Algebre2014

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Petit cours d'algèbre

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Algebre2014

  1. 1. Éléments d’algèbre Xavier Charvet 15 février 2014
  2. 2. Table des matières I. Notions d’algèbre générale 7 1. Notions de théorie des groupes 9 1.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1. Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2. Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2. Opération d’un groupe sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2. Opération d’un groupe par translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3. Opération d’un groupe par conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3. Groupes quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4. Le groupe symétrique Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.3. Le groupe alterné An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5. Produits directs et semi-directs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.1. Produit direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.2. Produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6. Théorèmes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6.1. Démonstration de la partie i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6.2. Démonstration des parties ii) et iii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6.3. Démonstration de la partie iv) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.7. Groupes résolubles, groupes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.7.1. Suite dérivée d’un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.7.2. Groupes résolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.7.3. Groupes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.8. Études . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.8.1. Petit théorème de Fermat (1640) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.8.2. Structure des groupes abéliens finis : théorème de Kronecker . . . . . . . . . . . . 30 1.8.3. Groupe des automorphismes de Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.8.4. Groupe des automorphismes de Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.8.5. Une démonstration alternative des théorèmes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2. Notions de théorie des anneaux 35 2.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.1. Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.2. Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2. Anneaux quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3. Anneaux noetheriens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4. Propriétés arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.1. Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.2. Anneaux factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4.3. Anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4.4. Anneaux euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5. Structure des anneaux de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
  3. 3. 4 Table des matières 2.6. Études . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6.1. Un exemple d’anneau principal non-euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6.2. Théorème des deux carrés (Fermat, 1659) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6.3. Théorème des quatre carrés (Lagrange, 1770) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3. Théorie élémentaire des corps 49 3.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.2. Caractéristique, sous-corps premier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2. Extensions de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.2. Groupe de Galois d’une extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3. Extensions algébriques et transcendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4. Corps de rupture, corps des racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4.1. Corps de rupture d’un polynôme irréductible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4.2. Corps des racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.5. Clôture algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.6. Extensions séparables, théorème de l’élément primitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.6.1. Degré séparable d’une extension algébrique finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.6.2. Extensions séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6.3. Théorème de l’élément primitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.7. Extensions normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.8. Études . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.8.1. Théorème fondamental de l’algèbre (ou théorème de d’Alembert-Gauss) . . . . . . 62 3.8.2. Transcendance de e et π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4. Corps finis, corps parfaits 67 4.1. Corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.1.1. Existence et unicité des corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.1.2. Clôture algébrique d’un corps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2. Corps parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3. Études . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3.1. Les carrés de Fq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3.2. Automorphismes des corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5. Théorie de Galois classique 73 5.1. Extensions galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.2. Extensions galoisiennes finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.3. Correspondance de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.4. Groupe de Galois d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.5. Extensions cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.6. Études . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.6.1. Groupe de Galois d’un polynôme d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.6.2. Groupe de Galois d’un polynôme d’ordre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6. Cyclotomie 81 6.1. Racines de l’unité, racines primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.2. Extension cyclotomique générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.3. Extension cyclotomique sur Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.4. Études . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.4.1. Théorème de Wedderburn (1905) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  4. 4. Table des matières 5 II. Théorie algébrique des nombres 87 7. Modules. Éléments entiers sur un anneau. Éléments algébriques sur un corps. 89 7.1. Modules sur un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.1.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.1.2. Normes et traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.1.3. Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.2. Éléments entiers sur un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.3. Éléments algébriques sur un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 8. Décomposition en idéaux premiers 93 8.1. Idéaux fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.2. Anneaux de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.2.1. Définition et généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.2.2. Pgcd et ppcm d’idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 8.2.3. Propriété des anneaux de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 9. Géométrie des nombres 97 9.1. Réseaux de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 9.1.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 9.1.2. Pavés fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 9.1.3. Domaines fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 9.2. Formes quadratiques binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 9.3. Théorèmes de Hermite et Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 9.3.1. Théorème de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 9.3.2. Théorème de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 9.4. Études . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 9.4.1. Théorème des quatre carrés (Lagrange, 1770) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 10. Corps de nombres 103 10.1. Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 10.2. Anneau des entiers d’un corps de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 10.2.1. Ordres d’un corps de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 10.2.2. Idéaux d’un anneau d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  5. 5. Première partie . Notions d’algèbre générale
  6. 6. 1. Notions de théorie des groupes 1.1. Généralités 1.1.1. Groupes Définition 1.1.1. Soit G un ensemble muni d’une loi de composition interne notée ·. On dit que G, muni de la loi ·, est un groupe si (G, ·) vérifie les propriétés suivantes : i Il existe un élément neutre e dans G, i.e. ∃e ∈ G, ∀x ∈ G, e · x = x · e = x ii Tout élément x ∈ G est inversible, i.e. ∀x ∈ G, ∃x tel que x · x = x · x = e iii La loi · est associative, i.e. ∀x, y, z ∈ G, x · (y · z) = (x · y) · z L’élément neutre e est alors unique et tout élément x de G admet un unique inverse noté x−1. Démonstration : Soit e un élément neutre de G alors e = e·e = e donc e est unique. Soient x ∈ G et x , x−1 ∈ G deux inverses de x alors x−1 = x−1 ·e = x−1 ·x · x = e·x = x donc l’inverse de x est unique. Si la loi · est commutative, i.e. ∀x, y ∈ G, x · y = y · x on dit que (G, ·) est un groupe commutatif (ou groupe abélien). Lorsque la l.c.i. est notée multiplicativement comme dans la définition, l’élément neutre est généralement noté 1. Lorsque la l.c.i est notée additivement, le groupe est implicite- ment commutatif et l’élément neutre est généralement noté 0. Définition 1.1.2. Un sous-ensemble H non-vide de G est appelé sous-groupe de G si la l.c.i dans G induit sur H une structure de groupe. Autrement dit, une partie non-vide H de G est un sous-groupe de G si H est stable par multiplication et par passage à l’inverse, c’est-à-dire si pour tout x ∈ H, y ∈ H, xy−1 ∈ H. Proposition 1.1.3. Une intersection de sous-groupes de G est un sous-groupe de G.
