TV_Soutenance_2012

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TV_Soutenance_2012

  1. 1.     Développement d’outils de calcul et de logiciels pour la réalisation et l’implantation de stratégies de commande non linéaires échantillonnées Thèse de Doctorat Valentin TANAS ˘A Thèse en cotutelle: Université Paris-Sud 11, L2S-CNRS, dr. Dorothée NORMAND-CYROT Université Politehnica de Bucarest, prof. dr. ing. Dumitru POPESCU 2 décembre 2012 Thèse de doctorat 1 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  2. 2. Introduction Introduction Thèse de doctorat 2 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  3. 3. Introduction Contexte Contexte • La plupart des systèmes de commande automatisés exigent une interaction entre le processus modélisé en temps continu et un contrôleur numérique. • Se pose le problème d’une synthèse de commande qui prend en compte toutes les particularités : les non linéarités, les mesures échantillonnées, les caractéristiques des dispositifs de mesure et d’actionnement. Thèse de doctorat 3 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  4. 4. Introduction Contexte Systèmes échantillonnés Un système échantillonné est un système qui fonctionne en temps continu et dont les signaux d’entrée et de sortie (capteurs, actionneurs) sont échantillonnés à des instants différents.  x(t) BOZ Contrôler en temps discret Contrôler en temps discret x(k) Schéma en temps discret Schéma échantillonné Thèse de doctorat 4 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  5. 5. Introduction Méthodologies de conception Conception en temps continu Contrôler en temps continu y x(t)  x(t) BOZ Contrôler en temps discret Contrôler en temps discret x(k) Schéma en temps continu Schéma en temps discret Schéma échantillonné • La méthode la plus courante - l’émulation d’un contrôleur en temps continu. L’inconvénient majeur : les performances du contrôleur conçu en temps continu ne sont pas maintenues. • Pour compenser les effets d’échantillonnage - “redesign” du contrôleur continu : procédure de discrétisation de la loi de commande, implémentation avec de bloqeur d’ordre supérieur, à échelles de temps multiples [Owen et al., 1990], [Keller and Anderson, 1992], [Clarke et al., 1997], [Franklin et al., 1998], [Di Giamberardino et al., 1996a], [Djemai et al., 1999], [Hu and Michel, 1999]. Thèse de doctorat 5 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  6. 6. Introduction Méthodologies de conception Conception en temps discret Contrôler en temps continu y x(t)  x(t) BOZ Contrôler en temps discret Contrôler en temps discret x(k) Schéma en temps discret Schéma échantillonné • la conception oublie le comportement entre les instants d’échantillonnage ; • dans le cas non linéaire le calcul exact de modèles équivalents en temps discret devient vite très difficile ; • les propriétés du temps continu sont généralement perdues (linéarisation, contrôlabilité, observabilité, passivité, stabilisation, etc. [Grizzle, 1986], [Byrnes and Lin, 1994], [Barbot et al., 1996], [Monaco and Normand-Cyrot, 2001] Thèse de doctorat 6 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  7. 7. Introduction Méthodologies de conception Conception échantillonnée  x(t) BOZ Contrôler en temps discret Contrôler en temps discret x(k) Schéma en temps discret Schéma échantillonné Si la synthèse est basée sur les objectifs fixés en temps continu ou discret : • Conception directe - objectifs discrets [Di Giamberardino et al., 1996b], [Gennaro, 2002] • Conception indirecte - objectifs définis en temps continu ; Selon le modèle échantillonné : • Conception approchée - basée sur un modèle approché ([Neši´c and Teel, 2004],[Neši´c and Grüne, 2005]) • Conception exacte - basée sur le modèle échantillonné complet (D. Normand-Cyrot et S. Monaco) Thèse de doctorat 7 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  8. 8. Introduction Boîtes à outils Boîtes à outils • Dynamiques linéaires - plusieurs solutions disponibles, basées sur algorithmes numériques et couvrent le plupart des stratégies de commande : commande optimale, robuste, adaptive ou prédictive. • Dynamiques non linéaires -en temps continu et discrète. Les solutions proposées sont basées sur des algorithmes symboliques : MACSYMA, CONDENS, NonLinCon de Bram de Jager, NelinSys de Martin Ondera, etc. • Systèmes échantillonnés - quelques boîtes à outils développées pour des dynamiques linéaires (DirectSD, SDC de Fujioka ,¸ etc). Pour le cas non linéaire - SimNLSys . Thèse de doctorat 8 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  9. 9. Plan Systèmes NL Systémes Échantillonnée Commande numérique Travail de DoctoratMéthodologies Logiciel Applications Thèse de doctorat 9 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  10. 10. Plan Plan de l’exposé 1 Contributions méthodologiques 2 Le logiciel SimNLSys 3 Exemples (académique et expérimental) 4 Conclusions et travaux futurs Thèse de doctorat 9 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  11. 11. Contributions méthodologique Le problème Le problème ࢛࢑ = ࢛ࢉሺ࢚ሻ, ݇ߜ ≤ ‫ݐ‬ ≤ ሺ݇ + 1ሻߜ Schéma en temps continu ሺ࢞ሻ Schéma échantillonnée uc(t) V (x)Contrôleur en temps continu (CT) ࢞ሶ = ࢌሺ࢞ሻ + ࢍሺ࢞ሻ࢛ࢉ δδδδ ሺ࢞෥ሻ uk ࢂሺ࢞෥ሻContrôleur numérique (DT) ࢞෥ሶ = ࢌሺ࢞෥ሻ + ࢍሺ࢞෥ሻ࢛࢑BOZ δδδδ On suppose l’existence d’une commande stabilisante uc(x(t)) et d’une fonction Lyapunov V > 0, V(0) = 0 : ˙Vuc (x(t)) < 0 ⇓ (k+1)δ kδ ˙Vuc (x(t))dt = (k+1)δ kδ ˙Vuk (˜x(t))d aux instants d’échantillonnage t = kδ : Vuk (˜xk+1) − V(˜xk) < (?)0 Problème : Trouver uk telle que Vuk (˜xk+1) − V(˜xk) < 0 Thèse de doctorat 10 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  12. 