1. ANALISIS DEL COMPORTAMIENTO DE LA ACCIÓN DE ECOPETROL
POR MEDIO DEL MODELO ARCH EN LOS ÚLTIMOS 2 AÑOS
Jenny Skinner Cárdenas
Sandra Marcela Urrutia
OBJETIVO
Los valores de la acción de Ecopetrol, como de las otras acciones y otros instrumentos
financieros varían aleatoriamente en el tiempo en función del riesgo, generando
volatilidad. Lo que se busca analizar es el comportamiento de la acción de Ecopetrol a
través de las series históricas, tomando los datos mensuales de últimos dos años. Para
ello determinara un pronóstico de volatilidad dentro del marco del Modelo Arch (en el
que a diferencia de otros modelos la varianza no es constante), capturando en gran
medida la heteroscedasticidad de la serie de tiempo y permitiendo detectar cambios en
la volatilidad de acuerdo a los patrones preestablecidos en el historial de la serie
MODELO ARCH
Definición: Los modelos ARCH (Autoregresive Conditionally Heteroscedastic), fueron
diseñados para modelar la volatilidad, es decir los momentos donde la varianza de
predicción puede cambiar en el tiempo (varianza condicional), y resultan apropiados
cuando los residuos de las estimaciones presentan heterocedasticidad.
Uso más frecuentes:
● Son muy utilizados por los analistas de series de tiempo y administradores de
riesgos.
● El pronóstico de la volatilidad captura en gran medida la heteroscedasticidad de
la serie de tiempo.
● Relajan el supuesto de la volatilidad constante y permiten detectar cambios en
la volatilidad de acuerdo con patrones preestablecidos en el historial de la serie.
Origen: Robert F. Engle, propuso en 1982 el modelo ARCH, que significa modelo auto
regresivo condicionalmente heterocedástico, el cual hace parte de la familia de
modelos adecuados para modelar la volatilidad de una serie.
Reseña: Robert F. Engle nació en 1942, economista estadounidense de la
Universidad de California en San Diego. Se graduó en ciencias físicas en el
2. Williams College en 1964 y en la Cornell University en 1966. Se doctoró en
Economía en Cornell en 1969. Ha sido profesor en el Massachusetts Institute of
Technology (1969-1977) y en la Universidad de Californa en San Diego hasta la
actualidad.
Dentro de sus principales logros se encuentra la obtención del Premio Nobel de
Economía en el año 2003, compartido con Clive W.J. Granger, por haber
desarrollado "métodos de analizar las series temporales con volatilidad variante
en el tiempo (ARCH)".
Engle cita tres situaciones que motivan y justifican la modelización de la
heterocedasticidad condicional Autorregresiva:
1. La experiencia empírica nos lleva a contrastar períodos de amplia varianza de
error seguidos de otros de varianza más pequeña
2. los agentes económicos deciden esta cuestión en función de la información
proveniente del pasado respecto al valor medio de su rentabilidad y la volatilidad
que ésta ha tenido.
3. El modelo de regresión ARCH puede ser una aproximación a un sistema más
complejo en el que no hubiera factores innovación con heterocedasticidad
condicional
El punto clave del modelo: considerar la información pasada de la variable y su
volatilidad observada como factor altamente explicativo de su comportamiento presente
y, por extensión lógica, de su futuro predecible
Debilidades del Modelo:
1. Trata de la misma manera los cambios positivos y negativos, ya que dependen de
los cuadrados de los cambios previos.
2. Este modelo a menudo sobre – predice la volatilidad, debido a que responde
lentamente a grandes shocks aislados que cambian la serie.
3. No provee nada nuevo para la comprensión de las series temporales financieras
(solo de forma mecánica para describir el comportamiento de la varianza condicional).
4. Es demasiado restrictivo
3. Formulación del Modelo:
Considérese un modelo autorregresivo de orden uno AR(1):
rt = a0 + a1rt-1 +Ԑt
rt = Variable explicada por la misma variable desfasada en un periodo.
Ԑt = Error aleatorio (Ruido blanco, denominado homoscedástico, es decir varianza
constante), se comporta de acuerdo con una distribución normal de media cero y
varianza σ2.
PASOS PARA AJUSTAR UNA SERIE DE TIEMPO DE VOLATILIDAD A UN
MODELO ARCH
Para mostrar el procedimiento de ajustar una serie de tiempo por el modelo ARCH, se
tomaron los datos históricos de la cotización de la acción de Ecopetrol y el IGBC
durante el periodo de Abril de 2010 a Abril de 2011, y en la cual se obtuvieron los
siguientes resultados.