  7. 7. 10 Notions de théorie des groupes Démonstration : Soit (Gi)i∈I une famille de sous-groupes de G. i∈I Gi contient le neutre de G donc est non-vide. Soient g et g deux éléments de i∈I Gi. Alors ∀i ∈ Igg −1 ∈ Gi car pour tout i ∈ I, Gi est un sous-groupe de G. Donc gg −1 ∈ i∈I Gi. Définition 1.1.4. Soit G un groupe. Un sous-groupe H de G est dit distingué dans G s’il vérifie la propriété suivante : ∀x ∈ G, xH = Hx, autrement dit si et seulement si ∀x ∈ G, xHx−1 ⊂ H. On note parfois H G en prenant garde au fait que cette relation n’est pas transitive. {1} et G sont toujours distingués dans G. Un groupe G est dit simple si ses seuls sous- groupes distingués sont {1} et G. Tout sous-groupe d’un groupe abélien G est distingué dans G. 1.1.2. Morphismes de groupes Définition 1.1.5. Si G et G sont deux groupes, un morphisme φ de G dans G est une application G −→ G g → φ(g) telle que ∀g ∈ G, ∀h ∈ G, φ(gh) = φ(g)φ(h). En particulier, φ envoie le neutre de G sur le neutre de G . Proposition 1.1.6. Soit φ : G → G un morphisme de groupes. i Soit H un sous-groupe de G. Alors φ(H) est un sous-groupe de G . Si H est dis- tingué dans G alors φ(H) est distingué dans φ(G) (mais pas forcément dans G ). ii Soit K un sous-groupe de G . Alors φ−1(K) est un sous-groupe de G. Si K est distingué dans G alors φ−1(K) est distingué dans G. Démonstration : i Soient h, h deux éléments de H sous-groupe de G. Alors φ(h)φ(h )−1 = φ(hh −1 ) ∈ φ(H) donc φ(H) est un sous-groupe de G. Supposons H distingué dans G. Soient g ∈ G et h ∈ H. Alors φ(g)φ(h)φ(g)−1 = φ(ghg−1 ) ∈ φ(H) car H est distingué dans G. ii Soit K un sous-groupe de G et g, g deux éléments de φ−1 (K). Alors φ(gg −1 ) = φ(g)φ(g )−1 ∈ K car φ(g) et φ(g ) sont dans K par définition et que K est un groupe. Donc gg −1 ∈ φ−1 (K). Suppo- sons K distingué dans G . Soient h dans φ−1 (K) et g dans G. Alors φ(ghg−1 ) = φ(g)φ(h)φ(g)−1 ∈ K donc ghg−1 ∈ φ−1 (K) ce qui prouve que φ−1 (K) est distingué dans G. En particulier, le noyau ker(φ) d’un morphisme de groupes φ : G → G est distingué dans G et son image Im(φ) est un sous-groupe de G . Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  8. 8. Opération d’un groupe sur un ensemble 11 1.2. Opération d’un groupe sur un ensemble 1.2.1. Généralités Définition 1.2.1. On dit qu’un groupe G opère, ou agit, (à gauche) sur un ensemble X s’il existe une application G × X −→ X (g, x) → g · x vérifiant les propriétés suivantes : i ∀x ∈ X, ∀g, g ∈ G, g · (g · x) = gg · x ii ∀x ∈ X, e · x = x où e est le neutre de G On dit aussi que X est un G-ensemble. Se donner une opération d’un groupe G sur un ensemble X revient à se donner un morphisme du groupe G dans S(X), le groupe des permutations de X. Le morphisme φ : G −→ S(X) qui à g ∈ G associe σg ∈ S(X) tel que σg(x) = g · x pour tout x ∈ X est appelé morphisme structurel de l’action de G sur X. Définition 1.2.2. Soit x ∈ X. On appelle orbite de x l’ensemble Ox = {g · x|g ∈ G}. Le stabilisateur de x est l’ensemble Gx = {g ∈ G|g · x = x}. C’est un sous-groupe de G. Démonstration : Gx est non vide car il contient l’élément neutre de G. Soient g, g deux éléments de Gx. En composant à gauche la relation g · x = x par g −1 on obtient g −1 · x = x et par conséquent gg −1 · x = g · x = x ce qui prouve que gg −1 est dans Gx. Gx est donc bien un sous-groupe de G. L’ensemble des orbites forment une partition de X, on peut donc définir naturellement une relation d’équivalence sur X de la façon suivante : xRy ⇐⇒ {∃g ∈ G|y = g · x} On note GX l’ensemble des classes d’équivalence à gauche. Démonstration : R est reflexive : ∀x ∈ X, x = e · x, R est symétrique : soient x, y éléments de X tels que xRy alors ∃g ∈ G tel que y = g · x donc x = g−1 · y et par conséquent yRx et enfin R est transitive : soient x, y, z éléments de X vérifiant xRy et yRz alors ∃g, g ∈ G tels que y = g · x et z = g · y donc z = gg · x ce qui signifie que xRz Note : On peut de la même façon définir une opération à droite d’un groupe G sur un ensemble X s’il existe une application Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  9. 9. 12 Notions de théorie des groupes X × G −→ X (x, g) → x · g vérifiant les propriétés suivantes : i ∀x ∈ X, ∀g, g ∈ G, (x · g ) · g = x · (g g) ii ∀x ∈ X, x · e = x où e est le neutre de G ce qui revient à se donner un anti-morphisme du groupe G dans le groupe S(X) des permutations de X. L’ensemble des classes d’équivalence à droite sont du coup définies sur X de la façon suivante : xRy ⇐⇒ {∃g ∈ G|y = x · g} et on note alors X/G l’ensemble des classes d’équivalence à droite. Définition 1.2.3. L’action de G sur X est dite transitive s’il n’existe qu’une seule orbite, autrement dit si ∀y ∈ X, ∀x ∈ X, ∃g ∈ G, y = g · x. L’action est dite fidèle si le morphisme du groupe G dans S(X) est injectif, autrement dit si (∀x ∈ X, g · x = x) ⇒ (g = e). Enfin, l’action de G sur X est dite libre si tous les stabilisateurs sont triviaux, autrement dit si ∀x ∈ X, Gx = {e}. Proposition 1.2.4. Soit G un groupe opérant (à gauche) sur un ensemble X. En notant x un élément de X, Gx son groupe stabilisateur et Ox son orbite, l’application de G dans X g → g · x induit un isomorphisme de G-ensembles de G/Gx dans Ox. Démonstration : Commençons par remarquer que l’application g → g · x passe bien au quotient : en effet soit g1 et g2 deux éléments de G qui ont même image dans G/Gx, alors il existe h ∈ Gx tel que g2 = g1h, ce qui implique g2 · x = g1h · x = g1 · hx = g1x. Donc l’application φ : G/Gx → Ox est bien définie, est surjective par définition et injective car si g1 · x = g2 · x alors g−1 2 g1 ∈ Gx ce qui s’écrit encore g1 ∈ g2Gx ce qui prouve que g1 et g2 ont même image dans G/Gx. Ceci prouve que φ est bijective. C’est aussi un morphisme de G-ensembles car si h ∈ G et g ∈ G/Gx alors h · φ(g) = h · (g · x) = hg · x = φ(hg). φ définit donc un isomorphisme de G-ensembles de G/Gx dans Ox. Si X est un ensemble fini, on en déduit la formule des classes : Proposition 1.2.5. Soit X un ensemble fini et G un groupe opérant (à gauche) sur X. Alors |X| = x∈GX |G| |G˜x| où pour chaque x ∈ GX, ˜x est un représentant de x. Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  10. 10. Opération d’un groupe sur un ensemble 13 Démonstration : L’équation aux classes est une conséquence immédiate de 1.2.4, X étant réunion disjointe de ses orbites. 1.2.2. Opération d’un groupe par translation Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. Alors la multiplication induit une action (à gauche) de H sur G : H × G −→ G les classes d’équivalence (à gauche) étant alors de la forme Hx pour x ∈ G. Autrement dit, deux éléments x et y de G appartiennent à la même classe d’équivalence pour l’action à gauche de H sur G si et seulement si yx−1 ∈ H. La multiplication induit de même une action (à droite) de H sur G : G × H −→ G les classes d’équivalence (à droite) étant alors de la forme xH pour x ∈ G. Autrement dit, deux éléments x et y de G appartiennent à la même classe d’équivalence pour l’action à droite de H sur G si et seulement si y−1x ∈ H. On dit que H agit sur G par translation à gauche (resp. à droite) sur G. L’ensemble des classes d’équivalence à gauche HG est appelé quotient à gauche de G par H. L’ensemble des classes d’équivalence à droite G/H est appelé quotient à droite de G par H. Attention : les quotients de groupe HG et G/H ne sont en règle générale pas des groupes. Nous verrons par la suite une condition nécessaire et suffisante sur H pour que ces quotients de groupe soient eux-mêmes des groupes. Ce seront alors des groupes quotient. Si G est un groupe fini et H un sous-groupe de G, on peut démontrer le théorème fondamental suivant en faisant agir H sur G : Théorème 1.2.6. Théorème de Lagrange (1771) : Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G. Alors le cardinal de H divise le cardinal de G. Démonstration : On fait agir H à gauche sur G. Les classes d’équivalence de HG sont de la forme H · x pour x ∈ G. Chaque classe d’équivalence contient exactement Card(H) éléments car si x désigne un élément de G et ˙x sa classe dans HG, deux représentants de la classe h · x et h · x où h, h sont deux éléments de H, sont égaux si et seulement si h = h . Notons |HG| le cardinal de l’ensemble quotient HG. Les classes d’équivalence formant une partition de G et étant toutes de cardinal Card(H), on en déduit que |G| = |HG| · |H| ce qui achève la démonstration. Notes : Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  11. 11. 14 Notions de théorie des groupes – On aurait pu démontrer le théorème de façon symétrique en faisant agir H à droite sur G, pour aboutir à l’égalité |G| = |G/H| · |H|. Les cardinaux de G/H et HG sont donc égaux à |G|/|H| et on note (G : H) l’indice de H dans G (G : H) = |G/ H| = |HG|. – Le théorème de Lagrange admet une réciproque partielle dans le cas abélien : si G est un groupe abélien d’ordre n et d un diviseur de n alors il existe un sous-groupe de G d’ordre d (cf théorème de structure des groupes abéliens). Par contre la réciproque est fausse en général pour un groupe non abélien. Dans le cas particulier où H = G, c’est à dire lorsque G agit par translation à gauche sur lui-même, on obtient un morphisme structurel injectif de G dans Sn où n désigne le cardinal de G, ce qui donne le théorème suivant : Théorème 1.2.7. Théorème de Cayley (1854) : Soit G un groupe fini d’ordre n. Alors G est isomorphe à un sous-groupe de Sn. Dans ce paragraphe, nous nous interessons au cas plus général où G est muni d’une relation d’équivalence R qui ne dérive pas necessairement d’une action de groupe. Alors H, la classe d’équivalence de e, est un sous-groupe de G si et seulement si la multiplication dans G induit une action de groupe (à gauche) de G sur G/H G × G/H −→ G/H Démonstration : Si H, la classe d’équivalence de e dans G/R est un sous-groupe de G, alors H induit une action à droite sur G dont les classes d’équivalence sont les éléments de G/H. Choisissons g et g deux représentants d’une classe d’équivalence quelconque de G/H. Alors il existe un élément h de H tel que g−1 g = h. Choisissons un élément h de H, alors h · g et h · g appartiennent à la même classe d’équivalence dans G/H, puisque (h · g)−1 · h · g = g−1 · g ∈ H. Par conséquent, h · ˙g ne dépend pas du représentant de ˙g et l’application est ainsi bien définie. Maintenant soit ˙g un élément de G/H alors e · ˙g = ˙eg = ˙g et si h et h sont deux éléments de G alors hh · ˙g = (hh )gH = h(h gH) donc l’application définit bien une action de groupe. Réciproquement, si la multiplication dans G induit une action de G sur G/R, alors considérant deux éléments h et h de la classe de e dans G/R, on obtient, en composant l’équivalence h ∼ h par h−1 à gauche, h−1 h ∼ e donc h−1 h fait toujours partie de la classe de e, notée H qui est par conséquent un sous-groupe de G. Note : De façon symétrique, on montrerait que H, la classe d’équivalence de e, est un sous-groupe de G si et seulement si la multiplication dans G induit une action de groupe (à droite) de G sur HG HG × G −→ HG En particulier, on peut chercher à représenter un groupe d’ordre n comme un sous-groupe d’un groupe plus petit que Sn en faisant agir G par translation à gauche sur G/H où H désigne un sous-groupe de G. On obtient un morphisme structurel φ : G −→ S(G:H). On prendra garde toutefois au fait qu’un tel morphisme n’est en général pas injectif, donc on ne peut en général pas en déduire que G est isomorphe à un sous-groupe de S(G:H). Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  12. 12. Opération d’un groupe sur un ensemble 15 1.2.3. Opération d’un groupe par conjugaison On peut faire agir un groupe G sur lui-même par automorphisme intérieur de la façon suivante : G × G −→ G (g, x) → g ∗ x = gxg−1 On vérifie aisément que ceci définit bien une action de groupe. On a noté ici la loi d’action de groupe ∗ et non · pour éviter toute confusion avec la loi de multiplication dans G (qui n’est d’ailleurs par la suite pas notée du tout en fait). Définition 1.2.8. Les orbites sont appelées classes de conjugaison. Deux éléments x et y de G sont dits conjugués si et seulement ils appartiennent à la même classe de conjugaison, autrement dit si et seulement si ∃g ∈ G, y = gxg−1. Le groupe stabilisateur Zx d’un élément x de G est appelé centralisateur de x. C’est l’ensemble des éléments de G qui commutent à x : Zx = {g ∈ G, gx = xg}. C’est un sous-groupe de G. Un sous-groupe H de G est distingué dans G, si et seulement s’il est stable par tout automorphisme intérieur. L’action de G sur lui-même par automorphisme intérieur induit alors une action de G sur H : G × H −→ H (g, h) → g ∗ h = ghg−1 Définition 1.2.9. On définit : i le centre de G, Z(G) le sous-groupe de G des éléments commutant à G, i.e. Z(G) = {g ∈ G, ∀x ∈ G, gx = xg} ii et le groupe dérivé de G, D(G) le sous-groupe de G engendré par les commutateurs de G, i.e. D(G) =< (xy)(yx)−1, x ∈ G, y ∈ G > et on a alors la propriété suivante : Proposition 1.2.10. Le centre Z(G) et le groupe dérivé D(G) sont distingués dans G. Ils sont même caractéristiques (un sous-groupe H de G est dit caractéristique s’il est stable par tout automorphisme de G). Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  13. 13. 16 Notions de théorie des groupes Démonstration : i Soit φ un automorphisme de G et h ∈ Z(G). Alors ∀g ∈ G, gφ(h) = φ(φ−1 (g)h) = φ(hφ−1 (g)) = φ(h)g donc φ(h) commute à G ce qui signifie que φ(h) ∈ Z(G). Donc Z(G) est caractéristique dans G. En particulier, il est stable par tout automorphisme intérieur, donc distingué dans G. ii Soit φ un automorphisme de G et h un commutateur de G, i.e. h tel qu’il existe x et y dans G véri- fiant h = xyx−1 y−1 . Alors φ(h) est un commutateur de G puisque φ(h) = φ(x)φ(y)φ(x)−1 φ(y)−1 . Maintenant soit g dans D(G), g est produit fini de commutateurs h1, ..., hn et son image par φ est produit des commutateurs φ(h1), ..., φ(hn), ce qui prouve que φ(g) est dans D(G). Par ailleurs, si G est un groupe, on peut faire agir son groupe des automorphismes Aut(G) sur l’ensemble de ses sous-groupes X = {H ⊂ G}. Démonstration : Soit φ ∈ Aut(G) et K un sous-groupe de G. φ(K) est bien un sous-groupe de G donc l’application Aut(G) × {H ⊂ G} −→ {H ⊂ G} est bien définie. On vérifie que c’est bien une action de groupe : id(H) = H pour tout H sous-groupe de G, et si φ, ψ sont deux éléments de Aut(G), alors φ(ψ(H)) = φ ◦ ψ(H) pour tout H sous-groupe de G et φ, ψ éléments de Aut(G). En particulier, le groupe Int(G) des automorphismes intérieurs de G opère aussi sur l’en- semble des sous-groupes de G, et comme il existe un morphisme de G dans Int(G) (de noyau Z(G)), le groupe G opère donc sur l’ensemble de ses sous-groupes X = {H ⊂ G}. Définition 1.2.11. Soit G un groupe. Deux sous-groupes H et Q de G sont dits conjugués si et seulement si ils appartiennent à une même orbite dans {H ⊂ G} sous l’action de G, autrement dit si et seulement si ∃g ∈ G tel que Q = gHg−1. En particulier, un sous-groupe H de G est distingué si et seulement si son orbite est réduite à un singleton (autrement dit si et seulement si H est fixe sous l’action de G par conjugaison sur l’ensemble de ses sous-groupes). Définition 1.2.12. On définit le normalisateur NG(K) d’un sous-groupe K de G comme le stabilisateur de K sous l’action de G sur l’ensemble de ses sous-groupes par conjugaison. NG(K) est le plus grand sous-groupe de G dans lequel K est distingué. Proposition 1.2.13. Soit G un groupe et X un G-ensemble. Soient x et y deux élé- ments de X d’une même orbite. Alors les stabilisateurs de x et y sont conjugués. Plus précisément, si g ∈ G est tel que y = gx alors Ggx = gGxg−1. Démonstration : Ggx = {h ∈ G|hgx = gx} = {h ∈ G|g−1 hgx = x} = {h ∈ G|g−1 hg ∈ Gx} = gGxg−1 . Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  14. 14. Groupes quotient 17 1.3. Groupes quotient Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. Les quotients de groupe HG et G/H sont des groupes si et seulement si H est distingué dans G. Démonstration : Supposons que H est distingué dans G. Considérons deux éléments g et g de G et g, g leurs classes d’équivalences respectives dans G/H. On définit le produit des deux classes d’équivalence g · g comme la classe d’équivalence gg de gg en vérifiant qu’elle ne dépend pas des représentants des deux classes. Pour le montrer, considérons gh et g h des représentants respectifs des classes d’équivalence g et g où h et h sont deux éléments de H. Comme H est distingué, il existe h ∈ H tel que hg = g h . Par conséquent, ghg h = gg h h et comme h h ∈ H, la classe de gg dans G/H ne dépend pas des représentants des classes g et g . Ainsi la multiplication dans G induit une multiplication dans G/H. On dit que la multiplication dans G passe au quotient. La classe de e est alors clairement un élément neutre de G/H, et tout élément g de G/H où g ∈ G est un représentant quelconque admet g−1 comme inverse dans G/H. L’associativité découle de l’associativité de la multiplication sur G. G/H est donc bien un groupe. On dit que la structure de groupe passe au quotient. Réciproquement, supposons que G/H est un groupe. Soit x un élément de G et x sa classe dans G/H. Soit h un élément de H. Alors x · x−1 = e et comme x = xh, on a xh · x−1 = e = xhx−1 ce qui signifie que xhx−1 ∈ H. H est donc bien distingué dans G. Proposition 1.3.1. Le noyau d’un morphisme de groupes φ : G → G est distingué dans G. On a alors un isomorphisme de groupes de G/ ker(φ) dans Im(φ). Démonstration : Soit h ∈ ker(φ) et g ∈ G. Alors φ(ghg−1 ) = φ(g)φ(h)φ(g−1 ) = φ(g)eφ(g)−1 = e donc ghg−1 ∈ ker(φ) ce qui prouve que ker(φ) est distingué dans G. A présent, soit x ∈ G et ˙x sa classe d’équi- valence dans G/ ker(φ). Si y ∈ ˙x, ce qui s’écrit aussi y = hx avec h ∈ ker(φ), on a φ(y) = φ(h)φ(x) = φ(x) donc tous les éléments d’une même classe d’équivalence ont même image par φ, ce qui permet de passer au quotient. Il est à peu près immédiat que ceci définit toujours bien un morphisme de groupes, qui est injectif par construction et surjectif dans Im(φ) par définition. Théorème 1.3.2. Théorème d’isomorphisme de Noether : 1.4. Le groupe symétrique Sn 1.4.1. Généralités Le groupe symétrique Sn est le groupe des permutations de l’ensemble {1, ..., n}. Il est de cardinal |Sn| = n! Sn opère naturellement sur {1, ..., n}. En particulier, si σ désigne un élément de Sn, alors le sous-groupe de Sn engendré par σ opère sur l’ensemble {1, ..., n} qui est donc réunion disjointe des orbites. Notons N le nombre d’orbites non réduites à un singleton Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  15. 15. 18 Notions de théorie des groupes et n1, ..., nN le nombre d’éléments dans les orbites respectives. On peut supposer, à renumérotation près, que la suite n1, ..., nN est décroissante : n1 ≥ ... ≥ ni ≥ ... ≥ nN . On appelle type d’une permutation σ le N-uplet (n1, ..., nN ). Définition 1.4.1. On appelle cycle toute permutation de type 1. Un cycle admet une seule orbite non réduite à un élément : notons p le cardinal de cette orbite, on parle alors de p-cycle. On appelle support du cycle son unique orbite non-réduite à un point. Si x désigne un élément de l’orbite, on note généralement le p-cycle sous la forme d’un p-uplet (x, σ(x), ....σp−1(x)). 1.4.2. Propriétés Proposition 1.4.2. Conjugaison d’un cycle par une permutation Si (g1, ..., gp) désigne un p-cycle, et σ un élément de Sn, alors σ(g1, ..., gp)σ−1 = (σ(g1), ..., σ(gp)) et par conséquent, deux cycles sont conjugués si et seulement si ils ont même longueur. Démonstration : Soit x ∈ {1, ..., n}. Deux cas se présentent : ou bien ∀i, 1 ≤ i ≤ p, σ−1 (x) = gi et dans ce cas, σ(g1, ..., gp)σ−1 (x) = σσ−1 (x) = x. Ou bien ∃i, 1 ≤ i ≤ p, x = σ(gi) et dans ce cas σ(g1, ..., gp)σ−1 (x) = σ(gi+1) (si i = p, gi+1 désigne g1). Donc on a bien σ(g1, ..., gp)σ−1 = (σ(g1), ..., σ(gp)) et la seconde partie est une conséquence immédiate de cette égalité. Proposition 1.4.3. Toute permutation s’écrit de façon unique comme produit (éven- tuellement vide) de cycles à supports disjoints. En particulier, deux permutations sont conjuguées si et seulement si elles ont même type. Démonstration : Soit σ un élément de Sn. Alors le sous-groupe de Sn engendré par σ opère sur {1, ..., n}, qui est réunion disjointe des orbites. Chaque orbite définit naturellement un cycle, le produit de ces cycles étant par conséquent σ. Il y a unicité de la décomposition à renumérotation près des cycles, deux cycles commutant s’ils sont à supports disjoints. La deuxième partie de la propriété découle alors de la propriété précédente. Proposition 1.4.4. Les transpositions de la forme (i, i+1) avec 1 ≤ i ≤ n−1 engendrent le groupe des permutations Sn. En particulier, les transpositions engendrent Sn. Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  16. 16. Le groupe symétrique Sn 19 Démonstration : Ca se montre par récurrence sur n. Si n = 2 c’est évident. Si n ≥ 3, on choisit σ ∈ Sn. Soit m = σ(n). Si m = n, alors σ = (n, n − 1)(n − 1, n − 2)...(m + 1, m)σ fixe n, donc est dans le sous-groupe de Sn engendré par les transpositions de la forme (i, i + 1) avec 1 ≤ i ≤ n − 2 d’après l’hypothèse de récurrence, donc σ = (m, m + 1)(m + 1, m + 2)...(n − 1, n)σ est dans le sous-groupe de Sn engendré par les transpositions de la forme (i, i + 1) avec 1 ≤ i ≤ n − 1. Si σ(n) = n, l’hypothèse de récurrence s’applique directement. 1.4.3. Le groupe alterné An On définit la signature d’une permutation σ de Sn comme le produit (σ) = 1≤i<j≤n σ(j) − σ(i) j − i = (−1)i(σ) où i(σ) = |{(i, j) ∈ {1, ..., n}2|i > j et σ(i) < σ(j)}| est le nombre d’inversions de σ. Proposition 1.4.5. est l’unique morphisme de groupes surjectif de Sn dans {−1; 1}. Démonstration : est un morphisme de groupes : soit σ et τ deux permutations de Sn, alors (στ) = 1≤i<j≤n στ(j) − στ(i) j − i = 1≤i<j≤n στ(j) − στ(i) τ(j) − τ(i) 1≤i<j≤n τ(j) − τ(i) j − i = 1≤i<j≤n σ(j) − σ(i) (j − i) 1≤i<j≤n τ(j) − τ(i) j − i = (σ) (τ) La signature d’une transposition étant égale à −1, la signature est surjective. Maintenant, soit φ un morphisme de groupes de Sn dans {−1; 1}. Les transpositions engendrant Sn, φ est entièrement déterminé par sa valeur sur les transpositions. Or les transpositions sont toutes conju- guées, donc φ prend la même valeur sur toutes les transpositions. Si cette valeur est −1, φ est la signature, sinon c’est l’identité. Proposition 1.4.6. Soit σ ∈ Sn et (n1, ..., nN ) son type. Alors (σ) = (−1) i(ni−1) Démonstration : Si σ est un p-cycle : σ = (a1, ..., ap) peut se décomposer en produits de permuta- tions comme suit : σ = (a1, ap)(a1, ap−1)...(a1, a2) donc σ est le produit de p − 1 transpositions, donc (σ) = (−1) i(p−1) . Si σ est une permutation, c’est un produit de cycles, d’où le résultat. Définition 1.4.7. On définit An le groupe alterné de Sn comme le noyau de la signature : An = ker( ) = {σ ∈ Sn, (σ) = 1}. C’est un sous-groupe distingué de Sn, de cardinal |Sn| 2 = n! 2 . Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  17. 17. 