Dokumen menjelaskan fungsi invers dan komposisi, termasuk sifat-sifat fungsi, operasi aljabar fungsi, cara menentukan rumus fungsi invers dan komposisi dua fungsi, serta contoh penyelesaian masalah yang melibatkan operasi tersebut.

1. MEDIA MENGAJAR
UNTUK SMA/MA KELAS XI
MATEMATIKA

2. FUNGSI INVERS DAN KOMPOSISI
BAB 1
Sumber gambar: Shutterstock.com

3. 1.1 Sifat-Sifat Fungsi
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi sedemikian sehingga
setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan B.
terdapat tiga sifat fungsi, yaitu:
1. Onto (surjektif)
2. Satu-satu (injektif)
3. Korespendensi satu-satu (bijektif)

4. f: A → B surjektif jika untuk setiap b 𝜖 B maka terdapat a 𝜖 A, sehingga f(a) = b.
Fungsi f: A → B disebut fungsi onto atau surjektif, apabila setiap anggota B
mempunyai pasangan di A.
Fungsi onto
1
2
3
4
p
q
r
fungsi surjektif
A B
Contoh

5. Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau injektif, apabila setiap anggota B
mempunyai pasangan tepat satu saja pada anggota A.
Fungsi Satu-satu
1
2
3
p
q
r
s
fungsi injektif
A B
Contoh

6. Fungsi f: A → B disebut fungsi berkorespondensi satu-satu atau bijektif, apabila fungsi
tersebut merupakan fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif.
Fungsi Korespondensi Satu-satu
1
2
3
p
q
r
fungsi bijektif
A B
Contoh

7. 1.2 operasi Aljabar Fungsi
Jika f dan g adalah dua fungsi yang terdefinisi pada himpunan D, dengan 𝐷𝑓 dan 𝐷𝑔
merupakan domain dari f dan g, maka:
1. Jumlah fungsi f dan g, ditulis f + g
(f + g)(x) = f(x) + g(x), dengan x ϵ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
2. Selisih fungsi f dan g, ditulis f − g
(f − g)(x) = f(x) − g(x), dengan x ϵ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔

8. 3. Hasil kali f dengan skalar k, ditulis kf
(kf)(x) = kf(x), dengan x ϵ 𝐷𝑓
4. Hasil kali fungsi f dan g, ditulis f ∙ g
(f ∙ g)(x) = f(x) ∙ g(x), dengan x ϵ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
5. Hasil bagi f dengan g, ditulis
𝑓
𝑔
𝑓
𝑔
(x) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
, dengan g(x) ≠ 0 dan x ϵ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔

9. 1.3 Fungsi invers
Fungsi yang Memiliki Invers
Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah sutau relasi yang
memasangkan setiap anggota dari A dengan tepat satu anggota B.
A B
x f(x)
f

10. Pengertian Fungsi Invers
𝑓−1
: 𝑅𝑓 → 𝐷𝑓
Suatu fungsi f: A → B akan mempunyai fungsi invers 𝑓−1
: B → A, jika fungsi f merupakan fungsi bijektif
atau korespondensi satu-satu.
Jika 𝑓−1
adalah fungsi invers dari f,
maka untuk setiap x ϵ 𝐷𝑓 dan setiap
y ϵ 𝑅𝑓 sedemikian sehingga beralaku:
y = f(x) x ϵ 𝑓−1
(y)

11. Menentukan Rumus Fungsi Invers
𝑓−1
𝑓 𝑥 = 𝑦
R R
𝑓−1
𝑦 = 𝑥
f
Perhatikan diagram panah fungsi f: R → R dan 𝑓−1
: R → R berikut.
Nilai fungsi f dinyatakan dengan f(x) = y dan nilai fungsi inversnya dinyatakan dengan 𝑓−1
𝑦 = 𝑥.