1. Graficar la serie de tiempo e identificar ciclos, tendencias y factores estacionales
deterministas:
Grafica No. 1. Cotización Acción de Ecopetrol 2010 - 2011
Fuente: Realizado por autores (base de datos de la Bolsa de Valores de Colombia).
4. En la grafica podemos ver la tendencia creciente y los diferentes ciclos que presento la
acción de Ecopetrol durante el periodo de Abril de 2010 y Abril de 2011, y en la que se
puede destacar la volatilidad de la acción en el mercado.
2. Mediante una regresión por mínimos cuadrados, determinar el modelo de dichas
tendencias deterministas.
Por el programa econométrico de Statgraphics se realiza primero una regresión
Lineal, tomando como variable independiente la acción de Ecopetrol y variable
Dependiente el IGBC.
La salida muestra los resultados del ajuste al modelo lineal para describir la relación
entre COTIZACIÓN IGBC y COTIZACIÓN ECOPETROL: La ecuación del modelo
ajustado es:
COTIZACIÓN IGBC = 2232,65 + 3,27089*COTIZACIÓN ECOPETROL
Coeficiente de Correlación 0,935875
R-cuadrado 87,5861 porcentaje
R-cuadrado (ajustado para g.l.) 87,5642 porcentaje
Error estándar de est. 862,286
Error absoluto medio 740,356
Estadístico de Durbin-Watson 0,0164908 (P=0,0000)
Autocorrelación residual en Lag 1 0,989879
Con base a la información anterior, se puede destacar que el coeficiente de correlación
corresponde a un 93.58%, lo que indica que la acción de Ecopetrol explica en cierta
manera el comportamiento de el IGBC, y que además cuenta con un R- cuadrado
ajustado de 87.56% lo que es significativo para la explicación de este índice.
Por otro lado para determinar los mínimos cuadrados deterministicos de este modelo,
en Statgraphics: Opción Avanzado – Análisis series temporales y Métodos
Descriptivos.
5. Después le damos Datos Cotización Ecopetrol, lo ponemos en días y le damos
aceptar.
Y obtenemos como resultado:
Análisis de Regresión - Modelo Lineal Y = a + b*X
Variable dependiente: COTIZACIÓN IGBC
Variable independiente: COTIZACIÓN ECOPETROL
Error Estadístico
Parámetro Estimación estándar T P-Valor
Ordenada 2232,65 157,147 14,2074 0,0000
Pendiente 3,27089 0,05176 63,1934 0,0000
6. Análisis de la Varianza
Fuente Suma de GL Cuadrado Medio Coeficiente-F P-Valor
cuadrados
Modelo 2,96925E9 1 2,96925E9 3993,41 0,0000
Residuo 4,20842E8 566 743537,0
Podemos encontrar en los datos arrojados por este programa que las variables
tomadas tienen un P- Valor significativo, lo que indica que el comportamiento en este
caso de la acción de Ecopetrol explica de cierta manera y con una alta dependencia el
IGBC. Y Podemos Observar en la siguiente correlograma la aplicación del LOG en la
acción de Ecopetrol, la cual tiene a estabilizarse bajo este método.
3. Observar el correlograma de la serie de tiempo original y decidir si es necesario
aplicar una o dos diferencias a la seria para hacer estacionaria.
En la siguiente grafica podemos apreciar los operadores diferenciales K1 y K2
aplicados a los datos históricos de la acción de Ecopetrol y en la que nos podemos dar
cuenta que en un K2, la serie tiende a presentar una mayor volatilidad, mientras que
aplicando un K1 la serie tiene a estar más estandarizada, pero no por completo, debido
a la constante volatilidad del precio de la acción.
7. Grafica No. 2. Método de diferenciación para la Acción de Ecopetrol 2010 - 2011
Fuente: Realizado por autores a través de Excel (base de datos de la Bolsa de Valores de Colombia).
8. 4. Ajustar un modelo ARMA o ARIMA (si se trabajo con la seria diferenciada).
Observando el correlograma es factible determinar el grado del proceso ARMA, pero
deben elegirse solamente aquellos parámetros que sean estadísticamente distintos de
cero, aplicando pruebas de hipótesis con 95% de confianza.
