Leçons et études mathématiques

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Leçons et études mathématiques

  1. 1. 1 Avant-propos L’ambition de cet ouvrage est de donner un petit panorama des mathématiques d’aujourd’hui. Cet ouvrage se veut novateur dans le sens où il ne constitue ni un cours détaillé, ni un recueil d’exercices et s’emploie au contraire à faire ressortir, et ce en quelques centaines de pages maximum, l’essence même du programme de mathématiques enseigné à l’Université. Ce livre va droit à l’essentiel, et privilégie une approche globale. Cet ouvrage est en partie destiné aux élèves de classes préparatoire de bon niveau, aux étudiants en cycle universitaire niveau L3 et plus, aux étudiants en école d’ingénieur et a aussi pour vocation de servir de support aux candidats à l’agrégation par exemple (les études en annexe sont choisies pour leur pertinence mathématique et la plupart constituent des thèmes utilisables pour les développements lors de l’oral de l’agrégation). Signalons enfin que ce petit guide s’attache à suivre essentiellement deux politiques : celle de privilé- gier la clarté à la lourdeur, et celle de privilégier les démonstrations élégantes à celles qui, n’étant pas pour autant moins rigoureuses, relèvent du bricolage. Ce choix est évidemment motivé par des raisons pragmatiques : les mathématiques étant une science extrêmement vaste, il est important d’y tracer des autoroutes plutôt que d’emprunter des chemins sinueux ! A titre d’exemple, ce livre propose des démonstrations des théorèmes de Cauchy-Lipschitz et de Cauchy-Peano-Arzelà pour des fonctions à valeurs dans des espaces de Banach quelconques, la première en utilisant le théorème du point fixe de Picard, la deuxième en utilisant le théorème du point fixe de Schauder. Ceci dit aucune démonstration proposée dans ce livre n’est à proprement parler nouvelle, mais certaines sont encore trop rarement présentes dans la littérature universitaire. Un autre exemple : on démontre le théorème des résidus comme conséquence de la formule de Cauchy globale, et non en utilisant les séries de Laurent. La démonstration du théorème de Lebesgue-Radon-Nikodym est celle due à von Neumann, qui utilise le théorème de représentation de Riesz dans des espaces de Hilbert. Par contre, certains théorèmes sont admis, intégralement ou partiellement : théorèmes de représentation de Riesz relatifs à la théorie de mesure (intégralement admis), ou les résultats concernant la dualité et la réflexivité des espaces Lp (une partie de la démonstration utilise des arguments de topologie faible et d’orthogonalité pour le crochet de dualité, qui sont admis pour ne pas alourdir l’exposé). Enfin, en algèbre, le théorème de Steinitz, qui assure l’existence et l’unicité d’une clôture algébrique d’un corps commutatif, fait ici l’objet d’une démonstration courte, simple et puissante, basée sur le lemme de Zorn, qui est rarement mentionnée dans la littérature "classique". Ce petit ouvrage, encore en cours d’élaboration, comporte également une explication d’une partie du fonctionnement de l’algorithme PageRank de Google, une démonstra- tion du théorème de répartition des nombres premiers (version courte de Newman) et quelques autres merveilles mathématiques. Bonne lecture à tous ! Xavier Charvet, Novembre 2016 Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  2. 2. Leçons et études mathématiques Xavier Charvet
  3. 3. Table des matières I. Topologie 9 1. Topologie : vocabulaire et propriétés fondamentales 11 1.1. Espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.2. Ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3. Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.4. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2. Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2. Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3. Intérieur et adhérence d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.4. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.5. Homéomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.6. Limites et valeurs d’adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.7. Espaces topologiques séparés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3. Espaces topologiques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1. Compacité : généralités en topologie quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2. Les compacts de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.3. Compactification d’espaces localement compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4. Espaces topologiques connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.1. Connexité : généralités en topologie quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.2. Connexité dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2. Propriétés topologiques des espaces métriques 21 2.1. Généralités dans des espaces métriques quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1. Utilisation des suites dans les espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2. Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.3. Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Espaces métriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Espaces métriques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4. Espaces métriques séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5. Espaces topologiques associés à un écart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 II. Analyse fonctionnelle 27 3. Analyse dans des espaces topologiques fonctionnels 29 3.1. Espaces fonctionnels munis de la topologie de la convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2. Espaces fonctionnels munis de la topologie de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2.1. L’espace Y X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2.2. L’espace C(X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3. Théorèmes de Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4. Théorème d’Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4. Espaces vectoriels normés 33 4.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2. En dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3.1. Les espaces (Kn , · p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3.2. Les espaces p (N; K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3.3. Les espaces Lp ([0, 1], K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.4. Dual d’un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.4.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.4.2. Réflexivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.5. Fonctions compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
  4. 4. 4 Table des matières 5. Analyse hilbertienne 39 5.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1.1. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.2. Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.2.1. Projection sur un convexe fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.2.2. Projection sur un sev fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2.3. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.3. Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.4. Séries de Fourier dans L2 2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6. Notions de base sur les distributions et les espaces de Sobolev 45 6.1. Motivation et heuristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.1.1. Le problème du Laplacien avec conditions aux limites de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 45 6.1.2. Théorème de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.2. Les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.2.1. L’espace vectoriel D(Ω) des fonctions-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.2.2. L’espace vectoriel D (Ω) des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.2.3. Convergence des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.2.4. Dérivation des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.3. Les espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.3.1. L’espace H1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.3.2. L’espace H1 0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 III. Suites et séries de fonctions 51 7. Suites et séries de fonctions 53 7.1. Modes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 7.1.1. Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 7.1.2. Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 7.1.3. Norme de la convergence uniforme dans B(X, E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 7.1.4. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 7.1.5. Convergence normale (pour les séries de fonctions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 7.1.6. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 7.2. Propriétés de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 7.2.1. Cas de la convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 7.2.2. Cas de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7.2.3. Interversion des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7.2.4. Un mot sur C(X, E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 7.3. Intégration et dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 7.3.1. Critère spécial uniforme des séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7.4. Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 7.4.1. Quelques règles de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7.4.2. Le théorème radial d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7.4.3. Intégration et dérivation des séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 7.4.4. Deux applications numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.5. Fonctions développables en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 IV. Analyse à une variable réelle 63 8. Intégration de Riemann 65 8.1. Heuristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 8.2. Intégrale de Riemann sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 8.2.1. Intégrale de Riemann d’une fonction réelle sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 8.2.2. Intégrale de Riemann sur un segment d’une fonction à valeurs dans un evn de dimension finie . 67 8.2.3. Intégrale de Riemann sur un segment à valeurs dans un espace de Banach . . . . . . . . . . . 68 8.2.4. Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 8.2.5. Théorème de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 8.3. Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 8.4. Intégration sur un intervalle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 8.5. Critères de convergence et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 8.6. Intégration des relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 8.7. Théorèmes de convergence pour les suites : interversions limite-intégrale . . . . . . . . . . . . . . . 74 8.7.1. Convergence uniforme sur un segment de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8.7.2. Convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  5. 5. Table des matières 5 8.7.3. Convergence dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 8.8. Théorèmes de convergence pour les séries : interversions série-intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . 76 8.9. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 8.9.1. Un classique à connaître : l’intégrale de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 8.10. Continuité et dérivabilité sous le signe intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.10.1. Continuité sous le signe intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.10.2. Dérivabilité sous le signe intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.10.3. Intégrale dont les bornes dépendent du paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 8.10.4. Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.10.5. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 V. Analyse à une variable complexe 83 9. Fonctions d’une variable complexe 85 9.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 9.2. Équivalence des notions d’holomorphie et de C-analyticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 9.2.1. Toute fonction C-analytique est holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 9.2.2. Intégration sur des chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 9.2.3. Toute fonction holomorphe est C-analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 9.3. Premières propriétés des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 9.4. Formules de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 9.4.1. Formule de Cauchy intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 9.4.2. Formule de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 9.5. Fonctions méromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 9.5.1. Théorème des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 VI. Calcul différentiel 93 10.Calcul différentiel 95 10.1. Calcul différentiel à une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 10.2. Applications différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 10.2.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 10.2.2. Applications de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 10.2.3. Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 10.2.4. Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 10.3. Difféomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 10.3.1. Isomorphismes de Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 10.3.2. Théorème d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 11.Équations différentielles 101 11.1. Généralités et résultats fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 11.1.1. Équations différentielles ordinaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 11.1.2. Équations différentielles ordinaires d’ordre supérieur à 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 11.2. Théorème d’existence et d’unicité de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 11.3. Théorème d’existence de Cauchy-Peano-Arzelà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 11.4. Systèmes différentiels linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 11.4.1. Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 11.4.2. Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 11.4.3. Équations différentielles linéaires d’ordre p à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . 105 11.4.4. Équations différentielles linéaires d’ordre p à coefficients variables . . . . . . . . . . . . . . . 106 VII.Calcul intégral 109 12.Intégrale de Lebesgue 111 12.1. Tribus et mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 12.1.1. Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 12.1.2. Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 12.1.3. Complétion d’une tribu pour une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 12.1.4. Tribu produit et mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 12.2. Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 12.2.1. Intégrale de Lebesgue des fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 12.2.2. Intégrale de Lebesgue pour des fonctions à valeurs dans un espace de Banach réel séparable . . 115 12.2.3. Intégrale de Lebesgue pour des fonctions à valeurs dans un espace de Banach réel quelconque . 116 Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  6. 6. 6 Table des matières 12.3. Théorèmes outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 12.4. Théorèmes fondamentaux de la théorie de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 12.4.1. Théorème de Lebesgue-Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 12.4.2. Théorèmes de représentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 13.Les espaces Lp (µ, E) 121 13.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 13.2. Inégalités classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 13.2.1. Inégalité de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 13.2.2. Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 13.3. Approximation par des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 13.4. Réflexivité, séparabilité, dual de Lp (µ, K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 13.4.1. Réflexivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 13.4.2. Séparabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 13.4.3. Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 14.Techniques de régularisation et d’approximation par convolution 125 14.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 14.1.1. L’espace vectoriel C∞ c (Ω) des fonctions C∞ à support compact . . . . . . . . . . . . . . . . 125 14.1.2. Partitions de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 14.2. Convolution : définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 14.3. Régularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 14.4. Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 15.Séries de Fourier 129 15.1. Généralités (ou pourquoi il faut se méfier de la convergence des séries de Fourier) . . . . . . . . . . . 129 15.2. Les cas utiles ! (ou quand f est égale à la somme de sa série de Fourier) . . . . . . . . . . . . . . . 130 15.3. Mesurer la régularité d’une fonction grâce à ses coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 131 15.4. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 15.4.1. Un classique à connaître : ζ(2) = π2 /6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 15.4.2. Résolution de l’équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 VIII.Algèbre générale 133 16.Théorie des groupes 135 16.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 16.2. Théorèmes d’isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 16.3. Opération d’un groupe sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 16.4. P-groupes et théorèmes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 16.5. Groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 16.5.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 16.5.2. Groupe alterné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 16.6. Produits directs et semi-directs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 16.6.1. Heuristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 16.6.2. Produits directs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 16.6.3. Produits semi-directs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 17.Théorie des anneaux 145 17.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 17.2. Morphismes d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 17.3. Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 17.3.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 17.3.2. Idéaux premiers et idéaux maximaux d’un anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . 147 17.4. Factorisation dans les domaines intègres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 17.4.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 17.4.2. Notions de pgcd et ppcm dans un domaine intègre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 17.5. Domaines euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 17.6. Domaines à factorisation unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 17.7. Structure des anneaux de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 18.Théorie élémentaire des corps 157 18.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 18.2. Extensions de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 18.2.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 18.2.2. Extensions algébriques et transcendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 18.2.3. Extensions algébriques de degré fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  7. 7. Table des matières 7 18.3. Corps de rupture, corps de décomposition d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 18.3.1. Corps de rupture d’un polynôme irréductible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 18.3.2. Corps de décomposition d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 18.4. Clôture algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 18.5. Extensions normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 18.6. Extensions séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 18.6.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 18.6.2. Théorème de l’élément primitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 18.6.3. Corps parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 19.Corps finis 167 19.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 19.2. Caractérisation des corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 19.3. Propriétés des corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 19.4. Clôture algébrique d’un corps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 IX. Algèbre linéaire 171 20.Notions générales d’algèbre linéaire 173 20.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 20.2. Existence de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 20.2.1. En dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 20.2.2. En dimension infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 20.3. Sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 20.4. Applications linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 20.4.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 20.4.2. Représentation matricielle et changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 20.4.3. Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 20.5. Réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 20.5.1. Critère de diagonalisabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 20.5.2. Critère de triangularisabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 20.5.3. Polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 20.5.4. Réduction selon les espaces caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 20.6. Décompositions classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 20.6.1. Décomposition de Dunford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 20.6.2. Théorie des invariants de similitude et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 21.Espaces préhilbertiens réels et complexes 183 21.1. Généralités en dimension quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 21.1.1. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 21.1.2. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 21.1.3. Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 21.1.4. Projection orthogonale sur un sev de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 21.2. En dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 21.2.1. Adjoint d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 21.2.2. Endomorphismes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 21.2.3. Automorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 21.2.4. Endomorphismes normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 21.3. Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 22.Formes sesquilinéaires 187 22.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 22.1.1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 22.1.2. Représentation matricielle en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 22.2. Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 22.3. Isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 22.4. Similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 22.5. Classification des formes sesquilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 22.6. Principe de réduction simultanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 X. Probabilités et statistiques 195 23.Notions générales de théorie des probabilités 197 23.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  8. 8. 8 Table des matières 23.2. Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 23.3. Espérance, covariance, espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 23.3.1. Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 23.3.2. Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 23.3.3. Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 23.4. Convergence de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 23.4.1. Convergence presque sûre, dans Lp , en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 23.4.2. Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 24.Martingales à temps discret 205 24.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 24.2. Martingales arrêtées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 24.3. Convergence des martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 25.Chaînes de Markov 209 25.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 25.2. Classification des états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 25.3. Mesures invariantes et lois de probabilité stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 25.3.1. Cas des chaînes de Markov dans des espaces d’états finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 25.3.2. Cas des chaînes de Markov dans des espaces d’états dénombrables . . . . . . . . . . . . . . 213 XI. Développements d’algèbre 215 26.An est simple pour n 5 217 27.Les automorphismes de Sn 219 28.Un exemple d’anneau principal non-euclidien 221 29.Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Q 223 XII.Développements d’analyse 225 30.Théorème de Baire et applications 227 31.Théorème de Banach-Steinhaus et applications 229 32.Théorème de d’approximation de Weierstrass par les polynômes de Bernstein 231 33.Théorème de Riesz-Fischer 235 34.Théorèmes du point fixe de Brouwer et de Schauder 237 35.Théorème de Perron-Frobenius 241 36.Densité des polynômes orthogonaux 245 37.Lemme d’Urysohn et théorème de partition de l’unité 249 38.Théorème de répartition des nombres premiers 251 Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  9. 9. Première partie Topologie
  10. 10. 1. Topologie : vocabulaire et propriétés fondamentales 1.1. Espaces métriques Le concept d’espace topologique est essentiellement une généralisation du concept d’espace métrique. Avant d’explorer le concept général de topologie, on commence par ce petit point heuristique en don- nant un aperçu du concept de métrique. 1.1.1. Définition Soit X un ensemble et d : X × X −→ R+ une application vérifiant, pour tout x, y, z ∈ X : 1. d(x, y) = 0 ⇔ x = y 2. d(x, y) = d(y, x) (symétrie) 3. d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire) Une telle application est appelée distance et le couple (X, d) est appelé espace métrique. Définition 1.1 (Espaces métriques) Exemple : (R, d), où d(x, y) = |x − y|, est un espace métrique. 1.1.2. Ouverts Soit (X, d) un espace métrique. Soit a ∈ X et r > 0. On appelle boule ouverte de centre a et de rayon r, et on note B(a, r), l’ensemble défini ainsi : B(a, r) = {x ∈ X, d(x, a) < r} Définition 1.2 (Boules ouvertes) Soit (X, d) un espace métrique. Un ensemble U ⊂ X est dit ouvert dans X si pour tout a ∈ U, il existe une boule ouverte B(a, r) ⊂ U (de rayon r > 0). Définition 1.3 (Ouverts) Remarque : On appelle fermé de X tout complémentaire d’un ouvert de X.
