1. CÁC CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12
……..……
Vấn đề1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN-TỌA ĐỘ CỦAVECTO, TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM
r r r r r r
1.Trong hệ tọa độ Oxy cho a =(1; −2;1) , b =(−2;1;1) , c =3i +2 j −k .Tìm tọa độ các véctơ
r r r r ur
u r r r r r 3r r
a) r r
u =3a −2b b) v =− −3b
c c) w =a − +2c
b d) x = a − b + 2c
2
r r r r r r r r
2.Trong hệ tọa độ Oxy cho a = − 0)
(1; 1; , b =(−1;1; 2) , c =i −2 j −k , d=i
r
a)xác định k để véctơ u =(2; 2k − 0)
1; cùng phương với r
a
r r r r
b)xác định các số thực m,n,p để d =ma −nb + pc
r r r r
c)Tính a , b , a + 2b
3.Cho A(2;5;3) , B(3;7;4) , C(x;y;6)
a)Tìm x,y để ba điểm A,B ,C thẳng hàng
b)Tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng yOz.Tính độ dài đoạn AB
c)Xác định tọa độ điểm M trên mp Oxy sao cho MA+MB nhỏ nhất
r 1 r r r r r
4.Trong hệ tọa độ Oxy cho a = (1; −2; ) , b =( −2;1;1) , c =3i +2 j +4k
4
rr r
a) Tính các tích vô hướng .ab , c.b .Trong ba véctơ trên có các cặp véctơ nào vuông góc
r r rr
b)Tính Cos(a,b) , Cos(a,i)
5.Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2),D(3;0;1),E(1;2;3)
a)Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật.Tính diện tích của nó.
b)Tính cos các góc của tam giác ABC
c)Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB
uuur uuur uuur
u r
d)Tìm tọa độ điểm M thỏa MA + − MC =
MB 2 0
6.Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2).
a)Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB
b)Tìm tọa độ trong tâm tam giác ABC
GV:Phan Thanh Nhật

2. Vấn đề 2:TÍCH CÓ HƯỚNG HAI VÉCTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNG
rr
1.Tính tích có hướng  u, v  biết rằng
 
r r r r r r r r r r r
a) u = (1; −2;1) , v = (−2;1;1) b) u = ( − 3;1)
1; , v = (0;1;1) c) u = 4i + j , v =i −2 j −k
r r uu r
2.Tính tích u , v  .w biết rằng
 
r r ur
u r r ur
u r r r
a) u = (1; −2;1) , v = (0;1; 0) , w =(1; 2; −1) b) u =( − −
1; 1;1) , v = (0; 0; 2) , w =(1; − −
2; 1) c) u = 4i + j
r r r r ur
u
, v =i −2 j −k , w =(5;1; −1)
3.Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2), D(1;2;3)
a)Chứng tỏ rằng A,B,C không thẳng hàng
b)Chứng tỏ rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng
c)Tính diện tích tam giác ABC
d)Tính thể tích tứ diện ABCD.Biết rằng
4.Cho hình chóp S.ABCD có A(2;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2), D(1;2;-1), S(0;0;7)
a)Tính diện tích tam giác SAB
b)Tính diện tích tứ giác ABCD
c)Tính thể tích hình chóp S.ABCD.Từ đó suy ra khoảng cách từ S đến mp(ABCD)
d)Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD)
5.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ . Biết rằng A(1;2;-1), B(-1;1;3), C(-1;-1;2) và D’(2;-2;-3)
a)Tìm tọa độ các đỉnh còn lại
b)Tính thể tích hình hộp
VABCD. A ' B 'C ' D '
c)Tính thể tích tứ diện A.A’BC. Tính tỉ số VA. A ' B 'C '
d)Tính thể tích khối đa diện ABCDD’
GV:Phan Thanh Nhật