20 Notions de théorie des groupes Démonstration : An est distingué dans Sn en tant que noyau de la signature. La signature étant surjective, Im(φ) est égal à {−1, 1}. D’après le 1er théorème d’isomorphisme, Sn/ ker(φ) ∼= Im(φ), on en déduit donc que An est de cardinal n! 2 . Proposition 1.4.8. Le groupe alterné An est simple pour n ≥ 5. Démonstration : On va commencer par démontrer deux propriétés utiles sur An. Proposition 1.4.9. i les 3-cycles engendrent An ii les 3-cycles sont conjugués dans An si n ≥ 5 Démonstration : i On sait que tout élément de An est produit d’un nombre pair de transpositions (cela vient du fait que les transpositions engendrent Sn et qu’elles sont de signature −1) donc il suffit de montrer que le produit de deux transpositions peut s’écrire comme un produit de 3-cycles. Deux cas se présentent (le cas où elles sont identiques n’ayant aucun intérêt) : soit les deux transpositions ont un élément en commun, disons (1, 2)(2, 3). On peut écrire (1, 2)(2, 3) = (1, 2, 3) et c’est gagné. Sinon elles sont à support disjoint, disons (1, 2)(3, 4). On écrit (1, 2)(3, 4) = (1, 2)(2, 3)(2, 3)(3, 4) = (1, 2, 3)(2, 3, 4) ce qui démontre la première propriété. ii Soit γ et γ deux 3-cycles de An. Ils sont conjugués dans Sn comme on l’a vu dans l’étude du groupe symétrique et donc il existe σ ∈ Sn tel que γ = σγσ−1 . Si σ est paire, c’est fini. Sinon, σ est impaire et comme a supposé n ≥ 5, on peut choisir une transposition τ telle que τ et γ ont des supports disjoints. Par conséquent τ et γ commutent, donc τγτ−1 = γ et donc γ = (στ)γ(στ)−1 ce qui démontre que γ et γ sont conjuguées dans An puisque στ est paire. Revenons à la démonstration de la proposition. Commençons par montrer qu’elle est vraie pour n = 5. Soit H un sous-groupe distingué de A5, supposé non trivial. Montrons que H contient un 3-cycle. Pour cela, on constate d’abord que toute permutation de A5 étant produit de cycles à support disjoint (en tant qu’élément de Sn) et étant de plus paire, ne peut être qu’un 5-cycle, un 3-cycle, ou le produit de deux transpositions à supports disjoints. Il en va a fortiori de tout élément de H. Soit un élément h ∈ H différent de l’identité. Si c’est un 3-cycle c’est fini. Sinon, supposons que c’est le produit de deux transpositions à supports disjoints, par exemple h = (1, 2)(3, 4). Alors en prenant σ = (2, 5)(3, 4), on a (1, 5)(3, 4) = σhσ−1 et σ étant dans A5, (1, 5)(3, 4) est élément de H puisqu’on a supposé H A5. On remarque que (1, 5)(3, 4)(1, 2)(3, 4) = (1, 2, 5) ce qui fournit un 3-cycle. Si c’est un 5-cycle, par exemple h = (1, 2, 3, 4, 5), alors en prenant σ = (1, 2, 3), on a (2, 3, 1, 4, 5) = σhσ−1 élément de H et comme (4, 1, 2)(1, 2, 3, 4, 5) = (2, 3, 1, 4, 5) le 3-cycle (4, 1, 2) est dans H. Donc H contient un 3-cycle, donc tous les 3-cycles puisqu’ils sont conjugués dans A5, et comme les 3-cycles engendrent A5, on a H = A5 ce qui prouve que A5 est simple. A présent, montrons qu’elle est vraie pour tout entier n ≥ 5. Soit n ≥ 5 et H un sous-groupe distingué de An. Soit σ = id un élément de H et τ = (a, b, c) un 3-cycle. Alors, comme τστ−1 et σ sont dans H, H étant distingué dans An, H contient h = τστ−1 σ−1 qui est produit des 3-cycles τ et στ−1 σ−1 = (σ(c), σ(b), σ(a)). Comme σ = id on peut choisir a tel que a = σ(a). On pose alors b = σ(a) et on choisit c tel que c /∈ {a, σ(a)}. Ainsi le support de h est contenu dans X = {a, σ(a), σ2 (a), c, σ(c)}. Si X est de cardinal inférieur à 5, on le complète de façon que |X| = 5. On considère ˜H l’ensemble des restrictions à X des éléments de H dont le support est contenu dans X. C’est un sous-groupe distingué Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  18. 18. Produits directs et semi-directs 21 de A(X) : si ˜ρ ∈ A(X) et ˜h ∈ ˜H, on considère ρ et h de An et H leurs prolongements par l’identité en dehors de X. Alors ρhρ−1 ∈ H car H An et par conséquent ˜ρ˜h˜ρ−1 ∈ ˜H. Donc ˜H A(X) = A5. Comme ˜H = {id} puisque ˜H contient ˜h on en déduit que ˜H = A(X) car A(X) = A5 est simple d’après le point précédent. Par conséquent ˜H contient un 3-cycle. Il en va de même de H qui contient un 3-cycle de An et donc tous les 3-cycles puisqu’ils sont conjugués dans An. Donc H = An puisque An est engendré par les 3-cycles. On a donc montré que An est simple. 1.5. Produits directs et semi-directs Dans cette section, on s’intéresse au dévissage d’un groupe : on va montrer comment l’étude de la structure d’un groupe peut se ramener, dans certains cas, à l’étude de certains de ses sous-groupes dont il est le produit (direct ou semi-direct). 1.5.1. Produit direct Définition 1.5.1. Soient N et H deux groupes. On définit sur l’ensemble produit N × H une loi de groupe en posant (n, h)(n , h ) = (nn , hh ) pour tous n, n éléments de N et h, h éléments de H. Alors N × H muni de cette loi est un groupe appelé produit direct de N par H. Avec des notations standards où i désigne le morphisme d’inclusion de N dans N × H et p le morphisme de projection de N × H dans H, on obtient une suite exacte : {1} N N × H H {1} i p En notant ¯N = {(n, 1)|n ∈ N} et ¯H = {(1, h)|h ∈ H}, on remarque que ¯N et ¯H sont distingués dans N ×H ( ¯N l’est en tant que noyau de p et ¯H l’est aussi car N et H jouent des rôles symétriques). A présent, nous nous donnons un groupe G et deux sous-groupes N et H de G. Nous allons donner une condition suffisante sur N et H pour que G soit isomorphe au groupe N × H. Pour cela nous commençons par démontrer le lemme suivant : Lemme 1.5.2. Soient N et H deux sous-groupes d’un groupe G. Si N (ou H) est distingué dans G alors NH = HN et NH est un sous-groupe de G. Démonstration : Supposons N distingué dans G. Donc H ⊂ NG(N) = G. En particulier, si n ∈ N, h ∈ H, alors hnh−1 ∈ N ce qui prouve que hn ∈ NH. Ainsi HN ⊂ NH et réciproquement donc HN = NH. C’est un sous-groupe de G : e ∈ NH et si nh ∈ NH, n h ∈ NH alors nhn h = Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  19. 19. 22 Notions de théorie des groupes nhn h−1 hh = nn hh ∈ NH et h−1 n−1 ∈ HN = NH. Le théorème suivant donne une condition suffisante sur N et H sous-groupes de G pour que G soit produit direct de N et H. Théorème 1.5.3. Si N et H sont deux sous-groupes distingués de G et si N ∩ H = {e} alors les éléments de N commutent avec les éléments de H, NH est un sous-groupe de G et l’application f : N ×H → NH est un isomorphisme de groupes. Si de plus G est un groupe fini et que |N||H| = |G| alors NH = G et le groupe G est isomorphe à N × H. Démonstration : Soient n et h deux éléments de N et H. Alors [n, h] = (nh)(hn)−1 = nhn−1 h−1 et comme H est distingué dans G, nhn−1 est dans H donc [n, h] est dans H. De la même façon, comme N est distingué dans G, hn−1 h−1 est dans N donc [n, h] est dans N. Comme N ∩ H = {e}, on en déduit que [n, h] = e et donc que n et h commutent. L’application f : N × H → NH est un morphisme de groupes : f(n, h)f(n , h ) = nhn h = nn hh = f(nn , hh ), qui est injective puisque si f(n, h) = nh = e alors n = h−1 ∈ N ∩ H = {e} et surjective par définition. C’est donc un isomorphisme de groupes. En fait cette condition est nécessaire, dans le sens où si G est produit direct N ×H, alors comme on l’a vu dans la définition, N × {eH} et {eN } × H sont distingués dans N × H et leur intersection est réduite à l’élément neutre {(eN , eH)}. 1.5.2. Produit semi-direct Définition 1.5.4. Soient N et H deux groupes et φ : H → Aut(N) un mor- phisme. On définit sur l’ensemble produit N × H une loi de groupe en posant (n, h)(n , h ) = (nφ(h)(n ), hh ) pour tous n, n éléments de N et h, h éléments de H. Alors N × H muni de cette loi est un groupe appelé produit semi-direct de N par H et noté N φ H ou même N H lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté. Avec des notations standards où i désigne le morphisme d’inclusion de N dans N H et p le morphisme de projection de N × H dans H, on obtient une suite exacte : {1} N N H H {1} i p En notant ¯N = {(n, 1)|n ∈ N} et ¯H = {(1, h)|h ∈ H}, on remarque que ¯N est distin- gué dans N × H (en tant que noyau de p) mais ¯H ne l’est pas en général. A présent, nous nous donnons un groupe G et deux sous-groupes N et H de G. Nous allons donner une condition suffisante sur N et H pour que G soit isomorphe à un produit semi-direct N φ H. Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  20. 20. Théorèmes de Sylow 23 Théorème 1.5.5. Soient N et H deux sous-groupes d’un groupe G. On suppose que H est distingué dans G et que H ∩ N = {e}. Alors, NH est un sous-groupe de G et NH est isomorphe à un produit semi-direct N φ H. Si de plus G est un groupe fini et que |N||H| = |G| alors NH = G et le groupe G est isomorphe à N φ H. Démonstration : On considère le morphisme ψ : H → G → Int(G). Comme N est distingué dans G, pour tout h ∈ H, ψ(h) est un automorphisme intérieur de G qui fixe N. En particulier on peut définir la restriction de ψ(h) à N qui est un automorphisme de N. On obtient donc un morphisme φ : H → Int(N) qui envoie h sur la restriction de ψ(h) à N. On peut donc définir un produit semi-direct N φ H et il reste à montrer qu’il est isomorphe au groupe NH (NH est un sous-groupe de G d’après le lemme 1.5.2). On considère donc l’application f : N φ H → NH qui à (n, h) associe nh. On a f((n, h)(n , h )) = f(nhn h−1 , hh ) = nhn h = f((n, h))f((n , h )) donc f est un morphisme de groupes, injectif car si f((n, h)) = nh = e alors n = h−1 ∈ N ∩ H = {e} et surjectif par définition. Enfin nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour qu’un produit semi-direct soit en fait un produit direct dans la proposition suivante : Proposition 1.5.6. Soient N et H deux groupes et φ : H → Aut(N) un morphisme. Alors le produit semi-direct N φ H est un produit direct si et seulement si φ est trivial, c’est à dire si Im(φ) = {eAut(N)}. Démonstration : Soit ψ : N φ H → N × H l’application qui à (n, h) associe (n, h). Si φ est trivial alors ψ((n, h) ∗ (n , h )) = ψ(nφ(h)(n ), hh ) = ψ(nn , hh ) = (nn , hh ) = ψ((n, h))ψ((n , h )) et donc ψ est un morphisme de groupes (évidemment bijectif). Réciproquement, si ψ est un isomorphisme alors ψ((n, h) ∗ (n , h )) = (nφ(h)(n ), hh ) doit être égal à (n, h)(n , h ) = (nn , hh ) pour tous n, n de N, h, h de H. En particulier φ(h) doit être égal à idN pour tout h. 1.6. Théorèmes de Sylow Définition 1.6.1. Soit G un groupe fini et p un nombre premier divisant l’ordre de G. On appelle p-Sylow tout sous-groupe de G de cardinal pvp(|G|), où vp(|G|) désigne la valuation en base p de |G| i.e. vp(|G|) = max(α; pαdivise|G|). Un p-sous-groupe de G est un sous-groupe de G de cardinal pi, où 0 ≤ i ≤ vp(|G|). Les théorèmes de Sylow s’énoncent alors comme suit : Théorème 1.6.2. Théorèmes de Sylow (1872) : Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  21. 21. 24 Notions de théorie des groupes i L’ensemble des p-Sylow de G est non vide. ii Tout p-sous-groupe de G est contenu dans un p-Sylow de G. iii Tous les p-Sylow sont conjugués. iv Si k désigne le nombre de p-Sylow de G, alors k divise |G| et k ≡ 1[p] (donc k divise m avec |G| = m · pvp(|G|)) Note : On a comme corollaire immédiat de iii) le résultat suivant : Corollaire 1.6.3. s’il existe P un p-Sylow distingué dans G, alors l’ensemble des p-Sylow de G est réduit à {P}. Démonstration : Commençons par démontrer le lemme suivant. Lemme 1.6.4. Soit G un groupe fini abélien et p un nombre premier divisant |G|. Alors il existe un élément d’ordre p dans G. Démonstration : On choisit (x1, .., xn) un système générateur de G (il en existe toujours un, quitte à utiliser tous les éléments de G). Notons r1, ..., rn les ordres respectifs de x1, ..., xn dans G. Considérons l’application φ :< x1 > ×...× < xn >→ G qui à un n-uplet (y1, ..., yn) associe le produit dans G y1 ·...·yn. Comme G est abélien, φ est un morphisme de groupes. Par conséquent, < x1 > ×...× < xn > / ker(φ) et Im(φ) sont isomorphes ce qui implique en particulier que |Im(φ)| · | ker(φ)| = | < x1 > ×...× < xn > |. Comme φ est surjectif par définition, |Im(φ)| = |G|. On a supposé que p divise |G|, donc p divise aussi | < x1 > ×...× < xn > | = r1 · ... · rn et comme p est premier, il existe i tel que p|ri. A renumérotation près, on peut supposer que p|r1 ce qui implique qu’il existe q ∈ N tel que r1 = p·q. Comme x1 est d’ordre r1, xq 1 est d’ordre p ce qui clôt la démonstration du lemme. 