Sind die Zahlen universell? Mit Hilfe von Äpfeln beweise ich, dass die Mathematik als "lingua cosmica" zur interstellaren Kommunikation geeignet ist und auch auf Aldebaran oder Proxima Centauri die gleiche Mathematik "gesprochen" wird. Bestimmung der Kreiszahl Pi mit der Pi-zza-Salami-Methode

1. Das Jahr der
Mathematik
Eine mathematische
Sammlung - kinderleicht
Thomas Ferber
Forschung und Lehre
Sun Microsystems GmbH

2. Die Themen
Sind die Zahlen
1 universell?
2 π-Day
3 Die Eine Million $-Frage
4
Das unendliche Hotel

3. 1 Sind die Zahlen universell?

4. Sind die Zahlen universell?
Bis Mitte März 2008 waren 277 extrasolare Planeten in 234 Systemen bekannt. Der bisher erdähnlichste
Exoplanet ist der im April 2007 von Astronomen der Europäischen Südsternwarte (ESO) entdeckte zweite
Begleiter des Sterns Gliese 581, Gliese 581c mit schätzungsweise dem 1,5-fachen der Erdgröße und
einer geschätzten Oberflächentemperatur zwischen 0 und 40 °C (siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Exoplanet).
Bei der Frage nach außerirdischem Leben sind zumindest zwei wichtige Voraussetzungen schon erfüllt:
● Es gibt Planeten außerhalb unseres Sonnensystems.
● Es gibt erdähnliche Planeten außerhalb unseres Sonnensystems.
Wenn es also außerirdisches Leben gäbe, wie auch immer geartet, und dieses auch noch intelligent wäre,
stellt sich die Frage wie außerirdische und Menschen miteinander kommunizieren könnten. Finden sich
bei Sprache und Zeichen Möglichkeiten der Verständigung? Betreiben unsere hypothetischen
intelligenten Außerirdischen überhaupt die gleiche Mathematik wie wir? Am Beispiel der Zahlen möchte
ich zeigen, das die Mathematik universell ist und auch in einem anderen Teil der Galaxis “gesprochen”
wird.

5. Natürliche Zahlen
Wir betrachten die AnZAHLEN beliebiger Objekte.
...
N= { , , , . . .}
Damit haben wir die Menge der natürlichen Zahlen gefunden. Und es ist völlig gleich ob wir als Objekte
Äpfel, Eier, pangalaktische Donnergurgler oder Sandkörner auf Gliese 581c nehmen.
N = { 1, 2, 3, 4, . . . }

6. Rechnen mit natürlichen Zahlen
Nachdem wir die natürlichen Zahlen gefunden haben, entdecken wir auch sehr
schnell unsere erste Operation, die Addition.
+ =
+ =
...
+ =
Die Addition macht so richtig Spaß. Mit ihr können wir immer größere Zahlen
konstruieren. Und jede noch so große Zahl ergibt durch die Addition mit Eins eine
noch größere Zahl. Das geht immer so weiter und damit entdecken wir auch noch
die Unendlichkeit. Doch das ist ein anderes Thema. Wir sehen, das die Addition
zweier natürlicher Zahlen wieder eine natürliche Zahl ergibt.

7. Rechnen mit natürlichen Zahlen
Die Addition allein reicht aber nicht aus, wir benötigen auch die Subtraktion,
d.h. Wir geben etwas her, wir ziehen etwas ab.
- =
- =
Die Subtraktion funktioniert damit auch. Wir sehen, das die Subtraktion zweier
natürlicher Zahlen wieder eine natürliche Zahl ergibt. Oder?
- =?
Jetzt haben wir ein Problem. Die Menge der natürlichen Zahlen reicht nicht aus.

8. Von den natürlichen zu den
Ganzen Zahlen
Wir führen ein neues Zahlenelement ein, die NULL und erweitern die Menge
der natürlichen Zahlen um die Zahl Null.
N0 = N + { 0 }
Doch was ist mit Subtraktionsaufgaben des folgenden Typs
bei dem wir mehr abziehen als wir haben.
- =?
Wir führen weitere neue Zahlenelemente ein, die negativen Zahlen und erweitern
die Menge der natürlichen Zahlen inklusive der Zahl Null mit den negativen Zahlen
und nennen diese neue Menge die Menge der ganzen Zahlen.
Z = { . . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }

9. Die Ganzen Zahlen
Z = { . . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }
Mit den ganzen Zahlen können wir nun nach Herzenslust rechnen. Ob Addition
oder Subtraktion jede Zahlenkombination ist möglich. Eine beliebige ganze Zahl mit
einer beliebigen ganzen Zahl addiert oder subtrahiert, ergibt wieder eine ganze
Zahl.
Damit könnten wir jetzt aufhören wenn nicht ....
... ein Apfel durch mehrere geteilt werden müßte.

10. Die rationalen Zahlen
: =
Durch das Teilen kommen wir zu einem neuen Zahlbegriff den Bruchzahlen und damit zur
Menge der rationalen Zahlen, also aller Zahlen, die sich als Bruch schreiben lassen.
Q = { m/n | m, n ε Z, n≠0 }
Und mit diesen Zahlen können wir nun alles machen (außer durch Null teilen): addieren, subtrahieren,
dividieren, multiplizieren (die Multiplikation habe ich stillschweigend eingeführt). Die Menge der
rationalen Zahlen reicht aus. Durch keine dieser Operationen erhalten wir eine Zahl, die nicht in der
Menge der rationalen Zahlen enthalten wäre. Und die Menge der rationalen Zahlen beinhaltet alle bisher
von uns entdeckten Zahlenmengen. Denn jede ganze Zahl läßt sich als Bruch schreiben, z. B. 5 = 5/1.

