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Lencodeur est double; il consiste en un encodeur de source et en un encodeur de canal. Lencodeur desource comprend trois é...
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Le code une fois créé, une table définit simplement lencodeur comme le décodeur.On remarquera que la construction du code ...
Le procédé a toutefois des limites : lemploi dun caractère de fin ( ici m4) limitant le message et laprécision des calculs...
Ceci permet donc la décomposition de limage en m images binaires.Il y a toutefois un inconvénient à la méthode : si un lég...
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D226 chapitre 6

  1. 1. Notions sur la compression des images dernière modification : 25 mars 2000Les encyclopédies les plus complètes comportent environ 25 000 pages contenant du texte et desimages . On peut considérer chaque page comme une image qui, numérisée à 300 dpi, occupe un volumede 1 Mo. Au total, la numérisation de louvrage conduit à 25 Go. Il est clair que ce volume estimpossible à stocker sur des supports actuels à accès convenable. Il faut donc effectuer une"compression" des données afin den réduire le volume .1 - GénéralitésUne information I codée en binaire peut lêtre de diverses manières : description I1 ( n1 bits),description I2( n2 bits), description I3 (n3 bits), ...... Parmi toutes ces descriptions "équivalentes", il yen a une qui est moins volumineuse que les autres .Par rapport à celle-ci, les autres descriptionscontiennent des données redondantes . Imaginons deux descriptions I1 et I2, respectivement de n1bits et de n2 bits. On définit les caractéristiques suivantes : q rapport de compression de I1 par rapport à I2 : C=n1/n2 q redondance relative de I1 par rapport à I2 : R=1-1/C s Si n1 = n2, alors C = 1 et R = 0 ; la description I1 ne contient pas de données redondantes par rapport à la description I2. s Si n2 << n1, alors C tend vers linfini et R --> 1 ; la description I1 contient une forte redondance par rapport à la description I2. s Si n1 << n2, alors C --> 0 et R tend vers linfini ; la description I2 contient une forte redondance par rapport à la description I1 .Il existe trois types de redondance que nous allons examiner ci-dessous : la redondance de codage, laredondance interpixel, la redondance psychovisuelle.1.1 - Redondance de codageSoit une image à niveaux de gris numérotés de 0 à N-1 . On désigne par nk le nombre de pixels
  2. 2. possédant le niveau k et par n le nombre total de pixels. Compte tenu du grand nombre de pixels, ondéfinira la probabilité pour quun pixel possède le niveau k par p(k)=nk/n k = 0, 1, 2, ..........N-1On effectue le codage de chaque niveau k par un nombre binaire de longueur l(k). La longueur moyennedu codage dun pixel est doncLa valeur de < l > influe nécessairement sur le volume de la description.exemple : soit 8 niveaux de gris notés de 0 à 7 . Admettons que nous ayons les probabilités suivantes :p(0) = 0,19 p(1) = 0,25 p(2) = 0,21 p(3) = 0,16 p(4) = 0,08 p(5) = 0,06 p(6) = 0,03 p(7)= 0,02a) effectuons un premier codage I1 : simple codage en binaire de longueur fixe 3 : < l > = 3 k code 1 l(k) 0 000 3 1 001 3 2 010 3 3 011 3 4 100 3 5 101 3 6 110 3 7 111 3b) effectuons un second codage I2 ( de longueur variable) : < l > = 2,7 k code 2 l(k) 0 11 2 1 01 2 2 10 2 3 001 3 4 0001 4 5 00001 5 6 000001 6
  3. 3. 7 000000 6Le rapport de compression et la redondance relative de I1 par rapport à I2 sont C = 3/2.7 = 1,11R = 0,099On notera que dans le 2ème codage, les mots courts correspondent aux niveaux les plus fréquentstandis que les mots longs correspondent aux niveaux les plus rares .1.2 - Redondance interpixelLa redondance interpixel porte sur le constat suivant : bien souvent, le niveau dun pixel peut êtreprédit à partir des niveaux des pixels environnants. Pour " mesurer " cette redondance, on calcule descoefficients dautocorrélation entre des pixels distants de Dn ; par exemple, le long dune ligne onposeraoù n est le nombre de pixels dune ligne, x et y les coordonnées dun pixel et I(x,y) le niveau de gris oude couleur du pixel. En général, les valeurs de g pour les faibles valeurs de Dn indiquent une fortecorrélation impliquant que linformation portée par un pixel particulier peut être souvent prédite parlinformation portée par les