CURVICA
ACTIVITÉS MATHEMATIQUES
1. Introduction - Premières applications
2. Notion de préludes des plateaux
3. Analyse du ...
1.1 – LES PIÈCES (1)
Curvica (Carré à côtés incurvés) a été conçu par Jean Fromentin
pour la brochure Jeux1 de l’APMEP, ve...
1.1 – LES PIÈCES (2)
On trouve ainsi
24 pièces.
Les pièces sont
a priori non
retournables.
Elles sont
nommées aussi
pour c...
1.1 – LES PIÈCES (3)
Parce que les pièces sont non retournables par symétrie
axiale, on dispose de trois couples de pièces...
1.1 – LES PIÈCES (4)
Les 24 pièces peuvent se regrouper dans un rectangle 4x6 :
1.2 – PIÈCES ET SYMETRIES (1)
On peut les classer de nombreuses façons, par d’axes de
symétrie, par angles droits, par côt...
Pour réaliser les puzzles, on remarquera souvent des
symétries internes sur 2, 3 parfois 5 ou 6 pièces. Dans ce
cas, on a ...
Les symétries internes
sont l'occasion
"d'extraire une figure
simple d'une figure
complexe" dans des
situations non trivia...
Les symétries internes
sont l'occasion
"d'extraire une figure
simple d'une figure
complexe" dans des
situations non trivia...
Outre les symétries internes, on rencontre aussi des blocs de même
forme comme dans cet exemple du plateau 20
ÉCHANGE DE B...
1.4 – AIRES ET PERIMETRES
• Classement selon les axes, les périmètres, les aires
• Un travail spécifique peut être fait su...
On voit la richesse de l’activité, et les potentialités du jeu
en général, par le résultat obtenu :
1.4 – AIRES ET PERIMET...
1.5 – DÉFIS MATHÉMATIQUES
Exemple de défis dans une liaison CM2-6° :
1.5 – DÉFIS MATHÉMATIQUES
Exemple de défis dans une liaison CM2-6° du
http://www.acamus.net/index.php?option=com_content&v...
1.5 – DÉFIS MATHÉMATIQUES
Exemple de défis dans une liaison CM2-6° :
CURVICA
ACTIVITÉS MATHEMATIQUES
1. Introduction - Premières applications
2. Notion de préludes des plateaux
3. Analyse du ...
Un prélude est simplement le début d'un plateau dont on
assure l'utilisateur qu'il aboutit à des solutions.
Voici un prélu...
Solution de ce prélude 1 du plateau 2 au collège de
Sainte Anne, lors de la semaine des maths en 2015.
2.1 – NOTION DE PRE...
Voici trois préludes pour
les plateaux 4 et 5.
On voit déjà qu'en terme
de tâches complexes on
peut structurer la
recherch...
2.3 – TROIS PRÉLUDES DU PLATEAU 19
Dans notre
approche, on a
privilégié (sauf pour
le rectangle) les
préludes à 12
pièces,...
CURVICA
ACTIVITÉS MATHEMATIQUES
1. Introduction - Premières applications
2. Notion de préludes des plateaux
3. Analyse du ...
3.1 – LE PLATEAU RECTANGULAIRE
Avec le plateau
rectangulaire, il est
naturel de commencer
par remplir le pourtour.
On voit...
3.1 – LE PLATEAU RECTANGULAIRE (2)
Il y a 9
solutions
possibles
pour placer
les 6 pièces
incurvées
3.1 – LE PLATEAU RECTANGULAIRE (3)
Exemple de deux modifications des deux premières colonnes
pour conserver l'ensemble des...
3.1 – LE PLATEAU RECTANGULAIRE (4)
Autres exemples de
modifications pour
conserver le même
contour des 6 pièces
centrales
3.2 – LA PLACE DU CARRÉ I
I ne peut pas être placé en (2,2)
Le carré I peut-il être en (1, 3) ?
Dans toute la
suite, par
s...
3.3 – LE CARRÉ I EN (1, 3) ?
3.3. PRELUDES
NON CONNEXES
Ce prélude admet 3
solutions.
Existe-t-il un prélude
non connexe avec 4
solutions ?
3.4. AUTRES CONFIGURATIONS DU
RECTANGLE
Le carré I étant
toujours dans le
premier quadran du
rectangle, en pratique
en(1,1...
3.4. AUTRES CONFIGURATIONS DU
RECTANGLE
Le carré I étant en
(1,1) on peut avoir
le bloc des 6
pièces sans
segment dès la
c...
3.5. QUELQUES CONFIGURATIONS
IMPOSSIBLES DU RECTANGLE
Par contre, toujours
avec le carré I en (1,1),
on ne peut avoir une
...
3.5. QUELQUES CONFIGURATIONS
IMPOSSIBLES DU RECTANGLE
Aucune des autres
configurations des 6
pièces "bleues" n'est
possibl...
3.5. QUELQUES CONFIGURATIONS
IMPOSSIBLES DU RECTANGLE
Aucune des autres configurations des 6 pièces "bleues"
n'est possibl...
CURVICA
ACTIVITÉS MATHEMATIQUES
1. Introduction - Premières applications
2. Notion de préludes des plateaux
3. Analyse du ...
Ce sont encore des plateaux de la forme 4x6, d'aire 24
bien entendu, ici sans segment sur le contour
4 – QUELQUES PLATEAUX...
Les préludes 3 et 4 de P2 et P3
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.1. P2 ET P3
Entre
7 et 20
solutions
pour ces
préludes
Les préludes 5 de P2 et P3
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.1. P2 ET P3
Ces préludes sont plus contraints : deux solutions maximum
Ci-contre, à droite, une symétrie centrale des lignes 1 et 4
avec échange de N et B construit un nouveau prélude avec
une ...
Question : le méta en bas à gauche a-t-il des solutions ?
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.1. P2 ET P3 Making off : les méta-prélud...
Ce sont des
plateaux de la
forme 3x8,
toujours sans
segment sur le
contour
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.2. P4 ET P5
Exemple de solutions trouvées sur le stand
de l'IREM sur le prélude 4 du plateau 5.
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.2. P4 ET P5
Exemple de
solutions
trouvées sur
le stand de
l'IREM sur le
prélude 4 du
plateau 5.
