2. รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553
หนา 2
เวลา 13.00 - 16.00 น.
ตอนที่ 1: แบบระบายตัวเลือก แตละขอมีคําตอบที่ถูกตองที่สุดเพียงคําตอบเดียว
จํานวน 25 ขอ ( ขอ 1 – 25) ขอละ 6 คะแนน
1. กําหนดให
p
และ q เปนประพจนใดๆ
ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ
1.
( p ⇒ q) ∨ p
2.
(~ p ∧ p ) ⇒ q
3.
[( p ⇒ q ) ∧ p] ⇒ q
4.
(~ p ⇒ q ) ⇔ (~ p ∧ ~ q )
3. หนา 3
เวลา 13.00 - 16.00 น.
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553
2. ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. ถาเอกภพสัมพัทธ คือ { − 1, 0, 1 }
คาความจริงของ ∀x∃y[ x 2 + x = y 2 + y ] เปนเท็จ
2. ถาเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนจริง
คาความจริงของ ∃x[ 3 x = log 3 x ] เปนจริง
3. ถาเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนจริง
นิเสธของขอความ ∀x∃y[ ( x > 0 ∧ y ≤ 0) ∧ ( xy < 0)]
คือ ∃x∀y[ ( xy < 0) ⇒ ( x ≤ 0 ∨ y > 0)]
4. ถาเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนเต็ม
นิเสธของขอความ ∀x[ x > 0 ⇒ x 3 ≥ x 2 ]
คือ ∃x[ ( x ≤ 0) ∧ ( x 3 < x )]
3. ให
A =
{ 1, { 1 }} และ P ( A) เปนเพาเวอรเซตของเซต
ขอใดตอไปนี้ผิด
1. จํานวนสมาชิกของ
P ( A) − A
เทากับ
3
2. จํานวนสมาชิกของ
P ( P ( A) )
เทากับ
16
3. { {1} } ∈
P (A ) − A
4. { φ , A } ∈
P ( A)
A
4. หนา 4
เวลา 13.00 - 16.00 น.
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553
4. กําหนดให
เมื่อ
R
A =
{ x∈ R
x2 − 6x + 9 ≤ 4
แทนเซตของจํานวนจริง
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
{ x∈R
1.
A′ =
2.
A′ ⊂ ( −1, ∞ )
3.
A =
x ≤ 7
}
4.
A ⊂ x ∈ R 2x − 3 < 7
}
{ x∈ R
{
3− x
> 4
}
}
5. หนา 5
เวลา 13.00 - 16.00 น.
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553
5. กําหนดให
y1 = f ( x ) =
x+1
x −1
เมื่อ x เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับ 1
y2 = f ( y1 ) , y3 = f ( y2 ) , ...
yn = f ( yn − 1 )
y2553 + y2010
สําหรับ n = 2 , 3 , 4 , ...
เทากับขอใดตอไปนี้
1.
x −1
x+1
2.
x2 + 1
x −1
3.
x2 + 1
2x
4.
1 + 2x − x2
x −1
6. หนา 6
เวลา 13.00 - 16.00 น.
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553
6. ให
f
และ
g
เปนฟงกชันจากเซตของจํานวนจริงไปยังเซตของจํานวนจริง โดยที่
f (x) =
x −1
x2 − 4
จงพิจารณาขอความตอไปนี้
ก. Dg = ( 2, ∞ )
ข. คาของ x > 0 ที่ทําให
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. ก. ถูก และ ข. ถูก
2. ก. ถูก แต ข. ผิด
3. ก. ผิด แต ข. ถูก
4. ก. ผิด และ ข. ผิด
และ
g( x ) =
g( x ) = 0
f (x) −
มีเพียง 1 คาเทานั้น
x −1
7. หนา 7
เวลา 13.00 - 16.00 น.
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553
7. กําหนดให x เปนจํานวนจริง
ถา sin x + cos x = a และ sin x − cos x
แลวคาของ sin 4 x เทากับขอใดตอไปนี้
(
)
(
= b
)
1.
1 3
a b − ab 3
2
2.
1
ab 3 − a 3 b
2
3.
4.
ab 3 − a 3b
a 3 b − ab 3
8. กําหนดใหวงรีรูปหนึ่งมีสมการเปน 25 x 2 + 21 y 2 + 100 x − 42 y − 404 =
แลวไฮเพอรโบลาที่มีจุดยอดอยูที่จุดโฟกัสทั้งสองของวงรีและผานจุด ( −3, 1 +
มีสมการตรงกับขอใดตอไปนี้
1.
5 y 2 − 4 x 2 − 10 8 y − 32 x − 25 = 0
2.
3 y 2 − 2 x 2 − 6 8 y − 8 x + 15 = 0
3.
y 2 − 4 x 2 − 2 y − 16 x − 19 = 0
4.
y 2 − 7 x 2 − 2 y − 28 x − 28 = 0
0
8)
8. รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553
9. จุด A (− 3 , 1) B (1, 5)
รูปสี่เหลี่ยม ABCD
C (8 , 3)
หนา 8
เวลา 13.00 - 16.00 น.