3. Vấn đề 3 : PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT CẦU
1.Tìm tâm và bán kính mặt cầu
25
a) (x − 2 + y + 2 + z − 2 =
2) ( 1) ( 2) 9 b) x 2 + y 2 + z 2 − 4 x +5 y + 3 z + =0
4
2.Cho A(1;3;-7), B(5;-1;1) .
a)Lập phương trình mặt cầu tâm A bán kính AB
b)Lập phương trình mặt cầu đường kính AB
c)Lập phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mặt phẳng Oxy
3.Cho A(1;1;1) ,B(1;2;1) ,C(1;1;2) , D(2;2;1)
a)Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,D
b)Tìm hình chiếu của tâm mặt cầu ở câu a) lên các mp Oxy, Oyz
4.Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp Oxy
5.Cho A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1)
a)Chứng tỏ rằng ABCD là một tứ diện
b)Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
c)Viết phương trình mặt cầu cắt mp(ABC) theo thiết diện là một đường tròn có bán kính lớn nhất.
6.Chứng tỏ rằng phương trình x +y + + mx − my + z + + m =
2 2 2
z 4 2 4 m 2
4 0 luôn là phương trình của một mặt cầu. Tìm
m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.
7.Chứng tỏ rằng phương trình x + + + c osα − sin αy + z − − sin α 0 luôn là phương trình của một
2 2
y 2
z 2 .x 2 . 4 4 4 2
=
mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là lớn nhất.
GV:Phan Thanh Nhật

4. Vấn đề 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1.Cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)
r
a)Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ n(1; −1; 5) làm vectơ pháp tuyến
r r
b)Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặt nằm trong mp đó là a (1; 2; − b (2; − 3)
1), 1;
c)Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB
d)Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC
e)Viết phương trình mp (ABC)
2.Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)
a)Viết phương trình mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC)
b)Viết phương trình mp qua A và song song với mp (P):2x- y- 3z- 2 = 0
c)Viết phương trình mp qua hai điểm A , B và vuông góc với mp (Q):2x- y+2z- 2 = 0
d)Viết phương trình mp qua A, song song với Oy và vuông góc với mp (R):3x – y-3z-1=0
e)Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz
3.Viết phương trình mp đi qua M(2;1;4) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A,B, C sao cho
OA = OB = OC
4.Viết phương trình mp đi qua M(2;2;2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A,B,C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất .
5.Viết phương trình mp đi qua M(1;1;1) cắt các tia Ox, Oy,Oz lần lược tại các điểm A,B,C sao cho tam giác ABC cân tại A,
đồng thời M là trọng tâm tam giác ABC.
6.Cho tứ diện ABCD ,biết rằng A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1).
a)Viết phương trình mp chứa A và song song với mp (ABC)
b)Viết phương trình mp cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó.
7.Cho mp(P):2x- y+2z- 2 = 0 và hai điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4).
a)Tính khoảng cách từ A đến mp (P)
b)viết phương trình mp chứa hai điểm A,B và tạo với mp (P ) một góc có số đo lớn nhất.
c)Viết phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mp (P)
( α ) : 2x − y − 2z −1 = 0
8.Cho ba mặt phẳng ( β ) : x − 2 y + z −1 = 0
( γ ) : −2 x + y + 2 z − 3 = 0
a)Trong ba mặt phẳng đó mp nào song song với mp nào?
b)Tìm quỹ tích các điểm cách đều (α ) và ( γ )
c)Tính khoảng cách giữa hai mp (α ) và ( γ )
d)Tìm quỹ tích các điểm cách (β ) một khoảng bằng 1
e)Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Ox và tiếp xúc với hai mp (α ) và ( γ )
( α ) : 2 x − y − 2 z −1 = 0
9.Cho hai mặt phẳng
( β ) : x − 2 y + z −1 = 0
a)Tính cosin góc giữa hai mp đó
b)Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc Oy tiếp xúc với cả hai mp đó.
c)Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mp đó và song song với trục Ox
10.Cho mặt phẳng (P):2x- y+2z- 3 = 0 và mặt cầu (C ): ( x − + y + + z − =25
1) ( 1) ( 2) 2 2 2
a)Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) và mặt cầu (C ) cắt nhau. Tìm bán kính của đường tròn giao tuyến
b)Lập phương trình các tiếp diện của mặt cầu song song với mặt phẳng (P)
12. Cho hai mặt phẳng ( α) : 2 x −2 y +z −5 =0 và mặt cầu (C) (x − 2 + y + 2 + z − 2 =
1) ( 1) ( 2) 25
a)Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu song song với Ox và vuông góc với (α )
b)Tính góc giưa mp ( α ) với Ox
c)Lập phương trình mp đi qua hai A(1;0;1) điểm B(1;-2;2) và hợp với (α ) một góc 600
13.Cho bốn điểm A(1;1;2), B(1;2;1), C(2;1;1), D(1;1;-1)
a)Viết phương trình mp ABC.
b)Tính góc cosin giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD)
14.Viết phương trình mp đi qua điểm M(2;1;-1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng x- y+ z -4= 0 và 3x- y + z -1= 0
GV:Phan Thanh Nhật