12. Contributions méthodologique Le problème Contexte du problème Stabilisation en temps continu au sens de Lyapunov : très utilisé dans différents contextes : procédure “backstepping” [Krstic et al., 1992], commande robuste et adaptive, Lyapunov design, passivité, optimalité, etc. Thèse de doctorat 11 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  13. 13. Contributions méthodologique La mèthodologie La reproduction entrée/Lyapunov aux instants d’échantillonnage La commande uk est calculée pour satisfaire à chaque t = kδ : Vuk (xk+1) − V(xk) = (k+1)δ kδ ˙V(uc(x(t)))dt (1) avec xc(t) = xk, et Vuk (xk+1) = eδ(f+ukg) V|xk ⇒ La loi de commande a la forme : uk(xk) = uδ d(xk) = ud0(xk) + i≥1 δi (i + 1)! udi(xk) (2) Remarque On reproduit l’évolution de la fonction de Lyapunov et non l’évolution de la commande ou des états ⇒ préservation de la stabilité Thèse de doctorat 12 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  14. 14. Contributions méthodologique Des outils mathématiques Les outils fonctionnels Etant donné un système Σc ˙x(t) = f(x(t)) + uc(x(t))g(x(t)) uk = uc(x(t)), t ∈ [kδ, (k + 1)δ) ⇒ xk+1 = Fδ (xk, uk) où Fδ (xk, uk) - le modèle discret équivalent avec : Fδ (X, uk) = eδ(f+ukg) (X) = X + δ(Lf + ukLg)(X) + i≥2 δi i! Li f+ukLg (X) • L’opérateur linéaire de Lie : Lf = n i=1 fi(·) ∂ ∂xi • Lf h(x) = ∂h ∂x f(x) = dh|xf(x), h une fonction analytique • composition Lg ◦ Lf (h)|x = Lg(Lf (h))|x • crochet de Lie [Lf Lg] = Lf ◦ Lg − Lg ◦ Lf = L[f,g] = Ladf g Thèse de doctorat 13 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  15. 15. Contributions méthodologique Classe des systèmes La classe de systèmes “strict-feedback” La classe de systèmes non linéaires sous la forme : ˙z(t) = f(z(t)) + g(z(t))ξ1(t) ˙ξ1(t) = a1(z(t), ξ1(t)) + b1(z(t), ξ1(t))ξ2(t) ... ˙ξm−1(t) = am−1(z(t), ξ1(t), . . . , ξm−1(t)) + bm−1(z(t), ξ1(t), . . . , ξm−1(t))ξm(t) ˙ξm(t) = am(z(t), ξ1(t), . . . , ξm(t)) + bm(z(t), ξ1(t), . . . , ξm(t))uc(t) (3) z ∈ Rn et ξi ∈ R, bi(·) sont inversibles pour (z, ξ1, . . . , ξm) ∈ Rn+m . Remarque Le degré relatif entre uc et z est égal à m + 1. Thèse de doctorat 14 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  16. 16. Contributions méthodologique Classe des systèmes Cas d’une seule connexion La classe de systèmes non linéaires sous la forme “strict-feedback” : ˙z(t) = f(z(t)) + g(z(t))ξ(t) (4) ˙ξ(t) = a(z(t), ξ(t)) + b(z(t), ξ(t))uc(t) (5) Thèse de doctorat 15 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  17. 17. Contributions méthodologique Backstepping en temps continu Backstepping en temps continu (Rappel) Théorème Backstepping en temps continu - Soit le système (4)-(5), on suppose l’existence d’une fonction φ(z) avec φ(0) = 0 et d’une fonction de Lyapunov W(z) tel que ∂W ∂z (f(z) + g(z)φ(z)) < 0, ∀z ∈ Rn /0. (6) Si b−1 (z, ξ) existe pour tout (z, ξ), la commande par retour d’état uc(x(t)) = b(z, ξ)−1 ∂φ ∂z (f(z) + g(z)ξ) − ∂W ∂z g(z) − a(z, ξ) + v (7) avec y = ξ − φ(z) et v = −Kyy stabilise asymptotiquement l’origine de (4)-(5), avec V(z, y) = W(z) + 1 2 y2 (8) comme fonction de Lyapunov. Thèse de doctorat 16 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  18. 18. Contributions méthodologique La solution échantillonnée - SR Synthèse “backstepping” numérique-SR Soit xT = [zT y]T , le système continu transformé, réécrit comme : ˙x(t) = fc(x) + gc(x)uc avec : fc = f(z) + g(z)(φ(z) + y) a(z, y + φ(z)) − ∂φ(z) ∂z ˙z gc = 0 b(z, y + φ(z)) . (9) La solution uk satisfait la reproduction entrée/Lyapunov : Vuk (xk+1) − V(xk) = (k+1)δ kδ ˙V(xc(t))dt (10) où xk = xc(t = kδ) On considére le critère d’erreur LME (Lyapunov Matching Error) : EV(xk) = Vuk (xk+1) − V(xc|t=(k+1)) Thèse de doctorat 17 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  19. 19. Contributions méthodologique La solution échantillonnée - SR Théorème ([Tiefensee and Tanasa, 2011]) Etant donné le système en temps continu, en supposant l’existence d’un contrôleur de type backstepping, alors il existe T∗ > 0 tel que ∀δ < T∗, il existe une loi de commande échantillonnée uk = uδ d uk = uδ d = ud0 + j≥1 δj (j + 1)! udj. (11) qui reproduit V(x(t)) aux instants d’échantillonnage et la stabilisation asymptotique de l’origine. La stabilisation Lyapunov du système échantillonné est assurée par (Lf + ucLg)V < 0 et uδ d satisfait la condition LME = 0 : Vuk (xk+1) − V(xk) = (k+1)δ kδ (Lf(·) + uc(·)Lg(·))V(x(t))dt < 0 Les premiers termes de uδ k sont : ud0(zk, yk) = uc(z, y)|t=kδ commande continue (12) ud1(zk, yk) = ˙uc(z, y)|t=kδ premier terme correcteur (dérivée) ud2(zk, yk) = ¨uc(z, y)|t=kδ + ud1(zk, yk) 2b(z, y + φ(z))y ad[fc,gc]V|t=kδ.deuxième correcteur (13) Thèse de doctorat 18 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  20. 20. Contributions méthodologique La solution échantillonnée - SR Stabilité du contrôleur d’ordre P Le critère LME est satifait avec un erreur en δP+2 : EV (xk) = δP+2 (P + 2)! ˜R(xk) Proposition (conditions de bornitudes) Si on suppose les mêmes conditions que Théorème 2, le système échantillonné avec un contrôleur approché d’ordre P satisfait : ρV1(||xk||) + O(δP+1 ) ≤ V(xk) ≤ ρV2(||xk||) + O(δP+1 ) (14) V(xk+1) − V(xk) ≤ −δρV4(||xk||) + O(δP+2 ). (15) pour ∀δ < T∗, avec ρV1, ρV2, ρV4 ∈ K∞ et O(δP+1) inclut les termes d’ordre supérieur en δ qui dépendent de l’état. Le désavantage :(dynamique interne) ρW1(||xk||) + O(δ2 ) ≤ W(xk) ≤ ρW2(||xk||) + O(δ2 ) (16) W(xk+1) − W(xk) ≤ −δρW4(||xk||) + O(δ3 ). (17) Thèse de doctorat 19 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  21. 21. Contributions méthodologique La solution échantillonnée - MR Synthèse “backstepping” numérique-MR La solution : trouver u1k et u2k tels que • u1k actif pour t ∈ [kδ, kδ + δ 2 ), • u2k actif pour t ∈ [kδ + δ 2 , (k + 1)δ). en appliquant la stratégie de reproduction entrée/Lyapunov sur V et W : Vu1k,u2k (xk+1) − V(xk) = (k+1)δ kδ ˙V(xc(τ))dτ (18) Wu1k,u2k (xk+1) − W(xk) = (k+1)δ kδ ˙W(xc(τ))dτ (19) oú xk = xc(t = kδ) et xk+1 = eBCH2 δ 2 (fc+u1kgc), δ 2 (fc+u2kgc) xk, BCH : Baker Campbell Hausdorf exposant. Thèse de doctorat 20 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  22. 