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.2. P4 ET P5
Toujours sur le stand de l'IREM en novembre dernier,
solutions sur le nouveau prélude 5 du plateau 5.
4 – QUELQUES PLATEAU...
Exemple de solutions trouvées sur le stand de l'IREM
sur le prélude 5 du plateau 5
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.2. P4 ET P5
Exemple de solutions trouvées sur le site de l'IREM
sur le prélude 5 du plateau 5
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.2. P4 ET P5
Exemple de solutions trouvées sur le site de l'IREM
sur le prélude 5 du plateau 5
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.2. P4 ET P5
Ce sont des plateaux de la forme
5x5, privés, au centre, d'une
pièce d'aire 1.
Au delà des questions de forme,
c'est l'occ...
Essais de modifications minimales pour réaliser un puzzle
avec les pièces de Curvica.
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.3. P6 À P10
...
Essais de modifications minimales pour réaliser un puzzle
avec les pièces de Curvica.
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.3. P6 À P10
...
Modification minimale pour réaliser un puzzle avec les
pièces de Curvica.
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.3. P6 À P10
Essai 3 : fi...
Ce sont des plateaux de la forme 5x5, privés, au centre, d'une pièce d'aire
1. C'est l'occasion de travailler sur les aire...
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.3. P6 À P10
Comment modifier le centre des tableaux pour que l'aire totale
soit respectée ?
Ensuit...
Les 5 plateaux de la figure DGPad
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.3. P6 À P10
Observer la première
ligne des deux
solutions de ce
prélude du plateau 6.
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.3. P6 À P10
Variante du
plateau 8 avec
centre d'aire 1
mais de forme
différente.
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.3. P6 À P10
Plateaux en pyramide avec un centre d'aire 1, toujours un
carré, issus d'une modification de la forme ci-dessous.
4 – QUEL...
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.4. P11 À P18
Quelles modifications minimales - sur le
contour extérieur - pour être réalisable ave...
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.4. P11 À P18
Quelles modifications minimales pour être
réalisable avec les pièces de Curvica ?
Ess...
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.4. P11 À P18
Quelles modifications minimales pour être
réalisable avec les pièces de Curvica ?
Ess...
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.4. P11 À P18
4.4.b. P11 à P14
P11 est le plateau
original de J. F.
Il est très contraint
et n'a qu...
P11 n'a que 4 index cardinaux opérationnels : LCVN, LCRN, VLRN,
VLRC. Le 5° VCRN ne produit pas de contour fiable.
4 – QUE...
Deux premières solutions de l'index LCVN
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.4.D QUATRE DES HUIT SOL. DE P11
Deux autres solutions de l'index LCVN
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.4. QUATRE DES HUIT SOL. DE P11
P14 a 9 index cardinaux. Bien plus de solutions que P11
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.4.E UNE BELLE SYM. INTERNE DE P14
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.4. P11 À P18
4.4.f. P15 à P18
Variantes avec
des segments et
exemples (p17 et
p18) de plateaux
non...
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.4.G 4 SOL AVEC SYM DE P16
Deux autres formes très riches, faciles à explorer.
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.5. P19 ET P20
On peut par exemple
- repérer la...
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.5. SOLUTION DES 3 PRÉLUDES DE P19
CURVICA
ACTIVITÉS MATHEMATIQUES
1. Introduction - Premières applications
2. Notion de préludes des plateaux
3. Analyse du ...
Jusqu'à maintenant on
a vu de nombreux
préludes de différents
plateaux. On se
propose ici de
détecter les préludes
impossi...
Toujours dans un contexte d'appropriation, mais un peu plus subtil :
Pourquoi ce prélude ne peut pas se poursuivre ?
5 – A...
On reprend un prélude
élémentairement
simple pour aller vers
une complexification.
On ne verra qu'une
étape.
Sur le site d...
On a enlevé deux pièces, K
en haut et D en bas pour que
la poursuite du prélude ne soit
pas bloqué dès le départ.
Mais cla...
Ordre de justification (par exemple)
V H - B J - K P - U W
5 – ANTICIPATIONS (TOPO)LOGIQUE
Exemple de préparation
de préludes pour P11 et
P20. Version facile.
Pourquoi ces
configurations ne sont
pas des préludes (...
Autre exemple de préparation de préludes pour P11.
Version moins élémentaire.
Pourquoi cette configuration est impossible ...
Observer que, dans
cette configuration,
on ne peut placer la
pièce B.
5 – ANTICIPATIONS (TOPO)LOGIQUE
Pour jouer avec le plateau P19.
Version "appropriation des pièces"
Ce qui incite à chercher des vrais
préludes originaux p...
CURVICA
ACTIVITÉS MATHEMATIQUES
1. Introduction - Premières applications
2. Notion de préludes des plateaux
3. Analyse du ...
Cette partie traite à nouveau du rectangle 4x6
6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL
Phase de découverte :-)
L'un de ces deux dép...
Poids de contour des pièces
Pour chaque pièce posée sur le contour (côté droit) on compte le nombre de
côtes bombé (+1) ou...
6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL
Poids des pièces pour le contour du rectangle
La somme de toutes les pièces marrons est nul...
6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL
Confirmation de la méthode : lequel des deux préludes
peut se poursuivre ?
6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL
Mise en œuvre 1
Il y a 6 façons (3!)
possibilités de placer les
pièces H, E et U.
Quelles s...
6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL
Sur les 6 possibilités de placement des
pièces H, E, U, quatre autorisent à
poursuivre le p...
6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL
Exemples de trois solutions complètes du prélude D
parmi de nombreuses autres possibles
6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL
Mise en œuvre 2 : pour le
début de prélude ci-dessous,
lesquelles parmi les 3
propositions ...
6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL
Proposition 1 - UH : placer U et H en colonne 1 aboutit bien à un
prélude complet pour le t...
6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL
Proposition 2 - GH : placer
G et H en colonne 1 oblige à
utiliser la pièce N (ou B), de
som...
Proposition 3 - EH : placer E et H en colonne 1 nécessité d'utiliser
la pièce N (ou B) de somme 2. Les autres pièces marro...
6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL
Un dernier exemple :
Dans ce début de
prélude, il y a encore 6
façons de placer les trois
p...
