o perfil de velocidades plenamente desenvolvido u(r) é dado pela Eq. (5.16 b), isto é,
])(1[2)( 2
R
r
uru m −= (5.21)
As Eqs. (5.19) e (5.21) são introduzidas na Eq. (5.20) e as integrações são feitas. Obtém-se
96
11 2
AR
m =θ (5.22 a)
Também, a definição de θ (r) dada pela Eq. (5.12) permite-nos escrever
1
)()(
)()(
,
=
−
−
=
zTzT
zTzT
m
wm
wm
θ (5.22 b)
Igualando (5.22a) e (5.22b), encontramos
11
962
−=AR (5.23)
Introduzindo este resultado de AR2
na Eq. (5.19), obtemos














−





+=
24
4
1
16
1
16
3
11
96
)(
R
r
R
r
rθ (5.24)
A Eq. (5.24) é o perfil de temperaturas adimensionais, na convecção forçada, em um tubo
circular, na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida, com a condição de

contorno fluxo de calor constante na parede. Lembramos que este perfil de temperaturas
foi empregado para determinar o coeficiente de transferência de calor.
Dado o perfil de temperaturas no fluido, o coeficiente de transferência de calor h é obtido
imediatamente a partir de sua definição dada pela Eq. (5.11):
D
k
h
11
48
= (5.25 a)
ou
364,4
11
48
==≡
k
hD
Nu (5.25 b)
onde D é o diâmetro interno do tubo e Nu é o número de Nusselt.
O resultado das Eqs. (5.25) representa o coeficiente de transferência de calor, na convecção
laminar forçada, no interior de um tubo circular, na região hidrodinâmica e termicamente
desenvolvida, com a condição de contorno fluxo de calor constante na parede.
5.1.4) Parede com temperatura constante. O problema de transferência de calor descrito
acima, na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida, também pode ser resolvido
com a condição de contorno parede com temperatura constante; mas a análise é mais
elaborada e não será apresentada aqui. O resultado é
657,3=≡
k
hD
Nu (5.26)
que representa o número de Nusselt (ou o coeficiente de transferência de calor) na
convecção laminar forçada, no interior de um tubo circular, na região hidrodinâmica e
termicamente desenvolvida, com a condição de contorno parede com temperatura
constante.
5.1.5) Estimativa das propriedades físicas. Nos resultados dados pelas Eqs. (5.25) e
(5.26), a condutividade térmica do fluido k depende da temperatura. Quando a temperatura
do fluido varia ao longo do tubo, k pode ser calculada pela temperatura média global do
fluido tb, definida como
)(
2
1
ToTiTb += (5.27)
onde Ti = temperatura volumar do fluido na entrada e To = temperatura volumar do fluido
na saída.
5.1.6) Média logarítmica e média aritmética das diferenças de temperaturas. A média
logarítmica (MLDT) das duas grandezas 21 TeT ∆∆ é definida como

)/ln( 21
21
ln
TT
TT
T
∆∆
∆−∆
=∆ (5.28 a)
enquanto a média aritmética (MA) de 21 TeT ∆∆ é definida como
( )21
2
1
TTTMA ∆+∆=∆ (5.28 b)
5.2) ESCOAMENTO NO INTERIOR DE DUTOS COM DIVERSAS SEÇÕES
RETAS TRANSVERSAIS
O número de Nusselt e o fator de atrito no escoamento laminar em dutos com diversas
seções retas transversais foram determinados na região em que os perfis de velocidade e
temperatura estão plenamente desenvolvidos. Se a seção transversal do duto não for
circular, então a transferência de calor e o fator de atrito, em muitos casos de interesse
prático, podem ser baseados no diâmetro hidráulico Dh, definido como
P
A
D c
h
4
= (5.29)
onde Ac = Área de seção reta transversal do escoamento e P = perímetro molhado. Então,
os números de Nusselt e de Reynolds, nestes casos são
K
hD
Nu h
= (5.30 a)
v
Du hm
=Re (5.30 b)
5.2.1) Comprimentos da entrada hidrodinâmica e térmica
Há interesse prático em conhecer o comprimento da entrada hidrodinâmica Lh e o
comprimento da entrada térmica Lt no escoamento no interior de dutos.
O comprimento da entrada hidrodinâmica Lh é definido, um tanto arbitrariamente, como a
distância, a partir da entrada do duto, necessária para que se atinja uma velocidade máxima
correspondente a 99% da grandeza plenamente desenvolvida.
O comprimento da entrada térmica Lt é definido, um tanto arbitrariamente, como a
distância, a partir do começo da seção de transferência de calor, necessária para se atingir
um número de Nusselt local Nux igual a 1,05 vez o valor plenamente desenvolvido.
Se a transferência de calor para o fluido principia na entrada do fluido no duto, tanto
a camada limite cinética como a camada limite térmica começam a se desenvolver
imediatamente, e Lh e Lt são ambos medidos a partir da boca do tubo, como está na Fig.
5.1a.
Em algumas situações, a transferência de calor para o fluido começa após uma seção
isotérmica acalmante, como está na Fig. 5.1b. Neste caso, Lh é medido a partir da entrada
do duto, pois a camada limite cinética começa a se desenvolver imediatamente após a

entrada do fluido no duto, mas Lt é medido a partir da posição onde se inicia a transferência
de calor, pois a camada limite térmica começa a se desenvolver na seção de transferência de
calor.
Os comprimentos da entrada hidrodinâmica e térmica, no escoamento laminar no
interior de condutos, foram dados por vários autores. Apresentamos na Tabela 5.1 o
comprimento da entrada hidrodinâmica Lh no escoamento laminar no interior de condutos
de várias seções transversais, baseados na definição mencionada anteriormente. Incluímos
nesta tabela os comprimentos da entrada térmica nas condições de contorno temperatura da
parede constante e fluxo de calor constante nas paredes, num escoamento
hidrodinamicamente desenvolvido, mas termicamente em desenvolvimento. Nesta tabela,
Dh é o diâmetro hidráulico e o número de Reynolds está baseado neste diâmetro.
Notamos, na Tabela 5.1, que, numa dada geometria, o comprimento da entrada
hidrodinâmica Lh depende apenas do número de Reynolds, enquanto o comprimento da
entrada térmica Lt depende do número de Péclét, Pe, que é igual ao produto dos números de
Reynolds e Prandtl. Por isso, líquidos que têm um número de Prandtl da ordem da unidade
têm Lh e Lt com grandezas comparáveis; nos fluidos como os óleos, que têm um número de
Prandtl grande, temos Lt>Lh e, nos metais líquidos, que tem um número de Prandtl
pequeno, temos Lt<Lh.
Fig. 5.1 comprimentos da entrada hidrodinâmica e térmica: (a) a transferência de calor se inicia na boca
do duto; (b) a transferência de calor se inicia depois de uma seção isotérmica.

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