1.6.1. Démonstration de la partie i) Revenons à présent à la démonstration de la partie i) du théorème. Nous allons procéder par récurrence sur |G|. Pour G réduit à l’élément neutre, le résultat est immédiat. Supposons le résultat vrai pour tout groupe de cardinal n − 1 où n ≥ 2 et montrons qu’il reste vrai pour tout groupe de cardinal n. Soit donc G un groupe d’ordre n. L’équation aux classes sur G s’écrit |G| = |Z(G)| + i |G| |Hi| où Z(G) est le centre de G et les Hi sont des sous-groupes stricts de G. Notons α = vp(|G|). On sait que pα divise |G| par hypothèse. Si α = 0, c’est terminé. Sinon α ≥ 1. Deux cas se présentent : i Soit il existe i tel que pα divise |Hi|. Comme Hi est un sous-groupe strict de G, l’hypothèse de récurrence s’applique sur Hi et il existe donc un sous-groupe P de Hi d’ordre pα . P est aussi un sous-groupe de G, d’ordre pα , c’est donc un p-Sylow de G. Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  22. 22. Groupes résolubles, groupes simples 25 ii Soit pour tout i, pα ne divise pas |Hi| alors pour tout i, p divise |G| |Hi| , et comme p divise aussi |G|, on a p qui divise |Z(G)| d’après l’équation aux classes. D’après le lemme précédent, Z(G) étant commutatif par définition, il existe un élément x d’ordre p dans Z(G). Notons H =< x > le groupe d’ordre p engendré par x dans G. H étant dans |Z(G)|, il est distingué dans G et par conséquent G/H est un groupe, de cardinal strictement plus petit que |G|, divisible par pα−1 mais pas par pα . L’hypothèse de récurrence s’applique et il existe P un p-Sylow (de cardinal pα−1 ) de G/H. On peut considérer la projection canonique π : G → G/H. Alors π−1 (P) est un sous-groupe de G d’ordre pα et la démonstration du i) est terminée. 1.6.2. Démonstration des parties ii) et iii) On considère un p-sous-groupe Q et un p-Sylow P de G. On fait agir à gauche Q sur G/P. D’après la formule des classes, comme p est premier, il existe au moins une orbite O telle que p ne divise pas |O|. On considère x ∈ G et sa classe ˙x dans ∈ G/P tel que ˙x ∈ O. Comme il existe un isomorphisme de Q-ensembles entre O et QQ˙x où Q˙x le stabilisateur de ˙x est un sous-groupe de Q, et comme |Q| est une puissance de p, on en déduit que nécessairement Q˙x = Q et donc l’orbite O est réduite au singleton ˙x, ce revient à dire que ˙x est invariant sous l’action de Q. Autrement dit, comme ˙x = xP, on a QxP ⊂ xP et donc Q ⊂ xPx−1 . xPx−1 étant un sous-groupe de G de cardinal |P|, c’est un p-Sylow de G, et ii) est démontré. Pour iii) il suffit de constater que si Q est un p-Sylow de G, il a même cardinal que P et comme on vient de montrer que Q ⊂ xPx−1 , on a en fait une égalité Q = xPx−1 ce qui prouve iii) que tous les p-Sylow sont conjugués. 1.6.3. Démonstration de la partie iv) On fait agir G par conjugaison sur l’ensemble de ses p-Sylow. Comme ils sont tous conjugués, il n’y a qu’une seule orbite, de cardinal k égal au nombre de p-Sylow, et d’après la formule des classes on a k qui divise |G|. En ce qui concerne la congruence, on commence par un démontrer un lemme : Lemme 1.6.5. Si G est un p-groupe (i.e. un groupe d’ordre une puissance de p) et X un ensemble muni d’une action de G, alors |X| ≡ |XG | mod p où XG désigne l’ensemble des éléments de X fixes sous l’action de G : XG = {x ∈ X|∀g ∈ G, g · x = x}. Démonstration : On écrit X comme réunion disjointe des orbites. Le cardinal d’une orbite non-réduite à un point est nécessairement divisible par p puisque G est un p-groupe. D’après la formule des classes, on a alors |X| ≡ ω(x)={x} |ω(x)| mod p ce qui se réécrit |X| ≡ |XG | mod p. Montrons à présent la deuxième partie de iv). Notons X l’ensemble des p-Sylow de G et S ∈ X. On fait agir S par conjugaison sur les éléments de X. Alors d’après le lemme |X| ≡ |XS | mod p. Montrons qu’en fait XS = {S}. Comme ∀s ∈ S, sSs−1 = S, S ∈ XS . Maintenant, considérons T un p-Sylow de G fixe par l’action de S (i.e. T ∈ XS ), et N le sous-groupe de G engendré par S et T. T est normalisé par S : ∀s ∈ S, sTs−1 = T car T ∈ XS et évidemment T est normalisé par T lui-même. Donc T est distingué dans N, et par conséquent c’est l’unique p-Sylow de N, donc T = S comme S est aussi un p-Sylow de N (argument dû à Frattini). On vient donc de montrer que XS = {S}. Par conséquent, en appliquant le résultat du lemme, on a k ≡ 1 mod p. 1.7. Groupes résolubles, groupes simples Dans cette section, G désigne un groupe et H, K deux sous-groupes de G. Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  23. 23. 26 Notions de théorie des groupes 1.7.1. Suite dérivée d’un groupe Définition 1.7.1. Pour tous x et y éléments de G, on appelle commutateur de x et y l’élément [x, y] = xyx−1y−1. Soient H et K deux sous-groupes de G, on appelle sous-groupe des commutateurs de H et K, et on note [H, K], le sous-groupe de G en- gendré par les commutateurs [h, k], avec (h, k) ∈ H × K. En particulier, on appelle groupe dérivé de G, et on note D(G), le groupe [G, G] engendré par les commutateurs de G. Lemme 1.7.2. Si H et K sont distingués dans G, alors [H, K] est distingué dans G. En particulier, le groupe dérivé D(G) est distingué dans G. Démonstration : Remarquons tout d’abord que si f est un morphisme de groupes de G dans un groupe G alors f([H, K]) = [f(H), f(K)]. En effet, soient h ∈ H et k ∈ K, alors f([h, k]) = [f(h), f(k)]. Notant S = {[h, k], h ∈ H, k ∈ K} et S = {[h , k ], h ∈ f(H), k ∈ f(K)}, on obtient f(S) = S . Donc f([H, K]) = f(< S >) =< f(S) >=< S >= [f(H), f(K)]. Maintenant, si f est un automorphisme inté- rieur, alors f(H) = H et f(K) = K puisque H et K sont distingués dans G. Donc f([H, K]) = [H, K] ce qui prouve que [H, K] est distingué dans G. En particulier, le groupe dérivé D(G) = [G, G] est distingué dans G. Lemme 1.7.3. Soit H distingué dans G. Alors le quotient G/H est abélien si et seule- ment si le groupe dérivé de G est inclus dans H. Démonstration : Notons C = {xyx−1 y−1 |(x, y) ∈ (G/H)2 } l’ensemble des commutateurs de G/H. En écrivant x = aH et y = bH on obtient xyx−1 y−1 = aba−1 b−1 H = [a, b]H. Ainsi C = {[a, b]H, (a, b) ∈ G2 }. Or G/H est commutatif revient à dire que D(G/H) = {H} ou encore que < C >= {H}. Comme C = {[a, b]H, (a, b) ∈ G2 }, cela équivaut à dire que [a, b]H = H pour tout (a, b) ∈ G2 , ou encore que [a, b] ∈ H pour tout (a, b) ∈ G2 , c’est à dire que D(G) ⊆ H Définition 1.7.4. Suite dérivée d’un groupe : On définit (Di(G))i∈N la suite dérivée de G par récurrence de la façon suivante : D0(G) = G et ∀i ∈ N, Di+1(G) = D(Di(G)). Cette suite vérifie : i ∀i ∈ N, Di(G) G ii la suite (Di(G))i∈N est décroissante iii ∀i ∈ N, Di(G)/Di+1(G) est abélien Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  24. 24. Groupes résolubles, groupes simples 27 Démonstration : i) : c’est une récurrence sur i : D0(G) = G G et si Di(G) G alors Di+1(G) = [Di(G), Di(G)] G d’après 1.7.2. ii) : Di+1(G) = [Di(G), Di(G)] ⊆ Di(G). iii) : cf 1.7.3. En particulier, la suite dérivée d’un groupe est abélienne (cf 1.7.5) puisque Di+1(G) G ⇒ Di+1(G) Di(G). 1.7.2. Groupes résolubles Définition 1.7.5. On appelle suite normale de G une suite finie décroissante (Gi)0≤i≤n de sous-groupes de G vérifiant G0 = G, Gn = {e} et ∀i ∈ [0, n − 1], Gi+1 est un sous- groupe distingué de Gi. Si de plus, tous les quotients successifs Gi/Gi+1, i ∈ [0, n − 1], sont abéliens, on dit que la suite est abélienne. Définition 1.7.6. On dit que G est résoluble si l’une des conditions équivalentes sui- vantes est satisfaite : i G admet une suite abélienne (Gi)0≤i≤n : {e} = Gn Gn−1 ... G0 = G ii il existe n ∈ N tel que Dn(G) = {e} iii il existe (Gi)0≤i≤n une suite finie décroissante de sous-groupes de G vérifiant : G0 = G, Gn = {e}, ∀i ∈ [0, n − 1], Gi est un sous-groupe distingué de G, et ∀i ∈ [0, n − 1], Gi/Gi+1 est abélien Démonstration : i) ⇒ ii) : on montre par récurrence sur i que Di(G) ⊂ Gi pour tout i. On a en effet D0(G) = G0 = G et si Di(G) ⊂ Gi alors D(Di(G)) ⊂ D(Gi) ⊆ Gi+1 car le quotient Gi/Gi+1 étant commutatif, on a nécessairement D(Gi) ⊆ Gi+1. Pour i = n, on obtient donc Dn(G) = {e}. ii) ⇒ iii) : il suffit de prendre (Di(G))i iii) ⇒ i) : trivial. Proposition 1.7.7. Tout groupe abélien est résoluble. Démonstration : Si G est abélien, alors D(G) = {e} donc G est résoluble d’après 1.7.6. Proposition 1.7.8. i Si G est résoluble, alors tout sous-groupe H de G est résoluble, et si de plus H G, alors G/H est résoluble ii Réciproquement, si H G, et si H et G/H sont résolubles, alors G est résoluble Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  25. 25. 28 Notions de théorie des groupes Démonstration : On montre par récurrence sur i que Di(H) ⊂ Di(G) pour tout i. Donc Dn(H) = {e} ce qui signifie que H est résoluble. Si H est distingué dans G, soit φ la surjection canonique φ : G → G/H. Une récurrence sur i permet de montrer que Di(G/H) = φ(Di(G)) pour tout i. En particulier, Dn(G/H) = φ(Dn(G)) = φ({e}) = {H} ce qui prouve que G/H est résoluble. Réciproquement, si H G et G/H sont résolubles, alors comme Dn(G/H) = φ(Dn(G)) et que Dn(G/H) = {H}, on a φ(Dn(G)) = {H}, autrement dit Dn(G) ⊂ H. En itérant D k fois, on trouve Dn+k(G) ⊂ Dn+k(H). Pour k assez grand, Dn+k(H) = {e} puisque H est résoluble, ce qui prouve que G est résoluble. Proposition 1.7.9. Tout p-groupe (i.e. un groupe d’ordre une puissance de p) est réso- luble. Démonstration : On commence par montrer les deux lemmes qui suivent. Lemme 1.7.10. Lemme de Burnside : Soit G un p-groupe. Alors p divise card(Z(G)) où Z(G) est le centre de G. Démonstration : On considère l’action de G sur lui-même par conjugaison. D’après 1.6.5, |G| ≡ Z(G) mod p. Comme p divise |G|, on en déduit que p divise card(Z(G)). Lemme 1.7.11. Soit G un p-groupe d’ordre pn , p ∈ N premier, n ∈ N. Alors il existe une suite décroissante de groupes distingués de G, Gn = {e} ⊆ Gn−1 ⊆ ... ⊆ G0 = G, telle que ∀ ∈ {1, ..., n}, |Gi| = pn−i . Démonstration : On fait une récurrence sur n. Pour n = 0 c’est évident. Supposons le résultat vrai au rang n − 1. D’après le lemme 1.7.10, p divise card(Z(G)). Le lemme 1.6.4 permet alors d’affirmer qu’il existe un élément x d’ordre p dans Z(G), donc d’ordre p dans G. < x > G puisque x ∈ Z(G), ce qui per- met de considérer le groupe G/ < x > d’ordre pn−1 . On applique l’hypothèse de récurrence à G/ < x > : il existe une suite décroissante de groupes distingués de G/ < x >, Hn−1 = {¯e} ⊆ ... ⊆ H0 = G/ < x >, |Hi| = pn−1−i . D’après le théorème d’isomorphisme 1.3.2, il existe une suite décroissante de groupes dis- tingués dans G, Gn−1 =< x >⊆ ... ⊆ G0 = G, telle que Gi/ < x >∼= Hi pour tout i. Donc |Gi| = pn−i et on pose Gn = {e}, ce qui démontre la propriété au rang n. La suite ci-dessus est abélienne, puisque les quotients successifs sont tous d’ordre p, donc cycliques, donc abéliens, ce qui clôt la démonstration de 1.7.9. Théorème 1.7.12. Soit G un groupe fini. Soient p ∈ N premier, n ∈ N, tels que pn divise |G|, alors il existe un sous-groupe de G d’ordre pn. Démonstration : On choisit P un p-Sylow de G, et on applique le lemme 1.7.11 à P, ce qui prouve l’existence d’un sous-groupe de G d’ordre pi pour tout i ≤ n où pn est l’ordre de P. Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  26. 