6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL
Une dernière mise en
œuvre :
Les 6 organisations
possibles.
Lesquelles permettent
de poursu...
6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL
Les propositions 1, 2, 5 et 6 ne peuvent aboutir, car il faut que la somme
des poids jaunes...
6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL
Seules les propositions 3 et 4 aboutissent.
Illustration avec deux solutions complètes
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ACTIVITÉS MATHEMATIQUES
1. Introduction - Premières applications
2. Notion de préludes des plateaux
3. Analyse du ...
7.1 – AVANT LE PARTITIONEMENT
Activités préliminaires d'appropriation des pièces
Ils s'agit de proposer des plateaux utili...
7.1 – AVANT LE PARTITIONEMENT
Quelques solutions de R6 B6 I6
7.1 – AVANT LE PARTITIONEMENT
Quelques solutions de R6 B6 I6
Plusieurs centaines de solutions (non encore exhaustif)
7.1 – AVANT LE PARTITIONEMENT
Autres regroupements possibles de 18 pièces : B9 I9 (encore facile)
Dans une série de tweets...
7.1 – AVANT LE PARTITIONEMENT
Deux autres regroupements de 18 pièces : R9 I9 et R9 B9
(moins facile que R6 I6 B6)
7.1 – AVANT LE PARTITIONEMENT
Deux autres regroupements de 18 pièces : R9 I9 et R9 B9
Ci-contre un exemple de R9 qui admet...
7.2 - LA TRANSFORMATION INVERSE
Par transformation inverse on entend la modification d'une pièce en celle
qui échange "bom...
7.3 - EXEMPLE DE R6 I6 B6 ET SON INVERSE
Dans ces solutions d'élèves, on voit que
l'inverse du B6 de gauche est (presque -...
7.3 - EXEMPLE DE R6 I6 B6 ET SON INVERSE
A gauche une solution R6 B6 I6
Ci-dessous son inverse
7.4 - CINQ PLATEAUX PARTIONNANT
On peut envisager de nombreuses façons de partitionner les 24 pièces en
deux ou plusieurs ...
7.5 - R12 B6 I6 - UN EXEMPLE
On commence par prolonger
R6 B6 I6, en R12 B6 I6.
7.6 - R6 B9 I9 - UN EXEMPLE
Solutions, composantes, et permutations internes
Chaque solution est un triplet
de blocs de pi...
7.7 - R8 I8 B8 - DEUX EXEMPLES
Comme l'inverse de K est J
on s'intéressera à K en (1,1),
les solutions avec J en (1,1)
ser...
7.8 - R8 I8 B8 - PERMUTATIONS INTERNES
Dans ce contexte de
blocs 4x2, les
composantes peuvent
avoir de nombreuses
permutat...
7.8 - R8 I8 B8 - PERMUTATIONS INTERNES
Toujours sur le même exemple, les
variantes de B8 :
Finalement cette solution
initi...
7.8 - R8 I8 B8 - VARIANTE I EN (2,2)
Une solution avec I en (2,2) avec la même composante B8
Seconde solution sans la même...
7.9 - R8 B8 I8 T - EXEMPLE 1
Un exemple de solution avec les pièces centrales d'aire 1.
A droite son inverse. R8 n'est pas...
7.9 - R8 B8 I8 T - EXEMPLES 2 ET 3
On parlera des index des composantes, soit en nommant les
parties centrales par la pièc...
7.10 - I12 B12 - LE PLATEAU IREM
7.10.1 - I12 B12 DEUX EXEMPLES
Deux solutions particulières où les pièces IJK sont
dans chacune des deux composantes.
Pist...
7.10.2 - I12 B12 - PERMUTATIONS
Permutations internes de I12 de la solution 2 (10 premières possibilités)
4 solutions
(don...
7.10.2 - I12 B12 - PERMUTATIONS
Permutations internes de I12 de la solution 2 (12 nouvelles possibilités)
3 solutions
4 so...
7.10.2 - I12 B12
Permutations internes de B12 de la solution 2 (8 possibilités)
Soit au total 22x9 = 198
solutions à parti...
7.10.3 - I12 B12 - TYPOLOGIE
On s'intéresse désormais à une nomenclature des composantes de
solutions. Pour cela, on utili...
7.10.3 - I12 B12 - INDICE 2 SUR I12
2 composantes I12
d'indice +2, une de type
IT, l'aitre de type FT.
Les pièces centrale...
7.10.3 - I12 B12 - INDICE 2 SUR I12
Autre composante I12 d'indice +2, cette fois de type JN.
Piste d'investigation : pour ...
7.10.3 - I12 B12 - INDICE 3 SUR I12
L'indice +3 est le
plus grand possible
pour réaliser une
solution finale.
Non encore r...
7.10.3 - I12 B12 - INDICE 3 SUR I12
L'inverse d'une
composante I12
d'indice 3 est une
composante B12
d'indice -3.
Ci-contr...
7.10.4. PERMUTATIONS SUR INDEX
Deux exemples de permutations
de I12 d'index JI
7.10.5. PISTES POUR I12 B12
1. Distinction entre configuration et composante I12 (ou B12) : peut-on
caractériser les confi...
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IREM – 16 décembre 2015
yves.martin@univ-reunion.fr
Jouer en ligne : http://huit.re/curvic...
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Curvica IREM dėcembre 2015

  1. 1. CURVICA ACTIVITÉS MATHEMATIQUES 1. Introduction - Premières applications 2. Notion de préludes des plateaux 3. Analyse du rectangle 4. Quelques exemples de plateaux 5. Activités d'anticipations (topo)logiques 6. Calculs d'anticipations sur les préludes 7. Plateaux de partitionnement IREM – 16 décembre 2015 yves.martin@univ-reunion.fr
  2. 2. 1.1 – LES PIÈCES (1) Curvica (Carré à côtés incurvés) a été conçu par Jean Fromentin pour la brochure Jeux1 de l’APMEP, vers 1982. Les pièces sont obtenues à partir d’un carré dont on bombe ou creuse – ou non - un des côtés comme ci-dessus. Il s’agissait de mettre en place un jeu dans lequel la règle de juxtaposition ne serait pas l’identité mais une autre involution (la relation « bombé - creux »).