และ D (2 , − 3) เปนจุดยอดของ
ขอใดตอไปนี้ผิด
1. ดาน AB ขนานกับ ดาน DC
2. ผลบวกความยาวของดาน AB กับ DC เทากับ 10 2 หนวย
3. ระยะตั้งฉากจากจุด A ไปยังเสนตรงที่ผานจุด C และจุด D มีคา
เทากับ
9 2
2
หนวย
4. ระยะตั้งฉากจากจุด B ไปยังเสนตรงที่ผานจุด C และจุด D มีคา
เทากับ
9
2
หนวย
10. กําหนดให x และ y เปนจํานวนจริงบวกและ y ≠ 1
ถา log y 2 x = a และ 2 y = b แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1.
1
(log2 b )a
2
2.
2 (log 2 b )a
3.
a
(log 2 b )
2
4.
2a (log 2 b )
16. รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553
24. ให
N
แทนเซตของจํานวนนับ
กําหนดให
a ∗ b = ab
สําหรับ a , b ∈ N
พิจารณาขอความตอไปนี้
สําหรับ
ก.
a , b, c ∈ N
a∗b = b∗a
ข. (a ∗ b ) ∗ c = a ∗ (b ∗ c )
ค.
a ∗ (b + c ) = (a ∗ b ) + (a ∗ c )
ง. (a + b ) ∗ c = (a ∗ c ) + (b ∗ c )
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. ถูก 2 ขอคือ ข. และ ค.
2. ถูก 2 ขอคือ ค. และ ง.
3. ถูก 1 ขอคือ ค.
4. ก. ข. ค. และ ง. ผิดทุกขอ
หนา 16
เวลา 13.00 - 16.00 น.
17. รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553
หนา 17
เวลา 13.00 - 16.00 น.
25. นายชัดแจงไดทราบขอมูลของคน 5 คน คือ A, B, C, D และ E ดังนี้
A บอกวา “C และ D พูดโกหก”
B บอกวา “A และ C เปนคนพูดจริง”
C บอกวา “D พูดโกหก”
D บอกวา “E พูดโกหก”
E บอกวา “B พูดโกหก”
จากขอมูลดังกลาวทานจะชวยนายชัดแจงคนหาวาใครบางเปนคนพูดจริงและ
ใครบางเปนคนพูดเท็จ
1. A, B, D พูดเท็จ C และ E พูดจริง
2. B และ D พูดเท็จ A และ C พูดจริง
3. A, B และ C พูดเท็จ D และ E พูดจริง
4. B และ E พูดเท็จ A และ C พูดจริง
18. หนา 18
เวลา 13.00 - 16.00 น.
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553
ตอนที่ 2 : แบบระบายตัวเลข จํานวน 25 ขอ (ขอ 26 – 50 ) ขอละ 6 คะแนน
26. กําหนดให A ,
ถา
B
และ C เปนเซตใดๆ
n( A ∪ B ∪ C ) = 91 , n( A ∩ B′ ∩ C ′ ) = 11 ,
n((B − A) ∩ (B − C )) = 15 , n( A ∩ B ∩ C ) = 20
n(( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C )) = 47
และ n(C ) = 59
แลว n( A′ ∩ B′ ∩ C ) เทากับเทาใด
27. ถา
เมื่อ
S =
R
{ x∈R
3x + 1 +
x −1 =
แทนเซตของจํานวนจริง
แลว ผลบวกของสมาชิกใน
S
เทากับเทาใด
7x + 1
}
19. หนา 19
เวลา 13.00 - 16.00 น.
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553
28. ให
A
เปนเซตของจํานวนเฉพาะบวกที่มีคานอยกวาหรือเทากับ 10
B
และ
เปนเซตของจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยกวาหรือเทากับ
C
เปนเซตของฟงกชัน
และ ห.ร.ม. ของ a และ
f (a )
f : A→ B
10
ทั้งหมดที่เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง
ไมเทากับ 1 สําหรับทุกคา a ∈ A
จํานวนสมาชิกในเซต C เทากับเทาใด
29. ให α และ β เปนมุมแหลมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่
ถา
⎛
⎛
a
cos ⎜ arcsin ⎜
⎜ 2
⎜
2
⎝ a +b
⎝
แลว
sin β
30. คาของ
tan α =
⎛
⎞⎞
⎛
a
⎟ ⎟ + sin ⎜ arccos ⎜
⎟⎟
⎜ 2
⎜
2
⎠⎠
⎝ a +b
⎝
มีคาเทากับเทาใด
cos 36ο − cos 72ο
sin 36ο tan 18ο + cos 36ο
เทากับเทาใด
a
b
⎞⎞
⎟⎟ = 1
⎟⎟
⎠⎠
20. หนา 20
เวลา 13.00 - 16.00 น.