Modelo ARMA 2,1, se halla de la siguiente manera en Statgraphics. Opción Avanzado
– Anlisis series temporales – Predicción Automática
Posteriormente, le damos Datos cotización de Ecopetrol, en Day Week, pronosticar
100 periodos, transformar LOG (Ecopetrol) y Aceptar en las dos ventanas.
9. Le damos click derecho, opción avanzada- ARMA (modelo de Orden Máximo 1 y
Aceptar.
Y nos arroga como resultado.
Gráfico de Secuencia de tiempo para LOG(Ecopetrol)
Recorrido aleatorio
8,6
LOG(Ecopetrol)
actual
predicción
8,4
95,0% límites
8,2
8
7,8
31/12/49 10/04/50 19/07/50 27/10/50 04/02/51
Como podemos observar en esta grafica, la volatilidad se presenta en los datos
históricos y al aplicar un diferencial 1, la serie tiende en las predicciones a ser estable,
es decir va a tener una volatilidad muy pequeña o va a permanecer constante durante
los siguiente 100 periodos, o días analizados.
Modelo ARIMA: 2.1.2
Recordemos que AR (P Autorregresivo), I (Periodos de diferencia) y MA ( Media
Móvil. Entonces para obtenerlo por Statgraphics le damos la opción Avanzado –
Análisis de series temporales – Predicción y como se hizo anteriormente con ARMA se
le dan las mismas opciones aceptar.
10. Obteniendo lo resultado de la predicción , damos Click izquierdo Opción avanzada y le
damos ARIMA: AR (2) MA(2) Orden diferencia (1) y Aceptar.
11. Y en la que tenemos como resultado que los datos históricos actuales muestran una
tendencia creciente pero cíclica, y con la que este ARIMA y un 95% del nivel de
confianza se puede determinar una predicción creciente constante durante los
siguiente 100 periodos (es decir días), pues se puede decir así que este ARIMA
estabiliza la serie en las predicciones y de ser así la acción de Ecopetrol mostrara un
crecimiento constante durante los siguientes periodos
Gráfico de Secuencia de tiempo para LOG(Ecopetrol)
ARIMA(2,1,2) con constante
8,8
LOG(Ecopetrol)
actual
8,6 predicción
95,0% límites
8,4
8,2
8
7,8
31/12/49 10/04/50 19/07/50 27/10/50 04/02/51
Además en el Correlograma que nos da el programa Statgraphics, podemos verificar
que el ARIMA (2, 1, 2), estabiliza la serie y el comportamiento de la acción de
Ecopetrol, por lo cual se vuelve homocedastica la serie y no es necesario aplicar un
Modelo ARCH, para solucionar las predicciones de los siguientes periodos.
Autocorrelaciones Residuales para ajustado LOG(Ecopetrol)
ARIMA(2,1,2) con constante
1
Autocorrelaciones
0,6
0,2
-0,2
-0,6
-1
0 5 10 15 20 25
Retardo
12. Resultado ARIMA: 1, 2, 1
Aplicando como anteriormente se menciono un ARIMA de (1, 2, 1), se puede notar
igual que en el anterior ARIMA los ciclos y el comportamiento que ha venido teniendo
la acción de Ecopetrol entre el periodo de 2010 a 2011 y con un límite de confianza del
95%, la predicción del comportamiento de esta acción durante los siguientes 100
periodos (días), y en la cual se ve una tendencia decreciente y en la que se puede
observar la heterocedasticidad de la acción por la forma tan rápida que baja la acción y
en la cual es necesario analizarla desde el punto de vista del modelo ARCH, para
determinar las posibles soluciones para estabilizar la serie.
Gráfico de Secuencia de tiempo para LOG(Ecopetrol)
ARIMA(1,2,1) con constante
8,6
LOG(Ecopetrol)
actual
8,4 predicción
95,0% límites
8,2
8
7,8
7,6
31/12/49 10/04/50 19/07/50 27/10/50 04/02/51
Resultado ARIMA: 2, 2, 2.
Al igual que el ARIMA (1, 2, 1), se puede observar el grado de heterocedasticidad que
arroja este modelo y en la que se puede destacar que es el (periodo de diferencia) ,
que es el que hace que la acción se comporte así durante los siguiente periodos, y en
la cual se aplica un modelo de estabilización de la serie para que no presente ciclos
fuertes que puedan alterar el rendimiento de la acción y en el cual podemos volver la
serie homocedastica en un periodo posterior.
