Aulas de mecanismos ndkn,jhbc,jxh b,jcxb jab\z,jbx,as bcbcbedsb,jbewasHBXJHB,JBNKJ,WESDNBJXCB,JHSB\,JBCD JBCXJB JHDFSB,JCB,JWEDBSC,JHEBWDS,JHBCJ,HBDSJ,HBZC,JKBDWS,JB,DJHFB,CJB,FJDBCV,JHADSB,JHCBjahsb,jhcbwes,jdhb,jhbsd,jbc,j

1. Prof. M.Sc. Adry Lima.
Universidade Federal do Pará
Departamento de Engenharia Mecânica
Grupo de Vibrações e Acústica
Notas de Aula 6
Disciplina:Cinemática e Dinâmica dos
Mecanismos
Carga Horária: 90 horas

2. Cinemática de Corpos
Rígidos e Mecanismos
Análise do Movimento Relativo: Sistema de Eixos em Rotação
Este tipo de análise é útil para
sistemas em que ocorre
escorregamento em suas
articulações.
Sistema de Coordenadas Fixo: X, Y → Vetores Unitários: I, J
Sistema de Coordenadas Móvel: x, y → Vetores Unitários: i, j
Em translação e rotação Ω em relação ao sistema X, Y.
ABAB /rrr

+=
jir ˆˆ
/ BBAB yx +=

(1)
(2)

3. Cinemática de Corpos
Rígidos e Mecanismos
VELOCIDADE:
dt
d AB
AB
/r
vv


+=
)ˆˆ(/
ji
r
BB
AB
yx
dt
d
dt
d
+=

dt
d
y
dt
dy
dt
d
x
dt
dx
dt
d
B
B
B
BAB j
j
i
i
r ˆ
ˆ
ˆ
ˆ/
+++=









++





+=
dt
d
y
dt
d
x
dt
dy
dt
dx
dt
d
BB
BBAB ji
ji
r ˆˆ
ˆˆ/

(3)
(4)
Análise do Movimento Relativo: Sistema de Eixos em Rotação
ABAB /rrr

+=
dt
ABAB /rd
dt
rd
dt
rd

+=
a bxyzABv )( /

ji ˆˆ θdd = e ij ˆˆ θdd −=
Logo:
ijj
i ˆˆˆ
ˆ
×Ω=Ω==

dt
d
dt
d θ
jii
j ˆˆˆ
ˆ
×Ω=Ω−=−=

dt
d
dt
d θ
e
)ˆˆ( jiΩ BB yx +×

xyzABABAB vr )( //

+×Ω+= vv
Juntando (3) e (4):

4. Cinemática de Corpos
Rígidos e Mecanismos
Bv

Av
AB /rΩ×
xyzAB )( /v
Velocidade absoluta de B
(igual a )
Movimento de B observado
no referencial X, Y, Z
Velocidade absoluta da origem do
referencial x, y, z
(mais )
Efeito da velocidade angular causado
pela rotação do referencial x, y, z
(mais )
Movimento do
referencial x, y, z
observado no
referencial X, Y, Z
Velocidade relativa de B
em relação a A
Movimento de B observado no
referencial x, y, z
xyzABABAB vr )( //

+×Ω+= vvVELOCIDADE (Resumo):

5. Cinemática de Corpos
Rígidos e Mecanismos
Análise do Movimento Relativo: Sistema de Eixos em Rotação
ACELERAÇÃO: [ ]xyzABABA
B
vr
dt
d
dt
)( //


+×Ω+= v
vd
dt
d
dt
d
dt
d
dtdt
xyzABAB
AB
AB
)( //
/
vr
r
Ωvdvd



+×Ω+×+=
dt
d
dt
d xyzABAB
ABAB
)( //
/
vr
ΩrΩaa


+×+×+=
ABxyzAB
AB
dt
d
//
/
)( rΩv
r 

×+=jiv ˆ)(ˆ)()( /// yABxABxyzAB vv +=

Escrevendo:








++





+=
dt
d
v
dt
d
v
dt
vd
dt
vd
dt
d
yABxAB
yABxABxyzAB ji
ji
v ˆ
)(
ˆ
)(ˆ)(ˆ)()(
//
///

xyzAB )( /a

xyzAB )( /vΩ

×
( ) xyzABxyzABABABAB )()(2 //// avΩrΩΩrΩaa


+×+××+×+=

6. Cinemática de Corpos
Rígidos e Mecanismos
Análise do Movimento Relativo: Sistema de Eixos em Rotação
xyzAB )(2 /vΩ

×
Aceleração de Coriolis, sobrenome do
engenheiro francês G. C. Coriolis, que
foi o primeiro a determiná-la.
1) Esse termo representa a diferença na aceleração de B
medida
nos sistemas fixo e em rotação.
xyzAB )( /v

Ω
2) Como indicado pelo produto vetorial, a aceleração de Coriolis é
sempre perpendicular a e a .
3) A aceleração de Coriolis é um componente importante da
aceleração que deve ser considerado toda vez que referenciais em
rotação forem usados.