pixels voisins. .1.3 - Redondance psychovisuelleLoeil humain perçoit une image de manière particulière; il sait reconnaître des détails qui portent plusdinformation que dautres. Par suite, on peut éliminer les détails qui ont très peu dimportance sansdégrader de manière significative la qualité de limage; cette opération est une quantification (opération irréversible).La codification IGS (Improved Gray Scale) est une méthode de codage permettant de prendre encompte le préoccupations développées ci-dessus. Supposons que lon ait une image originale à 256niveaux de gris. On peut réduire le volume de limage en codant sur 16 niveaux par des méthodesdéveloppées au chapitre sur le traitement dimage; malheureusement ces méthodes appliquéesbrutalement font apparaître des effets quelquefois inesthétiques ou purement artificiels (passagesbrusques dun niveau de gris à un autre, faux contours notamment). La codification IGS est un moyendadoucir le procédé. Le principe est le suivant : le codage à 256 niveaux seffectue sur 8 bitsséparables en poids forts (4 bits) et poids faibles (4 bits); pour des pixels successifs, le codage IGS à16 niveaux (donc sur 4 bits) sobtient en tenant compte du codage sur 8 bits des pixels précédents eten ne retenant que les bits de poids forts. La figure ci-dessous donne lalgorithme préciscorrespondant.
  4. 4. 1.4 - Critères de confianceEtant donné une image originale dont le niveau dun pixel (x,y) est noté I(x,y) et une image compresséepuis décompressée dont le niveau dun pixel (x,y) est noté I(x,y), on peut définir deux types decritères permettant de juger la qualité de la compression: q des critères objectifs, basés sur le calcul de lerreur quadratique moyenne e et du rapport signal/bruit r : où limage est prise ici de dimension MxN. q des critères subjectifs qui peuvent se résumer à une échelle dappréciation effectuée par un échantillon dusagers : 1 = excellent 2 = bien 3 = passable 4 = limite 5 = mauvais 6=inutilisable1.5 - Modélisation de la compression dimageUn système de compression comporte un encodeur à une extrémité du processus (source)et undécodeur à lautre extrémité du processus (utilisation). Entre le codage de linformation source et ledécodage pour utilisation existe un canal qui est la cause principale de lopération de compression; parexemple, le canal pourra être un réseau de transmission de données ou tout simplement un dispositifde stockage. La figure ci-dessous précise la chaîne dopérations relatives à lacompression/décompression dinformations.
  5. 5. Lencodeur est double; il consiste en un encodeur de source et en un encodeur de canal. Lencodeur desource comprend trois étages : q le mapping qui effectue la transformation des données dans un format permettant de réduire les redondances interpixels q la quantification qui réduit les redondances psychovisuelles q le codage qui réduit précisément les redondances de .....codage.De ces trois opérations, seule la quantification est une opération irréversible ( puisque des donnéessont abandonnées).Lencodeur de canal est nécessaire quand le canal est " bruiteux "; il sagit alors de coder les donnéesdans un format permettant de réduire au maximum les erreurs dûes au passage de linformation dansle canal, cest à dire daccroître limmunité au bruit ; pour les canaux du type réseau de transmissionde données les codes de Hamming sont les plus connus et les plus utilisés; ils permettent de détecterles erreurs et de les auto-corriger.A lautre extrémité de la chaîne, on trouve tout dabord le décodeur de canal qui effectue lopérationinverse de lencodeur de canal, puis le décodeur de source qui ne se compose que de deux étages q le décodage qui rétablit les redondances de codage q le mapping inverse qui rétablit les redondances interpixelLa quantification inverse évidemment na pas de sens, puisque lopération directe est irréversible.Les systèmes de compression utilisés réellement ne comportent pas nécessairement tous les blocsfonctionnels de la figure précédente. On peut dailleurs distinguer 2 catégories de systèmes decompression q Si I(x,y) = I(x,y), le système de compression est idéal ; il correspond à la compression sans pertes appelée quelquefois compactage. q Si I(x,y) <> I(x,y), le système de compression admet une distorsion; il correspond à la compression avec pertes.