  11. 11. 12 Topologie : vocabulaire et propriétés fondamentales Soit (X, d) un espace métrique. Alors 1. ∅ et X sont des ouverts de X. 2. La réunion i∈I Ui de toute famille (Ui)i∈I d’ouverts de X est un ouvert de X. 3. L’intersection i n Ui de toute famille finie (Ui)i n d’ouverts de X est un ouvert de X. Proposition 1.4 1.1.3. Voisinages Soit (X, d) un espace métrique et a ∈ X. On dit qu’un ensemble V est un voisinage de a s’il existe un ouvert U contenant a tel que U ⊂ V . On note V(a) l’ensemble des voisinages de a. Définition 1.5 (Voisinages) 1.1.4. Continuité Soit (X, dX) et (Y, dY ) deux espaces métriques et f : X −→ Y une application. On dit que f est continue en a ∈ X si ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ X, dX(x, a) < η ⇒ dY (f(x), f(a)) < ε Définition 1.6 Soit (X, dX) et (Y, dY ) deux espaces métriques, f : X −→ Y une application et a ∈ X. Alors f est continue en a si et seulement si : ∀V ∈ V(f(a)), f−1 (V ) ∈ V(a) i.e. si pour tout voisinage V de f(a), son image réciproque par f est un voisinage de a. Proposition 1.7 1.2. Espaces topologiques 1.2.1. Définition On est prêt à présent à aborder la notion d’espace topologique, plus abstraite mais plus générale que la notion d’espace métrique. Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  12. 12. Espaces topologiques 13 Une topologie sur un ensemble X est un sous-ensemble O ⊂ P(X) a satisfaisant les propriétés suivantes : 1. ∅ ∈ O et X ∈ O 2. La réunion i∈I Ui de toute famille (Ui)i∈I d’éléments de O est un élément de O. 3. L’intersection i n Ui de toute famille finie (Ui)i n d’éléments de O est un élément de O. Les éléments de O sont appelés ouverts de X et X muni d’une telle topologie est appelé espace topologique. Les complémentaires des ouverts de X sont appelés fermés de X. a. P(X) désignant l’ensemble des parties de X. Définition 1.8 (Espaces topologiques) Remarques : 1. Ainsi les parties ouvertes d’un espace métrique définissent une topologie, mais la réciproque est fausse : une topologie ne dérive pas nécessairement d’une métrique. 2. Il existe toujours (au moins) deux topologies sur un ensemble X : la topologie dite grossière définie par O = {∅, X} et la topologie dite discrète définie par O = P(X). 3. Topologie induite : si X est un espace topologique et A ⊂ X, on peut munir A de la topologie suivante : les ouverts de A sont, par définition, les traces des ouverts de X, i.e. les ouverts de A sont de la forme U ∩A où U est un ouvert de X. Les fermés de A sont alors les traces des fermés de X. 1.2.2. Voisinages De façon identique que pour les espaces métriques, on définit le concept de voisinage dans un espace topologique : Soit X un espace topologique et a ∈ X. On dit qu’un ensemble V est un voisinage de a s’il existe un ouvert U contenant a tel que U ⊂ V . On note V(a) l’ensemble des voisinages de a. Définition 1.9 (Voisinages) 1.2.3. Intérieur et adhérence d’une partie Soit X un espace topologique et A ⊂ X. On appelle intérieur de A et on note ˚A, l’ensemble défini ainsi : ˚A = {x ∈ A, ∃U ∈ V(x), U ⊂ A} i.e. x ∈ ˚A si et seulement si il existe un voisinage de x (et a fortiori un ouvert contenant x) inclus dans A. Définition 1.10 (Intérieur d’une partie) Remarques : Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  13. 13. 14 Topologie : vocabulaire et propriétés fondamentales 1. Si (X, d) est un espace métrique, l’intérieur d’une boule fermée centrée en a, de rayon r > 0, Bf (a, r) = {x ∈ X, d(x, a) r} est la boule ouverte B(a, r). 2. L’intérieur de A est le plus grand ouvert contenu dans A. Donc A est ouvert si et seulement si A = ˚A. Soit X un espace topologique et A ⊂ X. On appelle adhérence de A et on note A, l’ensemble défini ainsi : A = {x ∈ X, ∀U ∈ V(x), U ∩ A = ∅} i.e. x ∈ A si et seulement si chaque voisinage de x (et a fortiori un ouvert contenant x) rencontre A. Définition 1.11 (Adhérence d’une partie) Remarques : 1. Si (X, d) est un espace métrique, l’adhérence d’une boule ouverte B(a, r) centrée en a, de rayon r > 0, n’est pas toujours la boule fermée Bf (a, r) = {x ∈ X, d(x, a) r}. Considérer par exemple X =] − 1 2 , 1 2 [∪{1} et B(0, 1) (adhérence de la boule ouverte centrée en 0, de rayon 1). 2. L’adhérence de A est le plus fermé contenant A. Donc A est fermé si et seulement si A = A. 3. On dit qu’une partie A ⊂ X est dense dans X si et seulement si A = X. 1.2.4. Continuité Soit X et Y deux espaces topologiques, f : X −→ Y une application et a ∈ X. Alors f est continue en a si et seulement si : ∀V ∈ V(f(a)), f−1 (V ) ∈ V(a) i.e. si pour tout voisinage V de f(a), son image réciproque par f est un voisinage de a. Définition 1.12 Soit X et Y deux espaces topologiques, f : X −→ Y une application. Alors f est continue sur X si et seulement si pour tout ouvert U ⊂ Y , f−1 (U) est un ouvert de X. Proposition 1.13 1.2.5. Homéomorphismes Soit X et Y deux espaces topologiques. On dit qu’une application f : X −→ Y est un homéomorphisme si elle est bijective et si les applications f et f−1 sont continues. S’il existe un homéomorphisme de X dans Y on dit que X et Y sont homéomorphes. Définition 1.14 Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  14. 14. Espaces topologiques 15 1.2.6. Limites et valeurs d’adhérence Cas d’une fonction Soit X et Y deux espaces topologiques, A ⊂ X, f : A −→ X une application et a ∈ A. On dit que ∈ Y est limite de f en a si ∀V ∈ V( ), ∃U ∈ V(a), tel que f(U ∩ A) ⊂ V Si de plus a ∈ A alors nécessairement = f(a). Définition 1.15 (Limite d’une fonction) Soit X et Y deux espaces topologiques, A ⊂ X, f : A −→ X une application et a ∈ A. On dit que ∈ Y est valeur d’adhérence de f en a si ∀V ∈ V( ), ∀U ∈ V(a), ∃x ∈ U ∩ A, tel que f(x) ∈ V Définition 1.16 (Valeur d’adhérence d’une fonction) Cas d’une suite Soit X un espace topologique. Alors ∈ X est limite de la suite (xn)n∈N à valeurs dans X si ∀V ∈ V( ), ∃N ∈ N tel que ∀n N, xn ∈ V Proposition 1.17 (Limite d’une suite) Soit X un espace topologique. Alors m ∈ X est valeur d’adhérence de la suite (xn)n∈N à valeurs dans X si ∀V ∈ V(m), ∀N ∈ N ∃n N, xn ∈ V Proposition 1.18 (Valeur d’adhérence d’une suite) Remarques : 1. Ces deux dernières propriétés concernant les suites sont généralement données comme définitions, en fait en toute rigueur elles découlent des deux définitions ci-dessus pour les fonctions (on munit N de la topologie discrète). 2. Attention, il n’y pas nécessairement unicité de la limite ! Cependant c’est effectivement le cas dans un espace séparé. 1.2.7. Espaces topologiques séparés Un espace topologique X est dit séparé si ∀x = y ∈ X, ∃V ∈ V(x) et W ∈ V(y) tels que V ∩ W = ∅ Définition 1.19 Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  15. 15. 16 Topologie : vocabulaire et propriétés fondamentales Remarques : 1. Attention à ne pas confondre les espaces topologiques séparés avec les espaces topologiques séparables qui sont les espaces topologiques possédant une base dénombrable d’ouverts. 2. Tout espace métrique est séparé. 3. Toute partie finie d’un espace séparé est fermée. 4. L’image d’un espace séparé par une application continue n’a pas de raison d’être séparée. Par contre si f : X −→ Y est continue, injective et que Y est séparé alors X est aussi séparé. Par conséquent un espace homéomorphe à un espace séparé est séparé. 5. Un produit fini d’espaces topologiques séparés est séparé. 6. Un espace topologique X est séparé si et seulement si sa diagonale ∆ = {(x, x), x ∈ X} est fermée dans X × X. 1. Soit X un espace topologique séparé, et (xn)n∈N une suite convergente dans X. Alors sa limite est unique. 2. Soit X et Y deux espaces topologiques, on suppose Y séparé, A ⊂ X et f : A −→ Y . Si f a une limite en a alors cette limite est unique. Proposition 1.20 (Unicité de la limite dans un espace séparé) 1.3. Espaces topologiques compacts Un espace topologique X est dit compact s’il vérifie les deux propriétés suivantes : a 1. X est séparé. 2. Propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de X par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini. a. un espace topologique vérifiant la deuxième propriété est dit quasi-compact Définition 1.21 Remarques : 1. Afin de se représenter d’ores et déjà ce qu’est un compact dans certains cas de figure, citons que l’on verra par la suite que les compacts d’un e.v. normé E de dimension finie sont les fermés bornés de E. 2. La définition de quasi-compacité est équivalente à dire que toute famille de fermés (Fi)i∈I de X telle que i∈J Fi = ∅ pour tout J ⊂ I fini, vérifie alors i∈I Fi = ∅. 3. Attention, il n’est pas tout à fait vrai de dire que l’image d’un compact par une application continue est un compact, à moins que l’espace d’arrivée soit séparé (ce qui en pratique est bien souvent le cas). Par contre, l’image d’un espace quasi-compact par une application continue est quasi-compact, et par conséquent tout espace homéomorphe à un espace (quasi-)compact et lui-même (quasi-)compact. 4. Une partie A d’un espace topologique séparé X, munie de la topologie induite par celle de X, est compacte si et seulement si A vérifie la propriété de Borel-Lebesgue indifféremment pour des ouverts de X ou de A (i.e. de tout recouvrement de A par des ouverts de X ou de A, on peut extraire un sous-recouvrement fini). Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  16. 16. 2. Propriétés topologiques des espaces métriques 2.1. Généralités dans des espaces métriques quelconques Les espaces métriques étant un type particulier d’espaces topologiques, on peut définir des notions qui leur sont propres. 2.1.1. Utilisation des suites dans les espaces métriques Soit (X, d) un espace métrique, Y un espace topologique, f : X −→ Y une application, et x ∈ X. Alors f est continue en x si et seulement si ∀(xn)n∈N convergeant vers x, la suite (f(xn))n∈N converge vers f(x) Proposition 2.1 Démo : ⇒ si f est continue en x alors la conclusion résulte de la continuité par composition (composer suite et fonction). ⇐ si f n’est pas continue en x on peut trouver un voisinage V ∈ V(f(x)) tel que f−1 (V ) /∈ V(x), on note A = Xf−1 (V ), x ∈ A car x n’est pas dans l’intérieur de f−1 (V ). D’après le lemme ci-dessous on peut trouver une suite (xn)n∈N d’éléments de A qui converge vers x. Mais pour tout n, f(xn) /∈ V donc f(xn) ne peut avoir f(x) pour limite. Soit X un espace métrique, A ⊂ X et x ∈ A. Alors il existe (xn)n∈N une suite qui converge vers x. Proposition 2.2 Démo : si x ∈ A alors pour tout n ∈ N∗ , Bn = B(x, 1/n) est un ouvert qui rencontre A, par conséquent il existe xn ∈ Bn, la suite (xn)n vérifie d(x, xn) < 1/n pour tout n ∈ N∗ donc converge vers x. Remarque : Les suites sont adaptées pour décrire la topologie des espaces métriques. Dans des espaces topologiques généraux, c’est la notion de filtre qui est utilisée. 2.1.2. Continuité uniforme Soit (X, dX) et (Y, dY ) deux espaces métriques, une application f : X −→ Y est dite uniformément continue si ∀ε > 0, ∃η > 0, tel que ∀x, x ∈ X, dX(x, x ) < η =⇒ dy(f(x), f(x )) < ε Définition 2.3 Remarques : 1. Toute application uniformément continue est continue. 2. Toute application lipschitzienne est continue. Exemples :
  17. 17. 22 Propriétés topologiques des espaces métriques 1. f : x → x2 est continue mais pas uniformément continue sur R (choisir x = 1/α et y = x + α/2, alors |y2 − x2 | = 1 + α2 /4)) 2. f : t → √ t n’est pas lipschitzienne sur R∗ + ( √ t > kt pour t assez petit) mais est uniformément continue (utiliser | √ x − √ y| | |x − y||) 2.1.3. Suites de Cauchy Dans un espace dit complet, le critère de Cauchy permet de savoir si une suite converge sans en connaître la limite. Soit (X, d) un espace métrique. Une suite (xn)n∈N de points de X est dite de Cauchy si ∀ε > 0, ∃N tel que ∀p, q N, d(xp, xq) < ε Définition 2.4 Remarques : 1. Toute suite convergente est de Cauchy. 2. L’image d’une suite de Cauchy par une application uniformément continue est de Cauchy. Exemple : f : x → 1/x n’est pas uniformément continue sur R∗ + car la suite n → f(1/n) = n n’est pas de Cauchy. 2.2. Espaces métriques complets Un espace métrique (X, d) est dit complet si toute suite de Cauchy de X converge. Définition 2.5 Remarques : 1. Une partie fermée d’un espace métrique complet est complète. 2. Une partie complète d’un espace métrique est fermée. 3. Une union finie de parties complètes d’un espace métrique est complète. 4. Un produit fini d’espaces complets est complet. Tout espace métrique compact est complet. Théorème 2.6 Démo : ça provient du lemme suivant : Un espace métrique (X, d) est complet si et seulement si l’intersection de toute suite décroissante (Fn)n∈N de fermés non-vides de X de diamètres δ(Fn) −→ n→+∞ 0 est non-vide. Lemme 2.7 Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  18. 18. Deuxième partie Analyse fonctionnelle
  19. 19. 4. Espaces vectoriels normés Dans ce chapitre K désigne le corps R ou C, et E un e.v. sur K. 4.1. Généralités Une norme sur E est une application · : E −→ R+ telle que : 1. ∀x ∈ E, (x = 0 ⇒ x = 0) 2. ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, λx = |λ| x 3. ∀x, y ∈ E, x + y x + y Un espace vectoriel E muni d’une norme · est dit espace vectoriel normé. Un e.v.n. est en particulier un espace topologique métrique (∀x, y ∈ E, d(x, y) = x − y ) Si (E, · ) est complet, on dit que c’est un espace de Banach. Définition 4.1 Remarques : 1. Dans un e.v.n. , l’adhérence (resp. l’intérieur) d’une boule ouverte (resp. fermée) est la boule fermée (resp. ouverte) de même rayon. 2. Dans un e.v.n., les opérations + et · sont continues. 3. Dans un e.v.n., si F est un s.e.v. alors F est un s.e.v. Soit (E, · E) et (F, · F ) deux e.v.n. et f ∈ L(E, F). Les propriétés suivantes sont équiva- lentes : 1. f est continue. 2. f est continue en 0 3. ∃k 0, t.q. ∀x ∈ E, f(x) F k x E Si elles sont vérifiées, on appelle norme de f, et l’on note f le plus petit k satisfaisant l’inégalité 3. L’application norme munit alors l’e.v. des applications linéaires continues Lc(E, F) d’une structure d’e.v.n. Définition et théorème 4.2 (Applications linéaires continues) Si E est un e.v.n. et F un espace de Banach alors Lc(E, F) est un espace de Banach. Proposition 4.3
  20. 20. 5. Analyse hilbertienne 5.1. Généralités H e.v. sur k = R ou C, est dit préhilbertien s’il est muni un produit scalaire (réel ou complexe selon qu’on est sur R ou C, dans ce cours on suppose la semi-linéarité à gauche si k = C). S’il est complet pour la norme associée, on dit que c’est un espace de Hilbert. En dimension finie, on parle d’espace euclidien (sur R) ou d’ espace hermitien (sur C). 5.1.1. Exemples Rn est euclidien. Cn est hermitien. C([a, b], k), C2π(k) sont des espaces préhilbertiens. 2 (N), L2 (X, T , µ) sont des espaces de Hilbert. 5.2. Espaces de Hilbert On désigne à présent par E un espace de Hilbert et par E son dual topologique (i.e. l’ensemble des formes linéaires continues sur E). Les espaces de Hilbert bénéficient de propriétés proches de celles des espaces préhilbertiens de dimension finie, comme on va le voir ci-dessous. 5.2.1. Projection sur un convexe fermé F désigne ici une partie convexe fermée non vide de E. Soit x ∈ E. Alors il existe y ∈ F tel que x − y = d(x, F). On note y = pF (x) et l’application ainsi définie est appelée projection de E sur F. Théorème 5.1 Démo : On note δ = inf z∈F x − z On considère une suite (yn)n telle que δ2 x − yn 2 δ2 + 1 n + 1 Développer yp − yq 2 = (yq − x) + (x − yp) 2 selon l’identité de la médiane et utiliser le fait que 1 2 (yp +yq) est dans F (convexité). Donc la suite est de Cauchy, donc converge dans E (complétude de E). Pour l’unicité de la projection, considérer un autre z ∈ F réalisant le min et développer y − z 2 = (y − x) + (x − z) 2 selon l’identité de la médiane (et utiliser 1 2 (y + z) ∈ F) (convexité). Soit x ∈ E. Alors (y = pF (x)) ⇔ (y ∈ F et ∀z ∈ F, x − y, z − y 0) Proposition 5.2 Démo : considérer v = (1 − t)y + tz ∈ F (t ∈ [0, 1]), écrire x − y 2 x − v 2 et étudier le signe.
