1. lª hång ®øc vµ nhãm cù m«n
Gi¶i tÝch 12
øng dông tÝch ph©n
tÝnh thÓ tÝch vËt thÓ
Bµi gi¶ng ®îc tr×nh bµy cho c¸c em häc sinh b»ng
viÖc sö dông gi¸o ¸n ®iÖn tö
Ngêi thùc hiÖn: Lª hång ®øc
§iÖn tho¹i: 0936546689
§Þa chØ: Sè nhµ 20 − Ngâ 86 − §êng T« Ngäc V©n − T©y Hå
− Hµ Néi
115

2. øng dông tÝch ph©n
§6
®Ó tÝnh thÓ tÝch vËt thÓ
A. bµi gi¶ng
1. thÓ tÝch cña vËt thÓ
Gi¶ sö vËt thÓ T ®îc giíi h¹n bëi hai mÆt ph¼ng song song (α), (β).
Ta chän trôc Ox sao cho:
y
Ox ⊥ (α) vµ gi ¶ sö Ox ∩( α) = a

Ox ⊥ (β) vµ gi ¶ sö Ox ∩(β) = b
Gi¶ sö mÆt ph¼ng (γ) ⊥ Ox vµ (γ) ∩ Ox =
x (a ≤ x ≤ b) c¾t T theo mét thiÕt diÖn cã
diÖn tÝch S(x) (lµ hµm sè liªn tôc theo biÕn
x). Khi ®ã, thÓ tÝch V cña vËt thÓ T ®îc O a x b x
cho bëi c«ng thøc:
b
V= ∫ S(x)dx .
a
ThÝ dô 1: TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ:
π
a. N»m gi÷a hai mÆt ph¼ng x = 0 vµ x = 2
, biÕt r»ng thiÕt diÖn
cña vËt thÓ bÞ c¾t bëi mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc Ox t¹i ®iÓm
π
cã hoµnh ®é x (0 ≤ x ≤ 2
) lµ mét h×nh vu«ng c¹nh sin3 x .
b. N»m gi÷a hai mÆt ph¼ng x = 1 vµ x = 4, biÕt r»ng thiÕt diÖn cña
vËt thÓ bÞ c¾t bëi mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc Ox t¹i ®iÓm cã
hoµnh ®é x (1 ≤ x ≤ 4) lµ mét tam gi¸c ®Òu c¹nh lµ x −1 .
 Gi¶i
a. DiÖn tÝch thiÕt diÔn S(x) ®îc cho bëi:
( ) 1
2
S(x) = sin 3 x = sin3x = ( 3sin x − sin 3x ) .
4
Khi ®ã, thÓ tÝch vËt thÓ ®îc cho bëi:
π2
1
1 1 1  π /2
V= ∫ S(x)dx
−1
= 4 ∫ ( 3sin x − sin 3x )dx =
0
 −3cos x + cos 3x ÷
4 3  0
2
= 3
.
b. DiÖn tÝch thiÕt diÔn S(x) ®îc cho bëi:
3
( ) 3
( ) .
2
S(x) = 4
x −1 = 4
x − 2 x +1
116

3. Khi ®ã, thÓ tÝch vËt thÓ ®îc cho bëi:
1 4
31 2 4 3 4
V = ∫ S(x)dx =
3
4 ∫
(
x − 2 x +1 dx ) =  x − x 2 + x ÷1
4 2 3
=
73
24
.
−1 1 