22. Contributions méthodologique La solution échantillonnée - MR Théorème ([Tanasa et al., ]) Etant donné le système en temps continu, en supposant l’existence d’un contrôleur en temps continu uc(x(t)) de type backstepping, alors il existe T∗ > 0 et il existe une loi de commande échantillonnée à 2 échelles de temps uik = u δ/2 id qui reproduit les évolutions de Lyapunov V, W aux instant d’échantillonnage et assure la stabilisation asymptotique de l’origine, pour ∀δ < T∗ , avec la commande : uik = u δ/2 id = udi0 + j≥1 δj 2j(j + 1)! udij, i = 1, 2 (20) Les premiers termes de u δ/2 ik sont : (ud10, ud20) = ( uc|xk , uc|xk ) (21) (ud11, ud21) = ( 2 3 ˙uc xk , 10 3 ˙uc xk ) (22) ud12 = 4 3 ˙uc 4ucL2 gc Lfc + Lgc L2 fc W · (Lgc Lfc W)−1 − 6˙ucucLgc V · (Lgc V)−1 |xk ud22 = 8˙uc + 12˙ucucLgc V · (Lgc V)−1 − ud12|xk . Thèse de doctorat 21 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  23. 23. Contributions méthodologique La solution échantillonnée - MR Stabilité du contrôleur 2-rate d’ordre P Le critère LME est satifait avec un erreur en δP+2 pour V respectivement en δP+3 pour W. Proposition (conditions des bornitudes) Supposant les conditions du Théorème 2, le systéme échantillonné avec un contrôleur 2-rate, approché d’ordre P satisfait : ρV1(||xk||) + O(δP+1 ) ≤ V(xk) ≤ ρV2(||xk||) + O(δP+1 ) (23) V(xk+1) − V(xk) ≤ −δρV4(||xk||) + O(δP+2 ). (24) respectivement ρW1(||xk||) + O(δP+2 ) ≤ W(xk) ≤ ρW2(||xk||) + O(δP+2 ) (25) W(xk+1) − W(xk) ≤ −δρW4(||xk||) + O(δP+3 ). (26) pour ∀δ < T∗, avec ∀ρ· ∈ K∞ et O(δP+1) inclut les termes d’ordre supérieur en δ qui dépendent de l’état. Cette solution peut être comparée à la solution avec bloqueur d’ordre supérieur [Barbot et al., 1996] Thèse de doctorat 22 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  24. 24. Contributions méthodologique Extensions Extension I La fonction de Lyapunov peut être remplacée par une fonction d’énergie pour caractériser la passivité ou le façonnement de l’énergie : IDA-PBC 1 . Application - la synthèse échantillonnée IDA-PBC, Pile à Combustible avec Supercondensateurs (Chapitre 10 Thèse) ˙xc(t) = (J − R) H + g1(xc)u1(t) + g2(xc)u2(t) xc =   vB vSC iL   , J =    0 0 − 1 LLC 0 0 0 1 LLC 0 0    , R =    0 0 0 0 0 0 0 0 RL L2 L    , g1 =   1 C vFC vB 0 0   , g2 =    1 C vSC vB − 1 Csc 0    ; H = 1 2 xT c Qxc, avec Q =   C 0 0 0 CSC 0 0 0 LL   ; Reproduction aux instants d’échantillonnage de l’Hamiltonian en BF. 1. R. Ortega, A. van der Schaft, B.M. et Escobar, G. (2002). Interconnection and damping assign- ment passivity based control of port-controlled hamiltonian systems, Automatica, 38(4) Thèse de doctorat 23 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  25. 25. Contributions méthodologique Extensions Extension - II - Stabilité et optimalité J(x) = ∞ 0 l(x) + uT R(x)u dt On considère en parallèle le critère d’optimalité et la stabilisation, avec l’Hamiltoniene H : Hc(x, u) := ∂V(x) ∂x ˙x + l(x) + uT R(x)u (27) Se pose le problème de trouver le contrôleur échantillonné qui préserve les deux propriétes : optimalité et stabilisation Une première solution [Tanasa et al., 2012] 2 représente une version non linéaire du résultat [Halanay and R˘asvan, 1977] 3 . 2. Tanasa, V. ; Monaco, S. & Normand-Cyrot, C. Nonlinear optimal stabilizing control under sam- pling 51th Conference on Decision and Control (CDC), Maui, Hawaii, 2012 3. Halanay, A. & Rãsvan, V. General theory of linear hybrid control Int. Journal of Control, 1977, 26, 621-634 Thèse de doctorat 24 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  26. 26. Contributions méthodologique Extensions Extension - III - Système avec retards Par exemple, le système avec m connexions en cascade :    zk+1 = f(zk) + g(zk)ξ1 k ξ1 k+1 = ξ2 k ... ξm k+1 = uk zk+1 = f(zk) + g(zk)uk−m Pour assurer la stabilisation : ξ1 k = γ(zk) avec la commande uk = γ(zk+m). Application le robot mobile, Chapitre 9. 4 4. Tanasa, V. ; Monaco, S. & Normand-Cyrot, D. Digital stabilization of finite sampled nonlinear dynamics with delays : the unicycle example 13th European Control Conference (ECC), Zürich, 2013 Thèse de doctorat 25 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  27. 27. Contributions méthodologique Extensions Extension - IV L’étude sur la “robustesse” de la solution échantillonnée vis à vis des erreurs de quantification (Chapitre 11) 5 : ˙x = f(x) + (uk( ˜xk) + uk ) g(x) (28) • ˜xk- erreurs à cause du convertisseur analoque-numérique. • uk - erreurs à cause des calculs. Différentes approches : systèmes avec des perturbations bornées, “quantized feedback” [Liberzon, 2001]. 5. Tanasa V., Normand-Cyrot D., Popescu D. -" Quantization errors in sampled- data systems with backstepping controllers", UPB Scientific Buletin, Series A (sou- mis) Thèse de doctorat 26 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  28. 28. Logiciel Plan de l’exposé 1 Contributions méthodologiques 2 Le logiciel SimNLSys 3 Exemples 4 Conclusions et travaux futurs Thèse de doctorat 27 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  29. 29. Logiciel Les solutions fournis SimNLSys Σc ˙x(t) = f(x) + g(x) · u(t) y(t) = h(x) • système non linéaire MIMO • syntaxe acceptée par Matlab Solutions fournies • conception assistée pour la commande échantillonnée • simulations des systèmes en boucle ouverte/fermée dans le cas continu et échantillonné • simulations complexes (pour intervalles de δ) • options pour visualiser/ comparer/ enregistrer les résultats. Thèse de doctorat 28 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  30. 