5. 15. Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng x+2 z -4= 0 và x+ y - z + 3= 0 đồng thời song song với mặt
phẳng x+ y+ z = 0
16. Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng3 x-y+ z -2= 0 và x+4 y -5= 0 đồng thời vuông góc với mặt
phẳng 2x- y+ 7 = 0
17.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2.Gọi I,J ,K lần lược là trung điểm các cạnh BB’ , C’D’ và D’A’.
a) Chứng tỏ rằng mặt phẳng (IJK) vuông góc với mặt phẳng (CC’K)
b)Tính góc giữa hai mặt phẳng (JAC) và (IAC’)
c)Tính khoảng cách từ I đến mp(AJK)
18.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB= SA= 2a. AD= a.Đặt hệ trục Oxyz sao cho các tia Ox, Oy ,Oz
lần lược trùng với các tia AB,AD,AS.
a)Từ điểm C vẽ tia CE cùng hướng với tia AS. Tìm tọa độ của E.
b)Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
c)Chứng tỏ rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC)
d)Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)
e)Tính thể tích hình chóp S.ABCD
6
19.Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC.D là điểm đối xứng với A qua I.Dựng đoạn SD = a vuông góc
2
với mp (ABC).Chứng minh rằng
a) mp ( SAB) ⊥ ( SAC )
mp
b) mp ( SBC ) ⊥ ( SAD )
mp
c)Tính thể tích hình chóp S.ABC
20.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x+2y+z−m2 −3m=0 (m là tham số) và mặt cầu (S) :( x−1)2 +( y+1)2
+( z−1)2 =9. Tìm m để mặt phẳng (P) tiếpxúc với mặt cầu (S ) .Với m vừa tìm được hãy xác định tọa độ tiếp điểm của (Pvà(S ) .
GV:Phan Thanh Nhật

6. Vấn Đề 5 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
1.Trong không gian với hệ toạ độ cho mặt phẳng ,Oxyz cho mÆt ph¼ng (P) 2x-2y-z-4=0 và mặt cầu (S)
x2 +y 2 +z2 -2x-4y-6z-11=0 Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính
bán kính của đường tròn đó.
2.(Đề kt 45’ 2009-2010 Sở GD&ĐT Dak Lak)
Cho Mặt Cầu (S):x2 +y 2 +z2 +2x-6y-15=0 và mặt phẳng (P):x+2y+2z+4=0
a)Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
b) Chứng tỏ rằng mp(P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn và tính bán kính r của đường tròn đó
c) viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với trục Oy, Vuông góc với mặt phẳng(P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0),B(3;0;3),C(0;3;3),D(3;3;3).
a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
4.Trong kh«ng gian Oxyz cho c¸c ®iÓm A(2;0;0),M(0;− 3;6).
a) Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (P): x + 2y − 9 = 0 tiÕp xóc víi mÆt cÇu t©m M b¸n kÝnh MO. T×m to¹ ®é tiÕp
®iÓm?
c) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) chøa A, M vµ c¾t c¸c trôc Oy, Oz t¹i c¸c ®iÓm t¬ng øng B, C sao cho V OABC
=3
5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z-2x+4y+2z−3=0 và
mặt phẳng (P):2x-y+2z−14=0.
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính
bằng 3.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất.
GV:Phan Thanh Nhật

7. Vấn đề 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1.Viết phương trình tham số của đường thẳng
r
a)Đi qua A(1;2;-1) và có vectơ chỉ phương là a =(1; −2;1)
b) đi qua hai điểm I(-1;2;1), J(1;-4;3).
x −1 y − 2 z +1
c)Đi qua A và song song với đường thẳng = =
2 −1 3
d)Đi qua M(1;2;4) và vuông góc với mặt phẳng 3x- y + z -1= 0
2.Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng
 x = 1 − 2t

a)Qua A(3;-1;2) và song song với đường thẳng  y = 3+ t
 z = −t

b)Qua A và song song với hai mặt phẳng x+2 z -4= 0 ; x+ y - z + 3= 0
 x = 1 − 2t
 x −1 y − 2 z +1
c)Qua M(1;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng (d1):  y = 3 + t và (d2): = =
2 −1 3
 z = −t

