1. Trường THPT Tân Quới www.VNMATH.com
Chuyên đề
SỐ PHỨC−ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I. SỐ PHỨC
A. LÝ THUYẾT
I. Dạng đại số (vẫn còn nhớ)
II. Dạng lượng giác của số phức
z =r ( cos ϕ+i sin ϕ) (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b ∈ R, z ≠ 0)
* r = a 2 +b 2 là môđun của z.
 a
 cos ϕ = r

* ϕ là một acgumen của z thỏa 
 sin ϕ = b

 r
1. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu z =r ( cos ϕ+i sin ϕ) , z ' =r ' ( cos ϕ'+i sin ϕ )
' thì:
z r
* z.z ' =r.r ' cos ( ϕ+ ' ) +i sin ( ϕ+ ' ) 
ϕ ϕ  * = cos ( ϕ −ϕ ') + i sin ( ϕ −ϕ ' ) 
r' 

z'
n
2. Công thức Moivre: n∈ *
N
thì r ( cos ϕ +i sin ϕ)  = r n ( cos nϕ +i sin nϕ)
 
3. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
 ϕ ϕ  ϕ ϕ
Căn bậc hai của số phức z =r ( cos ϕ+i sin ϕ) (r > 0) là r  cos + i sin ÷ và − r  cos + i sin ÷
 2 2  2 2
B. BÀI TẬP
1. (ĐH_Khối A 2009)
Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2+2z+10=0. Tính giá trị biểu thức A =z1
2
+z 2
2
.
ĐS: A=20
2. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2z 2
−4 z +11 =0 . Tính giá trị của biểu thức
2 2
z1 + z2
A= .
( z1 + z2 )
2
ĐS: A=11/4
3. (CĐ_Khối A 2009)
a. Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2−i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z.
4 z −3 −7i
b. Giải phương trình sau trên tập số phức: z −i
= z − 2i .
ĐS: a. a=2, b=−3
b. z=1+2i, z=3+i
4. Tìm số phức z thoả mãn: z − 2 +i = 2 . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
ĐS: ( )
z =2 − 2 − 1 + 2 i , z = 2 + 2 − 1 − 2 i ( ) .
5. (ĐH_Khối B 2009)
Tìm số phức z thỏa mãn ( i)
z − + =
2 10
và z. z =25
.
ĐS: z=3+4i hoặc z=5
 z −1
 =1 ( 1)
 z−i
6. Tìm số phức z thỏa mãn:  .
 z − 3i

=1 ( 2)
 z+i
HD: Gọi z=x+yi; (1)⇒x=y, (2)⇒y=1.
ĐS: z=1+i.
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 1

2. Trường THPT Tân Quới www.VNMATH.com
4
 z+i
7. Giải phương trình:  ÷ =1 .
 z−i
ĐS: z∈{0;1;−1}
8. Giải phương trình: z2 + z = 0 .
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z.
ĐS: z∈{0;i;−i}
9. Giải phương trình: z + z = 0 . 2
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z.
1 3
ĐS: z=0, z=−1, z= ± i
2 2
z2
10. Giải phương trình: z 4 − z3 + + z + 1 = 0 .
2
HD: Chia hai vế phương trình cho z2.
1 1
ĐS: z=1±i, z=− ± i
2 2
.
11. Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0.
HD: Đặt thừa số chung
1 3 1 3
ĐS: z = −1, z = ± i, z = − ± i .
2 2 2 2
12. Cho phương trình: (z + i)(z2−2mz+m2−2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương
trình:
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức.
13. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận α làm nghiệm biết:
a. α = 2−5i b. α = −2−i 3 c. α = 3 - i 2
14. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a. z3−iz2−2iz−2 = 0. b. z3+(i−3)z2+(4−4i)z−7+4i = 0.
15. (ĐH_Khối D 2009)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện . z − −)=
(3 4i 2
2 2
ĐS: (x−3) +(y+4) =4
16. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 z −i = z − z + 2i .
x2
ĐS: y= .
4
3
17. Trong các số phức thỏa mãn z − 2 + 3i =
2
. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
3 2 2 9
HD: *Gọi z=x+yi. z − 2 + 3i =
2
⇒ … ⇒ ( x − 2 ) + ( y + 3) =
4
.
* Vẽ hình ⇒|z|min ⇒z.
26 − 3 13 78 − 9 13
ĐS: z= + i .
13 26
18. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
(1 + i)10 π π 5

( )
7
a. . b.  cos − i sin ÷i 1 + i 3 .
( )
9
3+i  3 3
HD: Sử dụng công thức Moivre.
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 2