  3. 3. 1.1 – LES PIÈCES (2) On trouve ainsi 24 pièces. Les pièces sont a priori non retournables. Elles sont nommées aussi pour cela.
  4. 4. 1.1 – LES PIÈCES (3) Parce que les pièces sont non retournables par symétrie axiale, on dispose de trois couples de pièces symétriques. L'auteur a choisi de faire un puzzle à 24 pièces (6x4, 3x8, 5x5- 1, au lieu de 21 (3x7, 3x8-3).
  5. 5. 1.1 – LES PIÈCES (4) Les 24 pièces peuvent se regrouper dans un rectangle 4x6 :
  6. 6. 1.2 – PIÈCES ET SYMETRIES (1) On peut les classer de nombreuses façons, par d’axes de symétrie, par angles droits, par côtés opposés parallèles, et en classe, essentiellement par aire, et par périmètre. Trois pièces à 4 axes de symétrie. Que A et Q de même périmètre peut ne pas être évident … Deux pièces, autre que le carré avec deux angles droits. La réunion des deux a deux axes de symétrie. Trois autres pièces (que I, J, K) avec deux côtés parallèles. Encore trois pièce de même périmètre.
  7. 7. Pour réaliser les puzzles, on remarquera souvent des symétries internes sur 2, 3 parfois 5 ou 6 pièces. Dans ce cas, on a une nouvelle solution par ces symétries locales : En voici trois exemples élémentaires. Ici la figure obtenue a deux axes de symétries, cela donne souvent plus de solutions, même avec un seul axe de symétrie. 1.2 – PIÈCES ET SYMETRIES (2)
  8. 8. Les symétries internes sont l'occasion "d'extraire une figure simple d'une figure complexe" dans des situations non triviales. Exercice : chercher un groupement de pièces avec un axe de symétrie donnant une nouvelle solution. 1.3 – SYMÉTRIES INTERNES
  9. 9. Les symétries internes sont l'occasion "d'extraire une figure simple d'une figure complexe" dans des situations non triviales. Solution : groupement de 5 pièces avec un axe de symétrie donnant une nouvelle solution. 1.3 – SYMÉTRIES INTERNES
  10. 10. Outre les symétries internes, on rencontre aussi des blocs de même forme comme dans cet exemple du plateau 20 ÉCHANGE DE BLOCS
  11. 11. 1.4 – AIRES ET PERIMETRES • Classement selon les axes, les périmètres, les aires • Un travail spécifique peut être fait sur les aires et périmètre, dans un traitement type « gestion de données » : a) Répertorier toutes les aires possibles par ordre croissant, b) puis les périmètres différents par ordre croissant. c) Placer alors les pièces dans un tableau à double entrée, par aire croissante en abscisse puis par périmètre croissant en ordonnées : Bien entendu, le tout est abordé dans un registre relatif, en particulier, sans aucune donnée numérique (registre absolu). En 6°, le travail sur les périmètres n’est pas trivial du tout.
  12. 12. On voit la richesse de l’activité, et les potentialités du jeu en général, par le résultat obtenu : 1.4 – AIRES ET PERIMETRES
  13. 13. 1.5 – DÉFIS MATHÉMATIQUES Exemple de défis dans une liaison CM2-6° :
  14. 14. 1.5 – DÉFIS MATHÉMATIQUES Exemple de défis dans une liaison CM2-6° du http://www.acamus.net/index.php?option=com_content&view=article&id=377 :curvica&catid=53:liaison-cm2-6eme&Itemid=220 collège Albert Camus de @JulienPavageau (qui m'a fait découvrir Curvica)
  15. 15. 1.5 – DÉFIS MATHÉMATIQUES Exemple de défis dans une liaison CM2-6° :
  16. 16. CURVICA ACTIVITÉS MATHEMATIQUES 1. Introduction - Premières applications 2. Notion de préludes des plateaux 3. Analyse du rectangle 4. Quelques exemples de plateaux 5. Activités d'anticipations (topo)logiques 6. Calculs d'anticipations sur les préludes 7. Plateaux de partitionnement
  17. 17. Un prélude est simplement le début d'un plateau dont on assure l'utilisateur qu'il aboutit à des solutions. Voici un prélude pour les plateaux 2 et 3. En général on cherche des préludes aux configurations originales. 2.1 – NOTION DE PRELUDE
  18. 18. Solution de ce prélude 1 du plateau 2 au collège de Sainte Anne, lors de la semaine des maths en 2015. 2.1 – NOTION DE PRELUDE
  19. 19. Voici trois préludes pour les plateaux 4 et 5. On voit déjà qu'en terme de tâches complexes on peut structurer la recherche par groupe de blocs, en particulier en privilégiant certaines pièces. Ces trois préludes ont beaucoup de solutions 2.2 – PRÉLUDES DE P4 ET P5
  20. 20. 2.3 – TROIS PRÉLUDES DU PLATEAU 19 Dans notre approche, on a privilégié (sauf pour le rectangle) les préludes à 12 pièces, utilisant les 6 pièces à côtés parallèles et les 6 pièces totalement incurvées, sans segment.
  21. 21. CURVICA ACTIVITÉS MATHEMATIQUES 1. Introduction - Premières applications 2. Notion de préludes des plateaux 3. Analyse du rectangle 4. Quelques exemples de plateaux 5. Activités d'anticipations (topo)logiques 6. Calculs d'anticipations sur les préludes 7. Plateaux de partitionnement
  22. 22. 3.1 – LE PLATEAU RECTANGULAIRE Avec le plateau rectangulaire, il est naturel de commencer par remplir le pourtour. On voit alors que deux pièces à bords droits doivent être à l’intérieur : quelles pièces ? Et où les placer, les six pièces restantes étant « incurvées ». À noter : deux symétries internes en IK-JD et ET-UF
  23. 23. 3.1 – LE PLATEAU RECTANGULAIRE (2) Il y a 9 solutions possibles pour placer les 6 pièces incurvées
  24. 24. 3.1 – LE PLATEAU RECTANGULAIRE (3) Exemple de deux modifications des deux premières colonnes pour conserver l'ensemble des 6 pièces centrales
  25. 25. 3.1 – LE PLATEAU RECTANGULAIRE (4) Autres exemples de modifications pour conserver le même contour des 6 pièces centrales
  26. 26. 3.2 – LA PLACE DU CARRÉ I I ne peut pas être placé en (2,2) Le carré I peut-il être en (1, 3) ? Dans toute la suite, par symétries du rectangle, la pièce I est supposée être dans le premier quadran, ie en ligne 1 ou 2, en colonne 1 à 3.