3.Cho tứ diện ABCD ,biết rằng A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1)
a)Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD).
b)Viết phương trình đường thẳng qua I(1;5;-2) và vuông góc với cả hai đường thẳng AB,CD.
x −1 y − 2 z +1
4.Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d): = = lên các mặt phẳng tọa độ
2 −1 3
 x = 1 − 2t

5.Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng (d)  y = 3 + t lên mặt phẳng (P):x+ y - z + 3= 0
 z = −t

6.Viết phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng
7.Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz cho hai ®ưêng th¼ng:
Δ và Δ’ .có phương trình
 x = 2t x = 1 + t '
 
 y = −2 + 3t ;  y = 2 + t '
 z = 4t  z = 1 + 2t '
 
a) ViÕt phư¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa ®êng th¼ng Δ vµ song song víi ®êng th¼ng . Δ’
b) Cho ®iÓm M(2;1;4) . T×m to¹ ®é ®iÓm H thuéc ®êng th¼ng Δ’ sao cho ®o¹n th¼ng MHcã ®é dµi nhá nhÊt.
8.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
 x = a − at x = 6 − 3t '
 
d ,  y = 1 + t ; d '  y = 1 − 2a + at '
z = t z = t '
 
a) Tìm a để hai đường thẳng 1 d và 2 d chéo nhau.
b) Với a = 2 , viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d’ và song song với d Tính khoảng c¸ch giữa d và d’ khi a = 2.
uuur
AC
9.Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz cho hai ®iÓm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) vµ (0;6;0) . I lµ
trung ®iªmt BC TÝnh kho¶ng c¸ch tõ I tíi OA
Bai5/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
x = t x = t '
 
d ,  y = −1 + 2t ; d '  y = 1 + 2t '
z = t  z = 1 + 3t '
 
a) Chứng minh rằng chéo nhau và vuông góc với nhau.d vµ d’
GV:Phan Thanh Nhật

8. b) Viết phương trình tổng qu¸t của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng và song songvới đường thẳng
x − 4 y − 2 z −3
= =
1 4 2
10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;1;1),B(0; −1;3) và đường thẳng
 x = 9 − 2t

d ,  y = 8 − 3t
z = t

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn AB và vuông góc với AB
. Gọi K là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) . Chứng minh rằng d vu«ng goc víi IK
b) Viết phương trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt
phẳng có phương trình x+y−z+1=0.
11. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ®iÓm A (−4; −2; 4) vµ ®êng th¼ng d:
 x = − 3 + 2t

d,  y = 1− t
 z = − 1 + 4t

ViÕt phơng tr×nh ®êng th¼ng d’®i qua ®iÓm A, c¾t vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng d.
x − 3 y − 6 z −1
12.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(4; 2; 2),B(0;0;7) và đường thẳng = =
−2 2 1
Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB thuộc cùng một mặt phẳng. Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho tam
giác ABC cân tại đỉnh A .
x −1 y + 3 z − 3
13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : = =
−1 2 1
và mặt phẳng (P) : 2x + y − 2z +9 = 0.
a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ nằm trong mặt
phẳng (P) biết Δ đi qua A và vuông góc với d
14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
 x = − 1 − 2t
x y z 
d: = = vµ d’ : , y = t (t là tham số).
1 1 2
 z = 1+ t

a) Xét vị trí tương đối của và d vµ d’
b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d và N thuộc d’ sao cho đường thẳng MN song song với mặt (P) : x − y + z = 0 và độ
dài đoạn MN bằng 2 .
15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) và hai đường thẳng:
 x = 1+ t
x y −1 z +1 
d:
2
=
1
=
−1
vµ d’ :  y = − 1 − 2t (t là tham số).
z = 2+ t

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d và d’.
2. Tìm tọa độ các điểm M thuộc d, N thuộc d’ sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng
16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2;3) và hai đường thẳng:
x − 2 y + 2 z −3 x −1 y −1 z +1
d: = = d’ = =
2 −1 1 −1 2 1
1. Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d.
2. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, vuông góc với d và cắt d’.
17.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
GV:Phan Thanh Nhật

9.  x = 1+ t
 x − 3 y −1 z
. d:  y = −1− t d’:
−1
=
2
=
1
z = 2

1. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’.
2. Xác định điểm A trên d và điểm B trên d sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
18.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x−3y+11z−26=0
x y − 3 z +1 x − 4 y z −1
và hai đường thẳng d: = = d’ = =
−1 2 3 1 1 2
1. Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trên (P), đồng thời Δ cắt cả d và d’
GV:Phan Thanh Nhật