NhËn xÐt: Nh vËy, ®Ó tÝnh c¸c thÓ tÝch vËt thÓ trªn:
 ë c©u a) v× thiÕt diÖn lµ h×nh vu«ng (gi¶ sö c¹nh b»ng a) nªn ta cã
ngay S = a2.
 ë c©u b) v× thiÕt diÖn lµ tam gi¸c ®Òu (gi¶ sö c¹nh b»ng a) nªn ta
a2 3
cã ngay S = 4
.
Ho¹t 1. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ n»m gi÷a hai mÆt ph¼ng x
®éng
= 0 vµ x = π, biÕt r»ng thiÕt diÖn cña vËt thÓ bÞ c¾t bëi
mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc Ox t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x (0
≤ x ≤ π) lµ mét tam gi¸c ®Òu c¹nh lµ 2 sin x .
2. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ n»m gi÷a hai mÆt ph¼ng x =
–1 vµ x = 1, biÕt r»ng thiÕt diÖn cña vËt thÓ bÞ c¾t bëi mÆt
ph¼ng vu«ng gãc víi trôc Ox t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x (–1 ≤ x
≤ 1) lµ mét h×nh vu«ng c¹nh 2 1− x2 .
ThÓ tÝch khèi nãn vµ khèi chãp, khèi nãn côt vµ khèi cÇu
a. ThÓ tÝch khèi nãn (khèi chãp) cã diÖn tÝch ®¸y b»ng B vµ chiÒu cao
1
h ®îc cho bëi V = 3
Bh.
b. ThÓ tÝch khèi nãn côt (khèi chãp côt) cã diÖn tÝch hai ®¸y lµ B1, B2
vµ chiÒu cao h ®îc cho bëi:
1
V= 3
(B1 + B2 + B1.B2 )h.
c. ThÓ tÝch cña khèi cÇu cã b¸n kÝnh R ®îc cho bëi:
4
V= 3
πR3.
2. ThÓ tÝch khèi trßn xoay
D¹ng 1: ThÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh bëi miÒn (D) giíi h¹n bëi y = f(x),
x = a, x = b, y = 0 quay quanh trôc Ox ®îc cho bëi c«ng thøc:
b b
V = π ∫ y2dx = π ∫ f 2 (x)dx .
a a
ThÝ dô 2: Cho h×nh ph¼ng A giíi h¹n bëi c¸c ®êng y = 0, x = 4 vµ y = x
– 1. TÝnh thÓ tÝch cña khèi trßn xoay t¹o thµnh khi quay h×nh A quanh
trôc hoµnh.
117

4.  Gi¶i
§iÒu kiÖn:
x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 ⇔ x ≥ 1.
Khi ®ã, thÓ tÝch vËt thÓ ®îc cho bëi:
4
4 4 4
1 4 3  7π
V= π ∫ y 2dx = π∫ ( x − 1)2 dx = π∫ (x − 2 x + 1)dx = π x2 − x 2 + x ÷ =
1 1 1  2 3 1 6
.

NhËn xÐt: Nh vËy, ®Ó tÝnh c¸c thÓ tÝch khèi trßn xoay trªn chóng ta
sö dông ngay c«ng thøc trong d¹ng 1.
Ho¹t TÝnh thÓ tÝch vËt trßn xoay do h×nh ph¼ng
®éng S = {y = xlnx; y = 0; x = 1; x = e} quay quanh Ox.
D¹ng 2: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh bëi miÒn (D) giíi h¹n bëi x = f(y),
y = a, y = b, x = 0, quay quanh trôc Oy ®îc cho bëi c«ng thøc:
b b
V = π ∫ x 2dy = π ∫ f 2 (y)dy .
a a
ThÝ dô 3: TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o thµnh khi quay quanh trôc tung
mét h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè y = 3 − x2, trôc tung vµ ®êng
th¼ng y = 1.
 Gi¶i
BiÕn ®æi hµm sè vÒ d¹ng:
y = 3 − x2 ⇔ x2 = 3 − y (cÇn cã ®iÒu kiÖn 3 − y ≥ 0 ⇔ y ≤ 3).
Khi ®ã, thÓ tÝch vËt thÓ ®îc cho bëi:
3 3
 y2  3
V = π ∫ x 2dy = π ∫ (3 − y)dy = π  3y − ÷ 1 = 2π.
1 1  2

NhËn xÐt: Nh vËy, ®Ó tÝnh c¸c thÓ tÝch khèi trßn xoay trªn chóng ta
cÇn thùc thªm c«ng viÖc biÕn ®æi hµm sè vÒ d¹ng x = f(y) vµ ë ®©y nhê
®iÒu kiÖn cã nghÜa cña y chóng ta nhËn ®îc cËn y = 3.
2
Ho¹t 1. Cho h×nh ph¼ng A giíi h¹n bëi c¸c ®êng x = ,y=1
y
®éng
vµ y = 4. TÝnh thÓ tÝch cña khèi trßn xoay t¹o thµnh khi
quay h×nh A quanh trôc tung.
2. Cho h×nh ph¼ng B giíi h¹n bëi ®êng cong cã ph¬ng
tr×nh x(y + 1) = 2 vµ c¸c ®êng th¼ng x = 0, y = 0, y = 3.
118

5. TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o ®îc khi quanh B quanh trôc
tung.
B. ph¬ng ph¸p gi¶i C¸c d¹ng to¸n thêng gÆp
ph¬ng thêng
Bµi to¸n 1: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ.
Ph¬ng ph¸p ¸p dông
Sö dông kiÕn thøc trong phÇn "C«ng thøc tÝnh thÓ tÝch" vµ h·y hiÓu
cÇn thùc hiÖn theo hai bíc.
VÝ dô 1: TÝnh thÓ tÝch khèi nãn ®Ønh S, ®¸y lµ mét ElÝp cã nöa ®é
dµi hai trôc b»ng a; b, chiÒu cao h.
 Gi¶i S
Ta cã:
 DiÖn tÝch ®¸y ®îc cho bëi B = πab.
1 π abh A H B
 ThÓ tÝch vËt thÓ ®îc cho bëi V = 3 Bh = 3 .

Chó ý: Ta sö dông ®Þnh nghÜa Viªn ph©n Parabol lµ miÒn
giíi h¹n bëi mét Parabol vµ mét c¸t tuyÕn song song víi tiÕp
tuyÕn t¹i ®Ønh cña nã:
 AB ®îc gäi lµ ®¸y cña viªn ph©n.
 SH ®îc gäi lµ chiÒu cao cña viªn ph©n.
VÝ dô 2: TÝnh thÓ tÝch khèi nãn ®Ønh S, chiÒu cao h, ®¸y lµ miÒn D
giíi h¹n bëi Parabol cã ®¸y b»ng chiÒu cao vµ b»ng 2a.
 Híng dÉn: Chän hÖ trôc to¹ ®é thÝch hîp. z
 Gi¶i
2a A
Chän hÖ trôc to¹ ®é sao cho viªn ph©n
Parabol ®¸y ë trong mÆt ph¼ng Oyz nhËn Oz S
lµm trôc ®èi xøng vµ ®¸y cña viªn ph©n thuéc C −a
O
trôc Oy, khi ®ã: x h x
B
 Ph¬ng tr×nh Parabol ®¸y (ABC) ®îc cho a
y
bëi z = my2 + 2a
2
MÆt kh¸c z( ± a) = 0 ⇒ m = − a
.
2
VËy ph¬ng tr×nh Parabol ®¸y (ABC): z = − a
y2 + 2a.
 DiÖn tÝch ®¸y ®îc cho bëi:
119

6. a
2 2 3 8a2
∫ (− a y + 2a)dy
2
(−
a
y
B= −a
= 3a + 2ay) −a
= 3 .
 DiÖn tÝch thiÕt diÖn ®îc cho bëi:
2
S(x)  h − x  8a2
=
B  h 
÷ ⇔ S(x) = 3h2 .(h − x)2.
 ThÓ tÝch vËt thÓ ®îc cho bëi:
h h
8a2 8a2 h
8a 2 h
V = ∫ S(x)dx ∫ (h − x) dx
2
(h − x)3
0
0
= 3h2 0
= 9h 2 = 9 .
Bµi to¸n 2: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay d¹ng 1.
Ph¬ng ph¸p ¸p dông
Ta cã hai d¹ng sau:
D¹ng 1: Víi yªu cÇu " TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh bëi miÒn (D)
giíi h¹n bëi y = f(x), x = a, x = b, y = 0 quay quanh trôc Ox"
ta ¸p dông c«ng thøc:
b b
V = π ∫ y2dx = π ∫ f 2 (x)dx .
a a
D¹ng 2: Víi yªu cÇu "TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh bëi miÒn (D)
giíi h¹n bëi x = f(y), y = a, y = b, x = 0, quay quanh trôc Oy "
ta ¸p dông c«ng thøc:
b b
V = π ∫ x 2dy = π ∫ f 2 (y)dy .
a a
VÝ dô 1: Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi:
π
D = {y = tanx; x = 0; x = 3
; y = 0}.
a. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi D.
b. TÝnh thÓ tÝch vËt trßn xoay khi D quay quanh Ox.
 Gi¶i
a. §S: S = ln2 (®vdt).
b. ThÓ tÝch vËt trßn xoay cÇn tÝnh lµ:
π π
3 3 π3  π
V = =  1  = π ( tan x − x ) = π  3− ÷
π ∫ tan 2 xdx π∫  − 1÷dx 0  3
0 0
cos 2 x 
(®vtt).
VÝ dô 2: TÝnh thÓ tÝch cña khèi trßn xoay t¹o nªn khi ta quay quanh
trôc Ox h×nh ph¼ng S giíi h¹n bëi c¸c ®êng:
y = xex, x = 1, y = 0, víi 0 ≤ x ≤ 1.
120