Gráfico de Secuencia de tiempo para LOG(Ecopetrol)
ARIMA(2,2,2) con constante
8,6
LOG(Ecopetrol)
actual
8,4 predicción
95,0% límites
8,2
8
7,8
7,6
31/12/49 10/04/50 19/07/50 27/10/50 04/02/51
13. Resultados de la acción de Ecopetrol en el modelo ARCH, sacado en Eviews
Por otro lado podemos determinar con otro programa econométrico como lo es el
Eviews, el Modelo ARCH y sus resultados, como se observa en la siguiente tabla
arrojada por el programa, y en la que se puede determinar por la probabilidad que es
de 96,31%, el grado de dependencia del IGBC con base a la acción de Ecopetrol es
relativamente alto y cualquier heteroscedasticidad o grandes volatilidades en esta
acción puede ocasionar grandes cambios en el comportamiento del IGBC, por lo cual
se debe tratar de volver la serie Homoscedastica, como anteriormente se realizó por
medio del ARIMA, para que tanto la acción como el índice presenten una volatilidad
medianamente constante, del tal forma que si se realiza una proyección, se tomen
datos pasados y se pueda proyectar la volatilidad como ≠ 0; para lograr una estimación
más acertada.
5. Una vez que se cuenta con el modelo ARIMA o ARMA, debe realizarse una prueba
que determine la existencia de heterocedasticidad.
Gráfico del Modelo Ajustado
COTIZACIÓN IGBC
17400
15400
13400
11400
9400
7400
1900400
2 2900400
3 3900
4400900
4
COTIZACIÓN ECOPETROL
14. Por medio de la regresión lineal (residuales al cuadrado), se determinó con el método
gráfico, la existencia o inexistencia del heteroscedasticidad para las acciones de
Ecopetrol como variable independiente y las del IGBVC como variable dependiente.
Los resultados fueron los siguientes: Se determina una relación positiva entre la acción
y el índice, lo que demuestra que la acción de Ecopetrol tiene mucho peso dentro del
índice. En cuanto al hallazgo de la heteroscedasticidad, se puede afirmar que se
presenta una Heteroscedasticidad baja y por ello no se hace estrictamente necesario
ajustar un modelo ARCH para este caso. Aun así, se aplicó el modelo y se pudo lograr
unas proyecciones más exactas (puesto que incluye la volatilidad proyectada)
CONCLUSIONES
Ya que los valores de los activos financieros, en este caso las acciones, varían
aleatoriamente en el tiempo en función del riesgo, su volatilidad hace que
existan periodos turbulentos, con grandes y rápidos, seguidos por otros períodos
de calma con pocas fluctuaciones. Los métodos estadísticos tradicionales
suponían una volatilidad constante. La propuesta de Robert Engle fue una gran
innovación. Con su concepto de la heterocedasticidad autoregresiva
condicional (autoregressive conditional heteroskedasticity ARCH) describió las
propiedades de muchas series temporales y desarrolló métodos para hacer
modelos de las variaciones de volatilidad a lo largo del tiempo.
Ya que el modelo supone que si existe heteroscedasticidad, entonces las
variables de deben ajustar con un modelo ARCH o Garch cuidando que en todo
momentos los coeficientes tanto del modelo ARIMA como del ARC o GARCH
sean estadísticamente distintos a cero, aplicando pruebas de hipótesis con 95%
de confianza.
En este caso, y ante la baja existencia de heteroscedasticidad, es decir, la
presencia de una varianza con un comportamiento medianamente constante
para la acción de Ecopetrol, no se hace imprescindible el uso del Modelo ARCH.
Sin embargo se realizaron varias muestras y posibles combinaciones con ARMA
y ARIMA y se pudieron identificar diversas proyecciones del comportamiento
futuro de la acción.
Con el ARIMA de (1, 2, 1) y el (2, 2, 2), se determinó una tendencia proyectada
decreciente y en la que se puede observar la heterocedasticidad de la acción por
la forma tan rápida que baja la acción. También se destaca que al cambiar el
periodo diferencial (I) = 2, la proyección del comportamiento de la acción se
vuelve decreciente. Es por ello que se aplica un modelo de estabilización de la
serie para que no presente ciclos fuertes que puedan alterar el rendimiento de la
acción y en el cual podemos volver la serie homoscedastica en un periodo
posterior.