10. Vấn đề 7: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG
-GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
1.Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
x −1 y − 7 z − 3 x − 6 y +1 z + 2
a) (d) = = và (d’) = =
2 1 4 3 −2 1
x −1 y − 2 z x y +8 z − 4
b) (d) = = và (d’) = =
2 −2 1 −2 3 1
x −2 y z +1 x −7 y −2 z
c) (d) = = và (d’) = =
4 −6 −8 6 9 12
 x = 1 − 2t

d) (d)  y = 3 + t và (d’) là giao tuyến của hai mặt phẳng (α : 2 x − y − z − =0, ( β) : x − y +z + =0
) 3 3 9 2 3
 z = −t

2.Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.Tìm tọa độ giao điểm của chúng nếu có.
x −12 y − 9 z −1
a)(d) = = và ( α) : 3x +5 y −z −2 =0
4 3 1
x +1 y − 3 z
b)(d) = = và ( α) : 3 x −3 y +2 z −5 =0
2 4 3
x − 9 y −1 z − 3
c)(d) = = và ( α) : x +2 y −4 z + =0
1
8 2 3
3.Tính góc giữa các cặp đường thẳng ở bài 7.
4.Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng ở bài 7(nếu chúng chéo nhau hoặt song song nhau)
5.Tính góc giữa cặp đường thẳng và mặt phẳng ở bài 8.
6.Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;3) đến các đường thẳng
 x = 1 − 2t
x −12 y − 9 z −1 
a)(d1): = = b) (d2):  y = 3 + t
4 3 1
 z = −t

c)(d3) là giao tuyến của hai mặt phẳng (α : 2 x − y − z − =0, ( β) : x − y +z + =
) 3 3 9 2 3 0
x −1 y −1 z − 3
7.Cho đường thẳng (d) = = và ( α) : x +2 y −4 z + =0
1 .
1 2 1
a)Tìm giao điểm giữa (d) và (α )
b)Viết phương trình mp chứa (d) và hợp với (α ) một góc có số đo lớn nhất
c)Viết phương trình mp chứa (d) và hợp với (α ) một góc có số đo nhỏ nhất
8.Trong không gian cho bốn đường thẳng
x −1 y − 2 z x −2 y −2 z
(d1): = = , (d2): = =
1 2 −2 2 4 −4
x y z −1 x − 2 y z −1
(d3): = = , (d4) : = =
2 1 1 2 2 −1
a)Chứng tỏ rằng (d1) và (d2) cùng nằm trên một mặt phẳng.Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đó
b)Chứng tỏ rằng tồn tại một đường thẳng (d) cắt cả bốn đường thẳng đã cho.
c)Tính côsin góc giữa (d1) và (d3)
9.Cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0) C(2;-3;2) và mp ( α) : x +y +z −2 =0
a)Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và BC
b)Tìm trên mp (α ) điểm cách đều 3 điểm A,B,C
c)Tìm phương trình hình chiếu của đường thẳng AB lên mp (α )
10.Cho tứ diện ABCD.Biết rằng A(1;1;2), B(1;2;1), C(2;1;1), D(1;1;-1)
a)Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD
GV:Phan Thanh Nhật

11. b)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
c)Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên mp (BDC)
d) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng DB
e)Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp (BCD)
11.Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M(2;-1;1) qua mp ( α) : x +y +z −2 =0
x −1 y − 2 z − 3
12.Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A(2;-1;5) quađường thẳng = =
1 2 3
13.Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5) và mp ( α) : x +y +z −2 =0 Tìm điểm M trên mp (α ) sao cho MA+MB nhỏ nhất
14.Cho A(2;1;1) , B(1;2;-1) và mp ( α) : 2 x +y +z +4 =0 .Tìm điểm M trên mp (α ) sao cho MA − MB lớn nhất
uuur uuur
15.Cho A(2;1;1) , B(1;2;-1) và mp ( α) : 2 x +y +z +4 =0 .Tìm điểm M trên mp (α ) sao cho MA + MB nhỏ nhất .
16.Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5) và mp ( α) : x +y +z −2 =0 Tìm điểm M trên mp (α ) sao cho MA2+MB2 nhỏ nhất
17.Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5),C(-1;-2;-3) và mp ( α) : x +y +z −2 =0 Tìm điểm M trên mp (α ) sao cho MA2+MB2 +MC2
nhỏ nhất
18.Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5),C(-1;-2;-3), D(1;5;1) và mp ( α) : x +y +z + =0
1 Tìm điểm M trên mp (α ) sao cho MA2+MB2
+MC2 +MD2 nhỏ nhất
 x = 3t
x −1 y + 2 z − 2 
19.Cho ba đường thẳng (d1): = = ,(d2):  y = 1 − t
1 4 3
 z = 5+ t