  6. 6. 2 - Compression sans pertes ou compactageCertaines applications nécessitent une compression sans perte dinformation (domaine médical). Dansce cas, lopération de quantification ninterviendra pas et seules les opérations réversibles de mappinget de codage seront utilisées.Plusieurs méthodes sont employées parmi lesquelles le codage à longueur variable, le codage en plans debits et le codage prédictif.2.1 - Codage à longueur variable.La philosophie de base de cette méthode est la réduction de la redondance de codage par affectationde codes " longs " pour les items rares et de codes " courts " pour les items fréquents.Le codage de Huffman est un code appartenant à la famille des codages à longueur variable. Sonprincipe réside en trois étapes : q 1ère étape : les symboles de linformation à coder sont comptabilisés puis classés par ordre de probabilité décroissante. q 2ème étape : on effectue des réductions de source en sommant les deux probabilités les plus basses ce qui donne la probabilité dun symbole " composé "; les autres probabilités restant inchangées, on réordonne la liste ans lordre des probabilités décroissantes. On continue ainsi de manière dichotomique jusquà obtenir 2 seules probabilités. q 3ème étape : on procède au codage en faisant en sens inverse le cheminement précédent.La figure ci-dessous indique les trois étapes sur un exemple simple.
  7. 7. Le code une fois créé, une table définit simplement lencodeur comme le décodeur.On remarquera que la construction du code de Huffman peut être laborieuse : 256 niveaux de griscorrespondent à 254 réductions de source, puis à 254 définitions de codes. On est alors amené à fairesur la méthode précédente un certain nombre de modifications simplificatrices : q code de Huffman tronqué : les m symboles les plus fréquents sont codés avec la méthode Huffman; pour les autres symboles, on utilise un codage constitué dun préfixe ( par exemple 10) suivi dun numéro binaire à partir de 0. q B-code : ce code est constitué de bits appelés bits de continuation ( notés ici C) et de p bits dinformation (p fixé) représentant un numéro binaire. Tous les p bits, on aura évidemment un groupe C mais quand on change de symbole les bits de C changent. La figure ci-dessous indique, pour lexemple déjà traité , le code résultant. q séparation en blocs : les symboles sont divisés en s groupes. Un symbole est codé par son numéro binaire dans le groupe précédé par le drapeau de groupe. La numérotation suit les probabilités décroissantes. Une variante de cette méthode consiste à coder chaque symbole dans un groupe donné par le code de Huffman correspondant au lieu du numéro binaire.Une autre famille de codages est celle des codages arithmétiques. Ses caractéristiques sont lessuivantes :1) il ny a pas de correspondance biunivoque entre les symboles et les codes;2) un message est une séquence de symboles sources correspondant à un mot de code unique;3) le mot de code définit un intervalle de nombres réels compris entre 0 et 1;4) quand le nombre de symboles dun message saccroît, lintervalle devient plus petit et le nombre debits décrivant lintervalle est plus grand.La figure ci-dessous explicite le procédé de codage.