11. Von den natürlichen zu den rationalen
Zahlen
1/2
5/3
17/4 N
Z N0
Q 1, 2, 3, 4, ...
-3/2 0
m/n -1, -2, -3, ...

12. Das Wurzel von Zwei Problem
Damit könnten wir das Kapitel schließen, wenn nicht, ja wenn nicht die Äpfel in eine Kiste
müssten, die Kiste eine quadratische Grundfläche hätte und wir die Diagonale der
quadratischen Kiste berechnen möchten.
Ein Quadrat mit der Seitenlänge von Eins hat eine
Diagonale von der Länge Quadratwurzel von Zwei.
√2 1
Können wir Quadratwurzel von Zwei als rationale Zahl
darstellen, also als Bruchzahl?
√2 = p/q?
1

13. Mit Hilfe eines indirekten Beweises kann man
sehr schön und sehr schnell zeigen, dass die
Wurzel von zwei keine rationale Zahl ist und
somit nicht als Bruch darstellbar ist. Dazu nimmt
man an Wurzel Zwei wäre als nicht mehr
teilbarer Bruch darstellbar und zeigt dann das
dies zu einem Widerspruch führt. Damit ist dann
die Annahme falsch. Die Wurzel von Zwei ist
also nicht rational. Die neu gefundenen Zahlen
nennen wir irrationale Zahlen.
Weitere irrationale Zahlen, Zahlen die sich nicht als Bruch darstellen lassen, sind z.B. Wurzel von Drei,
Wurzel von Fünf, ....... und natürlich die Zahl Pi. Damit sind wir auch gleich bei unserem nächsten Kapitel.
Haben wir mit den irrationalen Zahlen den größtmöglichen Zahlenbegriff gefunden. Für dieses Kapitel und
diesen Vortrag ja, in der Welt der Mathematik geht es aber weiter mit komplexen Zahlen, Quaternionen,
Oktonionen und hyperkomplexen Zahlen.

14. Zurück zu unserer Eingangsfrage: Ist die Mathematik universell?
Wir haben gesehen wie einfach Mathematik mit einem
Apfelmodell aufbaubar ist. Auch wenn es auf Gliese 581c oder
sonstwo im Universum keine Äpfel gibt, das Zählen, die
Entdeckung der Zahlen, der Operationen, der Eigenschaften der
Zahlen usw. Funktioniert auch mit anderen Objekten.
Die Mathematik ist also überall im Universum die gleiche.
Und was nützt jetzt die Erkenntniss, das außerirdische Intelligenzen zu den
gleichen mathematischen Erkenntnissen kommen? Wie kommunizieren wir
miteinander. Wir verwenden eine konstruierte Sprache wie z. B. Lincos (lingua
cosmica), die 1960 von dem Mathematiker Hans Freudenthal entwickelt
wurde. Das Wörterbuch von Lincos, das am Anfang einer Kommunikation
stehen soll, enthält zunächst einige sehr einfache Muster, um „Begriffe“ für die
natürlichen Zahlen und einfache arithmetische Vorgänge (z. B. Addition,
Subtraktion, Multiplikation, Division) vorzustellen.
(siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Lincos)

15. 2 π-Day

16. Pi = 3,141592653589793...
Der 14. März ist Pi-Tag. Wieso der 14. März? In amerikanischer Schreibweise lautet dieses Datum
3/14. Und das sind die ersten Ziffern der berühmten Kreiszahl Pi.
Diese Zahl ist eine mathematische Konstante deren numerischer Wert
π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 ...
beträgt. Sie beschreibt in der Geometrie das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem
Durchmesser. Dieses Verhältnis ist unabhängig von der Größe des Kreises.
Zur Zeit sind 1,2 Billionen Stellen von Pi bekannt.

17. Bestimmung von Pi
Die wichtigsten geometrischen Methoden zur Bestimmung von Pi basieren auf
● dem Verhältnis Kreis-Umfang zu -Durchmesser,
● dem Verhältnis Kreis-Durchmesser zu -Fläche,
● Dem Verhältniss Kreisfläche zu Quadratfläche

18. Die π-zza-Salami-Methode

19. Die π-zza-Salami-Methode

20. Pi = 3,141592653589793...
Umfang = π * Durchmesser
Umfang
π=
Durchmesser
22 Salamischeiben
π= = 3,142857.....
7 Salamischeiben
Man nehme eine Pizza und eine Salami von geeigneter Größe (7 x Durchmesser der Salami =
Durchmesser der Pizza). Von der Salami schneidet man 29 Stücke ab. Das Verhältnis Umfang
zu Durchmesser ergibt mit der π-zza-Salami-Methode schon ein sehr gutes Ergebnis. Die
beiden ersten Nachkommastellen sind richtig.

21. Pi = 3,141592653589793...
Mit Smarties, die wir auf einen Kreis mit
Durchmesser von 170 cm legen, Umfang = π * Durchmesser
bekommen wir einen noch besseren
Näherungswert für Pi. Umfang
π=
Durchmesser
355 Smarties
π= = 3,1415929…
113 Smarties
Das Verhältnis Umfang zu Durchmesser ergibt mit der Smarties-
Methode ein sehr gutes Ergebnis mit sechs richtigen
Nachkommastellen.

22. 3 Fortsetzung folgt ...

23. Thomas Ferber