30. Logiciel Les solutions fournis Critères de performance Erreur de reproduction cumulée : 1 := N k=1 |h(xc(t))|t=kδ − h(xk)| h(xc(0)) Décalage maximum : 2 := max k=1:N |h(xc(t))|t=kδ − h(xk)| Énergie du contrôleur- Eu : Eu = Tf 0 u2 (t) dt Norme du signal x(t) Ex = Tf 0 ||x(t)|| dt Thèse de doctorat 29 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  31. 31. Exemples Plan 1 Contributions méthodologiques 2 Le logiciel SimNLSys 3 Exemples 4 Conclusions et travaux futurs Thèse de doctorat 30 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  32. 32. Exemples Plan 1 Contributions méthodologiques 2 Le logiciel SimNLSys 3 Exemples • Exemple academique-cas d’étude de la litterature • Expérimental (suspension électromagnétique) Thèse de doctorat 30 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  33. 33. Exemples Plan 1 Contributions méthodologiques 2 Le logiciel SimNLSys 3 Exemples • Exemple academique-cas d’étude de la litterature • Expérimental (suspension électromagnétique) Thèse de doctorat 30 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  34. 34. Exemples Système avec un seul intégrateur Système avec un seul intégrateur Soit l’exemple suivant : ˙x1(t) = x2 1(t) + x2(t) (29) ˙x2(t) = u(t) (30) La solution de commande backstepping en temps continu : uc(x(t)) = −2(x2(t) + x1(t) + x2(t)x1(t) + x2 1(t) + x3 1(t)) avec W(x1(t)) = x2 1(t)/2 et V(x1(t), x2(t)) = W(x1(t)) + 1 2 (x1(t) + x2(t) + x2 1(t))2 comme fonction de Lyapunov. Thèse de doctorat 31 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  35. 35. Exemples Système avec un seul intégrateur La solution “backstepping” échantillonnée - SR La commande (BksSR) du deuxième ordre (LME en O(δ4 )) : uδ2 d = ud0 + δ 2! ud1 + δ2 3! ud2 (31) avec les termes : ud0 = uc|t=kδ (32) ud1 = −2((x2 1 + x2)2 − 2x3 1 − 3x2 1 − 2x1x2 − 2x1 − x2)|t=kδ (33) ud2 = (2x7 1 + 11x6 1 + (6x2 + 10)x5 1 + (35x2 − 17)x4 1 + (6x2 2 + 28x2 − 24)x3 1 + (37x2 2 − 14x2 − 8)x2 1 + (2x3 2 + 18x2 2 − 8x2)x1 + 13x3 2 − x2 2)/(x2 1 + x1 + x2)|t=kδ (34) Thèse de doctorat 32 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  36. 36. Exemples Système avec un seul intégrateur La solution “backstepping” échantillonnée, MR La commande (BksMR) du deuxième ordre : uδ2 di = udi0 + δ 4 udi1 + δ2 24 udi2 (35) avec i = 1, 2, et les termes suivants : (ud10, ud20) = (uc|t=kδ , uc|t=kδ) (36) ud11 = −4(x4 1 − 2x3 1 + 2x2 1x2 − 3x2 1 − 2x1x2 − 2x1 + x2 2 − x2)/3 (37) ud12 = −20(x4 1 − 2x3 1 + 2x2 1x2 − 3x2 1 − 2x1x2 − 2x1 + x2 2 − x2)/3 (38) ud21 = 0 (39) ud22 = 96(x2 1 + x1 + x2)2 − 128x1x2 − 32x1 − 160x2 1 − 128x3 1. (40) Thèse de doctorat 33 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  37. 37. Exemples Système avec un seul intégrateur Thèse de doctorat 34 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA 0 5 10 −4 −2 0 2 time (s) u u, δ =0.05 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 −2 −1 0 x1 x2 Phase portrait, δ =0.05 Con, Eu= 2.585 Emu, Eu= 2.643 SR1, Eu= 2.530 SR2, Eu= 2.534 MR1, Eu= 2.567 MR2, Eu= 2.568 Con, Ex= 1.520 Emu, Ex= 1.461 SR1, Ex= 1.523 SR2, Ex= 1.521 MR1, Ex= 1.521 MR2, Ex= 1.520
  38. 38. Exemples Système avec un seul intégrateur Thèse de doctorat 35 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA 0 0.5 1 0 5 10 15 δ (s) V V , K =0.10 0 0.2 0.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 δ (s) V V , K =0.10 Emul BksSR1 BksSR2 BksMR1 BksMR2 Emul BksSR1 BksSR2 BksMR1 BksMR2
  39. 39. Exemples Étude comparative Étude comparative BksNe1 Contrôleur approché d’ordre 1 [Neši´c and Teel, 2006] - synthèse directe sur l’approximation Euler du modèle continu. BksNe2 Contrôleur approché d’ordre 2 [Neši´c and Grüne, 2005] -“redesign” Lyapunov ; la solution minimise le critère LME. Le contrôleur approché d’ordre 1 coïncide avec la solution BksSR1. BksBu1,BksBu2 Contrôleurs approchés d’ordre 1 et 2 [Burlion et al., 2006] - synthèse sur une approximation d’ordre supérieur du modèle continu. Thèse de doctorat 36 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  40. 40. Exemples Étude comparative Thèse de doctorat 37 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA 0 5 10 −4 −2 0 2 time (s) u u, δ =0.05 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 −2 −1 0 x1 x2 Phase portrait, δ =0.05 Con, Eu= 2.585 MR1, Eu= 2.567 Ne1, Eu= 2.636 Ne2, Eu= 2.532 Bu1, Eu= 2.623 Bu2, Eu= 2.622 Con, Ex= 1.520 MR1, Ex= 1.521 Ne1, Ex= 1.459 Ne2, Ex= 1.522 Bu1, Ex= 1.479 Bu2, Ex= 1.479
  41. 41. Exemples Systèm avec un double intégrateur Si on ajoute un deuxième intégrateur sur l’entrée ? ˙x1(t) = x2 1(t) + x2(t) ˙x2(t) = x3(t) ˙x3(t) = u(t) Thèse de doctorat 38 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  42. 42. Exemples Système avec un double intégrateur 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 δ (s) V V Emu SR1 SR2 MR1 MR2 (a) 1 intégrateur 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 δ (s) V V Emu SR1 SR2 MR1 MR2 (b) 2 intégrateurs 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 δ (s) W W Emu SR1 SR2 MR1 MR2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 δ (s) W W Emu SR1 SR2 MR1 MR2 Thèse de doctorat 39 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  43. 43. Exemples Système avec un double intégrateur Plan de l’exposé 1 Contributions méthodologiques 2 Le logiciel SimNLSys 3 Exemples • Exemple academique • Expérimental (suspension électromagnétique) Thèse de doctorat 40 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  44. 44. Exemples Contrôle d’une suspension électromagnétique La suspension électromagnétique Le modèle du banc expérimental (Service Auto, P. Boucher) : ˙x1 = x2 ˙x2 = c·K2 v m v2 (x0−x1)2 − g (41) La fonction de Lyapunov : V(x1, x2) = 1 2 2 β2 + (x2 + Kφ β )2 (42) où = yref − βx1 La commande en temps continu uc(x1, x2) = m K2 v c (x0 − x1)2 g − (Kφ + Ky)x2 + KφKy β . (43) La sortie : h(x) = βx1 Thèse de doctorat 41 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  45. 