  8. 8. Le procédé a toutefois des limites : lemploi dun caractère de fin ( ici m4) limitant le message et laprécision des calculs (nimporte quel nombre dans lintervalle [ 0,33288, 0,33360[ représente lemessage).2.2. Codage en plans de bitsIl sagit ici de réduire la redondance interpixel. Le principe dun codage en plans de bits consiste en ladécomposition dun image à plusieurs niveaux en une série dimages binaires, puis chaque image binaireest compressée.Codé sur m bits, le niveau dun pixel sexprime comme un nombre binaire compris entre 0 et 2m-1. Onpeut donc exprimer ce niveau sous forme dun polynôme am-12m-1 + am-22m-2 + ........ + a121 + a020 (m niveaux)Chaque coefficient du polynôme( 0 ou 1) correspond à la présence dun point noir ou blanc dans un plande niveau p :
  9. 9. Ceci permet donc la décomposition de limage en m images binaires.Il y a toutefois un inconvénient à la méthode : si un léger changement de niveau de gris se présente, ilpeut entraîner un changement sur toutes les images binaires de la décomposition. Ainsi le niveau 127 =(0111111)2 et le niveau 128 = (10000000)2 sont des niveaux très voisins; pourtant leurs bits de codagesont tous différents. On remédie à cette difficulté en employant un code Gray qui à tout code am-1 am-2 ..... a1 a0 fait correspondre le code gm-1 gm-2 ..... g1 g0 tel que gm-1 = am-1 et gi = ou exclusif(ai ,ai+1) pour 0 <= i <= m-2.Ainsi 127 = (0100000)Gray et 128 = (11000000)Gray et un seul bit change.Il reste maintenant à coder de manière compressée les images binaires. La méthode CAC ( ConstantArea Coding) consiste à diviser limage binaire en blocs de taille mxn pixels; un bloc sera soit tout noir,soit tout blanc, soit mixte. On affecte le code 0 pour le type le plus fréquent, 10 et 11 pour les deuxautres; bien entendu, si le bloc est mixte ce code est un préfixe qui doit être suivi du codage des mnbits.Une autre méthode populaire est le RLC ( Run Length Coding) : chaque ligne dimage est découpée enblocs de bits successifs de même niveau (appelés runs); un code est affecté à chaque bloc , parexemple un code en longueur variable. Comme il sagit dimages binaires, il suffit de spécifier la valeur(noir ou blanc) du premier bloc de la ligne ou supposer que chaque ligne commence avec un bloc " blanc "de longueur éventuellement nulle.2.3. Codage prédictifLe codage prédictif est utilisé pour réduire la redondance interpixel : le niveau du pixel à coder estcalculé (" prédit ") à partir des n pixels précédents, mais seule la différence entre le niveau réel et la
  10. 10. prédiction est codée. La figure ci-dessous montre le diagramme fonctionnel dun système de codage etde décodage prédictifs ; lindice n correspond au rang dun pixel.La prédiction J(x,y) est donnée usuellement par une expression de la formeoù les coefficients réels aij sont des poids statistiques affectés aux pixels précédents. Une applicationsimple de cette formule est le codage prédictif dun pixel à partir du pixel situé juste au dessus : J(x,y) = I(x,y-1)Il est bien évident que les premiers pixels doivent être codés en absolu.3. Compression avec pertesLes méthodes de compression avec pertes incluent une quantification par rapport aux méthodes decompression sans pertes. On distingue principalement les méthodes à codage prédictifs, extensionsdes méthodes vues précédemment, et les méthodes par transformation.3.1. Codages prédictifsLa figure i-dessous explicite le dispositif de compression où lindice n est relatif au rang dun pixel. Onnotera que la quantification sapplique à la différence entre le niveau réel et le niveau prédit et que ce