7.  Gi¶i
Hoµnh ®é giao ®iÓm cña hai ®êng y = xex vµ y = 0 lµ nghiÖm cña ph¬ng
tr×nh:
xex = 0 ⇔ x = 0.
1
ThÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay cÇn tÝnh ®îc cho bëi V = π ∫ (xe x ) 2 dx .
0
§Ó tÝnh tÝch ph©n trªn ta sö dông ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn,
®Æt:
 du = 2xdx
u = x 2
 
 ⇔  1 2x .
 dv = e dx v = 2 e
2x


Khi ®ã:
1 1
1  π e2
V= π x 2 e 2x ÷ 1 − π∫ xe 2 x dx
2 
0 = 2
− π ∫ xe2x dx . (1)
0 0
1
XÐt tÝch ph©n I = ∫ xe , ®Æt:
2x
dx
0
 du = dx
u = x
 
 ⇔  1 2x
 dv = e dx v = 2e
2x


Khi ®ã:
1
1 1
1 e2 1 1
e2
∫e
2x
− dx
−
0 0
I= 2 xe2x 2 0
= 2 4 e2x = 4 .
(2)
Thay (2) vµo (1), ta ®îc:
π
V= 2
(e − 1) (®vtt).
VÝ dô 3: TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh ra bëi phÐp quay
xung quanh Ox cña h×nh giíi h¹n bëi trôc Ox vµ Parabol (P): y = x2 − ax (a >
0).
 Gi¶i
Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ Ox lµ:
x = 0
x2 − ax = 0 ⇔ x = a .

Khi ®ã thÓ tÝch cÇn x¸c ®Þnh ®îc cho bëi:
121

8. a a
π a5
V = π ∫ (x 2 − ax)2 dx = π ∫ (x 4 − 2ax 3 + a 2 x 2 )dx = 30
.
0 0
VÝ dô 4: TÝnh thÓ tÝch h×nh Elipxoit trßn xoay sinh ra bëi ElÝp (E):
2 2
x y
+
a 2 b2
=1 khi nã quay quanh trôc Ox.
 Gi¶i
Elipxoit trßn xoay sinh ra do quay ElÝp (E) quanh Ox, do vËy:
a a
π b2 π b2 1 4
V = π ∫ y2dx = a2 ∫ (a
2
− x 2 )dx = a2
(a2x − 3
x3) a
−a = 3
πab2.
−a −a

4
Chó ý: ¸p dông cho h×nh cÇu b¸n kÝnh R, ta ®îc a = b = R, do ®ã V = 3
πR3.
Bµi to¸n 3: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay d¹ng 2
Ph¬ng ph¸p ¸p dông
Ta cã hai d¹ng sau:
D¹ng 1: Víi yªu cÇu " TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh bëi miÒn (D)
giíi h¹n bëi y = f(x), y = g(x), x = a, x = b quay quanh trôc Ox" ta
¸p dông c«ng thøc:
b
V = π∫ f 2 (x) − g 2 (x) dx .
a
D¹ng 2: Víi yªu cÇu " TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh bëi miÒn (D)
giíi h¹n bëi x = f(y), x = g(y), y = a, y = b quay quanh trôc Oy" ta
¸p dông c«ng thøc:
b
V = π∫ f 2 (y) − g 2 (y) dy .
a
VÝ dô 5: Cho h×nh ph¼ng (G) giíi h¹n bëi y = 4 − x2; y = x2 + 2. Quay
h×nh ph¼ng (G) quanh Ox ta ®îc mét vËt thÓ. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ nµy.
 Gi¶i
Hoµnh ®é giao ®iÓm cña hai ®êng y = 4 − x2; y = x2 + 2 lµ nghiÖm cña
ph¬ng tr×nh:
x = 1
4 − x2 = x2 + 2 ⇔ x = −1 .