45. Exemples Contrôle d’une suspension électromagnétique Conception échantillonnée La commande échantillonnée uδ d = ud0 + δ 2 ud1 + δ2 6 ud2 + O(δ3 ) ud0 = uc|t=kδ ud1 = − m cK2 v (x0 − x1) 2x2(g + ˙x2) + (x0 − x1) KφKyx2 + (Kφ + Ky)˙x2 |t=kδ ud2 = − ud1 x0 − x1 x2 − m cK2 v (x0 − x1) 2˙x2(g + ˙x2) + 2x2¨x2 − −x2 KφKyx2 + (Kφ + Ky)˙x2 + (x0 − x1) KφKy ˙x2 + +(Kφ + Ky)¨x2 + ud1 2 (Kφ + z Kφz + ξ − 2ξ x0 − z ) |t=kδ (44) avec ˙x2 = −(Kφ + Ky)x2 + KφKy β ( ) ¨x2 = −(Kφ + Ky)˙x2 − KφKyx2 Thèse de doctorat 42 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  46. 46. Exemples Contrôle d’une suspension électromagnétique Simulations 3D Emulated Control δ 30 40 50 1 2 3 4 5 6 7 x 10 −3 Sampled Data Control 1st order K 30 40 50 1 2 3 4 5 6 7 x 10 −3 Sampled Data Control 2nd order 30 40 50 1 2 3 4 5 6 7 x 10 −3 2 4 6 8 10 12 14 16 Thèse de doctorat 43 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  47. 47. Exemples Contrôle d’une suspension électromagnétique Expérimental - δ = 3ms −5 0 5 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 x1 Traiectories δ =0.003 x2 x3 emulated order 1 order 2 (a) Trajectoires −4 −2 0 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.6 0.8 1 1.2 x1 Full time trajectories for δ = 0.003 s x2x3 emulated order 1 order 2 (b) Trajectoires -temps complet Thèse de doctorat 44 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  48. 48. Exemples Contrôle d’une suspension électromagnétique Expérimental - δ = 7ms −5 0 5 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 x1 Traiectories δ =0.007 x2 x3 emulated order 2 (c) Trajectoires −2 −1 0 1 2 x 10 −3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x1 Full time trajectories for δ = 0.007 s x2 x3 emulated order 2 (d) Trajectoires -temps complet Thèse de doctorat 45 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  49. 49. Conclusions Conclusions Conclusions et perspectives Thèse de doctorat 46 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  50. 50. Conclusions Conclusions Conclusions • La technique de reproduction aux instants d’échantillonnage du comportement de fonctions «cible» donne de bons résultats ; • L’existence des lois de commandes échantillonnées SR ou MR est assurée sans hypothèse supplémentaire sur le système continu ; • Une extension multi-échelles améliore la stabilité interne ; • Les preuves sont constructives : un algorithme exécutable permet de calculer les termes successifs des solutions qui ont la forme d’une série infinie en δ autour de la solution continue (quand elle existe) ; • Dans le cas de séries finies, des solutions purement discrètes peuvent être proposées même si aucune solution continue n’existe • Des solutions approchées sont appliquées en pratique. On ne garantit pas la stabilisation globale mais une stabilisation « pratique » - un comportement de la Lyapunov aux instants d’échantillonnages dans des limites qui sont fonction de l’ordre d’approximation ; Thèse de doctorat 47 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  51. 51. Conclusions Conclusions Conclusions • La technique de reproduction aux instants d’échantillonnage du comportement de fonctions «cible» donne de bons résultats ; • L’existence des lois de commandes échantillonnées SR ou MR est assurée sans hypothèse supplémentaire sur le système continu ; • Une extension multi-échelles améliore la stabilité interne ; • Les preuves sont constructives : un algorithme exécutable permet de calculer les termes successifs des solutions qui ont la forme d’une série infinie en δ autour de la solution continue (quand elle existe) ; • Dans le cas de séries finies, des solutions purement discrètes peuvent être proposées même si aucune solution continue n’existe • Des solutions approchées sont appliquées en pratique. On ne garantit pas la stabilisation globale mais une stabilisation « pratique » - un comportement de la Lyapunov aux instants d’échantillonnages dans des limites qui sont fonction de l’ordre d’approximation ; Thèse de doctorat 47 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  52. 52. Conclusions Conclusions Conclusions • La technique de reproduction aux instants d’échantillonnage du comportement de fonctions «cible» donne de bons résultats ; • L’existence des lois de commandes échantillonnées SR ou MR est assurée sans hypothèse supplémentaire sur le système continu ; • Une extension multi-échelles améliore la stabilité interne ; • Les preuves sont constructives : un algorithme exécutable permet de calculer les termes successifs des solutions qui ont la forme d’une série infinie en δ autour de la solution continue (quand elle existe) ; • Dans le cas de séries finies, des solutions purement discrètes peuvent être proposées même si aucune solution continue n’existe • Des solutions approchées sont appliquées en pratique. On ne garantit pas la stabilisation globale mais une stabilisation « pratique » - un comportement de la Lyapunov aux instants d’échantillonnages dans des limites qui sont fonction de l’ordre d’approximation ; Thèse de doctorat 47 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  53. 53. Conclusions Conclusions Conclusions • La technique de reproduction aux instants d’échantillonnage du comportement de fonctions «cible» donne de bons résultats ; • L’existence des lois de commandes échantillonnées SR ou MR est assurée sans hypothèse supplémentaire sur le système continu ; • Une extension multi-échelles améliore la stabilité interne ; • Les preuves sont constructives : un algorithme exécutable permet de calculer les termes successifs des solutions qui ont la forme d’une série infinie en δ autour de la solution continue (quand elle existe) ; • Dans le cas de séries finies, des solutions purement discrètes peuvent être proposées même si aucune solution continue n’existe • Des solutions approchées sont appliquées en pratique. On ne garantit pas la stabilisation globale mais une stabilisation « pratique » - un comportement de la Lyapunov aux instants d’échantillonnages dans des limites qui sont fonction de l’ordre d’approximation ; Thèse de doctorat 47 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  54. 