  11. 11. résultat est codé. >Une application illustrative du procédé est la modulation Delta définie par :Si lon applique cet algorithme avec α = 1 et ξ = 3,5 à la suite de pixels de niveaux 21, 25, 21, 24, 22,22 on aura successivementpixel 0 : niveau I0 = 21; initialisation à K0 = 21pixel 1 : niveau I1 = 25 J1 =K0 = 21 e1 = I1 - J1 = 4 > 0 e1 = 3,5 K1 = J1 + e1 = 24,5pixel 2 : niveau I2 = 21 J2 = K1 =24,5 e2 = I2 - J2 = -3,5 < 0 e2 = -3,5 K2 = J2 + e2 = 21pixel 3 : niveau I3 = 24 J3 = K2 = 21 e3 = I3 - J3 = 3 > 0 e3 = 3,5 K3 = J3+ e3 = 24,5pixel 4 : niveau I4 = 22 J4 = K3 = 24,5 e4 = I4 - J4 = -2,5 < 0 e4 = -3,5 K4 = J4 + e4 = 21pixel 5 : niveau I5 = 22 J5 = K4 = 21 e5 = I5 - J5 = 1 > 0 e5 = 3,5 K5 = J5 + e5 = 24,5La suite 21 3,5 -3,5 3,5 -3,5 3,5 sera ensuite envoyée dans le codeur réduisant laredondance de codage (certainement importante ici).Les prédicteurs employés ci-dessus sont assez arbitraires; dans la réalité on peut trouver desprédicteurs " optimaux " minimisant la différence en. On ne développera pas cet aspect ici.3.2. Codage par transformationContrairement au codage prédictif qui agit directement sur la géométrie de limage, le codage partransformation effectue une transformation de limage du domaine spatial dans un autre domaine quelon pourrait appeler fréquentiel; plus précisément la transformation appliquée à limage convertit
  12. 12. lensemble des pixels en un ensemble de coefficients. La figure suivante montre la chaîne dopérationsnécessaires pour compresser et décompresser une image.Limage supposée carrée et comportant NxN pixels est divisée en (N/n)2 sous-images de taille nxn.Sur chacune de ces sous-images, on applique une transformation linéaire qui fournit une série decoefficients. I(x,y) désignant un pixel dune sous-image nxn et J(u,v) représentant sa transformée parune transformation h, on a la relation linéaire suivanteOn peut aussi écrire, puisque lensemble des pixels de limage initiale correspond à une matrice carréenxn I de niveaux I(x,y)avec >On peut donc considérer limage initiale I comme une superposition coefficientée dimages de baseHuv. Toutefois, le nombre de ces images étant généralement important, il peut être utile de faire uneapproximation et de supprimer les images de base pour lesquelles la contribution est très faible.Introduisons à cet effet un masque w(u,v) égal à 0 si le coefficient J(u,v) satisfait un critère detroncature et égal à 1 sinon. On obtient alors lapproximation
  13. 13. Les transformations h utilisées sont principalement la transformation de Karhunen-Loeve, latransformation de Fourier discrète, la transformation en cosinus discrète (DCT); cette dernière est laplus populaire ( mais non la plus performante); elle est définie ci-dessous :Le critère de troncature est issu de deux méthodes principales : la méthode du codage zonal qui estbasée sur lexamen des variances s2(J(u,v) et la méthode du codage à seuil qui est basée sur lemploidun seuil de grandeur des coefficient J(u,v); on verra plus loin dans létude de JPEG un exempleconcret dapplication de cette dernière méthode.4. Standards de compression dimage - JPEGDes méthodes de compression dimages sont standardisées et obéissent donc à un processusclairement défini et connu. Les deux principaux standards sont à lheure actuelle JPEG pour les imagesfixes et MPEG pour les images animées. Nous nexaminerons ici, mais avec assez de détails, que le casde JPEG.Le Joint Photographic Expert Group (JPEG) correspond à la succession de trois opérations : applicationdune transformation DCT; quantification; codage. Le décodeur effectue exactement en sens inverseces opérations. Des circuits intégrés existent qui effectuent automatiquement les opérations decodage et de décodage.Pour comprendre le processus de compression JPEG, étudions un exemple. Une image quelconque esttout dabord divisée en sous-images correspondant à des blocs 8x8 de pixels. La figure (a) donne unexemple dune telle sous-image I où chaque pixel est représenté par un niveau de gris de 0 à 255.Chaque niveau est diminué de 27 = 128 (b) ce qui fournit une image I. Puis on applique unetransformation par DCT (c) doù le tableau de coefficients J.
