1. www.VNMATH.com
S GD& T THANH HOÁ THI TH I H C L N I NĂM H C 2011-2012
TRƯ NG THPT MAI ANH TU N Môn thi: TOÁN, kh i D
Th i gian làm bài : 180 phút, không k th i gian phát
I.PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 i m)
1
Câu I (2,0 i m) Cho hàm s y = x 3 − x 2
3
1. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s .
2. L p phương trình ti p tuy n c a th hàm s bi t ti p tuy n có h s góc âm và t o v i tr c
0
hoành m t góc 45 .
Câu II (2,0 i m)
1. Gi i phương trình: 2sin x(cos 2 x − sin 2 x) = sin x + 3 cos 3 x
x2 − y 2 − 6 = 0

2. Gi i h phương trình  ( x, y ∈ R )
(x + y − 1) − (x − y )2 − 3 = 0
2 4

∫
(1 + sin 2 x) cos 2 x
Câu III (1,0 i m) Tìm dx
π
sin( x + )
4
Câu IV (1,0 i m) Cho hình lăng tr ng ABC. A' B ' C ' có AC = a, BC = 2a, ∠ACB = 120 0 , AC ' t o
v i m t ph ng ( ABC ) m t góc 60 0 , G là tr ng tâm tam giác AB' C ' . Tính th tích kh i t di n GABC .
Câu V (1,0 i m) Tìm giá tr l n nh t c a hàm s : y = x − 2 x 2 + 1
II.PH N RIÊNG (3,0 i m)
Thí sinh ch ư c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B)
A. Theo chương trình chu n
Câu VI.a (2,0 i m)
1. Trong h to Oxy , l p phương trình các ư ng th ng i qua M (1;3) và cách i m I (3;−1) m t
kho ng b ng 2.
2. Trong h to Oxy , l p phương trình ư ng tròn i qua A(− 2;1) và ti p xúc v i các tr c to .
Câu VII.a (1,0 i m) Gi i phương trình: 2 log 5 (3 x + 2) + 1 = log 5 (2 x + 3) 3
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 i m)
1. Trong h to Oxy cho ư ng tròn (C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 6 = 0 . L p phương trình các ti p
tuy n c a (C ) i qua i m M (1;3) .
2. Trong h to Oxy , l p phương trình chính t c c a elip i qua i m M (2;3) và có phương trình
m t ư ng chu n là x + 8 = 0 .
4 x 2 − 9 y 2 − 125 = 0
Câu VII.b (1,0 i m) Gi i h phương trình: 
log 5 (2 x + 3 y ) − log 5 (2 x − 3 y ) = 1
----------H t ----------
Thí sinh không s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm.
H và tên thí sinh……………………….; S báo danh……………………

2. www.VNMATH.com
S GD& T THANH HOÁ ÁP ÁN - THANG I M
TRƯ NG THPT MAI ANH TU N THI TH I H C L N 1 NĂM 2011
Môn thi: TOÁN, kh i D
( áp án - thang i m g m 04 trang)
ÁP ÁN – THANG I M
Câu áp án i m
I 1.(1.0 i m)
(2.0 • T p xác nh: D = R
i m) • S bi n thiên:
0.25
- Chi u bi n thiên: y ' = x 2 − 2 x
y ' = 0 ⇔ x = 0; x = 2
Hàm s ng bi n trên m i kho ng (−∞;0) ; (2;+∞) ngh ch bi n trên kho ng (0;2)
-C c tr :Hàm s tc c i t i x=0; yc =0; hàm s t c c ti u t i x = 2 ; yct = −
4
0.25
3
-Gi i h n và ti m c n: lim y = − ∞ , lim y = + ∞
x → -∞ x → +∞
- B ng bi n thiên:
x −∞ 0 2 +∞
y’ + 0 - 0 +
+∞
0 0.25
y
−∞ -4/3
• th :
y
2
-1
O 2 3 x
0.25
-4/3
-2
-4
2.(1.0 i m)
Vì ti p tuy n có h s góc âm và t o v i tr c hoành m t góc 45 0 nên ti p tuy n có h s góc k = −1 0.25
y ' = −1 ⇔ x 2 − 2 x = −1
0.25
⇔ x =1
2
v i x =1⇒ y = − 0.25
3
2 1
⇒ phương trình ti p tuy n là y = −( x − 1) − hay y = − x +
3 3 0.25
Trang 1/4