  21. 21. 40 Analyse hilbertienne pF est 1-lipschitzienne. Proposition 5.3 Démo : poser y1 = pF (x1) et y2 = pF (x2) et utiliser la caractérisation précédente pour y1 et y2. On a deux inégalités, on les additionne et on obtient (x1 − x2) + (y2 − y1) 0 puis utiliser Cauchy-Schwarz. Remarque : Le théorème est encore valable si F est un convexe complet dans un espace préhilbertien en général. Par exemple, dans C([0, 1], R) on peut projeter sur le sev des polynômes de degré n. 5.2.2. Projection sur un sev fermé Soit x ∈ E, et F un sev fermé de E. Alors (y = pF (x)) ⇔ (y ∈ F et (x − y) ∈ F⊥ Proposition 5.4 Démo : si z ∈ F alors ∀t, tz ∈ F on utilise la caractérisation précédente et on étudie le signe. pF est le projecteur sur F orthogonalement à F⊥ . En particulier, on a E = F ⊕ F⊥ et (F⊥ )⊥ = F Proposition 5.5 Démo : pF est linéaire (vérification facile), continue (car lipschitzienne), pF (x) = x sur F et son noyau est F⊥ d’après la caractérisation précédente. Exemple : Soit (X, A, µ) un espace probabilisé et F une sous-tribu de A. On note F le sev de L2 (X, A) des fonctions F-mesurables. Donc F = L2 (X, F). On définit l’espérance conditionnelle sachant F d’un élément de L2 (X, A) comme sa projection orthogonale sur F. 5.2.3. Propriétés Si F est un sev de E alors F⊥ est un sev fermé de E et (F⊥ )⊥ = F Proposition 5.6 Démo : F⊥ est fermé par continuité du produit scalaire (conséquence de Cauchy-Schwarz). Vérification facile. L’application E → E x → ϕ(x) : (y → x, y ) est une isométrie (semi-linéaire) surjective (donc bijective) de E sur son dual topologique E . Théorème 5.7 (Théorème de représentation de Riesz-Fréchet) Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  22. 22. 8. Intégration de Riemann Beaucoup de démonstrations de ce cours sont volontairement omises, et on attache au contraire plus d’importance à mettre en relief les mécanismes de la construction de l’intégration de Riemann. Le lecteur intéressé par les preuves peut cependant bien sûr consulter tout ouvrage sur la question, par exemple [16]. 8.1. Heuristique On rappelle d’abord que par intégrale sur [a, b] d’une fonction "assez régulière" f, on entend l’aire (relative) de la surface délimitée par le graphe de f et l’axe des abscisses sur [a, b]. Faire un dessin. Par conséquent, on s’attend à ce que ces formules soient vérifiées : 1. Si f 0, alors b a f 0 2. b a f = c a f + b c f (relation de Chasles) 3. b a (f + λg) = b a f + λ b a g (linéarité de l’intégrale) 4. En particulier, si f = f+ −f− alors b a f = b a f+ − b a f− , où f+ = max(f, 0) et f− = min(f, 0) En particulier on a | b a f| b a |f| 5. b a 1 = b − a Il apparaît alors clairement que l’intégration est l’opération inverse de la dérivation : en notant F(x) = x a f(t)dt, on a F(x + dx) − F(x) = x+dx x f(t)dt ∼ f(x)dx, autrement dit F = f. Passons maintenant en revue les différentes étapes de la construction formelle de l’intégrale de Rie- mann. 8.2. Intégrale de Riemann sur un segment On commence par étudier le cas où I = [a, b]. La fonction peut être à valeurs dans R ou dans un evn E, de dimension n > 1 ou un plus généralement un espace de Banach. Le corps de base est toujours supposé être égal à R ou à C. On commence par le cas E = R : 8.2.1. Intégrale de Riemann d’une fonction réelle sur un segment On se donne [a, b] un segment de R, et on considère des fonctions de [a, b] à valeurs dans R.
  23. 23. 66 Intégration de Riemann On appelle fonction en escalier toute combinaison linéaire de fonctions indicatrices 1Aj où les Aj sont des intervalles disjoints non vides de [a, b]. Autrement dit f = m j=1 λj1Aj On note E([a, b], R) l’ensemble des fonctions en escalier de [a, b] sur R. C’est un sev de F([a, b], R). Pour f ∈ E([a, b], R) on définit b a f = m j=1 λjµ(Aj) où µ(Aj) désigne la longueur de Aj. On vérifie que cette définition ne dépend pas de la représentation choisie pour f. Définition 8.1 Soit f : [a, b] → R une fonction bornée. On note E+ f = {ϕ ∈ E ([a, b], R) | f ϕ} et E− f = {ψ ∈ E ([a, b], R) | ψ f} { b a ϕ, ϕ ∈ E+ f } est non vide, borné inférieurement, on note + [a,b] f sa borne inférieure que l’on appelle intégrale supérieure de f. { b a ψ, ψ ∈ E− f } est non vide, borné supérieurement, on note − [a,b] f sa borne supérieure que l’on appelle intégrale inférieure de f. On a donc − [a,b] f + [a,b] f Proposition 8.2 On retiendra surtout que l’intégrale de Riemann se fait seulement sur des fonctions bornées. Mais pas toutes ! Seulement celles-ci : Soit f : [a, b] → R une fonction bornée. On dit que f est Riemann-intégrable (ou R-intégrable) sur [a, b] si et seulement si − [a,b] f = + [a,b] f, auquel cas on définit [a,b] f = − [a,b] f = + [a,b] f On note R([a, b], R) l’ensemble des fonctions Riemann-intégrables de [a, b] dans R. Définition 8.3 On vérifie que cette définition satisfait les conditions 1 à 5 mentionnées dans la première section. En particulier, parmi les fonctions R-intégrables, on distingues celles qui peuvent être approchées uniformément par des fonctions en escalier. On les appelle fonctions réglées (cf définition dans le cas général d’applications à valeurs dans un espace de Banach), l’ensemble des fonctions réglées est noté R([a, b], R). Parmi les fonctions réglées, on trouve en particulier ce type de fonctions : Soit f : [a, b] → R une fonction bornée n’admettant qu’un nombre fini de points de discon- tinuité. Alors f est réglée, donc R-intégrable. Proposition 8.4 Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  24. 24. Intégrale de Riemann sur un segment 67 En particulier, C([a, b], R) ⊂ R([a, b], R) et Cm([a, b], R) ⊂ R([a, b], R) Corollaire 8.5 Remarque : Ça ne veut pas dire pour autant que toute fonction R-intégrable a nécessairement un nombre fini de points de discontinuité. Il existe des bêtes bizarres ayant un nombre non-dénombrable de points de discontinuité (qui par conséquent ne sont pas réglées, cf section sur les applications à valeurs dans un espace de Banach) et qui sont tout de même R-intégrables. Cf la fonction de Cantor [16] p567. La suite de cette section est optionnelle, on montre qu’en fait on peut aussi, avec l’intégrale de Riemann, intégrer un autre type de fonctions, qui restent réglées, mais qui ne sont pas des fonctions continues ou continues par morceaux pour autant. Voyons comment : Toute fonction monotone f : [a, b] → R est réglée, donc Riemann-intégrable sur [a, b]. Proposition 8.6 Démo : d’après le théorème de la limite monotone, f a une limite à gauche et une limite à droite en tout point de [a, b] (utiliser le critère général des fonctions réglées 8.12) et enfin les fonctions à variation bornée sont aussi réglées : Soit f : [a, b] → R. Pour toute subdivision u de [a, b] on définit V (f, u) = 0 i n−1 |f(xi+1) − f(xi)| On définit V (f) = sup u V (f, u) comme la variation totale de f. Si V (f) < ∞ on dit que f est à variation bornée. Définition 8.7 Une fonction est à variation bornée si et seulement si elle est somme de deux fonctions monotones. Par conséquent, une fonction réelle à variation bornée sur un segment [a, b] est réglée, donc Riemann-intégrable, sur [a, b]. Proposition 8.8 8.2.2. Intégrale de Riemann sur un segment d’une fonction à valeurs dans un evn de dimension finie Cette généralisation ne pose pas de problème particulier, à part les deux subtilités suivantes : 1. On définit b a f = n i=1 ( b a fi)ei Il faut vérifier que la définition ne dépend pas du système de coordonnées. 2. L’inégalité | b a f| b a |f| se généralise en b a f b a f mais la démonstration n’est pas tout à fait triviale, dans le cas n > 1 on a besoin des sommes de Riemann que l’on définira ultérieurement. Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  25. 25. Cinquième partie Analyse à une variable complexe
  26. 26. 9. Fonctions d’une variable complexe Dans ce chapitre, Ω désigne un ouvert de C. 9.1. Généralités Soit z0 ∈ Ω et f : Ω −→ C. On dit que f est dérivable en z0 si la limite suivante existe dans C : lim z → z0 z = z0 f(z) − f(z0) z − z0 auquel cas on note cette limite f (z0). On dit que f est holomorphe sur Ω si f est dérivable en tout point de Ω. On note H(Ω) l’ensemble des fonctions holomorphes sur Ω. Définition 9.1 (Fonctions holomorphes) Remarques : 1. Dérivabilité sur C implique différentiabilité sur R2 mais l’inverse est faux. 2. La somme, le produit, la composée de fonctions holomorphes, ainsi que le quotient de deux fonctions holomorphes f et g sur un ouvert sur lequel g ne s’annule pas, est holomorphe. Soit f : Ω −→ C. On dit que f est C−analytique sur Ω si elle est développable en série entière autour de tout point de Ω. On dit aussi, plus généralement, que f est analytique s’il est clair que l’on parle d’une fonction d’une variable complexe. Définition 9.2 (Fonctions C-analytiques) Remarque : On verra dans la suite du cours que holomorphie et C-analyticité sont en réalité des notions équivalentes sur un ouvert de C. Soit f : Ω −→ C. On dit que f est méromorphe sur Ω s’il existe P un ensemble de points isolés de Ω tel que : 1. f est holomorphe sur ΩP 2. ∀p ∈ P, ∃n ∈ N∗ , λ ∈ C∗ tels que f(z) ∼ z→p λ(z − p)−n Les points de P sont appelés pôles de f. On note M(Ω) l’ensemble des fonctions méromorphes sur Ω. Définition 9.3 (Fonctions méromorphes)
