1) O documento apresenta os dados experimentais da indutância L de um solenóide em função da posição x. 2) Usando o software MATLAB, aproximou-se L(x) por um polinômio de quarta ordem para calcular a força do solenóide. 3) No problema prático, mantém-se o fluxo constante e calcula-se a força resultante no intervalo dado.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
CAMPUS DE SOBRAL
DISCIPLINA: CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA
PROFESSOR: MÁRCIO AMORA
EXERCÍCIO 3.3 E PROBLEMA PRÁTICO 3.3
Aluno: Paulo Robson Melo Costa; Mat.: 338986.
Aluno: William de Sousa Brito; Mat.: 338864.
Sobral - CE
2013.2

2. EXEMPLO 3.3
A tabela 1 contém dados de um experimento no qual a indutância de um
solenóide foi medida em função da posição x, onde x=0 corresponde a uma retração
total do solenóide.
Tabela 1 – Dados para o Exemplo 3.3
x (cm) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
L (mH) 2,80 2,26 1,72 1,52 1,34 1,26 1,20 1,16 1,13 1,11 1,10
Plote a força do solenóide para uma corrente de 0,75 A e função da posição no
intervalo 0,2 ≤ x ≤ 1,8 cm.
Resolução do exemplo 3.3:
A Figura 1 mostra a plotagem dos pontos de L em função de x.
Figura 1 – Gráfico da indutância em função da retração do solenoide.
Usando o software MATLAB, como se tem apenas pontos discretos de L
em função de x, aproximou-se a função L(x) por um polinômio de quarta ordem através
da função polyfit. Portando, L(x) ficará na forma:
𝐿( 𝑥) = 𝑎(1) 𝑥4
+ 𝑎(2) 𝑥3
+ 𝑎(3) 𝑥2
+ 𝑎(4) 𝑥 + 𝑎(5)
Derivando a indutância L em função de x:
𝑑𝐿( 𝑥)
𝑑𝑥
= 4𝑎(1) 𝑥3
+ 3𝑎(2) 𝑥2
+ 2𝑎(3) 𝑥 + 𝑎(4)
A força do solenoide pode ser expressa em termos da corrente i e da
variação da indutância a partir da equação:

3. 𝑓𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 =
𝑖2
2
𝑑𝐿( 𝑥)
𝑑𝑡
𝑓𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 =
𝑖2
2
(4𝑎(1) 𝑥3
+ 3𝑎(2) 𝑥2
+ 2𝑎(3) 𝑥 + 𝑎(4))
Script no MATLAB para o cálculo de fcampo:
______________________________________________________________________
clear all
clc
x = [0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0] % em cm
L = [2.8 2.26 1.78 1.52 1.34 1.26 1.20 1.16 1.13 1.11 1.10] %em mH
i=0.75;
plot(x,L,'*')
xlabel('x (cm)')
ylabel('L (mH)')
x=x*10^-2 %Conversão para as unidade do SI
L=L*10^-3
comp = length(x) %Calculo do valor máximo de x
xmax = x(comp)
a=polyfit(x,L,4) % a função polyfit fará o ajuste da função polinomial
de quarta e armazena os coeficientes no vetor a
for n=1:101
xvar(n) = xmax*(n-1)/100;
Lvar(n) = a(1)*xvar(n)^4 + a(2)*xvar(n)^3 + a(3)*xvar(n)^2 +
a(4)*xvar(n) + a(5);
end
plot(xvar*100,Lvar*1000)
xlabel('x (cm)')
ylabel('L (mH)')
for n=1:101
Fvar(n) = (4*a(1)*xvar(n)^3 + 3*a(2)*xvar(n)^2 + 2*a(3)*xvar(n) +
a(4))*i^2/2;
end
plot(xvar*100,Fvar)
xlabel('x (cm)')
ylabel('F (N)')
______________________________________________________________________

4. Figura 2 – Gráfico do polinômio de quarta ordem que aproxima a Indutância em função de x.
Figura 3 – Gráfico da força do solenoide em função de x.
Observamos que a força é negativa, isso significa que atua em um sentido
tal que o êmbolo é puxado para dentro do solenoide.
PROBLEMA PRÁTICO 3.3
Um controlador externo é conectado ao solenóide do Exemplo 3.3 que mantém
constante o fluxo concatenado da bobina com λ=1,5 mWb. Plote a força resultante do
solenóide no intervalo 0,2 ≤ x ≤ 1,8 cm.
Solução do problema prático 3.3
Como feito no exemplo anterior, plotou-se também a força resultante, como
mostrado na figura 4.
Como sabe-se, para um sistema com um terminal mecânico rotativo, as variáveis
mecânicas serão o deslocamento angular ϴ e o conjugado Tcampo. Dessa forma, tem-se:

5. 𝑑𝑊𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜( 𝜆, 𝜃) = 𝑖𝑑𝜆 − 𝑇𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑑𝜃
Onde é facilmente visto que Wcampo depende das variáveis de estado λ e ϴ.
Da mesma forma que obtêm-se o fcampo, pode-se obter também o Tcampo, levando
em conta que Tcampo é o negativo da derivada parcial da energia em relação a ϴ,
mantendo λ constante. Logo, tem-se:
𝑇𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 = −
𝜕𝑊𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜( 𝜆, 𝜃)
𝜕𝜃
|
𝜆
Quando tem-se sistemas magnéticos, nos quais 𝜆 = 𝐿( 𝜃) 𝑖, e da mesma forma
que obtêm-se o 𝑊𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜( 𝜆, 𝑥), pode-se obter também o 𝑊𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜(𝜆, 𝜃). Assim, tem-se:
𝑊𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜(λ,θ) =
1
2
λ2
L(θ)
Substituindo Eq.05 em Eq.04, tem-se:
𝑇𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 = −
𝜕
𝜕𝜃
(
1
2
𝜆2
𝐿( 𝜃)
)|
𝜆
=
1
2
𝜆2
𝐿( 𝜃)2
𝑑𝐿( 𝜃)
𝑑𝜃
É possível expressar indiretamente em termos da corrente i como:
𝑇𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 =
𝑖2
2
𝑑𝐿(𝜃)
𝑑𝜃