54. Conclusions Conclusions Conclusions • La technique de reproduction aux instants d’échantillonnage du comportement de fonctions «cible» donne de bons résultats ; • L’existence des lois de commandes échantillonnées SR ou MR est assurée sans hypothèse supplémentaire sur le système continu ; • Une extension multi-échelles améliore la stabilité interne ; • Les preuves sont constructives : un algorithme exécutable permet de calculer les termes successifs des solutions qui ont la forme d’une série infinie en δ autour de la solution continue (quand elle existe) ; • Dans le cas de séries finies, des solutions purement discrètes peuvent être proposées même si aucune solution continue n’existe • Des solutions approchées sont appliquées en pratique. On ne garantit pas la stabilisation globale mais une stabilisation « pratique » - un comportement de la Lyapunov aux instants d’échantillonnages dans des limites qui sont fonction de l’ordre d’approximation ; Thèse de doctorat 47 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  55. 55. Conclusions Conclusions Conclusions • La technique de reproduction aux instants d’échantillonnage du comportement de fonctions «cible» donne de bons résultats ; • L’existence des lois de commandes échantillonnées SR ou MR est assurée sans hypothèse supplémentaire sur le système continu ; • Une extension multi-échelles améliore la stabilité interne ; • Les preuves sont constructives : un algorithme exécutable permet de calculer les termes successifs des solutions qui ont la forme d’une série infinie en δ autour de la solution continue (quand elle existe) ; • Dans le cas de séries finies, des solutions purement discrètes peuvent être proposées même si aucune solution continue n’existe • Des solutions approchées sont appliquées en pratique. On ne garantit pas la stabilisation globale mais une stabilisation « pratique » - un comportement de la Lyapunov aux instants d’échantillonnages dans des limites qui sont fonction de l’ordre d’approximation ; Thèse de doctorat 47 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  56. 56. Conclusions Conclusions • Les propriétés combinatoires des séries solutions se prètent à la réalisation d’un outil logiciel ; • Le logiciel inclut des simulations et des tests comparatifs ; il permet d’évaluer les performances et d’obtenir le meilleur compromis entre vitesse de convergence /période d’echantillonnage /temps de calcul ; • Il est important de considérer le temps de calculs “off-line” de la commande et l’évaluation “on-line” ; • Les exemples académiques et comparatifs avec d’autres méthodes, les tests expérimentaux sur plate-formes de laboratoires confirment la théorie et les résultats de simulation ; • Le plus gros inconvénient reste la difficulté d’obtenir des critères quantitatifs sur les périodes admissibles, les domaines de stabilisation, les effets de la quantification. Thèse de doctorat 48 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  57. 57. Conclusions Conclusions • Les propriétés combinatoires des séries solutions se prètent à la réalisation d’un outil logiciel ; • Le logiciel inclut des simulations et des tests comparatifs ; il permet d’évaluer les performances et d’obtenir le meilleur compromis entre vitesse de convergence /période d’echantillonnage /temps de calcul ; • Il est important de considérer le temps de calculs “off-line” de la commande et l’évaluation “on-line” ; • Les exemples académiques et comparatifs avec d’autres méthodes, les tests expérimentaux sur plate-formes de laboratoires confirment la théorie et les résultats de simulation ; • Le plus gros inconvénient reste la difficulté d’obtenir des critères quantitatifs sur les périodes admissibles, les domaines de stabilisation, les effets de la quantification. Thèse de doctorat 48 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  58. 58. Conclusions Conclusions • Les propriétés combinatoires des séries solutions se prètent à la réalisation d’un outil logiciel ; • Le logiciel inclut des simulations et des tests comparatifs ; il permet d’évaluer les performances et d’obtenir le meilleur compromis entre vitesse de convergence /période d’echantillonnage /temps de calcul ; • Il est important de considérer le temps de calculs “off-line” de la commande et l’évaluation “on-line” ; • Les exemples académiques et comparatifs avec d’autres méthodes, les tests expérimentaux sur plate-formes de laboratoires confirment la théorie et les résultats de simulation ; • Le plus gros inconvénient reste la difficulté d’obtenir des critères quantitatifs sur les périodes admissibles, les domaines de stabilisation, les effets de la quantification. Thèse de doctorat 48 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  59. 59. Conclusions Conclusions • Les propriétés combinatoires des séries solutions se prètent à la réalisation d’un outil logiciel ; • Le logiciel inclut des simulations et des tests comparatifs ; il permet d’évaluer les performances et d’obtenir le meilleur compromis entre vitesse de convergence /période d’echantillonnage /temps de calcul ; • Il est important de considérer le temps de calculs “off-line” de la commande et l’évaluation “on-line” ; • Les exemples académiques et comparatifs avec d’autres méthodes, les tests expérimentaux sur plate-formes de laboratoires confirment la théorie et les résultats de simulation ; • Le plus gros inconvénient reste la difficulté d’obtenir des critères quantitatifs sur les périodes admissibles, les domaines de stabilisation, les effets de la quantification. Thèse de doctorat 48 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  60. 