ThÓ tÝch vËt trßn xoay cÇn tÝnh ®îc cho bëi:
122

9. 1 1
1
V = π ∫ ( (4 − x 2 ) 2 − (x 2 + 2) 2 ) dx = π ∫ (12 − 12x 2 )dx = π ( 12x − 4x 3 ) =
−1 −1
−1
16π.
1 x2
VÝ dô 6: Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi D = { y = x +1
2 ;y= 2
}
a. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi D.
b. TÝnh thÓ tÝch vËt trßn xoay khi D quay quanh Ox.
 Gi¶i
Hoµnh ®é giao ®iÓm cña hai ®êng ®· cho lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:
1 x2 x = 1
x +1
2 = 2
⇔ x = −1 .

a. B¹n ®äc tù gi¶i.
b. ThÓ tÝch vËt trßn xoay cÇn tÝnh ®îc cho bëi:
2 2
 1  x 
1 2 1
1  1 1
V= π∫  2 ÷ −  ÷ dx = π∫ dx − π  x5 ÷
−1 
x +1   2  −1
(x 2 + 1)2  10  −1
1
1 π
= π∫
(x 2 + 1) 2
dx − 5
. (1)
−1
1
1
XÐt tÝch ph©n I = ∫ (x
−1
2
+ 1) 2
dx , thùc hiÖn phÐp ®æi biÕn x = tant th× dx =
1
cos 2 t
dt .
§æi cËn:
π
 Víi x = −1 th× t = − 4
.
π
 Víi x = 1 th× t = 4 .
Khi ®ã:
1
π/4
π 4
π/ 4
cos 2 t dt  1 + cos 2t  1 1
I= π ∫ = π ∫  ÷dt = π x + sin 2t ÷
−π/ 4 (
1 2 −π / 4 
2   2 4  −π 4
)
cos 2 t
π2 π
= +
4 2
. (2)
π 2 3π
Thay (2) vµo (1), ta ®îc V = +
4 10
(®vtt).
123

10. Bµi to¸n 4: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay d¹ng 3
Ph¬ng ph¸p ¸p dông
Víi yªu cÇu " TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh bëi miÒn (D) giíi h¹n
bëi mét ®êng (C) kÝn" ta xÐt hai trêng hîp sau:
Trêng hîp 1: Khi quay quanh Ox, ta thùc hiÖn hai bíc sau:
Bíc 1: Ph©n ®êng cong kÝn (C) thµnh hai cung
(C1): y = f1(x) = y1 vµ (C2): y = f2(x) = y2
víi a ≤ x ≤ b vµ f1(x), f2(x) cïng dÊu.
Bíc 2: ThÓ tÝch cÇn x¸c ®Þnh ®îc cho bëi:
b
V = π ∫ | y12 − y22 | dx .
a
Trêng hîp 2: Khi quay quanh Oy, ta thùc hiÖn theo hai bíc sau:
Bíc 1: Ph©n ®êng cong kÝn (C) thµnh hai cung
(C1): x = f1(y) = x1 vµ (C2): x = f2(y) = x2
víi a ≤ y ≤ b vµ f1(y), f2(y) cïng dÊu.
Bíc 2: ThÓ tÝch cÇn x¸c ®Þnh ®îc cho bëi:
b
V = π ∫ | x12 − x 2 | dy .
2
a
TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ t¹o bëi h×nh (E): (
x − 4)
2
y2
VÝ dô 1: + ≤ 1 quay
4 16
quanh trôc Oy.
 Gi¶i
Elip (E) cã t©m I(4,0), trôc lín cã ®é dµi 2a = 8, trôc nhá cã ®é dµi 2b = 4.
VËy, ta cã:
 Nöa (E) øng víi 2 ≤ x ≤ 4 cã ph¬ng tr×nh:
y2
x = f1(y) = 4 − 2 1− víi y∈[ − 4, 4] .
16
 Nöa (E) øng víi 4 ≤ x ≤ 6 cã ph¬ng tr×nh:
y2
x = f2(y) = 4 + 2 1− víi y∈[ − 4, 4].
16
ThÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay cÇn tÝnh ®îc cho bëi:
4 4
y2
V= π ∫ ( f 22 (y) − f12 (y) )dy = 32 π∫ 1− dy .
−4 −4
16
Thùc hiÖn phÐp ®æi biÕn y = 4 sin t th× dy = 4costdt.
§æi cËn:
π
 Víi y = − 4 th× t = − 2
.
124