3. www.VNMATH.com
Câu áp án i m
II 1.(1.0 i m)
(2.0 phương trình ã cho tương ương v i
i m) 2 sin x. cos 2 x = sin x + 3 cos 3 x ⇔ sin 3 x − sin x = sin x + 3 cos 3 x 0.25
1 3 π
⇔ sin 3 x − cos 3 x = sin x ⇔ sin(3x − ) = sin x 0.25
2 2 3
 
3 x − 3 = x + k 2π  x = 6 + kπ
π π
⇔ (k ∈ Z ) ⇔  (k ∈ Z )
3 x − π = π − x + k 2π x = π + k π
0.25

 3 
 6 2
π π
⇔ x = +k (k ∈ Z ) .
6 2
0.25
π π
V y phương trình có nghi m x = + k (k ∈ Z )
6 2
2.(1.0 i m)
i u ki n : x − y ≠ 0
(x + y )( x − y ) = 6

ã cho tương ương v i: 
 ( x + y − 1) 2 − −3 = 0
H 4 0.25
 ( x − y )2
ab = 6

t a = x + y, b = x − y (b ≠ 0) ta có 
(a − 1) − b 2 − 3 = 0
4 0.25

2
 a = 3
1 a 
b = 6
 b = 2
⇔ ⇔ 
a − 2a + 1 − a = −
3 ( tho mãn) 0.25
−3=0 
a2


2

b = −8
4

9

 x = 2
5
 x + y = 3 

   y = 1
 x − y = 2 

⇔  3 ⇔
2
 x + y = −  x = − 35
0.25
 

  x − y = −8
4
 
8
 y = 29

 8
I =∫ = 2 ∫ (sin x + cos x) 2 (cos x − sin x)dx
III (1 + sin 2 x) cos 2 xdx
(1.0 π 0.25
i m) sin( x + )
4
t t = sin x + cos x → dt = (cos x − sin x )dx 0.25
I = 2 ∫ t 2 dt = 0.25
2 3 2
I= t +c= (sin x + cos x) 3 + C
3 3
0.25
2
V y I= (sin x + cos x) 3 + C
3
Trang 2/4

4. www.VNMATH.com
IV
(1.0 a2 3
Ta có S ∆ABC = . AC.BC. sin ∠ACB =
1
i m) 0.25
A’ B’ 2 2
C’ Vì CC ' ⊥ ( ABC ) nên
G ∠( AC ' , ( ABC )) = ∠C ' AC = 600 0.25
⇒ CC ' = AC. tan 60 = a 3
0
B 2 2a 0.25
A d (G , ( ABC )) = CC ' =
3 3
( ơn v th tích)
1 a3
C
VGABC = .d (G , ( ABC )).S ∆ABC =
3 3
0.25
( ơn v th tích)
a3
V y VGABC =
3
V T p xác nh D = R
(1.0 2x
i m) y = 1 −
' 0.25
2
x +1
1
y' = 0 ⇔ x= 0.25
3
Ta có b ng bi n thiên 1
x −∞ 3 +∞
y’ + 0 -
− 3
0.25
y
1
T b ng bi n thiên ta có max y = − 3 khi x = 0.25
3
VIa 1.(1.0 i m)
(1.0 Phương trình ư ng th ng qua M có d ng a ( x − 1) + b( y − 3) = 0 (∆ ) v i a 2 + b 2 ≠ 0
2a − 4b
i m)
d ( I , ∆) = 2 ⇔ =2
0.25
a +b2 2
b = 0
⇔
3b = 4a
0.25
v i b = 0 ch n a = 1 ta có x − 1 = 0 0.25
V i 3b = 4a ch n = 3 ; b = 4 ta có 3x + 4 y − 15 = 0
V y có hai ư ng th ng tho mãn bài là: x − 1 = 0 và 3x + 4 y − 15 = 0
0.25
2.(1.0 i m)
G i I (a; b) là tâm c a ư ng tròn và ư ng tròn i qua A và ti p xúc v i các tr c to nên
0.25
IA = d ( I , Ox) = d ( I , Oy)
⇔ (a + 2) 2 + (b − 1) 2 = b = a 0.25
 a = −1  a = −5
⇔ ho c 
b = 1 b = 5
0.25
Có hai ư ng tròn tho mãn là
( x + 1) 2 + ( y − 1) 2 = 1 Và ( x + 5) 2 + ( y − 5) 2 = 25 0.25
Trang 3/4