60. Conclusions Conclusions • Les propriétés combinatoires des séries solutions se prètent à la réalisation d’un outil logiciel ; • Le logiciel inclut des simulations et des tests comparatifs ; il permet d’évaluer les performances et d’obtenir le meilleur compromis entre vitesse de convergence /période d’echantillonnage /temps de calcul ; • Il est important de considérer le temps de calculs “off-line” de la commande et l’évaluation “on-line” ; • Les exemples académiques et comparatifs avec d’autres méthodes, les tests expérimentaux sur plate-formes de laboratoires confirment la théorie et les résultats de simulation ; • Le plus gros inconvénient reste la difficulté d’obtenir des critères quantitatifs sur les périodes admissibles, les domaines de stabilisation, les effets de la quantification. Thèse de doctorat 48 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  61. 61. Conclusions Perspectives Perspectives • Développer des critères spécifiques permettant une analyse quantitative plus fine des performances en relation avec les périodes d’échantillonnage admissibles, la rapidité de convergence, les incertitudes paramétriques ou les erreurs de quantification ; • Des études plus approfondies sur la synthèse d’observateurs et sur l’analyse des incertitudes sont demandées ; • La validation expérimentale des solutions échantillonnées proposées ; • Les stratégies échantillonnées offrent des perspectives nombreuses sur des applications diverses dans le cadre des systèmes hybrides et interconnectés, énergétique ou en réseau ; • Sur le logiciel - SimNLSys • des nouveaux modules du logiciel SimNLSys seront mis en œuvre pour de nouvelles avancées théoriques PBC, optimalité, retard, etc.) ; • l’amélioration des algorithmes symboliques en utilisant de nouvelles techniques disponibles concernant simplification des expressions. Thèse de doctorat 49 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  62. 62. Conclusions Perspectives Perspectives • Développer des critères spécifiques permettant une analyse quantitative plus fine des performances en relation avec les périodes d’échantillonnage admissibles, la rapidité de convergence, les incertitudes paramétriques ou les erreurs de quantification ; • Des études plus approfondies sur la synthèse d’observateurs et sur l’analyse des incertitudes sont demandées ; • La validation expérimentale des solutions échantillonnées proposées ; • Les stratégies échantillonnées offrent des perspectives nombreuses sur des applications diverses dans le cadre des systèmes hybrides et interconnectés, énergétique ou en réseau ; • Sur le logiciel - SimNLSys • des nouveaux modules du logiciel SimNLSys seront mis en œuvre pour de nouvelles avancées théoriques PBC, optimalité, retard, etc.) ; • l’amélioration des algorithmes symboliques en utilisant de nouvelles techniques disponibles concernant simplification des expressions. Thèse de doctorat 49 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  63. 63. Conclusions Perspectives Perspectives • Développer des critères spécifiques permettant une analyse quantitative plus fine des performances en relation avec les périodes d’échantillonnage admissibles, la rapidité de convergence, les incertitudes paramétriques ou les erreurs de quantification ; • Des études plus approfondies sur la synthèse d’observateurs et sur l’analyse des incertitudes sont demandées ; • La validation expérimentale des solutions échantillonnées proposées ; • Les stratégies échantillonnées offrent des perspectives nombreuses sur des applications diverses dans le cadre des systèmes hybrides et interconnectés, énergétique ou en réseau ; • Sur le logiciel - SimNLSys • des nouveaux modules du logiciel SimNLSys seront mis en œuvre pour de nouvelles avancées théoriques PBC, optimalité, retard, etc.) ; • l’amélioration des algorithmes symboliques en utilisant de nouvelles techniques disponibles concernant simplification des expressions. Thèse de doctorat 49 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  64. 64. Conclusions Perspectives Perspectives • Développer des critères spécifiques permettant une analyse quantitative plus fine des performances en relation avec les périodes d’échantillonnage admissibles, la rapidité de convergence, les incertitudes paramétriques ou les erreurs de quantification ; • Des études plus approfondies sur la synthèse d’observateurs et sur l’analyse des incertitudes sont demandées ; • La validation expérimentale des solutions échantillonnées proposées ; • Les stratégies échantillonnées offrent des perspectives nombreuses sur des applications diverses dans le cadre des systèmes hybrides et interconnectés, énergétique ou en réseau ; • Sur le logiciel - SimNLSys • des nouveaux modules du logiciel SimNLSys seront mis en œuvre pour de nouvelles avancées théoriques PBC, optimalité, retard, etc.) ; • l’amélioration des algorithmes symboliques en utilisant de nouvelles techniques disponibles concernant simplification des expressions. Thèse de doctorat 49 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  65. 