  27. 27. 10. Calcul différentiel 10.1. Calcul différentiel à une variable Dans cette section, I désigne un intervalle de R (non-vide, non réduit à un point), et E un e.v.n. réel 1 (que l’on suppose implicitement complet dans les cas où l’on parle d’intégrale à valeurs dans E). Soit a, b ∈ R, a < b et f : [a, b] −→ R une fonction continue sur [a, b], différentiable sur ]a, b[. Alors il existe c ∈]a, b[ tel que : f (c) = f(b) − f(a) b − a Théorème 10.1 (Théorème de Rolle généralisé) Démo : Soit g : t → g(t) = f(a) + (t − a)(f(b) − f(a))/(b − a), on pose h = f − g, h est continue sur le compact [a, b] donc atteint ses bornes. Comme h (a) = h (b) = 0, si h est non nulle, alors h atteint nécessairement son minimum ou son maximum en un point c ∈]a, b[, qui vérifie nécessairement h (c) = 0. Une fonction différentiable f : I −→ R est croissante (resp. constante) s-si sa dérivée f : I −→ R est positive (resp. nulle). Corollaire 10.2 Soit γ : I −→ E un chemin différentiable et f : I −→ R une fonction différentiable vérifiant ∀t ∈ I, γ (t) f (t). Alors ∀a < b ∈ I, γ(b) − γ(a) f(b) − f(a) En particulier, γ est constant s-si γ : I −→ E est identiquement nulle. Théorème 10.3 (Théorème des accroissements finis) Démo : f est nécessairement croissante car de dérivée positive (cf 10.2). Si γ(a) = γ(b) c’est fini, sinon d’après le théorème de prolongement de Hahn-Banach (cf 4.17) il existe u ∈ Lc(E, R) tel que u = 1, vérifiant γ(b) − γ(a) = u(γ(b)−γ(a)). Or u ◦ γ est différentiable, de dérivée u ◦ γ (se vérifie à la main). Par conséquent on a : ∀t ∈ I, (u ◦ γ) (t) = u ◦ γ (t) |u ◦ γ (t)| γ (t) f (t). Donc f − u ◦ γ est croissante, d’où le résultat, qui est encore vrai si γ est identiquement nulle sur I (choisir f = 0). On dispose également de la variante suivante, qui donne une conclusion plus précise que l’inégalité des accroissements finis si on en connaît davantage quant aux directions que peut prendre γ dans E : 1. i.e. de corps de base R
  28. 28. 96 Calcul différentiel Soit γ : I −→ E un chemin différentiable et f : I −→ R une fonction différentiable, de dérivée f 0 sur I. On suppose qu’il existe une partie convexe fermée A de E telle que ∀t ∈ I, γ (t) ∈ f (t)A. Alors ∀a < b ∈ I, γ(b) − γ(a) ∈ (f(b) − f(a))A Théorème 10.4 (Théorème des accroissements finis généralisé) Démo : si γ(b) = γ(a) c’est terminé. Sinon supposons qu’il existe a < b tels que γ(b) − γ(a) /∈ (f(b) − f(a))A, alors le théorème de Hahn-Banach assure l’existence de u ∈ Lc(E, R) tel que u(γ(b) − γ(a)) /∈ u((f(b) − f(a))A). Comme u ◦ γ et u(A) vérifient les mêmes hypothèses que γ et A, le théorème serait ainsi mis en défaut pour une fonction à valeurs réelles u ◦ γ et un segment de R u(A). Par conséquent il suffit de démontrer le théorème pour E = R. Supposons donc que A = [α, β] et αf (t) γ (t) βf (t), on conclut que α(f(b) − f(a)) γ(b) − γ(a) β(f(b) − f(a)). Soit γ : I −→ E un chemin C1 par morceaux. Alors pour tous a, b ∈ I : γ(b) − γ(a) = b a γ (t)dt Théorème 10.5 (Formule de la moyenne) Démo : soit γ1 := t → γ(a) + t a γ(s)ds, γ1 est continu, de classe C1 par morceaux (cf 8.3), le théorème 10.3 montre que γ1 est constante sur chaque intervalle où elle est continue, donc constante car continue sur I. Donc γ1 = γ. 10.2. Applications différentiables Dans cette section, E et F désignent deux espaces espaces normés sur K = R ou C (F est implicite- ment supposé complet dès lors que l’on parle d’intégrale à valeurs dans F), U un ouvert de E et f une application de U dans F. 10.2.1. Généralités On dit que f : U −→ F est différentiable en a ∈ U s’il existe Df(a) ∈ Lc(E, F) telle que f(a + h) = f(a) + Df(a)h + R(h) avec R(h) = o(|h|) quand h tend vers 0 dans E. Définition 10.6 Remarques : 1. Cette définition signifie essentiellement trois choses : a) Il existe des dérivées directionnelles dans toutes les directions u de E : ∂f ∂u (a) := ∂uf(a) := lim ε→0 f(a + εu) − f(a) ε b) u → ∂uf(a) est une fonction linéaire de u, on la note Df(a) (on dit alors que f est différentiable au sens de Gâteaux). Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  29. 29. Applications différentiables 97 c) La limite ∂uf(a) est atteinte de manière uniforme par rapport à u sur un voisinage de 0, ce qui s’écrit f(a + h) = f(a) + Df(a)h + o(|h|) (on dit alors que f est différentiable au sens de Fréchet, ou différentiable tout court). 2. On peut montrer que dans le cas où f : Rn −→ R est convexe, alors le simple fait que f admette des dérivées dans toutes les directions implique nécessairement qu’elle est différentiable. 3. Dans une base (ei)1 i n de E (en dimension finie), la différentielle de f en a s’écrit : Df(a) = n i=1 ∂f ∂xi (a)dxi où (dxi)1 i n désigne la base duale de (ei)1 i n Soit V un ouvert de F, G un e.v.n., g : V −→ G. Si f est différentiable en a ∈ U et g est différentiable en f(a) ∈ V alors g ◦ f : f−1 (V ) −→ G est différentiable en a, et D(g ◦ f)(a) = Dg(f(a)) ◦ Df(a) Proposition 10.7 (Dérivée de fonction composée) Soit γ : [0, 1] −→ U un arc a C1 par morceaux joignant a à b dans U et f : U −→ F une application différentiable. Alors f(b) − f(a) (γ) (Df) ◦ γ ∞ En particulier si U est connexe, f est constante s-si Df = 0. a. Un arc est un chemin d’un segment de R dans E, un chemin étant nécessairement continu par définition. Théorème 10.8 (Inégalité des accroissements finis) Démo : on applique 10.3 au chemin f ◦ γ, de dérivée (f ◦ γ) (t) = Df(γ(t)) ◦ γ (t) Df(γ(t)) γ (t) Df ◦ γ ∞ γ (t) . Soit ϕ : x → Df ◦ γ ∞ x a γ (t) dt, on a alors f(b) − f(a) ϕ(b) − ϕ(a). 10.2.2. Applications de classe C1 Soit γ : [0, 1] −→ U un arc C1 par morceaux joignant a à b dans U et f une application différentiable de classe C1 . Alors dγ df := 1 0 Df(γ(t))γ (t)dt = f(b) − f(a) Théorème 10.9 (Formule de la moyenne) Démo : appliquer 10.5 à (f ◦ γ) = Df(γ(t)) ◦ γ (t). Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  30. 30. 11. Équations différentielles 11.1. Généralités et résultats fondamentaux 11.1.1. Équations différentielles ordinaires du premier ordre Soit E un espace de Banach, U un ouvert de R×E et f : U −→ E une application continue. On considère l’équation différentielle y = f(t, y), (t, y) ∈ U (P) Étant donné un point (t0, y0) ∈ U, le problème consistant à trouver une solution y : I −→ E de (P) sur un intervalle I contenant t0 dans son intérieur, telle que y(t0) = y0, est appelé problème de Cauchy associé à l’équation différentielle (P). Définition 11.1 (Problème de Cauchy) Toute solution y se prolonge en une solution maximale a ˜y (pas nécessairement unique). a. Une solution y : I −→ E est dite maximale si y n’admet pas de prolongement sur un intervalle ˜I I. Théorème 11.2 Démo : notons I = (a, b). Soit Ay = {c; y se prolonge sur (a, c[} et c1 = sup Ay. Si c = b, ou si c = max Ay, c’est terminé. Sinon on choisit b1 tel que b < b1 < c1 et on note y1 : (a, b1[−→ E le prolongement obtenu. Puis en itérant, on peut construire une suite (bn)n∈N croissante, et une suite (cn)n∈N décroissante (tout prolongement d’une fonction prolongée est un prolongement de la fonction initiale, d’où la décroissance de (cn)n), telles que cn − bn 1/n : b1 b2 · · · bk · · · ck · · · c1 En notant ˜b la limite commune de (bn)n et (cn)n on obtient que le prolongement commun des yk, ˜y : (a,˜b) −→ E, éventuellement prolongé en ˜b, est maximal. Cylindres de sécurité On introduit le concept de cylindre de sécurité, notion qui reviendra fréquemment par la suite : Un cylindre C = [t0 − T, t0 + T] × B(y0, r0) est appelé cylindre de sécurité adapté à (P) si toute solution y : I −→ E du problème de Cauchy y(t0) = y0 avec I ⊂ [t0 − T, t0 + T], reste contenue dans B(y0, r0). Définition 11.3 (Cylindres de sécurité) Remarque : En dimension finie, il existe toujours des cylindres de sécurité adaptés à (P) si CT0,r0 est un cylindre quelconque alors CT,r0 , avec T min(T0, r0 M ) où M = sup CT0,r0 f , est un cylindre de sécurité. Si E est un espace de Banach de dimension infinie, c’est encore vrai si f est compacte (cf 4.21) : en effet CT0,r0 est une partie bornée de E (mais n’est pas compacte : théorème de Riesz), donc son image par f est relativement compacte. Par conséquent, M = sup CT0,r0 f < ∞ et on définit un cylindre de sécurité comme précédemment.
