[1] O documento descreve os elementos e propriedades de pirâmides e esferas, incluindo definições, classificações, fórmulas para volume e área. [2] Também apresenta exemplos numéricos sobre volumes de esferas representando quantidades de água doce e problemas envolvendo pirâmides e esferas.
2. ETAPA PRÉ-VESTIBULAR
PIRÂMIDE
Definição: Seja α um plano, R uma região poligonal em α e V um ponto não
pertencente a α. Chama-se pirâmide à reunião de todos os segmentos com uma
das extremidades num ponto de R e a outra no ponto V.
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3. ETAPA PRÉ-VESTIBULAR
Elementos de uma pirâmide:
Vértice: é o ponto V.
Base: é o polígono ABCDE
Arestas da base: são os lados da base: AB, BC, ...
Arestas laterais: VA, VB, ...VE
Faces laterais: são os triângulos VAB, VBC, ...
Altura: é a distância do vértice ao plano da base.
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4. ETAPA PRÉ-VESTIBULAR
CLASSIFICAÇÃO:
Pirâmide triangular ou tetraedro: a base é um triângulo.
Pirâmide quadrangular: a base é um quadrilátero.
Pirâmide pentagonal: a base é um pentágono e assim por diante.
Se a base é um polígono regular, e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano
da base for o centro desse polígono, a pirâmide é uma pirâmide regular.
Numa pirâmide regular, as faces laterais são triângulos isósceles congruentes.
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5. ETAPA PRÉ-VESTIBULAR
A altura de uma face lateral de uma pirâmide regular em relação ao lado da base
chama-se apótema da pirâmide.
VO = altura (h)
OM = apótema da base (n)
VM = apótema da pirâmide (m)
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6. ETAPA PRÉ-VESTIBULAR
VOLUME DE UMA PIRÂMIDE:
Em uma pirâmide cuja área da base é B e a altura é h, o volume é:
SECÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE:
Chama-se secção transversal de uma pirâmide à interseção da pirâmide com um plano
paralelo à base. Sendo h a altura da pirâmide V(ABCD) e d a distância da secção transversal
ao vértice V da pirâmide, temos:
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7. ETAPA PRÉ-VESTIBULAR
TRONCO DE PIRÂMIDE
A secção transversal de uma pirâmide a divide em dois outros sólidos. O que contém o
vértice é uma nova pirâmide. O que contém a base é um sólido que chamaremos de
tronco de pirâmide.
Base maior: é a base da pirâmide
original Representaremos sua área
por B.
Base menor: é a secção transversal.
Sua área será representada por b.
Altura do tronco: é a distância entre
os planos das bases (h).
O volume do tronco de cone é:
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8. ETAPA PRÉ-VESTIBULAR
ESFERA:
VOLUME DA ESFERA:
O volume de uma esfera de raio R é:
ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA:
A área da superfície esférica de raio R é:
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10. ETAPA PRÉ-VESTIBULAR
2) Se pudéssemos reunir em esferas toda a água do planeta, os diâmetros delas seriam:
A razão entre o volume da esfera que corresponde à água doce superficial e o volume da esfera que
corresponde à água doce do planeta é
a) 1/343 b) 1/49 c) 1/7 d) 29/136 e) 136/203
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12. ETAPA PRÉ-VESTIBULAR
4) Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r,
raio de base r e espessura desprezível, como na figura abaixo.
Nessas condições, a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o
volume das esferas é
a) 1/5.
b) 1/4.
c) 1/3.
d) 1/2.
e) 2/3.
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13. ETAPA PRÉ-VESTIBULAR
5) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com
19cm de altura e 6cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma
altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —,
espaçados de 1cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base
inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco,
unindo-os, conforme a figura.
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior,
que tem 1,5cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a
gastar aproximadamente com parafina para fabricar uma vela?
a) 156,4 cm3. b) 224,4 cm3. c) 192,6 cm3. d) 216,5 cm3. e) 540cm3.
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