  14. 14. La quantification ou troncature est appliquée en suivant la méthode du codage à seuil :où Z(u,v) est une matrice de normalisation. La matrice Z employée est donnée à la figure (d). Lerésultat (e) est donné par une suite obtenue par balayage zig-zag de la matrice J* (f) :-25 -2 0 -3 -2 -5 2 -4 1 -4 1 1 5 0 2 0 0 -12 0 0 0 0 0 -1 -1 EOBoù EOB est le caractère de fin de bloc.La suite des opérations est plus complexe : on effectue un codage particulier pour le coefficient leplus important (coefficient DC), puis un autre codage pour les autres coefficients (coefficients AC):
  15. 15. 1) On calcule la différence entre le coefficient DC ( premier coefficient) de J* et celui de la sous-image précédemment traitée ( par exemple -15); le résultat, -10, permet de déterminer, à partir de latable JPEG des catégories (a), la catégorie à prendre en compte (4) pour obtenir, dans la table JPEGde luminance (b), le code de base (101) et la longueur totale du code (7). Il faut donc compléter le codede base à 3 bits par 4 bits complémentaires; ceux-ci sont générés par la règle suivante : si ladifférence DCl - DC l-1 est positive, on prend les K bits (où K est la catégorie précédemmentdéterminée) les moins significatifs de DCl ; si la différence DCl - DCl-1 est négative, on prend le K bitsles moins significatifs de DCl et on retranche 1. Nous sommes ici dans le second cas : -11 = (0101)2. Ona donc finalement pour le code de DC : 1010101.2) Pour le codage des coefficients AC, on utilise les tables données en (a) et (c) où cette dernièretable est donnée partiellement. On notera sur (c) que le nombre de " 0 " devant un coefficient AC nonnul est pris en considération. On peut ainsi, pour chaque coefficient AC, déterminer sa catégorie, puisson code de base et sa longueur; les bits complémentaires sont obtenus avec la règle suivante : si lecoefficient est positif, on prend les bits les moins significatifs; si le coefficient AC est négatif, onretranche 1 et on prend les bits les moins significatifs. Ainsi : -2 ---------> catégorie 2 --------->code de base 01 et longueur 4 -------------> code 0101 -3 ---------> catégorie 2 --------->code de base 111001 et longueur 8 --------> code
  16. 16. 11100100etc.....En définitive, on obtient la suite codée :1010101 0101 11100100 0101 1000010 0110 100011 001 100011 001 001 100101 11100110 110110 011011110100 000 1010Il est intéressant de calculer le gain en compression ainsi obtenu. La sous-image 8x8 était codée sur256 niveaux, donc elle représente, non compressée, un volume de 8x8x8 = 512 bits; Le nombre de bitsde la sous-image compressée est 94 bits. Le rapport de compression est donc 5,45.BibliographieR.C.GONZALES, R.E.WOODS Digital Image Processing Addison Wesley Traitement numérique des Presses Polytechniques etM.KUNT,G.GRANDLUND,M.KOCHER images Universitaires Romandes
  17. 17. Compression des images - Exercices dernière modification : 21/03/2000Exercice 1On considère limage suivante en 4 couleurs 0 (noir), 1, 2, 3 (blanc) : 1) Si on utilise un codage de limage initiale défini par la table ci-dessous, quelle est la taille du fichier correspondant en bits ? couleur code 0 00 1 01 2 10 3 11 2) On utilise une technique de compression dimage basée sur lutilisation du code suivant : couleur code 0 11
  18. 18. 1 01 2 10 3 001Quelle est la taille du fichier avec cette compression ? En déduire le rapport decompression.
  19. 19. Compression dimages - Solution des Exercices dernière modification : 21/03/2000Exercice 11) taille : 512 bits2) taille : 619 bits C = 1,2 (il sagit dune très mauvaise compression !)

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