11. π
 Víi y = 4 th× t = 2 .
Khi ®ã:
π/ 2 π/2
V = 32 π ∫
−π / 2
1 − sin 2 t.4cos tdt = 128 π ∫
−π / 2
cos 2 tdt
π/ 2
1 + cos 2t  1  π2
= 128 π ∫
−π / 2
2
dt = 64 π  t + sin 2t ÷
 2  −π 2
= 64 π2 (®vtt).
C. bµi tËp rÌn luyÖn
Bµi tËp 1: TÝnh thÓ tÝch phÇn h×nh trô b¸n kÝnh ®¸y R, giíi h¹n bëi ®¸y víi
phÇn phÝa díi cña hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q), biÕt:
a. MÆt ph¼ng (P) ®i qua mét ®êng kÝnh cña ®¸y hîp víi ®¸y mét gãc α
π
víi 0 < α < 2
.
b. MÆt ph¼ng (Q) c¾t h×nh trô, song song vµ c¸ch ®¸y mét kho¶ng
b»ng h < R.tanα.
Bµi tËp 2: TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ n»m gi÷a hai mÆt ph¼ng x = –1 vµ x
= 1, biÕt r»ng thiÕt diÖn cña vËt thÓ bÞ c¾t bëi mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi
trôc Ox t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x (–1 ≤ x ≤ 1) lµ mét h×nh vu«ng c¹nh 2 1 − x 2
.
Bµi tËp 3: TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ n»m gi÷a hai mÆt ph¼ng x = 0 vµ x =
π, biÕt r»ng thiÕt diÖn cña vËt thÓ bÞ c¾t bëi mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc
Ox t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x (0 ≤ x ≤ π) lµ mét tam gi¸c ®Òu c¹nh lµ 2 sin x .
Bµi tËp 4: TÝnh thÓ tÝch vËt trßn xoay do h×nh ph¼ng
S = {y = xlnx; y = 0; x = 1; x = e} quay quanh Ox.
Bµi tËp 5:
2
a. Cho h×nh ph¼ng A giíi h¹n bëi c¸c ®êng x = y , y = 1 vµ y = 4. TÝnh
thÓ tÝch cña khèi trßn xoay t¹o thµnh khi quay h×nh A quanh trôc
tung.
b. Cho h×nh ph¼ng B giíi h¹n bëi ®êng cong cã ph¬ng tr×nh x(y + 1) = 2
vµ c¸c ®êng th¼ng x = 0, y = 0, y = 3. TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay
t¹o ®îc khi quanh B quanh trôc tung.
Bµi tËp 6: TÝnh thÓ tÝch khi S quay quanh Ox, biÕt:
S = {y = x2 − 4x + 6, y = −x2 − 2x + 6}.
Bµi tËp 7: TÝnh thÓ tÝch h×nh xuyÕn do quay h×nh trßn (C): x2 + (y − 2)2 =
1 khi quanh trôc Ox.
Bµi tËp 8: TÝnh thÓ tÝh do D quay quanh trôc Ox
125