  27. 27. 3.3 – LE CARRÉ I EN (1, 3) ?
  28. 28. 3.3. PRELUDES NON CONNEXES Ce prélude admet 3 solutions. Existe-t-il un prélude non connexe avec 4 solutions ?
  29. 29. 3.4. AUTRES CONFIGURATIONS DU RECTANGLE Le carré I étant toujours dans le premier quadran du rectangle, en pratique en(1,1) ou (1,2), on peut placer une des trois pièces D, F, T en colonne 1, les autres étant en colonne 2.
  30. 30. 3.4. AUTRES CONFIGURATIONS DU RECTANGLE Le carré I étant en (1,1) on peut avoir le bloc des 6 pièces sans segment dès la colonne 2 comme on le voit ci-contre
  31. 31. 3.5. QUELQUES CONFIGURATIONS IMPOSSIBLES DU RECTANGLE Par contre, toujours avec le carré I en (1,1), on ne peut avoir une configuration non connexe inversée comme esquissée ci- contre : le placement d'une pièce verte J ou K au dessus de T pose problème.
  32. 32. 3.5. QUELQUES CONFIGURATIONS IMPOSSIBLES DU RECTANGLE Aucune des autres configurations des 6 pièces "bleues" n'est possible. Ci-contre c'est immédiat, dans les autres configurations il manque au moins un angle droit.
  33. 33. 3.5. QUELQUES CONFIGURATIONS IMPOSSIBLES DU RECTANGLE Aucune des autres configurations des 6 pièces "bleues" n'est possible, comme les trois ci-dessous.
  34. 34. CURVICA ACTIVITÉS MATHEMATIQUES 1. Introduction - Premières applications 2. Notion de préludes des plateaux 3. Analyse du rectangle 4. Quelques exemples de plateaux 5. Activités d'anticipations (topo)logiques 6. Calculs d'anticipations sur les préludes 7. Plateaux de partitionnement
  35. 35. Ce sont encore des plateaux de la forme 4x6, d'aire 24 bien entendu, ici sans segment sur le contour 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.1. P2 ET P3
  36. 36. Les préludes 3 et 4 de P2 et P3 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.1. P2 ET P3 Entre 7 et 20 solutions pour ces préludes
  37. 37. Les préludes 5 de P2 et P3 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.1. P2 ET P3 Ces préludes sont plus contraints : deux solutions maximum
  38. 38. Ci-contre, à droite, une symétrie centrale des lignes 1 et 4 avec échange de N et B construit un nouveau prélude avec une solution. 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.1. P2 ET P3 Ce prélude (à gauche) n'a que deux solutions
  39. 39. Question : le méta en bas à gauche a-t-il des solutions ? 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.1. P2 ET P3 Making off : les méta-préludes
  40. 40. Ce sont des plateaux de la forme 3x8, toujours sans segment sur le contour 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.2. P4 ET P5
  41. 41. Exemple de solutions trouvées sur le stand de l'IREM sur le prélude 4 du plateau 5. 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.2. P4 ET P5
  42. 42. Exemple de solutions trouvées sur le stand de l'IREM sur le prélude 4 du plateau 5. 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.2. P4 ET P5
  43. 43. Toujours sur le stand de l'IREM en novembre dernier, solutions sur le nouveau prélude 5 du plateau 5. 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.2. P4 ET P5
  44. 44. Exemple de solutions trouvées sur le stand de l'IREM sur le prélude 5 du plateau 5 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.2. P4 ET P5
  45. 45. Exemple de solutions trouvées sur le site de l'IREM sur le prélude 5 du plateau 5 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.2. P4 ET P5
  46. 46. Exemple de solutions trouvées sur le site de l'IREM sur le prélude 5 du plateau 5 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.2. P4 ET P5
  47. 47. Ce sont des plateaux de la forme 5x5, privés, au centre, d'une pièce d'aire 1. Au delà des questions de forme, c'est l'occasion de travailler sur les aires : a - le carré d'origine convient-il ? Quelle modification minimale faut-il lui apporter pour réaliser un puzzle avec les pièces de Curvica ? 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.3. P6 À P10
  48. 48. Essais de modifications minimales pour réaliser un puzzle avec les pièces de Curvica. 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.3. P6 À P10 Essai 1 : on modifie les milieux de chaque côté pour avoir une aire centrale de 1. Solution rapide à trouver.. On voit surtout que des côtes droits sont sous utilisés, on doit pouvoir faire mieux en terme de modification minimale.
  49. 49. Essais de modifications minimales pour réaliser un puzzle avec les pièces de Curvica. 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.3. P6 À P10 Essai 2 : on ne modifie que les milieux de deux côtés, de manière symétrique. Dans ce cas l'aire centrale est diminuée d'autant. Solution intéressante. Pourtant on voit qu'il reste encore une marge d'optimisation.
  50. 50. Modification minimale pour réaliser un puzzle avec les pièces de Curvica. 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.3. P6 À P10 Essai 3 : finalement on dispose de 18 pièces il en faut 16 pour le contour. En optimisant on doit pouvoir réaliser le contour et deux côtés du carré ! C'est ce qui est proposé ci-dessus.
  51. 51. Ce sont des plateaux de la forme 5x5, privés, au centre, d'une pièce d'aire 1. C'est l'occasion de travailler sur les aires : b - comment modifier le centre des tableaux pour que l'aire totale soit respectée ? Tout d'abord en conservant les angles droits aux sommets 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.3. P6 À P10
  52. 52. 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.3. P6 À P10 Comment modifier le centre des tableaux pour que l'aire totale soit respectée ? Ensuite avec les sommets "pointus" ou "arrondis"
  53. 53. Les 5 plateaux de la figure DGPad 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.3. P6 À P10
  54. 54. Observer la première ligne des deux solutions de ce prélude du plateau 6. 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.3. P6 À P10
  55. 55. Variante du plateau 8 avec centre d'aire 1 mais de forme différente. 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.3. P6 À P10
  56. 56. Plateaux en pyramide avec un centre d'aire 1, toujours un carré, issus d'une modification de la forme ci-dessous. 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.4. P11 À P18 4.4.a Exemple d'activité : Quelles modifications minimales doit-on apporter à cette forme initiale pour être réalisable avec les pièces de Curvica ?