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553
31. ให
A
และ B เปนเมทริกซที่มีขนาด
⎡ − 4 − 4⎤
2A − B = ⎢
6⎥
⎣ 5
⎦
คาของ
32. ให
(
det A4 B − 1
x, y,z
33. ให
u, v
⎡ − 5 − 8⎤
A − 2B = ⎢
0⎥
⎣ 4
⎦
และ
เทากับเทาใด
⎡ x − 1⎤
⎢0 y ⎥
⎣
⎦
=
4w − 3 z + 2 y − x
⎡ 2 y − 1⎤ ⎡ 1 0 ⎤
⎢z
2 ⎥ ⎢− 1 w ⎥
⎦
⎣
⎦ ⎣
เทากับเทาใด
และ w เปนเวกเตอร กําหนดโดย
v = 2i − d j + k , w = ai + b j + ck
ถา
โดยที่
และ w สอดคลองกับสมการ
⎡ 1 0⎤
⎢− 1 w ⎥
⎣
⎦
คาของ
)
2× 2
u = i + 2 j + 3k ,
เมื่อ a , b, c และ d เปนจํานวนจริง
u ⋅ w = 2 , u ⋅ (v + w ) = 3 , v + w = i + q j + r k
จํานวนจริง และ
แลวคาของ
w
ขนานกับ −
a + 4b + 2c
2
1
1
i + j+ k
3
2
3
เทากับเทาใด
เมื่อ q , r เปน
21. หนา 21
เวลา 13.00 - 16.00 น.
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553
34. ให
ถา
z1
และ z2 เปนจํานวนเชิงซอนใดๆ และ z2 แทนสังยุค(conjugate) ของ z2
5 z1 + 2 z 2 = 5
คาของ
5 z1 − 1
และ
z 2 = 1 + 2i
เมื่อ
i 2 = −1
แลว
เทากับเทาใด
35. ถา { an } เปนลําดับของจํานวนจริงที่
2 + 4 + 6 + Κ + 2n
an =
แลว
n2
lim a n
n→ ∞
36. กําหนดให
มีเทากับเทาใด
n
Sn =
lim S n
n→ ∞
⎛
∑⎜
⎜
⎝
k =1
คาของ
สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก n
1
k ( k + 1) + k k + 1
เทากับเทาใด
⎞
⎟
⎟
⎠
สําหรับ n = 1,2,3,...
22. หนา 22
เวลา 13.00 - 16.00 น.
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553
37. กําหนดให
a
และ b เปนจํานวนจริง และ
f
เปนฟงกชัน
ซึ่งกําหนดโดย
⎧ x3 − 3x − 2
⎪
⎪ x−2
⎪
f ( x) = ⎨ a − b
⎪ 2
⎪ x + ax + 1
⎪
⎩
ถา
f
, x<2
, x=2
, x>2
เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริงแลว
คาของ
a 2 + b2
38. กําหนดให
R
เทากับเทาใด
แทนเซตของจํานวนจริง ถา
f ′( x ) = 3 x + 5
แลวคาของ
lim
x→4
สําหรับทุกจํานวนจริง
( )
f x2 − 2
f (x)
f :R→ R
x
เทากับเทาใด
เปนฟงกชัน โดยที่
และ f (1) = 5
23. หนา 23
เวลา 13.00 - 16.00 น.
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553
39. กําหนดให
R
แทนเซตของจํานวนจริง ถา
f ′′( x ) = 6 x + 4
สําหรับทุกจํานวนจริง
y = f ( x ) ที่จุด (2, 19)
40. กําหนดให
A
x
เปนฟงกชัน โดยที่
และ ความชันของเสนสัมผัสเสนโคง
เทากับ 19 แลว คาของ
A = { 0 ,1 , 2 , 3 , 4 }
ตัวเลขในเซต
f :R→ R
f (1)
เทากับเทาใด
จํานวนเต็มบวกที่มคานอยกวา 300 โดยสรางมาจาก
ี
และตัวเลขแตละหลักไมซ้ํากัน เทากับเทาใด
41. คณะกรรมการชุดหนึ่งมี 7 คน ประกอบดวยประธาน รองประธาน เลขานุการและ
กรรมการอีก 4 คน จํานวนวิธีที่จัดกลุมคน 7 คนนี้นั่งประชุมรอบโตะกลม โดยให
ประธานและรองประธานนั่งติดกันเสมอ แตเลขานุการไมนั่งติดกับรองประธาน
เทากับเทาใด
26. หนา 26
เวลา 13.00 - 16.00 น.
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553
47. กําหนดให
R
เปนเซตของจํานวนจริง
บทนิยาม ให
f :R→ R
และ
g:R→ R
กําหนดการดําเนินการ ⊗ ของ
(f
f
เปนฟงกชันใดๆ
และ
g
ดังนี้
⊗ g )( x ) = f ( g ( x )) − g ( f ( x ))
สําหรับทุกจํานวนจริง
x
ถา f ( x ) = x 2 − 1 และ g ( x ) = 2 x + 1 สําหรับทุกจํานวนจริง
แลว ( f
48. ถา
⊗ g )(1)
a , b, c , d
เทากับ
9
x
เทากับเทาใด
เปนเลขโดดที่แตกตางกันที่ทําใหจํานวนเต็ม 4 หลัก dcba
เทาของ abcd แลว b เทากับเทาใด