  31. 31. 102 Équations différentielles 11.1.2. Équations différentielles ordinaires d’ordre supérieur à 1 On appelle système différentiel d’ordre p dans E toute équation de la forme : y(p) = f(t, y, y , · · · , y(p−1) ) où f : U −→ E est une application continue définie sur un ouvert U ⊂ R × Ep Tout système différentiel d’ordre p dans E est équivalent à un système différentiel d’ordre 1 dans Ep . Définition 11.4 (Système différentiel d’ordre p) 11.2. Théorème d’existence et d’unicité de Cauchy-Lipschitz Soit E un espace de Banach, I un intervalle de R et f : I × E −→ E une fonction continue, globalement lipschitzienne par rapport à la seconde variable dans le sens suivant : ∀K compact ⊂ I, ∃k, ∀y, z ∈ E, ∀t ∈ K, f(t, y) − f(t, z) k y − z Alors, pour tout (t0, y0) ∈ R × E, le problème de Cauchy y (t) = f(t, y(t)) y(t0) = y0 (PC) admet une unique solution définie sur I en entier. Théorème 11.5 (Théorème de Cauchy-Lipschitz global) Démo : Etape 1 : On suppose dans un premier que l’intervalle I est compact. On considère l’application Φ : C(I, E) −→ C(I, E) y → Φ(y) := t → y0 + t t0 f(u, y(u))du La continuité de f assure que C(I, E) est stable par Φ, donc que Φ est bien définie. Comme E est complet, C(I, E) muni de la norme y ∞ = sup t∈I y(t) est aussi complet. On va montrer que Φ admet une itérée contractante, ce qui assurera l’existence et l’unicité d’un point fixe par Φ. Soit y, z ∈ C(I, E), on a : Φ(y)(t) − Φ(z)(t) = t t0 (f(u, y(u)) − f(u, z(u))) du t t0 k y(u) − z(u) du k|t − t0| y − z ∞ puis en itérant, on obtient : Φ2 (y)(t) − Φ2 (z)(t) = t t0 k Φ(y)(u) − Φ(z)(u) du t t0 k2 |u − t0| y − z ∞ du = k2 |t − t0|2 2 y − z ∞ et donc pour tout p ∈ N, Φp (y) − Φp (z) ∞ kp Lp p! y − z ∞ où L désigne la longueur de I. En particulier, pour Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  32. 32. Septième partie Calcul intégral
  33. 33. 12. Intégrale de Lebesgue La théorie de l’intégrale de Riemann révèle assez vite ses défauts notamment lorsque l’on considère des raisonnements de passage à la limite et d’interversion limite-intégrale. La théorie de l’intégrale de Lebesgue est à cet égard bien plus souple et adaptée, mais sa construction théorique est aussi plus délicate. Le but de ce chapitre est de mettre en lumière les mécanismes essentiels de sa construction, et d’énoncer les résultats principaux de cette théorie. 12.1. Tribus et mesures On parle d’intégrale de Lebesgue pour des fonctions d’un espace mesuré X à valeurs dans un espace de Banach réel E. On va donc commencer par définir ce qu’on entend par espace mesuré, et avant toute chose ce qu’est un espace mesurable : 12.1.1. Tribus Soit X un ensemble. On appelle tribu ou σ-algèbre de parties de X tout sous-ensemble A ⊂ P(X) qui vérifie les propriétés suivantes : 1. ∀A ∈ A, Ac ∈ A 2. X ∈ A (et par conséquent ∅ ∈ A) 3. pour toute suite (An)n∈N d’éléments de A, n∈N An ∈ A (et par conséquent n∈N An ∈ A) Un ensemble muni d’une tribu (X, A), est appelé espace mesurable. Définition 12.1 (Tribus) Exemples : 1. Pour tout ensemble X, P(X) est une tribu de parties de X. 2. Soit X un ensemble et (Xi)i∈I une partition de X. Alors A = {A ∈ P(X) t.q. ∃J ⊂ I, J dénombrable , A = i∈J⊂I Xi} est une tribu de parties de X. Note : on peut plus généralement considérer les J ⊂ I (pas nécessairement dénombrables) dans cet exemple, mais ça a moins d’intérêt au vu de la définition. L’intersection de tribus étant encore une tribu, cela autorise la définition suivante : Soit X un ensemble et B ⊂ X, on appelle tribu engendrée par B, et on note σ(B), l’inter- section de toutes les tribus contenant B. Définition 12.2 (Tribu engendrée par une partie de P(X)) Exemples importants : Soit X un espace topologique. La tribu engendrée par les ouverts de X est appelée tribu borélienne de
  34. 34. 112 Intégrale de Lebesgue X. Si X est de plus séparable, alors la tribu borélienne est engendrée par les boules ouvertes (cf 2.16). Dans le case de Rn la tribu borélienne est aussi engendrée indifféremment par les pavés (considérer la norme ∞ ), par les réunions finies disjointes de pavés, ou encore par les réunions finies disjointes de pavés à coordonnées rationnelles. 1 Soit (X, A) et (Y, B) des espaces mesurables. On dit que f est mesurable si ∀B ∈ B, f−1 (B) ∈ A a a. En pratique, il suffit de vérifier cette propriété pour les atomes de la tribu B, c’est à dire les pavés, dans le cas de Rn . Définition 12.3 (Applications mesurables) Exemple : Si X et Y sont des espaces topologiques munis de leur tribu borélienne, toute application continue f : X −→ Y est mesurable. Soit X un espace mesurable et Y un espace métrique muni de sa tribu borélienne. Soit (fn : X −→ Y )n∈N une suite de fonctions mesurables convergeant simplement vers f. Alors f est mesurable. Théorème 12.4 12.1.2. Mesures On appelle mesure sur un ensemble X la donnée d’un couple (A, µ) où A est une tribu de parties de X et µ : A −→ [0, +∞] est une application vérifiant les propriétés suivantes : 1. µ(∅) = 0 (qui est en fait une conséquence du second point) 2. pour toute suite (An)n∈N d’éléments de A deux à deux disjoints, on a µ( n∈N An) = n∈N µ(An) (on dit que µ est σ-additive) Un tel espace (X, A, µ) est dit mesuré. Définition 12.5 Remarques : 1. Si µ(X) = 1 on dit que X est un espace probabilisé. 2. S’il existe (An)n∈N croissante, lim An = X, µ(An) < ∞, on dit que X est σ-fini. 3. Sur un ensemble X, la fonction µ définie par µ(A) = card(A) si A ⊂ X est fini, et par µ(A) = ∞ si A ⊂ X est infini, est une mesure, appelée mesure de comptage, ou mesure de dénombrement. Le théorème suivant, d’énoncé très simple, est très important dans la construction de l’intégrale de Lebesgue. Sa démonstration est par contre assez subtile et délicate. Son énoncé met en jeu la notion d’algèbre de parties dont on donne formellement la définition ici : 1. Par pavé, on entend : tout ensemble du type 1 k n (ak, bk) avec ak < bk, les bornes étant incluses ou non, finies ou non. Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  35. 35. 13. Les espaces Lp (µ, E) Dans ce chapitre, (X, A, µ) désigne un espace mesuré et E désigne un espace de Banach réel ou complexe. Par ailleurs K désigne indifféremment R ou C. 13.1. Généralités Soit p ∈ [1, ∞[. On note Lp (µ, E) l’ensemble des fonctions mesurables f : X −→ E vérifiant a X f p dµ < ∞ 1. La quantité f p = ( X f p dµ)1/p définit une semi-norme sur l’e.v. Lp (µ, E) 2. L’ensemble des éléments de norme · p nulle est formé par le s.e.v. L0(µ, E) des fonc- tions mesurables presque partout. 3. L’e.v. quotient Lp (µ, E)/L0(µ, E) est noté Lp (µ, E) et la quantité définie ci-dessus définit bien une norme sur Lp (µ, E), lui conférant ainsi une structure d’espace de Banach. a. Dans le cas spécifique où p = 1 et E est réel, cet espace a été défini dans le chapitre précédent. Définition et théorème 13.1 (Espaces Lp ) On note L∞ (µ, E) l’ensemble des fonctions mesurables f : X −→ E essentiellement bornées a 1. La quantité f ∞ = inf{c ∈ R+ : f(x) c p.p.} définit une semi-norme sur l’e.v. L∞ (µ, E) 2. L’ensemble des éléments de norme · ∞ nulle est formé par le s.e.v. L0(µ, E) des fonctions mesurables presque partout. 3. L’e.v. quotient L∞ (µ, E)/L0(µ, E) est noté L∞ (µ, E) et la quantité définie ci-dessus définit bien une norme sur L∞ (µ, E), lui conférant ainsi une structure d’espace de Banach. a. On dit que f : X −→ E est essentiellement bornée s’il existe un ensemble N négligeable tel que f|XN est bornée. Définition et théorème 13.2 (Espaces L∞ ) Remarque : Lorsque X est compact on a l’inclusion C(X, E) ⊂ L∞ (µ, E), et on se retrouve donc avec deux normes infinies définies différemment f ∞ = sup x∈X f(x) sur C(X, E) et f ∞ = inf{c ∈ R+ : f(x) c p.p.} sur L∞ (µ, E). La première norme est aussi appelée norme de la convergence uniforme, aussi notée f c, et les deux normes sont en fait identiques si µ charge les ouverts, i.e. µ(U) > 0 pour tout ouvert U. Dans le cas général, on ne peut que conclure f ∞ f c.