  57. 57. 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.4. P11 À P18 Quelles modifications minimales - sur le contour extérieur - pour être réalisable avec les pièces de Curvica ? Essai 1 : on arrondit les extrémités cardinales, on garde 4 angles droits et en modifie 4 autres, le tout pour conserver une aire 1 au centre. Il y a de la marge pour conserver au moins 4 segments de plus (aire centrale différente si on garde les symétries).
  58. 58. 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.4. P11 À P18 Quelles modifications minimales pour être réalisable avec les pièces de Curvica ? Essai 2 : proche de l'optimisation Il y a encore une possibilité pour conserver 2 segments de plus, mais en perdant bien entendu la symétrie de la figure.
  59. 59. 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.4. P11 À P18 Quelles modifications minimales pour être réalisable avec les pièces de Curvica ? Essai 3 : il n'est pas possible d'aller plus loin. Dans cette optimisation la pièce centrale n'est plus d'aire 1. Finalement les plateaux P11 à P18 sont bien plus contraints que dans cette recherche, plus facile comme activité.
  60. 60. 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.4. P11 À P18 4.4.b. P11 à P14 P11 est le plateau original de J. F. Il est très contraint et n'a que 8 solutions (aux isométries près)
  61. 61. P11 n'a que 4 index cardinaux opérationnels : LCVN, LCRN, VLRN, VLRC. Le 5° VCRN ne produit pas de contour fiable. 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.4.C INDEX CARDINAUX
  62. 62. Deux premières solutions de l'index LCVN 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.4.D QUATRE DES HUIT SOL. DE P11
  63. 63. Deux autres solutions de l'index LCVN 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.4. QUATRE DES HUIT SOL. DE P11
  64. 64. P14 a 9 index cardinaux. Bien plus de solutions que P11 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.4.E UNE BELLE SYM. INTERNE DE P14
  65. 65. 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.4. P11 À P18 4.4.f. P15 à P18 Variantes avec des segments et exemples (p17 et p18) de plateaux non symétriques. Le centre est la pièce À (voir pourquoi).
  66. 66. 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.4.G 4 SOL AVEC SYM DE P16
  67. 67. Deux autres formes très riches, faciles à explorer. 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.5. P19 ET P20 On peut par exemple - repérer la forme initiale et chercher des modifications minimales - décrire comment on passe du 19 (g) au 20 (d)
  68. 68. 4 – QUELQUES PLATEAUX 4.5. SOLUTION DES 3 PRÉLUDES DE P19
  69. 69. CURVICA ACTIVITÉS MATHEMATIQUES 1. Introduction - Premières applications 2. Notion de préludes des plateaux 3. Analyse du rectangle 4. Quelques exemples de plateaux 5. Activités d'anticipations (topo)logiques 6. Calculs d'anticipations sur les préludes 7. Plateaux de partitionnement
  70. 70. Jusqu'à maintenant on a vu de nombreux préludes de différents plateaux. On se propose ici de détecter les préludes impossibles, c'est-à- dire, apprendre à voir le plateau du point de vue de ses contraintes. On peut commencer par des niveaux élémentaires d'appropriation des configurations ou des pièces comme ceux-ci : 5 – ANTICIPATIONS (TOPO)LOGIQUE
  71. 71. Toujours dans un contexte d'appropriation, mais un peu plus subtil : Pourquoi ce prélude ne peut pas se poursuivre ? 5 – ANTICIPATIONS (TOPO)LOGIQUE Solution dans l'article huit.re/IREMcurvica1 (article 802 du site de l'IREM de la Réunion)
  72. 72. On reprend un prélude élémentairement simple pour aller vers une complexification. On ne verra qu'une étape. Sur le site de l'IREM, il y a 4 étapes différentes sur ce prélude initial 5 – ANTICIPATIONS (TOPO)LOGIQUE
  73. 73. On a enlevé deux pièces, K en haut et D en bas pour que la poursuite du prélude ne soit pas bloqué dès le départ. Mais clairement ce prélude reste très contraint. Beaucoup d'emplacements n'ont qu'une seule possibilité. Voyons cela. 5 – ANTICIPATIONS (TOPO)LOGIQUE
  74. 74. Ordre de justification (par exemple) V H - B J - K P - U W 5 – ANTICIPATIONS (TOPO)LOGIQUE
  75. 75. Exemple de préparation de préludes pour P11 et P20. Version facile. Pourquoi ces configurations ne sont pas des préludes (ie n'aboutissent pas de solutions). 5 – ANTICIPATIONS (TOPO)LOGIQUE
  76. 76. Autre exemple de préparation de préludes pour P11. Version moins élémentaire. Pourquoi cette configuration est impossible à compléter ? 5 – ANTICIPATIONS (TOPO)LOGIQUE
  77. 77. Observer que, dans cette configuration, on ne peut placer la pièce B. 5 – ANTICIPATIONS (TOPO)LOGIQUE
  78. 78. Pour jouer avec le plateau P19. Version "appropriation des pièces" Ce qui incite à chercher des vrais préludes originaux pour ce plateau à proposer pour le stand de l'IREM. 5 – ANTICIPATIONS (TOPO)LOGIQUE
  79. 79. CURVICA ACTIVITÉS MATHEMATIQUES 1. Introduction - Premières applications 2. Notion de préludes des plateaux 3. Analyse du rectangle 4. Quelques exemples de plateaux 5. Activités d'anticipations (topo)logiques 6. Calculs d'anticipations sur les préludes 7. Plateaux de partitionnement
  80. 80. Cette partie traite à nouveau du rectangle 4x6 6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL Phase de découverte :-) L'un de ces deux départs de prélude construit sur deux colonnes ne peut aboutir. Lequel et pourquoi ?