7. Cinemática de Corpos
Rígidos e Mecanismos
ACELERAÇÃO (Resumo):
( ) xyzABxyzABABABAB )()(2 //// avΩrΩΩrΩaa


+×+××+×+=
Ba

Aceleração absoluta de B
Movimento de B observado
no referencial X, Y, Z
Aa

AB /rΩ×
(é igual a )
Aceleração absoluta da origem
do referencial x, y, z
(mais )
Efeito da velocidade angular causado
pela rotação do referencial x, y, z
(mais )
Movimento do
referencial x, y, z
observado no
referencial X, Y, Z( )AB /rΩΩ ×× Efeito da velocidade angular causado
pela rotação do referencial x, y, z
(mais )
Aceleração
de Coriolis

8. Cinemática de Corpos
Rígidos e Mecanismos
xyzAB )( /a Aceleração relativa
de B em relação a A
Movimento de B observado
no referencial x, y, z
xyzAB )(2 /vΩ× Efeito combinado do movimento de B
relativamente ao referencial x, y, z e
da rotação do referencial x, y, z
Movimentos
em interação
ACELERAÇÃO (Resumo):
( ) xyzABxyzABABABAB )()(2 //// avΩrΩΩrΩaa


+×+××+×+=
Aceleração
de Coriolis
(mais )
(mais )

9. Cinemática de Corpos
Rígidos e Mecanismos
A barra AB mostrada na Figura gira no sentido horário com
velocidade angular de 3 rd/s e aceleração angular de 4 rd/s2
, quando
= 45ϴ o
. Determine o movimento angular da barra DE, nesse instante.
O cursor C está articulado por um pino à barra AB e desliza sobre a
barra DE.
EXERCÍCIO
xyzDCDCDC vr )( //

+×Ω+= vv
( ) xyzDCxyzDCDCDCDC )()(2 //// avΩrΩΩrΩaa


+×+××+×+=
Movimento do
Referencial Móvel
Movimento de C
em relação ao
Referencial Móvel

10. Cinemática de Corpos
Rígidos e Mecanismos
Movimento do Ponto C:
ACABC rv /

×= ω
jir AC
ˆ4,0ˆ4,0/ +=

kAB
ˆ3−=ω

)ˆ4,0ˆ4,0()ˆ3( jikvC +×−=

jivC
ˆ2,1ˆ2,1 −=

kAB
ˆ4−=α

,
e
ACABACABC rra /
2
/

ωα −×= )ˆ4,0ˆ4,0(3)ˆ4,0ˆ4,0()ˆ4( 2
jijikaC +−+×−=

jiaC
ˆ2,5ˆ2 −−=

Tomando a equação da Velocidade:
xyzDCDCDC vr )( //

+×Ω+= vv ivikji xyzDCDE
ˆ)()ˆ4,0()ˆ(0ˆ2,1ˆ2,1 /+×−+=− ω

ivjji xyzDCDE
ˆ)(ˆ4,0ˆ2,1ˆ2,1 /+−=− ω
smv xyzDC /2,1)( / =
srdDEDEDE /3
4,0
2,1
4,02,1 =∴=∴= ωωω

11. Cinemática de Corpos
Rígidos e Mecanismos
Tomando a equação de Aceleração:
( ) xyzDCxyzDCDCDCDC )()(2 //// avΩrΩΩrΩaa


+×+××+×+=
[ ]
iik
ikik
xyzDC
DE
ˆ)()ˆ2,1()ˆ3(2
)4,0()ˆ3ˆ)ˆ4,0()ˆ(0ˆˆ
/a
(-)k(-3-j5,2-i2-
+×−+
××+×+= α

ijij xyzDCDE
ˆ)(ˆ2,7ˆ6,3ˆˆˆ
/a-0,4j5,2-i2- +−−= α
2
// /6,1)(ˆ)(ˆ6,3ˆ smaii xyzDCxyzDC =∴+−= ai2-
2
/5ˆ2,7ˆˆ srdjj DEDE −=∴−= αα-0,4j5,2-