5. www.VNMATH.com
VIIa 2
(1.0 i u ki n x > − . (*)
3 0.25
phương trình ã cho ⇔ log 5 5(3x + 2) 2 = log 5 (2 x + 3) 3
i m)
⇔ 5(3 x + 2) 2 = (2 x + 3) 3 0.25
x = 1
8x 3 − 9 x 2 − 6 x + 7 = 0 ⇔ 
x = − 7
0.25
 8
i chi u v i i u ki n ta ư c x = 1
0.25
V y phương trình có nghi m x = 1 .
VIb 1.(1.0 i m)
(1.0 ư ng tròn có tâm I (3;−1) bán kính R = 2
Phương trình ti p tuy n qua A(1;3) có d ng a ( x − 1) + b( y − 3) = 0 (∆ ) v i a 2 + b 2 ≠ 0
i m) 0.25
2a − 4b b = 0
d ( I , ∆) = 2 ⇔ =2⇔
3b = 4a
0.25
a2 + b2
v i b = 0 ch n a = 1 ta có x − 1 = 0 0.25
V i 3b = 4a ch n = 3 ; b = 4 ta có 3x + 4 y − 15 = 0
0.25
V y có hai ti p tuy n là: x − 1 = 0 và 3x + 4 y − 15 = 0
2.(1.0 i m)
4
a2 + b2 =1
9

(1)
G i phương trình ( E ) : 2 + 2 = 1 (a > b > 0) . T gi thi t ta có  2
2 2
x y
a = 8
0.25
 c
a b

( 2)
Ta có (2) ⇔ a 2 = 8c ⇒ b 2 = a 2 − c 2 = 8c − c 2 = c(8 − c). Thay vào (1) ta ư c
4 9
+ =1. 0.25
8c c (8 − c )
c = 2
⇔ 2c − 17c + 26 = 0 ⇔  13
c =
2
0.25
 2
x2 y 2
* N u c = 2 thì a 2 = 16, b 2 = 12 ⇒ ( E ) : + = 1.
16 12
0.25
13 39 x2 y2
*N u c= thì a 2 = 52, b 2 = ⇒ (E) : + = 1.
2 4 52 39 / 4
2 x + 3 y > 0
i u ki n: 
VIIb
2 x − 3 y > 0
(1.0
log 5 (2 x + 3 y ) + log 5 (2 x − 3 y ) = 3
i m) 0.25
H phương trình ã cho tương ương v i 
log 5 (2 x + 3 y ) − log 5 (2 x − 3 y ) = 1
log 5 (2 x + 3 y ) = 2
⇔
log 5 (2 x − 3 y ) = 1
0.25
2 x + 3 y = 25
⇔
2 x − 3 y = 5
0.25
 15 
x = 2 x = 2
15
 
⇔ ( tho mãn i u ki n) V y h phương trình có nghi m ⇔ 
 y = 10  y = 10
0.25

 3 
 3
------H t------
Gv: Tr n Văn Hưng
Trang 4/4