  81. 81. Poids de contour des pièces Pour chaque pièce posée sur le contour (côté droit) on compte le nombre de côtes bombé (+1) ou creux (-1) perpendiculaire au contour (côté droit). Pour les pièces marrons, la forme en face du segment n'intervient pas. Pour les pièces jaunes, à angle droit, les sommes affichées ici sont celles des pièces posées dans un coin du rectangle. 6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL Poids des pièces pour le contour du rectangle
  82. 82. 6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL Poids des pièces pour le contour du rectangle La somme de toutes les pièces marrons est nulle. Prélude de gauche : la somme des pièces jaunes restantes, de -2, compense le +2 de J et T : il y a (des possibilités) des solutions. Prélude de droite : la somme des pièces jaunes (et des 8 marrons) est nulle et ne compense pas le +2 de J et T. Il ne peut pas y avoir de solution.
  83. 83. 6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL Confirmation de la méthode : lequel des deux préludes peut se poursuivre ?
  84. 84. 6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL Mise en œuvre 1 Il y a 6 façons (3!) possibilités de placer les pièces H, E et U. Quelles sont les positions des pièces H, E, U qui autorisent à poursuivre le prélude D ?
  85. 85. 6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL Sur les 6 possibilités de placement des pièces H, E, U, quatre autorisent à poursuivre le prélude D. On comprend bien que les pièces à angle droit jaunes) ont un point de contour qui dépend de leur position. Seules les configurations avec E à côté du carré I (0) n'aboutissent pas.
  86. 86. 6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL Exemples de trois solutions complètes du prélude D parmi de nombreuses autres possibles
  87. 87. 6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL Mise en œuvre 2 : pour le début de prélude ci-dessous, lesquelles parmi les 3 propositions ci-contre, permettent de poursuivre.
  88. 88. 6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL Proposition 1 - UH : placer U et H en colonne 1 aboutit bien à un prélude complet pour le tour du rectangle. En effet E de somme -2 compense le 1 de J et le 1 de T.
  89. 89. 6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL Proposition 2 - GH : placer G et H en colonne 1 oblige à utiliser la pièce N (ou B), de somme 2 : la somme de toutes les autres pièces marron est alors de -2 et donc compense le 2 de J et F, les deux pièces U et E s'annulant. Il y a donc des solutions En haut : attention aux fausses 'non solutions' : en glissant V et en plaçant P on aboutit à une solution. En bas : autre solution
  90. 90. Proposition 3 - EH : placer E et H en colonne 1 nécessité d'utiliser la pièce N (ou B) de somme 2. Les autres pièces marron sont de somme -2, ce qui annule le 2 de la pièce U et donc ne peux compenser le +2 de J et F. 6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL
  91. 91. 6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL Un dernier exemple : Dans ce début de prélude, il y a encore 6 façons de placer les trois pièces G, U, et H. Contrairement aux cas précédents, une pièce de somme 2 est déjà utilisée (B). Diapo suivante : les 6 propositions possibles.
  92. 92. 6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL Une dernière mise en œuvre : Les 6 organisations possibles. Lesquelles permettent de poursuivre ?
  93. 93. 6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL Les propositions 1, 2, 5 et 6 ne peuvent aboutir, car il faut que la somme des poids jaunes fasse 3 pour compenser le -2 des pièces marron. Illustration de ces impossibilités
  94. 94. 6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL Seules les propositions 3 et 4 aboutissent. Illustration avec deux solutions complètes
  95. 95. CURVICA ACTIVITÉS MATHEMATIQUES 1. Introduction - Premières applications 2. Notion de préludes des plateaux 3. Analyse du rectangle 4. Quelques exemples de plateaux 5. Activités d'anticipations (topo)logiques 6. Calculs d'anticipations sur les préludes 7. Plateaux de partitionnement
  96. 96. 7.1 – AVANT LE PARTITIONEMENT Activités préliminaires d'appropriation des pièces Ils s'agit de proposer des plateaux utilisant 18 des 24 pièces, à choisir Le plus simple R6 B6 I6 pour Rectangulaire Bombé Incurvé Chacun de 6 pièces
  97. 97. 7.1 – AVANT LE PARTITIONEMENT Quelques solutions de R6 B6 I6
  98. 98. 7.1 – AVANT LE PARTITIONEMENT Quelques solutions de R6 B6 I6 Plusieurs centaines de solutions (non encore exhaustif)
  99. 99. 7.1 – AVANT LE PARTITIONEMENT Autres regroupements possibles de 18 pièces : B9 I9 (encore facile) Dans une série de tweets de juillet 2014 sur le compte @Curvica974, on a montré qu'il y a 84 solutions (hors isométries) de type B9 qui réalisent une solution du puzzle en (I9, B9) avec la seule composante I9 ci-dessus. Là encore, plusieurs centaines de solutions en tout.
  100. 100. 7.1 – AVANT LE PARTITIONEMENT Deux autres regroupements de 18 pièces : R9 I9 et R9 B9 (moins facile que R6 I6 B6)
  101. 101. 7.1 – AVANT LE PARTITIONEMENT Deux autres regroupements de 18 pièces : R9 I9 et R9 B9 Ci-contre un exemple de R9 qui admet : Une solution en I9 ET Une solution en B9
  102. 102. 7.2 - LA TRANSFORMATION INVERSE Par transformation inverse on entend la modification d'une pièce en celle qui échange "bombé" et "incurvés" Quatre pièces sont invariantes par la transformation inverse (ligne 1). Les 20 autres pièces regroupées avec son inverse (ci-contre). Notation i(P)=X Alors i(R6)=R6, i(I6)=B6, i(B6)=I6.
  103. 103. 7.3 - EXEMPLE DE R6 I6 B6 ET SON INVERSE Dans ces solutions d'élèves, on voit que l'inverse du B6 de gauche est (presque - échange A et C) est le I6 de droite.