Và (d3) là giao tuyến của hai mặt phẳng (α : 2 x −y + z − =0, ( β) : 2 x −y −z + =
) 4 3 1 0
Viết phương trình song song với (d1) cắt cả hai đường thẳng (d2) và (d3)
 x = 1 + 2t

20.Cho hai đường thẳng (d1): y = t
z = 3− t

Và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng (α : 2 x +y +z − =0, ( β : x + z − =0
) 1 ) 2 3
Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;-1;1) cắt cả hai đường thẳng (d1) và (d2)
21.Viết phương trình của đường thẳng nằm trong mp :y+2z = 0 và cắt cả hai đường thẳng.
 x = 1− t x = 2− t
 
(d1): y= t (d2):  y = 4 + 2t
 z = 4t z = 1
 
x +1 y −1 z − 2 x −2 y +2 z
22.Cho hai đường thẳng (d): = = và (d’): = = .
2 3 1 1 5 −2
a)Chứng tỏ rằng (d) và (d’ ) chéo nhau.Tính khoảng cách giữa chúng
b)Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng
c)Tính góc giữa (d1) và (d2)
x = 2− t
x −1 y − 2 z − 3 
23.Cho hai đường thẳng (d): = = và (d’):  y = − 1 + t .
1 2 3
z = t

a)Chứng tỏ rằng (d) và (d’ ) chéo nhau.Tính khoảng cách giữa chúng
b)Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng
c)Tính góc giữa (d1) và (d2)
 x = 1 + 3t

24.Cho hai đường thẳng (d1):  y = −2 + t
z = t

GV:Phan Thanh Nhật

12. Và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng (α : x +y −z +2 =0, ( β) : x + =0
) 1
Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0;1;1) vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt (d2)
25.Cho đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (α : x +4 y − =0, ( β) : x +z
) 1 =0 .Viết phương trình đường
thẳng đi qua điểm M(0;1;-1) vuông góc và cắt đường thẳng (d)
26.Cho hai điểm A(1;1;-5), B(0;1;-7) và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (α : y
) = ( β) : x +z =−
1, 1 Tìm
điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho chu vi tam giác AMB nhỏ nhất.
GV:Phan Thanh Nhật

13. Vấn đề 8: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Giải các bài toán sau bằng phương pháp tọa độ1
1..Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng với gốc của hệ toạ độ, B(a; 0;
0), D(0; a; 0), A'(0; 0; b)
(a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC'.
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA'M theo a và b.
a
b) Xác định tỷ số để hai mặt phẳng (A'BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
b
2. Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi , AC cắt BD tại gốc toạ độ
O.Biết A(2; 0; 0) B(0; 1; 0) S(0; 0; 2 2 ). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN.
3.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a.
a)Chứng minh rằng A ' C ⊥ AB ' D ')
(
b)Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A’C và mp (AB’D’) đi qua trọng tâm của tam giác AB’D’
c)Tính khoảng cách giữa hai mp(AB’D’) và(C’BD)
d)Tính góc tạo bởi hai mp(DA’C) và (ABB’A’)
e)Tính thể tích của khối đa diện ABCA’B’
4.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a.Các điểm M thuộc AD’ và N thuộc BD sao cho AM=DN=k ,( 0 <k <a 2
)
a) Xác định k để đoạn MN ngắn nhất
b)Chứng minh rằng MN luôn song song với mp (A’D’BC) khi k biến thiên.
c)Khi đoạn MN ngắn nhất chứng minh MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD và lúc đó MN song song với AC.
·
5.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc BAD =60 và đường cao SA = a.
0
a) Tính khoảng cách từ O đến mp (SBC)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
c)Góc giữa đường thẳng SA và mp (SCD)
VS .MNAB
e)Gọi M, N lần lược là trung điểm của SA,SB.TÍnh tỉ số VS . ABCD
6.Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.Gọi I là trung điểm của
AB.
a)Chứng minh rằng CI SB ⊥
b)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
c)Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SA và BD
VI .SAB
d)Tính tỉ số VS . ABCD
6 (α )
7.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; các cạnh bên đều bằng a .Gọi là mp song song với BC và
2
vuông góc với mp(SBC), gọi I là trung điểm của BC.
a)Tính khoảng cách từ I đến mp (α )
b)Tính góc giữa AB và (α )
8.Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc = 600 . gọi M là trung điểm cạnh
AA' và N là trung điểm cạnh CC'. Chứng minh rằng bốn điểm B', M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA'
theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông.
9. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆. Trên ∆ lấy hai điểm A, B với AB = a.
Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và AC = BD = AB.
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.
10. Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,
AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2; 0; 0) B(0; 1; 0) S(0; 0; 2 2 ). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
GV:Phan Thanh Nhật