  36. 36. Huitième partie Algèbre générale
  37. 37. 16. Théorie des groupes 16.1. Généralités On appelle groupe un ensemble G muni d’une loi de composition interne notée · vérifiant les propriétés suivantes : 1. ∀g, h, k ∈ G, (g · h) · k = g · (h · k) (associativité) 2. ∃e ∈ G, ∀g ∈ G, e · g = g · e = g (existence d’un élément neutre, noté e) 3. ∀g ∈ G, ∃h ∈ G, g · h = h · g = e (tout élément g admet un inverse, noté g−1 ) Si la loi · est commutative, on dit que le groupe est commutatif (ou abélien). On appelle ordre du groupe le cardinal de G (qui peut être fini ou infini). Définition 16.1 (Groupes) Exemples : 1. (Z, +), (Q, +), (R, +), (Q∗ , ·), (R∗ , ·) sont des groupes. 2. Pour tout n ∈ N∗ , (Z/nZ, +) est un groupe. 3. (S(X), ◦), groupe des permutations d’un ensemble X . 4. (Dn, ◦), groupe diédral d’ordre 2n, pour n 3. 5. (GL(E), ◦), groupe linéaire d’un espace vectoriel E. Soit G un groupe, une partie H ⊂ G est appelée sous-groupe de G si elle est stable par la l.c.i. et par passage à l’inverse, autrement dit si ∀h1, h2 ∈ H, h1 · h−1 2 ∈ H Soit H un sous-groupe de G. Pour tout g ∈ G, les ensembles gH et Hg sont respectivement appelés classe à gauche et classe à droite de g selon H. L’ensemble des classes à gauche (resp. classes à droite) selon H se note G/H (resp. HG) et forme une partition de G. Définition et théorème 16.2 (Sous-groupes) Démo : écrire x ∼ y ⇔ x−1 y ∈ H et montrer que c’est une relation d’équivalence sur G, idem pour les classes à droite. Exemples : 1. Soit G un groupe. Toute intersection de sous-groupes de G est un sous-groupe de G. 2. Pour toute partie A d’un groupe G, on note < A > le sous-groupe de G engendré par A. C’est le plus petit sous-groupe de G contenant A. 3. Le sous-groupe de G engendré par les commutateurs de G, i.e. les éléments de la forme (g1g2)(g2g1)−1 , est appelé sous-groupe dérivé de G. C’est un sous-groupe caractéristique de G (cf 6). 4. Le sous-groupe de G des éléments de G commutant avec tous les autres est appelé centre de G. C’est aussi un sous-groupe caractéristique de G.
  38. 38. 136 Théorie des groupes Soit G un groupe d’ordre fini. L’ordre de tout sous-groupe de G divise l’ordre de G. Corollaire 16.3 (Théorème de Lagrange) Remarque importante : En particulier pour tout élément g d’une groupe G fini, on peut définir l’ordre de g comme étant le cardinal de < g > : c’est aussi le plus petit entier n tel que gn = e. Le théorème de Lagrange affirme que n est un diviseur de |G|. Démo : c’est un corollaire immédiat de la partition de G en classes selon H (à gauche ou à droite, au choix). Plus précisément, on a |G/H| = |G|/|H| = |HG|. Dans le cas où H =< g > est un sous-groupe engendré par un élément g ∈ G (on dit que H est monogène), on a < g >= {e, g, g2 , ..., gn−1 } où n est le plus petit entier tel que gn = e (cet entier existe car G étant fini, il existe nécessairement p = q tels que gp = gq ). Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. La relation d’équivalence x ∼ y ⇔ x−1 y ∈ H est compatible à gauche avec la l.c.i. de G, i.e. : ∀a, x, x ∈ G t.q. x ∼ x , on a ax ∼ ax Idem pour la relation d’équivalence définissant les classes à droite : x ∼ y ⇔ xy−1 ∈ H qui est compatible à droite avec la l.c.i. Lorsque H est distingué a dans G, i.e. ∀g ∈ G, h ∈ H, ghg−1 ∈ H ces deux relations d’équivalence définissent les même classes d’équivalence, autrement dit les classes à gauche et à droite sont confondues. Cette relation d’équivalence est alors compatible à gauche et à droite avec la l.c.i., ce qui permet de munir l’ensemble quotient G/H = HG d’une structure de groupe. a. On note alors H G. Proposition 16.4 Soit (G, ·) et (G , ∗) deux groupes, on appelle morphisme de groupes de G dans G toute application ϕ : G −→ G telle que ∀g, h ∈ G, ϕ(g · h) = ϕ(g) ∗ ϕ(h) a Le noyau de ϕ est défini par Ker(φ) = {g ∈ G; ϕ(g) = e }. C’est un sous-groupe de G. L’image de ϕ est définie par Im(ϕ) = {ϕ(g); g ∈ G}. C’est un sous-groupe de G . b c a. Une telle application vérifie automatiquement ϕ(e) = e et ∀g ∈ G, ϕ(g−1 ) = ϕ(g)−1 . b. Plus généralement, l’image et l’image réciproque de sous-groupes par un morphisme de groupes sont des sous-groupes. c. Si G = G et que ϕ est bijective, on dit que ϕ est un automorphisme de G. Définition 16.5 (Morphismes de groupes) Remarque : Une partie H ⊂ G est un sous-groupe distingué de G s-si H est noyau d’un morphisme de groupes de G dans G . Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  39. 39. 17. Théorie des anneaux 17.1. Généralités On appelle anneau un ensemble A muni de deux lois de composition interne, l’une notée +, l’autre ·, vérifiant les propriétés suivantes : 1. (A, +) est un groupe abélien, d’élément neutre noté 0. 2. (A, ·) est un monoïde, i.e. a) Il existe un élément neutre, noté 1, pour la l.c.i. · a . b) ∀x, y, z ∈ A, (x · y) · z = x · (y · z) (associativité de la l.c.i. ·) 3. ∀x, y, z ∈ A, (x + y) · z = x · z + y · z et x · (y + z) = x · y + x · z (distributivité de · par rapport à +) Lorsque la l.c.i. · est commutative on dit que A est commutatif. a. Certains auteurs omettent volontairement cet axiome et parlent alors d’anneaux unitaires : cela présente peu d’intérêt et nuit à la clarté, il est préférable d’introduire le concept d’anneau non-unitaire si besoin est. Définition 17.1 (Anneaux) Par la suite on ne considèrera que des anneaux non-nuls, i.e. pour lesquels 0 = 1. Remarque et notations : 1. ∀x ∈ A, 0 · x = x · 0 = 0 2. ∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ A, on note nx = x + · · · + x n fois et (−n)x = n(−x) 3. ∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ A, on note xn = x · x · · · · x n fois Exemples : 1. (Z, +, ·) est un anneau commutatif. 2. (Mn(K), +, ×) où K désigne un corps quelconque, est un anneau unitaire, non commutatif. Soit A un anneau, un élément x ∈ A est dit inversible à gauche s’il existe x ∈ A t.q. x ·x = 1 et inversible à droite s’il existe x ∈ A t.q. x · x = 1. Un élément x inversible à droite et à gauche est dit inversible et ses inverse à droite et à gauche sont nécessairement égaux. L’ensemble des éléments inversibles de A est un groupe, appelé groupe des inversible de A, et est noté A∗ . Définition et théorème 17.2 (Éléments inversibles)
  40. 40. 146 Théorie des anneaux Soit A un anneau, un élément x ∈ A non-nul est dit diviseur de zéro à gauche s’il existe y ∈ A non-nul tel que x·y = 0 et diviseur de zéro à droite s’il existe y ∈ A non-nul tel que y·x = 0. Un anneau est dit intègre s’il n’a pas de diviseur de zéro (ni à gauche ni à droite). Un anneau non-nul commutatif intègre est appelé domaine intègre. a a. On utilise dans ce chapitre la terminologie anglo-saxonne. Définition 17.3 (Diviseurs de zéro) Soit A un anneau, une partie non-vide B ⊂ A est appelée sous-anneau de A c’est un sous groupe additif de (A, +) et si elle est stable par la multiplication. Définition 17.4 (Sous-anneaux) Remarque : Toute intersection de sous-anneaux d’un anneau est un sous-anneau. En particulier, pour toute partie S d’un anneau A, on note < S > le sous-anneau de A engendré par S, i.e. le plus petit sous-anneau de A contenant S. 17.2. Morphismes d’anneaux Soit A et B deux anneaux, on dit que ϕ : A −→ B est un morphisme d’anneaux s-si : 1. ϕ est un morphisme de groupes de (A, +) dans (B, +) 2. ∀x, y ∈ A, ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) 3. ϕ(1A) = 1B a Le noyau de ϕ, défini par Ker(ϕ) = {x ∈ A; f(x) = 0} est un idéal de A. L’image de ϕ, définie par Im(ϕ) = {ϕ(x); x ∈ A} est un sous-anneau de B. b a. Cette condition est bien nécessaire, elle n’est pas conséquence des deux autres. b. Plus généralement, l’image et l’image réciproque de sous-anneaux par un morphisme d’anneaux sont des sous-anneaux, l’image réciproque d’un idéal est un idéal, l’image d’un idéal est un idéal de l’image. Définition 17.5 (Morphismes d’anneaux) 17.3. Idéaux 17.3.1. Généralités Soit A un anneau, un sous-groupe additif I de A est appelé un idéal à gauche de A si pour tout a ∈ A et x ∈ I on a a · x ∈ I, et est appelé un idéal à droite de A si pour tout a ∈ A et x ∈ I on a x · a ∈ I. Un idéal à gauche et à droite est dit bilatère. a a. Si on ne précise pas, le terme d’idéal se rapporte indifféremment, au moins dans cet ouvrage, à un idéal à gauche, à droite, ou bilatère (qui sont des notions identiques si l’anneau est commutatif). Définition 17.6 (Idéaux) Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  41. 41. 18. Théorie élémentaire des corps 18.1. Généralités On appelle corps un ensemble K muni de deux lois de composition interne, l’une notée +, l’autre notée ×, vérifiant les propriétés suivantes : 1. (K, +) est un groupe commutatif, d’élément neutre noté 0. 2. (K{0}, ×) est un groupe, d’élément neutre noté 1. 3. La loi × est distributive sur la loi +, i.e. si pour tous x, y, z de K, x·(y+z) = x·y+x·z. Lorsque la loi × est commutative, on dit que K est commutatif. a a. Un corps est donc un anneau dans lequel tout élément non nul est inversible. Son groupe des inversibles est donc K∗ = K{0}. Définition 18.1 (Corps) Dans ce cours, nous ne considérons que des corps commutatifs. Par la suite, la dénomi- nation corps désigne automatiquement un corps commutatif, sauf mention explicite du contraire. Exemple : Q est un corps (c’est le corps des fractions de Z). R, C sont des corps. Z/pZ est un corps si et seulement si p est premier. Soit k un corps et φ : Z → k le morphisme d’anneaux défini par φ(n) = 1 + ... + 1 (répété n fois). Le noyau de φ est de la forme pZ avec p premier ou nul. p est appelé caractéristique de k. Définition 18.2 (Caractéristique) Démonstration : Ker(φ) est un idéal de Z donc de la forme pZ avec p entier. Comme Z/pZ ∼= Im(φ) est inclus dans k, Z/pZ est intègre donc pZ est un idéal premier. Donc p est nul ou bien p est premier. On appelle sous-corps premier d’un corps k le plus petit sous-corps de k contenant 1. 1. Si k est de caractéristique nulle, le sous-corps premier de k est isomorphe à Q. 2. Si k est de caractéristique p, le sous-corps premier de k est isomorphe à Z/pZ. Définition 18.3 (Sous-corps premier) Démonstration : φ se factorise à travers son noyau pour définir une injection canonique Z/pZ → k. Si p = 0 alors Im(φ) ∼= Z et le sous-corps de k engendré par Im(φ) est isomorphe à Q. En particulier k est infini. Si p est premier alors le sous-corps premier de k est isomorphe à Z/pZ.