  104. 104. 7.3 - EXEMPLE DE R6 I6 B6 ET SON INVERSE A gauche une solution R6 B6 I6 Ci-dessous son inverse
  105. 105. 7.4 - CINQ PLATEAUX PARTIONNANT On peut envisager de nombreuses façons de partitionner les 24 pièces en deux ou plusieurs groupes. On retiendra ces 5 partitions : R12 B6 I6 R6 B9 I9 R8 I8 B8 chaque groupe étant de la forme rectangulaire 2x4 R8 I8 B8 T chaque groupe étant de la forme carré privé du centre 3x3-1 avec une pièce manquante au centre d'aire 1 Ensuite on peut assouplir la contrainte du centre à ce que la somme des trois pièces centrales soit d'aire 3 ce qui invite à beaucoup de variantes possibles. I12 B12 : partionnement en deux blocs, situation la plus riche
  106. 106. 7.5 - R12 B6 I6 - UN EXEMPLE On commence par prolonger R6 B6 I6, en R12 B6 I6.
  107. 107. 7.6 - R6 B9 I9 - UN EXEMPLE Solutions, composantes, et permutations internes Chaque solution est un triplet de blocs de pièces, appelé composantes. Ici elles sont de type R6, B9, et I9. Ces composantes forment une partition des 24 pièces , et, on va s'intéresser aux permutations internes à chaque composante de la solution.
  108. 108. 7.7 - R8 I8 B8 - DEUX EXEMPLES Comme l'inverse de K est J on s'intéressera à K en (1,1), les solutions avec J en (1,1) seront leurs inverses.
  109. 109. 7.8 - R8 I8 B8 - PERMUTATIONS INTERNES Dans ce contexte de blocs 4x2, les composantes peuvent avoir de nombreuses permutations, voyons le sur le premier exemple : Deux variantes de R6 Et 4 variantes sur I8 : RQ / QR et WX-VS / VS-XW
  110. 110. 7.8 - R8 I8 B8 - PERMUTATIONS INTERNES Toujours sur le même exemple, les variantes de B8 : Finalement cette solution initiale aboutit à 3x4x6 soit 72 solutions par permutations internes et donc 144 solutions avec leurs inverses. Composante stable par inversion : la composante R8 est stable par inversion. Comme la pièce I est invariante, aucun inverse de permutation n'est un isométrique de la composante.
  111. 111. 7.8 - R8 I8 B8 - VARIANTE I EN (2,2) Une solution avec I en (2,2) avec la même composante B8 Seconde solution sans la même B8. Pas encore de solution de R8, avec I en (2,2), stable par inversion.
  112. 112. 7.9 - R8 B8 I8 T - EXEMPLE 1 Un exemple de solution avec les pièces centrales d'aire 1. A droite son inverse. R8 n'est pas stable par inversion.
  113. 113. 7.9 - R8 B8 I8 T - EXEMPLES 2 ET 3 On parlera des index des composantes, soit en nommant les parties centrales par la pièce représentée, soit numériquement par son indice de bombage. Ainsi à gauche (3,-3, 0), à droite, (2, 1, -3).
  114. 114. 7.10 - I12 B12 - LE PLATEAU IREM
  115. 115. 7.10.1 - I12 B12 DEUX EXEMPLES Deux solutions particulières où les pièces IJK sont dans chacune des deux composantes. Piste de recherche - préludes originaux - étude des permutations internes (ci-après) - extension des index
  116. 116. 7.10.2 - I12 B12 - PERMUTATIONS Permutations internes de I12 de la solution 2 (10 premières possibilités) 4 solutions (dont sol. Initiale) 3 solutions 3 solutions
  117. 117. 7.10.2 - I12 B12 - PERMUTATIONS Permutations internes de I12 de la solution 2 (12 nouvelles possibilités) 3 solutions 4 solutions 5 solutions
  118. 118. 7.10.2 - I12 B12 Permutations internes de B12 de la solution 2 (8 possibilités) Soit au total 22x9 = 198 solutions à partir d'une solution initiale.
  119. 119. 7.10.3 - I12 B12 - TYPOLOGIE On s'intéresse désormais à une nomenclature des composantes de solutions. Pour cela, on utilise, comme index, les noms des deux pièces centrales des composantes. On s'intéresse aussi à l'indice de bombage de chaque composante. Ci-après centré sur I12. Composante I12 de type JI d'indice +1 Ici le centre est formé de pièces ne pouvant être sur le contour. B12 ici est de type DN d'indice -1. D'autres permutations seraient d'un autre index.
  120. 120. 7.10.3 - I12 B12 - INDICE 2 SUR I12 2 composantes I12 d'indice +2, une de type IT, l'aitre de type FT. Les pièces centrales ne pourraient pas aller sur le contour.
  121. 121. 7.10.3 - I12 B12 - INDICE 2 SUR I12 Autre composante I12 d'indice +2, cette fois de type JN. Piste d'investigation : pour un type donné quels sont tous les contours possibles ?
  122. 122. 7.10.3 - I12 B12 - INDICE 3 SUR I12 L'indice +3 est le plus grand possible pour réaliser une solution finale. Non encore résolu : Peut-on construire un plateau I12 d'indice 4 qui permet une solution en (I12, B12) ?
  123. 123. 7.10.3 - I12 B12 - INDICE 3 SUR I12 L'inverse d'une composante I12 d'indice 3 est une composante B12 d'indice -3. Ci-contre une composante B12 d'indice -3 qui n'est pas l'inverse de la précédente. Voir pourquoi.
  124. 124. 7.10.4. PERMUTATIONS SUR INDEX Deux exemples de permutations de I12 d'index JI
  125. 125. 7.10.5. PISTES POUR I12 B12 1. Distinction entre configuration et composante I12 (ou B12) : peut-on caractériser les configurations qui ne peuvent être composantes ? 2. Une composante donnée, de combien de types (max) ses permutations peuvent-elles relever ? 3. Réciproquement, pour une composante d'un type donné, peut-elle avoir des permutations de même type, en particulier en rapport à l'indice de la composante donnée. 4. ...
  126. 126. CURVICA ACTIVITÉS MATHEMATIQUES IREM – 16 décembre 2015 yves.martin@univ-reunion.fr Jouer en ligne : http://huit.re/curvica (Ordinateurs ou tablettes) Approfondir : http://huit.re/IREMcurvica1 Avec 23 Mo de fiches à télécharger, ainsi qu'un PDF de 90 pages (sans la partie 7) Actualité sur le puzzle : @Curvica974 Ce fichier est téléchargeable sur ce compte tweeter

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