14. b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN.
12. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi,AC c¾t BD t¹i gèc täa
®é O. BiÕt A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ). Gäi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh SC.
a) TÝnh gãc vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng th¼ng SA, BM.
b) Gi¶ sö mÆt ph¼ng (ABM) c¾t ®êng th¼ng SD t¹i ®iÓm N. TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABMN.
13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình chữ nhật, AC cắt BD tại gốc
tọa độ O . Biết A(− 2;−1;0),B( 2;−1;0), S(0;0;3)
a) Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh AB , song song với hai đường thẳng, AD, SC.
b) Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm B và vuông góc với SC . Tính diện tích thiết diện của hình chóp với mặt phẳng S.ABCD
vµ (P) .
*Một số đề thi đại học trong thời gian gần đây
1) (Đề dự bị 1 khối B năm 2007)Trong không gian Oxyz cho các điểm A(–3,5,–5); B(5,–3,7); và mặt phẳng (P): x + y + z = 0
1. Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
2. Tìm điểm M ∈ (P) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.
2) (Đề dự bị 1 khối B năm 2007). Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với hình chóp.
Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh SC ⊥ (AHK) và tính thể tích hình
chóp OAHK.
3) (Đề dự bị 2 khối A năm 2007)Trong không gian Oxyz cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường thẳng (d) là giao
tuyến của hai mặt phẳng (α: 6x − + = β: 6x + + − =
) 3y 2z 0,( ) 3y 2z 24 0
1. Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng ∆ // (d) và cắt các đường AB, OC.
∧
4) (Đề dự bị 2 khối A năm 2007) Cho hình chóp SABC có góc (SBC, ABC ) = o
60 , ABC và SBC là các tam giác đều cạnh
a. Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC).
5)(Đề dự bị 1 khối A năm 2007)Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1
=0
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P).
2. Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
∧
6)(Đề dự bị 1 khối A năm 2007). Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và BAC =120o . Gọi
M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB⊥MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).
7) (Đề dự bị 2 khối B năm 2007). Trong không gian Oxyz cho các điểm A(2,0,0); M(0,–3,6)
1. Chứng minh rằng mặt phẳng (P): x + 2y – 9 = 0 tiếp xúc với mặt cầu tâm M, bán kính MO. Tìm tọa độ tiếp điểm.
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz tại các điểm tương ứng B, C sao cho VOABC = 3.
8) (Đề dự bị 1 khối B năm 2007). . Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường
∧
tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho (SAB, SBC) = o
60 . Gọi H, K lần lượt
là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh ∆AHK vuông và tính VSABC?
x −3 y +2 z +1
9)(Đề dự bị 1 khối D năm 2007)Cho đường thẳng d: = = và mặt phẳng
2 1 −1
(P): x ++
y z +=
2 0
1. Tìm giao điểm M của d và (P).
2. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) sao cho ∆ ⊥ d và khoảng cách từ M đến ∆ bằng 42 .
10)(Đề dự bị 1 khối D năm 2007). Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông AB =
, AA1 = a
AC =a
2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng
AA1 và BC1. Tính VMA 1BC1 .
GV:Phan Thanh Nhật

