Razão e proporção: conceitos e exemplos

Etapa Pré Vestibular – Matemática Prof. Marconio Nóbrega
RAZÃO E PROPORÇÃO
2
Coordenador Regional: Walter Alencar de Sousa
maranhaoprofissionaluresjp.blogspot.com

RAZÃO
Denomina-se razão de dois números, dados numa certa
ordem e sendo o segundo diferente de zero, ao quociente
do primeiro pelo segundo.
Assim, a razão entre os números a e b pode ser dita “razão
de a para b” e representada como:
푎
푏
표푢 푎 ÷ 푏
3

PROPORÇÃO:
É a expressão que indica uma igualdade entre duas ou
mais razões.
푎
푏
=
푐
푑
=
푒
푓
= ⋯ = 퐾
PROPRIEDADES DA PROPORÇÃO:
Dada a proporção
푎
푏
=
푐
푑
, temos:
4

PROPRIEDADES DA PROPORÇÃO:
Dada a proporção
푎
푏
=
푐
푑
, temos:
5

GRANDEZAS PROPORCIONAIS:
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS:
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais
quando ao aumentarmos o valor de uma delas um certo
número de vezes, o respectivo valor da outra grandeza
igualmente aumenta o mesmo número de vezes. Quando
diminuímos o valor de uma delas, proporcionalmente o
respectivo valor da outra também diminui.
Ex.: Velocidade e Distância.
6

REPRESENTAÇÃO:
A grandeza x é diretamente proporcional a grandeza
y.
푥
푦
7

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS:
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando
ao aumentarmos o valor de uma delas um certo número de
vezes, o respectivo valor da outra grandeza diminui o
mesmo número de vezes. Quando diminuímos o valor de
uma delas, proporcionalmente o respectivo valor da outra
aumenta.
Ex. Velocidade e tempo.
8

REPRESENTAÇÃO:
A grandeza x é inversamente proporcional a
grandeza y.
풙
풙
풚
= 풙 ∙ 풚
9

DIVISÃO PROPORCIONAL
EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS:
Exemplo: Dividir o número 720 em partes diretamente
proporcionais aos números 3, 4 e 5.
10

EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS:
Ex: Dividir o número 360 em partes inversamente
proporcionais aos números 3, 4 e 12.
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DIVISÃO COMPOSTA MISTA
Chamamos de divisão composta mista à divisão de um
número em partes que devem ser diretamente
proporcionais aos valores de uma sucessão dada e
inversamente proporcionais aos valores de uma outra
sucessão dada.
12

Ex: Dividir o número 690 em três partes que devem ser
diretamente proporcionais aos números 1, 2 e 3 e
inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4,
respectivamente.
13

1) Um biólogo mediu a altura de cinco arvores distintas e
representou-as em uma mesma malha quadriculada,
utilizando escalas diferentes, conforme indicações na figura a
seguir.
Qual e a arvore que apresenta a maior altura real?
a) I b) II c) III d) IV e) V
14

2) A resistência mecânica S do uma viga de madeira, em forma de um
paralelepípedo retângulo, e diretamente proporcional a largura (b) e
ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao
quadrado da distancia entre os suportes da viga, que coincide com o
seu comprimento (x), conforme ilustra a figura. A constante de
proporcionalidade k e chamada de resistência da viga.
A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é
a) 푆 =
푘∙푏∙푑
푥2 b) 푆 =
푘∙푏∙푑2
푥2 c) 푆 =
푘∙푏∙푑2
푥
d) 푆 =
푘∙푏2∙푑
푥
e) 푆 =
푘∙푏∙2푑
2푥
15

Etapa Pré Vestibular - Matemática
3) Uma mãe recorreu a bula para verificar a dosagem de um remédio
que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte
dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas. Se
a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada
8 horas, então a massa corporal dele é de
a) 12 kg.
b) 16 kg.
c) 24 kg.
d) 36 kg.
e) 75 kg.
16

4) O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão
ainda sem resposta: Qual e o limite do corpo humano? O maratonista
original, o grego da lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42
quilômetros. O americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planícies
da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75 horas. Um professor
de Educação Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do
maratonista americano, desenhou na lousa uma pista reta de 60
centímetros, que representaria o percurso referido
Disponível em: http://veja.abril.com.br.Acesso em 25 jun. 2011 (adaptado)
Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual
seria a escala entre a pista feita pelo professor e a percorrida pelo atleta?
a) 1:700 b) 1:7 000
c) 1:70 000 d) 1:700 000
e) 1:7 000 000
17

6) O conceito de simetria surgiu na Grécia antiga, como uma
tentativa de explicar a beleza por bases racionais. Os gregos não
eram dados a muita subjetividade − eles gostavam de achar que
havia lógica por trás de tudo. Por isso, conceberam a ideia de
proporção áurea, uma relação matemática segundo a qual a divisão
da medida da maior parte pela menor parte de um segmento
(dividido em duas partes) é igual à divisão do segmento inteiro pela
parte maior. E procuravam essa proporção mágica em tudo,
inclusive em seres humanos.
Revista Superinteressante, nov. 2003 (adaptado).
Considere um segmento de reta AB, dividido em duas partes, a e b,
com b < a. De acordo com a descrição acima, a proporção áurea se
verificaria para a igualdade:
a)
푏
푎
=
푎+푏
푎−푏
b)
푏
푎
=
푎+푏
푏
c)
푎
푏
=
푎−푏
푎
d)
푎
푏
=
푎+푏
푎−푏
e)
푎
푏
=
푎+푏
푎
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7) Uma firma vence uma concorrência para a construção de uma
escola em uma comunidade. O encarregado pela realização da obra
tem os seguintes dados: 15 pessoas, trabalhando 8 horas por dia,
levariam 20 dias para realizarem a tarefa. Pensando no desgaste físico
dos trabalhadores, o encarregado resolve contratar mais 5
trabalhadores e diminuir a jornada de trabalho para 6 horas por dia. O
número de dias para a realização da obra, supondo que os
trabalhadores têm a mesma capacidade, é:
a) 24.
b) 20.
c) 18.
d) 15.
e) 12.
19

8) Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura
apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras
estão reservadas e as claras não foram vendidas.
A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor
3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é
a) 17/70 b) 17/53 c) 53/70 d) 53/17 e) 70/17
20

9) Para se construir um contrapiso, é comum, na constituição do
concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1
parte de cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para
construir o contrapiso de uma garagem, uma construtora
encomendou um caminhão betoneira com 14 m3 de concreto.
Qual é o volume de cimento, em m3, na carga de concreto trazido
pela betoneira?
a) 1,75
b) 2,00
c) 2,33
d) 4,00
e) 8,00
21

10) Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras é o
excesso de carga transportada pelos caminhões. Dimensionado para o
tráfego dentro dos limites legais de carga, o piso das estradas se deteriora
com o peso excessivo dos caminhões. Além disso, o excesso de carga
interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da suspensão
do veículo, causas frequentes de acidentes.
Ciente dessa responsabilidade e com base na experiência adquirida com
pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar no
máximo 1 500 telhas ou 1 200 tijolos.
Considerando esse caminhão carregado com 900 telhas, quantos tijolos,
no máximo, podem ser acrescentados à carga de modo a não ultrapassar a
carga máxima do caminhão?
a) 300 tijolos b) 360 tijolos c) 400 tijolos
d) 480 tijolos e) 600 tijolos
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