65. Conclusions Perspectives Perspectives • Développer des critères spécifiques permettant une analyse quantitative plus fine des performances en relation avec les périodes d’échantillonnage admissibles, la rapidité de convergence, les incertitudes paramétriques ou les erreurs de quantification ; • Des études plus approfondies sur la synthèse d’observateurs et sur l’analyse des incertitudes sont demandées ; • La validation expérimentale des solutions échantillonnées proposées ; • Les stratégies échantillonnées offrent des perspectives nombreuses sur des applications diverses dans le cadre des systèmes hybrides et interconnectés, énergétique ou en réseau ; • Sur le logiciel - SimNLSys • des nouveaux modules du logiciel SimNLSys seront mis en œuvre pour de nouvelles avancées théoriques PBC, optimalité, retard, etc.) ; • l’amélioration des algorithmes symboliques en utilisant de nouvelles techniques disponibles concernant simplification des expressions. Thèse de doctorat 49 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  66. 66. Conclusions Perspectives Merçi de votre attention ! Thèse de doctorat 50 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  67. 67. Contributions CONFERENCE - WITH PEER REVIEW [C11] Tanasa V., Monaco S., Normand-Cyrot D. -Digital stabilization of finite sampled nonlinear dynamics with delays : the unicycle example, 13th European Control Conference (ECC), Zürich, July 17-19, 2013 (submitted). [C10] Monaco S., Normand-Cyrot D. and Tanasa V. - Digital stabilization of delayed-input strict-feedforward dynamics, 51th Conference on Decision and Control (CDC), Maui, Hawaii, December 10-13, 2012. [C09] Tanasa V., Monaco S., Normand-Cyrot D. - Nonlinear optimal stabilizing control under sampling, 51th Conference on Decision and Control (CDC), Maui, Hawaii, December 10-13, 2012. [C08] Hilairet M.,Tanasa V., Bethoux O., Normand-Cyrot D. -A passivity-based controller with charge estimation for coordination of converters in a fuel cell System ; experimental results. 8th PPPSC (Power Plant and Power Systems Control) symposium, Toulouse, France, September 3-5, 2012. [C07] Udrea A., Ticlea A.,Tanasa V., Flutur C. - Necessary conditions for solving the nonlinear MIMO output regulation problem, 20th Mediterranean Conference on Control and Automation, Barcelona, Spain, 2012. [C06] Tanasa V. and Normand-Cyrot D. - "Sur la gestion échantillonée de lénergie d’un système - pile à combustible-super condensateurs"- Septième Conférence Internationale Francophone d’Automatique, Grenoble, 4-7 July, France, page(s) : 727-732, 2012. [C05] Tanasa V. and Calofir V. - "A sampled-data level control of nonlinear coupled-tanks"- AQTR, May 24-27, Cluj, Romania, 2012, ISBN 978-1-4673-0703-1. [C04] Tanasa V. and Normand-Cyrot D. - Experimental digital control of a magnetic suspension. American Control Conference (ACC), Montréal, Canada, pages : 3956-3961, 2012, ISBN 978-1-4577-1094-0. [C03] Tanasa V. and Normand-Cyrot D. - "A computer aided software for nonlinear digital control", Post-proceedings of 13th International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing, Timisoara, page(s) : 52-62, 2011, ISBN 978-0-7695-4630-8. [C02] Tiefensee F. and Tanasa V. - "Digital implementation of backstepping controllers via input/Lyapunov matching", In : Proceedings of the 18th IFAC World Congress, Milano,Vol. 18, page(s) : 3421-3426, 2011, ISBN : 978-3-902661-93-7. [C01] Tanasa V. and Tiefensee F.- "Un logiciel de commande non linéaire échantillonnée", In : Proceedings of 6ème Conférence Internationale Francophone d’ Automatique, Nancy, France, 2010. JOURNAL [S1] Tanasa V., Normand-Cyrot D., Monaco S. - "Sampled-data backstepping via Lyapunov matching" , full paper, IEEE TAC (submitted). [S2] Tanasa V., Normand-Cyrot D., Popescu D. -" Quantization errors in sampled-data systems with backstepping controllers", UPB Scientific Buletin, Series A(submitted) [S3] Udrea A., Ticlea A.,Tanasa V., Flutur C. - "On the nonlinear output regulation problem - Part 1 - MIMO nonlinear systems normal forms and a discussion on the necessary conditions for solving the control problem"’, UPB Scientific Buletin, Series A, Nr. 4, 2012. Thèse de doctorat 51 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA
  68. 68. Bibliographie Barbot, J., Djemai, M., Monaco, S., and Normand-Cyrot, D. (1996). Analysis and control of nonlinear singularly perturbed systems under sampling. In Leondes, C. T., editor, Digital Control Systems Implementation and Computational Techniques, volume 79 of Control and Dynamic Systems, pages 203 – 246. Academic Press. Burlion, L., Ahmed-Ali, T., and Lamnabhi-Lagarrigue, F. (2006). On the stabilization of sampled-data non-linear systems by using backstepping on the higher order approximate models. International Journal of Control, 79 :1087 – 1095. Byrnes, C. and Lin, W. (1994). Losslessness, feedback equivalence, and the global stabilization of discrete-time nonlinear systems. Automatic Control, IEEE Transactions on, 39(1) :83 –98. Clarke, F., Ledyaev, Y., Sontag, E., and Subbotin, A. (1997). Asymptotic controllability implies feedback stabilization. Automatic Control, IEEE Transactions on, 42(10) :1394 –1407. Di Giamberardino, P., Grassini, F., Monaco, S., and Normand-Cyrot, D. (1996a). Piecewise continuous control for a car-like robot : implementation and experimental results. In Decision and Control, 1996., Proceedings of the 35th IEEE, volume 3, pages 3564 –3569 vol.3. Di Giamberardino, P., Grassini, F., Monaco, S., and Normand-Cyrot, D. (1996b). Piecewise continuous control for a car-like robot : implementation and experimental results. In Decision and Control, 1996., Proceedings of the 35th IEEE, volume 3, pages 3564 –3569 vol.3. Djemai, M., Barbot, J.-P., and Khalil, H. (1999). Digital multi-rate control for a class of nonlinear singularly perturbed systems. Int. Journal of Control, 72(10) :851–865. Franklin, G., Powell, J., and Workman, M. (1998). Digital control of dynamic systems. Addison-Wesley world student series. Addison-Wesley. Gennaro, S. D. (2002). Output attitude tracking for flexible spacecraft. Automatica, 38(10) :1719 – 1726.Thèse de doctorat 52 / 52 23 Novembre 2012 c 2012 by Valentin TANASA

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