  42. 42. 158 Théorie élémentaire des corps 18.2. Extensions de corps 18.2.1. Généralités Soit k un corps. On appelle extension de k tout corps K tel qu’il existe un morphisme de corps a j de k dans K. On note K/k l’extension K de k. a. Un tel morphisme est aussi appelé plongement ou monomorphisme. Définition 18.4 (Extension de corps) Remarques : 1. L’appellation est justifiée car un morphisme de corps est toujours injectif. Donc on peut effecti- vement identifier k à un sous-corps de K. 2. Si K est une extension de k alors K est un k-espace-vectoriel. Sa dimension, notée [K : k], est appelée degré de l’extension K/k. 3. Si K est de dimension finie sur k, on dit que l’extension est finie et on note [K : k] = dimk(K). 4. Si K est de dimension infinie sur k, sa dimension se note encore [K : k], avec [K : k] = +∞. 5. En particulier, si k et K sont des corps finis, l’extension est nécessairement finie, de degré n, et on a |K| = |k|n . 6. Si K et L sont deux extensions d’un corps k, on dit qu’un morphisme de K dans L est un k-morphisme s’il laisse les éléments de k invariants. On note Homk(K, L) l’ensemble des k- morphismes. Soient K/k et L/K deux extensions de corps. Soient (λi)i∈I et (κj)j∈J des bases de L/K et K/k respectivement. Alors (λiκj)(i,j)∈I×J est une base de L/k. En particulier, on a [L : k] = [L : K][K : k]. Théorème 18.5 (Théorème de la base téléscopique) 18.2.2. Extensions algébriques et transcendantes On se donne une extension de corps K/k. Un élément x ∈ K est dit algébrique (sur k) s’il existe P ∈ k[X] non nul tel que P(x) = 0. Sinon il est dit transcendant (sur k). Une extension K/k est dite algébrique si tous les éléments de K sont algébriques (sur k). Définition 18.6 (Algébricité et transcendance) Exemple : Les nombres e et π sont transcendants sur Q. √ 2 est algébrique sur Q. On établit un critère d’algébricité dans la proposition suivante : Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  43. 43. Extensions de corps 159 Soit x ∈ K. Les propriétés suivantes sont équivalentes : a 1. x est algébrique sur k 2. l’algèbre k[x] est de dimension finie sur k 3. l’algèbre k[x] est un corps a. On note k(x) le plus petit sur-corps de k contenant x, et k[x] l’algèbre engendrée par x sur k. Si x est algébrique sur k on a donc k[x] = k(x). Une extension (finie ou pas) du type k(x) est dite simple ou encore monogène. Proposition 18.7 Démonstration : i) ⇒ ii) : si x est algébrique, alors il existe P ∈ k[x] de degré n > 1 tel que P(x) = 0. Donc 1, x, ..., xn−1 engendre k[x]. ii) ⇒ iii) k[x] est une algèbre de dimension finie sur k, intègre car k[x] est inclus dans le corps K, donc c’est un corps. En effet soit A une algèbre intègre de dimension finie sur k. Soit a ∈ A non nul et φ : A → A qui à x associe ax. φ est linéaire, injective car A est intègre, et donc surjective car A est de dimension finie. Donc il existe x dans A tel que ax = 1 ce qui prouve que a est inversible. L’argument étant vrai pour tout a non nul, A est un corps. iii) ⇒ i) Si k[x] est un corps, alors x est nul donc algébrique, ou bien est inversible dans k[x], c’est-à-dire qu’il existe P ∈ k[X] tel que xP(x) = 1, et par conséquent XP(X)−1 annule x, qui est donc algébrique sur k. Soit x ∈ K algébrique sur k. On appelle polynôme minimal, et on note Πx, le générateur unitaire de l’idéal des polynômes annulateurs de x. On appelle dégré de x sur k et on note degk(x) la dimension [k[x] : k]. Définition 18.8 (Polynôme minimal) Remarque : L’idéal Ix des polynômes annulateurs de x est principal car k[X] est principal. Il existe donc bien P tel que Ix = (P). Il existe un unique Πx unitaire tel que Ix = (Πx) car si Q ∈ P[X] est tel que (P) = (Q) alors P et Q sont associés dans l’anneau intègre k[X], i.e. il existe u ∈ k∗ tel que Q = uP. Il existe donc un unique u tel que Q est unitaire. Soit Πx le polynôme minimal a de x ∈ K algébrique sur k. Alors 1. Πx est irréductible dans k[X] 2. le corps k[x] est isomorphe à k[X]/(Πx) 3. degk(x) = deg(Πx) a. dans la suite du cours, les notations Πx et Πx,k désigneront toujours le polynôme minimal de x sur k. Proposition 18.9 Démonstration : Le morphisme d’algèbres k[X] → k[x] qui à P associe P(x) est surjectif par définition, et de noyau (Πx). Donc k[X]/(Πx) k[x] et par conséquent degk(x) = deg(Πx). Comme k[x] est un corps, k[X]/(Πx) l’est donc aussi, ce qui signifie que (Πx) est maximal dans l’anneau intègre k[X], donc Πx est irréductible dans k[X]. Enfin, énonçons le théorème suivant : L’ensemble des éléments de K algébriques sur k est un sous-corps de K. Théorème 18.10 (Sous-corps des éléments algébriques) Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.
  44. 44. Neuvième partie Algèbre linéaire
  45. 45. Dixième partie Probabilités et statistiques
  46. 46. 23. Notions générales de théorie des probabilités 23.1. Généralités Soit Ω un ensemble. On rappelle que A ⊂ P(Ω) est une tribu si : 1. Ω ∈ A 2. ∀A ∈ A, Ac ∈ A 3. ∀n 0, (An ∈ A ⇒ n∈N An ∈ A) Si (Ω, A) est muni d’une mesure positive µ telle que µ(Ω) = 1 alors on dit que µ est une mesure de probabilité et que Ω est un espace probabilisé. Les éléments ω ∈ Ω sont appelés réalisations et les éléments A ∈ A sont appelés événements. Définition 23.1 (Espaces probabilisés) Remarque heuristique : Une tribu doit être interprétée de la façon suivante : la seule connaissance qui nous est accessible concernant une réalisation ω n’est pas ω elle-même, mais le fait que ω appartienne, ou pas, à un événement A donné, quelconque dans A. Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé et A un événement de probabilité non-nulle. On définit la probabilité conditionnelle sachant A de la façon suivante : PA(B) = P(B|A) = P(A ∩ B) P(A) Définition 23.2 (Probabilités conditionnelles) On dit que n événements A1, · · · , An sont indépendants si pour tout sous-ensemble non-vide {i1, · · · , ip} de {1, · · · , n} on a : P(Ai1 ∩ · · · ∩ Aip ) = P(Ai1 ) · · · P(Aip ) On dit que n tribus B1, · · · , Bn sont indépendantes si tous leurs éléments sont indépendants : ∀A1 ∈ B1, · · · , ∀An ∈ Bn, P(A1 ∩ · · · ∩ An) = n i=1 P(Ai) Définition 23.3 (Indépendance)
  47. 47. 198 Notions générales de théorie des probabilités Soit (An)n∈N une suite d’événements. 1. Si n∈N P(An) < ∞ alors P(lim sup n→∞ An) = 0, a autrement dit pour presque tout ω ∈ Ω, {n ∈ N; ω ∈ An} est fini. 2. Si n∈N P(An) = ∞ et si les événements An sont indépendants, alors P(lim sup n→∞ An) = 1, autrement dit pour presque tout ω ∈ Ω, {n ∈ N; ω ∈ An} est infini. a. On définit lim sup n→∞ An = ∞ n=0 ∞ k=n Ak et lim inf n→∞ An = ∞ n=0 ∞ k=n Ak Théorème 23.4 (Lemme de Borel-Cantelli) 23.2. Variables aléatoires Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé et (E, E) un espace mesurable. On appelle variable aléatoire toute fonction mesurable X : Ω −→ E. a La loi de la variable aléatoire X est définie par : ∀B ∈ E, PX(B) := P(X ∈ B) déf = P({ω ∈ Ω; X(ω) ∈ B}) Lorsque (E, E) = (Rn , B(Rn )) et que PX est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue λ, P est une variable aléatoire à densité (théorème de Radon-Nikodym), i.e. il existe f : Rn −→ R+ t.q. ∀B ∈ B, PX(B) = B f(x)dx a. Lorsque E = R on dit que X est une variable aléatoire réelle. Définition et théorème 23.5 (Variables aléatoires) Soit X : Ω −→ E une v.a., on appelle tribu engendrée par X et on note σ(X) la plus petite tribu sur Ω qui rendre X mesurable : σ(X) = {X−1 (B); B ∈ E} Une v.a.r. Y est σ(X)-mesurable s-si ∃f : (E, E) −→ (R, B(R)) mesurable t.q. Y = f(X). Définition et théorème 23.6 (Tribu engendrée par une v.a.) Soit X une v.a.r., on appelle fonction de répartition de X la fonction FX : R −→ [0, 1] définie par : ∀t ∈ R, FX(t) = P(X t) Lorsque X est à densité, de densité fX, on a FX = fX. Définition 23.7 (Fonction de répartition) Xavier Charvet Leçons et études mathématiques. Tous droits réservés. Novembre 2016.

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