26. Études 29 1.7.3. Groupes simples Définition 1.7.13. G est dit simple si et seulement si G = {e} et ses seuls sous-groupes distingués sont {e} et G. Proposition 1.7.14. i Un groupe abélien G est simple si et seulement s’il existe p premier tel que G ∼= Z/pZ. ii Un groupe résoluble G est simple si et seulement s’il existe p premier tel que G ∼= Z/pZ. Démonstration : Si G ∼= Z/pZ avec p premier, alors G est simple puisque les seuls sous-groupes de Z/pZ sont {e} et Z/pZ. Maintenant, soit G abélien et simple. Soit x ∈ G{e}. Le sous-groupe < x > de G est distingué dans G puisque G est abélien, et donc égal à G entier puisque G est simple. G est donc monogène. Si G était infini, il serait isomorphe à Z ce qui est impossible puisque Z n’est pas simple. Donc G est fini, isomorphe à Z/pZ, qui est simple si et seulement si p est premier. A présent, soit G résoluble et simple. Alors D(G) étant distingué dans G et G étant simple, D(G) = {e} ou bien D(G) = G. Si D(G) = G alors Di(G) = G pour tout i ce qui contredit le caractère résoluble de G. Donc D(G) = {e}, autrement dit G est abélien, et on utilise alors le point précédent pour conclure. 1.8. Études Note importante : les démonstrations des résultats suivants font appel, à quelques reprises, à des notions de base de théories des anneaux et des corps. 1.8.1. Petit théorème de Fermat (1640) Soit p un nombre premier. Alors p|(np − n) pour tout n ∈ Z. Démonstration : Nous donnons une démonstration qui utilise la structure de corps de Z/pZ lorsque p est premier, et proposons deux variantes en exercice. p étant premier, Z/pZ est un corps donc le groupe des éléments inversibles Z/pZ∗ est de cardinal p − 1. D’après le théorème de Lagrange, l’ordre d’un élément du groupe divise l’ordre (ou cardinal) du groupe. Donc ∀x ∈ Z/pZ∗ , xp−1 = 1 ce qui en termes de congruences s’écrit ∀n tel que p |n, np−1 ≡ 1[p]. En multipliant à gauche et à droite par n, on obtient np ≡ n[p], pour tout n tel que p |n, congruence qui reste vraie pour n multiple de p ce qui achève la démonstration. Note : La réciproque de ce théorème n’est pas vraie : il existe des nombres non-premiers satisfaisant la congruence précédente pour tout n ∈ Z. Ces nombres sont appelés nombres de Carmichael (ou menteurs de Fermat, du fait que cette congruence ne peut être utilisée comme test de primalité d’un nombre entier). Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  27. 27. 30 Notions de théorie des groupes 1.8.2. Structure des groupes abéliens finis : théorème de Kronecker 1.8.3. Groupe des automorphismes de Z/nZ Il est assez aisé de remarquer que le groupe des automorphismes de Z/nZ, Aut(Z/nZ), est isomorphe à Z/nZ∗. En effet si u désigne un automorphisme de Z/nZ, u(1) est né- cessairement envoyé sur un générateur de Z/nZ, et comme il est bien connu que les générateurs de Z/nZ sont les éléments inversibles de Z/nZ, il existe un morphisme injec- tif de Aut(Z/nZ) dans Z/nZ∗. Réciproquement, comme tout élément de Z/nZ∗ convient comme image de l’unité, on a affaire à un isomorphisme de groupes : Aut(Z/nZ) ∼= Z/nZ∗. Ainsi on est ramené à étudier la structure de Z/nZ∗. Pour mieux appréhender la structure de Z/nZ∗, nous allons dévisser le groupe et pour cela commencer par démontrer la proposition suivante : Proposition 1.8.1. Z/nZ∗ ∼= i Z/pαi i Z∗ où n = i pαi i désigne la décomposition de n en produit de facteurs premiers. Démonstration : C’est une conséquence quasi-immédiate du lemme chinois qui affirme l’existence d’un isomorphisme d’anneaux (Z/nZ) ∼= i(Z/pαi i Z). Par conséquent il existe un isomorphisme de groupes du groupe des inversibles de Z/nZ sur le groupe des inversibles de i Z/pαi i Z, le groupe ( i Z/pαi i Z)∗ des inversibles de i Z/pαi i Z étant trivialement égal au produit des groupes des inversibles i Z/pαi i Z∗ . Il est possible de faire une analyse plus fine de i Z/pαi i Z∗ en étudiant plus precisément la structure de chacun des groupes Z/pαi i Z∗. Pour ceci, on distingue pour l’étude générale de Z/pαZ∗ trois cas : i α = 1 i.e. Z/pαZ∗ est de la forme Z/pZ∗ ii α ≥ 2 et p ≥ 3 iii α ≥ 2 et p = 2 i.e. Z/pαZ∗ est de la forme Z/2αZ∗ et nous allons démontrer la proposition suivante : Proposition 1.8.2. Si p est premier, Z/pαZ∗ peut se dévisser de l’une des façons sui- vantes selon les valeurs de p et α. i Z/pZ∗ ∼= Z/(p − 1)Z ii Z/pαZ∗ ∼= Z/pα−1(p − 1)Z si p ≥ 3 et α ≥ 2 iii Z/2αZ∗ ∼= Z/2Z × Z/2α−2Z si α ≥ 3 et Z/4Z∗ ∼= {−1, 1} Note : Ce résultat est bien en accord avec la structure des groupes abéliens finis (théorème de structure de Kronecker). Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  28. 28. Études 31 i Nous allons donc d’abord nous intéresser à la structure de Z/pZ∗ lorsque p est premier et pour cela commencer par démontrer un joli théorème. Théorème 1.8.3. Soit K un corps commutatif et G un sous-groupe fini du groupe multiplicatif (K∗, ·). Alors G est cyclique. Démonstration : Commençons par démontrer le lemme suivant. Lemme 1.8.4. Soit G un groupe fini de cardinal n (non supposé abélien) vérifiant la propriété suivante : pour tout entier d divisant n, il existe au plus d éléments de G satisfaisant l’égalité xd = 1. Alors G est cyclique. Démonstration du lemme : Notons pour tout d divisant n, Ψd l’ensemble des éléments de G d’ordre d et ψd = Card(Ψd). On a evidemment n = d|n ψd : c’est une conséquence directe du théorème de Lagrange. Montrons que Ψd = φ(d) pour tout d, où φ désigne l’indicatrice d’Euler. Si Ψd est non vide, on choisit un élément x ∈ Ψd. Alors < x >, le sous-groupe de G engendré par x, est d’ordre d. Par conséquent, l’ordre de tout élément d’un groupe fini divisant l’ordre du groupe, tous les éléments de < x > satisfont l’équation xd = 1 et ils sont au nombre de d. Par hypothèse, cette équation admet au plus d solutions dans G ce qui signifie que Ψd ⊂< x >. Les éléments d’ordre d dans < x > étant les xi où 0 ≤ i < d et i premier avec d, il y en a donc φ(d). Par conséquent, ψd = φ(d). Donc pour tout d tel que d|n, on a ψd = 0 ou bien ψd = φ(d). Comme on a le résultat bien connu n = d|n φ(d), on en déduit que ψd = φ(d) pour tout d|n. En particulier, ψn = φ(n) et donc il existe bien un élément d’ordre n dans G (il y en même φ(n)). G est donc cyclique. Revenons à présent à la démonstration du théorème. Considérons le polynôme Xd − 1 pour d|n. K étant un corps commutatif, ce polynôme admet au plus d racines distinctes dans K et a fortiori dans G. Le lemme précédent assure alors que G est cyclique. Application : Z/pZ étant un corps si p est premier (et seulement si d’ailleurs), son groupe multiplicatif Z/pZ∗ est cyclique, donc isomorphe à Z/(p − 1)Z, résultat non-évident a priori. ii Si p ≥ 3 et α ≥ 2 on va montrer que Z/pαZ∗ est encore cyclique. Comme Z/pαZ∗ est de cardinal φ(pα) (par définition de l’indicatrice d’Euler) et un petit calcul élémentaire montrant que φ(pα) = pα−1(p − 1) on souhaite donc montrer que Z/pαZ∗ ∼= Z/φ(pα)Z ∼= Z/pα−1(p − 1)Z. Démonstration : La démonstration que l’on présente est constructive dans le sens où l’on va exhiber un élément d’ordre pα−1 (p − 1) ce qui prouvera que Z/pα Z∗ est cyclique. Pour cela, on va exhiber deux éléments x et y de Z/pα Z∗ d’ordres respectifs pα−1 et p − 1 et le lemme suivant permettra de conclure que leur produit xy est d’ordre pα−1 (p − 1) dans Z/pα Z∗ . Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  29. 29. 32 Notions de théorie des groupes Lemme 1.8.5. Soit G un groupe fini et deux éléments x et y de G qui commutent entre eux d’ordres respectifs m et n où m ∧ n = 1. Alors xy est d’ordre mn dans G. Démonstration du lemme : Si (xy)p = 1 alors xp = (y−1 )p donc xp ∈< y > et par conséquent xpn = 1 donc m|pn. Comme m et n sont premiers entre eux, on en déduit que m divise p (théo- rème de Gauss). De la même façon on montre que n divise p et comme m ∧ n = 1, on a mn qui divise p. Or (xy)mn = (xm )n (yn )m = 1, donc l’ordre de xy est mn. A présent démontrons l’existence d’un élément d’ordre pα−1 . Montrons que p+1 est effectivement d’ordre pα−1 dans Z/pα Z∗ . Pour cela, prouvons que ∀k ∈ N∗ , ∃λ ∈ N∗ , λ ∧ p = 1, (p + 1)pk = 1 + λpk+1 On fait une récurrence sur k. Pour k = 1, (p + 1)p = p i=0 Ci ppi = 1 + p2 + p i=2 Ci ppi et comme p|Ci p pour 1 ≤ i ≤ p − 1, p3 | p−1 i=2 Ci ppi et comme p ≥ 3, p3 |pp . On peut donc écrire (p + 1)p = 1 + p2 + up3 = 1 + p2 (1 + up). λ = 1 + up étant premier à p, on a montré le cas k = 1. Maintenant supposons l’hypothèse vraie au rang k ≥ 1 et montrons qu’elle reste vraie au rang k+1. (p+1)pk+1 = ((p+1)pk )p = (1+λpk+1 )p = p i=0 Ci pλi pi(k+1) = 1+λpk+2 + p i=2 Ci pλi pi(k+1) et comme p i=2 Ci pλi pi(k+1) est divisible par pk+3 , on peut écrire (p + 1)pk+1 = 1 + pk+2 (λ + vp) et (λ + vp) est bien premier à p ce qui démontre l’hypothèse au rang k + 1. Par conséquent (p + 1)pα−1 ≡ 1 mod pα et (p + 1)pα−2 ≡ 1 mod pα ce qui prouve que p + 1 est d’ordre pα−1 dans Z/pα Z∗ . Pour démontrer l’existence d’un élément d’ordre p−1, on utilise le morphisme canonique surjectif ψ : Z/pα Z∗ −→ Z/pZ∗ et on choist x ∈ Z/pα Z∗ tel que ψ(x) est d’ordre p − 1 dans Z/pZ∗ (c’est possible puisque Z/pZ∗ est cyclique). Alors l’ordre de ψ(x) dans Z/pα Z∗ est un multiple de p − 1, disons q(p − 1) et xq est donc d’ordre p − 1 dans Z/pα Z∗ . D’après le lemme précédent, il existe alors un élément de Z/pα Z∗ d’ordre pα−1 (p−1) ce qui prouve que Z/pα Z∗ est cyclique. iii Cas où p = 2. Les cas α = 1 et α = 2 sont triviaux : Z/2Z∗ = {1} et Z/4Z∗ ∼= Z/2Z = {−1, 1}. Si α ≥ 3 on va montrer que Z/2αZ∗ ∼= Z/2Z × Z/2α−2Z. Démonstration : On considère le morphisme surjectif ψ : Z/2α Z∗ → Z/4Z∗ , de noyau N = ker(ψ). On a donc une suite exacte : {1} N Z/2α Z∗ Z/4Z∗ {1} i ψ Comme la restriction de ψ au sous-groupe H = {−1, 1} de Z/2α Z∗ est un isomorphisme, on en déduit que Z/2α Z∗ est produit semi-direct de N et H. C’est en fait un produit direct car Z/2α Z∗ est abélien : Z/2α Z∗ ∼= N × H. Montrons à présent que N est cyclique, ce qui revient à montrer qu’il existe un élément d’ordre 2α−2 dans N, N étant de cardinal 2α−2 . On utilise le lemme suivant : Lemme 1.8.6. Soit k ∈ N∗ . On a 52k = 1 + λ2k+2 avec λ impair. Démonstration du lemme : Récurrence sur k. Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  30. 30. Études 33 ce qui prouve que 5 est d’ordre 2α−2 dans Z/2α Z∗ et comme 5 ∈ N, N est bien cyclique : N ∼= Z/2α−2 Z. On a ainsi démontré que Z/2α Z∗ ∼= Z/2Z × Z/2α−2 Z si α ≥ 3. 1.8.4. Groupe des automorphismes de Sn 1.8.5. Une démonstration alternative des théorèmes de Sylow Cette démonstration est due à Serre. Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  31. 31. 2. Notions de théorie des anneaux 2.1. Généralités 2.1.1. Anneaux Définition 2.1.1. Soit A un ensemble muni de deux lois de composition interne, l’une notée +, l’autre notée ×. On dit que A, muni des lois + et ×, est un anneau si (A, +, ×) vérifie les propriétés suivantes : i (A, +) est un groupe commutatif, d’élément neutre noté 0. ii La loi × est associative. iii La loi × est distributive sur la loi +, i.e. si pour tous x, y, z de A, x·(y+z) = x·y+x·z. Lorsque la loi × admet un élément neutre, on parle d’anneau unitaire. Le neutre est alors généralement noté 1. Lorsque la loi × est commutative, on parle d’anneau commutatif. Dans cette section, nous ne considérons que des anneaux commutatifs uni- taires. Par la suite, la dénomination ’anneau’ désigne automatiquement un anneau commutatif unitaire, sauf mention explicite du contraire. De la même façon, nous ne considérons dans cette section que des corps commutatifs, et la dénomination ’corps’ désigne automatiquement un corps commutatif. Définition 2.1.2. Soit A un anneau non nul et a un élément de A, a = 0. On dit que a est un diviseur de 0 s’il existe b élément de A, b = 0, tel que ab = 0. Définition 2.1.3. Un anneau A non nul est dit intègre s’il est sans diviseur de 0, autre- ment dit si (ab = 0) ⇒ ((a = 0) ou (b = 0)). Exemple 2.1.4. Z est intègre, un corps k est intègre, A[X] est intègre si et seulement si A est intègre, Z/nZ est intègre si et seulement si n est premier.