12. π
D = {y = 0;y = 1+cos4 x +sin4 x ;x= 2
;x = π }.
1 x2
Bµi tËp 9: Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi D = { y = x2 + 1
;y= 2
}
c. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi D.
d. TÝnh thÓ tÝch vËt trßn xoay khi D quay quanh Ox.
Bµi tËp 10: Gäi (d) lµ ®êng th¼ng qua M(1; 1) víi hÖ sè gãc k < 0. Gi¶ sö
(d) c¾t Ox, Oy t¹i A vµ b.
a. TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay sinh bëi ∆OAB khi quanh trôc Ox. X¸c
®Þnk k ®Ó khèi trßn xoay ®ã cã thÓ tÝch nhá nhÊt.
b. TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay sinh bëi ∆OAB khi quanh trôc Oy. X¸c
®Þnk k ®Ó khèi trßn xoay ®ã cã thÓ tÝch nhá nhÊt.
D. híng dÉn − ®¸p sè
16
Bµi tËp 2: 3
. Bµi tËp 3: 2 3 .
π
Bµi tËp 4: V = 27
(5e3 − 3) . Bµi tËp 5: a. 3π. b. 3π.
Bµi tËp 6: 3π. Bµi tËp 7: 4π2.
Bµi tËp 10: Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) ®îc cho bëi:
(d): y = k(x − 1) + 1.
V× (d)∩Ox = {A}, to¹ ®é A lµ nghiÖm hÖ ph¬ng tr×nh: y
y = k(x − 1) + 1 k− 1 B
 ⇒ A( , 0) 1−k
y = 0 k
M
V× (d)∩Oy = {B}, to¹ ®é B lµ nghiÖm hÖ ph¬ng tr×nh: A
y = k(x − 1) + 1
O x
1−
 ⇒ B(0, 1 − k)
x = 0
a. Gäi VOx lµ thÓ tÝch sinh bëi ∆OAB khi quanh trôc Ox, ®Ó x¸c ®Þnh VOx ta
cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau:
C¸ch 1: Sö dông hÖ qu¶ cña bµi to¸n 1, ta ®îc:
1 k− 1 π 1
VOx = 3
π(1 − k)2. k
= 3
(k2 − 3k + 3 − k
).
C¸ch 2: Sö dông bµi to¸n 2, ta ®îc:
k− 1 k −1
k k π 1
VOx = π ∫ 2
y dx = ∫ [k(x − 1) + 1]
2
dx = 3
(k2 − 3k + 3 − k
).
0 0
1
 X¸c ®Þnh MinVOx: XÐt hµm sè f(k) = k2 − 3k + 3 − k
víi k<0.
126

13. §¹o hµm:
1 1 1
f'(k) = 2k − 3 + ; f'(k) = 0 ⇔ 2k − 3 + =0 k=− .
k0<
⇔
k2 k2 2
B¶ng biÕn thiªn
k 0 − 1/2 +∞
f'(k) 0 − 0 +
f(k) +∞ 27/4 +∞
9π 1
VËy MinVOx = 4
, ®¹t ®îc khi k = − 2
.
b. Gäi VOy lµ thÓ tÝch sinh bëi ∆OAB khi quanh trôc Oy, ®Ó x¸c ®Þnh VOy ta
cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau:
C¸ch 1: Sö dông hÖ qu¶ cña bµi to¸n 1, ta ®îc:
2
1  k − 1 π 1 3
VOy = 3
π  k ÷ .(1 − k) = 3
( k2
− k
− k + 3).
 
C¸ch 2: Sö dông bµi to¸n 2, ta ®îc:
k −1
1− k
k
1 π 1 3
VOx = π ∫ x 2dy = ∫ [ k (y − 1) + 1]
2
dy = 3
( k2
− k
− k + 3).
0
0
1 3
 X¸c ®Þnh MinVOy: XÐt hµm sè g(k) = k2
− k
− k + 3 víi k<0.
§¹o hµm:
2 3 2 3
g'(k) = − + − 1; g'(k) = 0 ⇔ − + −1 = 0
k0<
⇔
k3 k2 k3 k2
k = −2.
B¶ng biÕn thiªn
k 0 −2 +∞
g'(k) 0 − 0 +
g(k) +∞ 27/4 +∞
9π
VËy MinVOy = 4
, ®¹t ®îc khi k = −2.
127