15. x −1 y −3 z
11)(Đề dự bị 2 khối D năm 2007).Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và các đường thẳng d1 : = = và
2 −3 2
x −5 y z +5
d2 : = =
6 4 −5
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 và (Q) ⊥ (P).
2. Tìm các điểm M ∈ d1, N ∈ d2 sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.
12(Đề dự bị 2 khối D năm 2007). Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1.
Chứng minh BM ⊥ B1C và tính d(BM, B1C).
13. (Đề dự bị 1 khối A năm 2006).
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a và góc BAD = 600. Gọi M,N là trung điểm các cạnh A’D’ và
A’B’.Chứng minh rằng A’C’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích của khối chóp A.BDMN
14.(Đề chính thức khối D năm 2007).
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với
đáy và SA = a 2 .H là hình chiếu của A lên SB .Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách
từ H đến mặt phẳng (SCD)
15. (Đề chính thức khối B năm 2007).
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của
SA,M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC.Chứng minh rằng MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng
cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
(Đề chính thức khối A năm 2007).
16.Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với đáy .Gọi M,N,P lần lược là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích
khối tứ diện CMNP
GV:Phan Thanh Nhật

16. ĐỀ THAM KHẢO sè 1
MÔN: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
*********
I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = - x 3 + (m - 1)x 2 + (m + 3)x - 4.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số v ới m = 0
2. Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng (0; 3)
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: s inx ( 1+ tanx 2 x ) + tan 2 x=1
2. Giải bất phương trình: 3x +4 − 2 x + ≤ x +
1 3
x x+1
log 2(4 + 4) = x − log 1 (2 − 3)
3. Giải phương trình :
2
1
 x3 2x 
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I = ∫  x 2 +1 − 2 x +1 ÷
0 
dx
Câu IV (1,0 điểm) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a. SA vu«ng gãc víi mp(ABCD) vµ SA
= a. Gäi E lµ trung ®iÓm cña c¹nh CD. TÝnh SH theo a víi H lµ h×nh chiÕu cña S lªn ®êng th¼ng BE.TÝnh thÓ
tÝch cña khèi nãn trßn xoay khi quay quanh SH. ∆ HE
S
Câu V (1 điểm) Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: abc = 1.
ab bc ac 3
Chứng minh rằng: 2 2 2 2
+ 2 2 2 2+ 2 2 2 2 ≥
c a +c b a b +a c b a +b c 2
II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) . Thí sinh chỉ đựoc làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ trôc to¹ ®é Oxy, cho A(2; 2) vµ hai ®êng th¼ng (d) : x+y-2=0 vµ (d’) : x + y -8 =0
T×m to¹ ®é cña B (d) vµ C ∈
(d’)sao cho ∆ABC vu«ng c©n t¹i A
∈
 2x + y − 2 = 0  x − y + 4z + 10 = 0
2. Trong kh«ng gian cho hai ®êng th¼nhg ( d1 ) :  , ( d2 ) :  vµ ®iÓmA(1, 2, 3)
 2x + z − 3 = 0  2x − 4 y − z + 6 = 0
a. LËp ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A vu«ng gãc víi ( d1 ) vµ c¾t ®êng th¼ng ( d2 ) .
b. LËp ph¬ng tr×nh mÆt cÇu t©m A c¾t ( d1 ) t¹i A, B ph©n biÖt sao cho AB = 3
*
Câu VII.a (1,0 điểm) Cho n ∈
N tho¶ m·n :
2n+
C 1
2n+1 −2.2C 2
2n+1 + 2
3.2 .C 3
2 n+1 −4.23 C 2 n + + + n +
4
1 ... (2 1).2 2 n C 2 n + =
1
1
25
T×m sè h¹ng kh«ng chøa x trong khai triÓn Niut¬n cña (x + 1/x)12
B. Theo chương trrình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
z2
1. Gi¶i ph¬ng tr×nh z4 − z3 + + z +1 = 0 Ví i z ∈C
2
2. Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
 x + 2y − z = 0
( d1 ) : x −1 = y −2 = z −3 ; ( d2 ) : 
 2 x − y + 3z − 5 = 0
1 2 3
GV:Phan Thanh Nhật

17. a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1), (d2) chÐo nhau. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a chóng. LËp ph¬ng tr×nh ®êng
th¼ng qua gèc to¹ ®é vu«ng gãc vµ c¾t ( d1 )
b) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng(P) song song, c¸ch ®Òu (d1), (d2)
Câu VII.b (1 điểm)
x 2 + mx − 1
Cho haøm soá y= (1) Ñònh m ñeå ñöôøng thaúng y=m caét ñoà thò haøm soá (1) taïi hai
x −1
ñieåm phaân bieät A, B sao cho O A⊥ B
O
.
GV:Phan Thanh Nhật