  32. 32. 36 Notions de théorie des anneaux Définition 2.1.5. Soit A un anneau. Un élément a de A est dit nilpotent s’il existe n ∈ N∗ tel que an = 0. On dit que a est unipotent si a − 1 est nilpotent. 2.1.2. Idéaux Généralités Définition 2.1.6. Soit A un anneau. Une partie I non-vide de A est appelée idéal de A si i (I, +) est un sous-groupe de (A, +) ii Pour tout a ∈ A, aI ⊂ I Si I contient l’élément unité 1 alors I = A d’après le deuxième point de la définition. Si I contient un élément x inversible dans A alors I = A en invoquant le même argument. Un idéal I est dit propre s’il n’est pas égal à A. Définition 2.1.7. Soient I et J deux idéaux de A. On définit la somme de I et J : I + J = {a + b; a ∈ I, b ∈ J} ainsi que le produit de I et J : I · J = { n i=1 aibi; ai ∈ I, bi ∈ J, n ∈ N} Proposition 2.1.8. Une intersection d’idéaux de A est un idéal de A. Une somme d’idéaux de A est un idéal de A. Un produit d’idéaux de A est un idéal de A. Démonstration : Soit (Ij)j∈J une famille d’idéaux de A. j∈J Ij est un sous-groupe de (A, +) d’après la proposition 1.1.3. Soit a ∈ A et x ∈ j∈J Ij. Alors ax ∈ Ij et xa ∈ Ij pour tout j ∈ J. Donc l’inter- section est encore un idéal de A. Considérons à présent une somme j∈J Ij d’idéaux, J pouvant être infini. j∈J Ij est l’ensemble des éléments de A s’écrivant comme une somme finie d’éléments ik ∈ Ik. j Ij contient 0. Si x et x sont deux éléments de j Ij alors x − x ∈ j Ij. Soit a élément de A. Alors en écrivant x = k∈K xk avec K fini, les xk étant dans Ik, axk ∈ Ik pour tout k ∈ K. Donc Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  33. 33. Généralités 37 a k xk ∈ k∈K Ik ⊂ j∈J Ij ce qui clôt la démonstration. Note : On vérifie aisément que I · J ⊂ I ∩ J ⊂ I + J. Définition 2.1.9. Un idéal I d’un anneau A est dit principal s’il existe a ∈ A tel que aA = I. On note alors I = (a). Propriétés et remarques sur les idéaux Définition 2.1.10. Soit A un anneau et I un idéal de A. i I est dit premier si A/I est intègre. ii I est dit maximal si A/I est un corps. En particulier, tout idéal maximal est premier. A n’est ni premier ni maximal. Proposition 2.1.11. Un idéal propre de A est maximal si et seulement si le seul idéal qui le contient strictement est A. Démonstration : Soit I idéal maximal de I et J idéal de A contenant strictement I. Soit a ∈ J. Alors a + I est inversible dans A/I (la classe de a étant non nulle dans le corps A/I). Ainsi il existe b ∈ A tel que ab = 1 + I et comme a est dans J idéal de A, l’élément unité 1 est dans J. Donc J = A. Réciproquement, supposons I idéal de A qui n’est contenu dans aucun idéal de A autre que A. Soit a dans AI. L’idéal I + (a) contient strictement I donc est égal à A. Par conséquent il existe b ∈ A tel que i + ab = 1 avec i ∈ I. En particulier les classes dans AI de a et b sont telles que ¯a¯b = ¯1 et donc ¯a est inversible. Donc A/I est un corps et I est maximal. Proposition 2.1.12. Soit P un idéal propre de A. P est un idéal premier si et seulement si l’une des deux conditions équivalentes suivantes est vérifiée : i Pour tous I, J idéaux de A, (I · J ⊂ P) ⇒ (I ⊂ P ou J ⊂ P) ii Pour tous x, y éléments de A, (xy ∈ P) ⇒ (x ∈ P ou y ∈ P) Démonstration : Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  34. 34. 38 Notions de théorie des anneaux 2.2. Anneaux quotient 2.3. Anneaux noetheriens Définition 2.3.1. Un anneau A est dit noetherien si tout idéal de A est engendré par un nombre fini d’éléments. Proposition 2.3.2. Un anneau A est noetherien si et seulement si il vérifie une des deux propositions équivalentes suivantes : i Toute suite croissante d’idéaux de A est stationnaire. ii Tout ensemble non vide d’idéaux de A possède un élément maximal. Démonstration : Supposons A noetherien et (In)n∈N une suite croissante d’idéaux de A. Soit I = n∈N In. En tant que réunion croissante d’idéaux, I est aussi leur somme donc c’est un idéal de A. Comme on a supposé A noetherien, I est engendré par un nombre fini d’éléments de A, disons {a1, ..., ak}, avec a1 ∈ I1, ..., ak ∈ Ik. Comme (In)n∈N est croissante pour l’inclusion, il existe N tel que ai ∈ IN pour tout i ∈ {1, ..., k}. Donc I = IN et la suite est stationnaire. Supposons à présent que A est un anneau vérifiant la condition i) et montrons qu’alors ii) est vérifiée. Soit I une famille non vide d’idéaux de A. Raisonnons par l’absurde en supposant que cette famille ne possède pas d’élément maximal. Soit I0 ∈ I. I0 n’étant pas maximal, on peut choisir I1 ∈ I contenant strictement I0 et strictement inclus dans A, puis par récurrence, une suite strictement croissante (In)n∈N d’idéaux de A ce qui contredit l’hypothèse i). Donc i ⇒ ii) est démontré. Terminons en démontrant que tout anneau satisfaisant à la condition ii) est de type fini. Soit I un idéal de A et I la famille de tous les idéaux de type fini contenus dans I. I est non-vide car (0) ∈ I donc admet un élément maximal M d’après l’hypothèse ii). On a par définition M ⊂ I. Montrons qu’en fait M = I : raisonnons par l’absurde en supposant que l’inclusion est stricte. On peut donc choisir x ∈ IM et considérer l’idéal N = M + (x). N est un idéal de type fini contenant strictement M et in- clus dans I, ce qui contredit le caractère maximal de M. Donc M = I ce qui prouve que I est de type fini. 2.4. Propriétés arithmétiques Dans toute cette section, on suppose que A est un anneau intègre. 2.4.1. Divisibilité Définition 2.4.1. Soient a et b deux éléments de A. On dit que b divise a s’il existe c dans A tel que a = bc et on note alors b|a. On a alors l’équivalence b|a ⇔ (a) ⊂ (b). Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  35. 35. Propriétés arithmétiques 39 Démonstration : Si b|a alors il existe c tel que a = bc et donc a ∈ (b) et par conséquent (a) ⊂ (b), (a) étant le plus petit idéal contenant a. Réciproquement, si (a) ⊂ (b) alors a ∈ (b) et par conséquent il existe c dans A tel que a = bc. Définition 2.4.2. Deux éléments a et b sont dits associés dans A, si a|b et b|a. Cela revient à dire qu’il existe u élément inversible de A tel que a = bu. Démonstration : Soit u tel que a = bu et v tel que b = av. Alors a = avu et comme A est intègre on en déduit que vu = 1, donc u est inversible. Réciproquement, si u est inversible et vérifie a = bu alors b = au−1 , donc a et b sont associés dans A. Définition 2.4.3. Soit p un élément non nul de A. On dit que p est irréductible si p vérifie les conditions suivantes : i p /∈ A∗ ii (p = uv) ⇒ (u ∈ A∗ ou v ∈ A∗) Exemple 2.4.4. Les éléments irréductibles de Z sont les entiers premiers (et leurs op- posés). Définition 2.4.5. Soit p un élément non nul de A. On dit que p est premier si p vérifie les conditions suivantes : i p /∈ A∗ ii p|xy ⇒ (p|x ou p|y) Proposition 2.4.6. Tout élément premier est irréductible. Démonstration : Note : La réciproque est vraie si A est factoriel. Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  36. 36. 40 Notions de théorie des anneaux Proposition 2.4.7. Soit p /∈ A∗ non nul. i p est irréductible si et seulement si (p) est maximal parmi les idéaux principaux de A. ii p est premier si et seulement si (p) est premier. Démonstration : Définition 2.4.8. Deux éléments a et b de A sont dits premiers entre eux si (d|a et d|b) ⇒ (d ∈ A∗). La proposition suivante établit l’existence d’une décomposition primaire dans un an- neau intègre noetherien (il n’y a pas unicité en général, contrairement aux anneaux factoriels). Proposition 2.4.9. Si A est un anneau intègre noetherien, alors il vérifie la propriété suivante : i Tout élément non nul a de A peut s’écrire sous la forme a = u · p1 · p2 · ... · pn où u est inversible dans A et p1, ..., pn sont irréductibles. Démonstration : Notons H l’ensemble des éléments non nuls de A n’admettant pas de telle décom- position. Supposons H non vide et choisissons a1 dans H. En particulier, a1 n’est pas irréductible donc il existe b et c dans A tels que a1 = bc, avec b ou c dans H car si b et c admettaient tous deux une telle décomposition, alors il en serait de même pour a1. Par symétrie on suppose donc que b ∈ H et on note a2 = b. On a a2|a1 ce qui s’écrit (a1) ⊂ (a2). On a (a1) = (a2) sinon a1 et a2 seraient associés dans A supposé intègre. On peut réitérer le raisonnement avec a2 et construire par récurrence une suite strictement croissante d’idéaux (a1) ⊂ (a2) ⊂ ... ⊂ (an) ⊂ ... ce qui contredit le caractère noetherien de A. 2.4.2. Anneaux factoriels Définition 2.4.10. Un anneau intègre A est dit factoriel s’il vérifie les deux propriétés suivantes : i Tout élément non nul a de A peut s’écrire sous la forme a = u · p1 · p2 · ... · pn où u est inversible dans A et p1, ..., pn sont irréductibles. Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  37. 37. Propriétés arithmétiques 41 ii Cette écriture est unique (à ’renumérotation’ près) : si u·p1·p2·...·pn et v·q1·q2·...·qm sont deux telles décompositions de a, alors m = n et il existe une permutation σ ∈ Sn telle que pi et qi soient associés pour tout i ∈ {1, ..., n}. Exemple 2.4.11. Z est factoriel, A[X] est factoriel si A est factoriel (théorème de Gauss, cf théorème 2.5.3). On peut parfois établir plus aisément le caractère factoriel d’un anneau intègre en utilisant la proposition suivante : Proposition 2.4.12. Un anneau intègre est factoriel si et seulement s’il vérifie les deux propriétés suivantes : i Toute suite croissante d’idéaux principaux est stationnaire. ii Tout idéal engendré par un élément irréductible est premier. Démonstration : Soit A un anneau factoriel. Soit σ : A{0} → N la fonction qui à a associe le nombre de facteurs irréductibles dans la décomposition primaire de a. σ est bien définie d’après l’unicité de la dé- composition en produit d’irréductibles. De plus si a et b sont deux éléments de A alors σ(ab) = σ(a)+σ(b). En particulier, si d divise strictement a alors σ(a) > σ(d). Montrons la propriété i) : Soit (an)n∈N une suite croissante d’idéaux non nuls (si (a0) est nul alors tous les (ai) le sont). En particulier (ai) ⊂ (ai+1), autrement dit ai+1|ai pour tout i, donc (σ(n))n est décroissante dans N, donc stationnaire. Il en va de même de (an)n. Montrons à présent la propriété ii) : soit p un élément irréductible de A et (p) l’idéal engendré par (p). Soient a et b deux éléments de A, et ¯a et ¯b leurs représentants dans A/(p), tels que ¯a¯b = 0. Alors p|ab et comme la décomposition en facteurs irréductibles est unique, on en déduit que p divise nécessairement a ou b (ou les deux). Donc ¯a = 0 et ¯b = 0 ce qui prouve que A/(p) est intègre (donc que (p) est premier). A présent, supposons que A soit un anneau intègre vérifiant les deux propriétés ci-dessus. Montrons qu’il est factoriel. Soit a élément non inversible de A. Alors il existe un élément irréductible qui divise a. En effet, supposons le contraire, c’est à dire qu’il existe a0 dans A∗ divisible par aucun irréductible. a0 lui même n’est donc pas irréductible et il existe a1 et b de A∗ tels que a = a1b avec (a0) (a1). a1 ne peut être divisible par un irréductible sinon il en irait de même de a0. On construit donc par récurrence une suite d’idéaux principaux strictement croissante dans A ce qui contredit l’hypothèse i). Donc tout élément non inversible est divisible par un irréductible. A présent montrons que tout élément non nul de A admet une décomposition primaire. Supposons le contraire, c’est à dire qu’il existe a non nul de A, n’admettant pas une telle décomposition. a ne peut être inversible donc a est divisible par un élément irréductible p1 et on a a = p1u1. De la même façon u1 ne peut être inversible donc est divisible par un irréductible p2. On construit ainsi par récurrence une suite (pn)n d’idéaux strictement croissante, ce qui contredit l’hypothèse i). On a donc montré l’existence d’une décomposition primaire pour tout a non nul de A. Traitons à présent l’unicité : soit a ∈ A{0} et (p1, ..., pn), (q1, ..., qm) tels que a = p1 · ... · pn = q1 · ... · qm. Si n = 1 alors m = 1 sinon p1 ne serait pas irréductible. Donc p1 et q1 sont associés. Supposons la propriété démontrée à l’ordre n − 1, n ≥ 2. Si a = p1 · ... · pn = q1 · ... · qm sont deux décompositions de a alors pn divise q1 · ... · qm, donc q1 · ... · qm ∈ (pn). Comme (pn) est premier, on a donc ¯q1 · ... · ¯qm = 0 dans A(pn) intègre, donc il existe ¯qi = 0, disons ¯qm = 0 par exemple (à renumérotation près). Autrement dit, pn|qm et donc pn et qm sont associés puisque qm est irréductible. On applique l’hypothèse de récurrence à a/pn et l’unicité est démontrée. Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  38. 38. 42 Notions de théorie des anneaux Définition 2.4.13. Soit A un anneau factoriel. On définit le ppcm et pgcd de deux éléments non nuls a et b de la façon suivante : si a = u pvp(a) et b = v pvp(b) désigne les décompositions primaires de a et b i ppcm(a, b) = a ∨ b = psup(vp(a),vp(b)) ii pgcd(a, b) = a ∧ b = pinf(vp(a),vp(b)) Remarques : 1. Les pgcd et ppcm ne sont définis qu’aux éléments inversibles près 2. (a ∧ b) est le plus petit idéal contenant (a) et (b) : (a ∧ b) = sup{(a); (b)} 3. (a ∨ b) est le plus grand idéal contenu à la fois dans (a) et dans (b) : (a ∨ b) = inf{(a); (b)} = (a) ∩ (b) 2.4.3. Anneaux principaux Définition 2.4.14. Soit A un anneau intègre. A est dit principal si tous ses idéaux sont principaux. Exemple 2.4.15. Z est principal. L’anneau k[X] est principal si et seulement si k est un corps (cf proposition 2.5.1). Corollaire 2.4.16. Un anneau principal est factoriel. Démonstration : Si A est principal, alors A est trivialement intègre et noetherien (par définitions) donc la propriété i) de la proposition 2.4.12 est vérifiée (conséquence de la proposition 2.3.2). La propriété ii) de 2.4.12 est également vérifiée, d’après la proposition qui suit. Donc A est factoriel. Proposition 2.4.17. Soit A un anneau principal et p un élément non nul de A. Les 3 propositions suivantes sont équivalentes : i p est irréductible ii (p) est premier iii (p) est maximal Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  39. 39. Propriétés arithmétiques 43 Démonstration : i) ⇒ iii) : Supposons p irréductible. Soit I un idéal de A contenant strictement (p) ((p) ne peut être égal à A sinon p serait inversible). A étant principal, il existe a tel que I = (a). Comme p ∈ I puisque I contient (p), a divise p. Comme a /∈ (p), a est inversible puisqu’on a supposé p irréductible. Donc (a) = A et par conséquent (p) est maximal. iii) ⇒ ii) est une conséquence immédiate de la définition. ii) ⇒ i) : supposons (p) premier et écrivons p = xy, avec x et y dans A. Alors ¯x¯y = 0 dans A/(p) qui est intègre. Donc ¯x ou ¯y est nul, c’est à dire que x ou y est associé à p. Donc p est irréductible. Proposition 2.4.18. Soit A un anneau principal. Soient a et b deux éléments de A{0}. Alors (a ∧ b) = (a) + (b). Démonstration : (a ∧ b) est le sup de (a) et (b) dans l’ensemble des idéaux principaux, donc dans l’ensemble des idéaux puisque A est principal. Or (a) + (b) ⊂ (a ∧ b) de façon générale (même si A n’est pas principal). Donc (a ∧ b) = (a) + (b). En particulier, dans un anneau principal, on peut énoncer le théorème suivant : Corollaire 2.4.19. Théorème de Bezout : Soit A un anneau principal, a et b deux éléments non nuls de A. Alors a et b sont premiers entre eux si et seulement si (a)+(b) = (1) autrement dit si et seulement s’il existe u et v dans A tels que au + bv = 1. 2.4.4. Anneaux euclidiens Définition 2.4.20. Un anneau intègre A est dit euclidien s’il est muni d’une division euclidienne, c’est-à-dire d’une application v : A{0} −→ N vérifiant les propriétés sui- vantes : i ∀a ∈ A, ∀b ∈ A{0}, ∃q, r ∈ A tels que a = qb + r avec (r = 0 ou v(r) < v(b)) ii ∀a, b ∈ A{0}, v(b) ≤ v(ab) Remarque : Une telle application est appelée stathme. Un préstathme est une application vérifiant la première de ces deux propriétés. La deuxième condition de la définition est en fait inutile car l’on peut démontrer que s’il existe un préstathme w dans un anneau intègre A, alors il existe aussi un stathme v (qui lui vérifie les deux propriétés). Proposition 2.4.21. Un anneau euclidien est principal. Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  40. 40. 44 Notions de théorie des anneaux Démonstration : Soit A un anneau euclidien et I un idéal de A. Soit m dans I tel que v(m) = inf{v(x) ; x ∈ I}. Soit a ∈ I. Alors il existe q et r dans A tels que a = qm + r avec v(r) < v(m). Comme m ∈ I et que I est un idéal de A, on a qm ∈ I et donc r = a − qm ∈ I puisque a ∈ I. Si r n’était pas nul, on aurait donc r ∈ I avec v(r) < v(m) ce qui contredit la définition de m. Donc r = 0 ce qui prouve que a ∈ (m) donc I = (m) et A est donc principal. Exemple 2.4.22. Z est euclidien (avec v(n) = |n| pour tout n ∈ Z∗). k[X] est euclidien si k est un corps (cf proposition 2.5.2). 2.5. Structure des anneaux de polynômes Proposition 2.5.1. Soit k un anneau. k[x] est principal si et seulement si k est un corps. Démonstration : Si k est un corps alors k[X] est euclidien d’après la proposition 2.5.2, donc principal. Réciproquement, si A[X] est principal, alors A[X] est aussi intègre. Par conséquent, X est irréductible dans A[X]. Donc (X) est maximal d’après la proposition 2.4.17 car A[X] est principal. Donc A A[X]/(X) est un corps. Proposition 2.5.2. Si k est un corps alors k[X] est euclidien. Démonstration : Commençons par étudier ce qui se passe dans le cas d’un anneau A. Soit F et G deux polynômes de A[X]. Si le coefficient dominant de G est inversible alors il existe Q et R dans A[X] tels que F = QG + R. Si A est intègre, cette écriture est unique. D’où le caractère euclidien de k[X] si k est un corps. Théorème 2.5.3. Théorème de Gauss : Si A est un anneau factoriel alors A[X] est factoriel. Démonstration : L’idée est d’abord de déterminer les polynômes irréductibles dans A[X]. Pour cela on définit au préalable, pour P ∈ A[X], P = 0, le contenu de P, noté c(P) : si P = i aiXi , on pose c(P) = pgcd(ai). Le contenu c(P) est défini à un élément de A∗ près (ou modulo A∗ ). Si c(P) = 1 on dit que P est primitif. On commence par montrer le lemme suivant du à Gauss : Lemme 2.5.4. Gauss : On a c(PQ) = c(P)c(Q) pour tous P, Q non nuls dans A[X]. Démonstration : Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.
  41. 41. Structure des anneaux de polynômes 45 i Soit p irréductible tel que p|c(PQ). Alors dans A[X]/(p) on a ¯PQ = 0. Comme A est factoriel, (p) est premier d’après la proposition 2.4.12, ce qui signifie que A/(p) est intègre. Par conséquent A[X]/(p) est intègre. Comme ¯PQ = ¯P ¯Q, on a donc ¯P = 0 ou ¯Q = 0. Donc p|c(P) ou p|c(Q). ii Soient P, Q ∈ A[X]{0}. Notons P1 = 1 c(P ) P et Q1 = 1 c(Q) Q. Donc c(P1) = c(Q1) = 1 modulo A∗ . Si on avait c(P1Q1) /∈ A∗ alors comme A est factoriel, il existerait p irréductible divisant c(P1Q1) et par conséquent p diviserait c(P1) ou c(Q1) d’après i), ce qui contredit le fait que c(P1) et c(Q1) sont dans A∗ . Donc c(P1Q1) ∈ A∗ ce qui s’écrit encore c(P1Q1) = 1 modulo A∗ . Ceci entraîne c(PQ) = c(P)c(Q)c(P1Q1) = c(P)c(Q). On peut alors déterminer les polynômes irréductibles de A[X] en introduisant K, le corps des fractions de l’anneau intègre (car factoriel) A. Proposition 2.5.5. Les polynômes P ∈ A[X] irréductibles dans A[X] sont : i Les constantes p ∈ A irréductibles dans A. ii Les polynômes P ∈ A[X] de degré ≥ 1, primitifs et irréductibles dans K[X]. Démonstration : Ces éléments sont irréductibles dans A[X] : 1. Soit p ∈ A irréductible dans A. Si a = PQ avec P, Q ∈ A[X] alors deg(P) = deg(Q) = 0 donc P et Q sont dans A, et l’un des deux est inversible dans A, l’autre est irréductible dans A, d’après l’irréductibilité de p. Donc p est irréductible dans A[X]. 2. Soit P ∈ A[X] de degré ≥ 1, primitif et irréductible dans K[X]. Soient Q, R ∈ A[X] tels que P = QR. Alors Q et R divisent P dans K[X]. Comme c(P) = c(Q)c(R) = 1 on a c(Q) = c(R) = 1, et comme P est irréductible dans K[X] l’un des deux est dans K∗ et l’autre irréductible dans K[X]. Donc Q = q ∈ A par exemple, et R est irréductible dans A[X]. Donc P = qR et q|c(P) = 1 donc q ∈ A∗ ce qui prouve que P est irréductible dans A[X]. Et ce sont les seuls : soit P irréductible dans A[X] et Q, R ∈ K[X] tels que P = QR. Choisissons α et β dans A∗ tels que Q1 = αQ et R1 = βR soient dans A[X]. Alors αβP = Q1R1 et donc αβc(P) = c(Q1)c(R1). On pose alors Q2 = 1 c(Q1) Q1 et R2 = 1 c(R1) R1 qui sont à coefficients dans A. Ainsi αβP = c(Q1)c(R1)Q2R2 = αβc(P)Q2R2. On a donc P = c(P)Q2R2. Comme c(P)Q2 et R2 sont à coefficients entiers, et que P est irréductible dans A[X], on a nécessairement c(P)Q2 ou R2 de degré nul, donc Q ou R de degré nul. Si Q et R sont de degrés nuls, alors P est une constante irréductible dans A. Sinon Q par exemple est dans A et comme c(P) = c(Q)c(R) = 1, Q est dans A∗ donc P est irréductible dans K[X], et nécessairement primitif. Revenons à présent à la preuve du théorème : Soit P ∈ A[X] non nul. Montrons l’existence d’une décomposition primaire de P dans A[X]. Soit K le corps de fractions de A. K[X] est eucliden d’après la proposition 2.5.2 donc factoriel. On suppose pour commencer que P est primitif, c’est à dire que c(P) = 1. On peut écrire, comme K[X] est factoriel, P = Pi avec Pi ∈ K[X] irréductible dans K[X]. On écrit Pi = ai bi Pi αi avec Pi ∈ A[X] et c(Pi ) = 1, ai et bi dans A. Donc biP = ai P iαi et en passant aux contenus on obtient P = u Pi αi avec u ∈ A∗ . D’où l’existence d’une telle décomposition si P est primitif. Si P n’est pas primitif, il suffit d’écrire P = dP1 avec P1 primitif et on conclut en décomposant d dans A et P1 dans A[X]. Pour l’unicité, considérons deux décompositions primaires P = pi Pαi i et P = qi Qβi i . Les contenus des Pi et des Qi sont tous égaux à 1, par conséquent en passant aux contenus, on a pi = qi et comme A est factoriel cette décomposition est unique. Il suffit alors de vérifier que les décompositions Copyright c 2014 Xavier Charvet. Tous droits réservés.

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