12. Contoh
Fungsi f: R → R dinytakan dengan f(x) = 3x + 5. Tentukan rumus fungsi inversnya.
Jawab:
Misalkan f(x) = y, maka
3x + 5 = y
3x = y − 5
x =
1
3
(y − 5)
𝑓−1
𝑦 =
1
3
(y − 5) (1)
Persmaan (1) dapat ditulis 𝑓−1
𝑥 =
1
3
(x − 5).
Maka, persamaan fungsi inversnya adalah 𝑓−1
𝑥 =
1
3
(x − 5)

13. 1.4 Fungsi Komposisi
Fungsi f dan g merupakan fungsi komposisi (f ∘ g) jika memenuhi 𝑅𝑔 ∩ 𝐷𝑓 ≠ ∅,
maka terdapat suatu fungsi h dari himpunana bagian 𝐷𝑔 ke himpunan bagian 𝑅𝑓 yang
dinyaatakan dengan aturan:
h(x) = (f ∘ g)(x) = f(g(x))
dengan domain 𝐷f ∘ g = {𝑥 ϵ 𝐷𝑔 | g(x) ϵ 𝐷𝑓}
Komposisi Dua Fungsi

14. Contoh
Diketahui f(x) = 5x − 6 dan g(x) = x + 3. Tentukan
a. f ∘ g b. g ∘ f
Jawab:
a. (f ∘ g)(x) = f(g(x))
= f(x + 3)
= 5(x + 3) − 6
= 5x + 9
b. (g ∘ f)(x) = g(f(x))
= g(5x − 6)
= (5x − 6) + 3
= 5x + 3

15. Invers dan Fungsi Komposisi
Jika f dan g masing-masing adalah fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers 𝑓−1
dan 𝑔−1
,
maka invers dari fungsi komposisi (f ∘ g)(x) ditentukan dengan aturan:
f ∘ g−1
(x) = (g−1
∘ f−1
)(x)
Contoh
Diketahui f: R ϵ R dan g: R ϵ R ditentukan oleh f(x) = x − 5 dan g(x) = 2x + 3. Tentukan
rumus fungsi (g ∘ f)−1
(x) dan (f ∘ g)−1
(x).

16. Jawab:
(g ∘ f)(x) = g(f(x))
= g(x − 5)
= 2(x − 5) + 3
= 2x − 7
(g ∘ f)(x) = y
2x − 7 = y
x =
1
2
(y + 7)
(g ∘ f)−1
(x) =
1
2
(y + 7)
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
= f(2x + 3)
= 2x + 3
= 2x − 2
(f ∘ g)(x) = y
2x − 2 = y
x =
1
2
(y + 2)
(f ∘ g)−1
(x) =
1
2
(x + 2)

17. 1.5 Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan
Operasi Invers dan Fungsi Komposisi
Irma adalah karyawan di sebuah toko sepatu. Ia menerima gaji pokok ditambah 3% komisi dari
penjualan yang melebihi Rp5.000.000,00 per minggu. Di bulan Agustus 2022, Irma mencapai
penjualan Rp3.000.000,00 pada minggu pertama, Rp6.000.000,00 pada minggu kedua,
Rp5.500.000,00 pada minggu ketiga, dan Rp8.000.000,00 pada minggu keempat. Tentukan total
komisi penjualan yang diperoleh Irma pada bulan Agustus 2022.
Jawab:
f(x) = 0,03x dan g(x) = x − 5.000, maka (f ∘ g)(x) merupaka fungsi dari komisi penjualan
dengan x > 5.000
Contoh

18. (f ∘ g)(x) = f(x − 5.000)
= 0.03(x − 5.000)
= 0.03x − 150
Komisi penjualan Irma:
Minggu pertama : (f ∘ g)(3.000) = 0.03(3.000) − 150 = 0
Minggu kedua : (f ∘ g)(6.000) = 0.03(6.000) − 150 = 30
Minggu ketiga : (f ∘ g)(5.500) = 0.03(5.500) − 150 = 15
Minggu Keempat : (f ∘ g)(8.000) = 0.03(8.000) − 150 = 90
Jadi, total penjualan yang diterima irma adalah Rp30.000,00 + Rp15.000,00 + Rp90.000,00
= Rp135.000,00