3. Trường THPT Tân Quới www.VNMATH.com
1
ĐS: a. Phần thực −
16
, phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128.
19. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20.
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN.
ĐS: phần thực −210, phần ảo: 210+1.
II. ĐẠI SỐ TỔ HỢP
A. LÝ THUYẾT
1. Giai thừa: n!= n.(n−1)!=n.(n−1).(n−2). … .3.2.1, n≥0.
n!
2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: An =
( n − k )! , n≥k>0.
k
n!
3. Số tổ hợp chập k của n phần tử: Cn = , n≥k≥0.
k
k!( n −k )!
4. Quy ước n!=0!=1.
5. Nhị thức Newton (a + ) b
n
= n a n + n a n −b + n a n − b 2 + + n − a 2 b n − + n −ab n − + n b n
C0 C1 1
C2 2
 Cn 2 2
Cn 1 1
Cn .
Công thức số hạng tổng quát: Tk + =
1 C k
n a n−k
b k
, 0≤k≤n.
B. BÀI TẬP
1. (CĐ_Khối D 2008)
18
 1 
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 
2x + 5  , (x>0).
 x
ĐS: 6528
2. (ĐH_Khối D 2004)
7
3 1 
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của  x+4 
  với x>0.
 x
ĐS: 35
3. (ĐH_Khối A 2003)
n
 1 5 
Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của  3 + x  , biết rằng C n + − n + = (n + )
n+ 1
4 Cn 3 7 3 ,
x 
(n nguyên dương, x>0, ( Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 495
4. (ĐH_Khối D 2005)
An +1 + 3 An
4 3
Tính giá trị biểu thức M =
( n +1)! , biết rằng C n+ + C n+ + C n+ + n+ =
2
1 2 2
2 2 2
3 C2 4 149 (n là số nguyên
dương, Ank là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử)
3
ĐS: M =
4
5. (ĐH_Khối A 2006)
n
 1 7
Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của  4 +x  , biết rằng
x 
C 2 n + + 2 n + + + 2 n + = 20 −
1
1 C2 1  Cn 1 2 1 , (n nguyên dương và Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 210
6. (ĐH_Khối D 2008)
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C 2n + 2n + + 2n − =
1
C3  C 2n 1 2048 .( C nk là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
ĐS: n=6
7. (ĐH_Khối D 2007)
Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1−2x)5+x2(1+3x)10.
ĐS: 3320
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 3

4. Trường THPT Tân Quới www.VNMATH.com
8. (ĐH_Khối D 2003)
Với n là số nguyên dương, gọi a3n−3 là hệ số của x3n−3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n.
Tìm n để a3n−3=26n.
ĐS: n=5
9. (ĐH_Khối D 2002)
Tìm số nguyên dương n sao cho Cn +2C1 +4Cn + +2n Cn =243 .
0
n
2 n
ĐS: n=5
10. (ĐH_Khối B 2008)
n +1  1 1  1
Chứng minh rằng  k + k +1 = k (n, k là các số nguyên dương, k≤n, C nk là số tổ hợp chập k
n + 2  C n +1 C n +1

 C
 n
của n phần tử).
11. (ĐH_Khối B 2007)
Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết:
3nCn0−3n−1Cn1+3n−2Cn2−3n−3Cn3+ … +(−1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, C là số tổ hợp chập k của n
k
n
phần tử).
ĐS: 22
12. (ĐH_Khối B 2006)
Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2
phần tử của A. Tìm k∈{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất.
ĐS: k=9
13. (ĐH_Khối B 2003)
22 −1 1 23 −1 2 2 n+ −
1
1 n
Cho n là số nguyên dương. Tính tổng Cn +
0
2
Cn +
3
C n + +
n +1
Cn ,( Cnk là số tổ hợp
chập k của n phần tử).
3 n +1 −2 n +1
ĐS: n +1
14. (ĐH_Khối B 2002)
Cho đa giác đều A1A2…An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh
là 3 trong 2n điểm A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1A2…An,
tìm n.
ĐS: n=8
15. (ĐH_Khối A 2008)
Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đó n∈N* và các hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức
a1 a
a0 + +  + n = 4096 . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,…an.
2 2n
ĐS: a8=126720
16. (ĐH_Khối A 2007)
1 1 1 3 1 5 1 2 2 n −1
Chứng minh rằng C2 n + C2 n + C2 n + + C2 n −1 =
2n
,( C nk là số tổ hợp chập k của n phần
2 4 6 2n 2 n +1
tử).
17. (ĐH_Khối A 2005)
Tìm số nguyên dương n sao cho
C 2 n + − .2C 2 n + + .2 2 C 2 n + − .2 3 C 2 n + + + n +) 2 2 n C 2 n + =
1
1 2 2
1 3 3
1 4 4
1  (2 1. 2n+
1
1
2005 ,( C nk là số tổ hợp chập k của
n phần tử).
ĐS: n=1002
18. (ĐH_Khối A 2004)
Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1−x)]8.
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 4

5. Trường THPT Tân Quới www.VNMATH.com
ĐS: 238
19. (ĐH_Khối A 2002)
Cho khai triển nhị thức
n n n−
1 n−
1 n
 x2 1
− −x
  x−1
  x−
1
  −x
  x−
1
 −
 x   −x

2 + 3
2  = n  2
C0 2  + n 2
C1 2   3
2   + n − 2
+ C n 12 
2 3  + n  3
Cn 2 
        
            
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó C n =5C n
3 1
và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.
ĐS: n=7, x=4
20. Cho số phức z=1+i.
a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)n.
b. Tính các tổng S1=1−Cn2+Cn4−Cn6+… S2=Cn1−Cn3+Cn5−…
21. Chứng minh rằng C1000–C1002+C1004–C1006+ … –C10098+C100100=–250.
−o0o−
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 5